Soluție detaliată a inegalităților logaritmice. Rezolvarea inegalităților logaritmice simple

Raționamentul efectuat este simplu, dar simplifică semnificativ soluția inegalităților logaritmice.

Exemplul 4.

log x (x 2 -3)<0

Soluţie:

Exemplul 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Soluţie:

Răspuns. (0; 0,5)U.

Exemplul 6.

Pentru a rezolva această inegalitate, în locul numitorului, scriem (x-1-1)(x-1), iar în loc de numărător, scriem produsul (x-1)(x-3-9 + x).

Răspuns : (3;6)

Exemplul 7.

Exemplul 8.

2.3. Înlocuire non-standard.

Exemplul 1.

Exemplul 2.

Exemplul 3.

Exemplul 4.

Exemplul 5.

Exemplul 6.

Exemplul 7.

log 4 (3 x -1)log 0,25

Să facem înlocuirea y=3 x -1; atunci această inegalitate va lua forma

Log 4 log 0,25
.

Deoarece log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , apoi rescriem ultima inegalitate ca 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Să facem înlocuirea t =log 4 y și să obținem inegalitatea t 2 -2t +≥0, a cărei soluție este intervalele - .

Astfel, pentru a găsi valorile lui y avem o mulțime de două inegalități simple
Soluția acestei mulțimi este intervalele 0<у≤2 и 8≤у<+.

Prin urmare, inegalitatea originală este echivalentă cu mulțimea a două inegalități exponențiale,
adică agregate

Soluția primei inegalități a acestei mulțimi este intervalul 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Astfel, inegalitatea inițială este satisfăcută pentru toate valorile lui x din intervalele 0<х≤1 и 2≤х<+.

Exemplul 8.

Soluţie:

Inegalitatea este egală cu sistemul

Soluția la a doua inegalitate care definește ODZ va fi setul celor X,

pentru care X > 0.

Pentru a rezolva prima inegalitate facem substituția

Apoi obținem inegalitatea

sau

Mulțimea soluțiilor ultimei inegalități se găsește prin metodă

intervale: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, primim

sau

Multe dintre acestea X, care satisfac ultima inegalitate

aparține ODZ ( X> 0), prin urmare, este o soluție a sistemului,

și de aici inegalitatea inițială.

Răspuns:

2.4. Sarcini cu capcane.

Exemplul 1.

.

Soluţie. ODZ a inegalității este tot x care satisface condiția 0 . Prin urmare, toți x sunt din intervalul 0

Exemplul 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Ideea este că al doilea număr este în mod evident mai mare decât

Concluzie

Nu a fost ușor să găsești metode specifice de rezolvare a problemelor C3 dintr-o mare abundență de diferite surse educaționale. Pe parcursul lucrărilor efectuate, am putut studia metode non-standard pentru rezolvarea inegalităților logaritmice complexe. Acestea sunt: ​​tranzițiile echivalente și metoda generalizată a intervalelor, metoda raționalizării , substituție non-standard , sarcini cu capcane pe ODZ. Aceste metode nu sunt incluse în programa școlară.

Folosind diferite metode, am rezolvat 27 de inegalități propuse la Examenul Unificat de Stat în partea C și anume C3. Aceste inegalități cu soluții prin metode au stat la baza colecției „C3 Inegalități logaritmice cu soluții”, care a devenit un produs de proiect al activității mele. S-a confirmat ipoteza pe care am pus-o la începutul proiectului: problemele C3 pot fi rezolvate eficient dacă cunoașteți aceste metode.

În plus, am descoperit fapte interesante despre logaritmi. A fost interesant pentru mine să fac asta. Produsele proiectului meu vor fi utile atât studenților, cât și profesorilor.

Concluzii:

Astfel, scopul proiectului a fost atins și problema a fost rezolvată. Și am primit cea mai completă și variată experiență a activităților de proiect în toate etapele de lucru. În timp ce lucram la proiect, impactul meu principal de dezvoltare a fost asupra competenței mentale, activităților legate de operații mentale logice, dezvoltarea competenței creative, inițiativa personală, responsabilitate, perseverență și activitate.

