예를 들어 \(2\); \(5\); \(8\); \(열하나\); \(14\)...는 각 후속 요소가 이전 요소와 3씩 다르기 때문에 산술 수열입니다(이전 요소에서 3을 더하여 얻을 수 있음).

이 수열에서 차이 \(d\)는 양수(\(3\)와 동일)이므로 다음 각 항은 이전 항보다 큽니다. 그러한 진행을 소위 증가.

그러나 \(d\)는 다음과 같을 수도 있습니다. 음수. 예를 들어, V 산술 진행\(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... 진행 차이 \(d\)는 -6과 같습니다.

이 경우 다음 각 요소는 이전 요소보다 작아집니다. 이러한 진행을 호출합니다. 감소하는.

산술 진행 표기법

진행 상황은 작은 라틴 문자로 표시됩니다.

진행을 형성하는 숫자를 호출합니다. 회원(또는 요소).

산술 수열과 동일한 문자로 표시되지만 숫자 인덱스는 순서대로 요소 수와 동일합니다.

예를 들어, 산술 수열 \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)은 요소 \(a_1=2\)로 구성됩니다. \(a_2=5\); \(a_3=8\) 등등.

즉, 수열의 경우 \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

산술 진행 문제 해결

원칙적으로 위에 제시된 정보는 거의 모든 산술 수열 문제(OGE에서 제공되는 문제 포함)를 해결하는 데 이미 충분합니다.

예(OGE). 산술 수열은 \(b_1=7; d=4\) 조건에 의해 지정됩니다. \(b_5\)를 찾으세요.
해결책:

답변: \(b_5=23\)

예(OGE). 산술 수열의 처음 세 항은 다음과 같습니다: \(62; 49; 36…\) 이 수열의 첫 번째 음수 항의 값을 구하십시오.
해결책:

	우리는 수열의 첫 번째 요소가 주어지고 그것이 산술수열이라는 것을 알고 있습니다. 즉, 각 요소는 이웃 요소와 동일한 숫자만큼 다릅니다. 다음 요소에서 이전 요소를 빼서 어느 요소인지 알아봅시다: \(d=49-62=-13\).
	이제 필요한 (첫 번째 부정적인) 요소로 진행 상황을 복원할 수 있습니다.
	준비가 된. 답변을 작성하시면 됩니다.

답변: \(-3\)

예(OGE). 산술 수열의 여러 연속 요소가 주어지면: \(…5; x; 10; 12.5...\) 문자 \(x\)로 지정된 요소의 값을 찾습니다.
해결책:

	\(x\)를 찾으려면 다음 요소가 이전 요소와 얼마나 다른지, 즉 진행 차이를 알아야 합니다. 두 개의 알려진 이웃 요소 \(d=12.5-10=2.5\)에서 이를 찾아보겠습니다.
	이제 우리가 찾고 있는 것을 쉽게 찾을 수 있습니다: \(x=5+2.5=7.5\).
	준비가 된. 답변을 작성하시면 됩니다.

답변: \(7,5\).

예(OGE). 산술적 진행이 제공됩니다. 다음 조건: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) 이 수열의 처음 6개 항의 합을 구하세요.
해결책:

	우리는 수열의 처음 6개 항의 합을 구해야 합니다. 그러나 우리는 그 의미를 알지 못하며 첫 번째 요소만 제공됩니다. 따라서 먼저 우리에게 주어진 것을 사용하여 값을 하나씩 계산합니다. \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) 그리고 필요한 6가지 요소를 계산한 후 그 합을 구합니다.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	필요한 금액이 검색되었습니다.

답변: \(S_6=9\).

예(OGE). 산술수열 \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). 이 진행의 차이점을 찾아보세요.
해결책:

답변: \(d=7\).

산술 진행을 위한 중요한 공식

보시다시피, 산술 수열에 대한 많은 문제는 산술 수열이 숫자의 체인이고 이 체인의 각 후속 요소는 이전 숫자에 동일한 숫자를 추가하여 얻어지는 주요 사항을 이해함으로써 간단히 해결할 수 있습니다. 진행의 차이)

그러나 때로는 '정면'을 결정하는 것이 매우 불편한 상황이 있습니다. 예를 들어, 첫 번째 예에서 다섯 번째 요소 \(b_5\)가 아니라 386번째 요소 \(b_(386)\)를 찾아야 한다고 가정해 보겠습니다. \(385\) 번을 4번 더해야 할까요? 또는 두 번째 예에서 처음 73개 요소의 합을 구해야 한다고 상상해 보세요. 계산하기 지치실 거에요...

