Formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Sunt luate în considerare cazurile de rădăcini reale, multiple și complexe. Factorizarea unui trinom pătratic. Interpretare geometrică. Exemple de determinare a rădăcinilor și factoring.

Formule de bază

Luați în considerare ecuația pătratică:
(1) .
Rădăcinile unei ecuații pătratice(1) sunt determinate de formulele:
; .
Aceste formule pot fi combinate astfel:
.
Când rădăcinile unei ecuații pătratice sunt cunoscute, atunci un polinom de gradul doi poate fi reprezentat ca produs de factori (factorizați):
.

Apoi presupunem că sunt numere reale.
Sa luam in considerare discriminant al unei ecuații pătratice:
.
Dacă discriminantul este pozitiv, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale diferite:
; .
Atunci factorizarea trinomului pătratic are forma:
.
Dacă discriminantul este egal cu zero, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale multiple (egale):
.
Factorizare:
.
Dacă discriminantul este negativ, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini conjugate complexe:
;
.
Iată unitatea imaginară, ;
și sunt părțile reale și imaginare ale rădăcinilor:
; .
Apoi

.

Interpretare grafică

Dacă construiești graficul unei funcții
,
care este o parabolă, atunci punctele de intersecție ale graficului cu axa vor fi rădăcinile ecuației
.
La , graficul intersectează axa x (axa) în două puncte.
Când , graficul atinge axa x la un moment dat.
Când , graficul nu traversează axa x.

Mai jos sunt exemple de astfel de grafice.

Formule utile legate de ecuația pătratică

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Efectuăm transformări și aplicăm formulele (f.1) și (f.3):

,
Unde
; .

Deci, am obținut formula pentru un polinom de gradul doi sub forma:
.
Aceasta arată că ecuația

efectuat la
Și .
Adică și sunt rădăcinile ecuației pătratice
.

Exemple de determinare a rădăcinilor unei ecuații pătratice

Exemplul 1

(1.1) .

Soluţie

.
Comparând cu ecuația noastră (1.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsim discriminantul:
.
Deoarece discriminantul este pozitiv, ecuația are două rădăcini reale:
;
;
.

De aici obținem factorizarea trinomului pătratic:

.

Graficul funcției y = 2 x 2 + 7 x + 3 intersectează axa x în două puncte.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Acesta traversează axa (axa) absciselor în două puncte:
Și .
Aceste puncte sunt rădăcinile ecuației inițiale (1.1).

Răspuns

;
;
.

Exemplul 2

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(2.1) .

Soluţie

Să scriem ecuația pătratică în vedere generala:
.
Comparând cu ecuația inițială (2.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsim discriminantul:
.
Deoarece discriminantul este zero, ecuația are două rădăcini multiple (egale):
;
.

Atunci factorizarea trinomului are forma:
.

Graficul funcției y = x 2 - 4 x + 4 atinge axa x la un moment dat.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Atinge axa x (axa) la un moment dat:
.
Acest punct este rădăcina ecuației inițiale (2.1). Deoarece această rădăcină este factorizată de două ori:
,
atunci o astfel de rădăcină se numește de obicei multiplu. Adică, ei cred că există două rădăcini egale:
.

Răspuns

;
.

Exemplul 3

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(3.1) .

Soluţie

Să scriem ecuația pătratică în formă generală:
(1) .
Să rescriem ecuația inițială (3.1):
.
Comparând cu (1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsim discriminantul:
.
Discriminantul este negativ, . Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Puteți găsi rădăcini complexe:
;
;
.

Apoi

.

Graficul funcției nu traversează axa x. Nu există rădăcini reale.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Nu intersectează axa x (axa). Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Răspuns

Nu există rădăcini reale. Rădăcini complexe:
;
;
.

Ecuații cuadratice. Discriminant. Soluție, exemple.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Tipuri de ecuații pătratice

Ce este o ecuație pătratică? Cu ce seamănă? În termen ecuație pătratică cuvântul cheie este "pătrat". Aceasta înseamnă că în ecuație Neapărat trebuie să existe un x pătrat. În plus față de aceasta, ecuația poate (sau nu!) conține doar X (la prima putere) și doar un număr (membru liber).Și nu ar trebui să existe X la o putere mai mare de doi.

În termeni matematici, o ecuație pătratică este o ecuație de forma:

Aici a, b și c- unele numere. b și c- absolut orice, dar A– orice altceva decât zero. De exemplu:

Aici A =1; b = 3; c = -4

Aici A =2; b = -0,5; c = 2,2

Aici A =-3; b = 6; c = -18

Ei bine, înțelegi...

În aceste ecuații pătratice din stânga există Set complet membrii. X pătrat cu un coeficient A, x la prima putere cu coeficient bȘi membru liber s.

Astfel de ecuații pătratice se numesc deplin.

Si daca b= 0, ce obținem? Avem X va fi pierdut la prima putere. Acest lucru se întâmplă atunci când este înmulțit cu zero.) Se dovedește, de exemplu:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Și așa mai departe. Și dacă ambii coeficienți bȘi c sunt egale cu zero, atunci este și mai simplu:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Se numesc astfel de ecuații în care lipsește ceva ecuații pătratice incomplete. Ceea ce este destul de logic.) Vă rugăm să rețineți că x pătrat este prezent în toate ecuațiile.

Apropo, de ce A nu poate fi egal cu zero? Și tu înlocuiești în schimb A zero.) X pătratul nostru va dispărea! Ecuația va deveni liniară. Si solutia este cu totul alta...

Acestea sunt toate tipurile principale de ecuații pătratice. Complet și incomplet.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete.

Ecuațiile cuadratice sunt ușor de rezolvat. După formule și reguli clare, simple. În prima etapă, este necesar să se reducă ecuația dată la vedere standard, adică la forma:

Dacă ecuația vă este deja dată în această formă, nu trebuie să faceți prima etapă.) Principalul lucru este să determinați corect toți coeficienții, A, bȘi c.

Formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice arată astfel:

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant. Dar mai multe despre el mai jos. După cum puteți vedea, pentru a găsi X, folosim doar a, b și c. Acestea. coeficienți dintr-o ecuație pătratică. Doar înlocuiți cu atenție valorile a, b și c Calculăm în această formulă. Să înlocuim cu semnele tale! De exemplu, în ecuația:

A =1; b = 3; c= -4. Aici o scriem:

Exemplul este aproape rezolvat:

Acesta este răspunsul.

Totul este foarte simplu. Și ce, crezi că este imposibil să faci o greșeală? Ei bine, da, cum...

Cele mai frecvente greșeli sunt confuzia cu valorile semnelor a, b și c. Sau, mai degrabă, nu cu semnele lor (unde să vă confundați?), ci cu înlocuirea valorilor negative în formula de calcul a rădăcinilor. Ceea ce ajută aici este o înregistrare detaliată a formulei cu numere specifice. Dacă există probleme cu calculele, fa aia!

Să presupunem că trebuie să rezolvăm următorul exemplu:

Aici A = -6; b = -5; c = -1

Să presupunem că știi că rar primești răspunsuri prima dată.

Ei bine, nu fi leneș. Va dura aproximativ 30 de secunde pentru a scrie o linie suplimentară și numărul de erori va scădea brusc. Așa că scriem în detaliu, cu toate parantezele și semnele:

Pare incredibil de dificil să scrii cu atâta atenție. Dar doar așa pare. Incearca. Ei bine, sau alege. Ce e mai bine, rapid sau corect? În plus, te voi face fericit. După un timp, nu va mai fi nevoie să scrieți totul atât de atent. Se va rezolva chiar de la sine. Mai ales dacă utilizați tehnici practice care sunt descrise mai jos. Acest exemplu rău cu o grămadă de minusuri poate fi rezolvat ușor și fără erori!

Dar, adesea, ecuațiile pătratice arată ușor diferit. De exemplu, așa:

L-ai recunoscut?) Da! Acest ecuații pătratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete.

Ele pot fi rezolvate și folosind o formulă generală. Trebuie doar să înțelegeți corect cu ce sunt ele egale aici. a, b și c.

Ți-ai dat seama? În primul exemplu a = 1; b = -4; A c? Nu este deloc acolo! Ei bine, da, așa este. În matematică asta înseamnă că c = 0 ! Asta e tot. În schimb, înlocuiți zero în formulă c, si vom reusi. La fel si cu al doilea exemplu. Numai că nu avem zero aici Cu, A b !

Dar ecuațiile pătratice incomplete pot fi rezolvate mult mai simplu. Fără nicio formulă. Să luăm în considerare prima ecuație incompletă. Ce poți face în partea stângă? Puteți scoate X din paranteze! Hai să-l scoatem.

