INTRODUCCIÓN

En todo momento, las matemáticas han sido y siguen siendo una de las principales materias de la escuela, porque el conocimiento matemático es necesario para todas las personas. No todos los estudiantes, mientras estudian en la escuela, saben qué profesión elegirán en el futuro, pero todos entienden que las matemáticas son necesarias para resolver muchos problemas de la vida: cálculos en una tienda, pago de utilidades Publicas, cálculo Presupuesto familiar etc. Además, todos los escolares deben presentarse a exámenes en 9º y 11º grado, y para ello, estudiando desde 1º grado, es necesario dominar bien las matemáticas y, sobre todo, aprender a contar.

¿Es posible imaginar un mundo sin números? Sin números no puedes realizar una compra, no puedes saber la hora, no puedes marcar un número de teléfono. Y naves espaciales, láseres y todos los demás. avances tecnicos?! Serían simplemente imposibles si no fuera por la ciencia de los números.

Dos elementos dominan las matemáticas: los números y las figuras con su infinita variedad de propiedades y relaciones. En mi trabajo se da preferencia a los elementos de los números y a las acciones con ellos.

Ahora, en la etapa de rápido desarrollo de la informática y la tecnología informática, los escolares modernos no quieren preocuparse por la aritmética mental. Así que decidíMuestre no solo que el proceso de realizar una acción en sí puede ser importante, sino también una actividad interesante.

Objetivo: Estudiar técnicas de conteo rápido, mostrar la necesidad de su uso para simplificar los cálculos.

De acuerdo con el objetivo, determinamos tareas:

Investigar si los escolares utilizan técnicas de conteo rápido.
Aprenda técnicas de conteo rápido que puede utilizar para facilitar los cálculos.
Cree una nota para que los estudiantes de los grados 5 y 6 utilicen técnicas de conteo rápido.

Objeto de estudio:Técnicas de conteo rápido.

Tema de estudio: proceso de cálculo.

Hipótesis de la investigación:Si demuestra que el uso de técnicas de conteo rápido facilita los cálculos, entonces puede asegurarse de que la cultura informática de los estudiantes mejore y les resulte más fácil resolver problemas prácticos.

Para la realización del trabajo se utilizó lo siguiente: técnicas y métodos : encuesta (cuestionamiento), análisis (procesamiento de datos estadísticos), trabajo con fuentes de información, trabajo practico, observaciones.

Este trabajo se relaciona coninvestigación aplicada, porque muestra el papel del uso de técnicas de conteo rápido para actividades prácticas.

Mientras trabajaba en el informeutilizó los siguientes métodos:

buscar método que utiliza datos científicos y literatura educativa, además de buscar la información necesaria en Internet;
práctico método para realizar cálculos utilizando algoritmos de conteo no estándar;
análisis datos obtenidos durante el estudio.

Relevancia Mi investigación es que en nuestro tiempo las calculadoras ayudan cada vez más a los estudiantes, y eso es todo. gran cantidad los estudiantes no pueden contar oralmente. Pero el estudio de las matemáticas se desarrolla pensamiento lógico, memoria, flexibilidad mental, acostumbra a la persona a la precisión, a la capacidad de ver lo principal, proporciona la información necesaria para la comprensión. tareas complejas que surgen en diversos campos de actividad hombre moderno. Por eso, en mi trabajo quiero mostrar cómo se puede contar de forma rápida y correcta y que el proceso de realizar acciones puede ser no solo una actividad útil, sino también interesante. Es el uso de técnicas no estándar en la formación de habilidades computacionales lo que aumenta el interés de los estudiantes por las matemáticas y promueve el desarrollo de habilidades matemáticas.

Detrás acciones simples La suma, resta, multiplicación y división esconden los secretos de la historia de las matemáticas. Escuchar accidentalmente las palabras “multiplicación por celosía”, “método de ajedrez” me intrigó. Quería conocer estos y otros métodos de cálculo, y también compararlos con los actuales.

¿Puedes contar? La pregunta quizás resulte incluso ofensiva para una persona mayor de tres años. ¿Quién no puede contar? Todos responderán que esto no requiere un arte especial. Y tendrá razón. Pero la pregunta es: ¿cómo contar? Puedes contar con una calculadora, puedes contar en una columna de un cuaderno o puedes contar oralmente usando técnicas de conteo rápido. Cuento muy rápido de forma oral, casi nunca resuelvo en columnas o por escrito, todo porque conozco y uso varias técnicas de conteo rápido. Pocos de mis compañeros pueden contar rápidamente de forma oral, y quería saber si conocían las técnicas de conteo rápido, y si no, ayudarlos a dominar estas técnicas, para ello crearles una nota con técnicas de conteo rápido.

Para saber si los escolares modernos conocen otras formas de realizar operaciones aritméticas, además de la multiplicación, la suma, la resta por columna y la división por esquina, y si les gustaría aprender nuevas formas, se realizó una encuesta de prueba.

Para empezar, realicé una encuesta en el sexto grado de nuestra escuela. les pregunté a los chicos preguntas simples. ¿Por qué necesitas poder contar? ¿Qué materias escolares requieren un conteo correcto? ¿Conocen técnicas de conteo rápido? ¿Te gustaría aprender a contar rápidamente de forma oral? (Apéndice I).

61 personas participaron en la encuesta. Después de analizar los resultados, concluí que la mayoría de los estudiantes creen que la capacidad de contar es útil en la vida y necesaria en la escuela, especialmente cuando se estudian matemáticas, física, química, informática y tecnología. Varios estudiantes conocen técnicas de conteo rápido y a casi todos les gustaría aprender a contar rápidamente. (Los resultados de la encuesta se reflejan en los diagramas) (Apéndice II).

Después de realizar el procesamiento estadístico de los datos, llegué a la conclusión de que no todos los estudiantes conocen las técnicas de conteo rápido, por lo que es necesario hacer recordatorios con técnicas de conteo rápido a los estudiantes de los grados 5-6 para poder utilizarlas al realizar cálculos.

Resultados de la encuesta:

Pregunta	5to grado	6to grado	Total
	Sí	No	no lo sé	Sí	No	no lo sé



¿Te gustaría saber?

Cuadro resumen de la encuesta:

Pregunta	5to, 6to grados
	Sí	No	no lo sé
¿Necesita la gente moderna poder realizar operaciones aritméticas con números naturales?
¿Sabes multiplicar, sumar, restar números en una columna y dividir usando una esquina?
¿Conoces otras formas de hacer aritmética?
¿Te gustaría saber?

Con base en los resultados de la encuesta, podemos concluir que en la mayoría de los casos, los escolares modernos no conocen otras formas de realizar operaciones distintas a la multiplicación, suma, resta por columna y división por "esquina", ya que rara vez recurren a material ubicado afuera. currículum escolar.

Capítulo I. HISTORIAL DE LA CUENTA

1. CÓMO SURGEN LOS NÚMEROS

La gente aprendió a contar objetos en la antigua Edad de Piedra, el Paleolítico, hace decenas de miles de años. ¿Cómo pasó esto? Al principio, la gente sólo comparaba a simple vista diferentes cantidades de objetos idénticos. Podían determinar cuál de dos montones tenía más fruta, qué manada tenía más ciervos, etc. Si una tribu intercambiaba pescado capturado por cuchillos de piedra hechos por personas de otra tribu, no era necesario contar cuántos peces y cuántos cuchillos traían. Bastaba colocar un cuchillo al lado de cada pez para que se produjera el intercambio entre las tribus.

