Yhtälö, joka kuvaa harmonisia värähtelyjä. Harmoniset värähtelyt. Harmonisten värähtelyjen ominaisuudet. Jos värähtelyä kuvataan kosinin lain mukaan

Harmoniset värähtelyt

Funktiokaaviot f(x) = synti( x) ja g(x) = cos( x) karteesisessa tasossa.

harmoninen värähtely- vaihtelut, joissa fyysinen (tai mikä tahansa muu) määrä muuttuu ajan kuluessa sini- tai kosinilain mukaan. Harmonisten värähtelyjen kinemaattisella yhtälöllä on muoto

,

missä X- värähtelypisteen siirtymä (poikkeama) tasapainoasennosta hetkellä t; A- oskillaatioamplitudi, tämä on arvo, joka määrittää värähtelypisteen suurimman poikkeaman tasapainoasennosta; ω - syklinen taajuus, arvo, joka osoittaa 2π sekunnin sisällä tapahtuvien täydellisten värähtelyjen lukumäärän - värähtelyjen täyden vaiheen, - värähtelyjen alkuvaiheen.

Yleistetty harmoninen värähtely differentiaalimuodossa

(Jokainen tämän differentiaaliyhtälön ei-triviaali ratkaisu on harmoninen värähtely syklisellä taajuudella)

Värähtelytyypit

Evoluutio siirtymäajassa, nopeus ja kiihtyvyys harmonisessa liikkeessä

• Vapaa värinä syntyvät järjestelmän sisäisten voimien vaikutuksesta sen jälkeen kun järjestelmä on saatettu pois tasapainosta. Jotta vapaat värähtelyt olisivat harmonisia, on välttämätöntä, että värähtelyjärjestelmä on lineaarinen (kuvataan lineaarisilla liikeyhtälöillä), eikä siinä saa olla energiahäviötä (jälkimmäinen aiheuttaisi vaimennusta).
• Pakotettu tärinä suoritetaan ulkoisen jaksollisen voiman vaikutuksesta. Jotta ne olisivat harmonisia, riittää, että värähtelyjärjestelmä on lineaarinen (kuvataan lineaarisilla liikeyhtälöillä), ja ulkoinen voima itse muuttuu ajan myötä harmonisena värähtelynä (eli tämän voiman aikariippuvuus on sinimuotoinen) .

Sovellus

Harmoniset värähtelyt erottuvat kaikista muista värähtelytyypeistä seuraavista syistä:

Katso myös

Huomautuksia

Kirjallisuus

• Fysiikka. Fysiikan perusoppikirja / Toim. G. S. Lansberg. - 3. painos - M., 1962. - T. 3.
• Khaykin S.E. Mekaniikan fyysiset perusteet. - M., 1963.
• A. M. Afonin. Mekaniikan fyysiset perusteet. - Toim. MSTU im. Bauman, 2006.
• Gorelik G.S. Tärinä ja aallot. Johdatus akustiikkaan, radiofysiikkaan ja optiikkaan. - M .: Fizmatlit, 1959. - 572 s.

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Malborkin kunta
• afrikan kansat

Katso, mitä "harmoniset värähtelyt" ovat muissa sanakirjoissa:

HARMONISET VÄRINNÄT Nykyaikainen tietosanakirja

Harmoniset värähtelyt- HARMONISET VÄRINNÄT, jaksolliset muutokset fysikaalisessa suuressa, jotka tapahtuvat sinilain mukaan. Graafisesti harmoniset värähtelyt esitetään sinikäyrällä. Harmoniset värähtelyt ovat yksinkertaisin jaksollisen liikkeen tyyppi, jolle on tunnusomaista ... Kuvitettu tietosanakirja

Harmoniset värähtelyt- Fluktuaatiot, joissa fyysinen määrä muuttuu ajan kuluessa sinin tai kosinin lain mukaan. Graafisesti G. to. esitetään sini- tai kosinikäyrällä (katso kuva); ne voidaan kirjoittaa muodossa: x = Asin (ωt + φ) tai x ... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

HARMONISET VÄRINNÄT- HARMONISET VÄRINNÄT, jaksolliset liikkeet, kuten HEILURIN liike, atomivärähtelyt tai värähtelyt sähköpiirissä. Kappale suorittaa vaimentamattomia harmonisia värähtelyjä, kun se värähtelee linjaa pitkin liikkuen samalla ... ... Tieteellinen ja tekninen tietosanakirja

