Intrebarea 1. Ce unghiuri se numesc adiacente?
Răspuns. Două unghiuri sunt numite adiacente dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt semilinii complementare.
În figura 31, unghiurile (a 1 b) și (a 2 b) sunt adiacente. Ele au latura b în comun, iar laturile a 1 și a 2 sunt semilinii suplimentare.
Intrebarea 2. Demonstrați că suma colțurile adiacente egal cu 180°.
Răspuns. Teorema 2.1. Suma unghiurilor adiacente este de 180°.
Dovada. Fie ca unghiul (a 1 b) și unghiul (a 2 b) să fie date unghiuri adiacente (vezi Fig. 31). Raza b trece între laturile a 1 și a 2 ale unui unghi drept. Prin urmare, suma unghiurilor (a 1 b) și (a 2 b) este egală cu unghiul desfășurat, adică 180°. Q.E.D.
Întrebarea 3. Demonstrați că dacă două unghiuri sunt egale, atunci și unghiurile lor adiacente sunt egale.
Răspuns.
Din teoremă 2.1
Rezultă că, dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile lor adiacente sunt egale.
Să presupunem că unghiurile (a 1 b) și (c 1 d) sunt egale. Trebuie să demonstrăm că unghiurile (a 2 b) și (c 2 d) sunt de asemenea egale.
Suma unghiurilor adiacente este de 180°. De aici rezultă că a 1 b + a 2 b = 180° și c 1 d + c 2 d = 180°. Prin urmare, a 2 b = 180° - a 1 b și c 2 d = 180° - c 1 d. Deoarece unghiurile (a 1 b) și (c 1 d) sunt egale, obținem că a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Din proprietatea tranzitivității semnului egal rezultă că a 2 b = c 2 d. Q.E.D.
Întrebarea 4. Ce unghi se numește drept (acut, obtuz)?
Răspuns. Un unghi egal cu 90° se numește unghi drept.
Un unghi mai mic de 90° se numește unghi ascuțit.
Un unghi mai mare de 90° și mai mic de 180° se numește obtuz.
Întrebarea 5. Demonstrați că un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept.
Răspuns. Din teorema privind suma unghiurilor adiacente rezultă că un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.
Întrebarea 6. Ce unghiuri se numesc verticale?
Răspuns. Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt semilinii complementare ale laturilor celuilalt.
Întrebarea 7. Demonstrează asta unghiuri verticale sunt egale.
Răspuns. Teorema 2.2. Unghiurile verticale sunt egale.
Dovada. Fie (a 1 b 1) și (a 2 b 2) unghiurile verticale date (Fig. 34). Unghiul (a 1 b 2) este adiacent unghiului (a 1 b 1) și unghiului (a 2 b 2). De aici, folosind teorema asupra sumei unghiurilor adiacente, concluzionăm că fiecare dintre unghiurile (a 1 b 1) și (a 2 b 2) completează unghiul (a 1 b 2) la 180°, adică. unghiurile (a 1 b 1) și (a 2 b 2) sunt egale. Q.E.D.
Întrebarea 8. Demonstrați că dacă, atunci când două drepte se intersectează, unul dintre unghiuri este drept, atunci și celelalte trei unghiuri sunt drepte.
Răspuns. Să presupunem că liniile AB și CD se intersectează în punctul O. Să presupunem că unghiul AOD este de 90°. Deoarece suma unghiurilor adiacente este de 180°, obținem că AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Unghiul COB este vertical față de unghiul AOD, deci sunt egali. Adică unghiul COB = 90°. Unghiul COA este vertical la unghiul BOD, deci sunt egali. Adică unghiul BOD = 90°. Astfel, toate unghiurile sunt egale cu 90°, adică toate sunt unghiuri drepte. Q.E.D.
Întrebarea 9. Ce drepte se numesc perpendiculare? Ce semn este folosit pentru a indica perpendicularitatea dreptelor?
Răspuns. Două drepte se numesc perpendiculare dacă se intersectează în unghi drept.
Perpendicularitatea dreptelor este indicată prin semnul \(\perp\). Intrarea \(a\perp b\) spune: „Linia a este perpendiculară pe dreapta b”.
Întrebarea 10. Demonstrați că prin orice punct de pe o dreaptă puteți trage o dreaptă perpendiculară pe acesta și numai una.
Răspuns. Teorema 2.3. Prin fiecare linie puteți trage o linie perpendiculară pe ea și numai una.
Dovada. Fie a o dreaptă dată și A un punct dat pe ea. Să notăm cu a 1 una dintre semiliniile dreptei a cu punctul de plecare A (Fig. 38). Să scădem un unghi (a 1 b 1) egal cu 90° din semilinia a 1. Atunci linia dreaptă care conține raza b 1 va fi perpendiculară pe dreapta a.
Să presupunem că există o altă dreaptă, care trece tot prin punctul A și perpendiculară pe dreapta a. Să notăm cu c 1 semilinia acestei drepte situată în același semiplan cu raza b 1 .
