Splňte úlohu magického štvorca. Ako funguje magický štvorec? Druhy magických štvorcov

MAGICKÉ NÁMESTIE
štvorcová tabuľka celých čísel, v ktorej sa súčty čísel v ľubovoľnom riadku, ľubovoľnom stĺpci a ktorejkoľvek z dvoch hlavných uhlopriečok rovnajú rovnakému číslu. Magický štvorec je staročínskeho pôvodu. Podľa legendy sa za vlády cisára Yu (asi 2200 pred Kr.) z vôd Žltej rieky vynorila posvätná korytnačka, na ktorej pancieri boli napísané tajomné hieroglyfy (obr. 1, a), pričom tieto znaky sú známe ako lo-shu a sú ekvivalentné magickému štvorcu znázornenému na obr. 1, b. V 11. storočí. o magických štvorcoch sa dozvedeli v Indii, a potom v Japonsku, kde sa v 16. stor. magickým štvorcom bola venovaná rozsiahla literatúra. V 15. storočí predstavil Európanom magické štvorce. byzantský spisovateľ E. Moshopoulos. Za prvý štvorec vynájdený Európanom sa považuje štvorec A. Dürera (obr. 2), zobrazený na jeho slávnej rytine Melanchólia 1. Dátum rytiny (1514) označujú čísla v dvoch centrálnych bunkách spodnej časti. riadok. Magickým štvorcom sa pripisovali rôzne mystické vlastnosti. V 16. storočí. Cornelius Henry Agrippa postavil štvorce 3., 4., 5., 6., 7., 8. a 9. rádu, ktoré súviseli s astrológiou 7 planét. Verilo sa, že magický štvorec vyrytý na striebre chráni pred morom. Aj dnes možno medzi atribútmi európskych veštcov vidieť magické štvorce.

V 19. a 20. stor. záujem o magické štvorce vzplanul s novou silou. Začali sa skúmať metódami vyššej algebry a operačného počtu. Každý prvok magického štvorca sa nazýva bunka. Štvorec, ktorého strana pozostáva z n buniek, obsahuje n2 buniek a nazýva sa štvorec n-tého rádu. Väčšina magických štvorcov používa prvých n po sebe idúcich prirodzených čísel. Súčet S čísel v každom riadku, každom stĺpci a na ľubovoľnej uhlopriečke sa nazýva konštanta štvorca a rovná sa S = n (n2 + 1) / 2. Je dokázané, že n і 3. Pre štvorec 3. rádu S = 15, 4. rád - S = 34, 5. rád - S = 65. Dve uhlopriečky prechádzajúce stredom štvorca sa nazývajú hlavné uhlopriečky. Prerušovaná čiara je uhlopriečka, ktorá po dosiahnutí okraja štvorca pokračuje rovnobežne s prvým segmentom od protiľahlého okraja (takúto uhlopriečku tvoria vytieňované bunky na obr. 3). Bunky, ktoré sú symetrické okolo stredu štvorca, sa nazývajú šikmo symetrické. Sú to napríklad bunky a a b na obr. 3.

Pravidlá pre vytváranie magických štvorcov sú rozdelené do troch kategórií v závislosti od poradia štvorca: nepárne, rovné dvojnásobku nepárneho čísla alebo rovné štvornásobku nepárneho čísla. Všeobecná metóda konštrukcie všetkých štvorcov nie je známa, hoci sa široko používajú rôzne schémy, z ktorých niektoré zvážime nižšie. Magické štvorce nepárneho rádu možno zostrojiť metódou francúzskeho geometra zo 17. storočia. A. de la Luber. Uvažujme o tejto metóde na príklade štvorca 5. rádu (obr. 4). Číslo 1 je umiestnené v strednej bunke horného riadku. Všetky prirodzené čísla sú usporiadané v prirodzenom poradí cyklicky zdola nahor v bunkách uhlopriečok sprava doľava. Po dosiahnutí horného okraja štvorca (ako v prípade čísla 1) pokračujeme vo vypĺňaní uhlopriečky od spodnej bunky nasledujúceho stĺpca. Po dosiahnutí pravého okraja štvorca (číslo 3) pokračujeme vo vypĺňaní uhlopriečky z ľavej bunky čiarou vyššie. Po dosiahnutí vyplnenej bunky (číslo 5) alebo rohu (číslo 15) trajektória klesne o jednu bunku, po ktorej proces plnenia pokračuje.

Metóda F. de la Ira (1640-1718) je založená na dvoch pôvodných štvorcoch. Na obr. 5 ukazuje, ako sa pomocou tejto metódy zostrojí štvorec 5. rádu. Čísla od 1 do 5 sú vpísané do bunky prvého štvorca tak, že číslo 3 sa opakuje v bunkách hlavnej uhlopriečky smerom nahor a žiadne číslo sa nevyskytuje dvakrát v tom istom riadku alebo v tom istom stĺpci. To isté robíme s číslami 0, 5, 10, 15, 20, len s tým rozdielom, že číslo 10 sa teraz opakuje v bunkách hlavnej uhlopriečky zhora nadol (obr. 5, b). Súčet týchto dvoch políčok po bunke (obr. 5, c) tvorí magický štvorec. Táto metóda sa používa aj pri konštrukcii štvorcov párneho poradia.

Ak poznáte metódu na zostavenie štvorcov rádu m a rádu n, môžete vytvoriť štvorec rádu mґn. Podstata tejto metódy je znázornená na obr. 6. Tu m = 3 an = 3. Väčší štvorec tretieho rádu (s číslami označenými prvočíslami) zostrojíme de la Lubertovou metódou. Bunka s číslom 1ў (centrálna bunka horného riadku) je opísaná štvorcom tretieho rádu s číslami od 1 do 9, tiež zostrojeným de la Lubertovou metódou. Bunka s číslom 2ў (pravá v spodnom riadku) obsahuje štvorec tretieho rádu s číslami od 10 do 18; v bunke s číslom 3ў - štvorec čísel od 19 do 27 atď. V dôsledku toho dostaneme štvorec 9. rádu. Takéto štvorce sa nazývajú zložené štvorce.

Collierova encyklopédia. - Otvorená spoločnosť. 2000 .

Pozrite sa, čo je „MAGIC SQUARE“ v iných slovníkoch:

Štvorec rozdelený na rovnaký počet n stĺpcov a riadkov, pričom prvých n2 prirodzených čísel je zapísaných vo výsledných bunkách, ktoré tvoria rovnaký počet pre každý stĺpec, každý riadok a dve veľké uhlopriečky ... Veľký encyklopedický slovník

MAGIC SQUARE, štvorcový MATRIX, rozdelený na bunky a vyplnený určitým spôsobom číslami alebo písmenami, fixujúci špeciálnu magickú situáciu. Najbežnejší štvorec s písmenami je SATOR, tvorený slovami SATOR, AREPO, ... ... Vedecko-technický encyklopedický slovník

Štvorec rozdelený na rovnaký počet n stĺpcov a riadkov, s prirodzenými číslami od 1 do n2 vpísanými do výsledných buniek, ktoré tvoria rovnaký počet pre každý stĺpec, každý riadok a dve veľké uhlopriečky. Na obr. príklad M. c. s ... ... Prírodná veda. encyklopedický slovník

Magický alebo magický štvorec je štvorcová tabuľka naplnená číslami tak, že súčet čísel v každom riadku, každom stĺpci a na oboch uhlopriečkach je rovnaký. Ak sú v štvorci súčty čísel iba v riadkoch a stĺpcoch rovnaké, potom ... Wikipedia

Štvorec rozdelený na rovnaký počet n stĺpcov a riadkov, pričom prvých n2 prirodzených čísel je vpísaných do výsledných buniek, ktoré tvoria rovnaký počet pre každý stĺpec, každý riadok a dve veľké uhlopriečky. Na obrázku je príklad ...... encyklopedický slovník

Štvorcová tabuľka celých čísel od 1 do n2 spĺňajúca nasledujúce podmienky: kde s = n (n2 + 1) / 2. Do úvahy prichádzajú aj všeobecnejšie M. k., v ktorých sa nevyžaduje, aby akékoľvek číslo a, bolo jednoznačne charakterizované dvojicou zvyškov (a, b) modulo n (číslice ... Encyklopédia matematiky

Kniha. Štvorec rozdelený na časti, v každej z nich je vpísané číslo, ktoré dáva rovnaké číslo spolu s ostatnými horizontálne, vertikálne alebo diagonálne. BTS, 512 ... Veľký slovník ruských prísloví

- (grécky magikos, od magos kúzelník). Mágia, súvisiaca s mágiou. Slovník cudzích slov zahrnutých v ruskom jazyku. Chudinov AN, 1910. Kúzelná mágia. Slovník cudzích slov zahrnutých v ruskom jazyku. Pavlenkov F., 1907 ... Slovník cudzích slov ruského jazyka

Je to trojrozmerná verzia magického štvorca. Tradičná (klasická) magická kocka rádu n sa nazýva kocka n × n × n naplnená rôznymi prirodzenými číslami od 1 do n3 tak, že súčty čísel v ktoromkoľvek z riadkov 3n2, ... ... Wikipedia

knihy

Magické námestie, Irina Bjorno, „Čarovné námestie“ - zbierka príbehov a príbehov napísaných v štýle magického realizmu, kde je realita úzko prepojená s mágiou a fantáziou a tvorí nový, magický štýl - ... Kategória: Horor a záhada Vydavateľ: Publishing Solutions, eBook(fb2, fb3, epub, mobi, pdf, html, pdb, lit, doc, rtf, txt)

Magický štvorec je staročínskeho pôvodu.

Podľa legendy sa za vlády cisára Yu (asi 2200 pred Kr.) z vôd Žltej rieky vynorila posvätná korytnačka, na ktorej pancieri boli vpísané tajomné hieroglyfy (obr. A) a tieto znaky sú známe ako loshu a sú ekvivalentné magickému štvorcu znázornenému na obrázku b.

V 11. storočí. o magických štvorcoch sa dozvedeli v Indii, a potom v Japonsku, kde sa v 16. stor. magickým štvorcom bola venovaná rozsiahla literatúra.