Para practicar con éxito agricultura, se necesitaban conocimientos de aritmética. Sin contar los días, era difícil determinar cuándo sembrar los campos, cuándo empezar a regar y cuándo esperar descendencia de los animales. Era necesario saber cuántas ovejas había en el rebaño, cuántos sacos de grano estaban colocados en los graneros.
Y hace más de ocho mil años, los antiguos pastores comenzaron a hacer tazas de arcilla, una para cada oveja. Para saber si al menos una oveja había desaparecido durante el día, el pastor apartaba una taza cada vez que entraba otro animal al corral. Y solo después de asegurarse de que habían regresado tantas ovejas como círculos, se fue tranquilamente a la cama. Pero en su rebaño no sólo había ovejas: pastaba vacas, cabras y burros. Por eso, tuvimos que hacer otras figuras de arcilla. Y los agricultores llevaban registros utilizando figuras de arcilla. cosechado, observando cuántos sacos de grano se metieron en el granero, cuántas tinajas de aceite se exprimieron de las aceitunas, cuántos trozos de lino se tejieron. Si la oveja daba a luz, el pastor añadía otras nuevas a los círculos, y si algunas de las ovejas se utilizaban para carne, había que eliminar varios círculos. Entonces, sin saber aún contar, los antiguos practicaban la aritmética.

Luego aparecieron los números en el lenguaje humano y la gente pudo nombrar el número de objetos, animales y días. Por lo general, había pocos números de este tipo. Por ejemplo, la gente del río Murray en Australia tenía dos números primos: enea (1) y petchewal (2). Otros números los expresaban con números compuestos: 3 = “petcheval-enea”, 4 “petcheval-petcheval”, etc. Otra tribu australiana, los Kamiloroi, tenían números simples mal (1), Bulan (2), Guliba (3). Y aquí se obtuvieron otros números sumando otros más pequeños: 4 = “Bulan-Bulan”, 5 = “Bulan-Guliba”, 6 = “Guliba-Guliba”, etc.

Para muchos pueblos, el nombre del número dependía de los elementos que se contaban. Si los habitantes de las Islas Fiji contaban los barcos, entonces el número 10 se llamaba “bolo”; si contaban cocos, al número 10 se le llamaba "karo". Los nivjs que vivían en Sajalín, a orillas del Amur, hicieron exactamente lo mismo. En el siglo XIX llamaban al mismo número. en diferentes palabras, si contabas personas, peces, barcos, redes, estrellas, palos.

Todavía utilizamos varios números indefinidos que significan "muchos": "multitud", "rebaño", "rebaño", "montón", "grupo" y otros.

Con el desarrollo de la producción y el intercambio comercial, la gente empezó a comprender mejor qué tienen en común tres barcos, tres hachas, diez flechas y diez nueces. Las tribus a menudo intercambiaban "artículo por artículo"; por ejemplo, cambiaron 5 raíces comestibles por 5 peces. Quedó claro que 5 es igual tanto para raíces como para peces; Esto significa que puedes llamarlo en una palabra.

Otros pueblos utilizaron métodos similares de contar. Así surgieron las numeraciones basadas en contar de cinco en cinco, de diez en diez y de veinte en veinte.

Hasta ahora he hablado del conteo mental. ¿Cómo se escribieron los números? Al principio, incluso antes de la aparición de la escritura, utilizaban muescas en palos, muescas en huesos y nudos en cuerdas. El hueso de lobo encontrado en Dolní Vestonice (Checoslovaquia) tenía 55 incisiones realizadas hace más de 25.000 años.

Cuando apareció la escritura, aparecieron los números para registrar números. Al principio, los números parecían muescas en palos: en Egipto y Babilonia, en Etruria y Fenice, en India y China, los números pequeños se escribían con palos o líneas. Por ejemplo, el número 5 se escribió con cinco palos. Los indios aztecas y mayas usaban puntos en lugar de palos. Luego aparecieron signos especiales para algunos números, como el 5 y el 10.

En ese momento, casi todas las numeraciones no eran posicionales, sino similares a la numeración romana. Sólo una numeración sexagesimal babilónica era posicional. Pero durante mucho tiempo no contenía ningún cero, ni tampoco una coma que separara la parte entera de la fraccionaria. Por lo tanto, el mismo número podría significar 1, 60 o 3600. El significado del número debía adivinarse según el significado del problema.

Varios siglos antes de la nueva era que inventaron. nueva manera registrar números, en los que las letras del alfabeto ordinario servían como números. Las primeras 9 letras denotaban los números decenas 10, 20,..., 90, y otras 9 letras denotaban centenas. Esta numeración alfabética se utilizó hasta el siglo XVII. Para distinguir las letras "reales" de los números, se colocó un guión encima de las letras-números (en Rusia, este guión se llamaba "título").

En todas estas numeraciones era muy difícil realizar operaciones aritméticas. Por lo tanto, la invención de la numeración posicional decimal por parte de los indios en el siglo VI se considera legítimamente uno de los mayores logros de la humanidad. La numeración india y los números indios se conocieron en Europa gracias a los árabes y, por lo general, se les llama árabe.

Al escribir fracciones también por mucho tiempo la parte entera se escribió en la nueva numeración decimal y la parte fraccionaria en sexagesimal. Pero a principios del siglo XV. El matemático y astrónomo de Samarcanda al-Kashi comenzó a utilizar fracciones decimales en sus cálculos.

Los números con los que trabajamos son números positivos y negativos. Pero resulta que estos no son todos los números que se utilizan en matemáticas y otras ciencias. Y podrás conocerlos sin esperas escuela secundaria, y mucho antes, si estudias la historia de la aparición de los números en matemáticas.

Capitulo dos. ANTIGUOS MÉTODOS DE CÁLCULO

2.1. MÉTODO DE MULTIPLICACIÓN CAMPESINO RUSO

En Rusia, hace varios siglos, estaba muy extendido entre los campesinos de algunas provincias un método que no requería el conocimiento de toda la tabla de multiplicar. Sólo tenías que saber multiplicar y dividir por 2. Este método se llamaba CAMPESINO (Existe la opinión de que proviene del egipcio).

Ejemplo: multiplicar 47 por 35,

escriba los números en una línea y dibuje una línea vertical entre ellos;
Dividiremos el número de la izquierda por 2 y multiplicaremos el número de la derecha por 2 (si surge un resto durante la división, descartamos el resto);
la división termina cuando aparece uno a la izquierda;
tacha aquellas líneas en las que haya números pares a la izquierda;35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645
Luego sumamos los números restantes a la derecha: este es el resultado.

2.2. MÉTODO "REJILLA"

En Bagdad vivió y trabajó el destacado matemático y astrónomo árabe Abu Abdalah Mohammed Ben Moussa al-Khorezmi. El científico trabajó en la Casa de la Sabiduría, donde había una biblioteca y un observatorio, aquí trabajaron casi todos los principales científicos árabes.

Hay muy poca información sobre la vida y actividades de Muhammad al-Khorezmi. Sólo dos de sus obras han sobrevivido: sobre álgebra y aritmética. El último de estos libros ofrece cuatro reglas de operaciones aritméticas, casi las mismas que se utilizan en nuestro tiempo.


	1	3
	0	1

En su "El libro de la contabilidad india"el científico describió un método inventado en India antigua, y más tarde nombrado"EL MÉTODO DE LA RED". Este método es incluso más sencillo que el que se utiliza hoy en día.

Ejemplo: multiplica 25 y 63.