O garanție a succesului la crearea unui proiect de cercetare pt Am dobândit: experiență școlară semnificativă, capacitatea de a obține informații din diverse surse, de a le verifica fiabilitatea și de a le clasifica după importanță.

Pe lângă cunoștințele directe în materie de matematică, mi-am extins abilitățile practice în domeniul informaticii, am acumulat noi cunoștințe și experiență în domeniul psihologiei, am stabilit contacte cu colegii de clasă și am învățat să cooperez cu adulții. În cadrul activităților proiectului s-au dezvoltat abilități educaționale generale organizatorice, intelectuale și comunicative.

Literatură

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sisteme de inegalități cu o variabilă (sarcini standard C3).

2. Malkova A. G. Pregătirea pentru examenul unificat de stat la matematică.

3. Samarova S. S. Rezolvarea inegalităților logaritmice.

4. Matematică. Culegere de lucrări de formare editată de A.L. Semenov și I.V. Iascenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-

Introducere

Logaritmii au fost inventați pentru a accelera și simplifica calculele. Ideea unui logaritm, adică ideea de a exprima numerele ca puteri ale aceleiași baze, îi aparține lui Mikhail Stiefel. Dar pe vremea lui Stiefel, matematica nu era atât de dezvoltată și ideea de logaritm nu era dezvoltată. Logaritmii au fost inventați mai târziu simultan și independent unul de celălalt de către omul de știință scoțian John Napier (1550-1617) și elvețianul Jobst Burgi (1552-1632).Napier a fost primul care a publicat lucrarea în 1614. sub titlul „Descrierea unui tabel uimitor de logaritmi”, teoria lui Napier a logaritmilor a fost dată într-un volum destul de complet, metoda de calcul a logaritmilor a fost dată cea mai simplă, prin urmare meritele lui Napier în inventarea logaritmilor au fost mai mari decât cele ale lui Bürgi. Bürgi a lucrat pe mese în același timp cu Napier, dar pentru o lungă perioadă de timp le-a ținut secret și le-a publicat abia în 1620. Napier a stăpânit ideea logaritmului în jurul anului 1594. deși tabelele au fost publicate 20 de ani mai târziu. La început și-a numit logaritmii „numere artificiale” și abia apoi a propus să numească aceste „numere artificiale” într-un singur cuvânt „logaritm”, care tradus din greacă înseamnă „numere corelate”, luat unul dintr-o progresie aritmetică, iar celălalt dintr-un progresie geometrică special selectată pentru aceasta.progres. Primele tabele în limba rusă au fost publicate în 1703. cu participarea unui profesor minunat al secolului al XVIII-lea. L. F. Magnitsky. Lucrările academicianului din Sankt Petersburg Leonhard Euler au avut o mare importanță în dezvoltarea teoriei logaritmilor. El a fost primul care a considerat logaritmii ca fiind inversul ridicării la o putere; el a introdus termenii „bază logaritmului” și „mantisă.” Briggs a compilat tabele de logaritmi cu baza 10. Tabelele zecimale sunt mai convenabile pentru utilizare practică, teoria lor este mai simplu decât cel al logaritmilor lui Napier. Prin urmare, logaritmii zecimali sunt uneori numiți logaritmi Briggs. Termenul de „caracterizare” a fost introdus de Briggs.

În acele vremuri îndepărtate, când înțelepții au început să se gândească la egalități care conțineau cantități necunoscute, probabil că nu existau monede sau portofele. Au existat însă grămezi, precum și oale și coșuri, care erau perfecte pentru rolul cache-urilor de depozitare care puteau ține un număr necunoscut de articole. În vechile probleme de matematică din Mesopotamia, India, China, Grecia, cantitățile necunoscute exprimau numărul de păuni din grădină, numărul de tauri din turmă și totalitatea lucrurilor luate în considerare la împărțirea proprietății. Cărturarii, funcționarii și preoții inițiați în cunoștințele secrete, bine pregătiți în știința conturilor, au făcut față cu succes unor astfel de sarcini.