V 15. storočí predstavil Európanom magické štvorce. byzantský spisovateľ E. Moshopoulos. Za prvý štvorec vynájdený Európanom sa považuje štvorec A. Durera, zobrazený na jeho slávnej rytine Melanchólia 1. Dátum vytvorenia rytiny (1514) je označený číslami v dvoch centrálnych bunkách spodného riadku.

Magickým štvorcom sa pripisovali rôzne mystické vlastnosti. V 16. storočí. Cornelius Henry Agrippa postavil štvorce 3., 4., 5., 6., 7., 8. a 9. rádu, ktoré súviseli s astrológiou 7 planét. Verilo sa, že magický štvorec vyrytý na striebre chráni pred morom. Aj dnes možno medzi atribútmi európskych veštcov vidieť magické štvorce.

Väčšina magických štvorcov používa prvých n po sebe idúcich prirodzených čísel. Súčet S čísel v každom riadku, každom stĺpci a na ľubovoľnej uhlopriečke sa nazýva konštanta štvorca a rovná sa S = n (n2 + 1) / 2. Je dokázané, že n і 3. Pre štvorec 3. rádu S = 15, 4. rádu - S = 34, 5. rádu - S = 65.

Dve diagonály prechádzajúce stredom štvorca sa nazývajú hlavné diagonály. Prerušovaná čiara je uhlopriečka, ktorá po dosiahnutí okraja štvorca pokračuje rovnobežne s prvým segmentom od protiľahlého okraja (takúto uhlopriečku tvoria tieňované bunky na obrázku).

Bunky, ktoré sú symetrické okolo stredu štvorca, sa nazývajú šikmo symetrické. Sú to napríklad bunky a a b.

Magické štvorce nepárneho rádu možno zostrojiť metódou francúzskeho geometra zo 17. storočia. A. de la Luber. Zoberme si túto metódu pomocou príkladu štvorca 5. rádu.

Číslo 1 je umiestnené v strednej bunke horného riadku. Všetky prirodzené čísla sú usporiadané v prirodzenom poradí cyklicky zdola nahor v bunkách uhlopriečok sprava doľava. Po dosiahnutí horného okraja štvorca (ako v prípade čísla 1) pokračujeme vo vypĺňaní uhlopriečky od spodnej bunky nasledujúceho stĺpca. Po dosiahnutí pravého okraja štvorca (číslo 3) pokračujeme vo vypĺňaní uhlopriečky z ľavej bunky čiarou vyššie. Po dosiahnutí vyplnenej bunky (číslo 5) alebo rohu (číslo 15) trajektória klesne o jednu bunku, po ktorej proces plnenia pokračuje.

Metóda F. de la Ira (1640-1718) je založená na dvoch pôvodných štvorcoch. Obrázok ukazuje, ako sa pomocou tejto metódy zostrojí štvorec 5. rádu.

Čísla od 1 do 5 sú vpísané do bunky prvého štvorca tak, že číslo 3 sa opakuje v bunkách hlavnej uhlopriečky smerom nahor a žiadne číslo sa nevyskytuje dvakrát v tom istom riadku alebo v tom istom stĺpci. To isté robíme s číslami 0, 5, 10, 15, 20, len s tým rozdielom, že číslo 10 sa teraz opakuje v bunkách hlavnej uhlopriečky zhora nadol (obr. B). Súčet týchto dvoch políčok po bunke (obr. C) tvorí magický štvorec. Táto metóda sa používa aj pri konštrukcii štvorcov párneho poradia.

Ak poznáte metódu na zostavenie štvorcov rádu m a rádu n, môžete vytvoriť štvorec rádu mґn. Podstata tejto metódy je znázornená na obrázku.

Tu m = 3 an = 3. Väčší štvorec tretieho rádu (s číslami označenými prvočíslami) sa zostrojí de la Lubertovou metódou. Bunka s číslom 1ў (centrálna bunka horného riadku) je opísaná štvorcom tretieho rádu s číslami od 1 do 9, tiež zostrojeným de la Lubertovou metódou. Bunka s číslom 2ў (pravá v spodnom riadku) obsahuje štvorec tretieho rádu s číslami od 10 do 18; v bunke s číslom 3ў - štvorec čísel od 19 do 27 atď. V dôsledku toho dostaneme štvorec 9. rádu. Takéto štvorce sa nazývajú zložené štvorce.

Domov> Dokument

MAGICKÉ ŠTVORCE

Magický alebo magický štvorec je štvorcová tabuľka naplnená číslami tak, že súčet čísel v každom riadku, každom stĺpci a na oboch uhlopriečkach je rovnaký.

Súčet čísel v každom riadku, stĺpci a na diagonále sa nazýva magická konštanta M.

Najmenšia magická konštanta magického štvorca 3x3 je 15, štvorca 4x4 je 34, štvorca 5x5 je 65,

Ak sa v štvorci súčty čísel iba v riadkoch a stĺpcoch rovnajú, potom sa to nazýva polomágia.

Zostrojí magický štvorec 3 x 3 s najmenším

magická konštanta

Nájdite najmenšiu magickú konštantu magického štvorca 3x3

1 spôsob

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45

4
5 : 3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9

M = 15.

