Pratik becerilerin eğitimi için bir sitedeki bir işlevin Taylor, Maclaurin ve Laurent serisine genişletilmesi. Bir fonksiyonun bu seri açılımı, matematikçilerin, fonksiyonun tanım alanındaki bir noktada yaklaşık değerini tahmin etmelerine olanak tanır. Böyle bir fonksiyon değerini hesaplamak, bilgisayar teknolojisi çağında artık alakasız olan Bredis tablosunu kullanmakla karşılaştırıldığında çok daha kolaydır. Bir fonksiyonu Taylor serisine genişletmek, bu serinin doğrusal fonksiyonlarının katsayılarını hesaplamak ve bunu yazmak anlamına gelir. doğru biçim. Öğrenciler ikincinin genel durumunun ne olduğunu ve özel durumunun ne olduğunu anlamadan bu iki seriyi karıştırırlar. Maclaurin serisini size bir kez daha hatırlatıyoruz: özel durum Taylor serisi, yani bu Taylor serisidir, ancak x = 0 noktasında. e^x, Sin(x), Cos(x) ve diğerleri gibi iyi bilinen fonksiyonların açılımına ilişkin tüm kısa girişler, Taylor serisi açılımlarıdır, ancak argüman için 0 noktasındadır. Karmaşık bir argümanın fonksiyonları için Laurent serisi, iki taraflı sonsuz bir seriyi temsil ettiğinden TFCT'de en yaygın sorundur. İki serinin toplamıdır. Doğrudan web sitesindeki bir ayrıştırma örneğine bakmanızı öneririz; herhangi bir rakamla "Örnek" ve ardından "Çözüm" düğmesine tıklayarak bunu yapmak çok kolaydır. Değişken apsis bölgesine aitse, orijinal fonksiyonu ordinat ekseni boyunca belirli bir bölgede sınırlayan, tam olarak bir fonksiyonun bir çoğullaştırıcı seriyle ilişkili bir seriye genişlemesidir. Vektör analizi matematikteki başka bir ilginç disiplinle karşılaştırılır. Her dönemin incelenmesi gerektiğinden süreç oldukça fazla zaman gerektirmektedir. Herhangi bir Taylor serisi, x0'ı sıfırla değiştirerek bir Maclaurin serisiyle ilişkilendirilebilir, ancak bir Maclaurin serisi için Taylor serisini tersten temsil etmek bazen açık değildir. Bunun yapılması ne kadar gerekli olursa olsun saf formu, ancak genel kişisel gelişim için ilginç. Her Laurent serisi iki taraflı bir sonsuzluğa karşılık gelir güç serisi tümünde güçler z-a diğer bir deyişle aynı Taylor tipinde fakat katsayıların hesaplanmasında biraz farklı olan bir seri. Laurent serisinin yakınsaklık bölgesinden biraz sonra birkaç teorik hesaplamadan sonra bahsedeceğiz. Geçen yüzyılda olduğu gibi, paydalardaki fonksiyonlar doğrusal olmadığından, bir fonksiyonun adım adım bir seriye genişletilmesi, terimlerin ortak bir paydaya getirilmesiyle pek mümkün değildir. Problemlerin formülasyonu, fonksiyonel değerin yaklaşık bir hesaplamasını gerektirir. Bir Taylor serisinin argümanı doğrusal bir değişken olduğunda, genişletmenin birkaç adımda gerçekleştiğini, ancak genişletilen fonksiyonun argümanı karmaşık veya doğrusal olmayan bir fonksiyon olduğunda resmin tamamen farklı olduğunu, o zaman işlemin tamamen farklı olduğunu düşünün. Böyle bir fonksiyonun bir güç serisinde temsil edilmesi açıktır, çünkü bu şekilde, yaklaşık bir değer de olsa, tanım bölgesindeki herhangi bir noktada, sonraki hesaplamalar üzerinde çok az etkisi olan minimum hatayla hesaplama yapmak kolaydır. Bu aynı zamanda Maclaurin serisi için de geçerlidir. fonksiyonun sıfır noktasında hesaplanması gerektiğinde. Bununla birlikte, Laurent serisinin kendisi burada hayali birimlerle düzlemde bir genişleme ile temsil edilmektedir. Başarısız da olmayacak doğru çözüm sırasındaki görevler genel süreç. Bu yaklaşım matematikte bilinmiyor ama nesnel olarak var. Sonuç olarak, noktasal alt kümeler olarak adlandırılan sonuca varabilirsiniz ve bir serideki bir fonksiyonun genişletilmesinde, türev teorisinin uygulanması gibi bu süreç için bilinen yöntemleri kullanmanız gerekir. Hesaplama sonrası hesaplamaların sonuçlarına ilişkin varsayımlarda bulunan öğretmenin haklı olduğuna bir kez daha ikna olduk. Matematiğin tüm kanonlarına göre elde edilen Taylor serisinin var olduğunu ve tüm sayısal eksende tanımlandığını belirtelim, ancak site hizmetinin sevgili kullanıcıları, orijinal fonksiyonun türünü unutmayın çünkü ortaya çıkabilir başlangıçta fonksiyonun tanım alanını oluşturmak, yani bölgede fonksiyonun tanımlanmadığı noktaları yazmak ve daha fazla değerlendirmeden çıkarmak gerekir gerçek sayılar. Tabiri caizse bu, sorunu çözme konusundaki verimliliğinizi gösterecektir. Sıfır argüman değerine sahip bir Maclaurin serisinin oluşturulması, söylenenlerin bir istisnası olmayacaktır. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulma süreci iptal edilmemiştir ve bu matematiksel işleme tüm ciddiyetle yaklaşmalısınız. Ana parçayı içeren bir Laurent serisi durumunda, “a” parametresine izole edilmiş tekil nokta adı verilecek ve Laurent serisi bir halkada genişletilecektir - bu, parçalarının yakınsama alanlarının kesişimidir, dolayısıyla karşılık gelen teorem takip edecektir. Ancak her şey deneyimsiz bir öğrenciye ilk bakışta göründüğü kadar karmaşık değildir. Taylor serisini inceledikten sonra, sayıların uzayını genişletmek için genelleştirilmiş bir durum olan Laurent serisini kolayca anlayabilirsiniz. Bir fonksiyonun herhangi bir seri açılımı, yalnızca fonksiyonun tanım alanındaki bir noktada gerçekleştirilebilir. Fonksiyonların periyodiklik veya sonsuz türevlenebilirlik gibi özellikleri dikkate alınmalıdır. Ayrıca, çevrimiçi hesap makinemizi kullanarak görülebileceği gibi, bir fonksiyon düzinelerce farklı kuvvet serisiyle temsil edilebildiğinden, temel fonksiyonların hazır Taylor serisi açılımları tablosunu kullanmanızı öneririz. Çevrimiçi dizi Maclaurin'i belirlemek armut bombardımanı kadar kolaydır, eğer sitenin benzersiz hizmetini kullanırsanız, sadece doğru yazılı fonksiyonu girmeniz yeterlidir ve sunulan cevabı birkaç saniye içinde alacaksınız, doğru ve standart olması garanti edilecektir. yazılı şekli. Öğretmene göndermek üzere sonucu doğrudan temiz bir kopyaya kopyalayabilirsiniz. Söz konusu fonksiyonun önce halkalarda analitikliğini belirlemek, ardından bu tür halkaların hepsinde Laurent serisine genişletilebilir olduğunu açıkça belirtmek doğru olacaktır. Laurent serisinin negatif kuvvetler içeren terimlerinin gözden kaçırılmaması önemlidir. Mümkün olduğunca buna odaklanın. Bir fonksiyonun tamsayı kuvvetlerine genişletilmesine ilişkin Laurent teoremini iyi bir şekilde kullanın.
Fonksiyonel seriler arasında en çok önemli yer kuvvet serisini işgal eder.
Kuvvet serisi bir seridir
terimleri artan negatif olmayan tamsayı kuvvetlerine göre düzenlenmiş kuvvet fonksiyonlarıdır X, A C0 , C 1 , C 2 , C N - sabit değerler. Sayılar C1 , C 2 , C N - seri terimlerinin katsayıları, C0 - Ücretsiz Üye. Kuvvet serisinin terimleri sayı doğrusunun tamamında tanımlanır.
Konsepti tanıyalım kuvvet serilerinin yakınsaklık alanları. Bu bir dizi değişken değerdir X, bunun için seri yakınsaktır. Kuvvet serileri oldukça basit bir yakınsama bölgesine sahiptir. Gerçek değişken değerleri için X yakınsama bölgesi ya bir noktadan oluşur ya da belirli bir aralıktır (yakınsama aralığı) ya da tüm eksenle çakışır Öküz .
Değerleri güç serisine yerleştirirken X= 0 bir sayı serisiyle sonuçlanacaktır
C0 +0+0+...+0+... ,
hangi birleşir.
Bu nedenle ne zaman X= 0 herhangi bir kuvvet serisi yakınsar ve bu nedenle, yakınsama alanı boş küme olamaz. Tüm kuvvet serilerinin yakınsama bölgesinin yapısı aynıdır. Aşağıdaki teorem kullanılarak belirlenebilir.
Teorem 1 (Abel teoremi). Bir kuvvet serisi belirli bir değerde yakınsarsa X = X 0 sıfırdan farklıysa yakınsar ve dahası, tüm değerler için kesinlikle |X| < |X 0 | . Lütfen unutmayın: hem “X sıfırdır” başlangıç değeri hem de başlangıç değeriyle karşılaştırılan herhangi bir “X” değeri, işaret dikkate alınmaksızın modulo olarak alınır.
Sonuçlar. Eğer kuvvet serisi ıraksar bir değerde X = X 1 , o zaman tüm değerler için ıraksar |X| > |X 1 | .
Daha önce öğrendiğimiz gibi, herhangi bir kuvvet serisi şu değerde yakınsar: X= 0. Yalnızca şu durumlarda yakınsayan kuvvet serileri vardır: X= 0 ve diğer değerler için ıraksak X. Bu durumu göz önünde bulundurmadan, kuvvet serilerinin bir değerde yakınsadığını varsayıyoruz. X = X 0 , sıfırdan farklı. O halde Abel teoremine göre ]-| aralığının her noktasında yakınsar. X0 |, |X 0 |[ (sol ve sağ sınırları, güç serisinin yakınlaştığı x değerleri olan, sırasıyla eksi işareti ve artı işaretiyle alınan bir aralık), orijine göre simetrik.
Kuvvet serisi belirli bir değerde ıraksaıyorsa X = X 1 , bu durumda, Abel teoreminin bir sonucuna dayanarak, [-| segmentinin dışındaki tüm noktalarda ıraksar. X1 |, |X 1 |] . Herhangi bir kuvvet serisi için orijine göre simetrik bir aralık vardır. yakınsama aralığı , serinin yakınlaştığı her noktada, sınırlarda yakınlaşabilir veya uzaklaşabilir ve mutlaka aynı anda olması gerekmez ve segmentin dışında seri ıraksar. Sayı R kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı denir.
Özel durumlarda kuvvet serilerinin yakınsama aralığı bir noktaya kadar yozlaşabilir (bu durumda seri ancak X= 0 ve öyle kabul edilir R= 0) veya sayı doğrusunun tamamını temsil eder (bu durumda seri sayı doğrusu üzerindeki tüm noktalarda yakınsar ve öyle olduğu varsayılır).
