1. Üstel bir fonksiyon, x üssüne bağlı olarak, a derecesinin tabanının sabit değeri olan, a > 0, a ≠ 0, xϵR (R, gerçek sayılar kümesi).
Hadi düşünelim tabanın şu koşulu sağlamaması durumunda fonksiyonun grafiği: a>0
a)a< 0
Eğer bir< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
bir = -2
a = 0 ise, y = fonksiyonu tanımlanır ve 0 sabit değerine sahiptir
c) a =1
a = 1 ise, y = fonksiyonu tanımlanır ve sabit değeri 1'dir.
İşlev Alanı (DOF) İzin verilen fonksiyon değerleri aralığı (APV) 3. Fonksiyonun sıfırları (y = 0) 4. Ordinat ekseni oy ile kesişme noktaları (x = 0) 5. Artan, azalan fonksiyonlar Eğer ise f(x) fonksiyonu artar 6. Çift, tek fonksiyon y = fonksiyonu 0y eksenine ve koordinatların orijinine göre simetrik değildir, dolayısıyla ne çift ne de tektir. (Genel işlev) 7. y = fonksiyonunun ekstremum değeri yoktur 8. Reel üssü olan bir derecenin özellikleri: a > 0 olsun; a≠1 O zaman xϵR için; sen: Derece monotonluğunun özellikleri: eğer öyleyse a>0 ise o zaman . 9. Fonksiyonun göreceli konumu A tabanı ne kadar büyük olursa, x ve oy eksenlerine o kadar yakın olur a > 1, a = 20 Örnek 1. Bilgi hipermarketi >>Matematik >>Matematik 10. sınıf >> Üstel fonksiyon, özellikleri ve grafiği 2x ifadesini ele alalım ve x değişkeninin çeşitli rasyonel değerleri için değerlerini bulalım, örneğin x = 2 için; Genel olarak, x değişkenine hangi rasyonel anlamı yüklersek verelim, 2 x ifadesinin karşılık gelen sayısal değerini her zaman hesaplayabiliriz. Böylece üstel hakkında konuşabiliriz işlevler y=2 x, rasyonel sayıların Q kümesinde tanımlanır: Bu fonksiyonun bazı özelliklerine bakalım. Mülk 1.- artan fonksiyon. İspatı iki aşamada gerçekleştiriyoruz. Son eşitsizliğin sol tarafında ve sağ tarafında 1 var. Bu, son eşitsizliğin şu şekilde yeniden yazılabileceği anlamına gelir: İkinci aşama. x 1 ve x 2 sayılar olsun ve x 1 ve x 2 olsun< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования: (x 2 - x 1 farkını r harfiyle gösterdik). r pozitif bir rasyonel sayı olduğundan, ilk aşamada kanıtlanmış olana göre 2 r > 1, yani. 2 r -1 >0. 2x" sayısı da pozitiftir, yani 2 x-1 (2 Г -1) çarpımı da pozitiftir. Böylece şunu kanıtlamış olduk: eşitsizlik 2 Xg -2x" >0. Yani x 1 eşitsizliğinden< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая. Mülk 2. aşağıdan sınırlı, yukarıdan sınırlı değildir. Bu fonksiyonun çok önemli olmadığı açıktır, çünkü az önce gördüğümüz gibi yukarıdan sınırlandırılmamıştır. Ama aşağıdan sınırlı, neden minimum bir değeri yok? 2 r'nin fonksiyonun en küçük değeri olduğunu varsayalım (r bir rasyonel göstergedir). Bir rasyonel sayı olan q'yu alalım<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции. Bütün bunlar iyi, diyorsunuz, ama neden y-2 x fonksiyonunu yalnızca rasyonel sayılar kümesinde ele alıyoruz, neden onu tüm sayı doğrusundaki veya sayı doğrusundaki herhangi bir sürekli aralıktaki bilinen diğer işlevler gibi düşünmüyoruz? sayı doğrusu? Bizi durduran ne? Durumu düşünelim. Sayı doğrusu sadece rasyonel değil aynı zamanda rasyonel de içerir. rasyonel sayılar. Daha önce çalışılan işlevler için bu bizi rahatsız etmedi. Örneğin, x'in hem rasyonel hem de irrasyonel değerleri için y = x2 fonksiyonunun değerlerini eşit derecede kolay bulduk: verilen x değerinin karesini almak yeterliydi. Ancak y=2 x fonksiyonuyla durum daha karmaşıktır. Eğer x argümanına rasyonel bir anlam verilirse, o zaman prensipte x hesaplanabilir (tekrar paragrafın başına, tam olarak bunu yaptığımız yere dönün). Ya x argümanına irrasyonel bir anlam verilirse? Örneğin nasıl hesaplanır? Bunu henüz bilmiyoruz. biliniyor ki 1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... . 1,732 = 1,7320 ve 1,732050 = 1,73205 olduğu açıktır. Bu tür tekrarlardan kaçınmak için dizinin 0 sayısıyla biten üyelerini atıyoruz. Sonra artan bir dizi elde ederiz: 1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... . Buna göre sıra artar Bu dizinin tüm terimleri 22'den küçük pozitif sayılardır; bu sıra sınırlıdır. Weierstrass teoremine göre (bkz. § 30), eğer bir dizi artan ve sınırlıysa, o zaman yakınsar. Ek olarak, § 30'dan biliyoruz ki, eğer bir dizi yakınsarsa, bunu yalnızca bir limite kadar yapar. Bu tek limitin sayısal bir ifadenin değeri olarak kabul edilmesi gerektiği konusunda fikir birliğine varıldı. Ve 2 sayısal ifadesinin yaklaşık değerini bile bulmanın çok zor olması önemli değil; bunun belirli bir sayı olması önemlidir (sonuçta, örneğin bunun rasyonel bir denklemin kökü olduğunu söylemekten korkmadık, Koordinat düzleminde noktaları işaretleyelim (Şek. 194), onlar belli bir çizgiyi işaretler, çizelim (Şek. 195). Y-2 x fonksiyonunun listelenen özelliklerinin kesin kanıtları yüksek matematik dersinde verilmektedir. Bu özelliklerin bazılarını daha önce bir dereceye kadar tartıştık, bazıları oluşturulan grafikte açıkça gösterilmiştir (bkz. Şekil 195). Örneğin, bir fonksiyonun eşlik veya tuhaflığının olmaması, grafiğin sırasıyla y eksenine veya orijine göre simetri eksikliğiyle geometrik olarak ilişkilidir. a > 1 olmak üzere y = a x formundaki herhangi bir fonksiyon benzer özelliklere sahiptir. İncirde. 