Číslo napísané v strede 15 : 3 = 5

Určili sme, že v strede je napísané číslo 5.

kde n je počet riadkov

Ak dokážete postaviť jeden magický štvorec, potom nie je ťažké postaviť ich ľubovoľný počet. Preto pamätajte na stavebné techniky

magický štvorec 3x3 s konštantou 15.

1 spôsob stavať. Najprv umiestnite párne čísla do rohov

2,4,8,6 av strede 5. Zvyšok procesu je jednoduchá aritmetika

15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3

2 spôsobom riešenia

Pomocou nájdeného magického štvorca s konštantou 15 môžete nastaviť rôzne úlohy:

Príklad. Postavte nové rôzne magické štvorce 3 x 3

Riešenie.

Pripočítaním každého čísla v magickom štvorci alebo jeho vynásobením rovnakým číslom získame nový magický štvorec.

Príklad 1 Zostavte magický štvorec 3 x 3 so stredným číslom 13.

Riešenie.

Vytvorme známu mágiu

štvorec s konštantou 15.

Nájdite číslo, ktoré je v

v strede požadovaného štvorca

13 – 5 = 8.

Ku každému magickému číslu

pridajte štvorec o 8.

Príklad 2 Naplňte bunky mágie

štvorcov, poznajúc magickú konštantu.

Riešenie. Nájdite číslo

napísané v strede 42: 3 = 14

42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10

úlohy na samostatné riešenie

Príklady. 1. Naplňte bunky magických štvorcov mágiou

konštanta M = 15.

1) 2) 3)

2. Nájdite magickú konštantu magických štvorcov.

1) 2) 3)

3. Vyplňte bunky magických štvorcov, poznajúc magickú konštantu

1) 2) 3)

M = 24 M = 30 M = 27

4 . Zostavte magický štvorec 3x3 s vedomím magickej konštanty

sa rovná 21.

Riešenie. Pripomeňme si, ako sa magický štvorec 3x3 stavia podľa najmenšieho

konštanta 15. Párne čísla sa píšu do krajných polí

2, 4, 6, 8 a v strede je číslo 5 (15 : 3).

Podľa podmienky je potrebné zostrojiť štvorec pomocou magickej konštanty

21. V strede požadovaného štvorca by malo byť číslo 7 (21 : 3).

Poďme zistiť, o koľko väčší je každý člen požadovaného štvorca

každý člen s najmenšou magickou konštantou 7 - 5 = 2.

Postavíme požadovaný magický štvorec:

21 – (4 + 6) = 11

21 – (6 + 10) = 5

21 – (8 + 10) = 3

21 – (4 + 8) = 9

4. Zostavte 3x3 magické štvorce s poznaním ich magických konštánt

M = 42 M = 36 M = 33

M = 45 M = 40 M = 35

Zostrojí magický štvorec 4 x 4 s najmenším

magická konštanta

Nájdite najmenšiu magickú konštantu magického štvorca 4x4

a číslo v strede tohto štvorca.

1 spôsob

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =

(1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = 17 x 8 = 136

136: 4= 34.

kde n je počet riadkov n = 4.

Súčet čísel na ľubovoľnej vodorovnej čiare,

vertikálna a uhlopriečka je 34.

Toto množstvo sa nachádza aj vo všetkých

rohové štvorce 2 × 2, v strede

na druhú (10 + 11 + 6 + 7) na druhú

rohové bunky (16 + 13 + 4 + 1).

Ak chcete postaviť akékoľvek magické štvorce 4x4, musíte: jedno postaviť

s konštantným 34.

Príklad. Zostavte nové rôzne magické štvorce 4 x 4.

Riešenie.

Pridanie každého nájdeného čísla

magický štvorec 4 x 4 resp

vynásobím to rovnakým číslom,

dostaneme nový magický štvorec.

Príklad. Vytvorte mágiu

štvorec 4 x 4, ktorý má kúzlo

konštanta je 46.

Riešenie. Vybudované známe kúzlo

štvorec s konštantou 34.

46 – 34 = 12. 12: 4 = 3

Ku každému číslu v magickom štvorci

pridajte po 3.

Skôr ako pristúpite k riešeniu zložitejších príkladov na magických štvorcoch 4 x 4, ešte raz skontrolujte vlastnosti, ktoré má, ak M = 34.

Príklady. 1. Vyplňte bunky magického štvorca mágiou

konštanta M = 38.

H = 38- (10 + 7 + 13) = 8 d = 38- (17 + 4 + 11) = 6 b = 38- (17 + 4 + 14) = 3

e = 38- (12 + 7 + 8) = 11 p = 38- (17 + 6 + 10) = 5 c = 38- (3 + 12 + 8) = 15

b = 38- (11 + 7 + 16) = 4 d = 38- (5 + 7 + 12) = 14 k = 38- (6 + 11 + 12) = 9

vlastnosť 1,3,1 vlastnosti 2,1,1 t = 38- (14 + 9 + 13) = 2

vlastnosti 1,1,1,1

Odpoveď.