Dolayısıyla bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesinin belirlenmesi, onun yakınsaklığının belirlenmesinden ibarettir. yakınsama yarıçapı R ve yakınsama aralığı sınırlarında ('da) serinin yakınsaklığının incelenmesi.
Teorem 2. Belirli bir noktadan başlayarak bir kuvvet serisinin tüm katsayıları sıfırdan farklıysa yakınsama yarıçapı sınıra eşit serinin genel takip eden üyelerinin katsayılarının mutlak değerlerinin oranı, yani.
Örnek 1. Kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesini bulun
Çözüm. Burada
Formül (28)'i kullanarak bu serinin yakınsama yarıçapını buluruz:
Yakınsama aralığının uçlarındaki serilerin yakınsaklığını inceleyelim. Örnek 13 bu serinin şu noktada yakınsadığını göstermektedir: X= 1 ve ıraksar X= -1. Sonuç olarak, yakınsama bölgesi yarı aralıktır.
Örnek 2. Kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesini bulun
Çözüm. Serinin katsayıları pozitiftir ve
Bu oranın limitini bulalım. kuvvet serilerinin yakınsama yarıçapı:
Serinin aralığın sonlarındaki yakınsaklığını inceleyelim. Değerlerin değiştirilmesi X= -1/5 ve X= 1/5 bu satırda şunu verir:
Bu serilerden ilki yakınsar (bkz. Örnek 5). Ancak o zaman “Mutlak yakınsaklık” bölümündeki teorem gereği ikinci seri de yakınsar ve yakınsaklığının bölgesi segmenttir.
Örnek 3. Kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesini bulun
Çözüm. Burada
Formül (28)'i kullanarak serinin yakınsaklık yarıçapını buluruz:
değerleri için serinin yakınsaklığını inceleyelim. Bunları bu seride yerine koyarsak sırasıyla şunu elde ederiz:
Her iki satır da yerine getirilmediği için birbirinden ayrılıyor gerekli kondisyon yakınsama (ortak terimleri sıfıra yönelmez). Yani yakınsama aralığının her iki ucunda da bu seri ıraksar ve yakınsaklık bölgesi aralıktır.
Örnek 5. Kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesini bulun
Çözüm. İlişkiyi nerede buluyoruz ve 
:
Formül (28)'e göre, bu serinin yakınsama yarıçapı
,
yani seri yalnızca şu durumlarda yakınsar X= 0 ve diğer değerler için ıraksar X.
Örnekler, yakınsama aralığının sonlarında serinin farklı davrandığını göstermektedir. Örnek 1'de yakınsama aralığının bir ucunda seri yakınsar, diğer ucunda ise ıraksar; örnek 2'de her iki uçta da yakınsar; örnek 3'te her iki uçta da ıraksar.
Bir güç serisinin yakınsama yarıçapı formülü, seri terimlerinin belirli bir noktadan başlayarak tüm katsayılarının sıfırdan farklı olduğu varsayımıyla elde edilir. Bu nedenle formül (28)'in kullanımına yalnızca bu durumlarda izin verilir. Bu koşul ihlal edilirse, güç serisinin yakınsaklık yarıçapı kullanılarak aranmalıdır. d'Alembert'in işareti veya değişkeni değiştirerek seriyi belirtilen koşulun sağlandığı bir forma dönüştürmek.
Örnek 6. Kuvvet serisinin yakınsaklık aralığını bulun
Çözüm. Bu seri tek dereceli terimler içermiyor X. Bu nedenle diziyi ayarlayarak dönüştürüyoruz. Sonra diziyi alıyoruz
formül (28)'i uygulayabileceğimiz yakınsama yarıçapını bulmak için. a olduğundan bu serinin yakınsaklık yarıçapı
Dolayısıyla elde ettiğimiz eşitlikten bu seri aralıkta yakınsar.
Güç serilerinin toplamı. Güç serilerinin farklılaşması ve entegrasyonu
Güç serisi için izin ver
yakınsama yarıçapı R> 0, yani bu seri aralıkta yakınsar.
Daha sonra her değer X yakınsama aralığından serinin belirli bir toplamına karşılık gelir. Bu nedenle güç serilerinin toplamı şuna bağlıdır: X yakınsama aralığında. Şununla belirtmek F(X), eşitliği yazabiliriz
bunu her noktadaki serinin toplamı anlamında anlamak X yakınsama aralığından fonksiyonun değerine eşittir F(X) Bu noktada. Aynı anlamda kuvvet serisinin (29) fonksiyona yakınsadığını söyleyeceğiz. F(X) yakınsama aralığında.
Yakınsama aralığının dışında eşitliğin (30) hiçbir anlamı yoktur.
Örnek 7. Güç serisinin toplamını bulun
Çözüm. Bu geometrik bir seridir A= 1, bir Q= X. Bu nedenle toplamı bir fonksiyondur 
. Bir seri eğer yakınsar ve onun yakınsama aralığıdır. Bu nedenle eşitlik
işlev yalnızca değerler için geçerlidir, ancak işlev 
tüm değerler için tanımlanmış X, hariç X= 1.
Güç serilerinin toplamının olduğu kanıtlanabilir. F(X) yakınsama aralığındaki herhangi bir aralıkta, özellikle serinin yakınsama aralığındaki herhangi bir noktada sürekli ve türevlenebilirdir.
Kuvvet serilerinin terim terim türevi ve integrali ile ilgili teoremleri sunalım.
Teorem 1. Yakınsama aralığındaki kuvvet serileri (30), sınırsız sayıda terim terim farklılaştırılabilir ve elde edilen kuvvet serileri, orijinal seri ile aynı yakınsama yarıçapına sahiptir ve bunların toplamları sırasıyla eşittir.
