Avaruuden suoran kanoniset yhtälöt ovat yhtälöitä, jotka määrittelevät suoran, joka kulkee tietyn pisteen kollineaarisen suunnavektorin läpi.
Anna piste ja suuntavektori. Mielivaltainen piste sijaitsee suoralla viivalla l vain jos vektorit ja ovat yhdensuuntaisia, eli ehto täyttyy niille:
.
Yllä olevat yhtälöt ovat suoran kanonisia yhtälöitä.
Numerot m , n ja s ovat suuntavektorin projektioita koordinaattiakseleille. Koska vektori ei ole nolla, niin kaikki luvut m , n ja s ei voi olla nolla samanaikaisesti. Mutta yksi tai kaksi niistä voi osoittautua nollaksi. Esimerkiksi analyyttisessä geometriassa sallitaan seuraavat merkinnät:
,
mikä tarkoittaa, että vektorin projektio akselille Oy ja Oz ovat nollaa. Siksi sekä vektori että kanonisten yhtälöiden antama suora ovat kohtisuorassa akseleihin nähden Oy ja Oz eli lentokone yOz .
Esimerkki 1. Kirjoita suoran yhtälöt tasoon nähden kohtisuoraan avaruuteen 
ja kulkee tämän tason leikkauspisteen akselin kanssa Oz
.
Ratkaisu. Etsi tämän tason leikkauspiste akselin kanssa Oz... Koska mikä tahansa piste sijaitsee akselilla Oz, sillä on koordinaatit, jolloin asetetaan tasoon annettu yhtälö x = y = 0, saamme 4 z- 8 = 0 tai z= 2. Siksi tämän tason leikkauspiste akselin kanssa Oz on koordinaatit (0; 0; 2). Koska vaadittu suora on kohtisuorassa tasoon nähden, se on yhdensuuntainen sen normaalivektorin kanssa. Siksi suoran suuntaava vektori voi olla normaali vektori 
tietty lentokone.
Kirjoitamme nyt pisteen läpi kulkevan suoran haetut yhtälöt A= (0; 0; 2) vektorin suuntaan:
Kahden annetun pisteen läpi kulkevan suoran yhtälöt
Suora voidaan määrittää kahdella sen päällä olevalla pisteellä 
ja 
Tässä tapauksessa suoran suuntavektori voi olla vektori. Sitten muodostuvat suoran kanoniset yhtälöt
.
Yllä olevat yhtälöt määrittävät kahden annetun pisteen läpi kulkevan suoran.
Esimerkki 2. Tee pisteiden läpi kulkevan avaruuden suoran yhtälö.
Ratkaisu. Kirjoitetaan suoran haetut yhtälöt edellä esitetyssä muodossa teoreettisessa huomautuksessa:
.
Koska etsitty viiva on kohtisuorassa akseliin nähden Oy .
Suora kuin tasojen leikkausviiva
Suora avaruudessa voidaan määritellä kahden ei-yhdensuuntaisen tason leikkauslinjaksi eli pistejoukkoksi, joka täyttää kahden lineaarisen yhtälön järjestelmän
Järjestelmän yhtälöitä kutsutaan myös avaruuden suoran suoran yhtälöiksi.
Esimerkki 3. Kirjoita suoran kanoniset yhtälöt yleisten yhtälöiden antamaan tilaan
Ratkaisu. Jos haluat kirjoittaa suoran kanoniset yhtälöt tai, mikä on sama, kahden annetun pisteen läpi kulkevan suoran yhtälöt, sinun on löydettävä minkä tahansa kahden suoran pisteen koordinaatit. Ne voivat olla esimerkiksi suoran leikkauspisteitä minkä tahansa kahden koordinaattitason kanssa yOz ja xOz .