Dibujemos una tabla en la que haya dos celdas de largo y dos de ancho, y anotamos un número para el largo y otro para el ancho. En las celdas escribimos el resultado de multiplicar estos números, en su intersección separamos las decenas y las unidades con una diagonal. Sumamos los números resultantes en diagonal y el resultado resultante se puede leer a lo largo de la flecha (hacia abajo y hacia la derecha).

He considerado un ejemplo simple; sin embargo, este método se puede utilizar para multiplicar cualquier número de varios dígitos.

Veamos otro ejemplo: multiplica 987 y 12:

dibujar un rectángulo de 3 por 2 (según el número de decimales de cada factor);
luego dividimos las celdas cuadradas en diagonal;
En la parte superior de la tabla escribimos el número 987;
a la izquierda de la tabla está el número 12;
Ahora en cada cuadrado ingresaremos el producto de los números ubicados en la misma línea y en la misma columna con este cuadrado, decenas debajo de la diagonal, unidades arriba;
después de completar todos los triángulos, los números que contienen se suman a lo largo de cada diagonal en el lado derecho;
El resultado se lee a lo largo de la flecha.

Este algoritmo para multiplicar dos números naturales estuvo muy extendido en la Edad Media en Oriente e Italia.

Me gustaría señalar el inconveniente de este método en la laboriosidad de preparar una mesa rectangular, aunque el proceso de cálculo en sí es interesante y completar la tabla parece un juego.

2.3. MULTIPLICACIÓN EN TUS DEDOS

Los antiguos egipcios eran muy religiosos y creían que el alma del difunto en el más allá era sometida a una prueba de contar los dedos. Esto ya dice mucho sobre la importancia que los antiguos daban a este método de multiplicar números naturales (se llamabaCUENTA DE DEDO).

Multiplicaban con los dedos números de un solo dígito del 6 al 9. Para ello, estiraban en una mano tantos dedos como el primer factor excedía el número 5, y en la segunda hacían lo mismo con el segundo factor. Los dedos restantes estaban doblados. Después de esto, tomaron tantas decenas como la longitud de los dedos de ambas manos, y sumaron a este número el producto de los dedos doblados de la primera y la segunda mano.

Ejemplo: 8 ∙ 9 = 72

Más tarde, se mejoró el conteo de los dedos: aprendieron a mostrar números hasta 10.000 con los dedos.

Movimiento de los dedos - esta es otra forma de ayudar a tu memoria: usa tus dedos para recordar la tabla de multiplicar por 9. Poniendo ambas manos una al lado de la otra sobre la mesa, numera los dedos de ambas manos en el siguiente orden: el primer dedo de la izquierda será designado 1, el segundo detrás de él se designará 2, luego 3 , 4... hasta el décimo dedo, lo que significa 10. Si necesita multiplicar cualquiera de los primeros nueve números por 9, entonces haga esto, sin moverse con las manos de la mesa, debe levantar el dedo cuyo número significa el número por el cual se multiplica nueve; luego, el número de dedos que se encuentran a la izquierda del dedo levantado determina el número de decenas, y el número de dedos que se encuentran a la derecha del dedo levantado indica el número de unidades del producto resultante (compruébelo usted mismo).

Entonces, los métodos antiguos de multiplicación que examinamos muestran que el algoritmo utilizado en la escuela para multiplicar números naturales no es el único y no siempre se conoció.

Sin embargo, es bastante rápido y cómodo.

Capítulo III. CONTEO ORAL – GIMNASIA DE LA MENTE

3.1. DIFERENTES FORMAS DE SUMAR Y RESTAR

SUMA

La regla básica para hacer sumas mentalmente es:

Para sumar 9 a un número, súmale 10 y resta 1; para sumar 8, suma 10 y resta 2; para sumar 7, sumar 10 y restar 3, etc. Por ejemplo:

56+8=56+10-2=64;

65+9=65+10-1=74.

SUMAR NÚMEROS DE DOS DÍGITOS EN LA MENTE

Si el dígito de las unidades en el número que se suma es mayor que 5, entonces el número debe redondearse hacia arriba y luego el error de redondeo debe restarse de la cantidad resultante. Si el número de unidades es menor, primero sumamos las decenas y luego las unidades. Por ejemplo:

34+48=34+50-2=82;

27+31=27+30+1=58.

SUMAR NÚMEROS DE TRES DÍGITOS

Sumamos de izquierda a derecha, es decir, primero centenas, luego decenas y luego unidades. Por ejemplo:

359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

456+298=400+200+50+90+6+8=754.

SUSTRACCIÓN

Para restar dos números mentalmente, debes redondear el sustraendo y luego ajustar la respuesta que obtengas.

56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

RESTAR UN NÚMERO MENOS DE 100 DE UN NÚMERO MAYOR DE 100

Si el sustraendo es menor que 100 y el minuendo es mayor que 100 pero menor que 200, existe una manera fácil de calcular la diferencia mentalmente. 134-76=58

76 es 24 menos que 100. 134 es 34 más que 100. Suma 24 a 34 y obtén la respuesta: 58.

152-88=64

88 es 12 menos que 100 y 152 es 52 más que 100, lo que significa

152-88=12+52=64

3.2. DIFERENTES FORMAS DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

Habiendo estudiado la literatura sobre este tema, hice una selección entre una variedad de técnicas de conteo rápido, elegí técnicas de multiplicación y división que son fáciles de entender y aplicar para cualquier estudiante. Incluí estas técnicas en una nota (Apéndice III), que será útil para los estudiantes de 5.º a 6.º grado.

Multiplicar y dividir números por 4.

Para multiplicar un número por 4, debes multiplicarlo por 2 dos veces.

Por ejemplo:

26·4=(26·2)·2=52·2=104;

417·4=(417·2)·2=834·2=1668.

Para dividir un número entre 4, debes dividirlo entre 2 dos veces.

Por ejemplo:

324:4=(324:2):2=162:2=81.

Multiplicar y dividir números por 5.

Para multiplicar un número por 5, debes multiplicarlo por 10 y dividirlo por 2.

Por ejemplo:

236·5=(236·10):2=2360:2=1180.

Para dividir un número entre 5, debes multiplicar 2 y dividir entre 10, es decir Separe el último dígito con una coma.

Por ejemplo:

236:5=(236·2):10=472:10=47,2.

Multiplicar un número por 1,5.

Para multiplicar un número por 1,5, debes sumar la mitad al número original.

Por ejemplo: 34·1,5=34+17=51;

146·1,5=146+73=219.

Multiplicar un número por 9.

Para multiplicar un número por 9, debes sumarle 0 y restarle el número original.

Por ejemplo: 72·9=720-72=648.

Multiplicar por 25 un número divisible por 4.

Para multiplicar un número divisible por 4 por 25, debes dividirlo por 4 y multiplicar el número resultante por 100.

Por ejemplo: 124·25=(124:4)·100=31·100=3100.

Multiplicar un número de dos cifras por 11

Al multiplicar un número de dos dígitos por 11, debe ingresar la suma de estos dígitos entre el dígito de las unidades y el dígito de las decenas, y si la suma de los dígitos es mayor que 10, entonces se debe sumar uno al dígito más significativo. (primer dígito).

Por ejemplo:
23·11=253, porque 2+3=5, entonces entre 2 y 3 ponemos el número 5;
57·11=627, porque 5+7=12, ponemos el número 2 entre 5 y 7, y le sumamos 1 a 5, en lugar de 5 escribimos 6.

"Dobla los bordes, colócalos en el medio": estas palabras te ayudarán a recordar fácilmente este método multiplicando por 11.