Surse care au ajuns la noi indică faptul că oamenii de știință antici aveau câteva tehnici generale pentru rezolvarea problemelor cu cantități necunoscute. Cu toate acestea, nici o tabletă de papirus sau lut nu conține o descriere a acestor tehnici. Autorii și-au furnizat doar ocazional calculele numerice cu comentarii sumbre, cum ar fi: „Uite!”, „Fă asta!”, „Ai găsit-o pe cea potrivită”. În acest sens, excepția este „Aritmetica” a matematicianului grec Diophantus din Alexandria (secolul al III-lea) - o colecție de probleme pentru alcătuirea ecuațiilor cu o prezentare sistematică a soluțiilor acestora.

Cu toate acestea, primul manual pentru rezolvarea problemelor care a devenit cunoscut pe scară largă a fost lucrarea savantului de la Bagdad din secolul al IX-lea. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Cuvântul „al-jabr” din denumirea arabă a acestui tratat - „Kitab al-jaber wal-mukabala” („Cartea restaurării și a opoziției”) - s-a transformat de-a lungul timpului în binecunoscutul cuvânt „algebră”, iar lucrarea al-Khwarizmi însuși a servit punctul de plecare în dezvoltarea științei rezolvării ecuațiilor.

Ecuații și inegalități logaritmice

1. Ecuații logaritmice

O ecuație care conține o necunoscută sub semnul logaritmului sau la baza sa se numește ecuație logaritmică.

Cea mai simplă ecuație logaritmică este o ecuație de formă

Buturuga A X = b . (1)

Afirmaţia 1. Dacă A > 0, A≠ 1, ecuația (1) pentru orice real b are o soluție unică X = a b .

Exemplul 1. Rezolvați ecuațiile:

a) log 2 X= 3, b) log 3 X= -1, c)

Soluţie. Folosind afirmația 1, obținem a) X= 2 3 sau X= 8; b) X= 3 -1 sau X= 1 / 3 ; c)

Să prezentăm proprietățile de bază ale logaritmului.

P1. Identitatea logaritmică de bază:

Unde A > 0, A≠ 1 și b > 0.

P2. Logaritmul produsului factorilor pozitivi este egal cu suma logaritmilor acestor factori:

Buturuga A N 1 · N 2 = jurnal A N 1 + jurnal A N 2 (A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Cometariu. Dacă N 1 · N 2 > 0, atunci proprietatea P2 ia forma

Buturuga A N 1 · N 2 = jurnal A |N 1 | + jurnal A |N 2 | (A > 0, A ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Logaritmul câtului a două numere pozitive este egal cu diferența dintre logaritmii dividendului și divizorului

Cometariu. Dacă

P4. Logaritmul puterii unui număr pozitiv este egal cu produsul exponentului și logaritmul acestui număr:

Buturuga A N k = k Buturuga A N (A > 0, A ≠ 1, N > 0).

Cometariu. Dacă k- număr par ( k = 2s), Acea

Buturuga A N 2s = 2s Buturuga A |N | (A > 0, A ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Formula pentru mutarea la o altă bază:

în special dacă N = b, primim

Folosind proprietățile P4 și P5, este ușor de obținut următoarele proprietăți

și, dacă în (5) c- număr par ( c = 2n), apare

Să enumerăm principalele proprietăți ale funcției logaritmice f (X) = jurnal A X :

1. Domeniul de definire al unei funcții logaritmice este mulțimea numerelor pozitive.

2. Gama de valori ale funcției logaritmice este mulțimea numerelor reale.

3. Când A> 1 funcție logaritmică este strict în creștere (0< X 1 < X 2log A X 1 < logA X 2) și la 0< A < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2log A X 1 > jurnal A X 2).

4. jurnal A 1 = 0 și log A A = 1 (A > 0, A ≠ 1).

5. Dacă A> 1, atunci funcția logaritmică este negativă când X(0;1) și pozitiv la X(1;+∞), iar dacă 0< A < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) și negativ la X (1;+∞).

6. Dacă A> 1, atunci funcția logaritmică este convexă în sus și dacă A(0;1) - convex în jos.

Următoarele afirmații (vezi, de exemplu,) sunt folosite la rezolvare ecuații logaritmice.

Credeți că mai este timp până la Examenul Unificat de Stat și veți avea timp să vă pregătiți? Poate că așa este. Dar, în orice caz, cu cât un student începe mai devreme pregătirea, cu atât trece cu mai mult succes examenele. Astăzi am decis să dedicăm un articol inegalităților logaritmice. Aceasta este una dintre sarcini, ceea ce înseamnă o oportunitate de a obține credit suplimentar.