Unghiurile (a 1 b 1) și (a 1 c 1), fiecare egal cu 90°, sunt așezate într-un semiplan de la semilinia a 1. Dar din semi-linie un 1 poate fi pus într-un semiplan dat doar un unghi egal cu 90°. Prin urmare, nu poate exista o altă dreaptă care trece prin punctul A și perpendiculară pe dreapta a. Teorema a fost demonstrată.
Întrebarea 11. Ce este perpendicular pe o dreaptă?
Răspuns. O perpendiculară pe o dreaptă dată este un segment de dreaptă perpendicular pe o dreaptă dată, care are unul dintre capete în punctul de intersecție. Acest capăt al segmentului se numește bază perpendicular.
Întrebarea 12. Explicați în ce constă dovada prin contradicție.
Răspuns. Metoda de demonstrare pe care am folosit-o în teorema 2.3 se numește demonstrație prin contradicție. Această metodă de demonstrare constă în a face mai întâi o presupunere opusă a ceea ce afirmă teorema. Apoi, raționând, bazându-ne pe axiome și teoreme dovedite, ajungem la o concluzie care contrazice fie condițiile teoremei, fie una dintre axiome, fie o teoremă demonstrată anterior. Pe această bază, concluzionăm că presupunerea noastră a fost incorectă și, prin urmare, afirmația teoremei este adevărată.
Întrebarea 13. Care este bisectoarea unui unghi?
Răspuns. Bisectoarea unui unghi este o rază care emană din vârful unghiului, trece între laturile sale și împarte unghiul la jumătate.
Care se află în același plan și fie coincid, fie nu se intersectează. În unele definiții școlare, liniile coincidente nu sunt considerate paralele; o astfel de definiție nu este luată în considerare aici.
Proprietăți
- Paralelismul este o relație de echivalență binară, prin urmare împarte întregul set de linii în clase de linii paralele între ele.
- Prin orice punct puteți trage exact o linie dreaptă paralelă cu cea dată. Aceasta este o proprietate distinctivă a geometriei euclidiene; în alte geometrii, numărul 1 este înlocuit cu altele (în geometria Lobachevsky există cel puțin două astfel de linii)
- 2 drepte paralele în spațiu se află în același plan.
- Când 2 drepte paralele se intersectează, o a treia, numită secantă:
- Secanta intersectează în mod necesar ambele drepte.
- La intersectare, se formează 8 unghiuri, dintre care unele perechi caracteristice au nume și proprietăți speciale:
- Întins în cruce unghiurile sunt egale.
- Relevant unghiurile sunt egale.
- Unilateral unghiurile se adună până la 180°.
În geometria Lobaciovski
În geometria Lobachevsky în plan printr-un punct Cîn afara acestei linii AB există un număr infinit de drepte care nu se intersectează AB. Dintre acestea, paralel cu AB doar două sunt numite. Drept CE numită linie echilaterală (paralelă). ABîn direcția de la A La B, Dacă:
- puncte BȘi E stați pe o parte a unei linii drepte AC ;
- Drept CE nu intersectează linia AB, dar fiecare rază care trece în interiorul unui unghi ACE, traversează raza AB .
O linie dreaptă este definită în mod similar ABîn direcția de la B La A .
Toate celelalte linii care nu o intersectează pe aceasta sunt numite ultraparalelă sau divergente.
Vezi si
Fundația Wikimedia. 2010.
Vedeți ce înseamnă „minciuna transversală” în alte dicționare:
Această teoremă este despre drepte paralele. Pentru un unghi bazat pe un diametru, vezi o altă teoremă. Teorema lui Thales este una dintre teoremele planimetriei. Dacă așezați mai multe segmente egale în succesiune pe una dintre cele două linii drepte și desenați prin capetele lor... ... Wikipedia
Ordinul rus Sf. Ana a fost înființat de suveranul duce de Schleswig de Holstein, Karl Frederick, în 1736 în onoarea soției sale, țarevna Anna Petrovna (fiica lui Petru cel Mare) și inclus în ordinele ruse de către împărat. Petru al III-lea. Ordinul Sf. Ana...