따라서 이러한 경우에는 "정면"으로 문제를 해결하지 않고 산술 수열을 위해 파생된 특수 공식을 사용합니다. 그리고 주요한 것은 수열의 n번째 항에 대한 공식과 \(n\) 첫 번째 항의 합에 대한 공식입니다.

\(n\)번째 항의 공식: \(a_n=a_1+(n-1)d\), 여기서 \(a_1\)은 수열의 첫 번째 항입니다.
\(n\) – 필수 요소의 수;
\(a_n\) – 숫자 \(n\)의 진행 조건입니다.

이 공식을 사용하면 수열의 첫 번째 요소와 차이점만 알면 300번째 또는 백만 번째 요소도 빠르게 찾을 수 있습니다.

예. 산술 수열은 다음 조건에 의해 지정됩니다: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\)를 찾으세요.
해결책:

답변: \(b_(246)=1850\).

처음 n 항의 합에 대한 공식: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), 여기서

\(a_n\) – 마지막으로 합산된 용어입니다.

예(OGE). 산술 수열은 \(a_n=3.4n-0.6\) 조건에 의해 지정됩니다. 이 수열의 첫 \(25\)항의 합을 구하세요.
해결책:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		처음 25개 항의 합을 계산하려면 첫 번째 항과 25번째 항의 값을 알아야 합니다. 우리의 진행은 숫자에 따라 n번째 항의 공식으로 제공됩니다(자세한 내용은 참조). \(n\)에 하나를 대입하여 첫 번째 요소를 계산해 보겠습니다.
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		이제 \(n\) 대신 25를 대입하여 25번째 항을 구해 보겠습니다.
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		자, 이제 필요한 금액을 쉽게 계산할 수 있습니다.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		답변이 준비되었습니다.

답변: \(S_(25)=1090\).

첫 번째 항의 합 \(n\)에 대해 다른 공식을 얻을 수 있습니다. \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \만 하면 됩니다. \(a_n\) 대신 (\cdot 25\ ) 공식을 \(a_n=a_1+(n-1)d\)로 대체하세요. 우리는 다음을 얻습니다:

처음 n 항의 합에 대한 공식: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), 여기서

\(S_n\) – \(n\) 첫 번째 요소의 필수 합계입니다.
\(a_1\) – 첫 번째 합산 용어;
\(d\) – 진행 차이;
\(n\) – 총 요소 수입니다.

예. 산술수열의 첫 번째 \(33\)-ex 항의 합을 구합니다. \(17\); \(15.5\); \(14\)…
해결책:

답변: \(S_(33)=-231\).

더 복잡한 산술 진행 문제

이제 거의 모든 산술 수열 문제를 해결하는 데 필요한 모든 정보를 갖게 되었습니다. 공식을 적용해야 할 뿐만 아니라 약간의 생각도 해야 하는 문제를 고려하여 주제를 마무리하겠습니다(수학에서는 이것이 유용할 수 있습니다 ☺).

예(OGE). 수열의 모든 음수항의 합을 구합니다: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
해결책:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		작업은 이전 작업과 매우 유사합니다. 우리는 같은 문제를 해결하기 시작합니다. 먼저 \(d\)를 찾습니다.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		이제 \(d\)를 합계 공식에 대체하고 싶습니다. 여기서 작은 뉘앙스가 나타납니다. 우리는 \(n\)을 모릅니다. 즉, 얼마나 많은 용어를 추가해야 하는지 알 수 없습니다. 알아내는 방법? 생각 해봐. 첫 번째 긍정적인 요소에 도달하면 요소 추가를 중지합니다. 즉, 이 요소의 번호를 알아내야 합니다. 어떻게? 우리의 경우 산술 수열의 요소를 계산하는 공식을 적어 보겠습니다: \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		0보다 커지려면 \(a_n\)이 필요합니다. 어떤 \(n\) 일이 일어날지 알아봅시다.
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		부등식의 양변을 \(0.3\)으로 나눕니다.
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		표지판을 변경하는 것을 잊지 않고 마이너스 1을 전송합니다.
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		계산해보자...
\(n>65,333…\)		...첫 번째 양수 요소의 숫자는 \(66\)입니다. 따라서 마지막 음수는 \(n=65\)입니다. 혹시라도 이것을 확인해 봅시다.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		따라서 첫 번째 \(65\) 요소를 추가해야 합니다.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		답변이 준비되었습니다.