Și ce din asta? Și faptul că produsul este egal cu zero dacă și numai dacă oricare dintre factori este egal cu zero! Nu mă crezi? Bine, atunci veniți cu două numere diferite de zero care, atunci când sunt înmulțite, vor da zero!
Nu funcționează? Asta este...
Prin urmare, putem scrie cu încredere: x 1 = 0, x 2 = 4.

Toate. Acestea vor fi rădăcinile ecuației noastre. Ambele sunt potrivite. Când înlocuim oricare dintre ele în ecuația originală, obținem identitatea corectă 0 = 0. După cum puteți vedea, soluția este mult mai simplă decât utilizarea formulei generale. Permiteți-mi să notez, apropo, care X va fi primul și care va fi al doilea - absolut indiferent. Este convenabil să scrieți în ordine, x 1- ce este mai mic şi x 2- ceea ce este mai mare.

A doua ecuație poate fi rezolvată și simplu. Mutați 9 în partea dreaptă. Primim:

Tot ce rămâne este să extragi rădăcina din 9 și atât. Se va dovedi:

De asemenea, două rădăcini . x 1 = -3, x 2 = 3.

Așa se rezolvă toate ecuațiile pătratice incomplete. Fie plasând X dintre paranteze, fie pur și simplu deplasând numărul la dreapta și apoi extragând rădăcina.
Este extrem de greu de confundat aceste tehnici. Pur și simplu pentru că în primul caz va trebui să extragi rădăcina lui X, care este cumva de neînțeles, iar în al doilea caz nu este nimic de scos din paranteze...

Discriminant. Formula discriminantă.

cuvântul magic discriminant ! Rareori un elev de liceu nu a auzit acest cuvânt! Expresia „rezolvăm printr-un discriminant” inspiră încredere și liniște. Pentru că nu trebuie să vă așteptați la trucuri de la discriminant! Este simplu și fără probleme de utilizat.) Vă reamintesc cea mai generală formulă de rezolvare orice ecuații pătratice:

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant. De obicei, discriminantul este notat cu litera D. Formula discriminantă:

D = b 2 - 4ac

Și ce este atât de remarcabil la această expresie? De ce merita un nume special? Ce sensul discriminantului? La urma urmelor -b, sau 2aîn această formulă ei nu o numesc în mod specific nimic... Litere și litere.

Iată chestia. Când rezolvați o ecuație pătratică folosind această formulă, este posibil doar trei cazuri.

1. Discriminantul este pozitiv. Aceasta înseamnă că rădăcina poate fi extrasă din ea. Dacă rădăcina este extrasă bine sau prost este o altă întrebare. Important este ceea ce se extrage în principiu. Atunci ecuația ta pătratică are două rădăcini. Două soluții diferite.

2. Discriminantul este zero. Atunci vei avea o soluție. Deoarece adăugarea sau scăderea zero la numărător nu schimbă nimic. Strict vorbind, aceasta nu este o singură rădăcină, ci două identice. Dar în versiune simplificată, se obișnuiește să se vorbească despre o singura solutie.

3. Discriminantul este negativ. Rădăcina pătrată a unui număr negativ nu poate fi luată. Ei bine, bine. Asta înseamnă că nu există soluții.

Sincer vorbind, când solutie simpla ecuații pătratice, conceptul de discriminant nu este deosebit de solicitat. Înlocuim valorile coeficienților în formulă și numărăm. Totul se întâmplă acolo de la sine, două rădăcini, una și niciuna. Cu toate acestea, atunci când rezolvați sarcini mai complexe, fără cunoștințe sensul și formula discriminantului insuficient. Mai ales în ecuații cu parametri. Astfel de ecuații sunt acrobații pentru examenul de stat și examenul de stat unificat!)

Asa de, cum se rezolvă ecuații pătratice prin discriminantul de care ti-ai amintit. Sau ați învățat, ceea ce nu este rău.) Știți să determinați corect a, b și c. Știi cum? atentînlocuiți-le în formula rădăcină și atent numărați rezultatul. Înțelegi că cuvântul cheie aici este atent?

Acum luați notă de tehnicile practice care reduc dramatic numărul de erori. Aceleași care se datorează neatenției... Pentru care ulterior devine dureros și jignitor...

Prima numire . Nu fi leneș înainte de a rezolva o ecuație pătratică și aduce-o la forma standard. Ce înseamnă acest lucru?
Să presupunem că după toate transformările obținem următoarea ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcină! Aproape sigur vei amesteca șansele a, b și c. Construiți corect exemplul. Mai întâi, X pătrat, apoi fără pătrat, apoi termenul liber. Ca aceasta:

Și din nou, nu te grăbi! Un minus în fața unui X pătrat te poate supăra cu adevărat. E usor sa uiti... Scapa de minus. Cum? Da, așa cum a fost predat în subiectul anterior! Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu -1. Primim:

Dar acum puteți scrie în siguranță formula rădăcinilor, puteți calcula discriminantul și puteți termina de rezolvat exemplul. Decide pentru tine. Acum ar trebui să aveți rădăcinile 2 și -1.

Recepție secundă. Verificați rădăcinile! Conform teoremei lui Vieta. Nu vă speriați, vă explic totul! Control ultimul lucru ecuația. Acestea. cea pe care o folosim pentru a scrie formula rădăcinii. Dacă (ca în acest exemplu) coeficientul a = 1, verificarea rădăcinilor este ușoară. Este suficient să le înmulțim. Rezultatul ar trebui să fie un membru liber, adică. în cazul nostru -2. Vă rugăm să rețineți, nu 2, ci -2! Membru gratuit cu semnul tău . Dacă nu funcționează, înseamnă că s-au încurcat deja undeva. Căutați eroarea.

Dacă funcționează, trebuie să adăugați rădăcinile. Ultima si ultima verificare. Coeficientul ar trebui să fie b Cu opus familiar. În cazul nostru -1+2 = +1. Un coeficient b, care este înaintea lui X, este egal cu -1. Deci, totul este corect!
Este păcat că acest lucru este atât de simplu doar pentru exemplele în care x pătrat este pur, cu un coeficient a = 1. Dar măcar verificați astfel de ecuații! Toate mai putine greseli voi.

Recepția a treia . Dacă ecuația ta are coeficienți fracționali, scapă de fracții! Înmulțiți ecuația cu un numitor comun, așa cum este descris în lecția „Cum se rezolvă ecuații? Transformări de identitate”. Când lucrați cu fracții, erorile continuă să apară din anumite motive...

Apropo, am promis că voi simplifica exemplul malefic cu o grămadă de minusuri. Vă rog! Aici era.

Pentru a nu ne confunda cu minusurile, înmulțim ecuația cu -1. Primim:

Asta e tot! Rezolvarea este o plăcere!

Deci, haideți să rezumam subiectul.

Sfaturi practice:

1. Înainte de a rezolva, aducem ecuația pătratică la forma standard și o construim Dreapta.

2. Dacă în fața pătratului X există un coeficient negativ, îl eliminăm înmulțind întreaga ecuație cu -1.

3. Dacă coeficienții sunt fracționali, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu factorul corespunzător.

4. Dacă x pătrat este pur, coeficientul său este egal cu unu, soluția poate fi ușor verificată folosind teorema lui Vieta. Fă-o!

Acum putem decide.)

Rezolvarea ecuațiilor:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Răspunsuri (în dezordine):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - orice număr

x 1 = -3
x 2 = 3

fara solutii

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Se potrivește totul? Grozav! Ecuațiile cuadratice nu sunt durerea ta de cap. Primele trei au funcționat, dar restul nu? Atunci problema nu este cu ecuațiile pătratice. Problema este în transformări identice ale ecuațiilor. Aruncă o privire pe link, este util.

Nu prea merge? Sau nu merge deloc? Atunci vă va ajuta Secțiunea 555. Toate aceste exemple sunt defalcate acolo. Afișate principal erori de solutie. Desigur, vorbim și despre utilizarea transformărilor identice în rezolvarea diferitelor ecuații. Ajută mult!

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Școala secundară rurală Kopyevskaya

10 moduri de a rezolva ecuații cuadratice

Șef: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

profesor de matematică

satul Kopevo, 2007

1. Istoria dezvoltării ecuațiilor pătratice

1.1 Ecuații cuadratice în Babilonul antic

1.2 Cum a compus și a rezolvat Diophantus ecuațiile pătratice

1.3 Ecuații cuadratice în India

1.4 Ecuații cuadratice de al-Khorezmi

1.5 Ecuații cuadratice în Europa secolele XIII - XVII

1.6 Despre teorema lui Vieta

2. Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice

Concluzie

Literatură

1. Istoria dezvoltării ecuațiilor pătratice

1.1 Ecuații cuadratice în Babilonul antic

Necesitatea rezolvării ecuațiilor nu numai de gradul I, ci și de gradul II în antichitate a fost cauzată de nevoia de a rezolva probleme legate de găsirea zonelor terenuri si cu terasamente de natură militară, precum și cu dezvoltarea astronomiei și a matematicii în sine. Ecuațiile cuadratice au putut fi rezolvate în jurul anului 2000 î.Hr. e. babilonienii.