Știți deja ce este un logaritm? Chiar sperăm că da. Dar chiar dacă nu ai un răspuns la această întrebare, nu este o problemă. Înțelegerea a ceea ce este un logaritm este foarte simplă.

De ce 4? Trebuie să ridicați numărul 3 la această putere pentru a obține 81. Odată ce înțelegeți principiul, puteți trece la calcule mai complexe.

Ai trecut prin inegalități în urmă cu câțiva ani. Și de atunci le-ai întâlnit constant la matematică. Dacă aveți probleme în rezolvarea inegalităților, consultați secțiunea corespunzătoare.
Acum că ne-am familiarizat cu conceptele în mod individual, să trecem la analizarea lor în general.

Cea mai simplă inegalitate logaritmică.

Cele mai simple inegalități logaritmice nu se limitează la acest exemplu; mai sunt trei, doar cu semne diferite. De ce este necesar acest lucru? Pentru a înțelege mai bine cum se rezolvă inegalitățile cu logaritmi. Acum să dăm un exemplu mai aplicabil, încă destul de simplu; vom lăsa inegalitățile logaritmice complexe pentru mai târziu.

Cum să rezolvi asta? Totul începe cu ODZ. Merită să știți mai multe despre asta dacă doriți să rezolvați întotdeauna cu ușurință orice inegalitate.

Ce este ODZ? ODZ pentru inegalitățile logaritmice

Abrevierea reprezintă intervalul de valori acceptabile. Această formulare apare adesea în sarcinile pentru examenul de stat unificat. ODZ vă va fi de folos nu numai în cazul inegalităților logaritmice.

Privește din nou exemplul de mai sus. Vom lua în considerare ODZ pe baza acestuia, astfel încât să înțelegeți principiul, iar rezolvarea inegalităților logaritmice nu ridică întrebări. Din definiția unui logaritm rezultă că 2x+4 trebuie să fie mai mare decât zero. În cazul nostru, aceasta înseamnă următoarele.

Acest număr, prin definiție, trebuie să fie pozitiv. Rezolvați inegalitatea prezentată mai sus. Acest lucru se poate face chiar și oral, aici este clar că X nu poate fi mai mic de 2. Soluția inegalității va fi definirea intervalului de valori acceptabile.
Acum să trecem la rezolvarea celei mai simple inegalități logaritmice.

Aruncăm logaritmii înșiși din ambele părți ale inegalității. Cu ce ​​ne rămâne ca rezultat? Inegalitate simplă.

Nu este greu de rezolvat. X trebuie să fie mai mare de -0,5. Acum combinăm cele două valori obținute într-un sistem. Prin urmare,

Acesta va fi intervalul de valori acceptabile pentru inegalitatea logaritmică luată în considerare.

De ce avem nevoie de ODZ? Aceasta este o oportunitate de a elimina răspunsurile incorecte și imposibile. Dacă răspunsul nu se află în intervalul de valori acceptabile, atunci răspunsul pur și simplu nu are sens. Acest lucru merită să ne amintim mult timp, deoarece în examenul de stat unificat este adesea nevoie să căutați ODZ și nu se referă numai la inegalitățile logaritmice.

Algoritm pentru rezolvarea inegalității logaritmice

Soluția constă din mai multe etape. În primul rând, trebuie să găsiți intervalul de valori acceptabile. Vor fi două semnificații în ODZ, despre care am discutat mai sus. Apoi, trebuie să rezolvați inegalitatea în sine. Metodele de rezolvare sunt următoarele:

• metoda de înlocuire a multiplicatorului;
• descompunere;
• metoda de raționalizare.

În funcție de situație, merită să utilizați una dintre metodele de mai sus. Să trecem direct la soluție. Să dezvăluim cea mai populară metodă, care este potrivită pentru rezolvarea sarcinilor de examinare unificată de stat în aproape toate cazurile. În continuare ne vom uita la metoda de descompunere. Vă poate ajuta dacă întâlniți o inegalitate deosebit de complicată. Deci, un algoritm pentru rezolvarea inegalității logaritmice.