196 adet tek koordinat sistemi oluşturulmuş olup, y=2 x, y=3 x, y=5 x fonksiyonlarının grafikleri oluşturulmuştur. Şimdi fonksiyonu ele alalım ve onun için bir değerler tablosu oluşturalım: 1) Tanım. Formun bir fonksiyonuna üstel fonksiyon denir. a>1 için y=ax fonksiyonunun grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 201 ve 0 için<а < 1 - на рис. 202. Şekil 2'de gösterilen eğri. 201 veya 202'ye üs denir. Aslında matematikçiler üstel fonksiyonun kendisine genellikle y = a x adını verirler. Dolayısıyla "üs" terimi iki anlamda kullanılır: hem üstel fonksiyonu adlandırmak için hem de üstel fonksiyonun grafiğini adlandırmak için. Genellikle üstel bir fonksiyondan mı yoksa grafiğinden mi bahsettiğimizin anlamı açıktır. Üstel fonksiyon y=ax'in grafiğinin geometrik özelliğine dikkat edin: x ekseni grafiğin yatay asimptotudur. Doğru, bu ifade genellikle şu şekilde açıklığa kavuşturulur. Başka bir deyişle Bunlar güç fonksiyonlarının örnekleridir; Genel olarak, r'nin belirli bir sayı olduğu y = x r, bir kuvvet fonksiyonudur (x argümanı derecenin tabanında yer alır); Y = x" gibi "egzotik" bir fonksiyon ne üstel ne de kuvvet olarak kabul edilir (bazen üstel olarak da adlandırılır). İkinci önemli not. Genellikle a tabanı = 1 olan veya a eşitsizliğini sağlayan a tabanına sahip bir üstel fonksiyon dikkate alınmaz.<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 ve a Gerçek şu ki, eğer a = 1 ise, o zaman x'in herhangi bir değeri için Ix = 1 eşitliği sağlanır. Böylece, a = 1 ile üstel fonksiyon y = a", sabit bir y = 1 fonksiyonuna "yozlaşır" - bu Eğer a = 0 ise, x'in herhangi bir pozitif değeri için 0x = 0 olur, yani x > 0 için tanımlanan y = 0 fonksiyonunu elde ederiz - bu da ilgi çekici değildir.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках. Örneklerin çözümüne geçmeden önce üstel fonksiyonun şu ana kadar incelediğiniz tüm fonksiyonlardan önemli ölçüde farklı olduğunu unutmayın. Yeni bir nesneyi iyice incelemek için onu farklı açılardan, farklı durumlarda düşünmeniz gerekir, bu nedenle birçok örnek olacaktır. Çözüm, a) Bir koordinat sisteminde y = 2 x ve y = 1 fonksiyonlarının grafiklerini oluşturduğumuzda, bunların bir ortak noktaya (0; 1) sahip olduklarını fark ederiz (Şekil 203). Bu, 2x = 1 denkleminin tek bir x =0 köküne sahip olduğu anlamına gelir. Yani 2x = 2° denkleminden x = 0 elde ederiz. b) Bir koordinat sisteminde y = 2 x ve y = 4 fonksiyonlarının grafiklerini oluşturduğumuzda, bunların bir ortak noktaya (2; 4) sahip olduklarını fark ederiz (Şekil 203). Bu, 2x = 4 denkleminin tek bir x = 2 köküne sahip olduğu anlamına gelir. Yani 2 x = 2 2 denkleminden x = 2 elde ederiz. c) ve d) Aynı değerlendirmelere dayanarak, 2 x = 8 denkleminin tek bir köke sahip olduğu ve bunu bulmak için karşılık gelen fonksiyonların grafiklerinin oluşturulmasına gerek olmadığı sonucuna varıyoruz; 2 3 = 8 olduğundan x = 3 olduğu açıktır. Benzer şekilde denklemin tek kökünü buluyoruz Çözüm.Şu şekilde ilerleyebilirsiniz: y-3 x fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun, ardından onu x ekseninden 3 kat kadar uzatın ve ardından elde edilen grafiği 2 ölçek birim yukarı yükseltin. Ancak 3- 3* = 3 * + 1 gerçeğini kullanmak ve dolayısıyla y = 3 x * 1 + 2 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmak daha uygundur. Bu gibi durumlarda birçok kez yaptığımız gibi, başlangıç noktası (-1; 2) olan yardımcı koordinat sistemine geçelim - Şekil 2'deki noktalı çizgiler x = - 1 ve 1x = 2. 207. y=3* fonksiyonunu yeni koordinat sistemine bağlayalım. Bunu yapmak için fonksiyona yönelik kontrol noktalarını seçin Örnek 4. Denklem ve eşitsizlikleri çözün: Çözüm, a) y=5* ve y=6-x fonksiyonlarının grafiklerini tek koordinat sisteminde oluşturalım (Şekil 208). Bir noktada kesişiyorlar; çizime bakılırsa bu nokta (1; 5). Kontrol, aslında (1; 5) noktasının hem y = 5* denklemini hem de y = 6-x denklemini karşıladığını göstermektedir. Bu noktanın apsisi verilen denklemin tek kökü görevi görür. Yani 5 x = 6 - x denkleminin tek kökü x = 1'dir. b) ve c) y-5x üssü y=6-x düz çizgisinin üzerinde yer alır, eğer x>1 ise, bu Şekil 2'de açıkça görülmektedir. 208. Bu, 5*>6 eşitsizliğinin çözümünün şu şekilde yazılabileceği anlamına gelir: x>1. Ve 5x eşitsizliğinin çözümü<6 - х можно записать так: х < 1. Örnek 5. Bir fonksiyon verildiğinde Üstel fonksiyon
y = a formunun işlevi X a'nın sıfırdan büyük olduğu ve a'nın bire eşit olmadığı duruma üstel fonksiyon denir. Üstel fonksiyonun temel özellikleri: 1. Üstel fonksiyonun tanım alanı gerçek sayılar kümesi olacaktır. 2. Üstel fonksiyonun değer aralığı tüm pozitif gerçek sayılar kümesi olacaktır. Bazen bu küme, kısa olması açısından R+ olarak gösterilir. 3. Üstel bir fonksiyonda a tabanı birden büyükse, bu durumda fonksiyon tüm tanım alanı boyunca artıyor olacaktır. Taban için üstel fonksiyonda aşağıdaki koşul sağlanırsa 0 4. Derecelerin tüm temel özellikleri geçerli olacaktır. Derecelerin temel özellikleri aşağıdaki eşitliklerle temsil edilir: A X *A sen =a (x+y) ;
(A X )/(A sen ) = bir (x-y) ;
(a*b) X = (bir X )*(A sen );
(a/b) X =a X /B X ;
(A X )
sen =a (x * y) .