Folosind modern notație algebrică, putem spune că în textele lor cuneiforme există, pe lângă cele incomplete, precum, de exemplu, ecuații patratice complete:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Regula de rezolvare a acestor ecuații, expusă în textele babiloniene, coincide în esență cu cea modernă, dar nu se știe cum au ajuns babilonienii la această regulă. Aproape toate textele cuneiforme găsite până acum oferă doar probleme cu soluțiile prezentate sub formă de rețete, fără nicio indicație cu privire la modul în care au fost găsite.

În ciuda nivel inalt dezvoltarea algebrei în Babilon, textelor cuneiforme le lipsește conceptul de număr negativ și metode generale rezolvarea ecuațiilor pătratice.

1.2 Cum a compus și a rezolvat Diophantus ecuațiile pătratice.

Aritmetica lui Diofant nu conține o prezentare sistematică a algebrei, dar conține o serie sistematică de probleme, însoțite de explicații și rezolvate prin construirea de ecuații de diferite grade.

Când compune ecuații, Diophantus selectează cu pricepere necunoscutele pentru a simplifica soluția.

Iată, de exemplu, una dintre sarcinile lui.

Problema 11.„Găsiți două numere, știind că suma lor este 20 și produsul lor este 96”

Diophantus argumentează astfel: din condițiile problemei rezultă că numerele cerute nu sunt egale, deoarece dacă ar fi egale, atunci produsul lor nu ar fi egal cu 96, ci cu 100. Astfel, unul dintre ele va fi mai mare decât jumătate din suma lor, adică . 10 + x, celălalt este mai puțin, adică. anii 10. Diferența dintre ele 2x .

De aici rezultă ecuația:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

De aici x = 2. Unul dintre numerele necesare este egal cu 12 , alte 8 . Soluţie x = -2 căci Diofantul nu există, deoarece matematica greacă nu cunoștea decât numere pozitive.

Dacă rezolvăm această problemă alegând unul dintre numerele necesare ca necunoscut, atunci vom ajunge la o soluție a ecuației

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Este clar că, alegând jumătate de diferență a numerelor necesare drept necunoscut, Diophantus simplifică soluția; el reuşeşte să reducă problema la rezolvarea unei ecuaţii pătratice incomplete (1).

1.3 Ecuații cuadratice în India

Probleme privind ecuațiile pătratice se găsesc deja în tratatul astronomic „Aryabhattiam”, compilat în 499 de matematicianul și astronomul indian Aryabhatta. Un alt om de știință indian, Brahmagupta (secolul al VII-lea), a subliniat regula generala soluții de ecuații pătratice reduse la o singură formă canonică:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

În ecuația (1), coeficienții, cu excepția A, poate fi și negativ. Regula lui Brahmagupta este în esență aceeași cu a noastră.

ÎN India antică Competițiile publice în rezolvarea problemelor dificile erau obișnuite. Una dintre cărțile vechi indiene spune următoarele despre astfel de competiții: „Pe măsură ce soarele eclipsează stelele cu strălucirea sa, așa om învăţat eclipsează gloria altuia în adunările populare propunând și rezolvând probleme algebrice.” Problemele au fost adesea prezentate sub formă poetică.

Aceasta este una dintre problemele celebrului matematician indian din secolul al XII-lea. Bhaskars.

Problema 13.

„O turmă de maimuțe zgomotoase și douăsprezece de-a lungul viței...

Autoritățile, după ce au mâncat, s-au distrat. Au început să sară, să atârne...

Sunt ei în piață, partea a opta. Câte maimuțe erau?

Mă distram în poiană. Spune-mi, în pachetul ăsta?

Soluția lui Bhaskara indică faptul că el știa că rădăcinile ecuațiilor pătratice au două valori (Fig. 3).

Ecuația corespunzătoare problemei 13 este:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara scrie sub pretextul:

x 2 - 64x = -768

și, pentru a completa partea stângă a acestei ecuații la pătrat, se adaugă la ambele părți 32 2 , apoi obțineți:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ecuații cuadratice în al - Khorezmi

În tratatul de algebric al-Khorezmi, este dată o clasificare a ecuațiilor liniare și pătratice. Autorul numără 6 tipuri de ecuații, exprimându-le astfel:

1) „Pătratele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax 2 + c = b X.

2) „Pătratele sunt egale cu numerele”, adică ax 2 = c.

3) „Rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică ah = s.

4) „Pătratele și numerele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax 2 + c = b X.

5) „Pătratele și rădăcinile sunt egale cu numerele”, adică. ah 2 + bx = s.

6) „Rădăcinile și numerele sunt egale cu pătratele”, adică bx + c = ax 2 .

Pentru al-Khorezmi, care a evitat utilizarea numerelor negative, termenii fiecăreia dintre aceste ecuații sunt sumanzi și nu scăderi. În acest caz, ecuațiile care nu au soluții pozitive, evident, nu sunt luate în considerare. Autorul stabilește metode de rezolvare a acestor ecuații folosind tehnicile al-jabr și al-muqabala. Deciziile lui, desigur, nu coincid complet cu ale noastre. Ca să nu mai vorbim de faptul că este pur retoric, trebuie remarcat, de exemplu, că la rezolvarea unei ecuații pătratice incomplete de primul tip

al-Khorezmi, ca toți matematicienii dinainte de secolul al XVII-lea, nu ține cont de soluția zero, probabil pentru că în probleme practice specifice nu contează. Atunci când rezolvă ecuații patratice complete, al-Khorezmi stabilește regulile pentru rezolvarea lor folosind exemple numerice particulare și apoi dovezi geometrice.

Problema 14.„Pătratul și numărul 21 sunt egale cu 10 rădăcini. Găsiți rădăcina" (implicând rădăcina ecuației x 2 + 21 = 10x).

Soluția autorului este cam așa: împărțiți numărul de rădăcini la jumătate, obțineți 5, înmulțiți 5 cu el însuși, scădeți 21 din produs, ceea ce rămâne este 4. Luați rădăcina din 4, obțineți 2. Scădeți 2 din 5. , obțineți 3, aceasta va fi rădăcina dorită. Sau adăugați 2 la 5, ceea ce dă 7, aceasta este și o rădăcină.

Tratatul lui al-Khorezmi este prima carte care a ajuns la noi, care stabilește sistematic clasificarea ecuațiilor pătratice și oferă formule pentru rezolvarea lor.

1.5 Ecuații cuadratice în Europa XIII - XVII bb

Formulele pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice de-a lungul liniilor lui al-Khwarizmi în Europa au fost expuse pentru prima dată în Cartea lui Abacus, scrisă în 1202 de matematicianul italian Leonardo Fibonacci. Această lucrare voluminoasă, care reflectă influența matematicii, atât țările islamice, cât și Grecia antică, se distinge atât prin completitudine, cât și prin claritatea prezentării. Autorul a dezvoltat în mod independent câteva exemple algebrice noi de rezolvare a problemelor și a fost primul din Europa care a abordat introducerea numerelor negative. Cartea sa a contribuit la răspândirea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe probleme din Cartea Abacului au fost folosite în aproape toate manualele europene din secolele XVI-XVII. și parțial XVIII.

Regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică:

x 2 + bx = c,

pentru toate combinațiile posibile de semne coeficiente b , Cu a fost formulată în Europa abia în 1544 de M. Stiefel.

Derivarea formulei pentru rezolvarea unei ecuații pătratice în formă generală este disponibilă de la Viète, dar Viète a recunoscut doar rădăcini pozitive. Matematicienii italieni Tartaglia, Cardano, Bombelli au fost printre primii în secolul al XVI-lea. Pe lângă cele pozitive, se iau în considerare și rădăcinile negative. Abia în secolul al XVII-lea. Datorită muncii lui Girard, Descartes, Newton și alți oameni de știință, metoda de rezolvare a ecuațiilor pătratice capătă o formă modernă.

1.6 Despre teorema lui Vieta

Teorema care exprimă relația dintre coeficienții unei ecuații pătratice și rădăcinile acesteia, numită după Vieta, a fost formulată de acesta pentru prima dată în 1591 astfel: „Dacă B + D, înmulțit cu A - A 2 , egal BD, Acea A egală ÎN si egali D ».