Svojpomocné úlohy

Vyplňte bunky magického štvorca, ak je mágia známa

konštantný

K = 46 K = 58 K = 62

Zoznámte sa s magickými štvorcami 5x5 a 6x6

Párne štvorce sa stavajú oveľa ťažšie ako nepárne. Existuje mnoho spôsobov, ako vysvetliť princípy ich konštrukcie. Tento článok popisuje zábavný spôsob, ako postaviť magický štvorec 4 x 4.

Začneme zadaním jednotky do bunky úplne vľavo v hornom riadku. Dva sa nachádzajú v susednej bunke a čísla 3 a 4 v nasledujúcom. Tým je horný riadok hotový. Ďalší riadok obsahuje čísla 5, 6, 7 a 8.

Pokračujte, kým nevyplníte všetky bunky (obr. 1).

Obr

Potom musíte vo všetkých krajných riadkoch odstrániť dve čísla z centrálnych buniek, to znamená, že z horného radu sa odstránia čísla 2 a 3 a zo spodného riadku 14 a 15. Nakoniec čísla 5 a 9 sú odstránené z radu úplne vľavo a 8 a 12 (obr. 2).

Obr

Teraz môžu byť tieto čísla usporiadané pomerne zaujímavým spôsobom. Čísla 2 a 3 zaberajú bunky, v ktorých sa predtým nachádzali čísla 14 a 15. Spodný riadok teda bude pozostávať z čísel 13, 3, 2 a 16. Čísla 14 a 15 sú umiestnené podľa rovnakého princípu, to znamená, že zaberajú bunky, ktoré predtým obsahovali čísla 2 a 3. Výsledkom je, že horný riadok bude pozostávať z čísel 1, 15, 14 a 4. Dúfam, že už chápete, ako sa bude magický štvorec ďalej budovať. Čísla 8 a 12 obsadia tie bunky, v ktorých boli predtým čísla 5 a 9. Nakoniec sa čísla 5 a 9 zmestia do dvoch buniek v stĺpci úplne vpravo (obr. 3).

Obr

Všimnite si, že v tomto magickom štvorci je súčet čísel v ľubovoľnom riadku 34.

Rovnakým spôsobom môžete vytvoriť štvorec 4 * 4 jednoduchým usporiadaním šestnástich čísel za sebou, počnúc ľubovoľným číslom. Ak postavíte magický štvorec, v ktorom budú čísla ísť v poradí 3, 6, 9, 12 atď., potom uvidíte, že súčet čísel v ľubovoľnom riadku bude 102.

Existuje mnoho spôsobov, ako postaviť dokonca magické štvorce. Niektoré z nich sú veľmi ťažké, časovo náročné a zaujímajú len matematikov. Našťastie metóda vytvárania magických štvorcov jantry založená na dátume narodenia je neuveriteľne jednoduchá.

Úvod

Veľkí vedci staroveku považovali kvantitatívne vzťahy za základ podstaty sveta. Preto čísla a ich pomery zamestnávali najväčšie mysle ľudstva. „V dňoch svojej mladosti som sa vo voľnom čase zabával vymýšľaním... magických štvorcov,“ napísal Benjamin Franklin. Magický štvorec je štvorec, ktorého súčet čísel v každom vodorovnom rade, v každom zvislom rade a pozdĺž každej z uhlopriečok je rovnaký.

Niektorí vynikajúci matematici venovali svoju prácu magickým štvorcom a ich výsledky ovplyvnili vývoj skupín, štruktúr, latinských štvorcov, determinantov, delení, matíc, porovnávaní a iných netriviálnych odvetví matematiky.

Účelom tejto eseje je zoznámiť sa s rôznymi magickými štvorcami, latinskými štvorcami a študovať oblasti ich použitia.

Magické štvorce

Kompletný popis všetkých možných magických štvorcov ešte nebol prijatý. Neexistujú žiadne magické štvorce 2x2. Existuje jeden magický štvorec 3x3, pretože ostatné magické štvorce 3x3 sa z neho získavajú buď otočením okolo stredu, alebo odrazom okolo jednej z jeho osí symetrie.

Prirodzené čísla od 1 do 9 môžete usporiadať do magického štvorca 3x3 8 rôznymi spôsobmi:

9+5+1
9+4+2
8+6+2
8+5+2
8+4+3
7+6+2
7+5+3
6+5+4

V magickom štvorci 3x3 magická konštanta 15 by sa mala rovnať súčtu troch čísel v 8 smeroch: 3 riadky, 3 stĺpce a 2 uhlopriečky. Keďže číslo v strede patrí do 1 riadku, 1 stĺpca a 2 uhlopriečok, je zahrnuté v 4 z 8 trojíc, čo dáva magickú konštantu. Existuje len jedno takéto číslo: je to 5. V dôsledku toho je číslo stojace v strede magického štvorca 3x3 už známe: rovná sa 5.

Zvážte číslo 9. Je zahrnuté iba v 2 trojiciach čísel. Nemôžeme ho umiestniť do rohu, pretože každá rohová bunka patrí do 3 trojíc: riadok, stĺpec a uhlopriečka. Preto musí byť číslo 9 v nejakej bunke susediacej so stranou štvorca v jeho strede. Vzhľadom na symetriu štvorca nezáleží na tom, ktorú stranu si zvolíme, preto nad číslo 5 v stredovej bunke napíšeme 9. Na obe strany deviatky v hornom riadku môžeme napísať len čísla 2 a 4. Ktoré z týchto dvoch čísel bude v pravom hornom rohu a ktoré v ľavom, opäť nezáleží, keďže jedno usporiadanie čísel sa mení do iného pri zrkadlení... Ostatné bunky sa vyplnia automaticky. Naša jednoduchá konštrukcia magického štvorca 3x3 dokazuje jeho jedinečnosť.