답변: \(S_(65)=-630.5\).

예(OGE). 산술적 진행은 다음 조건에 의해 지정됩니다: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)번째부터 \(42\)번째 요소까지의 합을 구합니다.
해결책:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	이 문제에서는 요소의 합도 구해야 합니다. 단, 첫 번째가 아닌 \(26\)번째부터 시작해야 합니다. 그러한 경우에는 공식이 없습니다. 어떻게 결정하나요? 쉽습니다. \(26\)번째부터 \(42\)번째까지의 합을 구하려면 먼저 \(1\)번째부터 \(42\)번째까지의 합을 구한 다음 빼야 합니다. 그것으로부터 처음부터 \(25\)번째까지의 합을 계산합니다(그림 참조).
	진행률 \(a_1=-33\)과 차이 \(d=4\)의 경우(결국 다음 요소를 찾기 위해 이전 요소에 추가하는 것은 4개입니다). 이를 알면 첫 번째 \(42\)-y 요소의 합을 구합니다.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	이제 첫 번째 \(25\) 요소의 합입니다.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	그리고 마지막으로 답을 계산합니다.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

답변: \(S=1683\).

산술 진행의 경우 실용성이 낮기 때문에 이 기사에서 고려하지 않은 몇 가지 공식이 더 있습니다. 그러나 쉽게 찾을 수 있습니다.

첫 번째 수준

산술 진행. 상세한 이론예시 포함 (2019)

번호 순서

자, 앉아서 숫자 몇 개를 써 봅시다. 예를 들어:
숫자는 무엇이든 쓸 수 있으며 원하는 만큼 숫자를 입력할 수 있습니다(우리의 경우에는 숫자가 있습니다). 우리가 숫자를 아무리 많이 써도 어느 것이 첫 번째인지, 어느 것이 두 번째인지 등을 마지막까지 말할 수 있습니다. 즉, 번호를 매길 수 있습니다. 다음은 숫자 시퀀스의 예입니다.

번호 순서
예를 들어, 시퀀스의 경우:

할당된 번호는 시퀀스의 한 번호에만 적용됩니다. 즉, 시퀀스에 3초 숫자가 없습니다. 두 번째 숫자(번째 숫자와 마찬가지로)는 항상 동일합니다.
숫자가 있는 숫자를 수열의 번째 항이라고 합니다.

우리는 일반적으로 전체 시퀀스를 문자(예:)로 부르며, 이 시퀀스의 각 멤버는 이 멤버의 번호와 동일한 인덱스를 가진 동일한 문자입니다.

우리의 경우:

인접한 숫자 사이의 차이가 동일하고 동일한 숫자 시퀀스가 ​​있다고 가정해 보겠습니다.
예를 들어:

등.
이 수열을 등차수열이라고 합니다.
"진보"라는 용어는 6세기에 로마 작가 보에티우스에 의해 도입되었으며 더 넓은 의미에서 무한한 수열로 이해되었습니다. "산술"이라는 이름은 고대 그리스인이 연구한 연속 비율 이론에서 옮겨졌습니다.

이것은 숫자 시퀀스로, 각 구성원은 동일한 숫자에 추가된 이전 구성원과 동일합니다. 이 숫자를 등차수열의 차이라고 하며 지정합니다.

어떤 숫자 시퀀스가 ​​산술 수열이고 어떤 숫자 시퀀스가 ​​아닌지 확인해보세요.

ㅏ)
비)
씨)
디)

알았어요? 답변을 비교해 보겠습니다.
~이다산술 진행 - b, c.
아니다산술 진행 - a, d.

주어진 수열()로 돌아가서 그 번째 항의 값을 찾아보겠습니다. 존재한다 둘찾는 방법.

1. 방법

진행의 번째 항에 도달할 때까지 이전 값에 진행 번호를 추가할 수 있습니다. 요약할 내용이 많지 않은 것이 좋습니다. 세 가지 값만 있습니다.

따라서 설명된 산술 수열의 번째 항은 다음과 같습니다.