Teorem 2. Kuvvet serisi (30), 0 ile 0 arasında sınırsız sayıda terim terim entegre edilebilir. X, if , ve ortaya çıkan kuvvet serileri orijinal seriyle aynı yakınsaklık yarıçapına sahiptir ve toplamları buna uygun olarak eşittir
Fonksiyonların kuvvet serilerine genişletilmesi
Fonksiyon verilsin F(X), bunun bir kuvvet serisine genişletilmesi gerekiyor, yani. (30) formunda temsil edilir:
Görev katsayıları belirlemektir. 
sıra (30). Bunu yapmak için eşitliği (30) terimden terime ayırarak tutarlı bir şekilde şunu buluruz:
……………………………………………….. (31)
(30) ve (31) eşitliklerini varsayarsak X= 0, buluruz
Bulunan ifadeleri eşitlik (30) ile değiştirerek şunu elde ederiz:
(32)
Bazı temel fonksiyonların Maclaurin serisi açılımını bulalım.
Örnek 8. Fonksiyonu Maclaurin serisinde genişletin
Çözüm. Bu fonksiyonun türevleri fonksiyonun kendisiyle çakışmaktadır:
Bu nedenle ne zaman X= 0 elimizde
Bu değerleri formül (32)'ye değiştirerek istenen genişlemeyi elde ederiz:
(33)
Bu seri tüm sayı doğrusu üzerinde (yakınsaklık yarıçapı) yakınsar.
Eğer fonksiyon f(x) noktayı içeren bir aralık var A, tüm mertebelerden türevler varsa, Taylor formülü buna uygulanabilir:
Nerede r n– kalan terim veya serinin geri kalanı olarak adlandırılan Lagrange formülü kullanılarak tahmin edilebilir:
, burada x sayısı arasındadır X Ve A.
Eğer bir değer için xrn®0 en N®¥, limitte Taylor formülü bu değer için yakınsak bir formüle dönüşür Taylor serisi:
Yani fonksiyon f(x) söz konusu noktada Taylor serisine genişletilebilir X, Eğer:
1) tüm mertebelerden türevleri vardır;
2) Oluşturulan seri bu noktada yakınsar.
Şu tarihte: A=0 adında bir seri elde ederiz Maclaurin yakınında:
örnek 1 f(x)= 2X.
Çözüm. Fonksiyonun değerlerini ve türevlerini bulalım. X=0
f(x) = 2X, F( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2X In2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f¢¢(x) = 2X 2 2'de, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
f(n)(x) = 2X içinde N 2, f(n)( 0) = 2 0 içinde N 2=ln N 2.
Türevlerin elde edilen değerlerini Taylor serisi formülüne değiştirerek şunu elde ederiz:
Bu serinin yakınsaklık yarıçapı sonsuza eşit olduğundan bu genişleme -¥ için geçerlidir.<X<+¥.
Örnek 2 X+4) işlev için f(x)= e X.
Çözüm. e fonksiyonunun türevlerini bulma X ve değerleri bu noktada X=-4.
f(x)= e X, F(-4) = e -4 ;
f¢(x)= e X, f¢(-4) = e -4 ;
f¢¢(x)= e X, f¢¢(-4) = e -4 ;
f(n)(x)= e X, f(n)( -4) = e -4 .
Bu nedenle, fonksiyonun gerekli Taylor serisi şu şekildedir:
Bu genişleme -¥ için de geçerlidir.<X<+¥.
Örnek 3 . Bir işlevi genişlet f(x)=n X bir dizi güçte ( X- 1),
(yani noktanın yakınındaki Taylor serisinde X=1).
Çözüm. Bu fonksiyonun türevlerini bulun.
Bu değerleri formülde değiştirerek istenilen Taylor serisini elde ederiz:
D'Alembert testini kullanarak serinin yakınsadığını doğrulayabilirsiniz.
½ X- 1½<1. Действительно,
½ ise seri yakınsar X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 Leibniz kriterinin koşullarını karşılayan bir alternatif seri elde ederiz. Şu tarihte: X=0 işlevi tanımlanmadı. Dolayısıyla Taylor serisinin yakınsaklık bölgesi yarı açık aralıktır (0;2).
Bu şekilde elde edilen açılımları Maclaurin serisine (yani noktanın yakınına) sunalım. X=0) bazı temel işlevler için:
(2) 
,
(3) 
,
( son ayrıştırmaya denir binom serisi)
Örnek 4 . Fonksiyonu bir kuvvet serisine genişletin
Çözüm. Genişletmede (1) değiştiriyoruz X Açık - X 2, şunu elde ederiz:
Örnek 5
. Fonksiyonu Maclaurin serisinde genişletin 
Çözüm. Sahibiz 
Formül (4)'ü kullanarak şunu yazabiliriz:
onun yerine ikame X formülün içine -X, şunu elde ederiz:
Buradan şunları buluyoruz:
Parantezleri açıp serinin terimlerini yeniden düzenleyip benzer terimleri getirerek şunu elde ederiz:
Bu seri aralıkta yakınsar
(-1;1), her biri bu aralıkta yakınsak olan iki seriden elde edildiği için.
Yorum .
Formüller (1)-(5), karşılık gelen fonksiyonları bir Taylor serisine genişletmek için de kullanılabilir; fonksiyonları pozitif tamsayı kuvvetleriyle genişletmek için ( Ha). Bunu yapmak için, (1)-(5) fonksiyonlarından birini elde etmek amacıyla belirli bir fonksiyon üzerinde bu tür özdeş dönüşümleri gerçekleştirmek gerekir; bunun yerine X maliyetler k( Ha) m , burada k sabit bir sayıdır, m ise pozitif bir tam sayıdır. Değişkende değişiklik yapmak genellikle uygundur T=Ha ve elde edilen fonksiyonu Maclaurin serisinde t'ye göre genişletin.