Exemple de soluții :

Nu degeaba am luat exact această inegalitate! Atenție la bază. Amintiți-vă: dacă este mai mare decât unu, semnul rămâne același la găsirea intervalului de valori acceptabile; în caz contrar, trebuie să schimbați semnul inegalității.

Ca rezultat, obținem inegalitatea:

Acum reducem partea stângă la forma ecuației egală cu zero. În loc de semnul „mai puțin decât” punem „egal” și rezolvăm ecuația. Astfel, vom găsi ODZ. Sperăm că cu o soluție la asta ecuație simplă nu vei avea probleme. Răspunsurile sunt -4 și -2. Asta nu e tot. Trebuie să afișați aceste puncte pe grafic, plasând „+” și „-”. Ce trebuie făcut pentru asta? Înlocuiți numerele din intervale în expresie. Acolo unde valorile sunt pozitive, punem „+” acolo.

Răspuns: x nu poate fi mai mare de -4 și mai mic de -2.

Am găsit intervalul de valori acceptabile doar pentru partea stângă; acum trebuie să găsim intervalul de valori acceptabile pentru partea dreaptă. Acest lucru este mult mai ușor. Raspuns: -2. Intersectăm ambele zone rezultate.

Și abia acum începem să abordăm inegalitatea în sine.

Să simplificăm cât mai mult posibil pentru a fi mai ușor de rezolvat.

Folosim din nou metoda intervalului în soluție. Să sărim peste calcule; totul este deja clar din exemplul anterior. Răspuns.

Dar această metodă este potrivită dacă inegalitatea logaritmică are aceleași baze.

Rezolvarea ecuațiilor logaritmice și a inegalităților cu din diferite motive presupune o reducere iniţială la o bază. Apoi, utilizați metoda descrisă mai sus. Dar există mai mult caz dificil. Să considerăm una dintre cele mai multe specii complexe inegalități logaritmice.

Inegalități logaritmice cu bază variabilă

Cum se rezolvă inegalitățile cu astfel de caracteristici? Da, și astfel de persoane pot fi găsite în examenul de stat unificat. Rezolvarea inegalităților în felul următor vă va aduce, de asemenea, beneficii proces educațional. Să înțelegem problema detaliat. Să renunțăm la teoria și să trecem direct la practică. Pentru a rezolva inegalitățile logaritmice, este suficient să vă familiarizați o dată cu exemplul.

Pentru a rezolva o inegalitate logaritmică a formei prezentate, este necesar să se reducă partea dreaptă la un logaritm cu aceeași bază. Principiul seamănă cu tranzițiile echivalente. Ca urmare, inegalitatea va arăta astfel.

De fapt, tot ce rămâne este să creăm un sistem de inegalități fără logaritmi. Folosind metoda raționalizării, trecem la un sistem echivalent de inegalități. Veți înțelege regula în sine atunci când înlocuiți valorile corespunzătoare și urmăriți modificările acestora. Sistemul va avea următoarele inegalități.

Când utilizați metoda raționalizării la rezolvarea inegalităților, trebuie să vă amintiți următoarele: unul trebuie să fie scăzut din bază, x, prin definiția logaritmului, este scăzut din ambele părți ale inegalității (dreapta de la stânga), două expresii sunt înmulțite și pus sub semnul original în raport cu zero.

Soluția ulterioară se realizează folosind metoda intervalului, totul este simplu aici. Este important să înțelegeți diferențele dintre metodele de soluție, apoi totul va începe să funcționeze ușor.

Există multe nuanțe în inegalitățile logaritmice. Cele mai simple dintre ele sunt destul de ușor de rezolvat. Cum le poți rezolva pe fiecare fără probleme? Ați primit deja toate răspunsurile din acest articol. Acum ai un antrenament lung în față. Exersați în mod constant rezolvarea unei varietăți de probleme în cadrul examenului și veți putea obține cel mai mare scor. Mult succes în sarcina ta grea!

Dintre întreaga varietate de inegalități logaritmice, inegalitățile cu bază variabilă sunt studiate separat. Ele sunt rezolvate folosind o formulă specială, care din anumite motive este rareori predată la școală:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

În loc de caseta de selectare „∨”, puteți pune orice semn de inegalitate: mai mult sau mai puțin. Principalul lucru este că în ambele inegalități semnele sunt aceleași.