Pentru a înțelege pe Vieta, ar trebui să ne amintim asta A, ca orice literă vocală, însemna necunoscutul (nostru X), vocale ÎN, D- coeficienți pentru necunoscut. În limbajul algebrei moderne, formularea Vieta de mai sus înseamnă: dacă există

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Exprimând relația dintre rădăcinile și coeficienții ecuațiilor cu formule generale scrise cu ajutorul simbolurilor, Viète a stabilit uniformitatea în metodele de rezolvare a ecuațiilor. Cu toate acestea, simbolismul vieții este încă departe de a fi aspect modern. Nu a recunoscut numerele negative și de aceea, la rezolvarea ecuațiilor, a luat în considerare doar cazurile în care toate rădăcinile erau pozitive.

2. Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice

Ecuațiile cuadratice sunt fundația pe care se sprijină maiestuosul edificiu al algebrei. Ecuațiile pătratice sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților trigonometrice, exponențiale, logaritmice, iraționale și transcendentale. Cu toții știm să rezolvăm ecuații patratice de la școală (clasa a VIII-a) până la absolvire.

Primul nivel

Ecuații cuadratice. Ghid cuprinzător (2019)

În termenul „ecuație pătratică”, cuvântul cheie este „quadratic”. Aceasta înseamnă că ecuația trebuie să conțină în mod necesar o variabilă (același x) pătrat și nu ar trebui să existe x la cea de-a treia putere (sau mai mare).

Rezolvarea multor ecuații se reduce la rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Să învățăm să determinăm că aceasta este o ecuație pătratică și nu o altă ecuație.

Exemplul 1.

Să scăpăm de numitor și să înmulțim fiecare termen al ecuației cu

Să mutăm totul în partea stângă și să aranjam termenii în ordinea descrescătoare a puterilor lui X

Acum putem spune cu încredere că această ecuație este pătratică!

Exemplul 2.

Înmulțiți părțile din stânga și din dreapta cu:

Această ecuație, deși a fost inițial în ea, nu este pătratică!

Exemplul 3.

Să înmulțim totul cu:

Infricosator? Gradul al patrulea și al doilea... Totuși, dacă facem o înlocuire, vom vedea că avem o ecuație pătratică simplă:

Exemplul 4.

Se pare că este acolo, dar să aruncăm o privire mai atentă. Să mutăm totul în partea stângă:

Vedeți, s-a micșorat - și acum este simplu ecuație liniară!

Acum încercați să determinați singuri care dintre următoarele ecuații sunt pătratice și care nu:

Exemple:

Raspunsuri:

pătrat;
pătrat;
nu pătrat;
nu pătrat;
nu pătrat;
pătrat;
nu pătrat;
pătrat.

În mod convențional, matematicienii împart toate ecuațiile pătratice în următoarele tipuri:

Completează ecuațiile pătratice- ecuații în care coeficienții și, precum și termenul liber c, nu sunt egali cu zero (ca în exemplu). În plus, printre ecuațiile pătratice complete există dat- acestea sunt ecuații în care coeficientul (ecuația din exemplul unu este nu numai completă, ci și redusă!)

Ecuații patratice incomplete- ecuații în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egali cu zero:
Sunt incomplete pentru că le lipsește un element. Dar ecuația trebuie să conțină întotdeauna x pătrat!!! În caz contrar, nu va mai fi o ecuație pătratică, ci o altă ecuație.

De ce au venit cu o asemenea împărțire? S-ar părea că există un X pătrat și bine. Această împărțire este determinată de metodele de soluție. Să ne uităm la fiecare dintre ele mai detaliat.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

În primul rând, să ne concentrăm pe rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mult mai simple!

Există tipuri de ecuații pătratice incomplete:

, în această ecuație coeficientul este egal.
, în această ecuație termenul liber este egal cu.
, în această ecuație coeficientul și termenul liber sunt egali.

1. i. Deoarece știm să luăm rădăcina pătrată, să exprimăm din această ecuație

Expresia poate fi fie negativă, fie pozitivă. Un număr pătrat nu poate fi negativ, deoarece la înmulțirea a două numere negative sau două pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv, deci: dacă, atunci ecuația nu are soluții.

Și dacă, atunci obținem două rădăcini. Nu este nevoie să memorezi aceste formule. Principalul lucru este că trebuie să știți și să vă amintiți întotdeauna că nu poate fi mai puțin.

Să încercăm să rezolvăm câteva exemple.

Exemplul 5:

Rezolvați ecuația

Acum tot ce rămâne este să extragi rădăcina din partea stângă și dreaptă. La urma urmei, îți amintești cum să extragi rădăcini?

Răspuns:

Nu uita niciodată de rădăcinile cu semn negativ!!!

Exemplul 6:

Rezolvați ecuația

Răspuns:

Exemplul 7:

Rezolvați ecuația

Oh! Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația

fara radacini!

Pentru astfel de ecuații care nu au rădăcini, matematicienii au venit cu o pictogramă specială - (set gol). Și răspunsul poate fi scris astfel:

Răspuns:

Astfel, această ecuație pătratică are două rădăcini. Nu există restricții aici, deoarece nu am extras rădăcina.
Exemplul 8:

Rezolvați ecuația

Să scoatem factorul comun din paranteze:

Prin urmare,

Această ecuație are două rădăcini.

Răspuns:

Cel mai simplu tip de ecuații pătratice incomplete (deși toate sunt simple, nu?). Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Ne vom dispensa de exemple aici.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete

Vă reamintim că o ecuație pătratică completă este o ecuație a ecuației de formă unde

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete este puțin mai dificilă (doar puțin) decât acestea.

Tine minte, Orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind un discriminant! Chiar incomplet.

Celelalte metode te vor ajuta să o faci mai repede, dar dacă ai probleme cu ecuațiile pătratice, mai întâi stăpânește soluția folosind discriminantul.

1. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind un discriminant.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind această metodă este foarte simplă; principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule.

Dacă, atunci ecuația are rădăcină. Atentie speciala Fă un pas. Discriminantul () ne spune numărul de rădăcini ale ecuației.

Dacă, atunci formula din pas se va reduce la. Astfel, ecuația va avea doar o rădăcină.
Dacă, atunci nu vom putea extrage rădăcina discriminantului la pas. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

Să ne întoarcem la ecuațiile noastre și să vedem câteva exemple.

Exemplul 9:

Rezolvați ecuația

Pasul 1 sărim.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Aceasta înseamnă că ecuația are două rădăcini.

Pasul 3.

Răspuns:

Exemplul 10:

Rezolvați ecuația

Ecuația este prezentată în formă standard, deci Pasul 1 sărim.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Aceasta înseamnă că ecuația are o singură rădăcină.

Răspuns:

Exemplul 11:

Rezolvați ecuația

Ecuația este prezentată în formă standard, deci Pasul 1 sărim.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Aceasta înseamnă că nu vom putea extrage rădăcina discriminantului. Nu există rădăcini ale ecuației.

Acum știm cum să scriem corect astfel de răspunsuri.

Răspuns: fara radacini

2. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta.

Dacă vă amintiți, există un tip de ecuație care se numește redusă (când coeficientul a este egal cu):

Astfel de ecuații sunt foarte ușor de rezolvat folosind teorema lui Vieta:

Suma rădăcinilor dat ecuația pătratică este egală, iar produsul rădăcinilor este egal.

Exemplul 12:

Rezolvați ecuația

Această ecuație poate fi rezolvată folosind teorema lui Vieta deoarece .

Suma rădăcinilor ecuației este egală, adică. obținem prima ecuație:

Și produsul este egal cu:

Să compunem și să rezolvăm sistemul:

Și. Suma este egală cu;
Și. Suma este egală cu;
Și. Suma este egală.

și sunt soluția pentru sistem:

Răspuns: ; .

Exemplul 13:

Rezolvați ecuația

Răspuns:

Exemplul 14:

Rezolvați ecuația

Ecuația este dată, ceea ce înseamnă:

Răspuns:

ECUAȚII CADRATICE. NIVEL MEDIU

Ce este o ecuație pătratică?

Cu alte cuvinte, o ecuație pătratică este o ecuație de forma, unde - necunoscutul, - unele numere și.

Numărul se numește cel mai mare sau primul coeficient ecuație pătratică, - al doilea coeficient, A - membru gratuit.

De ce? Pentru că dacă ecuația devine imediat liniară, pentru că va disparea.

În acest caz, și poate fi egal cu zero. În această ecuație de scaun se numește incompletă. Dacă toți termenii sunt la locul lor, adică, ecuația este completă.

Soluții la diferite tipuri de ecuații pătratice

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete:

În primul rând, să ne uităm la metodele de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mai simple.

Putem distinge următoarele tipuri de ecuații:

I., în această ecuație coeficientul și termenul liber sunt egali.

II. , în această ecuație coeficientul este egal.

III. , în această ecuație termenul liber este egal cu.

Acum să ne uităm la soluția pentru fiecare dintre aceste subtipuri.

Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Un număr pătrat nu poate fi negativ, deoarece atunci când înmulțiți două numere negative sau două pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv. De aceea:

dacă, atunci ecuația nu are soluții;

dacă avem două rădăcini

Nu este nevoie să memorezi aceste formule. Principalul lucru de reținut este că nu poate fi mai puțin.

Exemple:

Solutii:

Răspuns:

Nu uita niciodată de rădăcinile cu semn negativ!

Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația

fara radacini.

Pentru a nota pe scurt că o problemă nu are soluții, folosim pictograma set gol.

Răspuns:

Deci, această ecuație are două rădăcini: și.

Răspuns:

Să scoatem factorul comun din paranteze:

Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Aceasta înseamnă că ecuația are o soluție atunci când:

Deci, această ecuație pătratică are două rădăcini: și.

Exemplu:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Să factorizăm partea stângă a ecuației și să găsim rădăcinile:

Răspuns:

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice complete:

1. Discriminant

Rezolvarea ecuațiilor pătratice în acest fel este ușoară, principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule. Amintiți-vă, orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind un discriminant! Chiar incomplet.

Ați observat rădăcina de la discriminant în formula pentru rădăcini? Dar discriminantul poate fi negativ. Ce să fac? Trebuie să acordăm o atenție deosebită pasului 2. Discriminantul ne spune numărul de rădăcini ale ecuației.

Dacă, atunci ecuația are rădăcini:
Dacă, atunci ecuația are aceleași rădăcini și, de fapt, o rădăcină:
Astfel de rădăcini se numesc rădăcini duble.
Dacă, atunci rădăcina discriminantului nu este extrasă. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

De ce este posibil un număr diferit de rădăcini? Să ne întoarcem la semnificația geometrică a ecuației pătratice. Graficul funcției este o parabolă:

Într-un caz special, care este o ecuație pătratică, . Aceasta înseamnă că rădăcinile unei ecuații pătratice sunt punctele de intersecție cu axa (axa) absciselor. O parabolă poate să nu intersecteze axa deloc sau o poate intersecta într-unul (când vârful parabolei se află pe axă) sau două puncte.

În plus, coeficientul este responsabil pentru direcția ramurilor parabolei. Dacă, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă, atunci în jos.

Exemple:

Solutii:

Răspuns:

Răspuns: .

Răspuns:

Asta înseamnă că nu există soluții.

Răspuns: .

2. Teorema lui Vieta

Este foarte ușor de folosit teorema lui Vieta: trebuie doar să alegeți o pereche de numere al căror produs este egal cu termenul liber al ecuației, iar suma este egală cu al doilea coeficient luat cu semnul opus.

Este important să ne amintim că teorema lui Vieta poate fi aplicată numai în ecuații pătratice reduse ().

Să ne uităm la câteva exemple:

Exemplul #1:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Această ecuație poate fi rezolvată folosind teorema lui Vieta deoarece . Alți coeficienți: ; .

Suma rădăcinilor ecuației este:

Și produsul este egal cu:

Să selectăm perechi de numere al căror produs este egal și să verificăm dacă suma lor este egală:

Și. Suma este egală cu;
Și. Suma este egală cu;
Și. Suma este egală.

și sunt soluția pentru sistem:

Astfel, și sunt rădăcinile ecuației noastre.

Răspuns: ; .

Exemplul #2:

Soluţie:

Să selectăm perechi de numere care dau în produs și apoi să verificăm dacă suma lor este egală:

si: dau in total.

si: dau in total. Pentru a obține, este suficient să schimbați pur și simplu semnele presupuselor rădăcini: și, la urma urmei, produsul.

Răspuns:

Exemplul #3:

Soluţie:

Termenul liber al ecuației este negativ și, prin urmare, produsul rădăcinilor este un număr negativ. Acest lucru este posibil numai dacă una dintre rădăcini este negativă, iar cealaltă este pozitivă. Prin urmare, suma rădăcinilor este egală cu diferențele modulelor lor.

Să selectăm perechi de numere care dau în produs și a căror diferență este egală cu:

și: diferența lor este egală - nu se potrivește;

și: - neadecvat;

şi: - potrivite. Tot ce rămâne este să ne amintim că una dintre rădăcini este negativă. Deoarece suma lor trebuie să fie egală, rădăcina cu modulul mai mic trebuie să fie negativă: . Verificăm:

Răspuns:

Exemplul #4:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este dată, ceea ce înseamnă:

Termenul liber este negativ și, prin urmare, produsul rădăcinilor este negativ. Și acest lucru este posibil numai atunci când o rădăcină a ecuației este negativă, iar cealaltă este pozitivă.

Să selectăm perechi de numere al căror produs este egal și apoi să determinăm care rădăcini ar trebui să aibă semn negativ:

Evident, doar rădăcinile și sunt potrivite pentru prima condiție:

Răspuns:

Exemplul #5:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este dată, ceea ce înseamnă:

Suma rădăcinilor este negativă, ceea ce înseamnă că cel puțin una dintre rădăcini este negativă. Dar, deoarece produsul lor este pozitiv, înseamnă că ambele rădăcini au semnul minus.

Să selectăm perechi de numere al căror produs este egal cu:

Evident, rădăcinile sunt numerele și.

Răspuns:

De acord, este foarte convenabil să veniți cu rădăcini oral, în loc să numărați acest discriminant urât. Încercați să utilizați teorema lui Vieta cât mai des posibil.

Dar teorema lui Vieta este necesară pentru a facilita și accelera găsirea rădăcinilor. Pentru a beneficia de pe urma folosirii lui, trebuie să aduci acțiunile la automatitate. Și pentru asta, rezolvă încă cinci exemple. Dar nu înșela: nu poți folosi un discriminant! Doar teorema lui Vieta:

Soluții la sarcini pentru munca independentă:

Sarcina 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Conform teoremei lui Vieta:

Ca de obicei, începem selecția cu piesa:

Nu este potrivit pentru că suma;

: suma este exact ceea ce ai nevoie.

Răspuns: ; .

Sarcina 2.

Și din nou teorema noastră preferată Vieta: suma trebuie să fie egală, iar produsul trebuie să fie egal.

Dar din moment ce nu trebuie să fie, dar, schimbăm semnele rădăcinilor: și (în total).

Răspuns: ; .

Sarcina 3.

Hmm... Unde este asta?

Trebuie să mutați toți termenii într-o singură parte:

Suma rădăcinilor este egală cu produsul.

Bine, oprește-te! Ecuația nu este dată. Dar teorema lui Vieta este aplicabilă numai în ecuațiile date. Deci mai întâi trebuie să dați o ecuație. Dacă nu poți conduce, renunță la această idee și rezolvă-o într-un alt mod (de exemplu, printr-un discriminant). Permiteți-mi să vă reamintesc că a da o ecuație pătratică înseamnă a egaliza coeficientul principal:

Grozav. Apoi suma rădăcinilor este egală cu și produsul.

Aici este la fel de ușor ca decojirea perelor să alegi: la urma urmei, este un număr prim (scuze pentru tautologie).

Răspuns: ; .

Sarcina 4.

Membrul liber este negativ. Ce e special la asta? Și adevărul este că rădăcinile vor avea semne diferite. Și acum, în timpul selecției, verificăm nu suma rădăcinilor, ci diferența dintre modulele lor: această diferență este egală, dar un produs.

Deci, rădăcinile sunt egale cu și, dar una dintre ele este minus. Teorema lui Vieta ne spune că suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, adică. Aceasta înseamnă că rădăcina mai mică va avea un minus: și, din moment ce.

Răspuns: ; .

Sarcina 5.

Ce ar trebui să faci mai întâi? Așa este, dați ecuația:

Din nou: selectăm factorii numărului, iar diferența lor ar trebui să fie egală cu:

Rădăcinile sunt egale cu și, dar una dintre ele este minus. Care? Suma lor ar trebui să fie egală, ceea ce înseamnă că minusul va avea o rădăcină mai mare.

Răspuns: ; .

Lasă-mă să rezum:

Teorema lui Vieta este folosită numai în ecuațiile pătratice date.
Folosind teorema lui Vieta, puteți găsi rădăcinile prin selecție, oral.
Dacă ecuația nu este dată sau nu se găsește o pereche adecvată de factori ai termenului liber, atunci nu există rădăcini întregi și trebuie să o rezolvați în alt mod (de exemplu, printr-un discriminant).

3. Metoda de selectare a unui pătrat complet

Dacă toți termenii care conțin necunoscutul sunt reprezentați sub formă de termeni din formule de înmulțire prescurtate - pătratul sumei sau al diferenței - atunci după înlocuirea variabilelor, ecuația poate fi prezentată sub forma unei ecuații pătratice incomplete de tipul.

De exemplu:

Exemplul 1:

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

Răspuns:

Exemplul 2:

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

Răspuns:

În general, transformarea va arăta astfel:

Asta implică: .