2. 방법

진행의 3번째 항의 가치를 찾아야 한다면 어떻게 될까요? 합계를 구하는 데는 한 시간 이상이 걸리며, 숫자를 더할 때 실수를 하지 않을 것이라는 것은 사실이 아닙니다.
물론, 수학자들은 이전 값에 수열의 차이를 더할 필요가 없는 방법을 생각해 냈습니다. 그려진 그림을 자세히 살펴보십시오... 확실히 당신은 이미 다음과 같은 특정 패턴을 발견했습니다.

예를 들어, 이 산술 수열의 세 번째 항의 값이 무엇으로 구성되어 있는지 살펴보겠습니다.


다시 말해서:

이런 식으로 주어진 산술 진행의 구성원 값을 직접 찾아보십시오.

계산하셨나요? 메모를 답변과 비교하세요.

이전 값에 산술 진행 조건을 순차적으로 추가하면 이전 방법과 정확히 동일한 숫자를 얻었습니다.
이 공식을 "비인격화"하려고 노력해 봅시다. 일반적인 형태그리고 우리는 다음을 얻습니다:

산술 진행 방정식.

산술 진행은 증가하거나 감소할 수 있습니다.

증가- 용어의 각 후속 값이 이전 값보다 큰 진행.
예를 들어:

내림차순- 용어의 각 후속 값이 이전 값보다 작은 진행.
예를 들어:

파생된 공식은 산술 수열의 증가 및 감소 항 모두에서 항을 계산하는 데 사용됩니다.
실제로 이를 확인해 보겠습니다.
다음 숫자로 구성된 산술 수열이 제공됩니다. 공식을 사용하여 계산하면 이 산술 수열의 번째 숫자가 무엇인지 확인해 보겠습니다.

그때부터:

따라서 우리는 수식이 감소 및 증가하는 산술 진행 모두에서 작동한다고 확신합니다.
이 산술 수열의 번째 및 번째 항을 직접 찾아보세요.

결과를 비교해 보겠습니다.

산술급수 속성

문제를 더 복잡하게 만들어 보겠습니다. 산술 진행의 속성을 도출해 보겠습니다.
다음과 같은 조건이 주어졌다고 가정해 보겠습니다.
- 산술 진행, 값을 찾습니다.
쉽습니다. 이미 알고 있는 공식에 따라 말하고 계산을 시작하면 됩니다.

아, 그럼:

확실히 맞아. 우리가 먼저 찾은 다음 이를 첫 번째 숫자에 추가하고 우리가 찾고 있는 것을 얻는다는 것이 밝혀졌습니다. 진행 상황이 작은 값으로 표시되면 복잡한 것은 없지만 조건에 숫자가 주어지면 어떻게 될까요? 동의합니다. 계산에 실수가 있을 수 있습니다.
이제 어떤 공식을 사용해도 이 문제를 한 단계로 해결할 수 있는지 생각해 보세요. 물론 그렇습니다. 이것이 바로 우리가 지금 밝히려고 하는 것입니다.

산술 수열의 필수 항을 우리에게 알려진 공식으로 표시하겠습니다. 이것은 처음에 도출한 공식과 동일합니다.
, 그 다음에:

• 진행의 이전 항은 다음과 같습니다.
• 진행의 다음 기간은 다음과 같습니다.

진행의 이전 및 후속 용어를 요약해 보겠습니다.

진행의 이전 및 후속 항의 합은 그 사이에 위치한 진행 항의 이중 값인 것으로 나타났습니다. 즉, 이전 값과 연속 값이 알려진 진행 항의 값을 찾으려면 해당 값을 더하고 나누어야 합니다.

맞아요, 우리는 같은 번호를 받았어요. 자료를 확보하자. 진행 상황의 가치를 직접 계산해 보세요. 전혀 어렵지 않습니다.

잘하셨어요! 당신은 진행에 대해 거의 모든 것을 알고 있습니다! 전설에 따르면 역사상 가장 위대한 수학자 중 한 명인 "수학자들의 왕"인 칼 가우스(Karl Gauss)가 쉽게 추론한 공식은 단 하나뿐입니다.