Bu yöntem, bir fonksiyonun kuvvet serisi açılımının benzersizliğine ilişkin teoremi gösterir. Bu teoremin özü, açılımı ne şekilde yapılırsa yapılsın, aynı noktanın komşuluğunda aynı fonksiyona yakınsayacak iki farklı kuvvet serisinin elde edilememesidir.
Örnek 6 . Bir noktanın komşuluğunda Taylor serisindeki fonksiyonu genişletin X=3.
Çözüm. Bu problem, daha önce olduğu gibi, fonksiyonun türevlerini ve değerlerini bulmamız gereken Taylor serisinin tanımı kullanılarak çözülebilir. X=3. Ancak mevcut genişletmeyi kullanmak daha kolay olacaktır (5):
Ortaya çıkan seri şu noktada yakınsar: 
veya –3<X- 3<3, 0<X< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Örnek 7
. Taylor serisini kuvvetlerle yazın ( X-1) işlevler 
.
Çözüm.
Seri şu noktada birleşiyor: 
, veya 2< X£5.
16.1. Temel fonksiyonların Taylor serilerine genişletilmesi ve
Maclaurin
Bir küme üzerinde keyfi bir fonksiyonun tanımlandığını gösterelim. 
, noktanın yakınında 
birçok türevi vardır ve bir kuvvet serisinin toplamıdır:
o zaman bu serinin katsayılarını bulabilirsiniz.
Bir kuvvet serisinde yerine koyalım 
. Daha sonra 
.
Fonksiyonun ilk türevini bulalım 
:
Şu tarihte: 
:
.
İkinci türev için şunu elde ederiz:
Şu tarihte: 
:
.
Bu prosedüre devam etmek N bir kez elde ettiğimizde: 
.
Böylece şu formda bir kuvvet serisi elde ettik:
,
buna denir Taylor'ın yanında fonksiyon için 
noktanın yakınında 
.
Taylor serisinin özel bir durumu Maclaurin serisi en 
:
Taylor (Maclaurin) serisinin geri kalanı ana serinin atılmasıyla elde edilir. N ilk üyeler ve şu şekilde gösterilir: 
. Daha sonra fonksiyon 
toplam olarak yazılabilir N serinin ilk üyeleri 
ve geri kalanı 
:,
.
Geriye kalan kısım genellikle 
farklı formüllerle ifade edilir.
Bunlardan biri Lagrange formundadır:
, Nerede 
.
.
Pratikte Maclaurin serisinin daha sık kullanıldığını unutmayın. Bu nedenle fonksiyonu yazmak için 
kuvvet serisi toplamı şeklinde gereklidir:
1) Maclaurin (Taylor) serisinin katsayılarını bulun;
2) ortaya çıkan kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesini bulun;
3) bu serinin fonksiyona yakınsak olduğunu kanıtlayın 
.
Teorem1
(Maclaurin serisinin yakınsaması için gerekli ve yeterli koşul). Serinin yakınsaklık yarıçapı olsun 
. Bu serinin aralıkta yakınsaması için 
işlev görmek 
Koşulun gerçekleşmesi için gerekli ve yeterlidir: 
belirtilen aralıkta.
Teorem 2. Fonksiyonun herhangi bir mertebeden türevleri ise 
belli bir aralıkta 
mutlak değer olarak aynı sayıyla sınırlı M, yani 
, o zaman bu aralıkta fonksiyon 
Maclaurin serisine genişletilebilir.
Örnek1
.
Nokta etrafında Taylor serisini genişletin 
işlev.
Çözüm.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
Yakınsama bölgesi 
.
Örnek2
.
Bir işlevi genişlet 
bir nokta etrafındaki Taylor serisinde 
.
Çözüm:
Fonksiyonun değerini ve türevlerini bulun 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
Bu değerleri sıralayalım. Şunu elde ederiz:
veya 
.
Bu serinin yakınsaklık bölgesini bulalım. D'Alembert testine göre bir seri şu durumda yakınsar:
.
Bu nedenle herhangi bir kişi için 
bu limit 1'den küçüktür ve bu nedenle serinin yakınsaklık aralığı şöyle olacaktır: 
.
Temel temel fonksiyonların Maclaurin serisi açılımının birkaç örneğini ele alalım. Maclaurin serisini hatırlayın:
.
aralıkta yakınsar 
işlev görmek 
.
Bir fonksiyonu bir seriye genişletmek için aşağıdakilerin gerekli olduğunu unutmayın:
a) bu fonksiyon için Maclaurin serisinin katsayılarını bulun;
b) ortaya çıkan serinin yakınsama yarıçapını hesaplayın;
c) Ortaya çıkan serinin fonksiyona yakınsak olduğunu kanıtlayın 
.
Örnek 3.İşlevi düşünün 
.
Çözüm.
Fonksiyonun değerini ve türevlerini hesaplayalım. 
.
O halde serinin sayısal katsayıları şu şekildedir:
herkes için N. Bulunan katsayıları Maclaurin serisine koyalım ve şunu elde edelim: 
Ortaya çıkan serinin yakınsaklık yarıçapını bulalım:
.
Bu nedenle seri aralıkta yakınsar 
.
Bu seri fonksiyona yakınsar 
herhangi bir değer için 
, çünkü herhangi bir aralıkta 
işlev 
ve mutlak değerli türevlerinin sayısı sınırlıdır 
.
Örnek4
.
İşlevi düşünün 
.
Çözüm.
:
Eşit mertebeden türevlerin olduğunu görmek kolaydır 
ve türevler tek sıralıdır. Bulunan katsayıları Maclaurin serisine koyalım ve açılımı elde edelim:
Bu serinin yakınsaklık aralığını bulalım. D'Alembert'in işaretine göre:
herkes için 
. Bu nedenle seri aralıkta yakınsar 
.