HARMONISET VÄRINNÄT- vaihtelut, joissa ryh fyysinen. (tai mikä tahansa muu) arvo muuttuu ajan kuluessa sinimuotoisen lain mukaan: x=Asin(wt+j), missä x on värähtelevän arvon arvo annetussa. ajanhetki t (mekaaniselle G:lle..., esimerkiksi siirtymälle tai nopeudelle, ... ... Fyysinen tietosanakirja

harmonisia värähtelyjä- Mekaaniset värähtelyt, joissa yleinen koordinaatti ja (tai) yleinen nopeus muuttuvat suhteessa siniin argumentilla, joka riippuu lineaarisesti ajasta. [Suositeltujen termien kokoelma. Numero 106. Mekaaniset tärinät. Tiedeakatemia... Teknisen kääntäjän käsikirja

HARMONISET VÄRINNÄT- vaihtelut, joissa ryh fyysinen. (tai mikä tahansa muu) määrä muuttuu ajassa sinimuotoisen lain mukaan, missä x on värähtelevän suuren arvo hetkellä t (mekaaniselle G:lle - esim. siirtymälle ja nopeudelle, sähköjännitteelle ja -virralle) .. . Fyysinen tietosanakirja

HARMONISET VÄRINNÄT- (katso), jossa fyysinen. arvo muuttuu ajan kuluessa sinin tai kosinin lain mukaan (esimerkiksi muutokset (katso) ja nopeus värähtelyn aikana (katso) tai muutokset (katso) ja virran voimakkuus sähköisellä G. to.) ... Suuri ammattikorkeakoulun tietosanakirja

HARMONISET VÄRINNÄT- joille on tunnusomaista värähtelyarvon x muutos (esim. heilurin poikkeama tasapainoasennosta, jännite vaihtovirtapiirissä jne.) ajassa t lain mukaan: x = Asin (?t + ?), jossa A on harmonisten värähtelyjen amplitudi, ? kulma… … Suuri Ensyklopedinen sanakirja

Harmoniset värähtelyt- 19. Harmoniset värähtelyt Värähtelyt, joissa värähtelevän suuren arvot muuttuvat ajassa lain mukaan Lähde ... Normatiivisen ja teknisen dokumentaation termien sanakirja-viitekirja

HARMONISET VÄRINNÄT-kausijulkaisu vaihtelut, krykh-muutos fyysisessä ajassa. suuruus tapahtuu sinin tai kosinin lain mukaan (katso kuva): s = Asin (wt + f0), missä s on vaihtelevan arvon poikkeama sen arvosta vrt. (tasapaino)arvo, A=vakioamplitudi, w=vakio pyöreä ... Suuri tietosanakirja ammattikorkeakoulun sanakirja

Värähtelyt, jotka syntyvät ulkoisten, ajoittain vaihtuvien voimien vaikutuksesta (jossa säännöllinen energian syöttö ulkopuolelta värähtelyjärjestelmään)

Energian muunnos

Jousi heiluri

Jaksotaajuus ja värähtelyjakso ovat vastaavasti:

Materiaalikärki, joka on kiinnitetty täydellisesti joustavaan jouseen

Ø kuvaaja jousiheilurin potentiaalista ja liike-energiasta x-koordinaatilla.

Ø kvalitatiiviset graafit kineettisen ja potentiaalisen energian riippuvuuksista ajasta.

Ø Pakko

Ø Pakotetun värähtelyn taajuus on yhtä suuri kuin ulkoisen voiman muutosten taajuus

Ø Jos Fbc muuttuu sini- tai kosinilain mukaan, niin pakotetut värähtelyt ovat harmonisia

Ø Itsevärähtelyissä tarvitaan säännöllistä energian saantia omasta lähteestään värähtelyjärjestelmän sisällä

Harmoniset värähtelyt ovat värähtelyjä, joissa värähtelyarvo muuttuu ajan myötä sinin tai kosinin lain mukaan

harmonisten värähtelyjen yhtälöillä (pisteiden liikelait) on muoto

Harmoniset värähtelyt kutsutaan sellaisia ​​värähtelyjä, joissa värähtelyarvo vaihtelee ajan mukaan lain mukaansinus taikosini .
Harmoninen värähtelyyhtälö näyttää:

,
missä - värähtelyn amplitudi (järjestelmän suurimman tasapainotilan poikkeaman arvo); -pyöreä (syklinen) taajuus. Ajoittain vaihtuva kosini-argumentti - kutsutaan värähtelyvaihe . Värähtelyvaihe määrittää värähtelevän suuren siirtymän tasapainoasennosta tietyllä hetkellä t. Vakio φ on vaiheen arvo hetkellä t = 0 ja sitä kutsutaan värähtelyn alkuvaihe . Alkuvaiheen arvo määräytyy vertailupisteen valinnan mukaan. X-arvolla voi olla arvoja välillä -A - +A.
Aikaväli T, jonka jälkeen tietyt värähtelyjärjestelmän tilat toistuvat, kutsutaan värähtelyjaksoksi . Kosini on jaksollinen funktio, jonka jakso on 2π, joten ajanjakson T aikana, jonka jälkeen värähtelyvaihe saa 2π:n suuruisen lisäyksen, harmonisia värähtelyjä suorittavan järjestelmän tila toistuu. Tätä ajanjaksoa T kutsutaan harmonisten värähtelyjen jaksoksi.
Harmonisten värähtelyjen jakso on : T = 2π/.
Värähtelyjen lukumäärää aikayksikköä kohti kutsutaan värähtelytaajuus ν.
Harmonisten värähtelyjen taajuus on yhtä suuri kuin: ν = 1/T. Taajuusyksikkö hertsiä(Hz) - yksi värähdys sekunnissa.
Ympyrätaajuus = 2π/T = 2πν antaa värähtelyjen määrän 2π sekunnissa.

Yleistetty harmoninen värähtely differentiaalimuodossa

Graafisesti harmoniset värähtelyt voidaan kuvata x:n riippuvuutena t:stä ​​(kuva 1.1.A), ja pyörivä amplitudimenetelmä (vektorikaaviomenetelmä)(Kuva 1.1.B) .

Pyörivän amplitudin menetelmän avulla voit visualisoida kaikki harmonisten värähtelyjen yhtälöön sisältyvät parametrit. Todellakin, jos amplitudivektori A joka sijaitsee kulmassa φ x-akseliin nähden (katso kuva 1.1. B), sen projektio x-akselilla on yhtä suuri kuin: x = Acos(φ). Kulma φ on alkuvaihe. Jos vektori A laitetaan pyörimään kulmanopeudella, joka on yhtä suuri kuin värähtelyjen ympyrätaajuus, niin vektorin pään projektio liikkuu x-akselia pitkin ja ottaa arvot välillä -A arvoon +A ja tämän projektion koordinaatti muuttuu ajan myötä lain mukaan:
.
Tällöin vektorin pituus on yhtä suuri kuin harmonisen värähtelyn amplitudi, vektorin suunta alkuhetkellä muodostaa kulman x-akselin kanssa, joka on yhtä suuri kuin värähtelyn alkuvaihe φ, ja suuntakulman muutos ajan kanssa on yhtä suuri kuin harmonisten värähtelyjen vaihe. Aika, jonka amplitudivektori tekee yhden täyden kierroksen, on yhtä suuri kuin harmonisten värähtelyjen jakso T. Vektorin kierrosten lukumäärä sekunnissa on yhtä suuri kuin värähtelytaajuus ν.

Yksinkertaisin värinätyyppi on harmonisia värähtelyjä- vaihtelut, joissa värähtelypisteen siirtymä tasapainoasennosta muuttuu ajan kuluessa sini- tai kosinilain mukaan.

Joten, kun pallo pyörii tasaisesti kehän ympäri, sen projektio (varjo yhdensuuntaisissa valonsäteissä) tekee harmonisen värähtelevän liikkeen pystysuoralla näytöllä (kuva 13.2).

Siirtymä tasapainoasennosta harmonisten värähtelyjen aikana kuvataan yhtälöllä (jota kutsutaan harmonisen liikkeen kinemaattiseksi laiksi), jonka muoto on:

\(x = A \cos \Bigr(\frac(2 \pi)(T)t + \varphi_0 \Bigl)\) tai \(x = A \sin \Bigr(\frac(2 \pi)(T) t + \varphi"_0 \Bigl)\)

missä X- sekoitus - arvo, joka kuvaa värähtelypisteen sijaintia ajanhetkellä t suhteessa tasapainoasemaan ja mitattuna etäisyydellä tasapainoasennosta pisteen sijaintiin tietyllä hetkellä; A- värähtelyamplitudi - kehon suurin siirtymä tasapainoasennosta; T- oskillaatiojakso - yhden täydellisen värähtelyn aika; nuo. pienin aika, jonka jälkeen värähtelyä kuvaavien fyysisten suureiden arvot toistetaan; \(\varphi_0\) - alkuvaihe; \(\varphi = \frac(2 \pi)(T)t + \varphi"_0\) - värähtelyn vaihe ajankohdassa t. Värähtelyvaihe on jaksollisen funktion argumentti, joka tietyllä värähtelyamplitudilla määrittää kehon värähtelyjärjestelmän tilan (siirtymä, nopeus, kiihtyvyys) milloin tahansa.