Nu-ți aduce aminte de nimic? Acesta este un lucru discriminatoriu! Exact așa am obținut formula discriminantă.

ECUAȚII CADRATICE. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Ecuație pătratică- aceasta este o ecuație de formă, unde - necunoscutul, - coeficienții ecuației pătratice, - termenul liber.

Ecuație pătratică completă- o ecuație în care coeficienții nu sunt egali cu zero.

Ecuație pătratică redusă- o ecuaţie în care coeficientul, adică: .

Ecuație pătratică incompletă- o ecuație în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egali cu zero:

dacă coeficientul, ecuația arată astfel: ,
dacă există un termen liber, ecuația are forma: ,
dacă și, ecuația arată astfel: .

1. Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

1.1. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Să exprimăm necunoscutul: ,

2) Verificați semnul expresiei:

dacă, atunci ecuația nu are soluții,
dacă, atunci ecuația are două rădăcini.

1.2. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Să scoatem factorul comun din paranteze: ,

2) Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Prin urmare, ecuația are două rădăcini:

1.3. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

Această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină: .

2. Algoritm pentru rezolvarea ecuaţiilor pătratice complete de forma unde

2.1. Soluție folosind discriminant

1) Să aducem ecuația la forma standard: ,

2) Să calculăm discriminantul folosind formula: , care indică numărul de rădăcini ale ecuației:

3) Aflați rădăcinile ecuației:

dacă, atunci ecuația are rădăcini, care se găsesc prin formula:
dacă, atunci ecuația are o rădăcină, care se găsește prin formula:
dacă, atunci ecuația nu are rădăcini.

2.2. Rezolvare folosind teorema lui Vieta

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse (ecuația formei unde) este egală, iar produsul rădăcinilor este egal, i.e. , A.

2.3. Rezolvare prin metoda selectării unui pătrat complet

Dacă o ecuație pătratică de formă are rădăcini, atunci se poate scrie sub forma: .

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât majoritate absolută colegii tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru finalizarea cu succes Examen de stat unificat, pentru admiterea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună, câștigă mult mai mult decât cei care nu l-au primit. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 rub.
Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - 499 rub.

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

În concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

Continuând subiectul „Rezolvarea ecuațiilor”, materialul din acest articol vă va introduce în ecuațiile pătratice.

Să privim totul în detaliu: esența și notarea unei ecuații pătratice, definiți termenii însoțitori, analizați schema de rezolvare a ecuațiilor incomplete și complete, faceți cunoștință cu formula rădăcinilor și discriminantului, stabiliți conexiuni între rădăcini și coeficienți, și bineînțeles că vom oferi o soluție vizuală exemplelor practice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ecuația pătratică, tipurile sale

Definiția 1

Ecuație pătratică este o ecuație scrisă ca a x 2 + b x + c = 0, Unde X– variabilă, a , b și c– unele numere, în timp ce A nu este zero.

Adesea, ecuațiile pătratice sunt numite și ecuații de gradul doi, deoarece în esență o ecuație pătratică este o ecuație algebrică de gradul doi.

Să dăm un exemplu pentru a ilustra definitie data: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 etc. Acestea sunt ecuații pătratice.

Definiția 2

Numerele a, b și c sunt coeficienții ecuației pătratice a x 2 + b x + c = 0, în timp ce coeficientul A se numește primul, sau senior, sau coeficient la x 2, b - al doilea coeficient, sau coeficient la X, A c numit membru liber.

De exemplu, în ecuația pătratică 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 coeficientul principal este 6, al doilea coeficient este − 2 , iar termenul liber este egal cu − 11 . Să fim atenți la faptul că atunci când coeficienții bși/sau c sunt negative, atunci se folosește o formă scurtă a formei 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, dar nu 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Să lămurim şi acest aspect: dacă coeficienţii Ași/sau b egal 1 sau − 1 , atunci ei nu pot participa în mod explicit la scrierea ecuației pătratice, ceea ce se explică prin particularitățile scrierii coeficienților numerici indicați. De exemplu, în ecuația pătratică y 2 − y + 7 = 0 coeficientul principal este 1, iar al doilea coeficient este − 1 .

Ecuații patratice reduse și nereduse

Pe baza valorii primului coeficient, ecuațiile pătratice sunt împărțite în reduse și nereduse.

Definiția 3

Ecuație pătratică redusă este o ecuație pătratică în care coeficientul principal este 1. Pentru alte valori ale coeficientului principal, ecuația pătratică este neredusă.

Să dăm exemple: ecuațiile pătratice x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 sunt reduse, în fiecare dintre ele coeficientul principal este 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- ecuație pătratică neredusă, unde primul coeficient este diferit de 1 .

Orice ecuație pătratică neredusă poate fi convertită într-o ecuație redusă prin împărțirea ambelor părți la primul coeficient (transformare echivalentă). Ecuația transformată va avea aceleași rădăcini ca și ecuația neredusă dată sau, de asemenea, nu va avea deloc rădăcini.

Considerare exemplu concret ne va permite să demonstrăm clar trecerea de la o ecuație pătratică neredusă la una redusă.

Exemplul 1

Având în vedere ecuația 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Este necesar să convertiți ecuația originală în forma redusă.

Soluţie

Conform schemei de mai sus, împărțim ambele părți ale ecuației inițiale la coeficientul de conducere 6. Atunci obținem: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, și acesta este același cu: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0și mai departe: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. De aici: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Astfel, se obține o ecuație echivalentă cu cea dată.

Răspuns: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Ecuații pătratice complete și incomplete

Să ne întoarcem la definiția unei ecuații pătratice. În el am precizat că a ≠ 0. O condiție similară este necesară pentru ecuație a x 2 + b x + c = 0 era tocmai pătrat, din moment ce or a = 0 se transformă în esență într-o ecuație liniară b x + c = 0.

În cazul în care coeficienţii bȘi c sunt egale cu zero (ceea ce este posibil, atât individual, cât și în comun), ecuația pătratică se numește incompletă.

Definiția 4

Ecuație pătratică incompletă- o astfel de ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0, unde cel puţin unul dintre coeficienţi bȘi c(sau ambele) este zero.

Ecuație pătratică completă– o ecuație pătratică în care toți coeficienții numerici nu sunt egali cu zero.

Să discutăm de ce tipurilor de ecuații pătratice li se dau exact aceste nume.

Când b = 0, ecuația pătratică ia forma a x 2 + 0 x + c = 0, care este la fel ca a x 2 + c = 0. La c = 0 ecuația pătratică se scrie ca a x 2 + b x + 0 = 0, care este echivalent a x 2 + b x = 0. La b = 0Și c = 0 ecuația va lua forma a x 2 = 0. Ecuațiile pe care le-am obținut diferă de ecuația pătratică completă prin aceea că laturile lor din stânga nu conțin nici un termen cu variabila x, nici un termen liber, sau ambele. De fapt, acest fapt a dat numele acestui tip de ecuație – incompletă.

De exemplu, x 2 + 3 x + 4 = 0 și − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sunt ecuații patratice complete; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – ecuații patratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Definiția dată mai sus face posibilă distingerea următoarelor tipuri de ecuații pătratice incomplete:

a x 2 = 0, această ecuație corespunde coeficienților b = 0şi c = 0;
a · x 2 + c = 0 la b = 0 ;
a · x 2 + b · x = 0 la c = 0.

Să considerăm secvenţial soluţia fiecărui tip de ecuaţie pătratică incompletă.

Rezolvarea ecuației a x 2 =0

După cum am menționat mai sus, această ecuație corespunde coeficienților bȘi c, egal cu zero. Ecuația a x 2 = 0 poate fi transformată într-o ecuație echivalentă x 2 = 0, pe care îl obținem împărțind ambele părți ale ecuației inițiale la număr A, nu este egal cu zero. Faptul evident este că rădăcina ecuației x 2 = 0 acesta este zero pentru că 0 2 = 0 . Această ecuație nu are alte rădăcini, ceea ce poate fi explicat prin proprietățile gradului: pentru orice număr p, nu este egal cu zero, inegalitatea este adevărată p 2 > 0, din care rezultă că atunci când p ≠ 0 egalitate p 2 = 0 nu va fi niciodată atins.

Definiția 5

Astfel, pentru ecuația pătratică incompletă a x 2 = 0 există o singură rădăcină x = 0.

Exemplul 2

De exemplu, să rezolvăm o ecuație pătratică incompletă − 3 x 2 = 0. Este echivalent cu ecuația x 2 = 0, singura sa rădăcină este x = 0, atunci ecuația originală are o singură rădăcină - zero.