Bu seri fonksiyona yakınsar 
Çünkü tüm türevleri birlikle sınırlıdır.
Örnek5
.
.
Çözüm.
Fonksiyonun değerini ve türevlerini bulalım. 
:
Böylece bu serinin katsayıları: 
Ve 
, buradan:
Önceki satıra benzer şekilde yakınsama alanı 
. Seri fonksiyona yakınsar 
Çünkü tüm türevleri birlikle sınırlıdır.
Lütfen işlevin 
Tek kuvvetlerde tek ve seri açılım, fonksiyon 
– çift ve çift kuvvetlerde bir seriye genişleme.
Örnek6
.
Binom serisi: 
.
Çözüm.
Fonksiyonun değerini ve türevlerini bulalım. 
:
Bundan şunu görmek mümkündür:
Bu katsayı değerlerini Maclaurin serisine koyalım ve bu fonksiyonun bir kuvvet serisine genişletilmesini elde edelim:
Bu serinin yakınsaklık yarıçapını bulalım:
Bu nedenle seri aralıkta yakınsar 
. Sınırlayıcı noktalarda 
Ve 
üsse bağlı olarak bir seri yakınsak olabilir veya olmayabilir 
.
İncelenen seriler aralıkta yakınsaktır 
işlev görmek 
yani serinin toplamı 
en 
.
Örnek7
.
Fonksiyonu Maclaurin serisine genişletelim 
.
Çözüm.
Bu fonksiyonu bir seriye genişletmek için binom serisini kullanırız. 
. Şunu elde ederiz: 
Kuvvet serisinin özelliğine dayanarak (bir kuvvet serisi yakınsaklık bölgesinde entegre edilebilir), bu serinin sol ve sağ taraflarının integralini buluruz:
Bu serinin yakınsaklık alanını bulalım: 
,
yani bu serinin yakınsaklık alanı aralıktır 
. Serinin aralığın sonlarında yakınsaklığını belirleyelim. Şu tarihte: 
. Bu seri uyumlu bir seridir, yani ıraksamaktadır. Şu tarihte: 
ortak terimli bir sayı serisi elde ederiz 
.
Seri Leibniz testine göre yakınsaktır. Dolayısıyla bu serinin yakınsaklık bölgesi aralıktır. 
.
16.2. Güç serilerinin yaklaşık hesaplamalarda uygulanması
Yaklaşık hesaplamalarda kuvvet serileri son derece önemli bir rol oynamaktadır. Onların yardımıyla, örneğin olasılık teorisi ve matematiksel istatistik gibi çeşitli bilgi alanlarında kullanılan trigonometrik fonksiyon tabloları, logaritma tabloları, diğer fonksiyonların değer tabloları derlenmiştir. Ek olarak, fonksiyonların kuvvet serilerine genişletilmesi teorik çalışmaları açısından faydalıdır. Yaklaşık hesaplamalarda kuvvet serilerini kullanırken asıl sorun, bir serinin toplamını ilk serinin toplamı ile değiştirirken hatayı tahmin etme sorunudur. Nüyeler.
İki durumu ele alalım:
fonksiyon, işaret dönüşümlü bir seriye genişletilir;
fonksiyon bir dizi sabit işarete genişletilir.
Alternatif serileri kullanarak hesaplama
Fonksiyona izin ver 
alternatif kuvvet serisine genişletildi. Daha sonra bu fonksiyonu belirli bir değer için hesaplarken 
Leibniz kriterini uygulayabileceğimiz bir sayı serisi elde ederiz. Bu kritere göre bir serinin toplamı ilk serinin toplamı ile değiştirilirse N Bu durumda mutlak hata bu serinin geri kalanının ilk terimini aşmaz, yani: 
.
Örnek8
.
Hesaplamak 
0,0001 doğrulukla.
Çözüm.
Maclaurin serisini kullanacağız 
radyan cinsinden açı değerini değiştirerek:
Serinin birinci ve ikinci terimlerini belirli bir doğrulukla karşılaştırırsak: .
Üçüncü genişleme dönemi:
Belirtilen hesaplama doğruluğundan daha az. Bu nedenle hesaplamak 
serinin iki terimini bırakmak yeterlidir, yani
.
Böylece 
.
Örnek9
.
Hesaplamak 
0,001 doğrulukla.
Çözüm.
Binom serisi formülünü kullanacağız. Bunu yapmak için yazalım 
gibi: 
.
Bu ifadede 
,
Serinin her terimini belirtilen doğrulukla karşılaştıralım. Açık ki 
. Bu nedenle hesaplamak 
serinin üç terimini bırakmak yeterlidir.
veya 
.
Pozitif serileri kullanarak hesaplama
Örnek10
.
Numarayı hesapla 
0,001 doğrulukla.
Çözüm.
Bir işlev için arka arkaya 
hadi değiştirelim 
. Şunu elde ederiz:
Bir serinin toplamını ilk serinin toplamıyla değiştirirken ortaya çıkan hatayı tahmin edelim. 
üyeler. Açık eşitsizliği yazalım:
bu 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
Soruna göre bulmanız gerekir Nöyle ki aşağıdaki eşitsizlik sağlanır: 
veya 
.
Bunu ne zaman kontrol etmek kolaydır N= 6:
.
Buradan, 
.
Örnek11
.
Hesaplamak 
0,0001 doğrulukla.
Çözüm.
Logaritmaları hesaplamak için fonksiyona yönelik bir serinin kullanılabileceğini unutmayın. 
ancak bu seri çok yavaş yakınsar ve verilen doğruluğu elde etmek için 9999 terimin alınması gerekir! Bu nedenle, logaritmaları hesaplamak için kural olarak fonksiyona yönelik bir seri kullanılır. 
aralıkta birleşen 
.