Bu eşitlikler x ve y'nin tüm reel değerleri için geçerli olacaktır. 5. Üstel bir fonksiyonun grafiği her zaman koordinatları (0;1) olan noktadan geçer. 6. Üstel fonksiyonun artması veya azalmasına bağlı olarak grafiği iki biçimden birine sahip olacaktır. Aşağıdaki şekilde artan bir üstel fonksiyonun grafiği gösterilmektedir: a>0. Aşağıdaki şekil azalan bir üstel fonksiyonun grafiğini göstermektedir: 0 Beşinci paragrafta açıklanan özelliğe göre hem artan bir üstel fonksiyonun grafiği hem de azalan bir üstel fonksiyonun grafiği (0;1) noktasından geçer. 7. Üstel bir fonksiyonun ekstrem noktaları yoktur, yani fonksiyonun minimum ve maksimum noktaları yoktur. Belirli bir segment üzerinde bir fonksiyon düşünürsek, fonksiyon bu aralığın sonunda minimum ve maksimum değerleri alacaktır. 8. Fonksiyon tek veya çift değildir. Üstel bir fonksiyon bir fonksiyondur Genel görünüm. Grafiklerden de bu anlaşılıyor; hiçbiri Oy eksenine göre veya koordinatların orijinine göre simetrik değil. Logaritma
Logaritmalar okul matematik derslerinde her zaman zor bir konu olarak görülmüştür. Çok var farklı tanımlar logaritma, ancak bazı nedenlerden dolayı çoğu ders kitabı bunların en karmaşık ve başarısız olanını kullanır. Logaritmayı basit ve net bir şekilde tanımlayacağız. Bunu yapmak için bir tablo oluşturalım: Yani ikinin kuvvetlerine sahibiz. Alt satırdaki sayıyı alırsanız, bu sayıyı elde etmek için ikiyi yükseltmeniz gereken gücü kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, 16 elde etmek için ikinin dördüncü kuvvetini yükseltmeniz gerekir. Ve 64'ü elde etmek için ikinin altıncı kuvvetini artırmanız gerekiyor. Bu tablodan görülebilmektedir. Ve şimdi - aslında logaritmanın tanımı: Tanım Logaritma x argümanının a tabanını oluşturmak sayının yükseltilmesi gereken güç A numarayı almak için X. Tanım log a x = b Örneğin, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (2 3 = 8 olduğundan 8'in 2 tabanlı logaritması üçtür). Aynı başarı ile log 2 64 = 6, çünkü 2 6 = 64. Bir sayının belirli bir tabana göre logaritmasını bulma işlemine ne ad verilir?logaritma
. Şimdi tablomuza yeni bir satır ekleyelim: Ne yazık ki tüm logaritmalar bu kadar kolay hesaplanamıyor. Örneğin, log 2 5'i bulmaya çalışın. Tabloda 5 sayısı yok ama mantık, logaritmanın aralıkta bir yerde olacağını söylüyor. Çünkü 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Bu tür sayılara irrasyonel denir: Ondalık noktadan sonraki sayılar sonsuza kadar yazılabilir ve asla tekrarlanmaz. Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, onu bu şekilde bırakmak daha iyidir: log 2 5, log 3 8, log 5 100. Logaritmanın iki değişkenli (taban ve argüman) bir ifade olduğunu anlamak önemlidir. İlk başta birçok kişi temelin nerede olduğunu ve argümanın nerede olduğunu karıştırıyor. Can sıkıcı yanlış anlamaları önlemek için resme bakın: Önümüzde bir logaritmanın tanımından başka bir şey yok. Unutmayın: logaritma bir kuvvettir Bir argüman elde etmek için tabanın içine inşa edilmesi gerekir. Bir güce yükseltilen tabandır - resimde kırmızıyla vurgulanmıştır. Tabanın her zaman altta olduğu ortaya çıktı! Öğrencilerime bu harika kuralı daha ilk derste anlatıyorum ve hiçbir kafa karışıklığı ortaya çıkmıyor. Tanımı çözdük; geriye kalan tek şey logaritmanın nasıl sayılacağını öğrenmek. "log" işaretinden kurtulun. Başlangıç olarak şunu not ediyoruz: Tanımdan iki şey takip eder önemli gerçekler:
Argüman ve taban her zaman sıfırdan büyük olmalıdır. Bu, bir derecenin rasyonel bir üsle tanımlanmasından kaynaklanır ve logaritmanın tanımı buna indirgenir. Taban birden farklı olmalıdır, çünkü bir dereceye kadar bir hala bir olarak kalır. Bu nedenle “iki elde etmek için kişinin hangi güce yükseltilmesi gerekir” sorusu anlamsızdır. Böyle bir derece yok! Bu tür kısıtlamalar arandı kabul edilebilir değerler aralığı(ODZ). Logaritmanın ODZ'sinin şöyle göründüğü ortaya çıktı: log a x = b ⇒
x > 0, a > 0, a ≠ 1. Lütfen bunu not al sayı sınırlaması yok B (logaritma değeri) örtüşmez. Örneğin logaritma negatif olabilir: log 2 0,5 = −1, çünkü 0,5 = 2−1. Ancak şimdi yalnızca logaritmanın VA'sını bilmenin gerekli olmadığı sayısal ifadeleri ele alıyoruz. Sorunların yazarları tarafından tüm kısıtlamalar zaten dikkate alınmıştır. Ancak logaritmik denklemler ve eşitsizlikler devreye girdiğinde DL gereklilikleri zorunlu hale gelecektir. Sonuçta, temel ve argüman, yukarıdaki kısıtlamalara tam olarak uymayan çok güçlü yapılar içerebilir. Şimdi geneli düşünün logaritma hesaplama şeması. Üç adımdan oluşur: Bir neden belirtin a ve argüman x mümkün olan minimum tabanı birden büyük olan bir kuvvet biçiminde. Bu arada ondalık sayılardan kurtulmak daha iyidir; Bir değişkene göre çözün b denklemi: x = a b ; Ortaya çıkan sayı cevap b olacaktır. Bu kadar! Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, bu zaten ilk adımda görülecektir. Tabanın birden büyük olması gerekliliği çok önemlidir: bu, hata olasılığını azaltır ve hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirir. İle aynı ondalık sayılar: Bunları hemen normal olanlara dönüştürürseniz, çok daha az hata olacaktır. Bu planın nasıl çalıştığını görelim spesifik örnekler:
Logaritmayı hesaplayın: log 5 25 Tabanı ve argümanı beşin kuvveti olarak düşünelim: 5 = 5 1; 25 = 52; Denklemi oluşturup çözelim: Cevabını aldık: 2. Logaritmayı hesaplayın: Tabanı ve argümanı üçün kuvveti olarak düşünelim: 3 = 3 1; 1/81 = 81 −1 = (3 4) −1 = 3 −4 ; Denklemi oluşturup çözelim: Cevabını aldık: −4. −4
Logaritmayı hesaplayın: log 4 64 Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak düşünelim: 4 = 2 2; 64 = 26; Denklemi oluşturup çözelim: Cevabını aldık: 3. Logaritmayı hesaplayın: log 16 1 Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak düşünelim: 16 = 2 4; 1 = 2 0; Denklemi oluşturup çözelim: Cevabını aldık: 0. Logaritmayı hesaplayın: log 7 14 Tabanı ve argümanı yedinin kuvveti olarak düşünelim: 7 = 7 1; 7 1 olduğundan 14 yedinin kuvveti olarak temsil edilemez< 14 < 7 2 ; Önceki paragraftan logaritmanın sayılmadığı anlaşılmaktadır; Cevap değişiklik yok: log 7 14. günlük 7 14 Son örnekle ilgili küçük bir not. Bir sayının başka bir sayının tam kuvveti olmadığından nasıl emin olabilirsiniz? Çok basit; bunu asal çarpanlara ayırmanız yeterli. Genişlemenin en az iki farklı faktörü varsa, sayı tam bir kuvvet değildir. Sayıların tam kuvvetleri olup olmadığını öğrenin: 8; 48; 81; 35; 14. 8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - tam derece, çünkü yalnızca bir çarpan vardır; 8, 81 - kesin derece; 48, 35, 14 - hayır. Ayrıca asal sayıların her zaman kendilerinin tam kuvvetleri olduğuna dikkat edin. Ondalık logaritma