Suoran ja tason leikkauspiste yOz on abscissa x= 0. Siksi olettaen tietyssä yhtälöjärjestelmässä x= 0, saamme järjestelmän, jossa on kaksi muuttujaa:
Hänen päätöksensä y = 2 , z= 6 yhdessä x= 0 määrittää pisteen A(0; 2; 6) haluttu suora. Sitten asettaminen annettuun yhtälöjärjestelmään y= 0, saamme järjestelmän
Hänen päätöksensä x = -2 , z= 0 yhdessä y= 0 määrittää pisteen B(-2; 0; 0) suoran ja tason leikkauspisteet xOz .
Nyt kirjoitamme pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälöt A(0; 2; 6) ja B (-2; 0; 0) :
,
tai sen jälkeen, kun nimittäjät on jaettu -2:
,
Oppitunti sarjasta "Geometriset algoritmit"
Hei rakas lukija!
Tänään alamme tutkia geometriaan liittyviä algoritmeja. Tosiasia on, että tietojenkäsittelytieteessä on paljon laskennalliseen geometriaan liittyviä olympia -ongelmia, ja niiden ratkaiseminen aiheuttaa usein vaikeuksia.
Muutamassa oppitunnissa tarkastellaan useita aliohjelmia, joihin useimpien laskennallisten geometriaongelmien ratkaisu perustuu.
Tällä oppitunnilla luomme ohjelman löytää suoran yhtälö kulkee annetun kautta kaksi pistettä... Geometristen ongelmien ratkaisemiseksi tarvitsemme jonkin verran laskennallisen geometrian tuntemusta. Omistamme osan oppitunnista heidän tuntemiseensa.
Laskennalliset geometrian oivallukset
Laskennallinen geometria on tietotekniikan haara, joka tutkii algoritmeja geometristen ongelmien ratkaisemiseksi.
Tällaisten tehtävien lähtötiedot voivat olla tason pistejoukko, segmenttien joukko, monikulmio (määritetty esimerkiksi sen kärkien luettelolla myötäpäivään) jne.
Tulos voi olla joko vastaus johonkin kysymykseen (kuten kuuluuko piste segmenttiin, leikkaavatko kaksi segmenttiä ...) tai jokin geometrinen objekti (esimerkiksi pienin kupera monikulmio, joka yhdistää tietyt pisteet, Monikulmio jne.) ...
Tarkastelemme laskennallisia geometriaongelmia vain tasossa ja vain suorakulmaisessa koordinaatistossa.
Vektorit ja koordinaatit
Laskennallisen geometrian menetelmien soveltamiseksi geometriset kuvat on käännettävä numeroiden kielelle. Oletetaan, että tasossa on määritelty suorakulmainen koordinaattijärjestelmä, jossa pyörimissuuntaa vastapäivään kutsutaan positiiviseksi.
Geometriset objektit ilmaistaan nyt analyyttisesti. Joten pisteen asettamiseksi riittää osoittamaan sen koordinaatit: numeropari (x; y). Segmentti voidaan määrittää määrittämällä sen päiden koordinaatit, suora viiva voidaan määrittää määrittämällä sen pisteparin koordinaatit.
Mutta tärkein työkalu ongelmien ratkaisemiseen ovat vektorit. Siksi muistutan sinua niistä.
Jakso AB, missä vaiheessa A pidetään alkua (sovelluskohtaa) ja pistettä V- loppua kutsutaan vektoriksi AB ja tarkoittaa esimerkiksi joko lihavoitua tai pientä kirjainta a .
Vektorin pituuden (eli vastaavan segmentin pituuden) osoittamiseksi käytämme moduulisymbolia (esimerkiksi).
Mielivaltaisen vektorin koordinaatit ovat yhtä suuret kuin sen lopun ja alun vastaavien koordinaattien välinen ero:
,
tässä pisteitä A ja B
on koordinaatit 
vastaavasti.
Laskelmissa käytämme käsitettä suuntautunut kulma eli kulma, joka ottaa huomioon vektorien suhteellisen sijainnin.