Haydi hesaplayalım 
bu seriyi kullanıyoruz. İzin vermek 
, Daha sonra 
.
Buradan, 
,
Hesaplamak için 
Belirli bir doğrulukla ilk dört terimin toplamını alın: 
.
Serinin geri kalanı 
onu bir kenara bırakalım. Hatayı tahmin edelim. Açıkça görülüyor ki 
veya 
.
Böylece hesaplama için kullanılan seride fonksiyon için serideki 9999 yerine sadece ilk dört terimin alınması yeterli olmuştur. 
.
Kendi kendine teşhis soruları
1. Taylor serisi nedir?
2. Maclaurin serisinin şekli nasıldı?
3. Bir fonksiyonun Taylor serisindeki açılımına ilişkin bir teorem formüle edin.
4. Ana fonksiyonların Maclaurin serisi açılımını yazın.
5. Ele alınan serilerin yakınsaklık alanlarını belirtiniz.
6. Kuvvet serileri kullanılarak yaklaşık hesaplamalarda hata nasıl tahmin edilir?
Eğer f(x) fonksiyonunun a noktasını içeren belirli bir aralıktaki tüm mertebelerden türevleri varsa, Taylor formülü ona uygulanabilir:
,
Nerede r n– kalan terim veya serinin geri kalanı olarak adlandırılan Lagrange formülü kullanılarak tahmin edilebilir:
burada x sayısı x ile a arasındadır.
İşlev girme kuralları:
Eğer bir değer için X r n→0 saat N→∞, limitte Taylor formülü bu değer için yakınsak hale gelir Taylor serisi:
,
Dolayısıyla, f(x) fonksiyonu aşağıdaki durumlarda x noktasında bir Taylor serisine genişletilebilir:
1) tüm mertebelerden türevleri vardır;
2) Oluşturulan seri bu noktada yakınsar.
a = 0 olduğunda, adı verilen bir seri elde ederiz. Maclaurin yakınında:
,
Maclaurin serisindeki en basit (temel) fonksiyonların genişletilmesi:
Üstel fonksiyonlar
, R=∞
Trigonometrik fonksiyonlar 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Actgx fonksiyonu x'in kuvvetlerine göre genişlemez çünkü ctg0=∞
Hiperbolik fonksiyonlar
Logaritmik fonksiyonlar
, -1
Binom serisi
.
Örnek No.1. Fonksiyonu bir kuvvet serisine genişletin f(x)= 2X.
Çözüm. Fonksiyonun değerlerini ve türevlerini bulalım. X=0
f(x) = 2X, F( 0)
= 2 0
=1;
f"(x) = 2X In2, F"( 0)
= 2 0
ln2= ln2;
f""(x) = 2X 2 2'de, F""( 0)
= 2 0
ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2X içinde N 2, f(n)( 0)
= 2 0
içinde N 2=ln N 2.
Türevlerin elde edilen değerlerini Taylor serisi formülüne değiştirerek şunu elde ederiz:
Bu serinin yakınsaklık yarıçapı sonsuza eşit olduğundan bu genişleme -∞ için geçerlidir.<X<+∞.
Örnek No.2. Taylor serisini kuvvetlerle yazın ( X+4) işlev için f(x)= e X.
Çözüm. e fonksiyonunun türevlerini bulma X ve değerleri bu noktada X=-4.
f(x)= e X, F(-4)
= e -4
;
f"(x)= e X, F"(-4)
= e -4
;
f""(x)= e X, F""(-4)
= e -4
;
…
f(n)(x)= e X, f(n)( -4)
= e -4
.
Bu nedenle, fonksiyonun gerekli Taylor serisi şu şekildedir:
Bu genişleme -∞ için de geçerlidir.<X<+∞.
Örnek No. 3. Bir işlevi genişlet f(x)=n X bir dizi güçte ( X- 1),
(yani noktanın yakınındaki Taylor serisinde X=1).
Çözüm. Bu fonksiyonun türevlerini bulun.
f(x)=lnx , , , ,
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Bu değerleri formülde değiştirerek istenilen Taylor serisini elde ederiz:
D'Alembert testini kullanarak serinin ½x-1½ noktasında yakınsadığını doğrulayabilirsiniz.<1 . Действительно,
½ ise seri yakınsar X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 Leibniz kriterinin koşullarını karşılayan bir alternatif seri elde ederiz. x=0 olduğunda fonksiyon tanımlı değildir. Dolayısıyla Taylor serisinin yakınsaklık bölgesi yarı açık aralıktır (0;2).
Örnek No. 4. Fonksiyonu bir kuvvet serisine genişletin. Örnek No. 5. Fonksiyonu bir Maclaurin serisine genişletin. Yorum
.
Bu yöntem, bir fonksiyonun kuvvet serisindeki açılımının benzersizliğine ilişkin teoreme dayanmaktadır. Bu teoremin özü, açılımı ne şekilde yapılırsa yapılsın, aynı noktanın komşuluğunda aynı fonksiyona yakınsayacak iki farklı kuvvet serisinin elde edilememesidir. Örnek No. 5a. Fonksiyonu bir Maclaurin serisinde genişletin ve yakınsaklık bölgesini belirtin. 3/(1-3x) kesri, |3x| ise, paydası 3x olan sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı olarak düşünülebilir.< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Örnek No. 6. Fonksiyonu x = 3 noktası civarında bir Taylor serisine genişletin. Örnek No. 7. Taylor serisini ln(x+2) fonksiyonunun (x -1) kuvvetlerine yazın. Örnek No. 8. f(x)=sin(πx/4) fonksiyonunu x =2 noktası yakınındaki bir Taylor serisine genişletin. Örnek No.1. ln(3)'ü en yakın 0,01'e kadar hesaplayın. Örnek No.2. En yakın 0,0001'e kadar hesaplayın. Örnek No. 3. ∫ 0 1 4 sin (x) x'in integralini 10 -5 dahilinde hesaplayın. Örnek No. 4. ∫ 0 1 4 e x 2 integralini 0,001 doğrulukla hesaplayın.