Este método sólo es adecuado para multiplicar números de dos dígitos.

Multiplicar un número de dos cifras por 101.

Para multiplicar un número por 101, debes asignar este número a sí mismo.

Por ejemplo: 34·101 = 3434.

Expliquemos, 34·101 = 34·100+34·1=3400+34=3434.

Elevar al cuadrado un número de dos cifras terminado en 5.

Para elevar al cuadrado un número de dos dígitos que termina en 5, debes multiplicar el dígito de las decenas por el dígito mayor que uno y sumar el número 25 a la derecha del producto resultante.
Por ejemplo: 35 2 =1225, es decir 3·4=12 y sumando 25 a 12, obtenemos 1225.

Elevar al cuadrado un número de dos cifras que comienza con 5.

Para elevar al cuadrado un número de dos dígitos que comienza con cinco, debes sumar el segundo dígito del número a 25 y sumar el cuadrado del segundo dígito a la derecha, y si el cuadrado del segundo dígito es un número de un solo dígito, entonces necesitas agregar el dígito 0 delante de él.

Por ejemplo:
52 2 = 2704, porque 25+2=28 y 2 2 =04;
58 2 = 3364, porque 25+8=33 y 8 2 =64.

3.3. JUEGOS

Adivinando el número resultante.

Piensa en un número. Súmale 11; multiplica la cantidad resultante por 2; restar 20 de este producto; multiplica la diferencia resultante por 5 y resta del nuevo producto un número que sea 10 veces mayor que el número que tienes en mente.Supongo: tienes 10. ¿Verdad?
Piensa en un número. Triplicarlo. Reste 1 del resultado. Multiplique el resultado por 5. Sume 20 al resultado. Divida el resultado entre 15. Reste el valor deseado del resultado obtenido.Tienes 1.
Piensa en un número. Multiplícalo por 6. Resta 3. Multiplícalo por 2. Suma 26. Resta el doble del valor deseado. Divide entre 10. Resta lo que pretendías.Tienes 2.
Piensa en un número. Triplicarlo. Resta 2. Multiplica por 5. Suma 5. Divide por 5. Suma 1. Divide según lo previsto.Tienes 3.
Piensa en un número, duplícalo. Suma 3. Multiplica por 4. Resta 12. Divide por lo que pretendías.Tienes 8.

Adivinar los números previstos.

Invita a tus amigos a pensar en cualquier número. Deje que todos sumen 5 al número previsto.
Deje que la cantidad resultante se multiplique por 3.
Déjele restar 7 del producto.
Que reste otros 8 al resultado obtenido.
Que todos te entreguen la hoja con el resultado final. Al mirar la hoja de papel, inmediatamente les dices a todos qué número tienen en mente.

(Para adivinar el número deseado, divida el resultado escrito en una hoja de papel o que le dijeron oralmente entre 3).

CONCLUSIÓN

¡Hemos entrado en un nuevo milenio! Grandes descubrimientos y logros de la humanidad. Sabemos mucho, podemos hacer mucho. Parece algo sobrenatural que con ayuda de números y fórmulas se pueda calcular el vuelo astronave, la “situación económica” del país, el clima para “mañana”, describen el sonido de las notas de la melodía. conocemos el dicho matemático griego antiguo, filósofo que vivió en el siglo IV a.C. – Pitágoras – “¡Todo es un número!”

Describir métodos antiguos de cálculo y técnicas modernas Con un cálculo rápido, traté de mostrar que tanto en el pasado como en el futuro, no se puede prescindir de las matemáticas, una ciencia creada por la mente humana.

El estudio de los métodos de cálculo antiguos demostró que estas operaciones aritméticas eran difíciles y complejas debido a la variedad de métodos y su engorrosa ejecución.

Los métodos modernos de informática son simples y accesibles para todos.

Cuando conocí la literatura científica, descubrí métodos de cálculo más rápidos y fiables.

Es posible que muchas personas no puedan realizar estos u otros cálculos de forma rápida e inmediata la primera vez. Que no sea posible utilizar en un principio la técnica mostrada en la obra. Ningún problema. Se necesita un entrenamiento computacional constante. De lección en lección, de año en año. Le ayudará a adquirir útiles habilidades de aritmética mental.

El científico alemán Carl Gauss fue llamado el rey de los matemáticos. Su talento matemático se manifestó ya en la infancia. Un día en el colegio (Gauss tenía 10 años), el profesor pidió a la clase que sumaran todos los números del 1 al 100. Mientras dictaba la tarea, Gauss ya tenía lista una respuesta. sobre su tablero de pizarra estaba escrito: 101·50=5050. ¿Cómo se dio cuenta? Es muy simple: usó una técnica de conteo rápido, sumó el primer número con el último, el segundo con el penúltimo, etc. Sólo hay 50 sumas de este tipo y cada una equivale a 101, por lo que pudo dar la respuesta correcta casi al instante.

1+2+…+50+51+...+99+100=(1+100)+(2+99)++…+(50+51)=101·50=5050. Este ejemplo muestra mejor que casi todos los escolares pueden contar rápida y correctamente de forma oral, para ello basta con conocer las técnicas de conteo rápido.

Recopilé los resultados de mi trabajo en una nota que ofreceré a todos mis compañeros y también la publicaré en el stand temático de la escuela “¡Esto es interesante!” Es posible que no todos puedan realizar cálculos de forma rápida e inmediata utilizando estas técnicas la primera vez, incluso si al principio no logran utilizar la técnica que se muestra en la nota, está bien, solo necesita un entrenamiento computacional constante. Le ayudará a adquirir útiles habilidades de conteo rápido.

Luego del procesamiento estadístico de los datos se obtuvo lo siguiente resultados:

Es necesario saber contar porque será útil en la vida, según el 93% de los estudiantes, para tener buenos resultados en la escuela - 72%, para decidir rápidamente - 61%, para saber leer y escribir - 34 % y no necesariamente poder contar: solo el 3%.
Según el 100% de los estudiantes, se necesitan buenas habilidades numéricas al estudiar matemáticas, así como al estudiar física (90%), química (80%), informática (44%) y tecnología (36%).
El 16% (muchas técnicas), el 25% (varias técnicas) conocen técnicas de conteo rápido; el 59% de los estudiantes no conoce técnicas de conteo rápido.
El 21% de los estudiantes utiliza técnicas de conteo rápido, el 15% las utiliza a veces.
Al 93% de los estudiantes le gustaría aprender técnicas de conteo rápido.

Conclusiones:

El conocimiento de las técnicas de conteo rápido le permite simplificar los cálculos, ahorrar tiempo y desarrollar el pensamiento lógico y la flexibilidad mental.
Prácticamente no existen técnicas de conteo rápido en los libros de texto escolares, por lo que el resultado de este trabajo, un recordatorio para el conteo rápido, será muy útil para los estudiantes de 5º a 6º grado.

LISTA DE REFERENCIAS UTILIZADAS

Vantsyan A.G. Matemáticas: Libro de texto para 5to grado. - Samara: Editorial "Fedorov", 1999.
Kordemsky B.A., Akhadov A.A. mundo asombroso números: Libro de estudiantes, - M. Educación, 1986.
Minskij E.M. “Del juego al conocimiento”, M., “Ilustración”, 1982.
Svechnikov A.A. Números, cifras, problemas. M., Educación, 1977. Sí No No lo sé https://accounts.google.com

23 de diciembre de 2013 a las 15:10

Aritmética mental efectiva o ejercicio cerebral.