Suunnattu kulma vektorien välillä a ja b positiivinen, jos kierto pois vektorista a vektoriksi b tehdään positiiviseen suuntaan (vastapäivään) ja negatiivisesti muutoin. Katso kuva 1a, kuva 1b. He sanovat myös, että pari vektoreita a ja b positiivisesti (negatiivisesti) suuntautunut.
Siten suunnatun kulman arvo riippuu järjestyksestä, jossa vektorit on lueteltu, ja voi ottaa arvoja alueella.
Monet laskennalliset geometriaongelmat käyttävät vektorien (vinossa tai pseudoskalaarisessa) tulojen käsitettä.
Vektorien a ja b vektoritulo on näiden vektoreiden pituuksien tulo niiden välisen kulman sinillä:
.
Vektorien vektoritulo koordinaateissa:
Oikealla oleva ilmaisu on toisen asteen determinantti:
Toisin kuin analyyttisen geometrian määritelmä, se on skalaari.
Ristituotteen merkki määrittää vektoreiden sijainnin toisiinsa nähden:
a ja b positiivisesti suuntautunut.
Jos arvo, niin pari vektoreita a ja b negatiivisesti suuntautunut.
Ei -nollavektoreiden vektoritulo on nolla, jos ja vain jos ne ovat kollineaarisia ( 
). Tämä tarkoittaa, että ne sijaitsevat yhdellä suoralla tai yhdensuuntaisella viivalla.
Tarkastellaan muutamia yksinkertaisimpia tehtäviä, joita tarvitaan monimutkaisempien tehtävien ratkaisemisessa.
Määritellään suoran yhtälö kahden pisteen koordinaateilla.
Yhtälö suorasta, joka kulkee kahden läpi eri kohdat niiden koordinaatit.
Olkoon kaksi suoraa pistettä, jotka eivät osu yhteen: koordinaateilla (x1; y1) ja koordinaateilla (x2; y2). Näin ollen vektorilla, jonka alku on pisteessä ja loppu pisteessä, on koordinaatit (x2-x1, y2-y1). Jos P (x, y) on mielivaltainen piste suorallamme, niin vektorikoordinaatit ovat (x -x1, y - y1).
Vektoritulon avulla kollineaarisuusehto vektoreille ja voidaan kirjoittaa seuraavasti:
Nuo. (x-x1) (y2-y1)-(y-y1) (x2-x1) = 0
(y2-y1) x + (x1-x2) y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) = 0
Kirjoitamme viimeisen yhtälön uudelleen seuraavasti:
kirves + x + c = 0, (1)
c = x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)
Suora voidaan siis asettaa muodon (1) yhtälöllä.
Tehtävä 1. Kahden pisteen koordinaatit on annettu. Etsi sen esitys ax + by + c = 0.
Tässä oppitunnissa tutustuimme laskennallisen geometrian tietoihin. Ratkaisimme ongelman löytää suoran yhtälö kahden pisteen koordinaateilla.
Seuraavalla oppitunnilla kirjoitamme ohjelman löytääksemme kahden suoran leikkauspisteen omien yhtälöidemme mukaan.
Suoran ominaisuudet euklidisessa geometriassa.
Voit piirtää äärettömän monta suoraa minkä tahansa pisteen läpi.
Yksi suora viiva voidaan vetää minkä tahansa kahden ei-osuvan pisteen läpi.
Kaksi epätasaista suoraa tasossa joko leikkaavat yhdessä kohdassa tai ovat
rinnakkainen (seuraa edellisestä).
Kolmiulotteisessa avaruudessa on kaksi vaihtoehtoa kahden suoran suoralle sijainnille:
- suorat viivat leikkaavat;
- suorat viivat ovat yhdensuuntaisia;
- suorat viivat leikkaavat.