Bazı logaritmalar o kadar yaygındır ki özel bir isme ve sembole sahiptirler. Tanım Ondalık logaritma x argümanından 10 tabanının logaritmasıdır, yani sayıyı elde etmek için 10 sayısının yükseltilmesi gereken güç X. Tanım lgx Örneğin log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - vb. Artık bir ders kitabında “Lg 0.01'i bul” gibi bir ifade çıktığında bunun bir yazım hatası olmadığını bilin. Bu bir ondalık logaritmadır. Ancak bu gösterime aşina değilseniz, istediğiniz zaman yeniden yazabilirsiniz: Sıradan logaritmalar için doğru olan her şey ondalık logaritmalar için de doğrudur. Doğal logaritma
Kendi tanımı olan başka bir logaritma var. Bazı yönlerden ondalık sayıdan bile daha önemlidir. Hakkında Doğal logaritma hakkında. Tanım Doğal logaritma x argümanından tabanın logaritması e yani bir sayının yükseltilmesi gereken güç e numarayı almak için X. Tanım x olarak Birçok kişi şunu soracaktır: e sayısı nedir? Bu irrasyonel bir sayıdır, kesin değeri bulunup yazılamaz. Sadece ilk rakamları vereceğim: Bu sayının ne olduğu ve neden ihtiyaç duyulduğu konusunda detaya girmeyeceğiz. Sadece şunu hatırla - doğal logaritmanın tabanı: Böylece ln e = 1; ln e 2 = 2; e 16'da = 16 - vb. Öte yandan ln 2 irrasyonel bir sayıdır. Genel olarak herhangi bir rasyonel sayının doğal logaritması irrasyoneldir. Elbette biri hariç: ln 1 = 0. Doğal logaritmalar için sıradan logaritmalar için geçerli olan tüm kurallar geçerlidir. Logaritmanın temel özellikleri Logaritmalar da diğer sayılar gibi her şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar tam olarak sıradan sayılar olmadığından temel özellikler adı verilen kendi kurallarına sahiptirler. Bu kuralları kesinlikle bilmeniz gerekir; onlar olmadan tek bir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca bunlardan çok azı var - her şeyi bir günde öğrenebilirsiniz. Öyleyse başlayalım. Logaritmaların toplanması ve çıkarılması
Aynı tabanlara sahip iki logaritmayı düşünün: log a x ve log a y . Daha sonra bunlar eklenebilir ve çıkarılabilir ve: kayıt bir x + günlük bir e =günlük A (
X ·
sen );
kayıt bir x - günlük bir e =günlük A (
X :
sen ).
Bu yüzden, logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına, fark ise bölümün logaritmasına eşittir. Not: önemli an işte aynı nedenler. Sebepler farklıysa bu kurallar işe yaramaz! Bu formüller, tek tek parçaları dikkate alınmasa bile logaritmik bir ifadeyi hesaplamanıza yardımcı olacaktır (bkz. ders "
"). Örneklere bir göz atın ve şunu görün: İfadenin değerini bulun: log 6 4 + log 6 9. Logaritmaların tabanları aynı olduğundan toplam formülünü kullanırız: İfadenin değerini bulun: log 2 48 – log 2 3. Bazlar aynı, fark formülünü kullanıyoruz: İfadenin değerini bulun: log 3 135 – log 3 5. Tabanlar yine aynı olduğundan elimizde: Gördüğünüz gibi orijinal ifadeler ayrı olarak hesaplanmayan “kötü” logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra tamamen normal sayılar elde edilir. Birçoğu bu gerçek üzerine inşa edilmiştir sınav kağıtları. Evet, Birleşik Devlet Sınavında test benzeri ifadeler tüm ciddiyetiyle (bazen neredeyse hiç değişiklik yapılmadan) sunulmaktadır. Üslü logaritmadan çıkarma
Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. Ya bir logaritmanın tabanı veya argümanı bir kuvvet ise? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir: Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır. Elbette Logaritmanın ODZ'sine uyulduğu takdirde tüm bu kurallar anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, aynı zamanda tam tersi şekilde de uygulamayı öğrenin; Logaritma işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz. En sık ihtiyaç duyulan şey budur. İfadenin değerini bulun: log 7 49 6 . İlk formülü kullanarak argümandaki dereceden kurtulalım: İfadenin anlamını bulun: Paydanın, tabanı ve argümanının tam kuvvetleri olan bir logaritma içerdiğine dikkat edin: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Sahibiz: Son örneğin biraz açıklama gerektirdiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece paydayla çalışıyoruz. Orada duran logaritmanın temelini ve argümanını kuvvetler şeklinde sunduk ve üsleri çıkardık - “üç katlı” bir kesir elde ettik. Şimdi ana kesirlere bakalım. Pay ve payda aynı sayıyı içerir: log 2 7. Log 2 7 ≠ 0 olduğundan kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre dörtlü paya aktarılabilir ki yapılan da budur. Sonuç şuydu: 2. Yeni bir temele geçiş
Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsederken bunların sadece aynı tabanlarla çalıştığını özellikle vurguladım. Peki ya sebepler farklıysa? Ya aynı sayının tam kuvvetleri değilse? Yeni bir vakfa geçiş formülleri kurtarmaya geliyor. Bunları bir teorem şeklinde formüle edelim: Teorem Logaritma günlüğü verilsin bir x . Daha sonra herhangi bir sayı için c öyle ki c > 0 ve c ≠ 1, eşitlik doğrudur: Özellikle şunu koyarsak c = x, şunu elde ederiz: İkinci formülden, logaritmanın tabanı ve argümanının değiştirilebileceği anlaşılmaktadır, ancak bu durumda ifadenin tamamı "tersine çevrilmiştir", yani. logaritma paydada görünür.
Bu formüllere sıradan sayısal ifadelerde nadiren rastlanır. Ne kadar uygun olduklarını ancak karar vererek değerlendirmek mümkündür. logaritmik denklemler ve eşitsizlikler. Ancak yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyen sorunlar var. Bunlardan birkaçına bakalım: İfadenin değerini bulun: log 5 16 log 2 25. Her iki logaritmanın argümanlarının tam güçler içerdiğini unutmayın. Göstergeleri çıkaralım: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; günlük 2 25 = günlük 2 5 2 = 2 günlük 2 5; Şimdi ikinci logaritmayı “tersine çevirelim”: Faktörleri yeniden düzenlerken çarpım değişmediğinden, sakince dört ve ikiyi çarptık ve ardından logaritmalarla uğraştık. İfadenin değerini bulun: log 9 100 lg 3. Birinci logaritmanın tabanı ve argümanı tam kuvvetlerdir. Bunu bir kenara yazalım ve göstergelerden kurtulalım: Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım: Temel logaritmik kimlik
Çoğu zaman çözüm sürecinde bir sayının belirli bir tabana göre logaritması olarak gösterilmesi gerekir. Bu durumda aşağıdaki formüller bize yardımcı olacaktır: İlk durumda, sayı N argümandaki duruş derecesinin bir göstergesi haline gelir. Sayı N kesinlikle herhangi bir şey olabilir, çünkü bu yalnızca bir logaritma değeridir. İkinci formül aslında başka kelimelerle ifade edilmiş bir tanımdır. Buna şöyle denir:temel logaritmik kimlik.