Takýto magický štvorec bol symbolom veľkého významu medzi starými Číňanmi. Číslo 5 v strede znamenalo zem a okolo nej boli v prísnej rovnováhe oheň (2 a 7), voda (1 a 6),

drevo (3 a 8), kov (4 a 9).

S rastúcou veľkosťou štvorca (počet buniek) sa počet možných magických štvorcov tejto veľkosti rýchlo zvyšuje. Existuje 880 magických štvorcov rádu 4 a 275 305 224 magických políčok rádu 5. Navyše, v stredoveku boli známe polia 5x5. Moslimovia boli napríklad veľmi úctiví k takémuto štvorcu s číslom 1 v strede, pretože ho považovali za symbol jednoty Alaha.

Čarovné námestie Pytagoras

Veľký vedec Pytagoras, ktorý založil náboženskú a filozofickú doktrínu, hlásajúcu kvantitatívne vzťahy ako základ podstaty vecí, veril, že podstata človeka spočíva aj v čísle - dátume narodenia. Preto je možné pomocou magického štvorca Pytagoras poznať charakter človeka, stupeň uvoľneného zdravia a jeho možnosti, odhaliť výhody a nevýhody a tým určiť, čo je potrebné urobiť pre jeho zlepšenie.

Aby som pochopil, čo je magický štvorec Pytagoras a ako sa počítajú jeho ukazovatele, urobím jeho výpočet pomocou môjho príkladu. A aby som sa uistil, že výsledky počítania skutočne zodpovedajú skutočnému charakteru toho či onoho človeka, najskôr si to overím na sebe. K tomu urobím výpočet podľa dátumu narodenia. Takže môj dátum narodenia je 20.8.1986. Sčítajme číslice dňa, mesiaca a roku narodenia (okrem núl): 2 + 8 + 1 + 9 + 8 + 6 = 34. Potom pridajte čísla výsledku: 3 + 4 = 7. Potom od prvej sumy odpočítajte zdvojnásobenú prvú číslicu narodenín: 34-4 = 30. A opäť pridáme číslice posledného čísla:

3 + 0 = 3. Zostáva vykonať posledné sčítanie - 1. a 3. a 2. a 4. súčet: 34 + 30 = 64, 7 + 3 = 10. Dostali sme čísla 20.08.1986,34,7,30, 64,10.

a zostavte magický štvorec tak, aby všetky tieto čísla vstúpili do bunky 1, všetky dvojky do bunky 2 atď. Nuly sa v tomto prípade neberú do úvahy. V dôsledku toho bude môj štvorec vyzerať takto:

Bunky v štvorci znamenajú nasledovné:

Bunka 1 - cieľavedomosť, vôľa, vytrvalosť, sebectvo.

1 - úplní egoisti, snažte sa získať maximálny úžitok z akejkoľvek pozície.
11 - postava blízka sebectvu.
111 - "zlatý priemer". Povaha je pokojná, flexibilná, spoločenská.
1111 - ľudia silného charakteru, so silnou vôľou. Muži s týmto charakterom sa hodia do roly military - profesionálov a ženy držia svoje rodiny v päste.
11111 - diktátor, tyran.
111111 - krutá osoba, schopná dosiahnuť nemožné; často spadá pod vplyv nejakej myšlienky.

Bunka 2 - bioenergetika, emocionalita, oduševnenosť, zmyselnosť. Počet dvojok určuje úroveň bioenergie.

Neexistujú žiadne dvojky - kanál je otvorený pre intenzívny nábor bioenergetiky. Títo ľudia sú od prírody vzdelaní a ušľachtilí.

2 - ľudia, ktorí sú z bioenergetického hľadiska obyčajní. Takíto ľudia sú veľmi citliví na zmeny v atmosfére.
22 - pomerne veľká zásoba bioenergie. Z takýchto ľudí sú dobrí lekári, sestry, sanitári. V rodine takýchto ľudí má zriedkavo niekto nervový stres.
222 je znakom psychiky.

Bunka 3 - presnosť, konkrétnosť, usporiadanosť, poriadok, dochvíľnosť, čistota, lakomosť, tendencia k neustálemu „obnovovaniu spravodlivosti“.

Rast trojčiat posilňuje všetky tieto vlastnosti. Pri nich má človek zmysel hľadať sa vo vedách, najmä v tých exaktných. Z prevahy trojčiat vznikajú pedanti, ľudia v prípade.

Bunka 4 – zdravie. Môže za to ekgregor, teda energetický priestor vyvinutý predkami a chrániaci ľudí. Absencia štvoriek svedčí o chorobnosti človeka.

4 - priemerné zdravie, je potrebné temperovať telo. Medzi odporúčané športy patrí plávanie a beh.
44 - dobrý zdravotný stav.
444 a viac - ľudia s veľmi dobrým zdravotným stavom.