Suoraan linja- ensimmäisen kertaluvun algebrallinen käyrä: suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä
annetaan tasossa ensimmäisen asteen yhtälöllä (lineaarinen yhtälö).
Suoran yleinen yhtälö.
Määritelmä... Mikä tahansa suora tasossa voidaan antaa ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä
Kirves + Wu + C = 0,
vakion kanssa A, B eivät ole yhtä aikaa nollaa. Tätä ensimmäisen kertaluvun yhtälöä kutsutaan yleinen
suoran yhtälö. Riippuen vakioiden arvoista A, B ja KANSSA seuraavat erityistapaukset ovat mahdollisia:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- suora kulkee alkuperän läpi
. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 ( + C = 0)- suora akselin suuntainen suora vai niin
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Axe + C = 0)- suora akselin suuntainen suora OU
. B = C = 0, A ≠ 0- suora linja vastaa akselia OU
. A = C = 0, B ≠ 0- suora linja vastaa akselia vai niin
Suorayhtälö voidaan esittää muodossa useita muotoja riippuen mistä tahansa
alkuolosuhteet.
Pistettä ja normaalia vektoria pitkin olevan suoran yhtälö.
Määritelmä... Cartesian kielellä suorakulmainen järjestelmä koordinoi vektorin komponenteilla (A, B)
kohtisuorassa yhtälön antamaan suoraan
Kirves + Wu + C = 0.
Esimerkki... Etsi pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö A (1, 2) kohtisuorassa vektoriin nähden (3, -1).
Ratkaisu... Kohdissa A = 3 ja B = -1 muodostamme suoran yhtälön: 3x - y + C = 0. Kerroimen C löytämiseksi
Korvaa annetun pisteen A koordinaatit tuloksena olevaan lausekkeeseen
C = -1. Yhteensä: vaadittu yhtälö: 3x - y - 1 = 0.
Kahden pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö.
Annetaan kaksi pistettä avaruudessa M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M2 (x 2, y 2, z 2), sitten suoran yhtälö,
kulkee näiden pisteiden läpi:
Jos jokin nimittäjistä on nolla, vastaava lukija on rinnastettava nollaan. Päällä
tasossa, yllä kirjoitetun suoran yhtälö on yksinkertaistettu:
jos x 1 x 2 ja x = x 1, jos x 1 = x 2 .
Murtoluku = k nimeltään kaltevuus suoraan.
Esimerkki... Etsi pisteiden A (1, 2) ja B (3, 4) kautta kulkevan suoran yhtälö.
Ratkaisu... Soveltamalla yllä olevaa kaavaa saamme:
Suoran yhtälö pisteen ja kaltevuuden mukaan.
Jos suoran yleinen yhtälö Kirves + Wu + C = 0 tuo lomakkeelle:
ja nimetä 
, sitten tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan
suoran yhtälö, jonka kaltevuus on k.
Suoran yhtälö pisteen ja suuntavektorin varrella.
Analogisesti kappaleen kanssa, kun otetaan huomioon normaalin vektorin läpi kulkevan suoran yhtälö, voit kirjoittaa tehtävän
pisteen läpi kulkeva suora viiva ja suoran suunnan vektori.
Määritelmä... Jokainen ei -nolla -vektori (α 1, α 2) joiden osat täyttävät ehdot
Αα 1 + Вα 2 = 0 nimeltään suoran suunnan vektori.
Kirves + Wu + C = 0.
Esimerkki... Etsi suoran yhtälö, jossa on suuntavektori (1, -1) ja joka kulkee pisteen A (1, 2) läpi.
Ratkaisu... Vaaditun suoran yhtälö haetaan muodossa: Kirves + By + C = 0. Määritelmän mukaan
kertoimien on täytettävä seuraavat ehdot:
1 * A + (-1) * B = 0, ts. A = B.
