Ridicarea la o putere negativă este unul dintre elementele de bază ale matematicii și este adesea întâlnită în rezolvarea problemelor algebrice. Mai jos sunt instrucțiuni detaliate.

Cum să ridici la o putere negativă - teorie

Când ridicăm un număr la o putere obișnuită, îi înmulțim de mai multe ori valoarea. De exemplu, 3 3 = 3×3×3 = 27. Cu o fracție negativă, contrariul este adevărat. Forma generală a formulei va fi următoarea: a -n = 1/a n. Astfel, pentru a ridica un număr la o putere negativă, trebuie să împărțiți unul la numărul dat, dar la o putere pozitivă.

Cum să ridici la o putere negativă - exemple despre numere obișnuite

Ținând cont de regula de mai sus, să rezolvăm câteva exemple.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Răspuns: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Răspuns -4 -2 = 1/16.

Dar de ce răspunsurile din primul și al doilea exemplu sunt aceleași? Faptul este că atunci când un număr negativ este ridicat la o putere pară (2, 4, 6 etc.), semnul devine pozitiv. Dacă gradul ar fi par, atunci minusul ar rămâne:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Cum să ridici numerele de la 0 la 1 la o putere negativă

Amintiți-vă că atunci când un număr între 0 și 1 este ridicat la o putere pozitivă, valoarea scade pe măsură ce puterea crește. Deci, de exemplu, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Exemplul 3: Calculați 0,5 -2
Rezolvare: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Răspuns: 0,5 -2 = 4

Analiză (secvența acțiunilor):

Convertiți fracția zecimală 0,5 în fracția fracțională 1/2. E mai ușor așa.
Ridicați 1/2 la o putere negativă. 1/(2) -2 . Împărțim 1 la 1/(2) 2, obținem 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Exemplul 4: Calculați 0,5 -3
Rezolvare: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Exemplul 5: Calculați -0,5 -3
Rezolvare: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Răspuns: -0,5 -3 = -8

Pe baza exemplelor al 4-lea și al 5-lea, putem trage câteva concluzii:

Pentru un număr pozitiv în intervalul de la 0 la 1 (exemplul 4), ridicat la o putere negativă, dacă puterea este pară sau impară nu este important, valoarea expresiei va fi pozitivă. Mai mult, cu cât gradul este mai mare, cu atât valoarea este mai mare.
Pentru un număr negativ în intervalul de la 0 la 1 (exemplul 5), ridicat la o putere negativă, indiferent dacă puterea este pară sau impară nu este important, valoarea expresiei va fi negativă. În acest caz, cu cât gradul este mai mare, cu atât valoarea este mai mică.

Cum să ridici la o putere negativă - o putere sub forma unui număr fracționar

Expresiile de acest tip au următoarea formă: a -m/n, unde a este un număr regulat, m este numărătorul gradului, n este numitorul gradului.

Să ne uităm la un exemplu:
Calculați: 8 -1/3

Soluție (secvență de acțiuni):

Să ne amintim de regula pentru ridicarea unui număr la o putere negativă. Se obține: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
Observați că numitorul are numărul 8 într-o putere fracțională. Forma generală de calcul a unei puteri fracționale este următoarea: a m/n = n √8 m.
Astfel, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Obținem rădăcina cubă a lui opt, care este egală cu 2. De aici, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
Răspuns: 8 -1/3 = 2

În acest material ne vom uita la ce este puterea unui număr. Pe lângă definițiile de bază, vom formula ce sunt puterile cu exponenți naturali, întregi, raționali și iraționali. Ca întotdeauna, toate conceptele vor fi ilustrate cu exemple de probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mai întâi, să formulăm definiția de bază a unui grad cu un exponent natural. Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim regulile de bază ale înmulțirii. Să lămurim dinainte că deocamdată ne vom lua ca bază numar real(notați-l cu litera a), iar ca indicator – natural (notați-l cu litera n).

Definiția 1

Puterea unui număr a cu exponent natural n este produsul celui de-al n-lea număr de factori, fiecare dintre care este egal cu numărul a. Gradul este scris astfel: un n, iar sub forma unei formule compoziția sa poate fi reprezentată după cum urmează:

De exemplu, dacă exponentul este 1 și baza este a, atunci prima putere a lui a se scrie ca a 1. Având în vedere că a este valoarea factorului și 1 este numărul de factori, putem concluziona că a 1 = a.

În general, putem spune că o diplomă este o formă convenabilă de a scrie un număr mare de factori egali. Deci, o înregistrare a formularului 8 8 8 8 poate fi scurtat la 8 4 . În același mod, o lucrare ne ajută să evităm înregistrarea un numar mare termeni (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; Am discutat deja despre acest lucru în articolul dedicat înmulțirii numerelor naturale.

Cum să citești corect intrarea la diplomă? Opțiunea general acceptată este „a la puterea lui n”. Sau puteți spune „a-a putere a unei” sau „a-a putere”. Dacă, să spunem, în exemplu am întâlnit intrarea 8 12 , putem citi „8 la puterea a 12-a”, „8 la puterea lui 12” sau „puterea a 12-a a 8”.

Puterea a doua și a treia a numerelor au propriile nume stabilite: pătrat și cub. Dacă vedem a doua putere, de exemplu, numărul 7 (7 2), atunci putem spune „7 pătrat” sau „pătrat al numărului 7”. În mod similar, al treilea grad se citește astfel: 5 3 - acesta este „cubul numărului 5” sau „5 cub”. Cu toate acestea, puteți utiliza și formula standard „la a doua/a treia putere”; aceasta nu va fi o greșeală.

Exemplul 1

Să ne uităm la un exemplu de grad cu exponent natural: pentru 5 7 cinci va fi baza, iar șapte va fi exponentul.

Baza nu trebuie să fie un număr întreg: pentru grad (4 , 32) 9 baza va fi fracția 4, 32, iar exponentul va fi nouă. Atenție la paranteze: această notație se face pentru toate puterile ale căror baze diferă de numerele naturale.

De exemplu: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Pentru ce sunt parantezele? Ele ajută la evitarea erorilor în calcule. Să presupunem că avem două intrări: (− 2) 3 Și − 2 3 . Primul dintre acestea înseamnă un număr negativ minus doi ridicat la o putere cu un exponent natural de trei; al doilea este numărul corespunzător valorii opuse a gradului 2 3 .

Uneori, în cărți puteți găsi o ortografie ușor diferită a puterii unui număr - a^n(unde a este baza și n este exponentul). Adică, 4^9 este la fel ca 4 9 . Dacă n este un număr format din mai multe cifre, acesta este plasat între paranteze. De exemplu, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Dar vom folosi notația un n ca mai frecvente.

Este ușor să ghiciți cum să calculați valoarea unui exponent cu un exponent natural din definiția sa: trebuie doar să înmulțiți un n-lea număr de ori. Am scris mai multe despre asta într-un alt articol.

Conceptul de grad este inversul altui concept matematic - rădăcina unui număr. Dacă știm valoarea puterii și a exponentului, putem calcula baza acesteia. Gradul are unele proprietăți specifice care sunt utile pentru rezolvarea problemelor, despre care am discutat într-un material separat.

Exponenții pot include nu numai numere naturale, ci și orice valori întregi în general, inclusiv cele negative și zerouri, deoarece aparțin și mulțimii numerelor întregi.

Definiția 2

Puterea unui număr cu un exponent întreg pozitiv poate fi reprezentată sub formă de formulă: .

În acest caz, n este orice număr întreg pozitiv.

Să înțelegem conceptul de grad zero. Pentru a face acest lucru, folosim o abordare care ia în considerare proprietatea coeficientului pentru puteri cu baze egale. Este formulat astfel:

Definiția 3

Egalitatea a m: a n = a m − n va fi adevărată în următoarele condiții: m și n sunt numere naturale, m< n , a ≠ 0 .

Ultima condiție este importantă deoarece evită împărțirea la zero. Dacă valorile lui m și n sunt egale, atunci obținem următorul rezultat: a n: a n = a n − n = a 0

Dar în același timp a n: a n = 1 este câtul de numere egale un n si a. Se pare că puterea zero a oricărui număr diferit de zero este egală cu unu.

Cu toate acestea, o astfel de demonstrație nu se aplică la zero la puterea zero. Pentru a face acest lucru, avem nevoie de o altă proprietate a puterilor - proprietatea produselor de puteri cu baze egale. Arata cam asa: a m · a n = a m + n .

Dacă n este egal cu 0, atunci a m · a 0 = a m(această egalitate ne demonstrează și că a 0 = 1). Dar dacă și este, de asemenea, egal cu zero, egalitatea noastră ia forma 0 m · 0 0 = 0 m, Va fi adevărat pentru orice valoare naturală a lui n și nu contează exact cu ce valoarea gradului este egală cu 0 0 , adică poate fi egal cu orice număr, iar acest lucru nu va afecta acuratețea egalității. Prin urmare, o notație a formei 0 0 nu are propriul ei înțeles special și nu i-o vom atribui.

Dacă doriți, este ușor să verificați asta a 0 = 1 converge cu proprietatea gradului (a m) n = a m n cu condiția ca baza gradului să nu fie zero. Astfel, puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este unu.

Exemplul 2

Să ne uităm la un exemplu cu numere specifice: Deci, 5 0 - unitate, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , iar valoarea 0 0 nedefinit.

După gradul zero, trebuie doar să ne dăm seama ce este un grad negativ. Pentru a face acest lucru, avem nevoie de aceeași proprietate a produsului puterilor cu baze egale pe care am folosit-o deja mai sus: a m · a n = a m + n.

Să introducem condiția: m = − n, atunci a nu trebuie să fie egal cu zero. Rezultă că a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Se dovedește că un n și a−n avem numere reciproc reciproce.

Ca rezultat, a la puterea totală negativă nu este altceva decât fracția 1 a n.

Această formulare confirmă că pentru un grad cu un exponent întreg negativ sunt valabile toate aceleași proprietăți pe care le are un grad cu un exponent natural (cu condiția ca baza să nu fie egală cu zero).

Exemplul 3

O putere a cu un exponent întreg negativ n poate fi reprezentată ca o fracție 1 a n . Astfel, a - n = 1 a n supus a ≠ 0și n – oricare numar natural.

Să ilustrăm ideea noastră cu exemple specifice:

Exemplul 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

În ultima parte a paragrafului, vom încerca să descriem clar tot ceea ce a fost spus într-o singură formulă:

Definiția 4

Puterea unui număr cu exponent natural z este: a z = a z, e cu l și z - întreg pozitiv 1, z = 0 și a ≠ 0, (pentru z = 0 și a = 0 rezultatul este 0 0, valorile expresiei 0 0 nu sunt definite) 1 a z, dacă și z este un întreg negativ și a ≠ 0 (dacă z este un întreg negativ și a = 0, obțineți 0 z, egoz valoarea este nedeterminată)

Ce sunt puterile cu exponent rațional?

Am examinat cazurile în care exponentul conține un număr întreg. Cu toate acestea, puteți ridica un număr la o putere chiar și atunci când exponentul său conține un număr fracționar. Aceasta se numește o putere cu un exponent rațional. În această secțiune vom demonstra că are aceleași proprietăți ca și alte puteri.

Ce s-a întâmplat numere rationale? Varietatea lor include atât întregi cât și numere fracționare, în timp ce numerele fracționale pot fi reprezentate ca fracții obișnuite (atât pozitive, cât și negative). Să formulăm definiția puterii unui număr a cu exponent fracționar m / n, unde n este un număr natural și m este un număr întreg.

Avem un anumit grad cu un exponent fracționar a m n . Pentru ca proprietatea puterii de a putere să fie valabilă, egalitatea a m n n = a m n · n = a m trebuie să fie adevărată.

Având în vedere definiția rădăcinii a n-a și că a m n n = a m, putem accepta condiția a m n = a m n dacă a m n are sens pentru valorile date ale lui m, n și a.

Proprietățile de mai sus ale unui grad cu exponent întreg vor fi adevărate în condiția a m n = a m n .

Concluzia principală a raționamentului nostru este următoarea: puterea unui anumit număr a cu un exponent fracționar m / n este rădăcina a n-a a numărului a la puterea m. Acest lucru este adevărat dacă, pentru valorile date ale lui m, n și a, expresia a m n rămâne semnificativă.

1. Putem limita valoarea bazei gradului: să luăm a, care pentru valorile pozitive ale lui m va fi mai mare sau egală cu 0, iar pentru valori negative - strict mai mică (deoarece pentru m ≤ 0 primim 0 m, dar un astfel de grad nu este definit). În acest caz, definiția unui grad cu un exponent fracționar va arăta astfel:

O putere cu un exponent fracționar m/n pentru un număr pozitiv a este rădăcina a n-a a lui a ridicată la puterea m. Aceasta poate fi exprimată sub formă de formulă:

Pentru o putere cu bază zero, această prevedere este, de asemenea, potrivită, dar numai dacă exponentul său este un număr pozitiv.

O putere cu o bază zero și un exponent pozitiv fracționar m/n poate fi exprimată ca

0 m n = 0 m n = 0 cu condiția ca m este un număr întreg pozitiv și n este un număr natural.

Pentru un raport negativ m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Să notăm un punct. Deoarece am introdus condiția ca a să fie mai mare sau egal cu zero, am ajuns să renunțăm la unele cazuri.

Expresia a m n uneori mai are sens pentru unele valori negative ale lui a și unele m. Astfel, intrările corecte sunt (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, în care baza este negativă.

2. A doua abordare este de a considera separat rădăcina a m n cu exponenți pari și impari. Atunci va trebui să introducem încă o condiție: gradul a, în exponentul căruia există o fracție ordinară reductibilă, este considerat a fi gradul a, în exponentul căruia se află fracția ireductibilă corespunzătoare. Mai târziu vom explica de ce avem nevoie de această afecțiune și de ce este atât de importantă. Astfel, dacă avem notația a m · k n · k , atunci o putem reduce la a m n și simplifica calculele.

Dacă n este un număr impar și valoarea lui m este pozitivă și a este orice număr nenegativ, atunci a m n are sens. Condiția ca a să fie nenegativ este necesară deoarece o rădăcină de grad par nu poate fi extrasă dintr-un număr negativ. Dacă valoarea lui m este pozitivă, atunci a poate fi atât negativ, cât și zero, deoarece Rădăcina impară poate fi luată din orice număr real.

Să combinăm toate definițiile de mai sus într-o singură intrare:

Aici m/n înseamnă o fracție ireductibilă, m este orice număr întreg și n este orice număr natural.

Definiția 5

Pentru orice fracție reductibilă obișnuită m · k n · k gradul poate fi înlocuit cu a m n .

Puterea unui număr a cu exponent fracționar ireductibil m / n – poate fi exprimată ca a m n în următoarele cazuri: - pentru orice a real, numere întregi valori pozitive m și valori naturale impare n. Exemplu: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Pentru orice a real diferit de zero, valori întregi negative ale lui m și valori impare ale lui n, de exemplu, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Pentru orice a nenegativ, întreg pozitiv m și chiar n, de exemplu, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Pentru orice a pozitiv, întreg negativ m și chiar n, de exemplu, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

În cazul altor valori, gradul cu exponent fracționar nu este determinat. Exemple de astfel de grade: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Acum să explicăm importanța condiției discutate mai sus: de ce să înlocuiți o fracție cu un exponent reductibil cu o fracție cu un exponent ireductibil. Dacă nu am fi făcut acest lucru, am fi avut următoarele situații, să zicem, 6/10 = 3/5. Atunci ar trebui să fie adevărat (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , dar - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 și (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Definiția unui grad cu exponent fracționar, pe care am prezentat-o mai întâi, este mai convenabil de utilizat în practică decât a doua, așa că o vom folosi în continuare.

Definiția 6

Astfel, puterea unui număr pozitiv a cu un exponent fracționar m/n este definită ca 0 m n = 0 m n = 0. În caz negativ A notaţia a m n nu are sens. Puterea lui zero pentru exponenții fracționali pozitivi m/n este definită ca 0 m n = 0 m n = 0 , pentru exponenții fracționali negativi nu definim gradul de zero.

În concluzii, observăm că puteți scrie orice indicator fracționar atât ca număr mixt, cât și ca fracție zecimală: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Când se calculează, este mai bine să înlocuiți exponentul cu o fracție obișnuită și apoi să utilizați definiția exponentului cu un exponent fracționar. Pentru exemplele de mai sus obținem:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Ce sunt puterile cu exponenți iraționali și reali?

Ce sunt numerele reale? Setul lor include atât numere raționale, cât și iraționale. Prin urmare, pentru a înțelege ce este un grad cu un exponent real, trebuie să definim grade cu exponenți raționali și iraționali. Pe cele raționale le-am menționat deja mai sus. Să ne ocupăm de indicatorii iraționali pas cu pas.

Exemplul 5

Să presupunem că avem un număr irațional a și o succesiune a aproximărilor sale zecimale a 0 , a 1 , a 2 , . . . . De exemplu, să luăm valoarea a = 1,67175331. . . , Apoi

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Putem asocia secvențe de aproximări cu o succesiune de grade a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Dacă ne amintim ce am spus mai devreme despre ridicarea numerelor la puteri raționale, atunci putem calcula singuri valorile acestor puteri.

Să luăm de exemplu a = 3, apoi a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . etc.

Secvența puterilor poate fi redusă la un număr, care va fi valoarea puterii cu baza a și exponentul irațional a. Ca rezultat: un grad cu un exponent irațional de forma 3 1, 67175331. . poate fi redus la numărul 6, 27.

Definiția 7

Puterea unui număr pozitiv a cu exponent irațional a se scrie ca a . Valoarea sa este limita succesiunii a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , unde a 0 , a 1 , a 2 , . . . sunt aproximări zecimale succesive ale numărului irațional a. Un grad cu o bază zero poate fi definit și pentru exponenții iraționali pozitivi, cu 0 a = 0 Deci, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Dar acest lucru nu se poate face pentru cele negative, deoarece, de exemplu, valoarea 0 - 5, 0 - 2 π nu este definită. O unitate ridicată la orice putere irațională rămâne o unitate, de exemplu, iar 1 2, 1 5 în 2 și 1 - 5 va fi egal cu 1.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Formule de grade utilizat în procesul de reducere și simplificare a expresiilor complexe, în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.

Număr c este n-a-a putere a unui număr A Când:

Operații cu grade.

1. Prin înmulțirea gradelor cu aceeași bază, se adaugă indicatorii acestora:

a m·a n = a m + n .

2. La împărțirea gradelor cu aceeași bază, se scad exponenții acestora:

3. Puterea produsului lui 2 sau Mai mult factori este egal cu produsul puterilor acestor factori:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Gradul unei fracții este egal cu raportul dintre gradele dividendului și divizorului:

(a/b) n = a n /b n .

5. Ridicând o putere la o putere, exponenții se înmulțesc:

(a m) n = a m n .

Fiecare formulă de mai sus este adevărată în direcțiile de la stânga la dreapta și invers.

De exemplu. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operații cu rădăcini.