Çözüm. Genişlemede (1) x'i -x 2 ile değiştirirsek şunu elde ederiz:
, -∞
Çözüm. Sahibiz
Formül (4)'ü kullanarak şunu yazabiliriz:
Formülde x yerine –x koyarsak şunu elde ederiz:
Buradan şunu buluruz: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Parantezleri açıp serinin terimlerini yeniden düzenleyip benzer terimleri getirerek şunu elde ederiz:
. Bu seri, her biri bu aralıkta yakınsayan iki seriden elde edildiği için (-1;1) aralığında yakınsar.
Formüller (1)-(5), karşılık gelen fonksiyonları bir Taylor serisine genişletmek için de kullanılabilir; fonksiyonları pozitif tamsayı kuvvetleriyle genişletmek için ( Ha). Bunu yapmak için, (1)-(5) fonksiyonlarından birini elde etmek amacıyla belirli bir fonksiyon üzerinde bu tür özdeş dönüşümleri gerçekleştirmek gerekir; bunun yerine X maliyetler k( Ha) m , burada k sabit bir sayıdır, m ise pozitif bir tam sayıdır. Değişkende değişiklik yapmak genellikle uygundur T=Ha ve elde edilen fonksiyonu Maclaurin serisinde t'ye göre genişletin.
Çözüm. İlk önce 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) ,'yi buluyoruz.
ilkokula:
yakınsama bölgesi ile |x|< 1/3.
Çözüm. Bu problem, daha önce olduğu gibi, fonksiyonun türevlerini ve değerlerini bulmamız gereken Taylor serisinin tanımı kullanılarak çözülebilir. X=3. Ancak mevcut genişletmeyi kullanmak daha kolay olacaktır (5):
=
Ortaya çıkan seri veya –3'te yakınsar
Çözüm.
Seri , veya -2'de yakınsar< x < 5.
Çözüm. Değiştirmeyi t=x-2 yapalım:
X'in yerine π / 4 t'yi koyduğumuz genişleme (3)'ü kullanarak şunu elde ederiz:
Ortaya çıkan seri verilen fonksiyona -∞ noktasında yakınsar< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Güç serilerini kullanarak yaklaşık hesaplamalar
Kuvvet serileri yaklaşık hesaplamalarda yaygın olarak kullanılmaktadır. Onların yardımıyla köklerin değerlerini, trigonometrik fonksiyonları, sayıların logaritmasını ve belirli integralleri belirli bir doğrulukla hesaplayabilirsiniz. Seriler diferansiyel denklemlerin integrali alınırken de kullanılır.
Bir fonksiyonun kuvvet serisindeki açılımını düşünün:
Belirli bir noktadaki bir fonksiyonun yaklaşık değerini hesaplamak için X belirtilen serinin yakınsama bölgesine ait, ilkleri genişlemesinde kaldı Nüyeler ( N– sonlu bir sayı) ve kalan terimler atılır:
Elde edilen yaklaşık değerin hatasını tahmin etmek için atılan rn(x) kalanını tahmin etmek gerekir. Bunu yapmak için aşağıdaki teknikleri kullanın:
Çözüm. x=1/2 olan açılımı kullanalım (önceki konudaki örnek 5'e bakınız):
Açılımın ilk üç teriminden sonra kalan kısmı atıp atamayacağımızı kontrol edelim; bunun için sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamını kullanarak hesaplayacağız:
Böylece bu kalanı atıp şunu elde edebiliriz:
Çözüm. Binom serisini kullanalım. 5 3, 130'a en yakın bir tam sayının küpü olduğundan, 130 sayısının 130 = 5 3 +5 olarak temsil edilmesi önerilir. 
Leibniz kriterini karşılayan sonuçta ortaya çıkan alternatif serinin dördüncü terimi zaten gerekli doğruluktan daha az olduğundan:
, dolayısıyla o ve onu takip eden terimler atılabilir.
Pratik olarak gerekli olan pek çok belirli veya uygunsuz integral, Newton-Leibniz formülü kullanılarak hesaplanamaz, çünkü uygulaması, temel fonksiyonlarda genellikle bir ifadeye sahip olmayan antiderivatifin bulunmasıyla ilişkilidir. Aynı zamanda bir antiderivatif bulmak da mümkündür, ancak bu gereksiz derecede emek yoğundur. Bununla birlikte, eğer integrand fonksiyonu bir kuvvet serisine genişletilirse ve integrasyonun sınırları bu serinin yakınsama aralığına aitse, o zaman integralin önceden belirlenmiş bir doğrulukla yaklaşık olarak hesaplanması mümkündür.
Çözüm. Karşılık gelen belirsiz integral temel fonksiyonlarda ifade edilemez, yani. “kalıcı olmayan bir integrali” temsil eder. Newton-Leibniz formülü burada uygulanamaz. İntegrali yaklaşık olarak hesaplayalım.
Günah serisini terime bölme X Açık X, şunu elde ederiz: 
Bu seriyi terim terim entegre ederek (integrasyonun sınırları bu serinin yakınsama aralığına ait olduğundan bu mümkündür), şunu elde ederiz:
Ortaya çıkan seri Leibniz koşullarını sağladığından ve istenilen değeri belirli bir doğrulukla elde etmek için ilk iki terimin toplamını almak yeterlidir.
Böylece buluyoruz 
.
Çözüm.
. Ortaya çıkan serinin ikinci teriminden sonra kalan kısmı atıp atamayacağımızı kontrol edelim.
0,0001<0.001. Следовательно, 
.