Aslında b sayısı, b sayısının bu kuvveti a sayısını verecek şekilde yükseltilirse ne olur? Doğru: sonuç aynı a sayısıdır. Bu paragrafı dikkatlice tekrar okuyun; birçok kişi buna takılıp kalıyor. Yeni bir tabana geçiş formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik de bazen mümkün olan tek çözümdür. Görev İfadenin anlamını bulun: Çözüm Günlük 25 64 = günlük 5 olduğunu unutmayın 8 - basitçe tabandan kareyi ve logaritmanın argümanını aldım. Aynı tabanla kuvvetleri çarpma kurallarını hesaba katarsak şunu elde ederiz: 200
Bilmeyen varsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi :) Logaritmik birim ve logaritmik sıfır
Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması pek mümkün olmayan iki kimlik vereceğim - bunlar daha ziyade logaritmanın tanımının sonuçlarıdır. Sürekli olarak sorunlarla karşılaşıyorlar ve şaşırtıcı bir şekilde "ileri düzey" öğrenciler için bile sorunlar yaratıyorlar. log a a = 1 logaritmik birim. Bir kez ve tamamen hatırlayın: herhangi bir tabana göre logaritma A bu tabandan itibaren bire eşittir. log a 1 = 0 logaritmik sıfır. Temel a Herhangi bir şey olabilir, ancak argüman bir tane içeriyorsa logaritma sıfıra eşittir! Çünkü 0 = 1 tanımın doğrudan bir sonucudur. Tüm özellikler bu kadar. Bunları uygulamaya koymayı unutmayın! ÜSSEL VE LOGARATRİK FONKSİYONLAR VIII § 179 Üstel fonksiyonun temel özellikleri Bu bölümde üstel fonksiyonun temel özelliklerini inceleyeceğiz y = a
X
(1) Altında şunu hatırlayalım A
formül (1)'de 1 dışında herhangi bir sabit pozitif sayıyı kastediyoruz. Mülk 1. Üstel bir fonksiyonun tanım kümesi tüm gerçek sayılar kümesidir.
Aslında olumlu anlamda A
ifade A
X
herhangi bir gerçek sayı için tanımlanmış X
. Özellik 2. Üstel fonksiyon yalnızca pozitif değerleri kabul eder.
Gerçekten eğer X
> 0 ise, § 176'da kanıtlandığı gibi, A
X
> 0. Eğer X
<. 0, то A
X
= Nerede - X
zaten sıfırdan fazla. Bu yüzden A -
X
> 0. Ama sonra A
X
= > 0. Nihayet ne zaman X
= 0 A
X
= 1. Üstel fonksiyonun 2. özelliğinin basit bir grafiksel yorumu vardır. Bu fonksiyonun grafiğinin (bkz. Şekil 246 ve 247) tamamen apsis ekseninin üzerinde yer alması gerçeğinde yatmaktadır. Özellik 3. Eğer
A
>1, Sonra ne zaman
X
> 0 A
X
> 1, ve ne zaman
X
< 0 A
X
< 1. Eğer
A
< 1, тah, tam tersine, ne zaman
X
> 0 A
X
< 1, ve ne zaman
X
< 0 A
X
> 1. Üstel fonksiyonun bu özelliği aynı zamanda basit bir geometrik yoruma da olanak sağlar. Şu tarihte: A
> 1 (Şek. 246) eğri y = a
X
düz çizginin üstünde bulunur en
= 1'de X
> 0 ve düz çizginin altında en
= 1'de X
< 0. Eğer A
< 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = a
X
düz çizginin altında bulunur en
= 1'de X
> 0 ve bu düz çizginin üzerinde X
< 0. 3. özelliğin kesin bir kanıtını verelim. İzin vermek A
> 1 ve X
- keyfi bir pozitif sayı. Hadi bunu gösterelim A
X
> 1. eğer sayı X
rasyonel ( X
= M /
N
) , O A
X
= A
M/
N
= N
√A
M
. Çünkü A
> 1 ise A
M
> 1, Ancak birden büyük bir sayının kökü de elbette 1'den büyüktür. Eğer X
irrasyonel ise pozitif rasyonel sayılar vardır X"
Ve X"
bir sayının ondalık yaklaşıkları olarak hizmet veren X : X"< х < х"
. Ama sonra, irrasyonel bir üste sahip bir derecenin tanımı gereği A
X"
< A
X
< A
X""
. Sayı yukarıda görüldüğü gibi A
X"
birden fazla. Bu nedenle sayı A
X
, daha büyük A
X"
, aynı zamanda 1'den büyük olmalıdır, Yani, bunu ne zaman gösterdik A
>1 ve keyfi pozitif X
A
X
> 1. eğer sayı X
negatif olsaydı, o zaman yapardık A
X
= numara nerede X
zaten olumlu olurdu. Bu yüzden A -
X
> 1. Bu nedenle, A
X
= < 1. Böylece ne zaman A
> 1 ve keyfi negatif X
A
X
< 1. 0 durumu< A
< 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно. Mülk 4. eğer x
= 0, o zaman ne olursa olsun
A
X
=1. Bu, sıfır derecenin tanımından kaynaklanmaktadır; sıfırdan başka herhangi bir sayının sıfır kuvveti 1'e eşittir. Grafiksel olarak bu özellik herhangi bir sayı için şu şekilde ifade edilir: A
eğri en
= A
X
(bkz. Şekil 246 ve 247) eksenle kesişir en
ordinat 1 olan noktada. Mülk 5. Şu tarihte:
A
>1 üstel fonksiyon
= A
X
monoton olarak artıyor ve bir süreliğine
< 1 - monoton olarak azalıyor.
Bu özellik aynı zamanda basit bir geometrik yoruma da olanak sağlar. Şu tarihte: A
> 1 (Şek. 246) eğri en
= A
X
büyüme ile X
gittikçe yükselir ve ne zaman A
< 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже. 5. özelliğin kesin bir kanıtını verelim. İzin vermek A
> 1 ve X
2 > X
1. Hadi bunu gösterelim A
X
2
> A
X
1
Çünkü X
2 > X
1., o zaman X
2 = X
1 + D
, Nerede D
- bazı pozitif sayılar. Bu yüzden A
X
2
- A
X
1
= A
X
1
+
D
- A
X
1
= A
X
1
(A
D
- 1) Üstel fonksiyonun 2. özelliğine göre A
X
1 > 0. Şundan beri D
> 0, ardından üstel fonksiyonun 3. özelliği ile A
D
> 1. Üründeki her iki faktör A
X
1
(A
D
- 1) pozitiftir, dolayısıyla bu çarpımın kendisi de pozitiftir. Araç, A
X
2
- A
X
1 > 0 veya A
X
2
> A
X
1, kanıtlanması gereken şey buydu. Öyleyse ne zaman A
> 1 fonksiyon en
= A
X
monoton bir şekilde artmaktadır. Benzer şekilde, kanıtlandığında A
< 1 функция en
= A
X
monoton bir şekilde azalıyor. Sonuçlar. Aynı pozitif sayının 1 dışındaki iki kuvveti eşitse üsleri de eşittir.
