GİRİİŞ

Matematik her zaman okuldaki ana derslerden biri olmuştur ve olmaya devam etmektedir, çünkü matematik bilgisi tüm insanlar için gereklidir. Okulda okuyan her öğrenci gelecekte hangi mesleği seçeceğini bilmiyor, ancak herkes matematiğin birçok yaşam problemini çözmek için gerekli olduğunu anlıyor: bir mağazada hesaplamalar, ödeme kamu hizmetleri, hesaplama aile bütçesi vesaire. Ayrıca tüm okul çocuklarının 9. sınıfta ve 11. sınıfta sınavlara girmesi gerekiyor ve bunun için 1. sınıftan itibaren matematiğe iyi hakim olmak ve her şeyden önce saymayı öğrenmek gerekiyor.

Sayıların olmadığı bir dünya hayal etmek mümkün mü? Numaralar olmadan alışveriş yapamazsınız, saati öğrenemezsiniz, telefon numarası çeviremezsiniz. Ve uzay gemileri, lazerler ve diğerleri teknik ilerlemeler?! Sayıların bilimi olmasaydı bunlar kesinlikle imkansız olurdu.

Matematiğe iki unsur hakimdir: sonsuz çeşitlilikteki özellikleri ve ilişkileriyle sayılar ve şekiller. Çalışmalarımda sayı unsurları ve onlarla birlikte hareketler tercih ediliyor.

Artık bilgisayar bilimi ve bilgisayar teknolojisinin hızlı gelişme aşamasında, modern okul çocukları zihinsel aritmetikle uğraşmak istemiyorlar. Ben de karar verdimsadece bir eylemi gerçekleştirme sürecinin kendisinin önemli olabileceğini değil, aynı zamanda ilginç bir aktivite olduğunu da gösterir.

Hedef: hızlı sayma tekniklerini inceleyin, hesaplamaları basitleştirmek için bunların kullanılmasının gerekliliğini gösterin.

Hedef doğrultusunda belirledik görevler:

Okul çocuklarının hızlı sayma tekniklerini kullanıp kullanmadıklarını araştırmak.
Hesaplamaları kolaylaştırmak için kullanabileceğiniz hızlı sayma tekniklerini öğrenin.
5-6. sınıf öğrencilerine hızlı sayma tekniklerini kullanmaları için bir not oluşturun.

Çalışmanın amacı:hızlı sayma teknikleri.

Çalışma konusu: hesaplama işlemi.

Araştırma hipotezi:Hızlı sayma tekniklerinin kullanımının hesaplamaları kolaylaştırdığını gösterirseniz, öğrencilerin bilgisayar kültürünün gelişmesini ve pratik problemleri çözmelerinin daha kolay olmasını sağlayabilirsiniz.

Çalışmayı gerçekleştirmek için aşağıdakiler kullanıldı: teknikler ve yöntemler : anket (sorgulama), analiz (istatistiksel veri işleme), bilgi kaynaklarıyla çalışma, pratik iş, gözlemler.

Bu çalışma ile ilgilidirUygulamalı araştırma, Çünkü pratik faaliyetler için hızlı sayma tekniklerinin kullanılmasının rolünü gösterir.

Rapor üzerinde çalışırken benaşağıdaki yöntemleri kullandı:

aramak bilimsel yöntemler kullanarak eğitim literatürü internette gerekli bilgileri aramanın yanı sıra;
pratik standart dışı sayma algoritmaları kullanarak hesaplama yapma yöntemi;
analiz çalışma sırasında elde edilen veriler.

Alaka düzeyi Araştırmam şu ki, günümüzde hesap makineleri giderek daha fazla öğrencilerin yardımına koşuyor ve hepsi bu büyük miktarÖğrenciler sözlü olarak sayamazlar. Ancak matematik çalışmaları gelişir mantıksal düşünme, hafıza, zihnin esnekliği, kişiyi doğruluğa, asıl şeyi görme yeteneğine alıştırır, anlamak için gerekli bilgileri sağlar karmaşık görevlerÇeşitli faaliyet alanlarında ortaya çıkan modern adam. Bu nedenle çalışmamda nasıl hızlı ve doğru sayabileceğinizi ve eylem gerçekleştirme sürecinin sadece yararlı değil aynı zamanda ilginç bir aktivite olabileceğini göstermek istiyorum. Öğrencilerin matematiğe olan ilgisini artıran ve matematiksel yeteneklerin gelişimini destekleyen, hesaplama becerilerinin oluşumunda standart dışı tekniklerin kullanılmasıdır.

Arka basit eylemler Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme matematik tarihinin sırlarını gizler. Yanlışlıkla “kafesle çarpma” kelimesini duyduğumda “satranç yöntemi” ilgimi çekti. Bunları ve diğer hesaplama yöntemlerini bilmek ve bunları günümüz hesaplamalarıyla karşılaştırmak istedim.

Sayabilir misin? Bu soru belki de üç yaşın üzerindeki bir kişi için rahatsız edici olabilir. Kim sayamaz? Herkes bunun özel bir sanat gerektirmediği cevabını verecektir. Ve haklı olacak. Ama soru şu: nasıl sayılır? Hesap makinesine güvenebilir, not defterindeki bir sütuna sayabilir veya hızlı sayma tekniklerini kullanarak sözlü olarak sayabilirsiniz. Sözlü olarak çok hızlı sayıyorum, sütunlar halinde veya yazılı olarak neredeyse hiç çözemiyorum, çünkü çeşitli hızlı sayma tekniklerini biliyorum ve kullanıyorum. Sınıf arkadaşlarımdan çok azı sözlü olarak hızlı saymayı biliyor ve ben onların hızlı sayma tekniklerini bilip bilmediklerini öğrenmek, eğer bilmiyorlarsa bu tekniklerde ustalaşmalarına yardımcı olmak, bu amaçla onlar için hızlı sayma tekniklerini içeren bir not oluşturmak istedim.

Modern okul çocuklarının çarpma, toplama, sütunla çıkarma ve köşeye bölmenin yanı sıra aritmetik işlemleri gerçekleştirmenin başka yollarını bilip bilmediklerini ve yeni yollar öğrenmek isteyip istemediklerini öğrenmek için bir test anketi yapıldı.

Öncelikle okulumuzun 6. sınıfında bir anket yaptım. adamlara sordum basit sorular. Neden sayabilmeniz gerekiyor? Hangi okul dersleri doğru saymayı gerektirir? Hızlı sayma tekniklerini biliyorlar mı? Sözlü olarak hızlı bir şekilde nasıl sayılacağını öğrenmek ister misiniz? (Ek I).

Ankete 61 kişi katıldı. Sonuçları analiz ettikten sonra, öğrencilerin çoğunluğunun sayma yeteneğinin hayatta yararlı olduğuna ve özellikle matematik, fizik, kimya, bilgisayar bilimi ve teknoloji okurken okulda gerekli olduğuna inandığı sonucuna vardım. Birçok öğrenci hızlı sayma tekniklerini biliyor ve neredeyse herkes hızlı saymayı öğrenmek istiyor. (Anketin sonuçları diyagramlara yansıtılmıştır) (Ek II).

Verilerin istatistiksel işlemlerini yaptıktan sonra tüm öğrencilerin hızlı sayma tekniklerini bilmediği, dolayısıyla 5-6. sınıf öğrencilerine hızlı sayma tekniklerini hesaplama yaparken kullanabilmeleri için hatırlatmalar yapılması gerektiği sonucuna vardım.

Anket sonuçları:

Soru	5. sınıf	6. sınıf	Toplam
	Evet	HAYIR	Bilmiyorum	Evet	HAYIR	Bilmiyorum



Bilmek ister misin?

Anketin özet tablosu:

Soru	5., 6. sınıflar
	Evet	HAYIR	Bilmiyorum
Modern insanların doğal sayılarla aritmetik işlemler yapabilmesi gerekiyor mu?
Bir sütundaki sayıları çarpmayı, toplamayı, çıkarmayı ve köşeyi kullanarak bölmeyi biliyor musunuz?
Aritmetik yapmanın başka yollarını biliyor musunuz?
Bilmek ister misin?

Anket sonuçlarına dayanarak, çoğu durumda modern okul çocuklarının çarpma, toplama, sütuna göre çıkarma ve "köşeye" göre bölme dışında işlemleri gerçekleştirmenin başka yollarını bilmedikleri sonucuna varabiliriz, çünkü nadiren dışarıda bulunan malzemeye yönelirler. Okul müfredatı.

Bölüm I. HESAP GEÇMİŞİ

1. SAYILAR NASIL ORTAYA ÇIKIYOR

İnsanlar on binlerce yıl önce eski Taş Devri - Paleolitik'te nesneleri saymayı öğrendiler. Bu nasıl oldu? İlk başta insanlar yalnızca farklı miktarlardaki aynı nesneleri gözle karşılaştırdılar. İki yığından hangisinin daha fazla meyveye sahip olduğunu, hangi sürünün daha fazla geyiğe sahip olduğunu vb. belirleyebilirlerdi. Bir kabile, yakaladığı balığı başka bir kabilenin insanlarının yaptığı taş bıçaklarla takas ederse, kaç balık ve kaç bıçak getirdiklerini saymaya gerek kalmıyordu. Kabileler arası alışverişin gerçekleşmesi için her balığın yanına bir bıçak koymak yeterliydi.