Matemáticas

Este artículo está inspirado en el tema y tiene como objetivo difundir las técnicas de S.A. Rachinsky para el conteo oral.
Rachinsky fue un maestro maravilloso que enseñó en escuelas rurales en el siglo XIX y mostró experiencia propia que es posible desarrollar la habilidad del cálculo mental rápido. Para sus alumnos, no fue particularmente difícil calcular mentalmente un ejemplo de este tipo:

Usando números redondos

Una de las técnicas de conteo mental más comunes es que cualquier número se puede representar como una suma o diferencia de números, uno o más de los cuales son “redondos”:

Porque en 10 , 100 , 1000 etc., es más rápido multiplicar números redondos; en tu mente necesitas reducir todo a operaciones tan simples como 18x100 o 36x10. En consecuencia, es más fácil sumar "dividiendo" un número redondo y luego agregando una "cola": 1800 + 200 + 190 .
Otro ejemplo:
31 x 29 = (30 + 1) x (30 - 1) = 30 x 30 - 1 x 1 = 900 - 1 = 899.

Simplifiquemos la multiplicación por división.

Al contar mentalmente, puede resultar más conveniente operar con un dividendo y un divisor que con un número entero (por ejemplo, 5 representar en la forma 10:2 , A 50 como 100:2 ):
68 x 50 = (68 x 100): 2 = 6800: 2 = 3400; 3400: 50 = (3400 x 2): 100 = 6800: 100 = 68.
Multiplicar o dividir por se realiza de la misma forma. 25 , después de todo 25 = 100:4 . Por ejemplo,
600: 25 = (600: 100) x 4 = 6 x 4 = 24; 24 x 25 = (24 x 100): 4 = 2400: 4 = 600.
Ahora no parece imposible multiplicarse en tu cabeza. 625 en 53 :
625 x 53 = 625 x 50 + 625 x 3 = (625 x 100): 2 + 600 x 3 + 25 x 3 = (625 x 100): 2 + 1800 + (20 + 5) x 3 = = (60000 + 2500): 2 + 1800 + 60 + 15 = 30000 + 1250 + 1800 + 50 + 25 = 33000 + 50 + 50 + 25 = 33125.

Cuadrar un número de dos cifras

Resulta que para elevar simplemente al cuadrado cualquier número de dos dígitos, basta con recordar los cuadrados de todos los números de 1 antes 25 . Afortunadamente, cuadra 10 ya lo sabemos por la tabla de multiplicar. Los cuadrados restantes se pueden ver en la siguiente tabla:

La técnica de Rachinsky es la siguiente. Para encontrar el cuadrado de cualquier número de dos dígitos, necesitas la diferencia entre este número y 25 multiplicar por 100 y al producto resultante suma el cuadrado del complemento del número dado a 50 o el cuadrado de su exceso sobre 50 -Yu. Por ejemplo,
37^2 = 12 x 100 + 13^2 = 1200 + 169 = 1369; 84^2 = 59 x 100 + 34^2 = 5900 + 9 x 100 + 16^2 = 6800 + 256 = 7056;
En general ( METRO- número de dos dígitos):

Intentemos aplicar este truco al elevar al cuadrado un número de tres dígitos, primero dividiéndolo en términos más pequeños:
195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 70 x 100 + 45^2 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + + 7000 + 20 x 100 + 5^2 = 17000 + 19000 + 2000 + 25 = 38025.
Mmmm, no diría que sea mucho más fácil que montarlo en una columna, pero quizás con el tiempo puedas acostumbrarte.
Y, por supuesto, debes empezar a entrenar elevando al cuadrado números de dos cifras, y a partir de ahí incluso podrás llegar a desarmar en tu mente.

Multiplicar números de dos dígitos

Esta interesante técnica fue inventada por un alumno de Rachinsky de 12 años y es una de las opciones para sumar a un número redondo.
Sean dados dos números de dos cifras cuya suma de unidades es 10:
M = 10m + n, K = 10a + 10 - n.
Al compilar su producto, obtenemos:

Por ejemplo, calculemos 77 x 13. La suma de las unidades de estos números es igual a 10 , porque 7 + 3 = 10 . Primero ponemos el número menor antes del mayor: 77 x 13 = 13 x 77.
Para obtener números redondos, tomamos tres unidades de 13 y agregarlos a 77 . Ahora multipliquemos los nuevos números. 80x10, y al resultado le sumamos el producto del seleccionado 3 unidades por la diferencia del número anterior 77 y un nuevo numero 10 :
13 x 77 = 10 x 80 + 3 x (77 - 10) = 800 + 3 x 67 = 800 + 3 x (60 + 7) = 800 + 3 x 60 + 3 x 7 = 800 + 180 + 21 = 800 + 201 = 1001.
Esta técnica tiene caso especial: todo se vuelve mucho más sencillo cuando dos factores tienen el mismo número de decenas. En este caso, el número de decenas se multiplica por el número que le sigue y el producto de las unidades de estos números se suma al resultado resultante. Veamos qué tan elegante es esta técnica con un ejemplo.
48 x 42. numero de decenas 4 , siguiente número: 5 ; 4 x 5 = 20 . Producto de unidades: 8 x 2 = 16 . Entonces 48 x 42 = 2016.
99 x 91. Número de decenas: 9 , siguiente número: 10 ; 9 x 10 = 90 . Producto de unidades: 9 x 1 = 09 . Entonces 99 x 91 = 9009.
Sí, es decir, multiplicar. 95 x 95, solo cuenta 9 x 10 = 90 Y 5 x 5 = 25 y la respuesta está lista:
95 x 95 = 9025.
Entonces el ejemplo anterior se puede calcular un poco más sencillo:
195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 9025 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + 9000 + 25 = 10000 + 19000 + 1000 + 8000 + 25 = 38025.

En lugar de una conclusión

Al parecer, ¿por qué poder contar mentalmente en el siglo XXI, cuando simplemente puedes dar un comando de voz a tu teléfono inteligente? Pero si piensas en lo que le sucederá a la humanidad si no sólo pone trabajo físico, ¿pero también alguno mental? ¿No es degradante? Incluso si no se considera la aritmética mental como un fin en sí misma, es muy adecuada para entrenar la mente.

Referencias:
“1001 problemas de aritmética mental en la escuela de S.A. Rachinsky".

Métodos de enseñanza en el último siglo de profesiones como economista, vendedor, experto en comercialización, profesor de aritmética. escuela primaria, borrados de la memoria de la sociedad como reliquias del pasado soviético. Pero tenían muchas cosas útiles. En particular, los ejercicios que activaban la actividad cerebral desarrollaron el pensamiento lógico, utilizando ambos hemisferios del cerebro para encontrar soluciones optimas problemas matemáticos y poder hacer cálculos mentales rápidamente.

Elementos individuales Las técnicas formaron la base de los cursos modernos de matemáticas mentales y programas de entrenamiento para el cálculo mental rápido. Hoy en día es un lujo poder contar rápidamente en la cabeza, pero en el pasado lejano era una condición necesaria adaptación social y supervivencia.

¿Por qué necesitas poder contar mentalmente?

El cerebro humano es un órgano que necesita un estrés constante, de lo contrario se activa el mecanismo de atrofia.

Otra característica es que todos los procesos neuronales del cerebro ocurren simultáneamente y están interconectados. Así, la actividad física y mental insuficiente, el predominio de la carga estática, provocan distracción, falta de atención e irritabilidad. En el peor de los casos, puede desarrollarse. estado estresante, cuyas consecuencias son difíciles de predecir.