Sitten suoran yhtälö on muotoa: Kirves + Ay + C = 0, tai x + y + C / A = 0.
klo x = 1, y = 2 saamme C / A = -3 eli vaadittu yhtälö:
x + y - 3 = 0
Suoran yhtälö segmenteissä.
Jos suoran yleisessä yhtälössä Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, niin jakamalla -C, saamme:
tai missä
Kertoimien geometrinen merkitys on, että kerroin a on leikkauspisteen koordinaatti
suoraan akselin kanssa Vai niin, a b- suoran ja akselin leikkauspisteen koordinaatti OU.
Esimerkki... Suoran yleinen yhtälö on annettu x - y + 1 = 0. Etsi tämän suoran yhtälö segmenteistä.
С = 1, a = -1, b = 1.
Suoran normaali yhtälö.
Jos yhtälön molemmat puolet Kirves + Wu + C = 0 jakaa numerolla 
jota kutsutaan
normalisoiva tekijä, sitten saamme
xcosφ + ysinφ - p = 0 -suoran normaaliyhtälö.
Normalisointikertoimen ± merkki tulee valita niin, että μ * C.< 0.
R- kohtisuoran pituus pudotettuna lähtökohdasta suoraan viivaan,
a φ - kulma, joka muodostuu kohtisuoraan akselin positiivisen suunnan kanssa Vai niin.
Esimerkki... Suoran yleinen yhtälö on annettu 12x - 5y - 65 = 0... Se on pakko kirjoittaa Erilaisia tyyppejä yhtälöt
tämä suora viiva.
Tämän suoran yhtälö segmenteissä:
Tämän suoran yhtälö kaltevuuden kanssa: (jaa viidellä)
Suoran yhtälö:
cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.
On huomattava, että kaikkia suoria viivoja ei voida esittää yhtälönä segmenteissä, esimerkiksi suorat,
akseleiden suuntaisia tai lähtöpisteen läpi kulkevia.
Taso suorien viivojen välinen kulma.
Määritelmä... Jos annetaan kaksi riviä y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, sitten terävä kulma näiden viivojen välillä
määritellään
Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, jos k 1 = k 2... Kaksi suora kohtisuora,
jos k 1 = -1 / k 2 .
Lause.
Suoraan Kirves + Wu + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ovat rinnakkaisia, kun kertoimet ovat verrannollisia
А 1 = λА, В 1 = λВ... Jos myös С 1 = λС, sitten suorat linjat osuvat yhteen. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit
löydetään ratkaisuna näiden suorien yhtälöiden järjestelmälle.
Yhtälö suorasta, joka kulkee tietyn pisteen läpi kohtisuoraan tiettyyn suoraan.
Määritelmä... Viiva pisteen läpi M 1 (x 1, y 1) ja kohtisuorassa suoraan y = kx + b
edustaa yhtälö:
Etäisyys pisteestä viivaan.
Lause... Jos piste annetaan M (x 0, y 0), etäisyys suorasta linjasta Kirves + Wu + C = 0 määritelty:
Todiste... Anna pointin M 1 (x 1, y 1)- kohtisuoran pohja putosi pisteestä M tiettyä varten
suora viiva. Sitten pisteiden välinen etäisyys M ja M 1:
(1)
Koordinaatit x 1 ja klo 1 voidaan löytää ratkaisuna yhtälöjärjestelmään:
Järjestelmän toinen yhtälö on suoran yhtälö, joka kulkee annetun pisteen M 0 läpi kohtisuoraan
tietty suora. Jos muutamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + kirves 0 + x 0 + C = 0,
Sitten ratkaisemalla saamme:
Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1) löydämme:
Lause on todistettu.