Başka bir deyişle, eğer A
B
= A
C
(A
> 0 ve A
=/= 1), b = c
. Gerçekten eğer sayılar B
Ve İle
eşit değildi, o zaman fonksiyonun monotonluğu nedeniyle en
= A
X
bunlardan büyüğü şuna karşılık gelir A
>1 daha büyük ve ne zaman A
< 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или A
B
> A
C
, veya A
B
< A
C
. İkisi de duruma aykırı A
B
= A
C
. Bunu itiraf etmek kalıyor b = c
. Mülk 6. Eğer bir
> 1, daha sonra argümanda sınırsız bir artışla
X
(X
-> ∞
) fonksiyon değerleri
en
= A
X
ayrıca süresiz olarak büyümek
(en
-> ∞
). Argüman sınırsız azaldığında
X
(X
-> -∞
) bu fonksiyonun değerleri pozitif kalırken sıfıra eğilimlidir
(en->0; en
> 0). Yukarıda kanıtlanmış fonksiyonun monotonluğu dikkate alınarak en
= A
X
, söz konusu durumda fonksiyonun olduğunu söyleyebiliriz. en
= A
X
monoton olarak 0'dan 0'a yükselir ∞
. Eğer
0 <A
< 1, daha sonra x (x -> ∞) argümanında sınırsız bir artışla, y = a x fonksiyonunun değerleri pozitif kalırken sıfıra yönelir
(en->0; en
> 0). X argümanı sınırsız azaldığında
(X
-> -∞
) bu fonksiyonun değerleri sınırsız bir şekilde büyüyor
(en
-> ∞
).
Fonksiyonun monotonluğu nedeniyle y = ax
bu durumda fonksiyonun olduğunu söyleyebiliriz en
= A
X
monoton olarak azalır ∞
0'a. Üstel fonksiyonun 6. özelliği Şekil 246 ve 247'de açıkça yansıtılmaktadır. Bunu kesin olarak kanıtlamayacağız. Tek yapmamız gereken üstel fonksiyonun varyasyon aralığını belirlemek y = ax
(A
> 0, A
=/= 1). Yukarıda fonksiyonun olduğunu kanıtladık. y = ax
yalnızca pozitif değerler alır ve ya monoton olarak 0'dan 0'a kadar artar ∞
(saatte A
> 1) veya monoton olarak azalır ∞
0'a (0'da< A
<. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = ax
Değiştiğinizde herhangi bir sıçrama var mı? Herhangi bir pozitif değer alıyor mu? Bu sorun olumlu bir şekilde çözüldü. Eğer A
> 0 ve A
=/= 1, pozitif sayı ne olursa olsun en
0 kesinlikle bulunacak X
0 öyle ki A
X
0
= en
0 . (Fonksiyonun monotonluğu nedeniyle y = ax
belirlenmiş değer X
0 elbette tek olacaktır.) Bu gerçeği kanıtlamak programımızın kapsamı dışındadır. Geometrik yorumu şu şekildedir: pozitif değer en
0 fonksiyon grafiği y = ax
kesinlikle düz bir çizgiyle kesişecek en
= en
0 ve üstelik yalnızca bir noktada (Şekil 248). Buradan özellik 7 olarak formüle ettiğimiz şu sonucu çıkarabiliriz. Mülk 7. Üstel fonksiyonun değişim alanı y = a x
(A
> 0, A
=/= 1)tüm pozitif sayıların kümesidir.
Egzersizler
1368. Aşağıdaki fonksiyonların tanım alanlarını bulun: 1369. Bu sayıların hangisi 1'den büyük, hangisi 1'den küçüktür: 1370. Üstel fonksiyonun hangi özelliğine dayanarak şunu söyleyebiliriz: a) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5; b) (4 / 3) 1,3 > (4 / 3) 1,2 1371. Hangi sayı daha büyük: A) π -
√3 veya (1/ π
) -
√3; c) (2 / 3) 1 +
√6 veya (2/3) √2 +
√5
; B) ( π /
4) 1 +
√3 veya ( π /
4) 2; d) (√3) √2 -
√5 veya (√3) √3 -
2 ? 1372. Eşitsizlikler eşdeğer midir: 1373. Sayılar hakkında neler söylenebilir X
Ve en
, Eğer bir x
= ve sen
, Nerede A
- belirli bir pozitif sayı mı? 1374. 1) Fonksiyonun tüm değerleri arasında mümkün mü? en
= 2X
vurgulamak: 2) Fonksiyonun tüm değerleri arasında mümkün mü? en
= 2 |
x|
vurgulamak: A) en yüksek değer; b) en küçük değer? Matematik problemlerinin çoğunu öyle ya da böyle çözmek, sayısal, cebirsel ya da fonksiyonel ifadelerin dönüştürülmesini içerir. Yukarıdakiler özellikle karar için geçerlidir. Birleşik Devlet Sınavının matematikteki versiyonlarında, bu tür problemler özellikle C3 görevini içerir. C3 görevlerini çözmeyi öğrenmek yalnızca şu amaçlarla önemli değildir: başarılı tamamlama Birleşik Devlet Sınavı, aynı zamanda bu becerinin lisede bir matematik dersi okurken faydalı olacağı için de geçerlidir. C3 görevlerini tamamlarken, Farklı türde Denklemler ve eşitsizlikler. Bunlar arasında rasyonel, irrasyonel, üstel, logaritmik, trigonometrik, modüller (mutlak değerler) içeren ve birleştirilmiş olanlar bulunmaktadır. Bu makale, üstel denklemlerin ve eşitsizliklerin ana türlerini ve ayrıca çeşitli metodlar onların kararları. C3 problemlerini çözme yöntemlerine ayrılmış makalelerin “” bölümünde diğer denklem ve eşitsizlik türlerinin çözümü hakkında bilgi edinin. Birleşik Devlet Sınavı seçenekleri matematik. Spesifik analize başlamadan önce üstel denklemler ve eşitsizlikler, bir matematik öğretmeni olarak bazı bilgilerinizi tazelemenizi öneririm teorik materyal, buna ihtiyacımız olacak. Formun işlevi sen = bir x, Nerede A> 0 ve A≠ 1 denir üstel fonksiyon. Temel üstel fonksiyonun özellikleri sen = bir x: Üstel fonksiyonun grafiği üs: Üstel fonksiyonların grafikleri (üslü sayılar) Gösterge niteliğinde bilinmeyen değişkenin yalnızca bazı kuvvetlerin üslerinde bulunduğu denklemlere denir. Çözümler için üstel denklemler aşağıdaki basit teoremi bilmeniz ve kullanabilmeniz gerekir: Teorem 1.Üstel denklem A F(X) = A G(X) (Nerede A > 0, A≠ 1) denkleme eşdeğerdir F(X) = G(X). Ayrıca temel formülleri ve dereceli işlemleri de hatırlamakta fayda var: Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!} Örnek 1. Denklemi çözün: Çözüm: Yukarıdaki formülleri ve ikameleri kullanıyoruz: Denklem şu şekilde olur: Alınanların ayırt edicisi ikinci dereceden denklem pozitif: Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!} Bu, bu denklemin iki kökü olduğu anlamına gelir. Onları buluyoruz: Ters ikameye devam edersek şunu elde ederiz: İkinci denklemin kökleri yoktur, çünkü üstel fonksiyon tüm tanım alanı boyunca kesinlikle pozitiftir. İkincisini çözelim: Teorem 1'de söylenenleri dikkate alarak eşdeğer denkleme geçiyoruz: X= 3. Bu görevin cevabı olacak. Cevap: X = 3. Örnek 2. Denklemi çözün: Çözüm: Denklemin izin verilen değerlerin aralığı üzerinde herhangi bir kısıtlaması yoktur, çünkü radikal ifade herhangi bir değer için anlamlıdır X(üstel fonksiyon sen = 9 4 -X pozitif ve sıfıra eşit değil). Denklemi çarpma ve kuvvetler bölümü kurallarını kullanarak eşdeğer dönüşümlerle çözüyoruz: Son geçiş Teorem 1'e uygun olarak gerçekleştirildi. Cevap:X= 6.