Pentru testarea țevilor puștilor de vânătoare, acestea au fost înființate în toate țările vest-europene. Cele mai cunoscute dintre ele sunt la Londra, Birmingham, Lüttich, Suhl și Saint-Etienne. Conform noilor reguli introduse recent în Anglia, fiecare portbagaj... ... Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron
Acesta este numele uneia dintre metodele de determinare cantitativă a conținutului de substanțe în soluții; Metodele K. sunt aplicabile la determinarea cantitativă a tuturor acelor substanțe care dau soluții colorate, sau pot fi, folosind orice reacție, ... ... Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron
O insignă acordată pentru merit sau distincție specială, forma stabilita, purtat pe o panglică, lant sau altfel. Există indicii că în Imperiul Roman de Răsărit, încă de pe vremea lui Constantin cel Mare, împărații au stabilit parteneriate de cavalerie sau... ... Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron
Un semn acordat pentru merit sau distincție specială, într-o formă prescrisă, purtat pe o panglică, lanț sau altfel. Există indicii că în est. Imperiul Roman încă de pe vremea lui Constantin cel Mare, împărații au stabilit parteneriate sau ordine de cavalerie,... ... Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron
A doua familie a acestui ordin este formată dintr-un gen și o specie de morsă (Odobenus rosmarus)*, cea mai mare dintre toate pinipedele. * Morsele au trăsături anatomice asemănătoare focilor cu urechi și, de asemenea, descind dintr-o viață primitivă asemănătoare ursului... ... Viața animală
- (greaca veche παραλληλόγραμμον din παράλληλος paralelă și linie γραμμή) este un cu patru colțuri ... Wikipedia
Intersecții de linii (animație) Axioma de paralelism a lui Euclid, sau al cincilea postulat, este una dintre axiomele care se află ... Wikipedia
Intersecții de linii (animație) Axioma paralelismului a lui Euclid, sau al cincilea postulat, este una dintre axiomele care stau la baza planimetriei clasice. Mai întâi dat în Elementele lui Euclid: Și dacă o linie care se încadrează pe două linii formează interior și ... Wikipedia
Fie linia c intersectează liniile paralele a și b. Acest lucru creează opt unghiuri. Unghiurile dreptelor paralele și transversalele sunt folosite atât de des în probleme încât li se dau nume speciale în geometrie.
Unghiurile 1 și 3 - vertical. Evident, unghiurile verticale sunt egale, acesta este
∠1 = ∠3,
∠2 = ∠4.
Desigur, unghiurile 5 și 7, 6 și 8 sunt și ele verticale.
Unghiurile 1 și 2 - adiacent, asta stim deja. Suma unghiurilor adiacente este de 180º.
Unghiurile 3 și 5 (precum 2 și 8, 1 și 7, 4 și 6) sunt situate transversal. Unghiurile încrucișate sunt egale.
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.
Unghiurile 1 și 6 - unilateral. Ele se află pe o parte a întregii „structuri”. Unghiurile 4 și 7 sunt, de asemenea, unilaterale. Suma unghiurilor unilaterale este de 180°, acesta este
∠1 + ∠6 = 180°,
∠4 + ∠7 = 180°.
Unghiurile 2 și 6 (precum 3 și 7, 1 și 5, 4 și 8) se numesc adecvat.
Unghiuri corespunzătoare egal, acesta este
∠2 = ∠6,
∠3 = ∠7.
Unghiurile 3 și 5 (precum 2 și 8, 1 și 7, 4 și 6) se numesc culcat în cruce.
Unghiurile încrucișate sunt egale, acesta este
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.
Pentru a aplica toate aceste fapte într-o soluție Probleme la examenul de stat unificat, trebuie să înveți să le vezi în desen. De exemplu, când te uiți la un paralelogram sau un trapez, poți vedea o pereche de linii paralele și o secanta, precum și unghiuri unilaterale. Desenând diagonala paralelogramului, vedem unghiurile întinse transversal. Acesta este unul dintre pașii care compun soluția.
1. Bisectoarea unui unghi obtuz al unui paralelogram împarte latura opusă în raport de 3:4, numărând de la vârful unghiului obtuz. Aflați cea mai lungă latură a unui paralelogram dacă perimetrul său este 88.
Reamintim că bisectoarea unui unghi este o rază care iese din vârful unghiului și împarte unghiul la jumătate.
Fie BM bisectoarea unghiului obtuz B. Prin condiție, segmentele MD și AB sunt egale cu 3x și, respectiv, 4x.
Să luăm în considerare unghiurile CBM și BMA. Deoarece AD și BC sunt paralele, BM este o secantă, unghiurile CBM și BMA sunt transversale. Știm că unghiurile opuse sunt egale. Aceasta înseamnă că triunghiul ABM este isoscel, deci AB = AM = 4x.
Perimetrul unui paralelogram este suma tuturor laturilor sale, adică
7x + 7x + 4x + 4x = 88.
Prin urmare, x = 4, 7x = 28.
2. Diagonala unui paralelogram formează unghiuri de 26º și 34º cu cele două laturi ale sale. Aflați cel mai mare unghi al paralelogramului. Dați răspunsul în grade.
Desenați un paralelogram și diagonala acestuia. Observând unghiurile încrucișate și unghiurile unilaterale din desen, puteți obține cu ușurință răspunsul: 120º.
3. Care este unghiul mai mare al unui trapez isoscel dacă se știe că diferența dintre unghiurile opuse este de 50º? Dați răspunsul în grade.
Noi stim aia isoscel(sau isoscel) este un trapez ale cărui laturi sunt egale. Prin urmare, unghiurile de la baza superioară sunt egale, precum și unghiurile de la baza inferioară.
Să ne uităm la desen. Conform condiției, α - β = 50°, adică α = β + 50°.
Unghiurile α și β sunt unilaterale cu drepte paralele și transversale, prin urmare,
α + β = 180°.
Deci 2β + 50° = 180°
β = 65°, apoi α = 115°.
Raspuns: 115.
Studiu EGE » Materiale metodologice» Geometrie: de la zero la C4 » Înălțimi, mediane, bisectoare ale unui triunghi