Määritelmä. Mikä tahansa suora tasossa voidaan antaa ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä
Kirves + Wu + C = 0,
ja vakiot A, B eivät ole yhtä aikaa nollaa. Tätä ensimmäisen kertaluvun yhtälöä kutsutaan suoran yleinen yhtälö. Riippuen arvoista vakioita A, B ja C seuraavat erityistapaukset ovat mahdollisia:
C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - viiva kulkee alkuperän läpi
A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0) - suora on yhdensuuntainen Ox -akselin kanssa
B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) - suora on yhdensuuntainen Oy -akselin kanssa
B = C = 0, A ≠ 0 - suora yhtyy Oy -akseliin
A = C = 0, B ≠ 0 - suora linja vastaa Ox -akselia
Suoran yhtälö voidaan esittää eri muodoissa riippuen mistä tahansa alkutilanteesta.
Pistettä ja normaalia vektoria pitkin olevan suoran yhtälö
Määritelmä. Suorakulmaisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa vektori, jossa on komponentteja (A, B), on kohtisuorassa yhtälön Ax + Vy + C = 0 antamaan suoraan.
Esimerkki... Etsi pisteen A (1, 2) kautta kulkevan suoran yhtälö kohtisuorassa (3, -1).
Ratkaisu... Kohdissa A = 3 ja B = -1 muodostamme suoran yhtälön: 3x - y + C = 0. Löytääksesi kerroimen C korvaamme annetun pisteen A koordinaatit tuloksena olevaan lausekkeeseen. 3-2 + C = 0, siis C = -1 ... Yhteensä: vaadittu yhtälö: 3x - y - 1 = 0.
Kahden pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö
Anna kaksi pistettä M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2) avaruudessa, ja sitten näiden pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälö:
Jos jokin nimittäjistä on nolla, vastaava laskuri on rinnastettava nollaan. Tasossa yllä olevan suoran yhtälö on yksinkertaistettu:
jos x 1 ≠ x 2 ja x = x 1, jos x 1 = x 2.
Murtoluku = k kutsutaan kaltevuus suoraan.
Esimerkki... Etsi pisteiden A (1, 2) ja B (3, 4) kautta kulkevan suoran yhtälö.
Ratkaisu. Soveltamalla yllä olevaa kaavaa saamme:
Suoran yhtälö pisteen ja kaltevuuden mukaan
Jos kokonainen Ax + Vu + C = 0 tuo lomakkeeseen:
ja nimetä 
, sitten tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan suoran ja kaltevuuden yhtälök.
Suoran yhtälö pisteen ja suuntavektorin varrella
Analogisesti kappaleen kanssa, kun otetaan huomioon normaalin vektorin läpi kulkevan suoran yhtälö, voit syöttää suoran määrittelyn pisteen ja suoran suuntavektorin kautta.
Määritelmä. Jokaista suuntausvektoria kutsutaan jokaista nollasta poikkeavaa vektoria (α 1, α 2), jonka komponentit täyttävät ehdon А α 1 + В α 2 = 0
Kirves + Wu + C = 0.
Esimerkki. Etsi suoran yhtälö, jossa on suuntavektori (1, -1) ja joka kulkee pisteen A (1, 2) läpi.
Ratkaisu. Halutun suoran yhtälö haetaan muodossa: Ax + By + C = 0. Määritelmän mukaan kertoimien on täytettävä ehdot:
1 * A + (-1) * B = 0, ts. A = B.
Sitten suoran yhtälö on muotoa: Ax + Ay + C = 0 tai x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 saamme C / A = -3, ts. vaadittu yhtälö:
Suoran yhtälö segmenteissä
Jos suoran yleisessä yhtälössä Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, niin jakamalla –C, saamme: 
tai
Kertoimien geometrinen merkitys on, että kerroin a on suoran ja Ox -akselin leikkauspisteen koordinaatti, ja b- suoran ja Oy -akselin leikkauspisteen koordinaatti.
Esimerkki. Suoran yleinen yhtälö x - y + 1 = 0. Etsi tämän suoran yhtälö segmenteissä.
С = 1, a = -1, b = 1.