Örnek 3. Denklemi çözün: Çözüm: Orijinal denklemin her iki tarafı da 0,2'ye bölünebilir X. Bu ifade herhangi bir değer için sıfırdan büyük olduğundan bu geçiş eşdeğer olacaktır. X(üstel fonksiyon, tanım alanında kesinlikle pozitiftir). O halde denklem şu şekli alır: Cevap: X = 0. Örnek 4. Denklemi çözün: Çözüm: Makalenin başında verilen kuvvetlerin bölme ve çarpma kurallarını kullanarak eşdeğer dönüşümler yoluyla denklemi temel bir denklemle basitleştiriyoruz: Denklemin her iki tarafının da 4'e bölünmesi Xönceki örnekte olduğu gibi eşdeğer bir dönüşümdür çünkü bu ifade hiçbir değer için sıfıra eşit değildir X. Cevap: X = 0. Örnek 5. Denklemi çözün: Çözüm: işlev sen = 3X Denklemin sol tarafında duran , artıyor. İşlev sen = —X Denklemin sağ tarafındaki -2/3 azalıyor. Bu, eğer bu fonksiyonların grafikleri kesişiyorsa en fazla bir noktada olduğu anlamına gelir. İÇİNDE bu durumda grafiklerin kesiştiği noktada tahmin etmek zor değil X= -1. Başka kök olmayacak. Cevap: X = -1. Örnek 6. Denklemi çözün: Çözüm:Üstel fonksiyonun herhangi bir değer için kesinlikle sıfırdan büyük olduğunu her yerde akılda tutarak denklemi eşdeğer dönüşümler yoluyla basitleştiririz. X ve makalenin başında verilen güçlerin çarpımını ve bölümünü hesaplamak için kuralları kullanmak: Cevap: X = 2. Gösterge niteliğinde bilinmeyen değişkenin yalnızca bazı kuvvetlerin üslerinde yer aldığı eşitsizliklere denir. Çözümler için üstel eşitsizlikler Aşağıdaki teoremin bilinmesi gereklidir: Teorem 2. Eğer A> 1 ise eşitsizlik A F(X) > A G(X) aynı anlama gelen bir eşitsizliğe eşdeğerdir: F(X) > G(X). 0 ise< A < 1, то показательное неравенство A F(X) > A G(X) zıt anlamı olan bir eşitsizliğe eşdeğerdir: F(X) < G(X). Örnek 7. Eşitsizliği çözün: Çözüm: Orijinal eşitsizliği şu şekilde sunalım: Bu eşitsizliğin her iki tarafını da 3 2'ye bölelim X, bu durumda (fonksiyonun pozitifliği nedeniyle) sen= 3 2X) eşitsizlik işareti değişmeyecek: Değiştirmeyi kullanalım: O zaman eşitsizlik şu şekli alacaktır: Dolayısıyla eşitsizliğin çözümü aralıktır: Ters ikameye geçtiğimizde şunu elde ederiz: Üstel fonksiyonun pozitifliği nedeniyle sol eşitsizlik otomatik olarak karşılanır. Logaritmanın iyi bilinen özelliğini kullanarak eşdeğer eşitsizliğe geçiyoruz: Derecenin tabanı birden büyük bir sayı olduğundan eşdeğer (Teorem 2'ye göre) aşağıdaki eşitsizliğe geçiştir: Yani sonunda elde ettik cevap: Örnek 8. Eşitsizliği çözün: Çözüm:Çarpma ve kuvvetler ayrılığının özelliklerini kullanarak eşitsizliği şu şekilde yeniden yazıyoruz: Yeni bir değişken tanıtalım: Bu ikame dikkate alındığında eşitsizlik şu şekli alır: Kesrin payını ve paydasını 7 ile çarparak aşağıdaki eşdeğer eşitsizliği elde ederiz: Yani değişkenin aşağıdaki değerleri eşitsizliği karşılar T: Daha sonra ters ikameye geçerek şunu elde ederiz: Buradaki derecenin tabanı birden büyük olduğundan eşitsizliğe geçiş eşdeğer olacaktır (Teorem 2'ye göre): Sonunda elde ettik cevap: Örnek 9. Eşitsizliği çözün: Çözüm: Eşitsizliğin her iki tarafını da şu ifadeyle bölüyoruz: Her zaman sıfırdan büyüktür (üstel fonksiyonun pozitifliği nedeniyle), dolayısıyla eşitsizlik işaretini değiştirmeye gerek yoktur. Şunu elde ederiz: t aralıkta bulunur: Ters ikameye geçtiğimizde orijinal eşitsizliğin iki duruma bölündüğünü görüyoruz: Üstel fonksiyonun pozitifliği nedeniyle birinci eşitsizliğin çözümü yoktur. İkincisini çözelim: Örnek 10. Eşitsizliği çözün: Çözüm: Parabol dalları sen = 2X+2-X 2 aşağıya doğru yönlendirilir, bu nedenle tepe noktasında ulaştığı değerle yukarıdan sınırlıdır: Parabol dalları sen = X 2 -2X Göstergedeki +2 yukarıya doğru yönlendirilir, yani tepe noktasında ulaştığı değerle aşağıdan sınırlanır: Aynı zamanda fonksiyonun alttan sınırlı olduğu da ortaya çıkıyor sen = 3 X 2 -2X+2 denklemin sağ tarafındadır. Üssündeki parabol ile aynı noktada en küçük değerine ulaşır ve bu değer 3 1 = 3'tür. Yani orijinal eşitsizlik ancak soldaki fonksiyon ile sağdaki fonksiyonun aynı değeri alması durumunda doğru olabilir. 3'e eşit (bu fonksiyonların değer aralıklarının kesişimi yalnızca bu sayıdır). Bu koşul tek bir noktada sağlanır X = 1. Cevap: X= 1. Karar vermeyi öğrenmek için üstel denklemler ve eşitsizlikler bunları çözmek için sürekli eğitim almak gerekir. Bu zor görevde size çeşitli şeyler yardımcı olabilir. metodolojik kılavuzlar, sorunlu kitaplar ilköğretim matematik, rekabet problemlerinin koleksiyonları, okuldaki matematik dersleri ve profesyonel bir öğretmenle bireysel dersler. Sınava hazırlıklarınızda başarılar ve mükemmel sonuçlar diliyorum. Not; Değerli konuklar! Lütfen yorumlara denklemlerinizi çözmek için istekler yazmayın. Maalesef bunun için kesinlikle zamanım yok. Bu tür mesajlar silinecektir. Lütfen makaleyi okuyun. Belki de içinde görevinizi kendi başınıza çözmenize izin vermeyen soruların yanıtlarını bulacaksınız.