Jos alkuvaiheessa t0 = 0 värähtelypiste siirtyy maksimaalisesti tasapainoasennosta, jolloin \(\varphi_0 = 0\), ja pisteen siirtymä tasapainoasennosta muuttuu lain mukaan

\(x = A \cos \frac(2 \pi)(T)t.\)

Jos värähtelevä piste kohdassa t 0 = 0 on stabiilissa tasapainotilassa, niin pisteen siirtymä tasapainoasennosta muuttuu lain mukaan

\(x = A \sin \frac(2 \pi)(T)t.\)

arvo V, jakson käänteisluku, joka on yhtä suuri kuin 1 sekunnissa suoritettujen täydellisten värähtelyjen lukumäärä, kutsutaan värähtelytaajuus:

\(\nu = \frac(1)(T) \)(SI:ssä taajuuden yksikkö on hertsi, 1Hz = 1s -1).

Jos ajoissa t keho sitoutuu N täydessä vauhdissa siis

\(T = \frac(t)(N) ; \nu = \frac(N)(t).\)

Arvo \(\omega = 2 \pi \nu = \frac(2 \pi)(T)\) , joka osoittaa kuinka monta värähtelyä kappale tekee 2:ssa \(\pi\) Kanssa, olla nimeltään syklinen (pyöreä) taajuus.

Harmonisen liikkeen kinemaattinen laki voidaan kirjoittaa seuraavasti:

\(x = A \cos(2\pi \nu t + \varphi_0), x = A \cos(\omega t + \varphi_0).\)

Graafisesti värähtelevän pisteen siirtymän riippuvuutta ajasta edustaa kosini (tai sini).

Kuva 13.3, a esittää värähtelypisteen siirtymän aikariippuvuutta tasapainoasennosta tapaukselle \(\varphi_0=0\), ts. \(~x=A\cos \omega t.\)

Selvitetään kuinka värähtelevän pisteen nopeus muuttuu ajan myötä. Tätä varten löydämme tämän lausekkeen aikajohdannaisen:

\(\upsilon_x = x" A \sin \omega t = \omega A \cos \Bigr(\omega t + \frac(\pi)(2) \Bigl) ,\)

missä \(~\omega A = |\upsilon_x|_m\) on nopeusprojektion amplitudi akselilla X.

Tämä kaava osoittaa, että harmonisten värähtelyjen aikana myös kappaleen nopeuden projektio x-akselilla muuttuu  harmonisen lain mukaan samalla taajuudella, eri amplitudilla ja on \(\frac(\pi) edellä sekoitusvaihetta )(2)\) (Kuva 13.3 , b).

Selvittääksesi kiihtyvyyden riippuvuuden a x (t) etsi nopeusprojektin aikaderivaata:

\(~ a_x = \upsilon_x" = -\omega^2 A \cos \omega t = \omega^2 \cos(\omega t + \pi),\)

missä \(~\omega^2 A = |a_x|_m\) on kiihtyvyyden projektion amplitudi akselille X.

Harmonisille värähtelyille projektio kiihtyvyys ennen vaihesiirtoa k:lla (kuva 13.3, c).

Vastaavasti voit piirtää \(~x(t), \upsilon_x (t)\) ja \(~a_x(t),\), jos \(~x = A \sin \omega t\) komennolla \(\varphi_0 =0.\)

Ottaen huomioon, että \(A \cos \omega t = x\), kiihtyvyyden kaava voidaan kirjoittaa

\(~a_x = - \omega^2 x,\)

nuo. harmonisilla värähtelyillä kiihtyvyysprojektio on suoraan verrannollinen siirtymään ja vastakkainen etumerkillä, ts. kiihtyvyys suunnataan siirtymän vastakkaiseen suuntaan.

Joten kiihtyvyysprojektio on siirtymän toinen derivaatta ja x \u003d x "", niin tuloksena oleva suhde voidaan kirjoittaa seuraavasti:

\(~a_x + \omega^2 x = 0\) tai \(~x"" + \omega^2 x = 0.\)

Viimeistä tasa-arvoa kutsutaan harmonisten värähtelyjen yhtälö.

Fysikaalista järjestelmää, jossa harmonisia värähtelyjä voi esiintyä, kutsutaan harmoninen oskillaattori, ja harmonisten värähtelyjen yhtälö - harmoninen oskillaattoriyhtälö.