Conocimiento del mundo circundante y las leyes. vida publica, llega al niño a medida que crece y aprende, y las matemáticas juegan un papel importante en esto, ya que es ella quien le enseña a construir conexiones lógicas, algoritmos y paralelos.

Los psicólogos y profesores experimentados identifican diferentes razones por las que un niño necesita aprender a contar mentalmente:

Mayor concentración y observación.
Entrenamiento de la memoria a corto plazo.
Activación de los procesos de pensamiento y desarrollo. discurso competente.
Capacidad de pensar de forma variable y abstracta.
Entrenar la capacidad de reconocer patrones y analogías.

Técnicas y ejercicios de conteo mental para adultos.

La gama de tareas y problemas que un adulto puede resolver es mucho más amplia que la de un niño. En numerosas profesiones y en la vida cotidiana, las personas tienen que enfrentarse a problemas matemáticos cien veces al día todos los días:

¿Cuánta ganancia me traerá esto?
¿Me defraudaron en la tienda?
¿El revendedor infló el margen de beneficio de los productos comprados?
Es más barato pedir un préstamo mensualidad por ciento o una vez cada tres meses.
Qué es mejor: un salario por hora de 150 rublos o un salario mensual de 18.000 rublos.

La lista continúa, pero el hecho de la necesidad de habilidades de cálculo mental es innegable.

Etapa preparatoria: conciencia de la necesidad de cálculo mental.

Matemática mental y cualquier otra técnica diseñada para enseñar a adultos y niños a hacer cálculo mental en casa de forma más rápida y eficaz.

Su única diferencia es el ámbito de aplicación del conocimiento. Los desarrolladores de cursos de MM intentan seleccionar tareas para adultos de tal manera que tengan demanda en el trabajo.

☞ Ejemplo:

Tiene un contrato de futuros con fecha de vencimiento el 1 de enero de 2019 y se propuso calcular en qué día de la semana caerá este evento (de repente viernes). Todas las operaciones se realizan con los dos últimos dígitos del año, en nuestro caso es 19. Primero hay que sumar un cuarto al 19, esto se puede hacer mediante una simple división: 19:2 = 8,5, luego 8,5:2 = 4.25. Descartamos los números después del punto decimal. Sumamos: 19 + 4 = 23. El día de la semana se determina simplemente: del número resultante es necesario restar el producto más cercano a él con el número 7. En nuestro caso, esto es 7 * 3 = 21. Por lo tanto , 23 – 21 = 2. La fecha de vencimiento de los futuros es el segundo día o martes.

Es fácil comprobarlo mirando el calendario, pero si no lo tienes a mano, esta técnica puede resultarte útil y te hará destacar ante los demás.

Historia en vídeo

Técnicas para sumar, restar, multiplicar y dividir rápidamente diferentes números

Ejemplos con diferentes grados de dificultad requieren diferentes cantidades de tiempo, aunque con la práctica constante la cantidad de esfuerzo requerido disminuye.

La suma y la resta en matemáticas mentales tienden a simplificarse. Las tareas complejas y globales se dividen en otras más pequeñas y simples. Números grandes están redondeados.

☞ Ejemplo de suma:

17 996 + 2676 + 3592 = 18 000 + 3600 + 2680 – 4 – 8 — 4 = 21600 + 2000 + 600 + 80 – 10 – 6 = 23600 + 600 + 70 – 6 = 24200 + 70 – 6 = 24270 – 6 = 24264.

Al principio te resultará complicado mantener una cadena tan larga en tu cabeza y tendrás que pronunciar mentalmente todos los números para no perderte, pero a medida que tu memoria a corto plazo mejore, el proceso será más fácil y claro.

☞ Ejemplo de resta:

Para la resta el proceso es idéntico. Primero restamos el número redondeado y luego sumamos el exceso. Ejemplo sencillo: 7635 – 5493 = 7635 – 5500 + 7 = 2135 + 7 = 2142

La multiplicación y la división tienen sus propios pequeños trucos, incluidos los mencionados anteriormente en el ejemplo de las fechas. En la práctica, los ejemplos más comunes son aquellos con porcentajes o proporciones. La esencia de su solución también se reduce a fragmentar y simplificar el problema. Algunas se pueden solucionar con un solo clic.

☞ Ejemplo de multiplicación y división:

Depositaste 36.000 USD. Es decir, al 11% y es necesario calcular cuántas ganancias generará. El secreto del cálculo es simple: el primer y el último dígito seguirán siendo los mismos y el medio será la suma de los dos números extremos. Entonces 36 * 11 = 3 (3+6) 6 = 396 o en nuestro caso 396/100% = 3960 USD. mi.

En la mayoría de los métodos mentales de multiplicación y división, una condición obligatoria y no alternativa es el conocimiento de la tabla de multiplicar hasta diez. Para los niños de escuela primaria, el programa de enseñanza de aritmética mental será diferente.

Los niños se enfrentan a tareas de otro orden. Además de la tediosa memorización, también se ven obligados a multiplicar y dividir manzanas y tomates, y si preguntas por qué se hace esto, el profesor en el mejor de los casos dirá "es necesario", y el niño perderá interés en todo el proceso en su conjunto.

Es imposible cambiar el sistema educativo en un mes, pero ayudar a un niño a desarrollar habilidades de cálculo mental es muy posible.

Etapa preparatoria

Explícale a tu hijo lenguaje accesible, por qué contar mentalmente no sólo es útil, sino también interesante. Si decide estudiarlo usted mismo, seleccione materiales ilustrados de diferentes fuentes y elabore un cronograma de lecciones conjuntas. No es necesario practicar todos los días y durante muchas horas. No servirá de nada. Basta con dedicarle veinte minutos tres veces por semana, pero al mismo tiempo, para que el niño se acostumbre.

Ejemplos de ejercicios para niños.

Comience con desafíos interesantes para ingresar al juego. Muestra cómo puedes obtener rápidamente una respuesta a un ejemplo difícil y vencer a todos tus compañeros. Desarrollar habilidades de liderazgo.

☞ Ejemplo:

Usemos la regla para multiplicar números de dos dígitos con el mismo primer y último dígito, sumando "10" para resolver el ejemplo "44*46". Multiplicamos el primer dígito por el que le sigue en orden. También multiplicamos los últimos números: 44 * 46 = (4*5 =20; 4*6 = 24) = 2024.

En la escuela ejemplos similares se deciden a la antigua usanza, en una columna. Se necesita mucho tiempo simplemente para reescribirlo todo. Conociendo la tabla de multiplicar del 4, este ejemplo lo puedes resolver mentalmente en un par de segundos.

¿Qué enseñan en la escuela y puedes creerlo todo?

La escuela clásica se muestra generalmente escéptica acerca de los métodos de conteo acelerado, citando el ejemplo de niños que, habiendo sido entrenados en los métodos de las matemáticas mentales, no se esfuerzan por pensar lógicamente en otras materias y quieren hacer todo rápidamente, como están acostumbrados. , y no de manera eficiente.

Pero esto se debe en gran medida a la inercia. programa educativo que con la situación real.

Información del vídeo

Técnicas de conteo rápido: magia accesible a todos

Para comprender qué papel juegan los números en nuestras vidas, realice un experimento sencillo. Intenta prescindir de ellos por un tiempo. Sin números, sin cálculos, sin medidas... Te encontrarás en un mundo extraño donde te sentirás absolutamente indefenso, atado de pies y manos. ¿Cómo llegar a tiempo a una reunión? ¿Puedes distinguir un autobús de otro? ¿Hacer una llamada telefónica? ¿Comprar pan, salchichas, té? ¿Cocinar sopa o patatas? Sin números, y por tanto sin contar, la vida es imposible. ¡Pero qué difícil es a veces esta ciencia! ¿Intenta multiplicar rápidamente 65 por 23? ¿No funciona? La mano misma alcanza un teléfono móvil con una calculadora. Mientras tanto, los campesinos rusos semianalfabetos hace 200 años hicieron esto con calma, utilizando solo la primera columna de la tabla de multiplicar: la multiplicación por dos. ¿No me crees? Pero en vano. Esta es la realidad.

"Computadora" de la Edad de Piedra

Incluso sin conocer los números, la gente ya intentaba contar. Si nuestros antepasados, que vivían en cuevas y vestían pieles, necesitaban intercambiar algo con una tribu vecina, lo hacían simplemente: limpiaban el terreno y colocaban, por ejemplo, una punta de flecha. Cerca había un pescado o un puñado de nueces. Y así hasta que se acabó uno de los bienes intercambiados, o el jefe de la “misión comercial” decidió que ya era suficiente. Es primitivo, pero muy conveniente a su manera: no te confundirás ni te engañarán.

Con el desarrollo de la ganadería, las tareas se volvieron más complicadas. Había que contar de algún modo un rebaño grande para saber si estaban allí todas las cabras o las vacas. La “máquina de calcular” de los pastores analfabetos pero inteligentes era una calabaza ahuecada con guijarros. Tan pronto como el animal salió del corral, el pastor colocó una piedra en la calabaza. Por la tarde regresó el rebaño y el pastor sacó una piedra con cada animal que entraba al corral. Si la calabaza estaba vacía, sabía que la manada estaba bien. Si quedaban piedras, iba a buscar la pérdida.

Cuando llegaron los números, las cosas mejoraron. Aunque durante mucho tiempo nuestros antepasados sólo tenían en uso tres números: “uno”, “par” y “muchos”.

¿Es posible contar más rápido que una computadora?

¿Superar a un dispositivo que realiza cientos de millones de operaciones por segundo? Imposible... Pero quien dice esto es cruelmente falso o simplemente pasa por alto algo deliberadamente. Una computadora es sólo un conjunto de chips de plástico; no cuenta por sí sola.

Planteemos la pregunta de otra manera: ¿puede una persona, contando mentalmente, superar a alguien que hace cálculos en una computadora? Y aquí la respuesta es sí. Después de todo, para recibir una respuesta de la "maleta negra", primero se deben ingresar los datos en ella. Esto lo hará una persona usando sus dedos o su voz. Y todas estas acciones tienen límites de tiempo. Restricciones insuperables. La propia naturaleza los suministró al cuerpo humano. Todo, excepto un órgano. ¡Cerebro!

La calculadora sólo puede realizar dos operaciones: suma y resta. Para él, la multiplicación es una suma múltiple y la división es una resta múltiple.

Nuestros cerebros actúan de manera diferente.

La clase donde estudió el futuro rey de las matemáticas, Carl Gauss, recibió una vez una tarea: sumar todos los números del 1 al 100. Carl escribió la respuesta absolutamente correcta en su pizarra tan pronto como el profesor terminó de explicar la tarea. No sumó diligentemente los números en orden, como haría cualquier computadora que se precie. Aplicó la fórmula que él mismo descubrió: 101 x 50 = 5050. Y esta está lejos de ser la única técnica que acelera los cálculos mentales.

Las técnicas más sencillas para contar rápidamente.

Se estudian en la escuela. Lo más sencillo: si necesitas sumar 9 a cualquier número, suma 10 y resta 1 si es 8 (+ 10 - 2), 7 (+ 10 - 3), etc.

54 + 9 = 54 + 10 - 1 = 63. Rápido y conveniente.

Los números de dos dígitos se suman con la misma facilidad. Si el último dígito del segundo término es mayor que cinco, el número se redondea a la siguiente decena y luego se resta el “extra”. 22 + 47 = 22 + 50 - 3 = 69. Si el número clave es menor que cinco, primero debes sumar las decenas y luego las unidades: 27 + 51 = 20 + 50 + 7 + 1 = 78.

Con números de tres dígitos no surgen dificultades de la misma forma. Los sumamos según leemos, de izquierda a derecha: 321 + 543 = 300 + 500 + 20 + 40 + 1 + 3 = 864. Mucho más fácil que en una columna. Y mucho más rápido.

¿Qué pasa con la resta? El principio es el mismo: redondeamos lo restado a un número entero y sumamos lo que falta: 57 - 8 = 57 - 10 + 2 = 49; 43 - 27 = 43 - 30 + 3 = 16. Más rápido que usar una calculadora y sin quejas del profesor, ¡ni siquiera durante el examen!

¿Necesito aprender la tabla de multiplicar?

Los niños, por regla general, no pueden soportar esto. Y lo hacen bien. ¡No tiene sentido enseñarle! Pero no se apresure a indignarse. Nadie dice que no es necesario conocer la tabla.

Su invención se atribuye a Pitágoras, pero lo más probable es que el gran matemático sólo haya dado una forma completa y lacónica a lo que ya se sabía. Durante las excavaciones de la antigua Mesopotamia, los arqueólogos encontraron tablillas de arcilla con el sacramental: “2 x 2”. La gente ha estado usando esto al más alto nivel durante mucho tiempo. sistema conveniente cálculos y descubrió muchas formas que ayudan a comprender la lógica interna y la belleza de la tabla, a comprenderla, y no a memorizarla mecánicamente y de manera estúpida.

EN China antigua Empezamos a aprender la tabla multiplicando por 9. De esta manera es más fácil, entre otras cosas porque puedes multiplicar por 9 "con los dedos".

Coloque ambas manos sobre la mesa, con las palmas hacia abajo. El primer dedo de la izquierda es el 1, el segundo es el 2, etc. Digamos que necesitas resolver el ejemplo 6 x 9. Levanta el sexto dedo. Los dedos de la izquierda mostrarán decenas, los de la derecha, unidades. Respuesta 54.

Ejemplo: 8 x 7. Mano izquierda- el primer multiplicador, el correcto - el segundo. Hay cinco dedos en la mano, pero necesitamos 8 y 7. Doblamos tres dedos en la mano izquierda (5 + 3 = 8), en la mano derecha 2 (5 + 2 = 7). Tenemos cinco dedos doblados, lo que significa cinco docenas. Ahora multipliquemos los restantes: 2 x 3 = 6. Estas son unidades. Total 56.

Esta es sólo una de las técnicas de multiplicación "con los dedos" más sencillas. Hay muchas. ¡Puedes operar con números hasta 10.000 en tus dedos!

El sistema de “dedos” tiene una ventaja: el niño lo percibe como divertido juego. Se involucra de buena gana, experimenta mucho. emociones positivas y como resultado, muy pronto comienza a realizar todas las operaciones en su mente, sin la ayuda de sus dedos.

También puedes dividir con los dedos, pero es un poco más difícil. Los programadores todavía usan sus manos para traducir números de sistema decimal a binario: es más conveniente y mucho más rápido que en una computadora. Pero en el marco del plan de estudios escolar, puedes aprender a dividir rápidamente incluso sin dedos, en tu cabeza.