Carl Gauss가 9살이었을 때, 다른 수업에서 학생들의 작업을 확인 하느라 바쁜 교사는 수업 시간에 다음 과제를 할당했습니다. "(다른 출처에 따라)부터 (다른 출처에 따라)까지의 모든 자연수의 합을 계산하십시오." 1분 후에 학생 중 한 명(Karl Gauss)이 문제에 정답을 냈고, 무모한 반 친구들 대부분은 오랜 계산 끝에 잘못된 결과를 받았을 때 교사가 얼마나 놀랐을지 상상해 보십시오...

젊은 칼 가우스(Carl Gauss)는 당신도 쉽게 알아차릴 수 있는 특정한 패턴을 발견했습니다.
-번째 항으로 구성된 산술 수열이 있다고 가정해 보겠습니다. 우리는 산술 수열의 이러한 항들의 합을 찾아야 합니다. 물론 모든 값을 수동으로 합산할 수 있지만, 가우스가 찾고 있던 것처럼 해당 항의 합을 찾아야 하는 작업이라면 어떻게 될까요?

우리에게 주어진 진행 상황을 묘사해 보겠습니다. 강조 표시된 숫자를 자세히 살펴보고 이를 사용하여 다양한 수학 연산을 수행해 보세요.


시도해 보셨나요? 무엇을 알아차렸나요? 오른쪽! 그들의 합계는 동일합니다

이제 우리에게 주어진 진행 과정에서 그러한 쌍이 총 몇 개나 있습니까? 물론 전체 숫자의 정확히 절반입니다.
산술 수열의 두 항의 합이 동일하고 유사한 쌍이 동일하다는 사실을 바탕으로 총합이 다음과 같다는 것을 얻습니다.
.
따라서 산술 수열의 첫 번째 항의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다.

어떤 문제에서는 3번째 항을 모르지만 진행의 차이는 알 수 있습니다. 합 공식에 번째 항의 공식을 대입해 보세요.
무엇을 얻었나요?

잘하셨어요! 이제 Carl Gauss에게 요청한 문제로 돌아가 보겠습니다. th에서 시작하는 숫자의 합이 무엇과 같고 th에서 시작하는 숫자의 합이 무엇인지 스스로 계산해 보세요.

얼마를 받았나요?
가우스는 항의 합이 같고 항의 합이 같다는 것을 발견했습니다. 그게 당신이 결정한 건가요?

실제로 등차수열의 항의 합을 구하는 공식은 3세기 고대 그리스의 과학자 디오판토스(Diophantus)에 의해 증명되었으며, 이 기간 동안 재치 있는 사람들은 등차수열의 특성을 십분 활용했습니다.
예를 들어 상상해 보세요. 고대 이집트그리고 당시 가장 큰 건설 프로젝트-피라미드 건설... 사진은 그 한쪽을 보여줍니다.

여기서 진행 상황은 어디에 있습니까? 피라미드 벽의 각 줄에 있는 모래 블록 수의 패턴을 주의 깊게 살펴보세요.


산술진행은 왜 안되나요? 블록 벽돌을 바닥에 배치할 경우 하나의 벽을 만드는 데 필요한 블록 수를 계산합니다. 모니터에서 손가락을 움직이는 동안 숫자를 세지 않기를 바랍니다. 마지막 공식과 산술 진행에 관해 우리가 말한 모든 것을 기억하시나요?

안에 이 경우진행 상황은 다음과 같습니다: .
산술진행의 차이.
산술 진행의 항 수입니다.
데이터를 마지막 공식으로 대체해 보겠습니다(두 가지 방법으로 블록 수 계산).

방법 1.

방법 2.

이제 모니터에서 계산할 수 있습니다. 얻은 값을 피라미드에 있는 블록 수와 비교하세요. 알았어요? 잘하셨습니다. 산술 수열의 n번째 항의 합을 마스터하셨습니다.
물론 바닥의 블록으로 피라미드를 만들 수는 없지만? 이 조건으로 벽을 쌓는 데 몇 개의 모래 벽돌이 필요한지 계산해 보세요.
당신은 관리 했습니까?
정답은 블록입니다.

훈련

작업:

1. 마샤는 여름을 맞아 몸매를 가꾸고 있습니다. 매일 그녀는 스쿼트 횟수를 늘립니다. 마샤가 첫 훈련 세션에서 스쿼트를 했다면 일주일에 몇 번이나 스쿼트를 하게 될까요?
2. 에 포함된 모든 홀수의 합은 얼마입니까?
3. 로그를 저장할 때 로거는 각 로그를 쌓는 방식으로 로그를 쌓습니다. 상위 레이어이전 로그보다 로그가 하나 적습니다. 벽돌의 기초가 통나무라면 하나의 벽돌에는 몇 개의 통나무가 있습니까?