Kirjallisuus

Aksenovich L. A. Fysiikka lukiossa: teoria. Tehtävät. Testit: Proc. yleistä tarjoaville laitoksille. ympäristöt, koulutus / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsia i vykhavanne, 2004. - S. 368-370.

Muutoksia suuressa kuvataan käyttämällä sinin tai kosinin lakeja, jolloin tällaisia ​​värähtelyjä kutsutaan harmonisiksi. Tarkastellaan piiriä, joka koostuu kondensaattorista (joka oli ladattu ennen liittämistä piiriin) ja kelasta (kuva 1).

Kuva 1.

Harmoninen värähtelyyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)

missä $t$-aika; $q$ lataus, $q_0$-- maksimi latauksen poikkeama keskiarvosta (nolla) muutosten aikana; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- värähtelyvaihe; $(\alpha )_0$ - alkuvaihe; $(\omega )_0$ - syklinen taajuus. Jakson aikana vaihe muuttuu $2\pi $.

Tyyppiyhtälö:

harmonisten värähtelyjen yhtälö differentiaalimuodossa värähtelypiirille, joka ei sisällä aktiivista vastusta.

Kaikenlaiset jaksolliset värähtelyt voidaan esittää tarkasti harmonisten värähtelyjen summana, ns. harmonisena sarjana.

Kelasta ja kondensaattorista koostuvan piirin värähtelyjaksolle saadaan Thomsonin kaava:

Jos erotamme lausekkeen (1) ajan suhteen, saamme funktion $I(t)$ kaavan:

Kondensaattorin yli oleva jännite löytyy seuraavasti:

Kaavoista (5) ja (6) seuraa, että virran voimakkuus on $\frac(\pi )(2) edellä kondensaattorin jännitettä.

Harmoniset värähtelyt voidaan esittää sekä yhtälöiden, funktioiden että vektorikaavioiden muodossa.

Yhtälö (1) edustaa vapaita vaimentamattomia värähtelyjä.

Vaimennettu värähtelyyhtälö

Varauksen muutosta ($q$) piirin kondensaattorilevyissä, kun otetaan huomioon vastus (kuva 2), kuvataan muotoa olevalla differentiaaliyhtälöllä:

Kuva 2.

Jos vastus, joka on osa piiriä $R \

missä $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ on syklinen värähtelytaajuus. $\beta =\frac(R)(2L)-$vaimennuskerroin. Vaimennettujen värähtelyjen amplitudi ilmaistaan ​​seuraavasti:

Siinä tapauksessa, että $t=0$ kondensaattorin varaus on yhtä suuri kuin $q=q_0$, piirissä ei ole virtaa, niin $A_0$ voidaan kirjoittaa:

Värähtelyvaihe alkuhetkellä ($(\alpha )_0$) on yhtä suuri kuin:

Kun $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ varauksen muutos ei ole värähtelyä, kondensaattorin purkausta kutsutaan jaksolliseksi.

Esimerkki 1

Harjoittele: Veloituksen enimmäisarvo on $q_0=10\ C$. Se muuttuu harmonisesti jakson $T= 5 c$ kanssa. Määritä suurin mahdollinen virta.

Ratkaisu:

Ongelman ratkaisun perustana käytämme:

Virran voimakkuuden selvittämiseksi lauseke (1.1) on erotettava ajan suhteen:

jossa virran voimakkuuden maksimi (amplitudiarvo) on lauseke:

Tehtävän ehdoista tiedämme varauksen amplitudiarvon ($q_0=10\ Kl$). Sinun pitäisi löytää värähtelyjen luonnollinen taajuus. Ilmaistaan ​​se näin:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]

Tässä tapauksessa haluttu arvo löydetään käyttämällä yhtälöitä (1.3) ja (1.2) seuraavasti:

Koska kaikki suuret ongelman olosuhteissa esitetään SI-järjestelmässä, suoritamme laskelmat:

Vastaus:$I_0=12,56\ A.$

Esimerkki 2

Harjoittele: Mikä on värähtelyjakso piirissä, joka sisältää induktorin $L=1$H ja kondensaattorin, jos virta piirissä muuttuu lain mukaan: $I\left(t\right)=-0.1sin20\pi t \ \left(A \right)?$ Mikä on kondensaattorin kapasitanssi?

Ratkaisu:

Virran värähtelyjen yhtälöstä, joka on annettu ongelman olosuhteissa:

näemme, että $(\omega )_0=20\pi $, joten voimme laskea värähtelyjakson kaavalla:

\ \

Thomsonin kaavan mukaan piirille, joka sisältää induktorin ja kondensaattorin, meillä on:

Lasketaan kapasiteetti:

Vastaus:$T=0,1$ c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$