Digamos que necesitamos resolver el ejemplo 91: 13. ¿Columna? No es necesario ensuciar el papel. El dividendo termina en uno. Y el divisor es por tres. ¿Qué es lo primero en la tabla de multiplicar que involucra un tres y termina en uno? 3 x 7 = 21. ¡Siete! Eso es todo, la atrapamos. Necesitas 84: 14. Recuerda la tabla: 6 x 4 = 24. La respuesta es 6. ¿Simple? ¡Todavía lo haría!

La magia de los números

La mayoría de las técnicas de conteo rápido son similares a los trucos de magia. Tomemos el conocido ejemplo de multiplicar por 11. Para, por ejemplo, 32 x 11, debes escribir 3 y 2 en los bordes y poner su suma en el medio: 352.

Para multiplicar un número de dos dígitos por 101, simplemente escribe el número dos veces. 34 x 101 = 3434.

Para multiplicar un número por 4, debes multiplicarlo dos veces por 2. Para dividirlo, divídelo dos veces por 2.

Muchas técnicas ingeniosas y, lo más importante, rápidas ayudan a elevar un número a una potencia, extraer Raíz cuadrada. Las famosas "30 técnicas de Perelman" para las matemáticas. gente pensante serán más geniales que los programas de Copperfield, porque también ENTIENDEN lo que está sucediendo y cómo está sucediendo. Bueno, el resto puede simplemente disfrutar del hermoso enfoque. Por ejemplo, necesitas multiplicar 45 por 37. Escribe los números en una hoja de papel y divídelos con una línea vertical. Divide el número de la izquierda entre 2, descartando el resto hasta obtener uno. Derecha: multiplica hasta que el número de líneas de la columna sea igual. Luego tachamos de la columna DERECHA todos aquellos números opuestos a los cuales en la columna IZQUIERDA obtuvimos un resultado par. Sumamos los números restantes de la columna de la derecha. El resultado es 1665. Multiplica los números. de la manera habitual. La respuesta encajará.

"Cargar" por la mente

Las técnicas de conteo rápido pueden facilitar enormemente la vida de un niño en la escuela, de una madre en una tienda o en la cocina y de un padre en el trabajo o en la oficina. Pero preferimos una calculadora. ¿Por qué? No nos gusta esforzarnos. Nos resulta difícil mantener en la cabeza números, incluso los de dos dígitos. Por alguna razón no aguantan.

Intenta ir al centro de la habitación y hacer las divisiones. Por alguna razón no “planta”, ¿verdad? Y la gimnasta lo hace con total tranquilidad, sin esforzarse. ¡Necesita entrenar!

La forma más fácil de entrenar y, al mismo tiempo, calentar el cerebro: contar mentalmente en voz alta (¡obligatorio!) hasta cien y viceversa. Por la mañana, mientras se ducha o mientras prepara el desayuno, cuente: 2.. 4.. 6.. 100... 98.. 96. Puedes contar hasta tres, hasta ocho; lo principal es hacer en voz alta. Después de sólo un par de semanas de práctica regular, se sorprenderá de lo MÁS FÁCIL que será manejar números.

Olvidaste tu dinero en casa y un colega accedió amablemente a invitarte a almorzar. A la vuelta pasaste por la tienda a tomar un refrigerio y allí te anunciaron una súper promoción en tus chocolates favoritos. No pudiste resistirte y te llevaste 5 piezas. Estaba tan ocupado comprando que se olvidó de su teléfono inteligente y no calculó cuánto le debía al colega. La situación no es bonita. Sería mucho más fácil juntar todo en tu mente a la vez. Pero... ¡quién necesita esto cuando cada teléfono tiene una calculadora desde hace mucho tiempo!

Contar mentalmente puede ser tan rápido como hacerlo en una calculadora. Especialmente cuando se trata de cuestiones cotidianas. Lo principal es dominar las técnicas de conteo rápido y practicarlas periódicamente. En el material presentamos los más simples.

Dividir una tarea en partes

Incluso lo más difícil problemas aritméticos se pueden dividir en otros simples.

Ejemplo: ¿cómo se calcula un descuento del 15% si se conoce el coste total del producto?

En este caso, tiene sentido dividir 15 en 10% y 5%. Quitar el 10% es bastante fácil, pero el 5% es la mitad del 10%.

Supongamos que tenemos un producto por 900 rublos, el 10% son 90 rublos, el 5% son 45. Sumamos: 90 + 45 = 135. El costo final del producto con un descuento del 15%: 900 - 135 = 765 rublos. .

Redondear al entero más cercano

Esta técnica implica el uso de un complemento: un número que llena el espacio entre un número dado y un número que normalmente termina en 00.

Por ejemplo, el número complementario del 87 sería 13, ya que suman 100.

El ejemplo 1234 - 678 parece complicado. Redondeemos 678 a 700. Calcular 1234 - 700 será mucho más fácil, el resultado es 534.

Ya que también hemos restado Número grande, entonces el resultado debe devolver lo que falta: 700 - 678 = 22, sumar 22 a 534 y obtener el resultado final 556.

Multiplicando por 11

Sabemos lo fácil que es multiplicar cualquier número de un solo dígito por 11: ¡solo repítelo dos veces y listo!

Pero pocas personas tienen la habilidad de multiplicar números de dos e incluso tres dígitos por 11.

Para multiplicar un número de dos dígitos por 11, debes separar sus dígitos en lados diferentes y escribe su suma en el medio. Si la suma es mayor que 10, entonces dejamos el segundo dígito del número resultante en el medio, y al primer dígito le sumamos la decena, es decir, uno.

Ejemplo 1: 36×11 = 3 (3+6) 6 = 396

Ejemplo 2: 57×11 = 5 (5+7) 7 = 627

Para multiplicar números de tres dígitos:

Deje el primer y último dígito del número sin cambios.
Suma el penúltimo dígito al último y escribe el resultado. Si es mayor que 10, recordar la unidad.
Suma el segundo número al primer número y escribe el resultado. Si queda uno de la suma anterior, agrégalo al resultado.
Si la última suma dejó una unidad, súmala al primer dígito del número original.

Ejemplo 3: 869×11

Recordamos el 9 como resultado temporal. Resultado: 8...9.
Sumamos 6 y 9, obtenemos 15. Escribimos 5 antes del 9, 1, lo recordamos. Resultado: 8...59 (1 en mente).
Sumamos 8 y 6, obtenemos 14, sumamos 1 del resultado anterior. Resultado: 8559 (1 en mente).
Sumamos uno del resultado anterior a 8. Resultado: 9559.

Multiplicar números del 11 al 19

Puedes multiplicar dichos números usando el siguiente algoritmo:

Representamos cualquier número del rango del 11 al 19 como decenas y unidades.
Obtenemos la fórmula: (10+a)×(10+b).
Abra los corchetes: 100+10×b+10×a+a×b.
Sacamos el factor común de paréntesis y obtenemos la fórmula final mediante la cual podemos calcular y que tiene sentido recordar: 100+10×(a+b)+a×b.

Ejemplo: 13x17

Sumemos las unidades - 3+7=10.
Multipliquemos el resultado por 10: 10×10 = 100.
Sumemos 100: 100+100=200.
Multipliquemos las unidades: 3×7 = 21.
Sumemos al resultado del paso 3: 200+21 = 221.

Aritmetica mental

Puedes aprender a contar mentalmente dominando las técnicas de aritmética mental. Primero, aprenderá a realizar operaciones aritméticas en el ábaco japonés, el soroban. Luego practicas haciendo los mismos cálculos moviendo las fichas de dominó en tu mente. Ya hemos escrito con más detalle sobre. ¡Los cursos de aritmética mental te ayudarán a dominar completamente la técnica!