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina unui raport este egală cu raportul dintre dividend și divizorul rădăcinilor:

3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați numărul radical la această putere:

4. Dacă creșteți gradul rădăcinii în n o dată şi în acelaşi timp construi în n Puterea este un număr radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă reduceți gradul rădăcinii în n extrage rădăcina în același timp n-a putere a unui număr radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

Un grad cu un exponent negativ. Puterea unui anumit număr cu un exponent nepozitiv (întreg) este definită ca fiind una împărțită la puterea aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului nepozitiv:

Formulă a m:a n =a m - n poate fi folosit nu numai pentru m> n, dar și cu m< n.

De exemplu. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Pentru a formula a m:a n =a m - n a devenit corect când m=n, este necesară prezența gradului zero.

Un grad cu un indice zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu un exponent zero este egală cu unu.

De exemplu. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Gradul cu exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real A la gradul m/n, trebuie să extrageți rădăcina n gradul de m-a-a putere a acestui număr A.

Una dintre principalele caracteristici în algebră și în toată matematica este gradul. Desigur, în secolul 21, toate calculele pot fi făcute pe un calculator online, dar este mai bine ca dezvoltarea creierului să învețe cum să o faci singur.

În acest articol vom lua în considerare cele mai importante aspecte legate de această definiție. Și anume, să înțelegem ce este în general și care sunt principalele sale funcții, ce proprietăți există în matematică.

Să ne uităm la exemple despre cum arată calculul și care sunt formulele de bază. Să ne uităm la principalele tipuri de cantități și la modul în care acestea diferă de alte funcții.

Să înțelegem cum să rezolvăm diverse probleme folosind această cantitate. Vom arăta cu exemple cum să ridici puterea la zero, irațional, negativ etc.

Calculator de exponentiare online

Ce este o putere a unui număr

Ce înseamnă expresia „ridică un număr la o putere”?

Puterea n a unui număr este produsul factorilor de mărime de n ori la rând.

Matematic arata cam asa:

a n = a * a * a * …a n .

De exemplu:

2 3 = 2 în gradul al treilea. = 2 * 2 * 2 = 8;
4 2 = 4 la pas. doi = 4 * 4 = 16;
5 4 = 5 la pas. patru = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
10 5 = 10 în 5 pași. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
10 4 = 10 în 4 pași. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Mai jos este un tabel cu pătrate și cuburi de la 1 la 10.

Tabelul gradelor de la 1 la 10

Mai jos sunt rezultatele ridicării numerelor naturale la puteri pozitive - „de la 1 la 100”.

Ch-lo	al 2-lea st.	a 3-a etapă
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Proprietățile grade

Care este caracteristica unei astfel de funcții matematice? Să ne uităm la proprietățile de bază.

Oamenii de știință au stabilit următoarele semne caracteristice tuturor gradelor:

a n * a m = (a) (n+m);
a n: a m = (a) (n-m);
(a b) m =(a) (b*m) .

Să verificăm cu exemple:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Pe de altă parte, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

În mod similar: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Altfel 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Ce se întâmplă dacă este diferit? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

După cum puteți vedea, regulile funcționează.

Dar ce zici cu adunare și scădere? E simplu. Mai întâi se efectuează exponențiarea, apoi adunarea și scăderea.

Să ne uităm la exemple:

3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Vă rugăm să rețineți: regula nu va fi valabilă dacă scădeți mai întâi: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Dar în acest caz, trebuie să calculați mai întâi suma, deoarece există acțiuni în paranteze: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Cum se produc calcule în mai mult cazuri dificile ? Ordinea este aceeași:

dacă există paranteze, trebuie să începeți cu ele;
apoi exponentiarea;
apoi efectuați operațiile de înmulțire și împărțire;
după adunare, scădere.

Există proprietăți specifice care nu sunt caracteristice tuturor gradelor:

Rădăcina a n-a a unui număr a la gradul m se va scrie astfel: a m / n.
La ridicarea unei fracții la o putere: atât numărătorul, cât și numitorul acesteia sunt supuse acestei proceduri.
Când se ridică produsul unor numere diferite la o putere, expresia va corespunde produsului dintre aceste numere la puterea dată. Adică: (a * b) n = a n * b n .
Când ridicați un număr la o putere negativă, trebuie să împărțiți 1 la un număr în același secol, dar cu semnul „+”.
Dacă numitorul unei fracții este la o putere negativă, atunci această expresie va fi egală cu produsul numărătorului și numitorul cu o putere pozitivă.
Orice număr la puterea 0 = 1 și la putere. 1 = pentru tine însuți.

Aceste reguli sunt importante în unele cazuri; le vom analiza mai detaliat mai jos.

Gradul cu exponent negativ

Ce să faci cu un grad minus, adică atunci când indicatorul este negativ?

Pe baza proprietăților 4 și 5(vezi punctul de mai sus), se dovedește:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

Si invers:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Dacă este o fracție?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Grad cu indicator natural

Este înțeles ca un grad cu exponenți egali cu numere întregi.

Lucruri de amintit:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...etc.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...etc.

În plus, dacă (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... atunci rezultatul va fi cu semnul „+”. Dacă un număr negativ este ridicat la o putere impară, atunci invers.

Proprietățile generale și toate caracteristicile specifice descrise mai sus sunt, de asemenea, caracteristice acestora.

Gradul fracționat

Acest tip poate fi scris ca o schemă: A m / n. Citiți ca: rădăcina a n-a a numărului A la puterea m.

Puteți face orice doriți cu un indicator fracționar: reduceți-l, împărțiți-l în părți, ridicați-l la o altă putere etc.

Gradul cu exponent irațional

Fie α un număr irațional și A ˃ 0.

Pentru a înțelege esența unei diplome cu un astfel de indicator, Să ne uităm la diferite cazuri posibile:

A = 1. Rezultatul va fi egal cu 1. Deoarece există o axiomă - 1 în toate puterile este egal cu una;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – numere raționale;

0˂А˂1.

În acest caz, este invers: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 în aceleași condiții ca în al doilea paragraf.

De exemplu, exponentul este numărul π. Este rațional.

r 1 – în acest caz este egal cu 3;

r 2 – va fi egal cu 4.

Atunci, pentru A = 1, 1 π = 1.

A = 2, apoi 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, apoi (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Astfel de grade sunt caracterizate de toate operațiile matematice și proprietățile specifice descrise mai sus.

Concluzie

Să rezumam - pentru ce sunt necesare aceste cantități, care sunt avantajele unor astfel de funcții? Desigur, în primul rând, simplifică viața matematicienilor și programatorilor atunci când rezolvă exemple, deoarece le permit să minimizeze calculele, să scurteze algoritmii, să sistematizeze datele și multe altele.

Unde mai pot fi utile aceste cunoștințe? În orice specialitate de lucru: medicină, farmacologie, stomatologie, construcții, tehnologie, inginerie, proiectare etc.

Primul nivel

Gradul și proprietățile sale. Ghid cuprinzător (2019)

De ce sunt necesare diplome? Unde vei avea nevoie de ele? De ce ar trebui să-ți faci timp să le studiezi?

Pentru a afla totul despre diplome, pentru ce sunt acestea, cum să vă folosiți cunoștințele Viata de zi cu zi citeste acest articol.

Și, desigur, cunoașterea diplomelor vă va aduce mai aproape de succes trecând de OGE sau examenul de stat unificat și admiterea la universitatea visurilor tale.

Sa mergem sa mergem!)

Notă importantă! Dacă vedeți gobbledygook în loc de formule, ștergeți memoria cache. Pentru a face acest lucru, apăsați CTRL+F5 (pe Windows) sau Cmd+R (pe Mac).

PRIMUL NIVEL

Exponentiația este o operație matematică la fel ca adunarea, scăderea, înmulțirea sau împărțirea.

Acum voi explica totul în limbajul uman în foarte exemple simple. Atenție. Exemplele sunt elementare, dar explică lucruri importante.

Să începem cu adăugarea.

Nu este nimic de explicat aici. Știți deja totul: suntem opt. Toată lumea are două sticle de cola. Câtă cola este? Așa este - 16 sticle.

Acum înmulțirea.

Același exemplu cu cola poate fi scris diferit: . Matematicienii sunt oameni vicleni și leneși. Ei observă mai întâi unele modele, apoi găsesc o modalitate de a le „număra” mai repede. În cazul nostru, au observat că fiecare dintre cele opt persoane avea același număr de sticle de cola și au venit cu o tehnică numită înmulțire. De acord, este considerat mai ușor și mai rapid decât.

Deci, pentru a număra mai repede, mai ușor și fără erori, trebuie doar să vă amintiți masa înmulțirii. Desigur, poți face totul mai încet, mai greu și cu greșeli! Dar…

Iată tabla înmulțirii. Repeta.

Și încă unul, mai frumos:

Ce altele? trucuri viclene au fost conturile inventate de matematicieni lenesi? Dreapta - ridicarea unui număr la o putere.

Ridicarea unui număr la o putere

Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu el însuși de cinci ori, atunci matematicienii spun că trebuie să ridicați acel număr la puterea a cincea. De exemplu, . Matematicienii își amintesc că puterea doi la a cincea este... Și rezolvă astfel de probleme în capul lor - mai rapid, mai ușor și fără greșeli.

Tot ce trebuie să faci este amintiți-vă ce este evidențiat cu culoare în tabelul puterilor numerelor. Crede-mă, asta îți va face viața mult mai ușoară.

Apropo, de ce se numește gradul doi? pătrat numere, iar al treilea - cub? Ce înseamnă? Foarte buna intrebare. Acum veți avea atât pătrate, cât și cuburi.

Exemplul #1 din viața reală

Să începem cu pătratul sau cu a doua putere a numărului.

Imaginați-vă o piscină pătrată care măsoară un metru pe un metru. Piscina este la casa ta. E cald și îmi doresc foarte mult să înot. Dar... piscina nu are fund! Trebuie să acoperiți fundul piscinei cu gresie. De câte plăci ai nevoie? Pentru a determina acest lucru, trebuie să cunoașteți zona de jos a piscinei.

Puteți calcula pur și simplu arătând cu degetul că fundul piscinei este format din cuburi metru cu metru. Dacă aveți plăci de un metru cu un metru, veți avea nevoie de bucăți. E ușor... Dar unde ai văzut astfel de plăci? Placa va fi cel mai probabil cm cu cm. Și apoi vei fi torturat „numărând cu degetul”. Atunci trebuie să te înmulți. Așadar, pe o parte a fundului piscinei vom potrivi plăci (bucăți) și pe cealaltă, de asemenea, gresie. Înmulțiți cu și obțineți plăci ().

Ați observat că pentru a determina suprafața fundului piscinei am înmulțit același număr de la sine? Ce înseamnă? Deoarece înmulțim același număr, putem folosi tehnica „exponențiării”. (Desigur, atunci când ai doar două numere, mai trebuie să le înmulți sau să le ridici la o putere. Dar dacă ai multe dintre ele, atunci ridicarea lor la o putere este mult mai ușoară și există și mai puține erori în calcule Pentru examenul de stat unificat, acest lucru este foarte important).
Deci, treizeci la a doua putere va fi (). Sau putem spune că treizeci de pătrați vor fi. Cu alte cuvinte, a doua putere a unui număr poate fi întotdeauna reprezentată ca un pătrat. Și invers, dacă vezi un pătrat, acesta este ÎNTOTDEAUNA a doua putere a unui număr. Un pătrat este o imagine a celei de-a doua puteri a unui număr.

Exemplul #2 din viața reală

Iată o sarcină pentru tine: numără câte pătrate sunt pe tabla de șah folosind pătratul numărului... Pe o parte a celulelor și pe cealaltă. Pentru a număra numărul lor, trebuie să înmulți opt cu opt sau... dacă observi asta Tabla de sah- acesta este un pătrat cu o latură, apoi puteți pătra opt. Vei primi celule. () Asa de?

Exemplul #3 din viața reală

Acum, cubul sau a treia putere a unui număr. Aceeași piscină. Dar acum trebuie să aflați câtă apă va trebui turnată în această piscină. Trebuie să calculați volumul. (Volumele și lichidele, apropo, sunt măsurate în metri cubi. Neașteptat, nu?) Desenați o piscină: un fund care măsoară un metru și o adâncime de un metru și încercați să numărați câte cuburi care măsoară un metru pe un metru vor încăpea în piscina dvs.

Doar arată cu degetul și numără! Unu, doi, trei, patru... douăzeci și doi, douăzeci și trei... Câți ai primit? Nu ai pierdut? E greu să numeri cu degetul? Astfel încât! Luați un exemplu de la matematicieni. Sunt leneși, așa că au observat că, pentru a calcula volumul piscinei, trebuie să-i înmulțiți lungimea, lățimea și înălțimea între ele. În cazul nostru, volumul bazinului va fi egal cu cuburi... Mai ușor, nu?

Acum imaginați-vă cât de leneși și vicleni sunt matematicienii dacă ar simplifica și asta. Am redus totul la o singură acțiune. Au observat că lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale și că același număr se înmulțește cu el însuși... Ce înseamnă asta? Asta înseamnă că poți profita de grad. Deci, ceea ce ați numărat cândva cu degetul, ei fac într-o singură acțiune: trei cuburi sunt egali. Este scris astfel: .

Tot ce rămâne este amintiți-vă tabelul gradelor. Dacă, desigur, nu ești la fel de leneș și viclean ca matematicienii. Dacă îți place să muncești din greu și să faci greșeli, poți continua să numeri cu degetul.

Ei bine, pentru a vă convinge în sfârșit că diplomele au fost inventate de cei care au renunțat și de oameni vicleni pentru a-și rezolva problemele vieții și nu pentru a vă crea probleme, iată încă câteva exemple din viață.

Exemplul #4 din viața reală

Ai un milion de ruble. La începutul fiecărui an, pentru fiecare milion pe care îl câștigi, faci încă un milion. Adică fiecare milion pe care îl ai se dublează la începutul fiecărui an. Câți bani vei avea peste ani? Dacă stai acum și „numărați cu degetul”, atunci ești o persoană foarte muncitoare și... proastă. Dar cel mai probabil vei da un răspuns în câteva secunde, pentru că ești inteligent! Deci, în primul an - doi înmulțiți cu doi... în al doilea an - ce s-a întâmplat, cu încă doi, în al treilea an... Stop! Ai observat că numărul se înmulțește de ori cu el însuși. Deci doi la a cincea putere este un milion! Acum imaginați-vă că aveți o competiție și cel care poate număra cel mai repede va primi aceste milioane... Merită să vă amintiți puterile numerelor, nu crezi?

Exemplul #5 din viața reală

Ai un milion. La începutul fiecărui an, pentru fiecare milion pe care îl câștigi, mai câștigi două. Grozav nu? Fiecare milion este triplat. Câți bani vei avea într-un an? Hai să numărăm. Primul an - înmulțiți cu, apoi rezultatul cu altul... Este deja plictisitor, pentru că ați înțeles deja totul: trei se înmulțesc de la sine ori. Deci la a patra putere este egal cu un milion. Trebuie doar să vă amintiți că trei până la a patra putere este sau.

Acum știi că, ridicând un număr la o putere, îți vei face viața mult mai ușoară. Să aruncăm o privire în continuare la ceea ce poți face cu diplome și ce trebuie să știi despre ele.

Termeni și concepte... ca să nu se încurce

Deci, mai întâi, să definim conceptele. Ce crezi, ce este un exponent? Este foarte simplu - este numărul care se află „în partea de sus” a puterii numărului. Nu științific, dar clar și ușor de reținut...

Ei bine, în același timp, ce o astfel de bază de grad? Și mai simplu - acesta este numărul care se află mai jos, la bază.

Iată un desen pentru o măsură bună.

Păi înăuntru vedere generala, pentru a generaliza și a reține mai bine... Un grad cu o bază „ ” și un exponent „ ” se citește „la grad” și se scrie astfel:

Puterea unui număr cu exponent natural

Probabil ați ghicit deja: pentru că exponentul este un număr natural. Da, dar ce este numar natural? Elementar! Numerele naturale sunt acele numere care sunt folosite la numărare la enumerarea obiectelor: unu, doi, trei... Când numărăm obiecte, nu spunem: „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. De asemenea, nu spunem: „o treime” sau „zero virgulă cinci”. Acestea nu sunt numere naturale. Ce numere crezi că sunt acestea?

Se referă numere precum „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. numere întregi.În general, numerele întregi includ toate numerele naturale, numerele opuse numerelor naturale (adică luate cu semnul minus) și numărul. Zero este ușor de înțeles - este atunci când nu există nimic. Ce înseamnă numerele negative („minus”)? Dar au fost inventate în primul rând pentru a indica datorii: dacă aveți un sold pe telefon în ruble, aceasta înseamnă că datorați ruble operatorului.

Toate fracțiile sunt numere raționale. Cum au apărut, crezi? Foarte simplu. Cu câteva mii de ani în urmă, strămoșii noștri au descoperit că le lipsesc numerele naturale pentru a măsura lungimea, greutatea, suprafața etc. Și au venit cu numere rationale... Interesant, nu-i așa?

Există și numere iraționale. Care sunt aceste numere? Pe scurt, nesfârșit zecimal. De exemplu, dacă împărțiți circumferința unui cerc la diametrul acestuia, obțineți un număr irațional.

Rezumat:

Să definim conceptul de grad al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

Orice număr la prima putere este egal cu el însuși:
A pătra un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși:
A cubi un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși de trei ori:

Definiție. A ridica un număr la o putere naturală înseamnă a înmulți numărul cu el însuși de ori:
.

Proprietățile grade

De unde au venit aceste proprietăți? Îți voi arăta acum.

Să vedem: ce este Și ?

Prioritate A:

Câți multiplicatori există în total?

Este foarte simplu: am adăugat multiplicatori la factori, iar rezultatul sunt multiplicatori.

Dar, prin definiție, aceasta este o putere a unui număr cu un exponent, adică: , care este ceea ce trebuia demonstrat.

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie:

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie: Este important de reținut că în regula noastră Neapărat trebuie sa fie aceleasi motive!
Prin urmare, combinăm puterile cu baza, dar rămâne un factor separat:

numai pentru produsul puterilor!

Sub nicio formă nu poți scrie asta.

2. asta e puterea a unui număr

La fel ca în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși ori, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:

În esență, aceasta poate fi numită „scoaterea indicatorului din paranteze”. Dar nu poți face niciodată asta în total:

Să ne amintim de formulele de înmulțire prescurtate: de câte ori am vrut să scriem?

Dar asta nu este adevărat, până la urmă.

Putere cu bază negativă

Până în acest punct, am discutat doar care ar trebui să fie exponentul.

Dar care ar trebui să fie baza?

În puteri de indicator natural baza poate fi orice număr. Într-adevăr, putem înmulți orice numere unul cu celălalt, fie ele pozitive, negative sau chiar.

Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea puteri ale numerelor pozitive și negative?

De exemplu, numărul este pozitiv sau negativ? A? ? Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. Ne amintim de regula simplă din clasa a VI-a: „minus pentru minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu, funcționează.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ai reușit?

Iată răspunsurile: În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este egală, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu!