답변:

1. 산술 수열의 매개변수를 정의해 보겠습니다. 이 경우
   (주 = 일).

   답변: 2주 후에 마샤는 하루에 한 번씩 스쿼트를 해야 합니다.

2. 첫 번째 홀수, 마지막 숫자.
   산술진행의 차이.
   의 홀수 개수는 절반입니다. 그러나 등차수열의 번째 항을 구하는 공식을 사용하여 이 사실을 확인해 보겠습니다.

   숫자에는 홀수가 포함되어 있습니다.
   사용 가능한 데이터를 공식으로 대체해 보겠습니다.

   답변:에 포함된 모든 홀수의 합은 같습니다.

3. 피라미드에 관한 문제를 기억해 봅시다. 우리의 경우 a 의 경우 각 최상위 레이어가 하나의 로그만큼 줄어들기 때문에 전체적으로 여러 개의 레이어가 있습니다.
   데이터를 공식으로 대체해 보겠습니다.

   답변:벽돌에 통나무가 있습니다.

요약하자면

1. - 인접한 숫자 사이의 차이가 동일하고 동일한 숫자 시퀀스. 증가하거나 감소할 수 있습니다.
2. 공식 찾기산술 수열의 번째 항은 수식 - 으로 작성됩니다. 여기서 는 수열의 숫자 개수입니다.
3. 산술수열 멤버의 속성- - 진행 중인 숫자의 수는 어디에 있습니까?
4. 산술진행 항의 합두 가지 방법으로 찾을 수 있습니다:
   
   , 값의 개수는 어디에 있습니까?

산술 진행. 평균 수준

번호 순서

앉아서 숫자 몇 개를 써 봅시다. 예를 들어:

숫자는 무엇이든 쓸 수 있으며 원하는 만큼 숫자를 입력할 수 있습니다. 그러나 우리는 항상 어느 것이 첫 번째인지, 어느 것이 두 번째인지 등을 말할 수 있습니다. 즉, 번호를 매길 수 있습니다. 이것은 숫자 시퀀스의 예입니다.

번호 순서숫자 집합으로, 각 숫자에는 고유한 숫자가 할당될 수 있습니다.

즉, 각 숫자는 특정 자연수 및 고유한 숫자와 연관될 수 있습니다. 그리고 우리는 이 번호를 이 세트의 다른 번호에 할당하지 않을 것입니다.

숫자가 있는 숫자를 시퀀스의 번째 멤버라고 합니다.

우리는 일반적으로 전체 시퀀스를 문자(예:)로 부르며, 이 시퀀스의 각 멤버는 이 멤버의 번호와 동일한 인덱스를 가진 동일한 문자입니다.

수열의 번째 항을 어떤 공식으로 지정할 수 있으면 매우 편리합니다. 예를 들어, 수식

순서를 설정합니다.

그리고 수식은 다음과 같습니다.

예를 들어, 산술 수열은 수열입니다(여기서 첫 번째 항은 같고 차이는 입니다). 또는 (, 차이).

n번째 항 공식

우리는 반복되는 공식을 부르는데, 여기서 번째 항을 찾으려면 이전 항목 또는 여러 이전 항목을 알아야 합니다.

예를 들어, 이 공식을 사용하여 수열의 번째 항을 찾으려면 이전 9개 항을 계산해야 합니다. 예를 들어, 그렇게 놔두세요. 그 다음에:

자, 이제 공식이 무엇인지 명확해졌나요?

각 줄에 숫자를 곱하고 더합니다. 어느 것? 매우 간단합니다. 현재 회원의 숫자에서 다음을 뺀 값입니다.

이제 훨씬 더 편리해졌죠? 우리는 다음을 확인합니다:

스스로 결정하십시오:

산술 수열에서 n 번째 항의 공식을 찾고 100번째 항을 찾습니다.

해결책:

첫 번째 항은 동일합니다. 차이점은 무엇입니까? 내용은 다음과 같습니다.

(이것이 수열의 연속 항의 차이와 동일하기 때문에 차이라고 부르는 이유입니다.)