Başarılı bir şekilde pratik yapmak tarım aritmetik bilgisine ihtiyaç vardı. Günleri saymadan tarlaları ne zaman ekeceğinizi, ne zaman sulamaya başlayacağınızı, hayvanlardan ne zaman yavru bekleyeceğinizi belirlemek zordu. Sürüde kaç koyun bulunduğunu, ahırlara kaç çuval tahıl konulduğunu bilmek gerekiyordu.
Ve sekiz bin yıldan fazla bir süre önce, eski çobanlar her koyun için bir tane olmak üzere kilden kupalar yapmaya başladılar. Gün içinde en az bir koyunun kaybolup kaybolmadığını öğrenmek için çoban, ağıla her yeni hayvan girdiğinde bir kupayı kenara koyuyordu. Ve ancak daire sayısı kadar koyunun geri döndüğünden emin olduktan sonra sakince yatağına gitti. Ancak sürüsünde sadece koyunlar yoktu; inekleri, keçileri ve eşekleri de otlatıyordu. Bu nedenle kilden başka figürler yapmak zorunda kaldık. Çiftçiler kil heykelcikler kullanarak kayıt tutuyorlardı. hasat edilmiş Ahıra kaç çuval tahıl konduğunu, zeytinlerden kaç testi yağ sıkıldığını, kaç parça keten dokunduğunu kaydediyordu. Koyun doğurursa çoban halkalara yenilerini eklerdi ve koyunların bir kısmı et için kullanılırsa birkaç dairenin kaldırılması gerekiyordu. Yani, nasıl sayılacağını henüz bilmeyen eski insanlar aritmetikle uğraştılar.

Daha sonra insan dilinde sayılar ortaya çıktı ve insanlar nesnelerin, hayvanların ve günlerin sayısını adlandırabildiler. Genellikle bu tür rakamlar çok azdı. Örneğin, Avustralya'daki Murray Nehri halkının iki asal sayısı vardı: enea (1) ve petchewal (2). Diğer sayıları bileşik rakamlarla ifade ettiler: 3 = “petcheval-enea”, 4 “petcheval-petcheval” vb. Başka bir Avustralya kabilesi olan Kamiloroi'nin basit rakamları mal (1), Bulan (2), Guliba (3) idi. Ve burada daha küçük sayılar eklenerek başka sayılar elde edildi: 4 = “Bulan-Bulan”, 5 = “Bulan-Guliba”, 6 = “Guliba-Guliba” vb.

Birçok insan için sayının adı sayılan öğelere bağlıydı. Fiji Adaları sakinleri tekneleri sayıyorsa, 10 sayısına "bolo" adı veriliyordu; Hindistan cevizini sayarlarsa 10 sayısına "karo" denirdi. Amur kıyısındaki Sakhalin'de yaşayan Nivkh'ler de tamamen aynı şeyi yaptı. 19. yüzyılda aynı numarayı aradılar farklı kelimelerleİnsanları, balıkları, tekneleri, ağları, yıldızları, sopaları sayarsanız.

Hala "çok" anlamında çeşitli belirsiz sayılar kullanıyoruz: "kalabalık", "sürü", "sürü", "yığın", "demet" ve diğerleri.

Üretim ve ticaret alışverişinin gelişmesiyle birlikte insanlar, üç tekne ve üç baltanın, on ok ve on somunun ortak yönlerinin ne olduğunu daha iyi anlamaya başladı. Kabileler sıklıkla "eşya karşılığında" ticaret yapıyordu; örneğin 5 yenilebilir kökü 5 balıkla değiştirdiler. 5'in hem kökler hem de balıklar için aynı olduğu ortaya çıktı; Bu, onu tek kelimeyle arayabileceğiniz anlamına gelir.

Diğer halklar da benzer sayma yöntemlerini kullandılar. Beşerli, onlu, yirmili saymaya dayalı numaralandırmalar böyle ortaya çıktı.

Şu ana kadar zihinsel sayma hakkında konuştum. Rakamlar nasıl yazıldı? İlk başta, hatta yazının ortaya çıkmasından önce bile, çubuklarda çentikler, kemiklerde çentikler ve iplerde düğümler kullanılıyordu. Dolní Vestonice'de (Çekoslovakya) bulunan kurt kemiğinde 25.000 yıldan daha uzun bir süre önce 55 kesik vardı.

Yazı ortaya çıktığında sayıları kaydetmek için sayılar ortaya çıktı. İlk başta sayılar çubuklardaki çentiklere benziyordu: Mısır ve Babil'de, Etruria ve Fenike'de, Hindistan ve Çin'de küçük sayılar çubuklarla veya çizgilerle yazılıyordu. Örneğin 5 sayısı beş çubukla yazılmıştır. Aztek ve Maya Kızılderilileri çubuk yerine noktalar kullanıyordu. Daha sonra 5 ve 10 gibi bazı sayılar için özel işaretler ortaya çıktı.

O zamanlar neredeyse tüm numaralandırmalar konumsal değildi, Roma numaralandırmasına benziyordu. Yalnızca bir Babil altmışlık numaralandırması konumsaldı. Ancak uzun bir süre boyunca sıfır yoktu ve tüm kısmı kesirli kısımdan ayıran virgül de yoktu. Dolayısıyla aynı sayı 1, 60 veya 3600 anlamına gelebilir. Sorunun anlamına göre sayının anlamının tahmin edilmesi gerekiyordu.

İcat ettikleri yeni çağdan birkaç yüzyıl önce yeni yol Sıradan alfabenin harflerinin sayı görevi gördüğü sayıları kaydetme. İlk 9 harf onluk, 10, 20,..., 90 rakamlarını, diğer 9 harf de yüzlük sayıları ifade ediyordu. Bu alfabetik numaralandırma 17. yüzyıla kadar kullanıldı. "Gerçek" harfleri rakamlardan ayırmak için, harf-sayıların üzerine bir çizgi yerleştirildi (Rusça'da bu çizgiye "titlo" adı verildi).

Tüm bu numaralandırmalarda aritmetik işlemleri gerçekleştirmek oldukça zordu. Bu nedenle, 6. yüzyılda Hintliler tarafından ondalık konumsal numaralandırmanın icadı, haklı olarak insanlığın en büyük başarılarından biri olarak kabul edilir. Hint numaralandırması ve Hint rakamları Avrupa'da Araplardan tanındı ve genellikle Arapça olarak adlandırıldı.

Kesirleri yazarken de uzun zamandır kısmın tamamı yeni ondalık numaralandırmayla, kesirli kısım ise altmışlık sayıyla yazılmıştır. Ancak 15. yüzyılın başında. Semerkantlı matematikçi ve gökbilimci El-Kaşi, hesaplamalarda ondalık kesirleri kullanmaya başladı.

Çalıştığımız sayılar pozitif ve negatif sayılardır. Ancak bunların matematikte ve diğer bilimlerde kullanılan sayıların hepsi olmadığı ortaya çıktı. Ve beklemeden onlar hakkında bilgi edinebilirsiniz lise ve çok daha erken, matematikte sayıların ortaya çıkış tarihini incelerseniz.

Bölüm II. ESKİ HESAPLAMA YÖNTEMLERİ

2.1. RUS KÖYLÜ ÇORPMA YÖNTEMİ

Rusya'da, birkaç yüzyıl önce, bazı illerin köylüleri arasında çarpım tablosunun tamamının bilinmesini gerektirmeyen bir yöntem yaygındı. Sadece 2 ile çarpma ve bölme işlemini yapabilmeniz gerekiyordu. Bu yönteme denirdi. KÖYLÜ (Mısır kökenli olduğuna dair bir görüş var).

Örnek: 47'yi 35 ile çarpın,

sayıları bir satıra yazın ve aralarına dikey bir çizgi çizin;
Soldaki sayıyı 2'ye bölüp sağdaki sayıyı 2 ile çarpacağız (bölme sırasında kalan olursa kalanı atarız);
solda biri göründüğünde bölünme sona erer;
solda çift sayıların bulunduğu çizgileri çizin;35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645
Sonra sağdaki kalan sayıları topluyoruz - sonuç bu.

2.2. "IZGARA" YÖNTEMİ

Seçkin Arap matematikçi ve gökbilimci Ebu Abdalah Muhammed Ben Moussa el-Khorezmi Bağdat'ta yaşadı ve çalıştı. Bilim adamı, bir kütüphane ve gözlemevinin bulunduğu Bilgelik Evi'nde çalışıyordu; neredeyse tüm büyük Arap bilim adamları burada çalışıyordu.