Suoran normaali yhtälö
Jos yhtälön molemmat puolet Ax + Vy + C = 0 kerrotaan luvulla 
jota kutsutaan normalisoiva tekijä, sitten saamme
xcosφ + ysinφ - p = 0 -
suoran normaaliyhtälö. Normalisaatiokertoimen ± merkki tulisi valita siten, että μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Esimerkki... Suoran yleinen yhtälö 12x - 5y - 65 = 0. Tämän suoran erilaiset yhtälöt on kirjoitettava.
tämän suoran yhtälö segmenteissä: 
tämän suoran yhtälö kaltevuudella: (jaa 5: llä)
; cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.
On huomattava, että jokaista suoraa ei voida esittää yhtälönä segmenteissä, esimerkiksi suoria viivoja akseleiden kanssa yhdensuuntaisesti tai kulkevan alkuperän läpi.
Esimerkki... Suora katkaisee yhtä suuret positiiviset segmentit koordinaattiakseleilta. Tee yhtälö suorasta, jos näiden segmenttien muodostaman kolmion pinta -ala on 8 cm 2.
Ratkaisu. Suoran yhtälön muoto on :, ab / 2 = 8; ab = 16; a = 4, a = -4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
Esimerkki... Piirrä pisteen A (-2, -3) ja lähtökohdan läpi kulkevan suoran yhtälö.
Ratkaisu.
Suoran yhtälön muoto on: 
, jossa x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y 2 = -3.
Taso suorien viivojen välinen kulma
Määritelmä. Jos annetaan kaksi suoraa y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, näiden viivojen välinen terävä kulma määritellään
.
Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, jos k 1 = k 2. Kaksi suoraa on kohtisuorassa, jos k 1 = -1 / k 2.
Lause. Suorat Ax + Vy + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ovat yhdensuuntaisia, kun suhteelliset kertoimet A 1 = λA, B 1 = λB. Jos myös С 1 = λС, rivit osuvat yhteen. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit löytyvät ratkaisuna näiden suorien yhtälöjärjestelmään.
Yhtälö suorasta, joka kulkee tietyn pisteen läpi kohtisuoraan tiettyyn suoraan
Määritelmä. Suoraa, joka kulkee pisteen M 1 (x 1, y 1) läpi ja on kohtisuorassa suoraan viivaan y = kx + b, esittää yhtälö:
Etäisyys pisteestä viivaan
Lause. Jos annetaan piste M (x 0, y 0), etäisyys suoraan linjaan Ax + Vy + C = 0 määritetään
.
Todiste. Olkoon piste M 1 (x 1, y 1) pisteestä M tietylle suoralle pudotetun kohtisuoran perusta. Sitten pisteiden M ja M 1 välinen etäisyys:
(1)
Koordinaatit x 1 ja y 1 löytyvät ratkaisuna yhtälöjärjestelmään:
Järjestelmän toinen yhtälö on suoran yhtälö, joka kulkee tietyn pisteen M 0 kautta, joka on kohtisuorassa tiettyyn suoraan. Jos muutamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + kirves 0 + x 0 + C = 0,
Sitten ratkaisemalla saamme:
Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1) löydämme:
Lause on todistettu.
Esimerkki... Määritä suorien viivojen välinen kulma: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ = π / 4.
Esimerkki... Osoita, että suorat 3x - 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y - 3 = 0 ovat kohtisuorassa.
Ratkaisu... Löydämme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, joten suorat ovat kohtisuorassa.
Esimerkki... Kolmion A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) kärkipisteet on annettu. Etsi pisteestä C piirretyn korkeuden yhtälö.
Ratkaisu... Löydämme sivun AB yhtälön: 
; 4 x = 6 y - 6;
2 x - 3 y + 3 = 0;
Vaadittu korkeusyhtälö on: Ax + By + C = 0 tai y = kx + b. k =. Sitten y =. Koska korkeus kulkee pisteen C läpi, sen koordinaatit täyttävät tämän yhtälön: 
mistä b = 17. Yhteensä :. 