따라서 공식은 다음과 같습니다.

그러면 100번째 항은 다음과 같습니다.

에서 까지의 모든 자연수의 합은 얼마입니까?

전설에 따르면, 위대한 수학자 9세 소년인 칼 가우스(Karl Gauss)는 이 금액을 몇 분 만에 계산했습니다. 그는 첫 번째 숫자와 마지막 숫자의 합이 같고, 두 번째 숫자와 끝에서 두 번째 숫자의 합도 같고, 끝에서 세 번째와 세 번째 숫자의 합도 같다는 사실을 알아냈습니다. 그러한 쌍은 총 몇 개입니까? 맞습니다. 모든 숫자의 정확히 절반입니다. 그래서,

산술 수열의 첫 번째 항의 합에 대한 일반 공식은 다음과 같습니다.

예:
두 자리 배수의 합을 모두 구하세요.

해결책:

첫 번째 숫자는 이것이다. 각 후속 숫자는 이전 숫자를 더하여 얻습니다. 따라서 우리가 관심 있는 숫자는 첫 번째 항과 차이로 산술급수를 형성합니다.

이 진행에 대한 번째 항의 공식:

모두 두 자리 숫자여야 한다면 수열에는 몇 개의 항이 있습니까?

아주 쉽게: .

진행의 마지막 기간은 동일합니다. 그런 다음 합계는 다음과 같습니다.

답변: .

이제 스스로 결정하십시오.

1. 매일 운동선수는 전날보다 더 많은 미터를 달립니다. 그가 첫날에 km m을 달렸다면 일주일에 총 몇 킬로미터를 달릴 것인가?
2. 자전거 타는 사람은 전날보다 매일 더 많은 킬로미터를 이동합니다. 첫날 그는 킬로미터를 여행했습니다. 1km를 이동하려면 며칠이 소요됩니까? 여행의 마지막 날에 그는 몇 킬로미터를 여행하게 될까요?
3. 매장의 냉장고 가격은 매년 같은 금액만큼 하락합니다. 냉장고 가격이 루블로 판매되었다가 6년 후 루블로 판매된 경우 냉장고 가격이 매년 얼마나 감소했는지 확인합니다.

답변:

1. 여기서 가장 중요한 것은 산술 진행을 인식하고 해당 매개변수를 결정하는 것입니다. 이 경우 (주 = 일)입니다. 이 수열의 첫 번째 항의 합을 결정해야 합니다.
   .
   답변:
2. 여기에는 다음과 같은 내용이 나와 있습니다. , 을(를) 찾아야 합니다.
   분명히 이전 문제와 동일한 합계 공식을 사용해야 합니다.
   .
   다음 값을 대체하십시오.

   루트는 분명히 맞지 않으므로 대답은 다음과 같습니다.
   번째 항의 공식을 사용하여 마지막 날에 이동한 경로를 계산해 보겠습니다.
   (km).
   답변:

3. 주어진 값: . 찾다: .
   이보다 더 간단할 수는 없습니다.
   (장애).
   답변:

산술 진행. 주요 사항에 대해 간략하게

인접한 숫자 사이의 차이가 동일하고 동일한 숫자 시퀀스입니다.

산술적 진행은 증가() 및 감소()가 될 수 있습니다.

예를 들어:

등차수열의 n번째 항을 구하는 공식

는 수식으로 작성됩니다. 여기서 는 진행 중인 숫자의 수입니다.

산술수열 멤버의 속성

이웃 용어가 알려진 경우 진행의 용어를 쉽게 찾을 수 있습니다. 진행의 숫자 수는 어디에 있습니까?

산술진행의 항의 합

금액을 찾는 방법은 두 가지가 있습니다.

값의 개수는 어디에 있습니까?

값의 개수는 어디에 있습니까?

우리 수업의 모토는 러시아 수학자 V.P. 에르마코바: "수학에서는 공식이 아니라 사고 과정을 기억해야 합니다."

수업 중에는

문제의 공식화

칠판에는 가우스의 초상화가 있습니다. 메시지를 미리 준비하라는 과제를 받은 한 교사나 학생은 가우스가 학교에 있을 때 교사가 학생들에게 메시지를 모두 더하라고 했다고 말했습니다. 정수 1부터 100까지. Little Gauss는 이 문제를 단 몇 분 만에 해결했습니다.