Muhammed el-Harezmi'nin hayatı ve faaliyetleri hakkında çok az bilgi bulunmaktadır. Cebir ve aritmetik üzerine sadece iki eseri hayatta kaldı. Bu kitapların sonuncusu, günümüzde kullanılanlarla neredeyse aynı olan dört aritmetik işlem kuralını veriyor.


	1	3
	0	1

onun içinde "Hint Muhasebe Kitabı"bilim adamı icat edilen bir yöntemi anlattı Antik Hindistan ve daha sonra adlandırıldı"IZGARA YÖNTEMİ". Bu yöntem günümüzde kullanılan yöntemden bile daha basittir.

Örnek: 25 ile 63'ü çarpın.

Uzunluğunda iki, genişliğinde iki hücrenin olduğu bir tablo çizelim ve uzunluk için bir sayı, genişlik için bir sayı yazalım. Hücrelere bu sayıları çarpmanın sonucunu yazıyoruz, kesişme noktalarında onlarca ve birleri köşegenle ayırıyoruz. Ortaya çıkan sayıları çapraz olarak topluyoruz ve ortaya çıkan sonuç ok boyunca (aşağı ve sağa) okunabilir.

Basit bir örnek ele aldım, ancak bu yöntem herhangi bir çok basamaklı sayıyı çarpmak için kullanılabilir.

Başka bir örneğe bakalım: 987 ile 12'yi çarpın:

3'e 2'lik bir dikdörtgen çizin (her faktör için ondalık basamak sayısına göre);
daha sonra kare hücreleri çapraz olarak böleriz;
Tablonun en üstüne 987 sayısını yazıyoruz;
tablonun solunda 12 sayısı;
Şimdi her kareye, bu kareyle aynı satırda ve aynı sütunda yer alan sayıların çarpımını, köşegenin onluk aşağısı, birlik yukarıya gireceğiz;
tüm üçgenler doldurulduktan sonra, içlerindeki sayılar sağ taraftaki her köşegen boyunca toplanır;
Sonuç ok boyunca okunur.

İkiyi çarpmak için kullanılan bu algoritma doğal sayılar Orta Çağ'da Doğu ve İtalya'da yaygındı.

Hesaplama sürecinin kendisi ilginç olmasına ve tabloyu doldurmanın bir oyuna benzemesine rağmen, dikdörtgen masa hazırlama zahmetinde bu yöntemin sakıncasını belirtmek isterim.

2.3. PARMAKLARINIZDA ÇOĞALMA

Eski Mısırlılar çok dindardılar ve ölen kişinin ahiretteki ruhunun parmak sayma testine tabi tutulduğuna inanıyorlardı. Bu, eskilerin bu doğal sayıları çarpma yöntemine verdikleri önem hakkında zaten çok şey söylüyor (bunaPARMAK HESABI).

Parmaklarındaki 6'dan 9'a kadar olan tek basamaklı sayıları çarptılar, bunun için bir ellerinde birinci faktörün 5'i aştığı kadar parmak uzattılar, ikincisinde de ikinci faktör için aynısını yaptılar. Kalan parmaklar bükülmüştü. Daha sonra her iki elin parmaklarının uzunluğu kadar onluklar aldılar ve bu sayıya birinci ve ikinci elin bükülmüş parmaklarının çarpımını eklediler.

Örnek: 8 ∙ 9 = 72

Daha sonra parmakla sayma geliştirildi; 10.000'e kadar sayıları parmaklarıyla göstermeyi öğrendiler.

Parmak hareketi - hafızanıza yardımcı olmanın başka bir yolu da budur: çarpım tablosunu 9'a göre hatırlamak için parmaklarınızı kullanın. Her iki elinizi masanın üzerinde yan yana koyarak, her iki elin parmaklarını aşağıdaki sırayla numaralandırın: soldaki ilk parmak 1 olarak işaretlenmişse, onun arkasındaki ikinciye 2, sonra 3, 4... onuncu parmağa kadar yani 10 olarak gösterilecektir. İlk dokuz sayıdan herhangi birini 9 ile çarpmanız gerekiyorsa, bunu hareket etmeden yapın. ellerinizi masadan kaldırdığınızda, numarası dokuzun çarpıldığı sayı anlamına gelen parmağınızı kaldırmanız gerekir; daha sonra, kaldırılmış parmağın solunda bulunan parmakların sayısı, onlar sayısını belirler ve kaldırılmış parmağın sağında yatan parmakların sayısı, ortaya çıkan ürünün birim sayısını gösterir (bunu kendiniz görün).

Yani incelediğimiz eski çarpma yöntemleri, okulda doğal sayıları çarpmak için kullanılan algoritmanın tek olmadığını ve her zaman bilinmediğini gösteriyor.

Ancak oldukça hızlı ve en kullanışlı olanıdır.

Bölüm III. SÖZLÜ SAYMA – AKLININ JİMNASTİKLERİ

3.1. FARKLI TOPLAMA VE ÇIKARMA YOLLARI

Kafanızda toplama işlemi yapmanın temel kuralı şudur:

Bir sayıya 9 eklemek için 10 ekleyin ve 1 çıkarın, 8 eklemek için 10 ekleyin ve 2 çıkarın; 7 eklemek, 10 eklemek ve 3 çıkarmak vb. Örneğin:

56+8=56+10-2=64;

65+9=65+10-1=74.

ZİHİNDE İKİ BASAMAKLI SAYILARI TOPLAMAK

Toplanacak sayının birler basamağı 5'ten büyükse sayı yukarıya yuvarlanmalı ve çıkan miktardan yuvarlama hatası çıkarılmalıdır. Birim sayısı daha azsa önce onlar, sonra birimler eklenir. Örneğin:

34+48=34+50-2=82;

27+31=27+30+1=58.

ÜÇ BASAMAKLI SAYILARI TOPLAMA

Soldan sağa, yani önce yüzler, sonra onlar ve sonra birler ekliyoruz. Örneğin:

359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

456+298=400+200+50+90+6+8=754.

ÇIKARMA

Kafanızdaki iki sayıyı çıkarmak için, çıkan sonucu yuvarlamanız ve ardından aldığınız cevabı ayarlamanız gerekir.

56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

100'DEN FAZLA BİR SAYIDAN 100'DEN KÜÇÜK BİR SAYIYI ÇIKARMAK

Çıkarılan sayı 100'den küçük, çıkan sayı 100'den büyük ancak 200'den küçükse aradaki farkı hesaplamanın kolay bir yolu var. 134-76=58

76, 100'den 24 küçüktür. 134, 100'den 34 fazladır. 24'ü 34'e ekleyin ve cevabı bulun: 58.

152-88=64

88, 100'den 12 küçüktür ve 152, 100'den 52 fazladır, yani

152-88=12+52=64

3.2. FARKLI ÇARPLAMA VE BÖLME YÖNTEMLERİ

Bu konuyla ilgili literatürü inceledikten sonra çeşitli hızlı sayma tekniklerinden bir seçim yaptım, her öğrencinin anlayabileceği ve uygulayabileceği çarpma ve bölme tekniklerini seçtim. Bu teknikleri 5-6. sınıf öğrencilerine faydalı olacak bir notta (Ek III) ekledim.

Sayıları 4 ile çarpma ve bölme.

Bir sayıyı 4 ile çarpmak için onu iki kez 2 ile çarpmanız gerekir.

Örneğin:

26·4=(26·2)·2=52·2=104;

417·4=(417·2)·2=834·2=1668.

Bir sayıyı 4'e bölmek için onu iki kez 2'ye bölmeniz gerekir.

Örneğin:

324:4=(324:2):2=162:2=81.

Sayıları 5 ile çarpma ve bölme.

Bir sayıyı 5 ile çarpmak için 10 ile çarpıp 2'ye bölmeniz gerekir.

Örneğin:

236.5=(236.10):2=2360:2=1180.

Bir sayıyı 5'e bölmek için 2'yi çarpıp 10'a bölmeniz gerekir; Son rakamı virgülle ayırın.

Örneğin:

236:5=(236·2):10=472:10=47,2.

Bir sayıyı 1,5 ile çarpmak.

Bir sayıyı 1,5 ile çarpmak için o sayının yarısını orijinal sayıya eklemeniz gerekir.

Örneğin: 34·1,5=34+17=51;

146·1,5=146+73=219.

Bir sayıyı 9 ile çarpmak.

Bir sayıyı 9 ile çarpmak için sayıya 0 eklemeniz ve orijinal sayıyı çıkarmanız gerekir.

Örneğin: 72·9=720-72=648.

4'e bölünebilen bir sayıyı 25 ile çarpmak.

4 ile 25'e bölünebilen bir sayıyı çarpmak için 4'e bölmeniz ve elde edilen sayıyı 100 ile çarpmanız gerekir.

Örneğin: 124·25=(124:4)·100=31·100=3100.

İki basamaklı bir sayıyı 11 ile çarpmak

İki basamaklı bir sayıyı 11 ile çarparken birler basamağı ile onlar basamağı arasına bu rakamların toplamını girmeniz, rakamların toplamı 10'dan büyükse en anlamlı basamağa bir eklemek gerekir. (ilk rakam).

Örneğin:
23·11=253, çünkü 2+3=5, yani 2 ile 3 arasına 5 sayısını koyarız;
57·11=627, çünkü 5+7=12, 5 ile 7 arasına 2 sayısını koyup 5'e 1 ekleyin, 5 yerine 6 yazıyoruz.

"Kenarları katlayın, ortasına koyun" - bu sözler kolayca hatırlamanıza yardımcı olacaktır Bu method 11 ile çarpıyoruz.

Bu yöntem yalnızca iki basamaklı sayıların çarpılması için uygundur.

İki basamaklı bir sayıyı 101 ile çarpmak.

Bir sayıyı 101 ile çarpmak için bu sayıyı kendisine atamanız gerekir.

Örneğin: 34·101 = 3434.

Açıklayalım, 34·101 = 34·100+34·1=3400+34=3434.

Sonu 5 ile biten iki basamaklı bir sayının karesi.

Sonu 5 ile biten iki basamaklı bir sayının karesini almak için, onlar basamağını birden büyük rakamla çarpmanız ve ortaya çıkan çarpımın sağına 25 sayısını eklemeniz gerekir.
Örneğin: 35 2 =1225, yani 3·4=12 ve 25'i 12'ye eklersek 1225 elde ederiz.

5 ile başlayan iki basamaklı bir sayının karesi.

Beş ile başlayan iki basamaklı bir sayının karesini almak için sayının ikinci basamağını 25'e ekleyip sağdaki ikinci basamağın karesini eklemeniz gerekir, ikinci basamağın karesi tek basamaklı bir sayı ise, daha sonra önüne 0 rakamını eklemeniz gerekir.

Örneğin:
52 2 = 2704, çünkü 25+2=28 ve 2 2 =04;
58 2 = 3364, çünkü 25+8=33 ve 8 2 =64.

3.3. OYUNLAR

Ortaya çıkan sayıyı tahmin etmek.

Bir sayı düşünün. Buna 11 ekleyin; elde edilen miktarı 2 ile çarpın; bu çarpımdan 20 çıkarın; Ortaya çıkan farkı 5 ile çarpın ve yeni çarpımdan aklınızdaki sayıdan 10 kat daha büyük bir sayı çıkarın.Sanırım: 10 aldın. Değil mi?
Bir sayı düşünün. Üç katına çıkarın. Sonuçtan 1 çıkarın, sonucu 5 ile çarpın, sonuca 20 ekleyin, sonucu 15'e bölün, elde edilen sonuçtan istenilen değeri çıkarın.1 tane aldın.
Bir sayı düşünün. 6 ile çarpın. 3 çıkarın. 2 ile çarpın. 26 ekleyin. İstenilen değerin iki katını çıkarın. 10'a bölün. İstediğinizi çıkarın.2 tane aldın.
Bir sayı düşünün. Üç katına çıkarın. 2 Çıkarın. 5 ile çarpın. 5 ekleyin. 5'e bölün. Toplama 1. Hedeflenene bölün.3 aldın.
Bir sayı düşünün, ikiye katlayın. 3 ekleyin. 4 ile çarpın. 12 çıkarın. İstediğiniz sayıya bölün.8 aldın.

Amaçlanan sayıları tahmin etmek.

Arkadaşlarınızı herhangi bir sayıyı düşünmeye davet edin. Herkes istediği sayıya 5 eklesin.
Ortaya çıkan miktarın 3 ile çarpılmasına izin verin.
Çarpımdan 7 çıkarsın.
Elde edilen sonuçtan bir 8 daha çıkarsın.
Herkesin size nihai sonucu içeren sayfayı vermesine izin verin. Kağıt parçasına baktığınızda hemen herkese akıllarında hangi sayının olduğunu söylersiniz.

(İstenen sayıyı tahmin etmek için bir kağıt parçasına yazılan veya size sözlü olarak söylenen sonucu 3'e bölün).

ÇÖZÜM

Yeni bir milenyuma girdik! İnsanlığın büyük keşifleri ve başarıları. Çok şey biliyoruz, çok şey yapabiliriz. Sayılar ve formüller yardımıyla uçuşu hesaplayabilmeniz doğaüstü bir şey gibi görünüyor uzay gemisiÜlkedeki “ekonomik durum”, “yarın”ın hava durumu, melodideki notaların sesini anlatıyor. Şu sözü biliyoruz Antik Yunan matematikçisi 4. yüzyılda yaşamış filozof. – Pisagor – “Her şey bir sayıdan ibarettir!”

Eski hesaplama yöntemlerini açıklamak ve modern teknikler hızlı hesaplamalarla, insan aklının yarattığı bir bilim olan matematik olmadan hem geçmişte hem de gelecekte insanın olamayacağını göstermeye çalıştım.

Eski hesaplama yöntemleri üzerine yapılan araştırmalar, bu aritmetik işlemlerin, yöntemlerin çeşitliliği ve hantal uygulamaları nedeniyle zor ve karmaşık olduğunu gösterdi.

Modern bilgi işlem yöntemleri basit ve herkes tarafından erişilebilir.

Bilimsel literatürle tanıştıkça daha hızlı ve daha güvenilir hesaplama yöntemlerini keşfettim.

Pek çok kişinin bu veya diğer hesaplamaları ilk seferde hızlı ve anında yapamaması mümkündür. Eserde gösterilen tekniğin ilk etapta kullanılması mümkün olmasın. Sorun değil. Sürekli hesaplamalı eğitime ihtiyaç vardır. Dersten derse, yıldan yıla. Yararlı zihinsel aritmetik becerileri edinmenize yardımcı olacaktır.

Alman bilim adamı Carl Gauss'a matematikçilerin kralı deniyordu. Matematiksel yeteneği zaten çocuklukta kendini gösterdi. Okulda bir gün (Gauss 10 yaşındaydı), öğretmen sınıftan 1'den 100'e kadar olan tüm sayıları toplamasını istedi. Görevi dikte ederken Gauss'un zaten bir cevabı hazırdı. onun üstünde kayrak tahtasışöyle yazıyordu: 101·50=5050. Bunu nasıl anladı? Çok basit - hızlı bir sayma tekniği kullandı, ilk sayıyı sonuncuya, ikinciyi sondan bir önceki sayıya vb. ekledi. Bu tür toplamlardan yalnızca 50 tanesi var ve her biri 101'e eşit, dolayısıyla doğru cevabı neredeyse anında verebildi.

1+2+…+50+51+...+99+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101·50=5050. Bu örnek, hemen hemen tüm okul çocuklarının sözlü olarak hızlı ve doğru bir şekilde sayabildiğini en iyi şekilde göstermektedir; bunun için hızlı sayma tekniklerini bilmeniz yeterlidir.

Çalışmamın sonuçlarını tüm sınıf arkadaşlarıma sunacağım bir notta derledim ve bunu okul temalı standta da yayınlayacağım "Bu ilginç!" Herkesin bu teknikleri ilk kez kullanarak hızlı ve anında hesaplamalar yapamaması mümkündür, ilk başta notta gösterilen tekniği kullanmayı başaramasalar bile, sorun değil, sadece sürekli hesaplama eğitimine ihtiyacınız var. Yararlı hızlı sayma becerileri kazanmanıza yardımcı olacaktır.

Verilerin istatistiksel işlenmesinden sonra aşağıdakiler elde edildi: sonuçlar:

Hayatta faydalı olacağı için sayabilmek gerekiyor Öğrencilerin %93'üne göre okulda başarılı olmak için - %72'si hızlı karar verebilmek için - %61'i okuryazar olabilmek için - 34 % ve mutlaka saymak mümkün değil - sadece %3.
Öğrencilerin %100'üne göre matematik çalışırken ve ayrıca fizik - %90, kimya - %80, bilgisayar bilimi - %44, teknoloji - %36 çalışırken iyi sayısal beceriler gereklidir.
Öğrencilerin %16'sı (birçok teknik), %25'i (birkaç teknik) hızlı sayma tekniklerini biliyor, %59'u hızlı sayma tekniklerini bilmiyor.
Öğrencilerin %21'i hızlı sayma tekniklerini kullanıyor, %15'i ise bazen kullanıyor.
Öğrencilerin %93'ü hızlı sayma tekniklerini öğrenmek istiyor.

Sonuçlar:

Hızlı sayma teknikleri bilgisi, hesaplamaları basitleştirmenize, zamandan tasarruf etmenize, mantıksal düşünme ve zihinsel esneklik geliştirmenize olanak tanır.
Okul ders kitaplarında neredeyse hiç hızlı sayma tekniği yoktur, bu nedenle bu çalışmanın sonucu - hızlı sayma için bir hatırlatma - 5-6. Sınıflardaki öğrenciler için çok faydalı olacaktır.

KULLANILAN REFERANSLARIN LİSTESİ

Vantsyan A.G. Matematik: 5. sınıf ders kitabı. - Samara: "Fedorov" yayınevi, 1999.
Kordemsky B.A., Akhadov A.A. Muhteşem dünya Sayılar: Öğrenci Kitabı, - M. Eğitim, 1986.
Minskikh E.M. “Oyundan Bilgiye”, M., “Aydınlanma”, 1982.
Svechnikov A.A. Sayılar, rakamlar, problemler. M., Eğitim, 1977. Evet Hayır Bilmiyorum https://accounts.google.com

23 Aralık 2013, 15:10

Etkili zihinsel aritmetik veya beyin egzersizi

Matematik

Bu makale konudan ilham almıştır ve S.A.'nın tekniklerini yaymayı amaçlamaktadır. Sözlü sayım için Rachinsky.
Rachinsky, 19. yüzyılda kırsal okullarda ders veren harika bir öğretmendi. kendi deneyimi hızlı zihinsel hesaplama becerisinin geliştirilmesinin mümkün olduğunu. Öğrencileri için böyle bir örneği kafalarında hesaplamak özellikle zor değildi:

Yuvarlak sayıları kullanma

En yaygın zihinsel sayma tekniklerinden biri, herhangi bir sayının, biri veya birkaçı "yuvarlak" olan sayıların toplamı veya farkı olarak temsil edilebilmesidir:

Çünkü Açık 10 , 100 , 1000 vb. yuvarlak sayıları çarpmak daha hızlıdır; zihninizde her şeyi şu gibi basit işlemlere indirgemeniz gerekir: 18x100 veya 36x10. Buna göre, yuvarlak bir sayıyı "bölerek" ve ardından bir "kuyruk" ekleyerek eklemek daha kolaydır: 1800 + 200 + 190 .
Başka bir örnek:
31 x 29 = (30 + 1) x (30 - 1) = 30 x 30 - 1 x 1 = 900 - 1 = 899.

Çarpmayı bölme yoluyla basitleştirelim

Zihinsel olarak sayarken, tam sayı yerine bölen ve bölen ile işlem yapmak daha uygun olabilir (örneğin, 5 formda temsil etmek 10:2 , A 50 gibi 100:2 ):
68 x 50 = (68 x 100) : 2 = 6800: 2 = 3400; 3400: 50 = (3400 x 2) : 100 = 6800: 100 = 68.
Çarpma veya bölme işlemi de aynı şekilde yapılır. 25 , Nihayet 25 = 100:4 . Örneğin,
600: 25 = (600: 100) x 4 = 6 x 4 = 24; 24x25 = (24x100) : 4 = 2400: 4 = 600.
Artık kafanızda çoğaltmak imkansız görünmüyor 625 Açık 53 :
625 x 53 = 625 x 50 + 625 x 3 = (625 x 100) : 2 + 600 x 3 + 25 x 3 = (625 x 100) : 2 + 1800 + (20 + 5) x 3 = = (60000 + 2500) : 2 + 1800 + 60 + 15 = 30000 + 1250 + 1800 + 50 + 25 = 33000 + 50 + 50 + 25 = 33125.

İki basamaklı bir sayının karesini alma

Herhangi iki basamaklı bir sayının karesini almak için, tüm sayıların karelerini hatırlamanın yeterli olduğu ortaya çıktı. 1 önce 25 . Neyse ki düzeliyor 10 çarpım tablosundan zaten biliyoruz. Kalan kareler aşağıdaki tabloda görülebilir:

Rachinsky'nin tekniği aşağıdaki gibidir. İki basamaklı herhangi bir sayının karesini bulmak için bu sayının karesini bulmanız gerekir. 25 ile çarpmak 100 ve ortaya çıkan çarpıma verilen sayının tamamlayıcısının karesini ekleyin 50 veya fazlalığının karesi 50 -Yu. Örneğin,
37^2 = 12 x 100 + 13^2 = 1200 + 169 = 1369; 84^2 = 59 x 100 + 34^2 = 5900 + 9 x 100 + 16^2 = 6800 + 256 = 7056;
Genel olarak ( M- iki basamaklı sayı):

Üç basamaklı bir sayının karesini alırken bu numarayı uygulamaya çalışalım, önce sayıyı daha küçük terimlere ayıralım:
195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 70 x 100 + 45^2 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + + 7000 + 20 x 100 + 5^2 = 17000 + 19000 + 2000 + 25 = 38025.
Hmm, onu bir sütuna dikmekten çok daha kolay olduğunu söyleyemem ama belki zamanla buna alışabilirsin.
Ve elbette, iki basamaklı sayıların karesini alarak eğitime başlamalısınız ve oradan zihninizde parçalara ayırmaya bile başlayabilirsiniz.

İki Basamaklı Sayıların Çarpılması

Bu ilginç teknik, 12 yaşındaki Rachinsky öğrencisi tarafından icat edildi ve yuvarlak bir sayıya ekleme seçeneklerinden biri.
Birimleri toplamı 10 olan iki basamaklı iki sayı verilsin:
M = 10m + n, K = 10a + 10 - n.
Ürünlerini derleyerek şunu elde ederiz:

Örneğin, hesaplayalım 77x13. Bu sayıların birimlerinin toplamı eşittir 10 , Çünkü 7 + 3 = 10 . İlk önce küçük sayıyı büyük sayının önüne koyuyoruz: 77x13 = 13x77.
Yuvarlak sayıları elde etmek için üç birim alıyoruz 13 ve onları ekle 77 . Şimdi yeni sayıları çarpalım 80x10 ve sonuca seçilen ürünün ürününü ekliyoruz 3 eski sayının farkına göre birimler 77 ve yeni bir numara 10 :
13 x 77 = 10 x 80 + 3 x (77 - 10) = 800 + 3 x 67 = 800 + 3 x (60 + 7) = 800 + 3 x 60 + 3 x 7 = 800 + 180 + 21 = 800 + 201 = 1001.
Bu teknik özel durum: İki faktörün onluk sayısı aynı olduğunda her şey çok daha basit hale gelir. Bu durumda onlar sayısı kendisinden sonraki sayı ile çarpılır ve bu sayıların birimlerinin çarpımı ortaya çıkan sonuca eklenir. Bu tekniğin ne kadar zarif olduğunu bir örnekle görelim.
48x42. Onlarca sayı 4 , sonraki numara: 5 ; 4 x 5 = 20 . Birimlerin çarpımı: 8 x 2 = 16 . Yani 48 x 42 = 2016.
99x91. Onlarca sayı: 9 , sonraki numara: 10 ; 9 x 10 = 90 . Birimlerin çarpımı: 9 x 1 = 09 . Yani 99 x 91 = 9009.
Evet, yani çoğalmak için 95x95, sadece say 9 x 10 = 90 Ve 5 x 5 = 25 ve cevap hazır:
95 x 95 = 9025.
O zaman önceki örnek biraz daha basit hesaplanabilir:
195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 9025 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + 9000 + 25 = 10000 + 19000 + 1000 + 8000 + 25 = 38025.

Bir sonuç yerine

Görünüşe göre, akıllı telefonunuza basitçe sesli komut verebildiğiniz 21. yüzyılda neden kafanızda sayasınız ki? Ama eğer sadece koyarsanız insanlığa ne olacağını düşünürseniz fiziksel iş, ama aynı zamanda zihinsel olan var mı? Aşağılayıcı değil mi? Mental aritmetiği başlı başına bir amaç olarak görmeseniz bile zihni eğitmek için oldukça uygundur.

Referanslar:
“S.A. okulunda zihinsel aritmetik için 1001 problem. Rachinsky".

İktisatçı, satıcı, ticaret uzmanı, aritmetik öğretmeni gibi mesleklerin son yüzyıldaki öğretim yöntemleri ilkokul Sovyet geçmişinin kalıntıları olarak toplumun hafızasından silindi. Ama pek çok yararlı şeyleri vardı. Özellikle beyin aktivitesini etkinleştiren egzersizler, mantıksal düşünmeyi geliştirdi; optimal çözümler matematik problemlerini çözebilir ve zihinsel matematiği hızlı bir şekilde yapabilir.

Bireysel öğeler teknikleri, zihinsel matematikteki modern derslerin ve hızlı zihinsel hesaplamaya yönelik eğitim programlarının temelini oluşturdu. Bugün kafanızdan hızla sayabilmek bir lüks, ancak uzak geçmişte bu bir lükstü. gerekli bir durum Sosyal uyum ve hayatta kalma.

Neden kafandan sayabilmen gerekiyor?

İnsan beyni sürekli strese ihtiyaç duyan bir organdır, aksi takdirde atrofi mekanizması tetiklenir.

Diğer bir özellik ise beyindeki tüm sinirsel süreçlerin aynı anda gerçekleşmesi ve birbirine bağlı olmasıdır. Bu nedenle, yetersiz fiziksel ve zihinsel aktivite, statik yükün baskınlığı, dalgınlığa, dikkatsizliğe ve sinirliliğe yol açar. En kötü durumda gelişebilir stresli durum sonuçlarının tahmin edilmesi zor olan olaylardır.

Çevreleyen dünya ve yasalar hakkında bilgi kamusal yaşam Büyüdükçe ve öğrendikçe çocuğa gelir ve mantıksal bağlantıların, algoritmaların ve paralelliklerin nasıl kurulacağını öğreten kişi olduğu için matematik bunda önemli bir rol oynar.

Psikologlar ve deneyimli öğretmenler, bir çocuğun neden kafasında saymayı öğrenmesi gerektiğinin farklı nedenlerini belirler:

Artan konsantrasyon ve gözlem.
Kısa süreli hafıza eğitimi.
Düşünce süreçlerinin aktivasyonu ve gelişimi yetkin konuşma.
Değişken ve soyut düşünme yeteneği.
Kalıpları ve analojileri tanıma yeteneğini geliştirmek.

Yetişkinler için zihinsel sayma teknikleri ve egzersizleri

Bir yetişkinin çözebileceği görev ve problem yelpazesi bir çocuğunkinden çok daha geniştir. Pek çok meslekte ve günlük yaşamda insanlar her gün yüzlerce kez matematik problemleriyle uğraşmak zorunda kalıyor:

Bu bana ne kadar kazanç sağlayacak?
Mağazada eksik mi değiştirdim?
Bayi, satın alınan malların fiyatını şişirdi mi?
Kredi çekmek daha ucuz aylık ödeme yüzde veya üç ayda bir.
Hangisi daha iyi: saatlik ücret 150 ruble mi, yoksa aylık 18.000 ruble maaş mı?

Liste uzayıp gidiyor ama zihinsel hesaplama becerilerine duyulan ihtiyaç yadsınamaz.

Hazırlık aşaması - zihinsel hesaplama ihtiyacının farkındalığı

Zihinsel matematik ve yetişkinlere ve çocuklara evde zihinsel matematiği daha hızlı ve daha verimli yapmayı öğretmek için tasarlanmış diğer teknikler.

Aralarındaki tek fark bilginin uygulama alanıdır. MM kursu geliştiricileri, yetişkinlere yönelik görevleri, iş yerinde talep görecek şekilde seçmeye çalışır.

☞ Örnek:

Son kullanma tarihi 1 Ocak 2019 olan bir vadeli işlem sözleşmeniz var ve bu olayın haftanın hangi gününe (aniden Cuma) denk geleceğini hesaplamaya başlıyorsunuz. Tüm işlemler yılın son iki rakamı ile gerçekleştirilir, bizim durumumuzda 19'dur. Öncelikle 19'a çeyrek eklemeniz gerekir, bu basit bir bölme işlemiyle yapılabilir: 19:2 = 8,5, sonra 8,5:2 = 4.25. Ondalık noktadan sonraki sayıları atıyoruz. Ekliyoruz: 19 + 4 = 23. Haftanın günü basitçe belirlenir: Ortaya çıkan sayıdan kendisine en yakın çarpımı 7 sayısıyla çıkarmak gerekir. Bizim durumumuzda bu 7 * 3 = 21'dir. Dolayısıyla , 23 – 21 = 2. Vadeli işlemlerin son kullanma tarihi ikinci gün veya Salıdır.

Takvime bakarak kontrol etmek kolaydır ancak elinizde yoksa bu teknik faydalı olabilir ve sizi başkalarının gözünde yükseltir.

Video hikayesi

Farklı sayıları hızla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme teknikleri

Farklı zorluk derecelerine sahip örnekler farklı süreler gerektirir, ancak sürekli pratikle gereken çaba miktarı azalır.

Zihinsel matematikte toplama ve çıkarma işlemleri basitleştirilme eğilimindedir. Karmaşık ve küresel görevler daha küçük ve basit olanlara bölünmüştür. Büyük sayılar yuvarlanırlar.

☞ İlave örnek:

17 996 + 2676 + 3592 = 18 000 + 3600 + 2680 – 4 – 8 — 4 = 21600 + 2000 + 600 + 80 – 10 – 6 = 23600 + 600 + 70 – 6 = 24200 + 70 – 6 = 24270 – 6 = 24264.

İlk başta bu kadar uzun bir zinciri kafanızda tutmak zor olacak ve kaybolmamak için tüm sayıları zihinsel olarak telaffuz etmeniz gerekecek, ancak kısa süreli hafızanız geliştikçe süreç daha kolay ve net hale gelecektir.

☞ Çıkarma örneği:

Çıkarma işlemi için süreç aynıdır. Önce yuvarlatılmış sayıyı çıkarıyoruz, sonra fazlasını ekliyoruz. Basit örnek: 7635 – 5493 = 7635 – 5500 + 7 = 2135 + 7 = 2142

Çarpma ve bölmenin, daha önce tarihlerle ilgili örnekte bahsedilenler de dahil olmak üzere, kendi küçük hileleri vardır. Uygulamada en yaygın örnekler yüzde veya orantı içerenlerdir. Çözümlerinin özü aynı zamanda sorunun parçalanmasına ve basitleştirilmesine de dayanıyor. Bazıları tek tıklamayla çözülebilir.

☞ Çarpma ve bölme örneği:

36.000 USD yatırdınız. Yani %11 ile ne kadar kar getireceğini hesaplamanız gerekiyor. Hesaplamanın sırrı basittir - ilk ve son rakamlar aynı kalacak ve ortadaki iki aşırı sayının toplamı olacaktır. Yani 36 * 11 = 3 (3+6) 6 = 396 veya bizim durumumuzda 396/%100 = 3.960 USD. e.

Çoğu zihinsel çarpma ve bölme yönteminde, zorunlu ve alternatif olmayan bir koşul, çarpım tablosunun ona kadar bilinmesidir. İlkokul çocukları için zihinsel aritmetik öğretme programı farklı olacaktır.

Çocuklar farklı düzende görevlerle karşı karşıyadır. Sıkıcı ezberlemenin yanı sıra elmaları ve domatesleri çoğaltıp bölmeye de zorlanıyorlar ve bunun neden yapıldığını sorarsanız öğretmen en iyi durum senaryosu“Gerekli” diyecek ve çocuk bir bütün olarak tüm sürece olan ilgisini kaybedecektir.

Eğitim sistemini bir ayda değiştirmek mümkün değil ama bir çocuğun zihinsel aritmetik becerilerini geliştirmesine yardımcı olmak oldukça mümkün.

Hazırlık aşaması

Çocuğunuza açıklayın erişilebilir dil, neden kafanızdan saymak sadece yararlı değil aynı zamanda ilginçtir. Kendi başınıza çalışmaya karar verirseniz, farklı kaynaklardan resimli materyaller seçin ve ortak dersler için bir program yapın. Her gün ve saatlerce pratik yapmak gerekli değildir. Hiçbir işe yaramayacak. Haftada üç kez buna yirmi dakika ayırmanız yeterlidir ama aynı zamanda çocuğun alışması için.

Çocuklar için egzersiz örnekleri

Sizi oyuna sokmak için ilginç zorluklarla başlayın. Zor bir örneğe nasıl hızla yanıt alabileceğinizi ve tüm sınıf arkadaşlarınızı nasıl yenebileceğinizi gösterin. Liderlik becerilerini geliştirin.

☞ Örnek:

"44*46" örneğini çözmek için, ilk ve son rakamları aynı olan iki basamaklı sayıları "10"a kadar toplama kuralını kullanalım. İlk rakamı sırasıyla onu takip eden rakamla çarpıyoruz. Son sayıları da çarpıyoruz: 44 * 46 = (4*5 =20; 4*6 = 24) = 2024.

Okulda benzer örnekler eski usul bir sütunda kararlaştırılır. Her şeyi yeniden yazmak çok zaman alır. 4'ün çarpım tablosunu bildiğiniz için bu örneği kafanızda birkaç saniyede çözebilirsiniz.

Okulda ne öğretiyorlar ve her şeye inanabiliyor musun?

Klasik okul, zihinsel matematik yöntemleri konusunda eğitim almış, daha sonra diğer konularda mantıksal düşünmeye çabalamayan ve alıştıkları gibi her şeyi hızlı bir şekilde yapmak isteyen çocukları örnek alarak, hızlandırılmış sayma yöntemlerine genel olarak şüpheyle yaklaşır. ve verimli değil.

Ancak bu büyük ölçüde ataletten kaynaklanmaktadır eğitici program gerçek durumdan daha fazla.

Video bilgileri

Hızlı sayma teknikleri: herkesin erişebileceği sihir

Sayıların hayatımızda oynadığı rolü anlamak için basit bir deney yapın. Bir süre onlarsız yapmaya çalışın. Rakamlar olmadan, hesaplamalar olmadan, ölçüler olmadan... Kendinizi tamamen çaresiz, eliniz ayağınız bağlı hissedeceğiniz tuhaf bir dünyada bulacaksınız. Toplantıya zamanında nasıl gidilir? Bir otobüsü diğerinden ayırt edebilir misiniz? Bir telefon görüşmesi yap? Ekmek, sosis, çay alır mısın? Çorba mı yoksa patates mi pişireceksin? Sayılar olmadan ve dolayısıyla saymadan hayat imkansızdır. Ama bu bilim bazen ne kadar zor! Hızlı bir şekilde 65'i 23 ile çarpmayı deneyebilir misiniz? Çalışmıyor? El, hesap makinesi olan bir cep telefonuna uzanıyor. Bu arada, 200 yıl önce yarı okuryazar Rus köylüleri, çarpım tablosunun yalnızca ilk sütununu - ikiyle çarpmayı - kullanarak bunu sakince yaptılar. Bana inanmıyor musun? Ama boşuna. Bu gerçeklik.

Taş Devri "bilgisayar"

İnsanlar sayıları bilmeden bile saymaya çalışıyorlardı. Mağaralarda yaşayan ve deri giyen atalarımızın komşu bir kabileyle bir şey alışverişi yapması gerekiyorsa, bunu basitçe yaptılar: alanı temizlediler ve örneğin bir ok ucu yerleştirdiler. Yakınlarda bir balık ya da bir avuç fındık yatıyordu. Ve bu, değiş tokuş edilen mallardan biri bitene veya "ticaret misyonu" başkanı yeterli olduğuna karar verene kadar devam etti. İlkeldir, ancak kendi açısından çok kullanışlıdır: kafanız karışmaz ve aldatılmazsınız.

Sığır yetiştiriciliğinin gelişmesiyle birlikte görevler daha karmaşık hale geldi. Tüm keçilerin veya ineklerin orada olup olmadığını bilmek için büyük bir sürünün bir şekilde sayılması gerekiyordu. Okuma yazma bilmeyen ama akıllı çobanların "hesap makinesi", içi içi çakıl taşları olan bir balkabağıydı. Hayvan ağıldan ayrılır ayrılmaz çoban balkabağına bir çakıl taşı koydu. Akşam sürü geri döndü ve çoban ağıla giren her hayvanla birlikte bir çakıl taşı çıkardı. Balkabağı boşsa sürünün iyi olduğunu biliyordu. Taş kaldıysa kaybı aramaya gitti.

Rakamlar gelince işler düzeldi. Her ne kadar uzun bir süre atalarımız sadece üç rakamı kullanmış olsa da: “bir”, “çift” ve “çok”.

Bilgisayardan daha hızlı saymak mümkün mü?

Saniyede yüz milyonlarca işlem gerçekleştiren bir cihazı geçmek mi istiyorsunuz? İmkansız... Ama bunu söyleyen ya acımasızca samimiyetsizdir ya da bilerek bir şeyi gözden kaçırmaktadır. Bilgisayar plastikten yapılmış bir dizi çipten ibarettir; kendi başına sayılmaz.

Soruyu farklı bir şekilde soralım: Kafasında sayan bir kişi bilgisayarda hesaplama yapan birinden daha iyi performans gösterebilir mi? Ve burada cevap evet. Sonuçta, "siyah çantadan" yanıt alabilmek için önce verilerin içine girilmesi gerekir. Bu, parmaklarını veya sesini kullanan bir kişi tarafından yapılacaktır. Ve tüm bu eylemlerin zaman sınırları vardır. Aşılmaz kısıtlamalar. Doğanın kendisi onları insan vücuduna sağladı. Her şey - bir organ hariç. Beyin!

Hesap makinesi yalnızca iki işlemi gerçekleştirebilir: toplama ve çıkarma. Onun için çarpma çoklu toplama, bölme ise çoklu çıkarmadır.

Beynimiz farklı davranıyor.

Matematiğin gelecekteki kralı Carl Gauss'un çalıştığı sınıf, bir zamanlar bir görev almıştı: 1'den 100'e kadar olan tüm sayıları toplamak. Öğretmen görevi açıklamayı bitirir bitirmez Carl, kesinlikle doğru cevabı tahtaya yazdı. Kendine saygısı olan herhangi bir bilgisayarın yapacağı gibi, sayıları özenle ve sırayla eklemedi. Kendi keşfettiği formülü uyguladı: 101 x 50 = 5050. Ve bu, zihinsel hesaplamaları hızlandıran tek teknik olmaktan çok uzaktır.

Hızlı saymanın en basit teknikleri

Okulda okutulurlar. En basit şey: Herhangi bir sayıya 9 eklemeniz gerekiyorsa, 10 ekleyin ve 8 (+ 10 - 2), 7 (+ 10 - 3), vb. ise 1 çıkarın.

54 + 9 = 54 + 10 - 1 = 63. Hızlı ve kullanışlı.

İki basamaklı sayılar da aynı kolaylıkla toplanır. İkinci terimin son rakamı beşten büyükse sayı sonraki onluğa yuvarlanır ve “fazla” çıkarılır. 22 + 47 = 22 + 50 - 3 = 69. Anahtar numarası beşten küçükse, önce onları, ardından birleri eklemeniz gerekir: 27 + 51 = 20 + 50 + 7 + 1 = 78.

Üç basamaklı sayılarda aynı şekilde zorluk yaşanmaz. Bunları soldan sağa doğru okurken topluyoruz: 321 + 543 = 300 + 500 + 20 + 40 + 1 + 3 = 864. Bir sütunda yapmaktan çok daha kolay. Ve çok daha hızlı.

Peki ya çıkarma? Prensip aynı: Çıkarılanı tam sayıya yuvarlıyoruz ve eksik olanı ekliyoruz: 57 - 8 = 57 - 10 + 2 = 49; 43 - 27 = 43 - 30 + 3 = 16. Hesap makinesi kullanmaktan daha hızlıdır - ve sınav sırasında bile öğretmenden hiçbir şikayet gelmez!

Çarpım tablosunu öğrenmem gerekiyor mu?

Çocuklar genellikle buna dayanamazlar. Ve bunu doğru yapıyorlar. Ona öğretmenin bir anlamı yok! Ama kızmak için acele etmeyin. Kimse tabloyu bilmenize gerek olmadığını söylemiyor.

Buluşu Pisagor'a atfedilir, ancak büyük olasılıkla büyük matematikçi zaten bilinenlere yalnızca tam ve kısa bir form vermiştir. Arkeologlar, antik Mezopotamya'daki kazılarda kutsal olan “2 x 2” kil tabletlerini buldular. İnsanlar bunu uzun zamandır en üst düzeyde kullanıyor kullanışlı sistem hesaplamalar ve tablonun iç mantığını ve güzelliğini kavramaya, anlamaya ve aptalca değil, mekanik olarak ezberlemeye yardımcı olan birçok yol keşfetti.

İÇİNDE Antik Çin Tabloyu 9 ile çarparak öğrenmeye başladık. Bu şekilde daha kolay, özellikle de 9 ile "parmaklarınızla" çarpabileceğiniz için.

Her iki elinizi de avuçlarınız aşağıya bakacak şekilde masaya koyun. Soldaki ilk parmak 1, ikincisi 2 vb. Diyelim ki örneği 6 x 9 çözmeniz gerekiyor. Altıncı parmağınızı kaldırın. Soldaki parmaklar onlar, sağdakiler ise birleri gösterecektir. Cevap 54.

Örnek: 8x7. Sol el- ilk çarpan, sağdaki - ikincisi. Elimizde beş parmak var ama 8 ve 7'ye ihtiyacımız var. Sol elimizde üç parmağımızı (5+3=8), sağ elimizde 2 (5+2=7) büküyoruz. Beş bükülmüş parmağımız var, bu da beş düzine anlamına geliyor. Şimdi kalanları çarpalım: 2 x 3 = 6. Bunlar birimdir. Toplam 56.

Bu, en basit "parmak" çarpma tekniklerinden sadece bir tanesidir ve bunlardan çok sayıda vardır. Parmaklarınızda 10.000'e kadar sayılarla işlem yapabilirsiniz!

“Parmak” sisteminin bir avantajı da var: Çocuk bunu şöyle algılıyor: eğlence oyunu. İsteyerek meşgul olur, çok şey deneyimler pozitif duygular ve bunun sonucunda çok geçmeden zihnindeki tüm işlemleri parmaklarının yardımı olmadan yapmaya başlar.

Parmaklarınızı kullanarak da bölebilirsiniz ancak bu biraz daha zordur. Programcılar sayıları çevirmek için hala ellerini kullanıyor ondalık sistem ikiliye dönüştürmek - bilgisayardakinden daha kullanışlı ve çok daha hızlıdır. Ancak okul müfredatı çerçevesinde parmaklarınız olmadan bile hızlı bir şekilde bölmeyi kafanızda öğrenebilirsiniz.

Diyelim ki örnek 91: 13'ü çözmemiz gerekiyor. Sütun? Kağıdı kirletmeye gerek yok. Temettü birde biter. Ve bölen üçtür. Çarpım tablosunda içinde üç bulunan ve sonu bir ile biten ilk şey nedir? 3 x 7 = 21. Yedi! İşte bu, onu yakaladık. 84:14'e ihtiyacınız var. Tabloyu hatırlayın: 6 x 4 = 24. Cevap 6. Basit mi? Yine de yapardım!

Sayıların büyüsü

Hızlı sayma tekniklerinin çoğu sihir numaralarına benzer. 11 ile çarpmanın iyi bilinen örneğini ele alalım. Örneğin 32 x 11'in kenarlarına 3 ve 2 yazmanız ve bunların toplamını ortaya koymanız gerekir: 352.

İki basamaklı bir sayıyı 101 ile çarpmak için sayıyı iki kez yazmanız yeterlidir. 34x101 = 3434.

Bir sayıyı 4 ile çarpmak için 2 ile iki kez çarpmanız, bölmek için ise iki kez 2'ye bölmeniz gerekir.

Pek çok esprili ve en önemlisi hızlı teknik, bir sayıyı bir kuvvete yükseltmeye yardımcı olur, Kare kök. Matematik için ünlü "Perelman'ın 30 tekniği" düşünen insanlar Copperfield'ın şovlarından daha havalı olacak çünkü onlar da neler olduğunu ve nasıl olduğunu ANLIYORLAR. Geri kalanlar sadece güzel odağın tadını çıkarabilirler. Örneğin 45'i 37 ile çarpmanız gerekiyor. Sayıları bir kağıda yazın ve dikey bir çizgiyle bölün. Soldaki sayıyı 2'ye bölün ve bir sayı elde edene kadar geri kalanı atın. Sağ - sütundaki satır sayısı eşit olana kadar çarpın. Daha sonra SAĞ sütundan, SOL sütunda karşısında çift sonuç elde ettiğimiz tüm sayıların üzerini çizeriz. Sağ sütundan kalan sayıları topluyoruz. Sonuç 1665. Sayıları çarpın her zamanki gibi. Cevap uyacaktır.

Zihin için "Şarj"

Hızlı sayma teknikleri okulda bir çocuğun, mağazada veya mutfakta bir annenin, işyerinde veya ofiste bir babanın hayatını büyük ölçüde kolaylaştırabilir. Ama biz hesap makinesini tercih ediyoruz. Neden? Kendimizi zorlamayı sevmiyoruz. Sayıları, hatta iki basamaklı olanları bile aklımızda tutmak bizim için zordur. Nedense dayanamıyorlar.

Odanın ortasına gitmeyi ve bölmeleri yapmayı deneyin. Bazı nedenlerden dolayı “ekmiyor”, değil mi? Ve jimnastikçi bunu tamamen sakin bir şekilde, zorlamadan yapıyor. Eğitmek gerekiyor!

Beyni eğitmenin ve aynı zamanda ısıtmanın en kolay yolu: Zihinsel olarak yüze ve geriye kadar yüksek sesle (gerekli!) saymak. Sabah duşta dururken veya kahvaltı hazırlarken sayın: 2.. 4.. 6.. 100... 98.. 96. Üçe, sekize kadar sayabilirsiniz - asıl önemli olan yapmaktır yüksek sesle. Sadece birkaç haftalık düzenli pratikten sonra sayılarla baş etmenin ne kadar KOLAY olacağına şaşıracaksınız.

Paranızı evde unuttunuz ve bir iş arkadaşınız size öğle yemeği ısmarlamayı kabul etti. Dönüşte bir şeyler atıştırmak için mağazaya uğradınız ve orada en sevdiğiniz çikolatalar için süper bir promosyon duyurdular. Dayanamadın ve 5 parça aldın. Alışverişle o kadar meşguldünüz ki akıllı telefonunuzu unuttunuz ve iş arkadaşınıza ne kadar borcunuzun kaldığını hesaplamadınız. Durum pek hoş değil. Her şeyi bir anda kafanızda bir araya getirmek çok daha kolay olurdu. Ama... uzun zamandır her telefonun bir hesap makinesi varken buna kimin ihtiyacı var!

Kafanızdan saymak, hesap makinesinde yapmak kadar hızlı olabilir. Özellikle günlük meseleler söz konusu olduğunda. Önemli olan hızlı sayma tekniklerinde ustalaşmak ve bunları periyodik olarak uygulamaktır. Malzemede bunların en basitini sunuyoruz.

Bir görevi parçalara ayırma

En zoru bile aritmetik problemler basit parçalara ayrılabilir.

Örnek: Ürünün tam maliyeti biliniyorsa %15 indirimi nasıl hesaplarsınız?

Bu durumda 15'i %10 ve %5'e bölmek mantıklıdır. %10'u çıkarmak oldukça kolaydır, ancak %5, %10'un yarısıdır.

Diyelim ki 900 rublelik bir ürünümüz var, bunun %10'u 90 ruble, %5'i 45. Toplarız: 90 + 45 = 135. %15 indirimle ürünün nihai maliyeti: 900 - 135 = 765 ruble .

En yakın tam sayıya yuvarla

Bu teknik, belirli bir sayı ile genellikle 00 ile biten bir sayı arasındaki boşluğu dolduran bir sayı olan bir tamamlayıcının kullanımını içerir.

Örneğin 87'nin tamamlayıcı sayısı 13 olacaktır çünkü bunların toplamı 100'dür.

Örnek 1234 - 678 karmaşık görünüyor. 678'i 700'e yuvarlayalım. 1234 - 700'ü hesaplamak çok daha kolay olur, sonuç 534 olur.

Biz de çıkardığımızdan beri Büyük sayı, o zaman sonucun eksik olanı döndürmesi gerekir: 700 - 678 = 22, 534'e 22 ekleyin ve nihai sonuç 556'yı elde edin.

11 ile çarpma

Herhangi bir tek basamaklı sayıyı 11 ile çarpmanın ne kadar kolay olduğunu biliyoruz: bunu iki kez tekrarlamanız yeterlidir!

Ancak çok az insan iki basamaklı ve hatta üç basamaklı sayıları 11 ile çarpma becerisine sahiptir.

İki basamaklı bir sayıyı 11 ile çarpmak için rakamlarını ayırmanız gerekir. farklı taraflar ve toplamlarını ortasına yazın. Toplam 10'dan büyükse ortaya çıkan sayının ikinci basamağını ortada bırakıp ilk basamağa on yani bir ekliyoruz.

Örnek 1: 36×11 = 3 (3+6) 6 = 396

Örnek 2: 57×11 = 5 (5+7) 7 = 627

Üç basamaklı sayıları çarpmak için:

Numaranın ilk ve son rakamlarını değiştirmeden bırakın.
Sondan bir önceki rakamı son rakama ekleyin ve sonucu yazın. 10'dan büyükse birimi hatırlayın.
İkinci sayıyı birinci sayıya ekleyin ve sonucu yazın. Önceki eklemeden kalan varsa sonuca ekleyin.
Son eklemede bir birim kaldıysa, bunu orijinal sayının ilk rakamına ekleyin.

Örnek 3: 869×11

9'u geçici bir sonuç olarak hatırlıyoruz. Sonuç: 8...9.
6 ile 9'u toplarız, 15 elde ederiz. 9'dan önce 5'i yazıyoruz, 1 - hatırlıyoruz. Sonuç: 8...59 (akılda 1).
8 ile 6'yı toplarız, 14 elde ederiz, önceki sonuçtan 1 ekleriz. Sonuç: 8559 (akılda 1).
Önceki sonuçtan bir tanesini 8'e ekliyoruz. Sonuç: 9559.

11'den 19'a kadar sayıları çarpma

Bu sayıları aşağıdaki algoritmayı kullanarak çarpabilirsiniz:

11'den 19'a kadar olan herhangi bir sayıyı onlar ve birler olarak temsil ederiz.
Şu formülü elde ederiz: (10+a)×(10+b).
Parantezleri açın: 100+10×b+10×a+a×b.
Ortak çarpanı parantezlerden çıkarıyoruz ve hesaplayabileceğimiz ve hatırlamanın anlamlı olduğu son formülü elde ediyoruz: 100+10×(a+b)+a×b.

Örnek: 13x17

Birimleri toplayalım - 3+7=10.
Sonucu 10 ile çarpalım: 10×10 = 100.
100 ekleyelim: 100+100=200.
Birimleri çarpalım: 3×7 = 21.
3. adımdaki sonuca ekleyelim: 200+21 = 221.

Zihinsel aritmetik

Zihinsel aritmetik tekniklerinde ustalaşarak kafanızdan saymayı öğrenebilirsiniz. Öncelikle Japon abaküsü soroban üzerinde aritmetik işlemlerin nasıl gerçekleştirileceğini öğreneceksiniz. Daha sonra zihninizdeki domino taşlarını hareket ettirerek aynı hesaplamaları yapmaya çalışırsınız. Hakkında daha ayrıntılı olarak zaten yazdık. Mental aritmetik kursları tekniğe tam anlamıyla hakim olmanıza yardımcı olacaktır!