Vastaus: 3 x + 2 y - 34 = 0.
Anna viivan kulkea pisteiden M 1 (x 1; y 1) ja M 2 (x 2; y 2) läpi. Pisteen M 1 läpi kulkevan suoran yhtälö on muotoa y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)
missä k - kerroin vielä tuntematon.
Koska suora kulkee pisteen M 2 (x 2 y 2) läpi, tämän pisteen koordinaattien on täytettävä yhtälö (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 x 1).
Täältä löydetty arvo korvataan k
yhtälöön (10.6) saadaan pisteiden M 1 ja M 2 kautta kulkevan suoran yhtälö: 
Oletetaan, että tässä yhtälössä x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Jos x 1 = x 2, pisteiden M 1 (x 1, y I) ja M 2 (x 2, y 2) kautta kulkeva suora on yhdensuuntainen ordinaattiakselin kanssa. Sen yhtälöllä on muoto x = x 1 .
Jos y 2 = y I, niin suoran yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa y = y 1, suora M 1 M 2 on yhdensuuntainen abscissa -akselin kanssa.
Suoran yhtälö segmenteissä
Olkoon suora leikkaus Ox -akselin kanssa pisteessä M 1 (a; 0) ja Oy -akseli - pisteessä M 2 (0; b). Yhtälö tulee muodossa: 
nuo. 
... Tätä yhtälöä kutsutaan suoran yhtälö segmenteissä, koska numerot a ja b osoittavat, mitkä segmentit on katkaistu suoralla viivalla koordinaattiakseleilla.
Yhtälö suorasta, joka kulkee tietyn pisteen läpi kohtisuoraan tiettyyn vektoriin nähden
Etsitään tietyn pisteen Mo (x O; y o) kautta kulkevan suoran yhtälö, joka on kohtisuorassa tiettyyn ei -nollavektoriin n = (A; B).
Ota mielivaltainen piste M (x; y) suoralle ja tarkista vektori M 0 M (x - x 0; y - y o) (katso kuva 1). Koska vektorit n ja M o M ovat kohtisuorassa, niiden skalaaritulo on nolla: eli
A (x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)
Yhtälöä (10.8) kutsutaan suoran yhtälö, joka kulkee tietyn pisteen läpi kohtisuoraan tiettyyn vektoriin nähden .
Suoraan kohtisuoraa vektoria n = (A; B) kutsutaan normaaliksi tämän viivan normaali vektori .
Yhtälö (10.8) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon Kirves + Wu + C = 0 , (10.9)
jossa A ja B ovat normaalivektorin koordinaatit, C = -Aх о - Ву о - vapaa termi. Yhtälö (10.9) on suoran yleinen yhtälö(katso kuva 2).
Kuva 1 Kuva 2
Suoran kanoniset yhtälöt
,
Missä 
- pisteen koordinaatit, jonka kautta suora kulkee, ja 
on suuntavektori.
Toisen asteen käyrät
Ympyrä on tason kaikkien pisteiden joukko, joka on yhtä kaukana tietystä pisteestä, jota kutsutaan keskipisteeksi.
Sädeympyrän kanoninen yhtälö
R keskitetty kohtaan 
:
Erityisesti, jos panoksen keskikohta on sama kuin alkuperä, yhtälö näyttää tältä: 
Ellipsi
Ellipsi on tason pistejoukko, jonka etäisyydet kustakin kahdesta pisteestä ovat summa
ja 
, joita kutsutaan polttimiksi, on vakioarvo 
suurempi kuin polttimien välinen etäisyys 
.
Ellipsin kanoninen yhtälö, jonka polttopisteet sijaitsevat Härän akselilla, ja koordinaattien alkuperä keskipisteiden välissä on muoto 
G 
de a puoli-pääakselin pituus; b - pienen puoliakselin pituus (kuva 2).