6 exemple de exersat

Analiza soluției 6 exemple

Dacă ignorăm a opta putere, ce vedem aici? Să ne amintim de programul de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate! Primim:

Să ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordinea termenilor este greșită. Dacă ar fi inversate, regula s-ar putea aplica.

Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: gradul par al numitorului ne ajută aici.

În mod magic, termenii și-au schimbat locurile. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba cu ușurință semnele din paranteze.

Dar este important de reținut: toate semnele se schimbă în același timp!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Întreg numim numerele naturale, contrariile lor (adică luate cu semnul " ") și numărul.

număr întreg pozitiv, și nu este diferit de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.

Acum să ne uităm la cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.

Orice număr la puterea zero este egal cu unu:

Ca întotdeauna, să ne întrebăm: de ce este așa?

Să luăm în considerare un anumit grad cu o bază. Luați, de exemplu, și înmulțiți cu:

Deci, am înmulțit numărul cu și am obținut același lucru ca și - . Cu ce număr ar trebui să înmulțiți ca să nu se schimbe nimic? Așa e, pe. Mijloace.

Putem face același lucru cu un număr arbitrar:

Să repetăm regula:

Orice număr la puterea zero este egal cu unu.

Dar există excepții de la multe reguli. Și aici este și acolo - acesta este un număr (ca bază).

Pe de o parte, trebuie să fie egal cu orice grad - indiferent cât de mult ați înmulți zero de la sine, veți obține în continuare zero, acest lucru este clar. Dar, pe de altă parte, ca orice număr la puterea zero, trebuie să fie egal. Deci cât de mult din asta este adevărat? Matematicienii au decis să nu se implice și au refuzat să ridice zero la puterea zero. Adică, acum nu putem doar să împărțim la zero, ci și să o ridicăm la puterea zero.

Sa trecem peste. Pe lângă numerele naturale și numerele, numerele întregi includ și numere negative. Pentru a înțelege ce este o putere negativă, să facem ca data trecută: înmulțim un număr normal cu același număr la o putere negativă:

De aici este ușor să exprimi ceea ce cauți:

Acum să extindem regula rezultată într-un grad arbitrar:

Deci, haideți să formulăm o regulă:

Un număr cu putere negativă este reciproca aceluiași număr cu putere pozitivă. Dar in acelasi timp Baza nu poate fi nulă:(pentru că nu poți împărți cu).

Să rezumăm:

I. Expresia nu este definită în cauză. Daca atunci.

II. Orice număr la puterea zero este egal cu unu: .

III. Un număr care nu este egal cu zero la o putere negativă este inversul aceluiași număr cu o putere pozitivă: .

Sarcini pentru soluție independentă:

Ei bine, ca de obicei, exemple pentru soluții independente:

Analiza problemelor pentru rezolvare independentă:

Știu, știu, cifrele sunt înfricoșătoare, dar la examenul de stat unificat trebuie să fii pregătit pentru orice! Rezolvă aceste exemple sau analizează-le soluțiile dacă nu le-ai putut rezolva și vei învăța să le faci față cu ușurință la examen!

Să continuăm să extindem gama de numere „adecvate” ca exponent.

Acum să luăm în considerare numere rationale. Ce numere se numesc raționale?

Răspuns: tot ceea ce poate fi reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi și.

Pentru a înțelege ce este "grad fractionar", luați în considerare fracția:

Să ridicăm ambele părți ale ecuației la o putere:

Acum să ne amintim regula despre "grad la grad":

Ce număr trebuie ridicat la o putere pentru a obține?

Această formulare este definiția rădăcinii gradului al treilea.

Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina puterii-a a unui număr () este un număr care, atunci când este ridicat la o putere, este egal cu.

Adică rădăcina puterii-a este operația inversă de ridicare la o putere: .

Se pare că. Evident asta caz special poate fi extins: .

Acum adăugăm numărătorul: ce este? Răspunsul este ușor de obținut folosind regula putere-la-putere:

Dar baza poate fi orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.

Nici unul!

Să ne amintim regula: orice număr ridicat la o putere pară este un număr pozitiv. Adică, este imposibil să extragi chiar și rădăcini din numere negative!

Aceasta înseamnă că astfel de numere nu pot fi ridicate la o putere fracțională cu un numitor par, adică expresia nu are sens.

Dar expresia?

Dar aici apare o problemă.

Numărul poate fi reprezentat sub forma altor fracții reductibile, de exemplu, sau.

Și se dovedește că există, dar nu există, dar acestea sunt doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.

Sau un alt exemplu: o dată, atunci îl poți nota. Dar dacă notăm indicatorul diferit, vom avea din nou probleme: (adică am obținut un rezultat complet diferit!).

Pentru a evita astfel de paradoxuri, luăm în considerare numai exponent de bază pozitiv cu exponent fracționar.

Astfel, dacă:

- numar natural;
- întreg;

Exemple:

Exponenții raționali sunt foarte utili pentru transformarea expresiilor cu rădăcini, de exemplu:

5 exemple de exersat

Analiza a 5 exemple pentru antrenament

Ei bine, acum vine partea cea mai grea. Acum ne vom da seama grad cu exponent irațional.

Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu un exponent rațional, cu excepția

La urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu exponenți naturali, întregi și raționali, de fiecare dată am creat o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari.

De exemplu, un grad cu un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori;

...număr la puterea zero- acesta este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu au început încă să-l înmulțească, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar un anumit „număr gol” , și anume un număr;

...gradul întreg negativ– parcă s-ar fi întâmplat ceva” proces invers„, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Apropo, în știință se folosește adesea o diplomă cu un exponent complex, adică exponentul nu este nici măcar un număr real.

Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

UNDE SUNTEM SIGURANȚI VOI MERGI! (daca inveti sa rezolvi astfel de exemple :))

De exemplu:

Decideți singuri:

Analiza solutiilor:

1. Să începem cu regula obișnuită pentru ridicarea unei puteri la o putere:

Acum uită-te la indicator. Nu-ți aduce aminte de nimic? Să ne amintim formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de pătrate:

În acest caz,

Se pare că:

Răspuns: .

2. Reducem fracțiile în exponenți la aceeasi privire: fie ambele zecimale, fie ambele regulate. Primim, de exemplu:

Raspuns: 16

3. Nimic special, folosim proprietățile obișnuite ale gradelor:

NIVEL AVANSAT

Determinarea gradului

Un grad este o expresie de forma: , unde:

— baza gradului;
- exponent.

Gradul cu indicator natural (n = 1, 2, 3,...)

Ridicarea unui număr la puterea naturală n înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși de ori:

Gradul cu un exponent întreg (0, ±1, ±2,...)

Dacă exponentul este număr întreg pozitiv număr:

Constructie la gradul zero:

Expresia este nedefinită, deoarece, pe de o parte, în orice grad este aceasta, iar pe de altă parte, orice număr până la gradul al treilea este aceasta.

Dacă exponentul este întreg negativ număr:

(pentru că nu poți împărți cu).

Încă o dată despre zerouri: expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

Exemple:

Putere cu exponent rațional

- numar natural;
- întreg;

Exemple:

Proprietățile grade

Pentru a facilita rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde provin aceste proprietăți? Să le dovedim.

Să vedem: ce este și?

Prioritate A:

Deci, în partea dreaptă a acestei expresii obținem următorul produs:

Dar, prin definiție, este o putere a unui număr cu exponent, adică:

Q.E.D.

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : .

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : Este important de reținut că în regula noastră Neapărat trebuie să existe aceleași motive. Prin urmare, combinăm puterile cu baza, dar rămâne un factor separat:

O altă notă importantă: această regulă - numai pentru produs de puteri!

Sub nicio formă nu poți scrie asta.

La fel ca în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Să regrupăm această lucrare astfel:

Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși ori, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:

În esență, aceasta poate fi numită „scoaterea indicatorului din paranteze”. Dar nu poți face niciodată asta în total: !

Să ne amintim de formulele de înmulțire prescurtate: de câte ori am vrut să scriem? Dar asta nu este adevărat, până la urmă.

Putere cu o bază negativă.

Până acum am discutat doar cum ar trebui să fie index grade. Dar care ar trebui să fie baza? În puteri de natural indicator baza poate fi orice număr .

Într-adevăr, putem înmulți orice numere unul cu celălalt, fie ele pozitive, negative sau chiar. Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea puteri ale numerelor pozitive și negative?

De exemplu, numărul este pozitiv sau negativ? A? ?

Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. Ne amintim de regula simplă din clasa a VI-a: „minus pentru minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu (), obținem - .

Și așa mai departe la infinit: cu fiecare înmulțire ulterioară semnul se va schimba. Putem formula următoarele reguli simple:

chiar grad, - număr pozitiv.
Un număr negativ, incorporat ciudat grad, - număr negativ.
Un număr pozitiv în orice grad este un număr pozitiv.
Zero la orice putere este egal cu zero.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ai reușit? Iată răspunsurile:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: la urma urmei, nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este egală, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să aflați care este mai puțin: sau? Dacă ne amintim asta, devine clar că, ceea ce înseamnă că baza este mai mică decât zero. Adică aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.

Și din nou folosim definiția gradului:

Totul este ca de obicei - notăm definiția gradelor și le împărțim unul la altul, le împărțim în perechi și obținem:

Înainte să ne uităm la ultima regulă, să rezolvăm câteva exemple.

Calculați expresiile:

Soluții :

Dacă ignorăm a opta putere, ce vedem aici? Să ne amintim de programul de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate!

Primim:

Să ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordinea termenilor este greșită. Dacă ar fi inversate, s-ar putea aplica regula 3. Dar cum? Se dovedește că este foarte ușor: gradul par al numitorului ne ajută aici.

Dacă o înmulți cu, nu se schimbă nimic, nu? Dar acum se dovedește așa:

În mod magic, termenii și-au schimbat locurile. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba cu ușurință semnele din paranteze. Dar este important de reținut: Toate semnele se schimbă în același timp! Nu îl puteți înlocui cu un singur dezavantaj care nu ne place!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Deci acum ultima regulă:

Cum vom demonstra? Desigur, ca de obicei: să extindem conceptul de diplomă și să-l simplificăm:

Ei bine, acum să deschidem parantezele. Câte litere sunt în total? ori prin multiplicatori - de ce vă amintește asta? Aceasta nu este altceva decât o definiție a unei operațiuni multiplicare: Erau doar multiplicatori acolo. Adică, aceasta, prin definiție, este o putere a unui număr cu un exponent:

Exemplu:

Gradul cu exponent irațional

Pe lângă informații despre grade pentru nivelul mediu, vom analiza gradul cu un exponent irațional. Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu exponent rațional, cu excepția - la urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică , numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția numerelor raționale).

Când studiem grade cu exponenți naturali, întregi și raționali, de fiecare dată am creat o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari. De exemplu, un grad cu un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori; un număr la puterea zero este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu au început încă să-l înmulțească, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare rezultatul este doar un anumit „număr necompletat”, și anume un număr; un grad cu un exponent negativ întreg - este ca și cum ar fi avut loc un „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Este extrem de dificil să-ți imaginezi un grad cu un exponent irațional (la fel cum este dificil să-ți imaginezi un spațiu cu 4 dimensiuni). Este mai degrabă un obiect pur matematic pe care matematicienii l-au creat pentru a extinde conceptul de grad la întregul spațiu al numerelor.

Apropo, în știință se folosește adesea o diplomă cu un exponent complex, adică exponentul nu este nici măcar un număr real. Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

Deci, ce facem dacă vedem un exponent irațional? Facem tot posibilul să scăpăm de ea! :)

De exemplu:

Decideți singuri:

Raspunsuri:

Să ne amintim formula diferenței pătratelor. Răspuns: .
Reducem fracțiile la aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Obținem, de exemplu: .
Nimic special, folosim proprietățile obișnuite ale gradelor:

REZUMATUL SECȚIUNII ȘI FORMULELE DE BAZĂ

grad numită expresie de forma: , unde:

Gradul cu un exponent întreg

un grad al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

Putere cu exponent rațional

grad, al cărui exponent este numerele negative și fracționale.

Gradul cu exponent irațional

un grad al cărui exponent este o fracție zecimală infinită sau rădăcină.

Proprietățile grade

Caracteristicile diplomelor.

Număr negativ crescut la chiar grad, - număr pozitiv.
Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
Un număr pozitiv în orice grad este un număr pozitiv.
Zero este egal cu orice putere.
Orice număr până la puterea zero este egal.

ACUM AI CUVÂNTUL...

Cum îți place articolul? Scrie mai jos în comentarii dacă ți-a plăcut sau nu.

Povestește-ne despre experiența ta de utilizare a proprietăților de grad.

Poate ai intrebari. Sau sugestii.

Scrieți în comentarii.

Și mult succes la examene!