Folosind orice limbă, puteți exprima aceleași informații în cuvinte și expresii diferite. Limbajul matematic nu face excepție. Dar aceeași expresie poate fi scrisă în mod echivalent în moduri diferite. Și în unele situații, una dintre intrări este mai simplă. Vom vorbi despre simplificarea expresiilor în această lecție.
Oamenii comunică mai departe limbi diferite. Pentru noi, o comparație importantă este perechea „limba rusă - limbă matematică”. Aceeași informații pot fi comunicate în diferite limbi. Dar, pe lângă aceasta, poate fi pronunțat în moduri diferite într-o singură limbă.
De exemplu: „Petya este prieten cu Vasya”, „Vasya este prieten cu Petya”, „Petya și Vasya sunt prieteni”. Spus diferit, dar același lucru. Din oricare dintre aceste fraze am înțelege despre ce vorbim.
Să ne uităm la această frază: „Băiatul Petya și băiatul Vasya sunt prieteni”. Înțelegem la ce ne referim despre care vorbim. Cu toate acestea, nu ne place sunetul acestei fraze. Nu putem să o simplificăm, să spunem același lucru, dar mai simplu? „Băiat și băiat” - puteți spune o dată: „Băieții Petya și Vasya sunt prieteni”.
„Băieți”... Nu este clar din numele lor că nu sunt fete? Îndepărtăm „băieții”: „Petia și Vasya sunt prieteni”. Și cuvântul „prieteni” poate fi înlocuit cu „prieteni”: „Petya și Vasya sunt prieteni”. Drept urmare, prima frază lungă și urâtă a fost înlocuită cu o afirmație echivalentă, care este mai ușor de spus și mai ușor de înțeles. Am simplificat această expresie. A simplifica înseamnă a spune mai simplu, dar nu a pierde sau a distorsiona sensul.
În limbajul matematic, aproximativ același lucru se întâmplă. Se poate spune unul și același lucru, scris diferit. Ce înseamnă simplificarea unei expresii? Aceasta înseamnă că pentru expresia originală există multe expresii echivalente, adică cele care înseamnă același lucru. Și din toată această varietate trebuie să alegem cel mai simplu, după părerea noastră, sau cel mai potrivit pentru scopurile noastre ulterioare.
De exemplu, luați în considerare expresia numerică . Va fi echivalent cu .
De asemenea, va fi echivalent cu primele două: 
.
Se pare că ne-am simplificat expresiile și am găsit cea mai scurtă expresie echivalentă.
Pentru expresiile numerice, trebuie întotdeauna să faceți totul și să obțineți expresia echivalentă ca un singur număr.
Să ne uităm la un exemplu de expresie literală . Evident, va fi mai simplu.
Când simplificați expresiile literale, este necesar să efectuați toate acțiunile posibile.
Este întotdeauna necesar să simplificați o expresie? Nu, uneori ne va fi mai convenabil să avem o intrare echivalentă, dar mai lungă.
Exemplu: trebuie să scazi un număr dintr-un număr.
Este posibil să se calculeze, dar dacă primul număr ar fi reprezentat prin notația sa echivalentă: , atunci calculele ar fi instantanee: .
Adică, o expresie simplificată nu este întotdeauna benefică pentru noi pentru calcule ulterioare.
Cu toate acestea, de foarte multe ori ne confruntăm cu o sarcină care sună ca „simplificați expresia”.
Simplificați expresia: .
Soluţie
1) Efectuați acțiunile din prima și a doua paranteză: .
2) Să calculăm produsele: .
Evident, ultima expresie are o formă mai simplă decât cea inițială. Am simplificat-o.
Pentru a simplifica expresia, aceasta trebuie înlocuită cu un echivalent (egal).
Pentru a determina expresia echivalentă aveți nevoie de:
1) efectuați toate acțiunile posibile,
2) folosiți proprietățile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire pentru a simplifica calculele.
Proprietăți de adunare și scădere:
1. Proprietatea comutativă a adunării: rearanjarea termenilor nu modifică suma.
2. Proprietatea combinativă a adunării: pentru a adăuga un al treilea număr la suma a două numere, puteți adăuga suma celui de-al doilea și al treilea număr la primul număr.
3. Proprietatea de a scădea o sumă dintr-un număr: pentru a scădea o sumă dintr-un număr, puteți scădea fiecare termen separat.
Proprietăți de înmulțire și împărțire
1. Proprietatea comutativă a înmulțirii: rearanjarea factorilor nu modifică produsul.
2. Proprietate combinativă: pentru a înmulți un număr cu produsul a două numere, îl poți înmulți mai întâi cu primul factor, iar apoi să înmulți produsul rezultat cu al doilea factor.
3. Proprietatea distributivă a înmulțirii: pentru a înmulți un număr cu o sumă, trebuie să-l înmulți separat cu fiecare termen.
Să vedem cum facem de fapt calcule mentale.
Calculati:
Soluţie
1) Să ne imaginăm cum
2) Să ne imaginăm primul factor ca o sumă de termeni de biți și să efectuăm înmulțirea:
3) vă puteți imagina cum și efectuați înmulțirea:
4) Înlocuiți primul factor cu o sumă echivalentă:
Legea distributivă poate fi folosită și în reversul: .
Urmați acești pași:
1) 
2) 
Soluţie
1) Pentru comoditate, puteți utiliza legea distributivă, utilizați-o doar în direcția opusă - scoateți factorul comun din paranteze.
2) Să scoatem factorul comun din paranteze
Este necesar să cumpărați linoleum pentru bucătărie și hol. Zona bucatarie - , hol - . Există trei tipuri de linoleum: pentru și ruble pentru. Cât va costa fiecare dintre cele trei tipuri de linoleum? (Fig. 1)
Orez. 1. Ilustrație pentru enunțul problemei
Soluţie
Metoda 1. Puteți afla separat câți bani va fi nevoie pentru a cumpăra linoleum pentru bucătărie, apoi puneți-l pe hol și adăugați produsele rezultate.
Primul nivel
Conversia expresiilor. Teorie detaliată (2019)
Conversia expresiilor
Auzim adesea această expresie neplăcută: „simplificați expresia”. De obicei vedem un fel de monstru ca acesta:
„Este mult mai simplu”, spunem noi, dar un astfel de răspuns de obicei nu funcționează.
Acum vă voi învăța să nu vă fie frică de astfel de sarcini. Mai mult, la sfârșitul lecției, tu însuți vei simplifica acest exemplu la (doar!) un număr obișnuit (da, la naiba cu aceste litere).
Dar înainte de a începe această lecție, trebuie să fiți capabil să gestionați fracțiile și polinoamele factorizați. Prin urmare, mai întâi, dacă nu ați făcut acest lucru înainte, asigurați-vă că stăpâniți subiectele „” și „”.
Ai citit-o? Dacă da, atunci ești gata.
Operații de simplificare de bază
Acum să ne uităm la tehnicile de bază care sunt folosite pentru a simplifica expresiile.
Cel mai simplu este
1. Aducerea asemănătoare
Ce sunt asemănătoare? Ai luat asta în clasa a VII-a, când literele în loc de cifre au apărut pentru prima dată la matematică. Asemănători sunt termenii (monoamele) cu aceeași parte de literă. De exemplu, în sumă, termeni similari sunt și.
Vă amintiți?
A aduce similar înseamnă a adăuga mai mulți termeni similari unul altuia și a obține un singur termen.
Cum putem pune literele împreună? - tu intrebi.