Astfel scăpăm de logaritmi și reducem problema la o inegalitate rațională. Acesta din urmă este mult mai ușor de rezolvat, dar atunci când se aruncă logaritmi, pot apărea rădăcini suplimentare. Pentru a le tăia, este suficient să găsiți intervalul de valori acceptabile. Dacă ați uitat ODZ al unui logaritm, vă recomand insistent să îl repetați - vedeți „Ce este un logaritm”.

Tot ceea ce are legătură cu intervalul de valori acceptabile trebuie scris și rezolvat separat:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Aceste patru inegalități constituie un sistem și trebuie satisfăcute simultan. Când se găsește intervalul de valori acceptabile, tot ce rămâne este să îl intersectezi cu soluția inegalitatea raţională- și răspunsul este gata.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

Mai întâi, să scriem ODZ al logaritmului:

Primele două inegalități sunt satisfăcute automat, dar ultima va trebui scrisă. Deoarece pătratul unui număr este zero dacă și numai dacă numărul însuși este zero, avem:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Rezultă că ODZ a logaritmului este toate numerele cu excepția zero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Acum rezolvăm inegalitatea principală:

Facem tranziția de la inegalitatea logaritmică la una rațională. Inegalitatea originală are un semn „mai puțin decât”, ceea ce înseamnă că inegalitatea rezultată trebuie să aibă și un semn „mai puțin decât”. Avem:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Zerourile acestei expresii sunt: ​​x = 3; x = −3; x = 0. Mai mult, x = 0 este o rădăcină a celei de-a doua multiplicități, ceea ce înseamnă că la trecerea prin aceasta, semnul funcției nu se schimbă. Avem:

Se obține x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Acest set este complet conținut în ODZ al logaritmului, ceea ce înseamnă că acesta este răspunsul.

Conversia inegalităților logaritmice

Adesea inegalitatea originală este diferită de cea de mai sus. Acest lucru poate fi corectat cu ușurință folosind regulile standard pentru lucrul cu logaritmi - vezi „Proprietățile de bază ale logaritmilor”. Și anume:

1. Orice număr poate fi reprezentat ca un logaritm cu o bază dată;
2. Suma și diferența logaritmilor cu aceleași baze pot fi înlocuite cu un logaritm.

Separat, aș dori să vă reamintesc intervalul de valori acceptabile. Deoarece pot exista mai mulți logaritmi în inegalitatea originală, este necesar să se găsească VA a fiecăruia dintre ei. Prin urmare, schema generala soluțiile la inegalitățile logaritmice sunt următoarele:

1. Aflați VA fiecărui logaritm inclus în inegalitate;
2. Reduceți inegalitatea la una standard folosind formulele de adunare și scădere a logaritmilor;
3. Rezolvați inegalitatea rezultată folosind schema de mai sus.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

Să găsim domeniul de definiție (DO) al primului logaritm:

Rezolvăm folosind metoda intervalului. Aflarea zerourilor numărătorului:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Apoi - zerourile numitorului:

x − 1 = 0;
x = 1.

Marcam zerouri și semne pe săgeata de coordonate:

Se obține x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Al doilea logaritm va avea același VA. Dacă nu crezi, poți să verifici. Acum transformăm al doilea logaritm astfel încât baza să fie două:

După cum puteți vedea, treisurile de la bază și din fața logaritmului au fost reduse. Avem doi logaritmi cu aceeași bază. Să le adunăm:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Am obținut inegalitatea logaritmică standard. Scăpăm de logaritmi folosind formula. Deoarece inegalitatea originală conține un semn „mai puțin decât”, expresia rațională rezultată trebuie, de asemenea, să fie mai mică decât zero. Avem:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Avem două seturi:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Răspunsul candidatului: x ∈ (−1; 3).

Rămâne să intersectăm aceste mulțimi - obținem răspunsul real:

Suntem interesați de intersecția mulțimilor, așa că selectăm intervale care sunt umbrite pe ambele săgeți. Se obține x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - toate punctele sunt perforate.