Bunka 5 - intuícia, jasnozrivosť, ktorá sa u takýchto ľudí začína prejavovať už na úrovni troch pätiek.

Neexistujú žiadne päťky - komunikačný kanál s priestorom je uzavretý. Títo ľudia často

sa mýlia.

5 - komunikačný kanál je otvorený. Títo ľudia vedia správne vypočítať situáciu, aby z nej vyťažili maximum.
55 - intuícia je vysoko rozvinutá. Keď vidia „prorocké sny“, vedia predpovedať priebeh udalostí. Vhodné povolania sú pre nich právnik, vyšetrovateľ.
555 - takmer jasnovidec.
5555 - jasnovidci.

Bunka 6 - uzemnenosť, vecnosť, vypočítavosť, tendencia kvantitatívne ovládať svet a nedôvera v kvalitatívne skoky a ešte viac v zázraky duchovného poriadku.

Neexistujú žiadne šestky - títo ľudia potrebujú fyzickú prácu, hoci sa im to spravidla nepáči. Sú obdarení mimoriadnou predstavivosťou, fantáziou, umeleckým vkusom. Jemné povahy, napriek tomu sú schopné akcie.

6 - môžu sa venovať tvorivosti alebo exaktným vedám, ale fyzická práca je predpokladom existencie.
66 - ľudia sú veľmi uzemnení, priťahuje ich fyzická práca, hoci to pre nich nie je povinné; duševná činnosť alebo umenie je žiadúce.
666 je znamením Satana, zvláštnym a zlovestným znamením. Títo ľudia majú zvýšený temperament, sú očarujúci a vždy sa stávajú stredobodom pozornosti spoločnosti.
6666 - títo ľudia vo svojich predchádzajúcich inkarnáciách získali príliš veľa uzemnenia, pracovali veľmi tvrdo a nevedia si predstaviť svoj život bez práce. Ak ich štvorec obsahuje

deviataci, určite sa potrebujú venovať duševnej činnosti, rozvíjať inteligenciu, získať aspoň vyššie vzdelanie.

Bunka 7 - počet sedmičiek určuje mieru talentu.

7 - čím viac pracujú, tým viac dostanú neskôr.
77 - veľmi nadaní, hudobní ľudia, majú jemný umelecký vkus, môžu mať sklony k výtvarnému umeniu.
777 - títo ľudia spravidla prichádzajú na Zem na krátky čas. Sú láskaví, vyrovnaní, bolestne vnímajú akúkoľvek nespravodlivosť. Sú citliví, milujú snívanie, nie vždy cítia realitu.
7777 je znamením anjela. Ľudia s týmto znamením zomierajú v detstve a ak žijú, potom sú ich životy neustále v ohrození.

Bunka 8 - karma, povinnosť, povinnosť, zodpovednosť. Počet osmičiek určuje mieru zmyslu pre povinnosť.

Neexistujú osmičky – títo ľudia nemajú takmer žiadny zmysel pre povinnosť.

8 - povahy sú zodpovedné, svedomité, presné.
88 - títo ľudia majú vyvinutý zmysel pre povinnosť, vždy sa vyznačujú túžbou pomáhať druhým, najmä slabým, chorým, osamelým.
888 je znakom veľkej povinnosti, znakom služby ľuďom. Pravítko s tromi osmičkami dosahuje vynikajúce výsledky.
8888 - títo ľudia majú parapsychologické schopnosti a výnimočnú citlivosť na exaktné vedy. Sú im otvorené nadprirodzené cesty.

Bunka 9 - myseľ, múdrosť. Absencia deviatakov je dôkazom toho, že mentálne schopnosti sú extrémne obmedzené.

9 - títo ľudia musia celý život tvrdo pracovať, aby nahradili nedostatok inteligencie.
99 - títo ľudia sú múdri od narodenia. Vždy sa zdráhajú učiť, pretože vedomosti sa im dávajú ľahko. Sú obdarení zmyslom pre humor s ironickým nádychom, nezávislí.
999 sú veľmi šikovní. Do vyučovania sa nevkladá vôbec žiadne úsilie. Vynikajúci konverzacionisti.
9999 - týmto ľuďom je odhalená pravda. Ak majú rozvinutú aj intuíciu, potom majú istotu, že nezlyhajú v akomkoľvek ich snažení. Ako už bolo povedané, majú tendenciu byť celkom príjemní, pretože ich bystrá myseľ ich robí drsnými, nemilosrdnými a krutými.

Takže po zostavení magického štvorca Pythagoras a poznaní významu všetkých kombinácií čísel zahrnutých v jeho bunkách budete môcť primerane posúdiť vlastnosti svojej povahy, ktoré obdarila matka príroda.

Latinské štvorce

Napriek tomu, že matematikov zaujímali najmä magické štvorce, latinské štvorce našli najväčšie uplatnenie vo vede a technike.

Latinský štvorec je štvorec nхn buniek, v ktorom sú napísané čísla 1, 2, ..., n, navyše tak, že v každom riadku a každom stĺpci sa všetky tieto čísla objavia raz. Obrázok 3 zobrazuje dva takéto štvorce 4x4. Majú zaujímavú vlastnosť: ak je jeden štvorec prekrytý druhým, všetky dvojice výsledných čísel sú odlišné. Takéto dvojice latinských štvorcov sa nazývajú ortogonálne.