Acest lucru este foarte ușor de înțeles dacă vă imaginați că literele sunt un fel de obiecte. De exemplu, o scrisoare este un scaun. Atunci cu ce este egală expresia? Două scaune plus trei scaune, câte vor fi? Așa e, scaune: .
Acum încearcă această expresie: .
Pentru a evita confuzia, lasă litere diferite să reprezinte obiecte diferite. De exemplu, - este (ca de obicei) un scaun și - este o masă. Apoi:
scaune mese scaune mese scaune scaune mese
Se numesc numerele cu care se înmulțesc literele din astfel de termeni coeficienți. De exemplu, într-un monom coeficientul este egal. Și în ea este egal.
Deci, regula pentru aducerea unora similare este:
Exemple:
Da-le asemanatoare:
Raspunsuri:
2. (și asemănător, întrucât, așadar, acești termeni au aceeași parte de literă).
2. Factorizarea
Acesta este de obicei cel mai mult o parte importantăîn simplificarea expresiilor. După ce ați dat altele similare, cel mai adesea expresia rezultată trebuie factorizată, adică prezentată ca produs. Acest lucru este deosebit de important în fracții: pentru a putea reduce o fracție, numărătorul și numitorul trebuie reprezentate ca produs.
Ați parcurs în detaliu metodele de factorizare a expresiilor în subiectul „”, așa că aici trebuie doar să vă amintiți ce ați învățat. Pentru a face acest lucru, decideți câteva exemple(trebuie factorizat):
Solutii:
3. Reducerea unei fracții.
Ei bine, ce poate fi mai plăcut decât să tai o parte din numărător și numitor și să le arunci din viața ta?
Aceasta este frumusețea reducerii.
E simplu:
Dacă numărătorul și numitorul conțin aceiași factori, ei pot fi redusi, adică îndepărtați din fracție.
Această regulă rezultă din proprietatea de bază a unei fracții:
Adică, esența operației de reducere este aceea Împărțim numărătorul și numitorul fracției la același număr (sau la aceeași expresie).
Pentru a reduce o fracție aveți nevoie de:
1) numărătorul și numitorul factorizați
2) dacă numărătorul și numitorul conțin factori comuni, pot fi tăiate.
Principiul, cred, este clar?
Aș dori să vă atrag atenția asupra unui lucru greseala tipica la contractare. Deși acest subiect este simplu, mulți oameni fac totul greșit, neînțelegând asta reduce- acest lucru înseamnă divide numărătorul și numitorul sunt același număr.
Fără abrevieri dacă numărătorul sau numitorul este o sumă.
De exemplu: trebuie să simplificăm.
Unii oameni fac asta: ceea ce este absolut greșit.
Un alt exemplu: reduce.
„Cel mai inteligent” va face asta: .
Spune-mi ce e în neregulă aici? S-ar părea: - acesta este un multiplicator, ceea ce înseamnă că poate fi redus.
Dar nu: - acesta este un factor de un singur termen în numărător, dar numărătorul însuși ca întreg nu este factorizat.
Iată un alt exemplu: .
Această expresie este factorizată, ceea ce înseamnă că o puteți reduce, adică împărțiți numărătorul și numitorul cu, apoi cu:
Îl puteți împărți imediat în:
Pentru a evita astfel de greșeli, amintiți-vă calea ușoară cum se determină dacă o expresie este factorizată:
Operația aritmetică care este efectuată ultima când se calculează valoarea unei expresii este operația „master”. Adică dacă înlocuiți câteva (orice) numere în loc de litere și încercați să calculați valoarea expresiei, atunci dacă ultima acțiune este înmulțirea, atunci avem un produs (expresia este factorizată). Dacă ultima acțiune este adunarea sau scăderea, aceasta înseamnă că expresia nu este factorizată (și, prin urmare, nu poate fi redusă).
Pentru a consolida, rezolvați singur câteva exemple:
Raspunsuri:
1. Sper că nu te-ai grăbit imediat să tai și? Încă nu a fost suficient să „reducem” unități ca aceasta:
Primul pas ar trebui să fie factorizarea:
4. Adunarea și scăderea fracțiilor. Reducerea fracțiilor la un numitor comun.
Adunarea și scăderea fracțiilor obișnuite este o operație familiară: căutăm un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii. Să ne amintim:
Raspunsuri:
1. Numitorii și sunt relativ primi, adică nu au factori comuni. Prin urmare, LCM a acestor numere este egal cu produsul lor. Acesta va fi numitorul comun:
2. Aici numitorul comun este:
3. Primul lucru aici fractii mixte le transformăm în altele incorecte și apoi urmăm modelul obișnuit:
Este cu totul altceva dacă fracțiile conțin litere, de exemplu:
Să începem cu ceva simplu:
a) Numitorii nu conțin litere
Aici totul este la fel ca în cazul fracțiilor numerice obișnuite: găsim numitorul comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii:
Acum, la numărător, puteți da unele similare, dacă există, și le puteți factoriza:
Incearca-l tu insuti:
b) Numitorii conțin litere
Să ne amintim principiul găsirii unui numitor comun fără litere:
· în primul rând, determinăm factorii comuni;
· apoi scriem toți factorii comuni pe rând;
· și înmulțiți-le cu toți ceilalți factori necomuni.
Pentru a determina factorii comuni ai numitorilor, mai întâi îi factorăm în factori primi:
Să subliniem factorii comuni:
Acum să scriem factorii comuni unul câte unul și să adăugăm la ei toți factorii neobișnuiți (nesubliniați):
Acesta este numitorul comun.
Să revenim la litere. Numitorii sunt dați exact în același mod:
· factorizarea numitorilor;
· determina factori comuni (identici);
· scrieți toți factorii comuni o dată;
· înmulțiți-le cu toți ceilalți factori necomuni.
Deci, în ordine:
1) factorizează numitorii:
2) determinați factori comuni (identici):
3) scrieți toți factorii comuni o dată și înmulțiți-i cu toți ceilalți factori (nesubliniați):
Deci aici există un numitor comun. Prima fracție trebuie înmulțită cu, a doua - cu:
Apropo, există un singur truc:
De exemplu: .
Vedem aceiași factori în numitori, doar toți cu indicatori diferiți. Numitorul comun va fi:
într-o măsură
într-o măsură
într-o măsură
într-o măsură.
Să complicăm sarcina:
Cum se face ca fracțiile să aibă același numitor?
Să ne amintim proprietatea de bază a unei fracții:
Nicăieri nu spune că același număr poate fi scăzut (sau adunat) de la numărătorul și numitorul unei fracții. Pentru că nu este adevărat!
Vedeți singur: luați orice fracție, de exemplu, și adăugați un număr la numărător și numitor, de exemplu, . Ce ai învățat?
Deci, o altă regulă de neclintit:
Când reduceți fracțiile la un numitor comun, utilizați numai operația de înmulțire!
Dar cu ce trebuie să înmulțiți pentru a obține?
Deci înmulțiți cu. Și înmulțiți cu:
Vom numi expresiile care nu pot fi factorizate „factori elementari”. De exemplu, - acesta este un factor elementar. - La fel. Dar nu: poate fi factorizat.
Dar expresia? Este elementar?
Nu, deoarece poate fi factorizat:
(ați citit deja despre factorizare în subiectul „”).
Deci, factorii elementari în care descompuneți o expresie cu litere sunt un analog al factorilor simpli în care descompuneți numerele. Și ne vom ocupa de ei în același mod.