Pe scurt, soluția este scrisă după cum urmează:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Rezolvarea ecuației a x 2 + c = 0

Urmează pe linie soluția ecuațiilor pătratice incomplete, unde b = 0, c ≠ 0, adică ecuații de forma a x 2 + c = 0. Să transformăm această ecuație prin mutarea unui termen dintr-o parte a ecuației în cealaltă, schimbând semnul în cel opus și împărțind ambele părți ale ecuației la un număr care nu este egal cu zero:

transfer cîn partea dreaptă, ceea ce dă ecuația a x 2 = − c;
împărțiți ambele părți ale ecuației cu A, ajungem cu x = - c a .

Transformările noastre sunt echivalente; în consecință, ecuația rezultată este, de asemenea, echivalentă cu cea originală, iar acest fapt face posibilă tragerea de concluzii despre rădăcinile ecuației. Din ceea ce sunt valorile AȘi c valoarea expresiei - c a depinde: poate avea semnul minus (de exemplu, dacă a = 1Și c = 2, atunci - c a = - 2 1 = - 2) sau un semn plus (de exemplu, dacă a = − 2Și c = 6, atunci - c a = - 6 - 2 = 3); nu este zero pentru că c ≠ 0. Să ne oprim mai în detaliu asupra situațiilor când - c a< 0 и - c a > 0 .

În cazul în care - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p egalitatea p 2 = - c a nu poate fi adevărată.

Totul este diferit când - c a > 0: amintiți-vă rădăcina pătrată și va deveni evident că rădăcina ecuației x 2 = - c a va fi numărul - c a, deoarece - c a 2 = - c a. Nu este greu de înțeles că numărul - - c a este și rădăcina ecuației x 2 = - c a: într-adevăr, - - c a 2 = - c a.

Ecuația nu va avea alte rădăcini. Putem demonstra acest lucru folosind metoda contradicției. Pentru început, să definim notațiile pentru rădăcinile găsite mai sus ca x 1Și − x 1. Să presupunem că ecuația x 2 = - c a are și rădăcină x 2, care este diferit de rădăcini x 1Și − x 1. Știm că înlocuind în ecuație X rădăcinile sale, transformăm ecuația într-o egalitate numerică corectă.

Pentru x 1Și − x 1 scriem: x 1 2 = - c a , iar pentru x 2- x 2 2 = - c a . Pe baza proprietăților egalităților numerice, scădem un termen de egalitate corect cu termen dintr-un altul, ceea ce ne va da: x 1 2 − x 2 2 = 0. Folosim proprietățile operațiilor cu numere pentru a rescrie ultima egalitate ca (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Se știe că produsul a două numere este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre numere este zero. Din cele de mai sus rezultă că x 1 − x 2 = 0și/sau x 1 + x 2 = 0, care este la fel x 2 = x 1și/sau x 2 = − x 1. A apărut o contradicție evidentă, deoarece la început s-a convenit că rădăcina ecuației x 2 difera de x 1Și − x 1. Deci, am demonstrat că ecuația nu are alte rădăcini decât x = - c a și x = - - c a.

Să rezumam toate argumentele de mai sus.

Definiția 6

Ecuație pătratică incompletă a x 2 + c = 0 este echivalentă cu ecuația x 2 = - c a, care:

nu va avea rădăcini la - c a< 0 ;
va avea două rădăcini x = - c a și x = - - c a pentru - c a > 0.

Să dăm exemple de rezolvare a ecuațiilor a x 2 + c = 0.

Exemplul 3

Având în vedere o ecuație pătratică 9 x 2 + 7 = 0. Este necesar să găsim o soluție.

Soluţie

Să mutam termenul liber în partea dreaptă a ecuației, apoi ecuația va lua forma 9 x 2 = − 7.
Să împărțim ambele părți ale ecuației rezultate la 9 , ajungem la x 2 = - 7 9 . În partea dreaptă vedem un număr cu semnul minus, ceea ce înseamnă: ecuația dată nu are rădăcini. Apoi ecuația pătratică incompletă inițială 9 x 2 + 7 = 0 nu va avea rădăcini.

Răspuns: ecuația 9 x 2 + 7 = 0 nu are rădăcini.

Exemplul 4

Ecuația trebuie rezolvată − x 2 + 36 = 0.

Soluţie

Să mutăm 36 în partea dreaptă: − x 2 = − 36.
Să împărțim ambele părți la − 1 , primim x 2 = 36. În partea dreaptă există un număr pozitiv, din care putem concluziona că x = 36 sau x = - 36 .
Să extragem rădăcina și să notăm rezultatul final: ecuație pătratică incompletă − x 2 + 36 = 0 are două rădăcini x=6 sau x = − 6.

Răspuns: x=6 sau x = − 6.

Rezolvarea ecuației a x 2 +b x=0

Să analizăm al treilea tip de ecuații pătratice incomplete, când c = 0. Pentru a găsi o soluție la o ecuație pătratică incompletă a x 2 + b x = 0, vom folosi metoda factorizării. Să factorizăm polinomul care se află în partea stângă a ecuației, luând factorul comun din paranteze X. Acest pas va face posibilă transformarea ecuației pătratice incomplete inițiale în echivalentul ei x (a x + b) = 0. Și această ecuație, la rândul său, este echivalentă cu un set de ecuații x = 0Și a x + b = 0. Ecuația a x + b = 0 liniară și rădăcina sa: x = − b a.

Definiția 7

Astfel, ecuația pătratică incompletă a x 2 + b x = 0 va avea două rădăcini x = 0Și x = − b a.

Să întărim materialul cu un exemplu.

Exemplul 5

Este necesar să găsim o soluție la ecuația 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Soluţie

O vom scoate Xîn afara parantezelor obținem ecuația x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Această ecuație este echivalentă cu ecuațiile x = 0și 2 3 x - 2 2 7 = 0. Acum ar trebui să rezolvați ecuația liniară rezultată: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Scrieți pe scurt soluția ecuației după cum urmează:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 sau 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 sau x = 3 3 7

Răspuns: x = 0, x = 3 3 7.

Discriminant, formulă pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Pentru a găsi soluții la ecuații pătratice, există o formulă rădăcină:

Definiția 8

x = - b ± D 2 · a, unde D = b 2 − 4 a c– așa-numitul discriminant al unei ecuații pătratice.

Scrierea x = - b ± D 2 · a înseamnă în esență că x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Ar fi util să înțelegem cum a fost derivată această formulă și cum să o aplici.

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Să ne confruntăm cu sarcina de a rezolva o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0. Să efectuăm o serie de transformări echivalente:

împărțiți ambele părți ale ecuației la un număr A, diferit de zero, obținem următoarea ecuație pătratică: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
Să selectăm pătratul complet din partea stângă a ecuației rezultate:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
După aceasta, ecuația va lua forma: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
Acum este posibil să transferăm ultimii doi termeni în partea dreaptă, schimbând semnul în opus, după care obținem: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
În cele din urmă, transformăm expresia scrisă în partea dreaptă a ultimei egalități:
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Astfel, ajungem la ecuația x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , echivalentă cu ecuația inițială a x 2 + b x + c = 0.

Am examinat soluția unor astfel de ecuații în paragrafele anterioare (rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete). Experiența acumulată deja face posibilă tragerea unei concluzii cu privire la rădăcinile ecuației x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

cu b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
când b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 ecuația este x + b 2 · a 2 = 0, atunci x + b 2 · a = 0.

De aici singura rădăcină x = - b 2 · a este evidentă;

pentru b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, următoarele vor fi adevărate: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 sau x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , care este același cu x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 sau x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , adică. ecuația are două rădăcini.

Se poate concluziona că prezența sau absența rădăcinilor ecuației x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (și, prin urmare, ecuația inițială) depinde de semnul expresiei b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 scris în partea dreaptă. Iar semnul acestei expresii este dat de semnul numărătorului, (numitorul 4 la 2 va fi întotdeauna pozitiv), adică semnul expresiei b 2 − 4 a c. Această expresie b 2 − 4 a c se dă denumirea - discriminantul ecuației pătratice și litera D este definită ca desemnare a acesteia. Aici puteți nota esența discriminantului - pe baza valorii și semnului acestuia, ei pot concluziona dacă ecuația pătratică va avea rădăcini reale și, dacă da, care este numărul de rădăcini - una sau două.

Să revenim la ecuația x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Să o rescriem folosind notația discriminantă: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Să formulăm din nou concluziile noastre:

Definiția 9

la D< 0 ecuația nu are rădăcini reale;
la D=0 ecuaţia are o singură rădăcină x = - b 2 · a ;
la D > 0 ecuația are două rădăcini: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 sau x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Pe baza proprietăților radicalilor, aceste rădăcini pot fi scrise sub forma: x = - b 2 · a + D 2 · a sau - b 2 · a - D 2 · a. Și, când deschidem modulele și aducem fracțiile la un numitor comun, obținem: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Deci, rezultatul raționamentului nostru a fost derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminant D calculat prin formula D = b 2 − 4 a c.