질문 . 가우스는 어떻게 답을 얻었습니까?

해결책 찾기

학생들은 자신의 가정을 표현한 후 요약합니다. 합계가 1 + 100, 2 + 99 등이라는 것을 깨닫습니다. 가우스에 101을 50으로 곱한 것, 즉 그러한 합계의 수를 곱한 것입니다. 즉, 그는 산술수열에 내재된 패턴을 발견한 것입니다.

합계 공식 유도 N산술수열의 첫 번째 항

칠판과 공책에 공과 주제를 적는다. 학생들은 교사와 함께 공식의 결론을 적습니다.

허락하다 ㅏ 1 ; ㅏ 2 ; ㅏ 3 ; ㅏ 4 ; ...; 앤 – 2 ; 앤 – 1 ; 앤- 산술 진행.

기본 통합

1. 공식 (1)을 사용하여 가우스 문제를 해결합니다.

2. 공식 (1)을 사용하여 문제를 구두로 해결하십시오 (해당 조건은 보드 또는 포지티브 코드에 기록되어 있습니다), ( 앤) - 산술 진행:

ㅏ) ㅏ 1 = 2, ㅏ 10 = 20. 에스 10 - ?

비) ㅏ 1 = –5, ㅏ 7 = 1. 에스 7 - ? [–14]

V) ㅏ 1 = –2, ㅏ 6 = –17. 에스 6 - ? [–57]

G) ㅏ 1 = –5, ㅏ 11 = 5. 에스 11 - ?

3. 작업을 완료합니다.

주어진 : ( 앤) - 산술 진행;

ㅏ 1 = 3, ㅏ 60 = 57.

찾다: 에스 60 .

해결책. 합계 공식을 사용해 봅시다 N산술수열의 첫 번째 항

답변: 1800.

추가 질문입니다.이 공식을 사용하여 몇 가지 유형의 다양한 문제를 해결할 수 있습니까?

답변. 네 가지 유형의 작업:

금액 찾기 Sn;

산술 수열의 첫 번째 항 찾기 ㅏ 1 ;

찾다 N산술수열의 번째 항 앤;

산술 수열의 항 수를 구합니다.

4. 과제 완료: 369(b)번.

산술 수열의 처음 60항의 합을 구합니다( 앤), 만약에 ㅏ 1 = –10,5, ㅏ 60 = 51,5.

해결책.

답변: 1230.

추가 질문. 공식을 적어보세요 N산술수열의 번째 항.

답변: 앤 = ㅏ 1 + 디(N – 1).

5. 산술 수열의 처음 9개 항에 대한 공식을 계산합니다( 비앤),
만약에 비 1 = –17, 디 = 6.

수식을 사용하여 즉시 계산할 수 있습니까?

아니요, 9번째 용어를 알 수 없기 때문입니다.

그것을 찾는 방법?

공식에 따르면 N산술수열의 번째 항.

해결책. 비 9 = 비 1 + 8디 = –17 + 8∙6 = 31;

답변: 63.

질문. 수열의 9번째 항을 계산하지 않고 합을 찾는 것이 가능합니까?

문제의 공식화

문제: 합계 공식 얻기 N산술 수열의 첫 번째 항, 첫 번째 항과 차이를 아는 것 디.

(학생이 칠판에서 공식을 도출합니다.)

새로운 공식 (2)를 사용하여 371(a)번을 풀어보겠습니다.

공식 (2) ( 작업 조건은 칠판에 적혀 있습니다).

(앤

1. ㅏ 1 = 3, 디 = 4. 에스 4 - ?

2. ㅏ 1 = 2, 디 = –5. 에스 3 - ? [–9]

학생들로부터 어떤 질문이 불분명한지 알아보세요.

독립적 인 일

옵션 1

주어진: (앤) - 산술 진행.

1. ㅏ 1 = –3, ㅏ 6 = 21. 에스 6 - ?

2. ㅏ 1 = 6, 디 = –3. 에스 4 - ?

옵션 2

주어진: (앤) - 산술 진행.

1.ㅏ 1 = 2, ㅏ 8 = –23. 에스 8 - ? [–84]

2.ㅏ 1 = –7, 디 = 4. 에스 5 - ?

학생들은 노트를 교환하고 서로의 답을 확인합니다.

독립적인 작업 결과를 바탕으로 자료 학습을 요약합니다.