Vedem că ambii numitori au un multiplicator. Va merge la numitorul comun al gradului (vă amintiți de ce?).
Factorul este elementar și nu au un factor comun, ceea ce înseamnă că prima fracție va trebui pur și simplu înmulțită cu ea:
Alt exemplu:
Soluţie:
Înainte de a înmulți acești numitori în panică, trebuie să te gândești cum să-i factorizezi? Ambele reprezintă:
Grozav! Apoi:
Alt exemplu:
Soluţie:
Ca de obicei, să factorizăm numitorii. La primul numitor pur și simplu îl punem între paranteze; în al doilea - diferența de pătrate:
S-ar părea că nu există factori comuni. Dar dacă te uiți cu atenție, sunt asemănătoare... Și este adevărat:
Deci hai sa scriem:
Adică, sa dovedit așa: în paranteză am schimbat termenii și, în același timp, semnul din fața fracției s-a schimbat în opus. Ia notă, va trebui să faci asta des.
Acum să o aducem la un numitor comun:
Am înţeles? Să verificăm acum.
Sarcini pentru soluție independentă:
Raspunsuri:
Aici trebuie să ne amintim încă un lucru - diferența de cuburi:
Vă rugăm să rețineți că numitorul celei de-a doua fracții nu conține formula „pătratul sumei”! Pătratul sumei ar arăta astfel: .
A este așa-numitul pătrat incomplet al sumei: al doilea termen din acesta este produsul dintre primul și ultimul, și nu produsul lor dublu. Pătrat incomplet suma este unul dintre factorii de extindere a diferenței de cuburi:
Ce să faci dacă există deja trei fracții?
Da, acelasi lucru! În primul rând, să ne asigurăm că numărul maxim de factori din numitori este același:
Vă rugăm să rețineți: dacă schimbați semnele dintr-o paranteză, semnul din fața fracției se schimbă în opus. Când schimbăm semnele din a doua paranteză, semnul din fața fracției se schimbă din nou în opus. Ca urmare, acesta (semnul din fața fracției) nu s-a schimbat.
Scriem întreg primul numitor în numitorul comun și apoi adăugăm la acesta toți factorii care nu au fost încă scriși, din al doilea și apoi din al treilea (și așa mai departe, dacă există mai multe fracții). Adică, se dovedește așa:
Hmm... Este clar ce să faci cu fracțiile. Dar ce zici de cei doi?
Este simplu: știi cum să adunăm fracții, nu? Deci, trebuie să facem ca doi să devină o fracțiune! Să ne amintim: o fracție este o operație de împărțire (numărătorul se împarte la numitor, în cazul în care ai uitat). Și nu este nimic mai ușor decât împărțirea unui număr la. În acest caz, numărul în sine nu se va schimba, ci se va transforma într-o fracție:
Exact ce este nevoie!
5. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.
Ei bine, partea cea mai grea s-a terminat acum. Și în fața noastră este cel mai simplu, dar în același timp cel mai important:
Procedură
Care este procedura de calcul a unei expresii numerice? Amintiți-vă, calculând sensul acestei expresii:
ai numarat?
Ar trebui să funcționeze.
Deci, permiteți-mi să vă reamintesc.
Primul pas este să calculezi gradul.
Al doilea este înmulțirea și împărțirea. Dacă există mai multe înmulțiri și împărțiri în același timp, acestea se pot face în orice ordine.
Și, în sfârșit, facem adunarea și scăderea. Din nou, în orice ordine.
Dar: expresia dintre paranteze se evaluează din nou!
Dacă mai multe paranteze sunt înmulțite sau împărțite între ele, mai întâi calculăm expresia din fiecare dintre paranteze, apoi le înmulțim sau le împărțim.
Ce se întâmplă dacă există mai multe paranteze în interiorul parantezelor? Ei bine, să ne gândim: o expresie este scrisă între paranteze. Când calculezi o expresie, ce ar trebui să faci mai întâi? Așa e, calculează parantezele. Ei bine, ne-am dat seama: mai întâi calculăm parantezele interioare, apoi totul.
Deci, procedura pentru expresia de mai sus este următoarea (acțiunea curentă este evidențiată cu roșu, adică acțiunea pe care o fac chiar acum):
Bine, totul este simplu.
Dar aceasta nu este același lucru cu o expresie cu litere?
Nu, e la fel! Numai în loc de operații aritmetice trebuie să faci operații algebrice, adică acțiunile descrise în secțiunea anterioară: aducând similare, adunarea fracțiilor, reducerea fracțiilor și așa mai departe. Singura diferență va fi acțiunea de factorizare a polinoamelor (folosim adesea acest lucru atunci când lucrăm cu fracții). Cel mai adesea, pentru a factoriza, trebuie să folosiți I sau pur și simplu să scoateți factorul comun dintre paranteze.
De obicei, scopul nostru este de a reprezenta expresia ca produs sau coeficient.
De exemplu:
Să simplificăm expresia.
1) În primul rând, simplificăm expresia dintre paranteze. Acolo avem o diferență de fracții, iar scopul nostru este să o prezentăm ca produs sau coeficient. Deci, aducem fracțiile la un numitor comun și adăugăm:
Este imposibil să simplificați mai mult această expresie; toți factorii de aici sunt elementari (mai vă amintiți ce înseamnă asta?).
2) obținem:
Înmulțirea fracțiilor: ce ar putea fi mai simplu.
3) Acum puteți scurta:
OK, totul sa terminat acum. Nimic complicat, nu?
Alt exemplu:
Simplificați expresia.
Mai întâi, încercați să o rezolvați singur și abia apoi uitați-vă la soluție.
În primul rând, să stabilim ordinea acțiunilor. Mai întâi, să adăugăm fracțiile în paranteze, astfel încât în loc de două fracții obținem una. Apoi vom face împărțirea fracțiilor. Ei bine, să adăugăm rezultatul cu ultima fracție. Voi numerota pașii schematic:
Acum vă voi arăta procesul, colorând acțiunea curentă în roșu:
În cele din urmă, vă voi oferi două sfaturi utile:
1. Daca sunt asemanatoare, acestea trebuie aduse imediat. În orice moment apar altele asemănătoare în țara noastră, este indicat să le aducem imediat în discuție.
2. Același lucru este valabil și pentru fracțiile reducătoare: de îndată ce apare oportunitatea de a reduce, trebuie profitată de aceasta. Excepția este pentru fracțiile pe care le adunați sau scădeți: dacă acum au aceiași numitori, atunci reducerea ar trebui lăsată pentru mai târziu.
Iată câteva sarcini pe care le puteți rezolva singur:
Și ceea ce s-a promis chiar de la început:
Soluții (pe scurt):
Dacă ai făcut față cel puțin primelor trei exemple, atunci ai stăpânit subiectul.
Acum, la învățare!
CONVERSIUNEA EXPRESIUNILOR. REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ
Operatii de simplificare de baza:
- Aducerea asemănătoare: pentru a adăuga (reduce) termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestora și să atribuiți partea de litere.
- Factorizare: scoaterea factorului comun din paranteze, aplicarea acestuia etc.
- Reducerea unei fracții: Numătorul și numitorul unei fracții pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, ceea ce nu modifică valoarea fracției.
1) numărătorul și numitorul factorizați
2) dacă numărătorul și numitorul au factori comuni, aceștia pot fi tăiați.IMPORTANT: numai multiplicatorii pot fi redusi!
- Adunarea și scăderea fracțiilor:
; - Înmulțirea și împărțirea fracțiilor:
;
§ 1 Conceptul de simplificare a unei expresii literale
În această lecție, ne vom familiariza cu conceptul de „termeni similari” și, folosind exemple, vom învăța cum să efectuăm reducerea termenilor similari, simplificând astfel expresiile literale.
Să aflăm sensul conceptului „simplificare”. Cuvântul „simplificare” este derivat din cuvântul „simplificare”. A simplifica înseamnă a face simplu, mai simplu. Prin urmare, a simplifica o expresie de literă înseamnă a o scurta, cu un număr minim de acțiuni.
Luați în considerare expresia 9x + 4x. Aceasta este o expresie literală care este o sumă. Termenii de aici sunt prezentați ca produse ale unui număr și ale unei litere. Factorul numeric al unor astfel de termeni se numește coeficient. În această expresie, coeficienții vor fi numerele 9 și 4. Vă rugăm să rețineți că factorul reprezentat de literă este același în ambii termeni ai acestei sume.
Să ne amintim legea distributivă a înmulțirii:
Pentru a înmulți o sumă cu un număr, puteți înmulți fiecare termen cu acel număr și puteți adăuga produsele rezultate.
ÎN vedere generala scris astfel: (a + b) ∙ c = ac + bc.
Această lege este adevărată în ambele direcții ac + bc = (a + b) ∙ c
Să o aplicăm expresiei noastre literale: suma produselor lui 9x și 4x este egală cu produsul al cărui prim factor este egal cu suma 9 și 4, al doilea factor este x.
9 + 4 = 13, adică 13x.
9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.
În loc de trei acțiuni în expresie, mai rămâne o singură acțiune - înmulțirea. Aceasta înseamnă că am simplificat expresia noastră literală, de exemplu. a simplificat-o.
§ 2 Reducerea termenilor similari
Termenii 9x și 4x diferă doar prin coeficienți - astfel de termeni sunt numiți similari. Partea cu litere a termenilor similari este aceeași. Termenii similari includ, de asemenea, numere și termeni egali.
De exemplu, în expresia 9a + 12 - 15 termeni similari vor fi numerele 12 și -15, iar în suma produsului dintre 12 și 6a, numărul 14 și produsul lui 12 și 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) termenii egali reprezentați de produsul dintre 12 și 6a.
Este important de reținut că termenii ai căror coeficienți sunt egali, dar ai căror factori de litere sunt diferiți, nu sunt similari, deși uneori este util să se aplice legea distributivă a înmulțirii acestora, de exemplu, suma produselor 5x și 5y este egal cu produsul dintre numărul 5 și suma lui x și y
5x + 5y = 5(x + y).
Să simplificăm expresia -9a + 15a - 4 + 10.
Termeni similari în în acest caz, sunt termenii -9a și 15a, deoarece diferă doar prin coeficienți. Multiplicatorul lor de litere este același, iar termenii -4 și 10 sunt, de asemenea, similari, deoarece sunt numere. Adunați termeni similari:
9a + 15a - 4 + 10
9a + 15a = 6a;
Obținem: 6a + 6.
Prin simplificarea expresiei, am găsit sumele termenilor similari; în matematică aceasta se numește reducerea termenilor similari.
Dacă adăugarea unor astfel de termeni este dificilă, puteți găsi cuvinte pentru ei și puteți adăuga obiecte.
De exemplu, luați în considerare expresia:
Pentru fiecare literă luăm propriul obiect: b-apple, c-pear, apoi obținem: 2 mere minus 5 pere plus 8 pere.
Putem scădea perele din mere? Desigur că nu. Dar putem adăuga 8 pere la minus 5 pere.
Să prezentăm termeni similari -5 pere + 8 pere. Termenii similari au aceeași parte de literă, așa că atunci când aduc termeni similari este suficient să adăugați coeficienții și să adăugați partea de literă la rezultat:
(-5 + 8) pere - primești 3 pere.
Revenind la expresia noastră literală, avem -5 s + 8 s = 3 s. Astfel, după aducerea unor termeni similari, obținem expresia 2b + 3c.
Deci, în această lecție, v-ați familiarizat cu conceptul de „termeni similari” și ați învățat cum să simplificați expresiile cu litere prin reducerea termenilor similari.
Lista literaturii folosite:
- Matematică. clasa a 6-a: Planuri de lecții la manualul I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-compilator L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
- Matematică. Clasa a VI-a: manual pentru elevi institutii de invatamant. I.I.Zubareva, A.G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2013.
- Matematică. clasa a VI-a: manual pentru instituţiile de învăţământ general/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov și alții/editat de G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Academia Rusă de Științe, Academia Rusă de Educație. M.: „Iluminismul”, 2010.
- Matematică. Clasa a VI-a: studiu pentru instituții de învățământ general/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhohov, A.S. Cesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyna, 2013.
- Matematică. Clasa a VI-a: manual/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Dropia, 2014.
Imagini folosite:
O expresie literală (sau expresie variabilă) este o expresie matematică care constă din numere, litere și simboluri matematice. De exemplu, următoarea expresie este literală:
a+b+4
Folosind expresii alfabetice puteți scrie legi, formule, ecuații și funcții. Abilitatea de a manipula expresii cu litere este cheia unei bune cunoștințe de algebră și matematică superioară.
Orice problemă serioasă la matematică se rezumă la rezolvarea ecuațiilor. Și pentru a putea rezolva ecuații, trebuie să poți lucra cu expresii literale.
Pentru a lucra cu expresii literale, trebuie să fii bine versat în aritmetica de bază: adunare, scădere, înmulțire, împărțire, legile de bază ale matematicii, fracții, operații cu fracții, proporții. Și nu doar studiați, ci înțelegeți bine.
Conținutul lecțieiVariabile
Literele care sunt conținute în expresii literale sunt numite variabile. De exemplu, în expresia a+b+4 variabilele sunt literele AȘi b. Dacă înlocuim orice numere în loc de aceste variabile, atunci expresia literală a+b+4 se va transforma într-o expresie numerică a cărei valoare poate fi găsită.
Numerele care sunt înlocuite cu variabile sunt numite valorile variabilelor. De exemplu, să schimbăm valorile variabilelor AȘi b. Semnul egal este folosit pentru a schimba valori
a = 2, b = 3
Am schimbat valorile variabilelor AȘi b. Variabil A a atribuit o valoare 2 , variabil b a atribuit o valoare 3 . Ca urmare, expresia literală a+b+4 se transformă într-o expresie numerică regulată 2+3+4 a căror valoare poate fi găsită:
2 + 3 + 4 = 9
Când variabilele sunt înmulțite, acestea sunt scrise împreună. De exemplu, înregistrați abînseamnă același lucru cu intrarea a×b. Dacă înlocuim variabilele AȘi b numere 2 Și 3 , apoi obținem 6
2 × 3 = 6
De asemenea, puteți scrie împreună înmulțirea unui număr cu o expresie între paranteze. De exemplu, în loc de a×(b + c) poate fi notat a(b + c). Aplicând legea distribuției înmulțirii, obținem a(b + c)=ab+ac.
Cote
În expresiile literale puteți găsi adesea o notație în care un număr și o variabilă sunt scrise împreună, de exemplu 3a. Aceasta este de fapt o scurtătură pentru înmulțirea numărului 3 cu o variabilă. Ași această intrare arată ca 3×a .
Cu alte cuvinte, expresia 3a este produsul dintre numărul 3 și variabila A. Număr 3 în această lucrare ei numesc coeficient. Acest coeficient arată de câte ori va fi mărită variabila A. Această expresie poate fi citită ca „ A de trei ori” sau „de trei ori A", sau "creșteți valoarea unei variabile A de trei ori”, dar cel mai adesea citit ca „trei A«
De exemplu, dacă variabila A egal cu 5 , apoi valoarea expresiei 3a va fi egal cu 15.
3 × 5 = 15
Vorbitor într-un limbaj simplu, coeficientul este numărul care vine înaintea literei (înaintea variabilei).
Pot exista mai multe litere, de exemplu 5abc. Aici coeficientul este numărul 5 . Acest coeficient arată că produsul variabilelor abc creste de cinci ori. Această expresie poate fi citită ca „ abc de cinci ori” sau „mărește valoarea expresiei abc de cinci ori” sau „de cinci abc«.
Dacă în loc de variabile abcînlocuiți numerele 2, 3 și 4, apoi valoarea expresiei 5abc va fi egal 120
5 × 2 × 3 × 4 = 120
Vă puteți imagina mental cum au fost înmulțite mai întâi numerele 2, 3 și 4, iar valoarea rezultată a crescut de cinci ori:
Semnul coeficientului se referă numai la coeficient și nu se aplică variabilelor.
Luați în considerare expresia −6b. Minus înainte de coeficient 6 , se aplică numai coeficientului 6 , și nu aparține variabilei b. Înțelegerea acestui fapt vă va permite să nu faceți greșeli în viitor cu semne.
Să găsim valoarea expresiei −6b la b = 3.
−6b −6×b. Pentru claritate, să scriem expresia −6bîn formă extinsă și înlocuiți valoarea variabilei b
−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18
Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii −6b la b = −5
Să notăm expresia −6bîn formă extinsă
−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30
Exemplul 3. Găsiți valoarea unei expresii −5a+b la a = 3Și b = 2
−5a+b aceasta este o formă scurtă pentru −5 × a + b, deci pentru claritate scriem expresia −5×a+bîn formă extinsă și înlocuiți valorile variabilelor AȘi b
−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13
Uneori literele sunt scrise fără coeficient, de exemplu A sau ab. În acest caz, coeficientul este unitatea:
dar în mod tradițional unitatea nu este scrisă, așa că ei scriu pur și simplu A sau ab
Dacă înaintea literei este un minus, atunci coeficientul este un număr −1 . De exemplu, expresia −a de fapt arata ca −1a. Acesta este produsul dintre minus unu și variabilă A. A ieșit așa:
−1 × a = −1a
Există o mică captură aici. În exprimare −a semnul minus în fața variabilei A se referă de fapt la o „unitate invizibilă” mai degrabă decât la o variabilă A. Prin urmare, ar trebui să fiți atenți când rezolvați problemele.
De exemplu, dacă i se oferă expresia −ași ni se cere să îi găsim valoarea la a = 2, apoi la școală am înlocuit un doi în loc de o variabilă Ași a primit un răspuns −2 , fără să ne concentrăm prea mult pe cum a ieșit. De fapt, minus unu a fost înmulțit cu numărul pozitiv 2
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × 2 = −2
Dacă i se dă expresia −ași trebuie să-i găsiți valoarea la a = −2, apoi înlocuim −2 în loc de o variabilă A
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × (−2) = 2
Pentru a evita greșelile, la început unitățile invizibile pot fi scrise în mod explicit.
Exemplul 4. Găsiți valoarea unei expresii abc la a=2 , b=3Și c=4
Expresie abc 1×a×b×c. Pentru claritate, să scriem expresia abc a, bȘi c
1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
Exemplul 5. Găsiți valoarea unei expresii abc la a=−2 , b=−3Și c=−4
Să notăm expresia abcîn formă extinsă și înlocuiți valorile variabilelor a, bȘi c
1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24
Exemplul 6. Găsiți valoarea unei expresii − abc la a=3, b=5 și c=7
Expresie − abc aceasta este o formă scurtă pentru −1×a×b×c. Pentru claritate, să scriem expresia − abcîn formă extinsă și înlocuiți valorile variabilelor a, bȘi c
−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105
Exemplul 7. Găsiți valoarea unei expresii − abc la a=−2 , b=−4 și c=−3
Să notăm expresia − abcîn formă extinsă:
−abc = −1 × a × b × c
Să înlocuim valorile variabilelor A , bȘi c
−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24
Cum se determină coeficientul
Uneori trebuie să rezolvați o problemă în care trebuie să determinați coeficientul unei expresii. În principiu, această sarcină este foarte simplă. Este suficient să poți înmulți corect numerele.
Pentru a determina coeficientul dintr-o expresie, trebuie să înmulțiți separat numerele incluse în această expresie și să înmulțiți separat literele. Factorul numeric rezultat va fi coeficientul.
Exemplul 1. 7m×5a×(−3)×n
Expresia constă din mai mulți factori. Acest lucru poate fi văzut clar dacă scrieți expresia în formă extinsă. Adică lucrările 7mȘi 5a scrieți-l în formă 7×mȘi 5×a
7 × m × 5 × a × (−3) × n
Să aplicăm legea asociativă a înmulțirii, care vă permite să înmulțiți factorii în orice ordine. Și anume, vom înmulți separat numerele și vom înmulți separat literele (variabilele):
−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105om
Coeficientul este −105 . După finalizare, este recomandabil să aranjați partea de litere în ordine alfabetică:
−105 dimineața
Exemplul 2. Determinați coeficientul în expresia: −a×(−3)×2
−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a
Coeficientul este 6.
Exemplul 3. Determinați coeficientul în expresia: 
Să înmulțim separat numerele și literele:
Coeficientul este −1. Vă rugăm să rețineți că unitatea nu este scrisă, deoarece se obișnuiește să nu scrieți coeficientul 1.
Aceste sarcini aparent cele mai simple ne pot juca o glumă foarte crudă. Se dovedește adesea că semnul coeficientului este setat incorect: fie minusul lipsește, fie, dimpotrivă, a fost setat în zadar. Pentru a evita aceste greșeli enervante, trebuie studiat la un nivel bun.
Adăugări în expresii literale
La adunarea mai multor numere se obține suma acestor numere. Numerele care adaugă se numesc aditivi. Pot exista mai mulți termeni, de exemplu:
1 + 2 + 3 + 4 + 5
Când o expresie constă din termeni, este mult mai ușor de evaluat, deoarece adunarea este mai ușor decât scăderea. Dar expresia poate conține nu numai adunare, ci și scădere, de exemplu:
1 + 2 − 3 + 4 − 5
În această expresie, numerele 3 și 5 sunt subtraende, nu adunări. Dar nimic nu ne împiedică să înlocuim scăderea cu adunarea. Apoi obținem din nou o expresie formată din termeni:
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)
Nu contează că numerele -3 și -5 au acum semnul minus. Principalul lucru este că toate numerele din această expresie sunt conectate printr-un semn de adunare, adică expresia este o sumă.
Ambele expresii 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Și 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) egal cu aceeași valoare - minus unu
1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1
Astfel, sensul expresiei nu va avea de suferit dacă înlocuim undeva scăderea cu adunarea.
De asemenea, puteți înlocui scăderea cu adunarea în expresiile literale. De exemplu, luați în considerare următoarea expresie:
7a + 6b − 3c + 2d − 4s
7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)
Pentru orice valori ale variabilelor a, b, c, dȘi s expresii 7a + 6b − 3c + 2d − 4s Și 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) va fi egală cu aceeași valoare.
Trebuie să fii pregătit pentru faptul că un profesor de la școală sau un profesor de la un institut poate apela numere pare (sau variabile) care nu sunt aditivi.
De exemplu, dacă diferența este scrisă pe tablă a−b, atunci profesorul nu va spune asta A este un minuend și b- scădere. El va numi ambele variabile una in termeni generali — termeni. Și totul pentru că expresia formei a−b matematicianul vede cum suma a+(−b). În acest caz, expresia devine o sumă, iar variabilele AȘi (−b) devin termeni.
Termeni similari
Termeni similari- aceștia sunt termeni care au aceeași parte de literă. De exemplu, luați în considerare expresia 7a + 6b + 2a. Componente 7aȘi 2a au aceeași parte de literă - variabilă A. Deci termenii 7aȘi 2a Sunt asemănătoare.
De obicei, termeni similari sunt adăugați pentru a simplifica o expresie sau pentru a rezolva o ecuație. Această operație se numește aducând termeni similari.
Pentru a aduce termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestor termeni și să înmulțiți rezultatul rezultat cu partea de literă comună.
De exemplu, să prezentăm termeni similari în expresie 3a + 4a + 5a. În acest caz, toți termenii sunt similari. Să adunăm coeficienții lor și să înmulțim rezultatul cu partea comună cu literă - cu variabilă A
3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a
Termeni similari sunt de obicei luați în considerare și rezultatul este notat imediat:
3a + 4a + 5a = 12a
De asemenea, se poate raționa după cum urmează:
Au fost adăugate 3 variabile a, încă 4 variabile a și încă 5 variabile a. Ca rezultat, am obținut 12 variabile a
Să ne uităm la câteva exemple de aducere a unor termeni similari. Avand in vedere ca acest subiect este foarte important, la inceput vom nota fiecare mic detaliu in detaliu. Chiar dacă aici totul este foarte simplu, majoritatea oamenilor fac multe greșeli. În principal din cauza neatenției, nu a ignoranței.
Exemplul 1. 3a + 2a + 6a + 8 A
Să adunăm coeficienții din această expresie și să înmulțim rezultatul rezultat cu partea comună a literei:
3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a
proiecta (3 + 2 + 6 + 8)×a Nu trebuie să-l notați, așa că vom scrie răspunsul imediat
3a + 2a + 6a + 8a = 19a
Exemplul 2. Dați termeni similari în expresie 2a+a
Al doilea mandat A scris fără coeficient, dar de fapt există un coeficient în fața lui 1 , pe care nu o vedem pentru că nu este înregistrată. Deci expresia arată astfel:
2a + 1a
Acum să prezentăm termeni similari. Adică, adunăm coeficienții și înmulțim rezultatul cu partea comună a literei:
2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a
Să scriem soluția pe scurt:
2a + a = 3a
2a+a, poți gândi diferit:
Exemplul 3. Dați termeni similari în expresie 2a−a
Să înlocuim scăderea cu adunarea:
2a + (−a)
Al doilea mandat (−a) scris fara coeficient, dar in realitate pare (−1a). Coeficient −1 din nou invizibil datorită faptului că nu este înregistrat. Deci expresia arată astfel:
2a + (−1a)
Acum să prezentăm termeni similari. Să adăugăm coeficienții și să înmulțim rezultatul cu partea comună a literei:
2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a
De obicei scris mai scurt:
2a − a = a
Dând termeni similari în expresie 2a−a Puteți gândi diferit:
Au fost 2 variabile a, scădeți o variabilă a și, ca urmare, a rămas o singură variabilă a
Exemplul 4. Dați termeni similari în expresie 6a − 3a + 4a − 8a
6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)
Acum să prezentăm termeni similari. Să adunăm coeficienții și să înmulțim rezultatul cu partea totală a literei
(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a
Să scriem soluția pe scurt:
6a − 3a + 4a − 8a = −a
Există expresii care conțin mai multe grupuri diferite de termeni similari. De exemplu, 3a + 3b + 7a + 2b. Pentru astfel de expresii se aplică aceleași reguli ca și pentru celelalte, și anume, adăugarea coeficienților și înmulțirea rezultatului cu partea comună a literei. Dar pentru a evita greșelile, este convenabil să evidențiezi diferite grupuri de termeni cu linii diferite.
De exemplu, în expresia 3a + 3b + 7a + 2b acei termeni care conțin o variabilă A, poate fi subliniat cu o singură linie și acei termeni care conțin o variabilă b, poate fi subliniată cu două rânduri:
Acum putem prezenta termeni similari. Adică, adăugați coeficienții și înmulțiți rezultatul rezultat cu partea totală a literei. Acest lucru trebuie făcut pentru ambele grupuri de termeni: pentru termeni care conțin o variabilă A iar pentru termeni care conțin o variabilă b.
3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b
Din nou, repetăm, expresia este simplă și pot fi luați în considerare termeni similari:
3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b
Exemplul 5. Dați termeni similari în expresie 5a − 6a −7b + b
Să înlocuim scăderea cu adunarea acolo unde este posibil:
5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b
Să subliniem termeni similari cu linii diferite. Termeni care conțin variabile A subliniem cu o linie, iar termenii sunt continutul variabilelor b, subliniați cu două rânduri:
Acum putem prezenta termeni similari. Adică, adăugați coeficienții și înmulțiți rezultatul rezultat cu partea comună a literei:
5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)
Dacă expresia conține numere obișnuite fără factori de litere, atunci acestea sunt adăugate separat.
Exemplul 6. Dați termeni similari în expresie 4a + 3a − 5 + 2b + 7
Să înlocuim scăderea cu adunarea acolo unde este posibil:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7
Să prezentăm termeni similari. Numerele −5 Și 7 nu au factori de litere, dar sunt termeni similari - trebuie doar adăugați. Și termenul 2b va rămâne neschimbat, deoarece este singurul din această expresie care are un factor de litere b,și nu există nimic cu care să-l adaugi:
4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2
Să scriem soluția pe scurt:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2
Termenii pot fi ordonați astfel încât acei termeni care au aceeași parte de literă să fie localizați în aceeași parte a expresiei.
Exemplul 7. Dați termeni similari în expresie 5t+2x+3x+5t+x
Deoarece expresia este o sumă de mai mulți termeni, acest lucru ne permite să o evaluăm în orice ordine. Prin urmare, termenii care conțin variabila t, se pot scrie la începutul expresiei, iar termenii care conțin variabila X la sfârșitul expresiei:
5t + 5t + 2x + 3x + x
Acum putem prezenta termeni similari:
5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x
Să scriem soluția pe scurt:
5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x
Suma numerelor opuse este zero. Această regulă funcționează și pentru expresiile literale. Dacă expresia conține termeni identici, dar cu semne opuse, atunci puteți scăpa de ei în stadiul de reducere a termenilor similari. Cu alte cuvinte, pur și simplu eliminați-le din expresie, deoarece suma lor este zero.
Exemplul 8. Dați termeni similari în expresie 3t − 4t − 3t + 2t
Să înlocuim scăderea cu adunarea acolo unde este posibil:
3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t
Componente 3tȘi (−3t) sunt opuse. Suma termenilor opuși este zero. Dacă eliminăm acest zero din expresie, valoarea expresiei nu se va modifica, așa că o vom elimina. Și îl vom elimina prin simpla tăiere a termenilor 3tȘi (−3t)
Ca urmare, vom rămâne cu expresia (−4t) + 2t. În această expresie, puteți adăuga termeni similari și puteți obține răspunsul final:
(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t
Să scriem soluția pe scurt:
Simplificarea expresiilor
„simplificați expresia” iar mai jos este expresia care trebuie simplificată. Simplificați o expresieînseamnă să o faci mai simplă și mai scurtă.
De fapt, am simplificat deja expresiile atunci când am redus fracțiile. După reducere, fracția a devenit mai scurtă și mai ușor de înțeles.
Luați în considerare următorul exemplu. Simplificați expresia.
Această sarcină poate fi literalmente înțeleasă după cum urmează: „Aplicați orice acțiuni valide acestei expresii, dar simplificați-o.” .
În acest caz, puteți reduce fracția, și anume, împărțiți numărătorul și numitorul fracției la 2:
Ce altceva poti face? Puteți calcula fracția rezultată. Apoi obținem fracția zecimală 0,5
Ca rezultat, fracția a fost simplificată la 0,5.
Prima întrebare pe care trebuie să ți-o pui atunci când rezolvi astfel de probleme ar trebui să fie "Ce se poate face?" . Pentru că există acțiuni pe care le poți face și există acțiuni pe care nu le poți face.
O alta punct important Lucrul de reținut este că valoarea expresiei nu ar trebui să se schimbe după simplificarea expresiei. Să revenim la expresie. Această expresie reprezintă o diviziune care poate fi efectuată. După efectuarea acestei împărțiri, obținem valoarea acestei expresii, care este egală cu 0,5
Dar am simplificat expresia și am obținut o nouă expresie simplificată. Valoarea noii expresii simplificate este încă 0,5
Dar am încercat și să simplificăm expresia calculând-o. Ca urmare, am primit un răspuns final de 0,5.
Astfel, indiferent de modul în care simplificăm expresia, valoarea expresiilor rezultate este totuși egală cu 0,5. Aceasta înseamnă că simplificarea a fost efectuată corect în fiecare etapă. Este exact ceea ce ar trebui să ne străduim atunci când simplificăm expresii - sensul expresiei nu ar trebui să sufere de pe urma acțiunilor noastre.
Este adesea necesară simplificarea expresiilor literale. Li se aplică aceleași reguli de simplificare ca și pentru expresiile numerice. Puteți efectua orice acțiuni valide, atâta timp cât valoarea expresiei nu se modifică.
Să ne uităm la câteva exemple.
Exemplul 1. Simplificați o expresie 5,21s × t × 2,5
Pentru a simplifica această expresie, puteți înmulți numerele separat și înmulți literele separat. Această sarcină este foarte asemănătoare cu cea la care ne-am uitat când am învățat să determinăm coeficientul:
5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025
Deci expresia 5,21s × t × 2,5 simplificat la 13.025.
Exemplul 2. Simplificați o expresie −0,4 × (−6,3b) × 2
A doua piesa (−6.3b) poate fi tradus într-o formă pe care o putem înțelege, și anume scrisă sub forma ( −6,3)×b , apoi înmulțiți numerele separat și înmulțiți literele separat:
− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b
Deci expresia −0,4 × (−6,3b) × 2 simplificat la 5.04b
Exemplul 3. Simplificați o expresie 
Să scriem această expresie mai detaliat pentru a vedea clar unde sunt numerele și unde sunt literele:
Acum să înmulțim numerele separat și să înmulțim literele separat:
Deci expresia simplificat la −abc. Această soluție poate fi scrisă pe scurt:
La simplificarea expresiilor, fracțiile pot fi reduse în timpul procesului de soluție, și nu chiar la sfârșit, așa cum am făcut cu fracțiile obișnuite. De exemplu, dacă în cursul rezolvării întâlnim o expresie de forma , atunci nu este deloc necesar să calculăm numărătorul și numitorul și să facem ceva de genul acesta:
O fracție poate fi redusă selectând un factor atât în numărător, cât și în numitor și reducând acești factori cu cel mai mare factor comun al acestora. Cu alte cuvinte, utilizare în care nu descriem în detaliu în ce au fost împărțite numărătorul și numitorul.
De exemplu, la numărător factorul este 12, iar la numitor factorul 4 poate fi redus cu 4. Le păstrăm în minte pe cele patru, iar împărțind 12 și 4 la aceste patru, notăm răspunsurile lângă aceste numere, trecându-le mai întâi
Acum puteți înmulți factorii mici rezultați. În acest caz, sunt puține dintre ele și le poți înmulți în minte:
În timp, s-ar putea să descoperi că atunci când rezolvi o anumită problemă, expresiile încep să „se îngrașă”, așa că este indicat să te obișnuiești cu calculele rapide. Ceea ce poate fi calculat în minte trebuie calculat în minte. Ceea ce poate fi redus rapid trebuie redus rapid.
Exemplul 4. Simplificați o expresie 
Deci expresia simplificat la
Exemplul 5. Simplificați o expresie 
Să înmulțim separat numerele și literele separat:
Deci expresia simplificat la mn.
Exemplul 6. Simplificați o expresie 
Să scriem această expresie mai detaliat pentru a vedea clar unde sunt numerele și unde sunt literele:
Acum să înmulțim separat numerele și literele separat. Pentru ușurință de calcul, fracția zecimală -6,4 și un număr mixt pot fi convertite în fracții obișnuite:
Deci expresia simplificat la
Soluția pentru acest exemplu poate fi scrisă mult mai scurt. Va arăta astfel:
Exemplul 7. Simplificați o expresie 
Să înmulțim separat numerele și literele separat. Pentru ușurință de calcul, un număr mixt și zecimale 0,1 și 0,6 pot fi convertite în fracții obișnuite:
Deci expresia simplificat la abcd. Dacă sări peste detalii, această soluție poate fi scrisă mult mai scurt:
Observați cum a fost redusă fracția. Factorii noi care sunt obținuți ca urmare a reducerii factorilor anteriori pot fi, de asemenea, reduse.
Acum hai să vorbim despre ce să nu faci. La simplificarea expresiilor, este strict interzisă înmulțirea numerelor și literelor dacă expresia este o sumă și nu un produs.
De exemplu, dacă doriți să simplificați expresia 5a+4b, atunci nu poți scrie așa:
Este la fel ca și cum ni s-ar cere să adunăm două numere și le-am înmulți în loc să le adunăm.
La înlocuirea oricăror valori variabile AȘi b expresie 5a +4b se transformă într-o expresie numerică obișnuită. Să presupunem că variabilele AȘi b au urmatoarele semnificatii:
a = 2, b = 3
Atunci valoarea expresiei va fi egală cu 22
5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22
În primul rând, se efectuează înmulțirea, apoi se adaugă rezultatele. Și dacă am încerca să simplificăm această expresie prin înmulțirea numerelor și literelor, am obține următoarele:
5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab
20ab = 20 × 2 × 3 = 120
Se dovedește un sens complet diferit al expresiei. În primul caz a funcționat 22 , în al doilea caz 120 . Aceasta înseamnă că simplificarea expresiei 5a+4b a fost efectuat incorect.
După simplificarea expresiei, valoarea acesteia nu ar trebui să se schimbe cu aceleași valori ale variabilelor. Dacă, la înlocuirea oricăror valori variabile în expresia originală, se obține o valoare, atunci după simplificarea expresiei, ar trebui să se obțină aceeași valoare ca înainte de simplificare.
Cu expresie 5a+4b chiar nu poți face nimic. Nu o simplifică.
Dacă o expresie conține termeni similari, atunci aceștia pot fi adăugați dacă scopul nostru este de a simplifica expresia.
Exemplul 8. Simplificați o expresie 0,3a−0,4a+a
0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a
sau mai scurt: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a
Deci expresia 0,3a−0,4a+a simplificat la 0,9a
Exemplul 9. Simplificați o expresie −7,5a − 2,5b + 4a
Pentru a simplifica această expresie, putem adăuga termeni similari:
−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)
sau mai scurt −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)
Termen (−2,5b) a rămas neschimbat pentru că nu era nimic cu care să-l pună.
Exemplul 10. Simplificați o expresie 
Pentru a simplifica această expresie, putem adăuga termeni similari:
Coeficientul a fost pentru ușurință de calcul.
Deci expresia simplificat la
Exemplul 11. Simplificați o expresie 
Pentru a simplifica această expresie, putem adăuga termeni similari:
Deci expresia simplificat la .
În acest exemplu, ar fi mai potrivit să adăugați mai întâi primul și ultimul coeficienți. În acest caz, am avea o soluție scurtă. Ar arata asa:
Exemplul 12. Simplificați o expresie 
Pentru a simplifica această expresie, putem adăuga termeni similari:
Deci expresia simplificat la 
.
Termenul a rămas neschimbat, deoarece nu era nimic de adăugat.
Această soluție poate fi scrisă mult mai scurt. Va arăta astfel:
Soluția scurtă a omis pașii de înlocuire a scăderii cu adunarea și detalierea modului în care fracțiile au fost reduse la un numitor comun.
O altă diferență este că în solutie detaliata răspunsul arată ca , dar pe scurt ca . De fapt, sunt aceeași expresie. Diferența este că în primul caz, scăderea este înlocuită cu adunarea, deoarece la început, când am notat soluția în formă detaliată, am înlocuit scăderea cu adunarea ori de câte ori a fost posibil, iar această înlocuire a fost păstrată pentru răspuns.
Identități. Expresii identice egale
Odată ce am simplificat orice expresie, aceasta devine mai simplă și mai scurtă. Pentru a verifica dacă expresia simplificată este corectă, este suficient să înlocuiți orice valoare variabilă mai întâi în expresia anterioară care trebuia simplificată și apoi în cea nouă care a fost simplificată. Dacă valoarea din ambele expresii este aceeași, atunci expresia simplificată este adevărată.
Sa luam in considerare cel mai simplu exemplu. Să fie necesar să simplificăm expresia 2a×7b. Pentru a simplifica această expresie, puteți înmulți separat numerele și literele:
2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab
Să verificăm dacă am simplificat corect expresia. Pentru a face acest lucru, să înlocuim orice valoare a variabilelor AȘi b mai întâi în prima expresie care trebuia simplificată și apoi în a doua, care a fost simplificată.
Lasă valorile variabilelor A , b va fi după cum urmează:
a = 4, b = 5
Să le substituim în prima expresie 2a×7b
Acum să substituim aceleași valori variabile în expresia care a rezultat din simplificare 2a×7b, și anume în expresia 14ab
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Vedem asta când a=4Și b=5 valoarea primei expresii 2a×7bși sensul celei de-a doua expresii 14ab egal
2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Același lucru se va întâmpla pentru orice alte valori. De exemplu, lasa a=1Și b=2
2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28
14ab = 14 × 1 × 2 =28
Astfel, pentru orice valoare a variabilelor expresiei 2a×7bȘi 14ab sunt egale cu aceeași valoare. Astfel de expresii sunt numite identic egale.
Conchidem că între expresii 2a×7bȘi 14ab poți pune un semn egal pentru că sunt egale cu aceeași valoare.
2a × 7b = 14ab
O egalitate este orice expresie care este conectată printr-un semn egal (=).
Și egalitatea formei 2a×7b = 14ab numit identitate.
O identitate este o egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor.
Alte exemple de identități:
a + b = b + a
a(b+c) = ab + ac
a(bc) = (ab)c
Da, legile matematicii pe care le-am studiat sunt identități.
Egalitățile numerice adevărate sunt și identități. De exemplu:
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 + 1
10 = 7 + 2 + 1
Hotărând sarcină dificilă Pentru a ușura calculul, expresia complexă este înlocuită cu o expresie mai simplă care este identic egală cu cea anterioară. Acest înlocuitor se numește transformare identică a expresiei sau pur și simplu transformând expresia.
De exemplu, am simplificat expresia 2a×7b, și a primit o expresie mai simplă 14ab. Această simplificare poate fi numită transformarea identităţii.
Puteți găsi adesea o sarcină care spune „demonstrează că egalitatea este o identitate” iar apoi se dă egalitatea care trebuie dovedită. De obicei, această egalitate constă din două părți: părțile din stânga și din dreapta ale egalității. Sarcina noastră este să efectuăm transformări de identitate cu una dintre părțile egalității și să obținem cealaltă parte. Sau efectuați transformări identice cu ambele părți ale egalității și asigurați-vă că ambele părți ale egalității conțin aceleași expresii.
De exemplu, să demonstrăm că egalitatea 0,5a × 5b = 2,5ab este o identitate.
Să simplificăm partea stângă a acestei egalități. Pentru a face acest lucru, înmulțiți separat numerele și literele:
0,5 × 5 × a × b = 2,5ab
2,5ab = 2,5ab
Ca rezultat al unei mici transformări de identitate, partea stângă a egalității a devenit egală cu partea dreaptă a egalității. Deci am demonstrat că egalitatea 0,5a × 5b = 2,5ab este o identitate.
Din transformări identice am învățat să adunăm, să scădem, să înmulțim și să împărțim numere, să reducem fracții, să adunăm termeni similari și, de asemenea, să simplificăm unele expresii.
Dar acestea nu sunt toate transformări identice care există în matematică. Există mult mai multe transformări identice. Vom vedea asta de mai multe ori în viitor.
Sarcini pentru soluție independentă:
Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noastre grup nou VKontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții
O expresie algebrică în care, împreună cu operațiile de adunare, scădere și înmulțire, utilizează și împărțirea în expresii cu litere, se numește expresie algebrică fracțională. Acestea sunt, de exemplu, expresiile
Numim o fracție algebrică o expresie algebrică care are forma unui coeficient al împărțirii a două expresii algebrice întregi (de exemplu, monomii sau polinoame). Acestea sunt, de exemplu, expresiile
A treia dintre expresii).
Transformările identice ale expresiilor algebrice fracționale sunt în cea mai mare parte menite să le reprezinte sub forma fracție algebrică. Pentru a afla numitorul comun se folosește descompunerea în factori a numitorilor fracțiilor - termeni pentru a le găsi cel mai mic multiplu comun. La reducerea fracțiilor algebrice, identitatea strictă a expresiilor poate fi încălcată: este necesar să se excludă valorile cantităților la care factorul prin care se face reducerea devine zero.
Să dăm exemple de transformări identice ale expresiilor algebrice fracționale.
Exemplul 1: Simplificați o expresie
Toți termenii pot fi redusi la un numitor comun (este convenabil să schimbați semnul în numitorul ultimului termen și semnul din fața acestuia):
Expresia noastră este egală cu unu pentru toate valorile, cu excepția acestor valori; este nedefinită și reducerea fracției este ilegală).
Exemplul 2. Reprezentați expresia ca o fracție algebrică
Soluţie. Expresia poate fi luată ca numitor comun. Găsim secvenţial:
Exerciții
1. Găsiți valorile expresiilor algebrice pentru valorile parametrilor specificate:
2. Factorizați.