Problém hľadania ortogonálnych latinských štvorcov ako prvý nastolil L. Euler a to v takejto zábavnej formulácii: „Medzi 36 dôstojníkmi sú rovným dielom kopijníci, dragúni, husári, kyrysári, jazdecká garda a granátnici a navyše sú rovnými časťami generáli, plukovníci, majori, kapitáni, poručíci a podporučíkovia a každá vetva je zastúpená dôstojníkmi všetkých šiestich hodností. Je možné usporiadať všetkých dôstojníkov do štvorca 6 x 6 tak, aby sa dôstojníci všetkých hodností stretli v ľubovoľnom stĺpci a v ľubovoľnom rade?"

Euler nedokázal nájsť riešenie tohto problému. V roku 1901 sa dokázalo, že takéto riešenie neexistuje. Euler zároveň dokázal, že ortogonálne dvojice latinských štvorcov existujú pre všetky nepárne hodnoty n a pre také párne hodnoty n, ktoré sú deliteľné 4. Euler vyslovil hypotézu, že pre zvyšné hodnoty n platí, že je, ak číslo n pri delení 4 dáva zvyšok 2, neexistujú žiadne ortogonálne štvorce. V roku 1901 sa dokázalo, že ortogonálne štvorce 6 6 neexistujú, čo zvýšilo dôveru v platnosť Eulerovej hypotézy. V roku 1959 sa však pomocou počítača našli najskôr ortogonálne štvorce 10x10, potom 14x14, 18x18, 22x22. A potom sa ukázalo, že pre každé n, okrem 6, existuje nхn ortogonálnych štvorcov.

Magické a latinské štvorce sú blízkymi príbuznými. Predpokladajme, že máme dva ortogonálne štvorce. Vyplňte bunky nového štvorca rovnakej veľkosti nasledovne. Dajte tam číslo n (a - 1) + b, kde a je číslo v takejto bunke v prvom štvorci a b je číslo v tej istej bunke v druhom štvorci. Je ľahké pochopiť, že vo výslednom štvorci budú súčty čísel v riadkoch a stĺpcoch (ale nie nevyhnutne na uhlopriečkach) rovnaké.

Teória latinských štvorcov našla množstvo aplikácií ako v samotnej matematike, tak aj v jej aplikáciách. Uveďme si príklad. Predpokladajme, že chceme otestovať 4 odrody pšenice na úrode v danej oblasti a chceme zohľadniť vplyv miery riedkosti plodín a vplyv dvoch druhov hnojív. K tomu si rozdelíme štvorcový pozemok na 16 parciel (obr. 4). Prvú odrodu pšenice vysadíme na pozemky zodpovedajúce spodnému vodorovnému pruhu, ďalšiu odrodu - na štyri pozemky zodpovedajúce ďalšiemu pruhu atď. (odroda je na obrázku farebne odlíšená). V tomto prípade nech je maximálna hustota plodín na tých pozemkoch, ktoré zodpovedajú ľavému zvislému stĺpcu obrázku, a pri pohybe doprava sa zníži (na obrázku to zodpovedá zníženiu intenzity farieb). Čísla v bunkách na obrázku nech znamenajú:

prvý je počet kilogramov prvého typu hnojiva aplikovaného na túto plochu a druhý je množstvo aplikovaného druhého typu hnojiva. Je ľahké pochopiť, že sa realizujú všetky možné dvojice kombinácií oboch odrôd a hustoty výsadby a ďalších komponentov: odrody a hnojivá prvého typu, hnojivá prvého a druhého typu, hustota a hnojivá druhého typu.

Použitie ortogonálnych latinských štvorcov pomáha zohľadniť všetky možné možnosti pri pokusoch v poľnohospodárstve, fyzike, chémii, technike.

štvorcová mágia pytagoras latinčina

Záver

Táto esej skúma otázky súvisiace s históriou vývoja jednej z otázok matematiky, ktorá zamestnávala mysle mnohých veľkých ľudí - magických štvorcov. Napriek tomu, že samotné magické štvorce nenašli široké uplatnenie vo vede a technike, inšpirovali mnohých vynikajúcich ľudí k štúdiu matematiky a prispeli k rozvoju ďalších odvetví matematiky (teória grúp, determinanty, matice atď.).

Najbližší príbuzní magických štvorcov, latinské štvorce, našli početné uplatnenie ako v matematike, tak aj v jej aplikáciách pri formulovaní a spracovaní experimentálnych výsledkov. Príklad nastavenia takéhoto experimentu je uvedený v abstrakte.

Abstrakt tiež pojednáva o problematike Pytagorovho námestia, ktoré je historicky zaujímavé a prípadne užitočné na vypracovanie psychologického portrétu človeka.

Bibliografia

1. Encyklopedický slovník mladého matematika. M., "Pedagogika", 1989.
2. M. Gardner "Cestovanie v čase", M., "Svet", 1990.
3. Telesná kultúra a šport № 10, 1998.