2. Üstel fonksiyona daha yakından bakalım:
0
Eğer ise f(x) fonksiyonu azalır
Fonksiyon y= , 0'da
Bu, gerçek üssü olan bir kuvvetin monotonluk özelliklerinden kaynaklanmaktadır.
b> 0; b≠1
Örneğin:
Üstel fonksiyon herhangi bir ϵ R noktasında süreklidir.
Eğer a0 ise üstel fonksiyon y = 0'a yakın bir form alır.
Eğer a1 ise, ox ve oy eksenlerinden uzaklaştıkça grafik y = 1 fonksiyonuna yakın bir form alır.
y = grafiğini oluşturun
İlk aşama. Eğer r pozitif bir rasyonel sayı ise 2 r >1 olduğunu kanıtlayalım.
İki durum mümkündür: 1) r - doğal sayı, r = n; 2) sıradan indirgenemez kesir, 
Yani her durumda 2 r > 1 eşitsizliği geçerlidir ve bunun kanıtlanması gerekir.
Fonksiyonun aşağıdan sınırlılığı, fonksiyonun tanım bölgesinden herhangi bir x değeri için geçerli olan 2 x >0 eşitsizliğinden kaynaklanır. Aynı zamanda, hangi pozitif M sayısını alırsanız alın, fonksiyonun yukarıdan sınırsızlığını karakterize eden 2 x >M eşitsizliğini sağlayacak şekilde her zaman bir x üssü seçebilirsiniz. Bir takım örnekler verelim. 
Mülk 3. ne en küçük ne de en büyük değeri vardır.
Matematikçiler bir çıkış yolu bulmuşlar; böyle mantık yürüttüler.
Bir rasyonel sayı dizisini düşünün - bir sayının dezavantajlı ondalık yaklaşımları:
Bu sayıların tam olarak ne olduğunu gerçekten düşünmeden trigonometrik bir denklemin kökü: 
Böylece matematikçilerin 2^ sembolüne ne anlam yüklediklerini bulduk. Benzer şekilde, a'nın ne olduğunu ve genel olarak ne olduğunu, a'nın irrasyonel bir sayı ve a > 1 olduğunu belirleyebilirsiniz.
Peki ya 0 ise<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Artık sadece keyfi rasyonel üslere sahip kuvvetlerden değil, aynı zamanda keyfi gerçek üslere sahip kuvvetlerden de bahsedebiliriz. Herhangi bir gerçek üslü derecelerin, derecelerin tüm olağan özelliklerine sahip olduğu kanıtlanmıştır: aynı tabanlarla kuvvetleri çarparken, üsler toplanır, bölünürken çıkarılır, bir dereceyi bir kuvvete yükseltirken çarpılır, vesaire. Ama en önemlisi artık tüm gerçel sayılar kümesinde tanımlanan y-ekseni fonksiyonundan bahsedebiliriz.
y = 2 x fonksiyonuna dönelim ve grafiğini oluşturalım. Bunu yapmak için y=2x fonksiyon değerleri tablosu oluşturalım:
y - 2 x fonksiyonunun özellikleri:
1)
2) ne çift ne de tektir; 248
3) artışlar;
5) ne en büyük ne de en küçük değerlere sahiptir;
6) sürekli;
7)
8) aşağı doğru dışbükey.
Koordinat düzleminde noktaları işaretleyelim (Şek. 197), onlar belli bir çizgiyi işaretler, çizelim (Şek. 198).
Fonksiyon Özellikleri
2) ne çift ne de tektir;
3) azalır;
4) yukarıdan sınırlı değil, aşağıdan sınırlı;
5) ne en büyük ne de en küçük değer vardır;
6) sürekli;
7)
8) aşağı doğru dışbükey.
y = a x formundaki herhangi bir fonksiyon benzer özelliklere sahiptir; burada O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций 
Lütfen dikkat: fonksiyon grafikleri 
onlar. y=2 x, y eksenine göre simetriktir (Şekil 201). Bu, genel ifadenin bir sonucudur (bkz. § 13): y = f(x) ve y = f(-x) fonksiyonlarının grafikleri y eksenine göre simetriktir. Benzer şekilde y = 3 x ve fonksiyonlarının grafikleri
Söylenenleri özetlemek için üstel fonksiyonun bir tanımını vereceğiz ve onun en önemli özelliklerini vurgulayacağız.
Üstel fonksiyonun temel özellikleri y = a x
X ekseni, fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotudur
İlk önemli not. Okul çocukları sıklıkla terimleri karıştırır: güç fonksiyonu, üstel fonksiyon. Karşılaştırmak:
Bunlar üstel fonksiyon örnekleridir.
y = a", burada a belirli bir sayıdır (pozitif ve 1'den farklı), üstel bir fonksiyondur (x argümanı üste dahildir).
Örnek 1. 
Yani 2x = 2 3 denkleminden x = 3, 2 x = 2 x denkleminden ise x = -4 elde ettik.
e) y = 2 x fonksiyonunun grafiği, x > 0 için y = 1 fonksiyonunun grafiğinin üzerinde yer alır - bu, Şekil 2'de açıkça okunabilir. 203. Bu, 2x > 1 eşitsizliğinin çözümünün aralık olduğu anlamına gelir
f) y = 2 x fonksiyonunun grafiği, y = 4 fonksiyonunun x noktasındaki grafiğinin altında yer alır.<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Örnek 1'i çözerken yapılan tüm sonuçların temelinin, y = 2 x fonksiyonunun monotonluk (artış) özelliği olduğunu muhtemelen fark etmişsinizdir. Benzer akıl yürütme aşağıdaki iki teoremin geçerliliğini doğrulamamızı sağlar. 
, ancak bunları eski değil, yeni koordinat sisteminde oluşturacağız (bu noktalar Şekil 207'de işaretlenmiştir). Daha sonra noktalardan bir üs oluşturacağız - bu gerekli grafik olacaktır (bkz. Şekil 207).
Belirli bir fonksiyonun [-2, 2] segmentindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için, verilen fonksiyonun artıyor olmasından yararlanırız ve bu nedenle sırasıyla en küçük ve en büyük değerlerini alırız. Segmentin sol ve sağ uçları.
Bu yüzden:
Cevap: a)x = 1; b)x>1; c)x<1.
Kanıtla 
Çözüm. Elimizdeki şarta göre.
burada a taban, x argüman, b - aslında logaritmanın neye eşit olduğu.
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - tam bir kuvvet değildir, çünkü iki çarpan vardır: 3 ve 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - tam derece;
35 = 7 · 5 - yine kesin bir kuvvet değil;
14 = 7 · 2 - yine kesin bir derece değil;
günlük x = günlük 10 x
e = 2,718281828459...
içinde x = log e x
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
günlük 7 49 6 = 6 günlük 7 49 = 6 2 = 12
Üstel fonksiyon
Üstel fonksiyon nedir?
Üstel Fonksiyonun Grafiği
Üstel denklemleri çözme
Üstel eşitsizlikleri çözme
Sergey Valerievich