Aceste formule fac posibilă determinarea ambelor rădăcini reale atunci când discriminantul este mai mare decât zero. Când discriminantul este zero, aplicarea ambelor formule va da aceeași rădăcină ca singura soluție a ecuației pătratice. În cazul în care discriminantul este negativ, dacă încercăm să folosim formula rădăcinii pătratice, ne vom confrunta cu necesitatea de a lua rădăcina pătrată a unui număr negativ, ceea ce ne va duce dincolo de sfera numerelor reale. Cu un discriminant negativ, ecuația pătratică nu va avea rădăcini reale, dar este posibilă o pereche de rădăcini conjugate complexe, determinate de aceleași formule de rădăcină pe care le-am obținut.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice cu ajutorul formulelor rădăcinilor

Este posibil să se rezolve o ecuație pătratică folosind imediat formula rădăcinii, dar acest lucru se face în general atunci când este necesar să se găsească rădăcini complexe.

În majoritatea cazurilor, înseamnă de obicei să nu căutați rădăcini complexe, ci reale ale unei ecuații pătratice. Atunci este optim, înainte de a folosi formulele pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, să determinați mai întâi discriminantul și să vă asigurați că acesta nu este negativ (în caz contrar vom concluziona că ecuația nu are rădăcini reale) și apoi să treceți la calcularea valoarea rădăcinilor.

Raționamentul de mai sus face posibilă formularea unui algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice.

Definiția 10

Pentru a rezolva o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0, necesar:

conform formulei D = b 2 − 4 a c găsiți valoarea discriminantă;
la D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
pentru D = 0, găsiți singura rădăcină a ecuației folosind formula x = - b 2 · a ;
pentru D > 0, determinați două rădăcini reale ale ecuației pătratice folosind formula x = - b ± D 2 · a.

Rețineți că atunci când discriminantul este zero, puteți utiliza formula x = - b ± D 2 · a, va da același rezultat ca și formula x = - b 2 · a.

Să ne uităm la exemple.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Să dăm o soluție la exemplele pt sensuri diferite discriminant.

Exemplul 6

Trebuie să găsim rădăcinile ecuației x 2 + 2 x − 6 = 0.

Soluţie

Să notăm coeficienții numerici ai ecuației pătratice: a = 1, b = 2 și c = − 6. În continuare procedăm conform algoritmului, adică. Să începem să calculăm discriminantul, pentru care vom înlocui coeficienții a, b Și cîn formula discriminantă: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Deci obținem D > 0, ceea ce înseamnă că ecuația inițială va avea două rădăcini reale.
Pentru a le găsi, folosim formula rădăcină x = - b ± D 2 · a și, înlocuind valorile corespunzătoare, obținem: x = - 2 ± 28 2 · 1. Să simplificăm expresia rezultată prin eliminarea factorului din semnul rădăcinii și apoi reducând fracția:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 sau x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 sau x = - 1 - 7

Răspuns: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Exemplul 7

Trebuie să rezolvăm o ecuație pătratică − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Soluţie

Să definim discriminantul: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Cu această valoare a discriminantului, ecuația inițială va avea o singură rădăcină, determinată de formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Răspuns: x = 3,5.

Exemplul 8

Ecuația trebuie rezolvată 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Soluţie

Coeficienții numerici ai acestei ecuații vor fi: a = 5, b = 6 și c = 2. Folosim aceste valori pentru a găsi discriminantul: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Discriminantul calculat este negativ, astfel încât ecuația pătratică originală nu are rădăcini reale.

În cazul în care sarcina este de a indica rădăcini complexe, aplicăm formula rădăcinii, efectuând acțiuni cu numere complexe:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 sau x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i sau x = - 3 5 - 1 5 · i.

Răspuns: nu există rădăcini reale; rădăcinile complexe sunt următoarele: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

ÎN curiculumul scolar Nu există o cerință standard de a căuta rădăcini complexe, prin urmare, dacă în timpul soluției discriminantul este determinat a fi negativ, răspunsul este imediat scris că nu există rădăcini reale.

Formula rădăcină pentru chiar al doilea coeficienți

Formula rădăcină x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) face posibilă obținerea unei alte formule, mai compacte, care să permită găsirea soluțiilor ecuațiilor pătratice cu coeficient par pentru x ( sau cu un coeficient de forma 2 · n, de exemplu, 2 3 sau 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Să arătăm cum este derivată această formulă.

Să ne confruntăm cu sarcina de a găsi o soluție la ecuația pătratică a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Procedăm conform algoritmului: determinăm discriminantul D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), iar apoi folosim formula rădăcinii:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Să se noteze expresia n 2 − a · c cu D 1 (uneori se notează D”). Atunci formula pentru rădăcinile ecuației pătratice luate în considerare cu al doilea coeficient 2 · n va lua forma:

x = - n ± D 1 a, unde D 1 = n 2 − a · c.

Este ușor de observat că D = 4 · D 1, sau D 1 = D 4. Cu alte cuvinte, D 1 este un sfert din discriminant. Evident, semnul lui D 1 este același cu semnul lui D, ceea ce înseamnă că semnul lui D 1 poate servi și ca indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Definiția 11

Astfel, pentru a găsi o soluție la o ecuație pătratică cu un al doilea coeficient de 2 n, este necesar:

găsiți D 1 = n 2 − a · c ;
la D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
când D 1 = 0, determinați singura rădăcină a ecuației folosind formula x = - n a;
pentru D 1 > 0, determinați două rădăcini reale folosind formula x = - n ± D 1 a.

Exemplul 9

Este necesar să se rezolve ecuația pătratică 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Soluţie

Putem reprezenta al doilea coeficient al ecuației date ca 2 · (− 3) . Apoi rescriem ecuația pătratică dată ca 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, unde a = 5, n = − 3 și c = − 32.

Să calculăm a patra parte a discriminantului: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Valoarea rezultată este pozitivă, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini reale. Să le determinăm folosind formula rădăcină corespunzătoare:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 sau x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 sau x = - 2

Ar fi posibil să se efectueze calcule folosind formula obișnuită pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, dar în acest caz soluția ar fi mai greoaie.

Răspuns: x = 3 1 5 sau x = - 2 .

Simplificarea formei ecuațiilor pătratice

Uneori este posibil să se optimizeze forma ecuației originale, ceea ce va simplifica procesul de calcul al rădăcinilor.

De exemplu, ecuația pătratică 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 este în mod clar mai convenabil de rezolvat decât 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Mai des, simplificarea formei unei ecuații pătratice se realizează prin înmulțirea sau împărțirea ambelor părți cu un anumit număr. De exemplu, mai sus am arătat o reprezentare simplificată a ecuației 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, obținută prin împărțirea ambelor părți la 100.

O astfel de transformare este posibilă atunci când coeficienții ecuației pătratice nu sunt numere coprime. Apoi, de obicei, împărțim ambele părți ale ecuației cu cel mai mare divizor comun al valorilor absolute ale coeficienților săi.

Ca exemplu, folosim ecuația pătratică 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Să determinăm GCD al valorilor absolute ale coeficienților săi: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Să împărțim ambele părți ale ecuației pătratice originale la 6 și să obținem ecuația pătratică echivalentă 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Înmulțind ambele părți ale unei ecuații pătratice, de obicei scapi de coeficienții fracționali. În acest caz, ele se înmulțesc cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor coeficienților săi. De exemplu, dacă fiecare parte a ecuației pătratice 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 este înmulțită cu LCM (6, 3, 1) = 6, atunci se va scrie în mai multe în formă simplă x 2 + 4 x − 18 = 0 .

În cele din urmă, observăm că aproape întotdeauna scăpăm de minus la primul coeficient al unei ecuații pătratice prin schimbarea semnelor fiecărui termen al ecuației, ceea ce se realizează prin înmulțirea (sau împărțirea) ambelor părți cu - 1. De exemplu, din ecuația pătratică − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, puteți merge la versiunea sa simplificată 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Relația dintre rădăcini și coeficienți

Formula pentru rădăcinile ecuațiilor pătratice, deja cunoscută nouă, x = - b ± D 2 · a, exprimă rădăcinile ecuației prin coeficienții ei numerici. Pe baza acestei formule, avem posibilitatea de a specifica alte dependențe între rădăcini și coeficienți.

Cele mai faimoase și aplicabile formule sunt teorema lui Vieta:

x 1 + x 2 = - b a și x 2 = c a.

În special, pentru ecuația pătratică dată, suma rădăcinilor este al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. De exemplu, privind forma ecuației pătratice 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, este posibil să se determine imediat că suma rădăcinilor sale este 7 3 și produsul rădăcinilor este 22 3.

De asemenea, puteți găsi o serie de alte conexiuni între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice. De exemplu, suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice poate fi exprimată în termeni de coeficienți:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter