Reguli pentru plierea vectorilor. Ce vector se numește suma a doi vectori

Adunarea forțelor se realizează folosind regula adunării vectoriale. Sau așa-numita regulă a paralelogramului. Deoarece forța este descrisă ca un vector, adică este un segment, a cărui lungime arată valoarea numerică a forței, iar direcția indică direcția de acțiune a forței. Apoi se adaugă forțe, adică vectori, folosind însumarea geometrică a vectorilor.

Pe de altă parte, adăugarea forțelor înseamnă găsirea rezultantei mai multor forțe. Adică atunci când mai multe forțe diferite acționează asupra corpului. Diferite atât ca dimensiune, cât și ca direcție. Este necesar să se găsească forța rezultată care va acționa asupra corpului în ansamblu. În acest caz, puteți adăuga forțele în perechi folosind regula paralelogramului. Mai întâi adăugăm două forțe. Mai adăugăm unul la rezultatul lor. Și așa mai departe până când toate forțele sunt combinate.

Figura 1 - Regula paralelogramului.

Regula paralelogramului poate fi descrisă după cum urmează. Pentru două forțe care emană dintr-un punct și având între ele un unghi diferit de zero sau 180 de grade. Puteți construi un paralelogram. Prin mutarea începutului unui vector la sfârșitul altuia. Diagonala acestui paralelogram va fi rezultanta acestor forțe.

Dar puteți folosi și regula poligonului forței. În acest caz, punctul de plecare este selectat. Primul vector de forță care acționează asupra corpului iese din acest punct, apoi următorul vector este adăugat la capătul său folosind metoda transferului paralel. Și așa mai departe până când se obține un poligon de forță. În final, rezultanta tuturor forțelor dintr-un astfel de sistem va fi un vector desenat de la punctul de plecare până la sfârșitul ultimului vector.

Figura 2 - Poligon de forță.

Dacă un corp se mișcă sub influența mai multor forțe aplicate asupra puncte diferite corpuri. Putem presupune că se mișcă sub acțiunea unei forțe rezultante aplicate centrului de masă al unui corp dat.

Odată cu adăugarea forțelor, pentru a simplifica calculele mișcării, se folosește și metoda de descompunere a forțelor. După cum sugerează și numele, esența metodei este aceea că o forță care acționează asupra unui corp este împărțită în forțe componente. În acest caz, componentele forței au același efect asupra corpului ca forța inițială.

Descompunerea forțelor se realizează și după regula paralelogramului. Ele trebuie să iasă dintr-un punct. Din același punct din care iese forța de descompunere. De regulă, forța descompusă este reprezentată sub formă de proiecții pe axe perpendiculare. De exemplu, ca forța gravitației și forța de frecare care acționează asupra unui bloc situat pe un plan înclinat.

Figura 3 - Un bloc pe un plan înclinat.

Cantitatea scalară - Acest cantitate fizica, care are o singură caracteristică – o valoare numerică.

O mărime scalară poate fi pozitivă sau negativă.

Exemple de mărimi scalare: temperatură, masă, volum, timp, densitate. Operațiile matematice cu mărimi scalare sunt operații algebrice.

Cantitatea de vector este o mărime fizică care are două caracteristici:

1) o valoare numerică care este întotdeauna pozitivă (modul vectorial);

Exemple de mărimi fizice vectoriale: viteză, accelerație, forță.

O mărime vectorială este indicată printr-o literă latină și o săgeată deasupra acestei litere. De exemplu:

Modulul vectorial este notat astfel:

sau - modulul vectorial ,

În figură (grafic), vectorul este reprezentat printr-un segment direcționat al unei linii drepte. Mărimea vectorului este egală cu lungimea segmentului direcționat pe o scară dată.

2.2. Acțiuni cu vectori

Operațiile matematice cu mărimi vectoriale sunt operații geometrice.

2.2.1 Compararea vectorilor

Vectori egali. Doi vectori sunt egali daca au:

module egale,

aceleași direcții.

Vectori opuși. Doi vectori sunt opuși dacă au:

module egale,

directii opuse.

2.2.2 Adăugarea vectorului

Putem adăuga doi vectori geometric folosind regula paralelogramului și regula triunghiului.

Să fie dați doi vectori Și (Vezi poza). Să găsim suma acestor vectori +=. Cantitati Și sunt vectorii componente, vector este vectorul rezultat.

Regula paralelogramului pentru adăugarea a doi vectori:

1. Să desenăm un vector .

2. Să desenăm un vector astfel încât începutul său să coincidă cu începutul vectorului ; unghiul dintre vectori este egal cu (Vezi poza).

3. Până la capătul vectorului .

4. Până la capătul vectorului trageți o dreaptă paralelă cu vectorul .

Am construit un paralelogram. Laturile acestui paralelogram sunt vectorii componente Și .

5. Desenați diagonala paralelogramului din punctul comun de origine al vectorului și începutul vectorului .

6. Modulul vectorului rezultat este egală cu lungimea diagonalei paralelogramului și este determinată de formula:

începutul vectorului coincide cu începutul vectorului și începutul vectorului (direcția vectorială prezentată în figură).

Regula triunghiului pentru adăugarea a doi vectori:

1. Să desenăm vectorii componente Și astfel încât începutul vectorului coincide cu sfârșitul vectorului . În acest caz, unghiul dintre vectori este egal cu .

2. Vectorul rezultat este îndreptată astfel încât originea sa să coincidă cu originea vectorului , iar sfârșitul coincide cu sfârșitul vectorului .

3. Modulul vectorului rezultat se găsește prin formula:

2.2.3 Scăderea vectorilor

Scăderea vectorilor este inversul adunării:

Găsiți diferența vectorială și vector - este același lucru cu găsirea sumei unui vector și vector
, opus vectorului . Putem găsi vectorul de diferență geometric folosind regula paralelogramului sau regula triunghiului (vezi figura).

Regula paralelogramului.

Laturile unui paralelogram - vector și vector - ; diagonala paralelogramului - vector diferență
.

Regula triunghiului.

Vector de diferență conectează capătul vectorului și sfârșitul vectorului (începutul vectorului coincide cu sfârșitul vectorului ).

2.2.4 Înmulțirea unui vector cu un scalar

Fie vectorul dat și scalară. Să găsim produsul vectorului și vectorn scalar.

Ca rezultat al înmulțirii unui vector cu un scalar, obținem un nou vector :

Direcția vectorială la fel ca direcția vectorială la
.

Direcția vectorială opus direcției vectorului la
.

Modul vectorial de n ori mai mare decât modulul vectorului , Dacă
.

2.3. Produs punctat și încrucișat

2.3.1 Produs punctual

Din doi vectori Și poti forma un scalar dupa regula:

Această expresie se numește produsul scalar al vectorilor Și
, sau
.

Prin urmare, . =
.

Prin definiție, un produs scalar are următoarele proprietăți:

1)
,

2)
,

2.3.2 Produs încrucișat

Din doi vectori
Și
puteți crea un vector nou:

, Unde

Modulul noului vector rezultat se găsește prin formula:

Această operație se numește produsul încrucișat al vectorilor Și și este indicată de unul dintre simboluri
sau
.

Formula este de asemenea bine cunoscută

Unde - unghiul dintre vectori Și .

Direcția vectorială poate fi găsit folosind următoarea tehnică. Combinăm mental axa longitudinală a brațului (șurub din dreapta, tirbușon) cu perpendiculara pe planul în care se află vectorii înmulțiți (în acest exemplu, vectorii Și ). Apoi începem să rotim capul șurubului (mânerul tirbușonului) în direcția celei mai scurte rotații de la primul factor la al doilea, adică de la vector a vector . Direcția de mișcare a corpului elicei va fi direcția vectorului . Această tehnică se numește regulă cu șurub drept sau regulă cu bară (Vezi poza).

Momentul forței, momentul unghiular etc. sunt exprimate în termeni de produs vectorial.Când vorbim despre un vector, ne referim întotdeauna la componentele acestuia. Un vector, spre deosebire de un scalar, este definit de trei numere. Prin urmare, operațiuni precum adunarea, scăderea, produsele scalare și vectoriale sunt reduse la operații familiare cu componente.

7. Regula paralelogramului pentru particule elementare și pentru diferite tipuri de forță

Lumea din jurul nostru este țesută din Forțe, deoarece Forța este Eter, iar Eterul este peste tot în Univers. Forța este ceva care se străduiește să miște ceva.

Una dintre diferențele dintre mecanica corpurilor și mecanica particulelor elementare stabile este că particulele stabile sub influența Forțelor se pot mișca doar. Ele nu pot fi deformate și distruse dintr-un motiv evident - sunt indivizibile. În timp ce un corp (sau chiar o particulă instabilă - un conglomerat), atunci când o Forță (sau Forțe) acționează asupra lui, se poate mișca, deforma și prăbuși.

În mecanica corpurilor (în mecanica clasică) există o metodă minunată care ajută la aflarea în ce direcție va tinde un corp să se miște sub influența tuturor Forțelor care acționează asupra lui. Și, de asemenea, calculați mărimea forței rezultante. Această metodă este bine cunoscută ca Regula paralelogramului de forțe.

A deschis-o Galileo Galilei, A definiție precisă a dat această regulă Pierre Varignon în 1687.

Regula paralelogramului de forțe este că vectorul forței rezultante este diagonala unui paralelogram construit pe vectorii a doi termeni ai forțelor ca pe laturi.

Această regulă este surprinzător de bună pentru a ajuta la calcularea cu precizie a direcției în care un corp se va mișca (sau tinde să se miște) dacă mai mult de o Forță acționează asupra lui. Și în lumea noastră, orice corp este întotdeauna influențat simultan de un număr mare de forțe externe(deoarece orice particulă din compoziția oricărui element chimic este o sursă de putere).

În plus, această regulă de paralelogram este perfectă pentru particulele elementare. Folosind-o, putem afla exact în ce direcție o particulă elementară se va deplasa în fiecare moment de timp dacă două sau mai multe Forțe acționează asupra ei simultan. De asemenea, vom afla relația dintre mărimile Forțelor – cele inițiale și cele rezultante. Mai mult, tipul fiecăreia dintre Forțe poate fi oricare. Diagonala Paralelogramului este un indicator al direcției, precum și un indicator al mărimii forței rezultate. Cu toate acestea, vă rugăm să rețineți detaliu important– ar trebui construit un nou Paralelogram de Forțe pentru fiecare momentul următor mișcarea particulelor.

Să aruncăm o privire mai atentă la esența regulii paralelogramului. Și în timpul acestei analize îi vom da un nume ușor diferit - Regula de supunere la puterea dominantă. Acest lucru ne va permite să înțelegem mai bine comportamentul particulelor elementare (și al oricăror conglomerate de particule), deoarece regula paralelogramului în forma în care există acum nu dezvăluie pe deplin sensul a ceea ce se întâmplă cu o particulă atunci când este afectată de mai multe. decât o singură Forță. De exemplu, nu spune nimic despre existența diferitelor tipuri de Forțe.

Forța dominantă este Forța care este cea mai mare ca magnitudine. După cum am spus mai devreme, mărimea Forței este viteza fluxului eteric care antrenează particula. Mai mult, rolul unui flux eteric poate fi pur și simplu eterul care umple particula (ca în cazul Forței de Presiune a suprafeței unei particule).

Regula de supunere la forța dominantă (regula paralelogramului) se rezumă la faptul că o particulă care este afectată de mai multe forțe se va supune celei mai mari dintre ele în cea mai mare măsură. Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că vectorul rezultantei tuturor Forțelor în fiecare moment de timp va fi mai deplasat către vectorul Forței, cel mai mare ca mărime. Adică domină cea mai mare Forță, dar și celelalte Forțe își exercită influența asupra poziției vectorului Forței rezultante. Denumirea regulii poate fi clarificată în continuare – Supunerea la Forța Dominantă, ținând cont de acțiunile celorlalte Forțe.

Forța dominantă deplasează vectorul forței rezultante mai mult decât altele în direcția sa. Și alte Forțe mai mici nu permit acestui vector să se supună complet acestei forțe cele mai mari. Ei, proporțional cu dimensiunea lor, trag vectorul în direcția lor.

În general, atunci când se analizează orice situație în care o particulă elementară este influențată de mai mult de o Forță, este necesar să se țină cont de o serie de factori. in primul rand , trebuie să aflați câte Forțe acționează asupra unei particule și magnitudinea fiecăreia dintre ele. În al doilea rând, trebuie să aflați în ce unghi se află vectorii Forță unul față de celălalt.Și în al treilea rând, este necesar să se ţină cont de tipul fiecărei Forţe. Numai prin evaluarea tuturor acestor factori putem încerca să calculăm care va fi direcția și viteza particulei în fiecare moment de timp. Să aruncăm o privire mai atentă la acești factori.

1) Mărimea și numărul total de forțe care acționează asupra unei particule ar trebui evaluate în fiecare caz specific.

În cazul în care numărul de Forțe care acționează asupra unei particule depășește două, se procedează la fel ca și în cazul corpurilor. Construim un paralelogram pentru două forțe. Apoi construim următorul paralelogram folosind vectorul rezultat al rezultantei și următorul dintre forțe. Și tot așa până când toate Forțele sunt luate în considerare.

2) Unghiul dintre vectorii Forțelor care acționează asupra unei particule este foarte important în determinarea mărimii și direcției Forței rezultante.

A) Unghiul dintre vectorii forță de la 0? pana la 90?.

În acest caz, are loc un fel de însumare a Forțelor care acționează asupra particulei. Desigur, forța rezultată nu va fi exact egală cu suma ambelor forțe care acționează asupra particulei. Dar, în orice caz, se va dovedi a fi mai mare decât oricare dintre cele două Forțe, din vectorii cărora construim un paralelogram. Puteți vedea acest lucru după dimensiunea diagonalei paralelogramului. Și cu cât unghiul este mai ascuțit, cu atât magnitudinea forței rezultante este mai mare.

Cazul extrem al unui unghi ascuțit este 0?, adică fără unghi. Vectorii Forță sunt pe aceeași linie dreaptă și direcția lor coincide. ÎN în acest caz, Este imposibil să construiți un paralelogram. În schimb, există o linie dreaptă, pe ea graficăm două segmente, fiecare dintre ele egal cu valoarea uneia dintre Forțele care acționează. La 0? există o însumare completă a vectorilor Forță.

B) Unghiul dintre vectorii Forță este mai mare de 90?.

În acest caz, dacă puteți vedea din imagine, există un fel de scădere a Forțelor. Forța rezultată se dovedește întotdeauna a fi mai mare decât cea mai mică dintre cele două Forțe și mai mică decât cea mai mare. Acest lucru este confirmat de dimensiunea diagonalei. Și cu cât unghiul este mai mare, cu atât magnitudinea forței rezultante este mai mică.

Cazul extrem al unui unghi obtuz este un unghi de 180?. Vectorii Forță se află pe aceeași linie dreaptă. Totuși, spre deosebire de unghiul egal cu 0?, vectorii sunt în direcții opuse. În acest caz extrem, forța vectorului mai mic este pur și simplu scăzută din vectorul forței mai mari. Diferența rezultată corespunde exact mărimii forței rezultante.

În orice caz, pentru orice unghi, vectorul forței rezultante este întotdeauna deplasat într-o măsură mai mare spre vectorul celei mai mari dintre cele două forțe. Adică, o Forță mai mare face ca particula să se miște mai mult în direcția sa.

3) Și, în sfârșit, oferim informații despre Cât de mult depinde regula paralelogramului de tipul de forțe care acționează asupra particulei.

A) Chiar dacă sursele tuturor tipurilor de Forță sunt diferite, influența lor asupra unei particule poate fi comparată, deoarece oricare dintre Forțe tinde să pună particula în mișcare. Și, prin urmare, chiar dacă particulele sunt acționate de Forțe tipuri diferite, puteți construi un Paralelogram de Forțe pe vectori, iar diagonala acestuia va indica direcția în care se va mișca particula.

Mărimea vectorului Forță este mai mare, cu atât este mai mare Forța. Și Forța este mai mare, cu atât este mai mare viteza cu care particula s-ar mișca într-o direcție dată dacă o altă Forță (sau alte Forțe) nu ar acționa asupra ei.

Lungimea vectorului forței rezultante (rezultate) - diagonala - corespunde vitezei cu care particula se va deplasa sub influența ambelor forțe aplicate acesteia.

B) Am stabilit mai devreme că există doar patru tipuri principale de Forță. Când Galileo a dedus Regula Paralelogramului, este evident că a făcut acest lucru în raport cu acele Forțe cu care unele corpuri le apasă pe altele sau le trage, obligându-le să se miște în acest fel. Acest tip de forță este numit în această carte Forța presiunii la suprafața particulelor. Am auzit puțin despre folosirea regulii paralelogramului și pentru forța de atracție. Mai mult, această limitare se aplică Forței de repulsie și Forței de inerție, dintre care prima aproape nu este recunoscută de știință, iar a doua nu îi este deloc cunoscută.

Dar într-un fel sau altul, această regulă este universală și poate fi folosită pentru oricare dintre cele patru tipuri de forță - suprafața particulelor, atracție, repulsie și inerție. Cu toate acestea, în forma sa neschimbată, poate fi aplicată numai Forței de Presiune pe suprafața unei particule, adică pentru același caz descris de Galileo pentru corpuri.

Două corpuri acționează asupra corpului din ambele părți - fie îl apasă, fie îl trage. În cazul nostru, două particule vor apăsa pe particulă (nu pot trage mecanic particula).

O particulă individuală, liberă, nu va exercita niciodată presiune pe termen lung asupra unei alte particule, cu excepția cazului în care este acționată de Forța de Atractie din partea acestei particule. Sau dacă particulele fac parte din corpuri, iar corpurile, strângându-se unele pe altele, pun presiune pe orice particulă dintre ele. Prin urmare, în cazul nostru vorbim despre presiunea simultană asupra unei particule a două particule ca urmare a ciocnirii lor cu aceasta. După ce alte două particule se ciocnesc cu o particulă, aceasta începe să se miște prin inerție exact în conformitate cu regula paralelogramului. Diagonala (vectorul forței rezultante) arată direcția în care se va mișca particula. Cât timp va dura mișcarea inerțială depinde de viteza cu care particulele se mișcau în momentul impactului cu ea, de unghiul dintre vectorii Forță și, de asemenea, de calitatea particulei în sine.

ÎN) Singura dificultate pe care o vom întâlni atunci când construim un Paralelogram de Forțe este legată de Forțele de Atracție și Repulsie. Aici despre care vorbim Nu este vorba chiar mai mult despre complexitate, ci despre neobișnuit. Sursele Forțelor de Atracție sau Repulsive sunt situate la o anumită distanță de particule. Cu toate acestea, efectul acestor Forțe este resimțit direct de particule. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece interacțiunea gravitațională sau antigravitațională se propagă instantaneu. Această distribuție instantanee se explică prin faptul că „pânza” eterică este un fel de monolit care umple uniform întregul Univers. Și apariția oricărui exces sau deficiență de Eter în această pânză se simte imediat la orice distanță.

În acest caz, când tipurile de Forță care acționează asupra particulei sunt diferite, vectorul Forță trebuie să indice direcția în care Forța tinde să deplaseze particula. Deci, de exemplu, dacă Forța de Atracție acționează asupra unei particule, atunci vectorul va fi îndreptat către obiect, sursa acestei Forțe, și nu departe de acesta. Dar în cazul Forței de repulsie, contrariul este adevărat. Vectorul va fi direcționat de la sursa acestei Forțe.

În ceea ce privește forța de presiune pe suprafața unei particule, totul aici este la fel ca în mecanica corpurilor. În acest caz, sursa Forței este în contact direct cu particula - se ciocnește cu ea. Și vectorul acestei Forțe este îndreptat în aceeași direcție cu vectorul de mișcare al particulei a cărei suprafață exercită presiune.

Și, în sfârșit, ultima dintre Forțe este Inerția. Putem vorbi despre prezența acestei Forțe doar dacă particula se mișcă inerțial. Dacă particula nu se mișcă prin inerție, atunci nu există forță inerțială. Vectorul forței de inerție coincide întotdeauna cu vectorul de mișcare al particulei la un moment dat. Sursa forței de inerție este eterul emis de emisfera posterioară a particulei.

G) Nu se va întâmpla niciodată ca ambele Forțe care acționează asupra unei particule să fie inerțiale, deoarece o particulă se poate mișca prin inerție la un moment dat doar într-o direcție.

D) Dacă una sau ambele Forțe care acționează asupra unei particule sunt de tipul Atracție sau Repulsie, particula se va deplasa de-a lungul unei parabole, treptat deplasându-se sub influența celei mai mari dintre Forțe.

Dacă una dintre Forțele care acționează asupra unei particule este de tipul Atracție sau Repulsie, iar a doua este Forța de Inerție, atunci traiectoria particulei este de asemenea parabolică.

E) Nu se întâmplă niciodată ca o particulă să fie acționată simultan asupra forței de atracție și a forței de repulsie și, în același timp, vectorii lor se află pe aceeași linie dreaptă și sunt direcționați opus. Acest lucru se explică prin faptul că Forța de atracție și Forța de repulsie sunt forțe antipodale. Vectorul Forței de Atractie este îndreptat către sursa Forței. Iar vectorul Forței de Repulsie este de la el. Prin urmare, dacă sursele Forțelor de Atracție și Repulsie sunt situate de-a lungul laturi diferite dintr-o particulă, vectorii Forțelor lor vor fi însumați. Dacă sursele de Forțe sunt situate pe o parte a particulei, atunci particula va simți doar una dintre Forțe - fie Atracție, fie Repulsie. Și totul pentru că Câmpurile de atracție și Câmpurile de repulsie ecranează și influențează amploarea reciprocă.

Dar, în orice caz, puteți aplica regula paralelogramului oricărei particule și o puteți utiliza pentru a determina direcția și mărimea vectorului forță rezultat. În conformitate cu mărimea și direcția acestui vector, particula se va mișca la un moment dat în timp.

Tot ceea ce tocmai s-a spus cu privire la Regula Paralelogramului pentru particule poate fi folosit pe deplin pentru corpuri.

Din cartea Magia în teorie și practică de Crowley Aleister

Capitolul XXI. DESPRE MAGIA NEGRA; DESPRE PRINCIPALELE TIPURI DE OPERAȚII DE ARTĂ MAGICĂ; ȘI DESPRE PUTEREA SPHINXULUI? Așa cum sa spus deja la începutul primului capitol, Singurul și Supremul Ritual este realizarea Cunoașterii și Conversației cu Îngerul Păzitor Sacru. „Aceasta este o decolare verticală directă

Din cartea Termodinamica autoarea Danina Tatyana

02. Temperatura particulelor elementare În fizică, conceptul de „temperatură” se referă la materie (corp, mediu - acestea sunt sinonime) în ansamblu. De fapt, „temperatura” caracterizează, în primul rând, individul particule elementare, precum și complexe de particule elementare -

Din cartea Biologie (inclusiv prana-eating) autoarea Danina Tatyana

13. Distribuția în materie a componentei a 2-a a căldurii - particule elementare Deci, nu toate element chimicîn timpul procesului de încălzire, acesta dobândește un Câmp de repulsie (cu excepția acelor elemente care aveau deja un Câmp de repulsie). Și, în consecință, nu toate încălzite

Din cartea Ethereal Mechanics autoarea Danina Tatyana

07. Elementele chimice din ADN-ul nucleelor celulare sunt purtători de particule din planul astral.Un element chimic este un conglomerat de particule de diferite calități. În funcție de ce element chimic este inclus în corpul unui reprezentant al cărui regat, acesta are unul sau altul

Din cartea Legi și concepte oculte de bază autoarea Danina Tatyana

8. Procese mecanice iar fenomenele dezvăluie proprietăți mecanice particule elementare Un proces mecanic și un fenomen mecanic sunt cazuri speciale ale unui proces fizic și unui fenomen fizic Un proces este un eveniment care are loc în timp și un fenomen

Din cartea Chiromanție și numerologie. Cunoștințe secrete autoarea Nadejdina Vera

26. Inerția particulelor în condiții reale Caracteristicile de bază ale mișcării inerțiale a particulelor elementare despre care am discutat puțin mai devreme, fără nicio condiție suplimentară, sunt aplicabile doar în condiții ideale. Da, doar in conditii ideale traiectoria

Din cartea Sensul ascuns al vieții. Volumul 3 autor Livraga Jorge Angel

28. Informații generale despre ciocnirea particulelor Să analizăm de ce există în general un astfel de fenomen mecanic precum „coliziunea” particulelor elementare. În primul rând, să aflăm ceea ce vom numi „coliziune”. O coliziune este momentul contactului a două particule, deși

Din cartea autorului

30. Ciocnirea particulelor libere care se mișcă prin inerție Acum să luăm în considerare cazul unei coliziuni de particule libere, ambele fiind în proces de mișcare inerțială înainte de momentul contactului.Ce se va întâmpla cu fiecare dintre particule după ce s-au ciocnit? Foarte

Din cartea autorului

09. Structura și calitatea particulelor elementare (Suflete). Yin și Yang Dintre toate sinonimele enumerate anterior ale termenului ocult „Suflet”, conceptul de „particulă elementară” ar trebui considerat cel mai științific. În spațiu, odată ca niciodată, cu foarte, foarte mult timp în urmă, au apărut particulele elementare. și există

Din cartea autorului

11. Câmpurile de atracție și repulsie - o manifestare externă a calității particulelor elementare Dacă eterul din particule ar fi fost doar distrus și nu a apărut, atunci din spațiul înconjurător ar veni exact atât de mult cât ar trebui să fie distrus. În mod similar,

Din cartea autorului

15. Cele șapte planuri sunt colecții de particule elementare În literatura ezoterică, în special în cărțile lui E. Blavatsky și A. Bailey, un astfel de concept precum „Avioane” este adesea menționat. Ce este, ce sunt ele și câte sunt în total Planul este întreaga colecție de Suflete

Din cartea autorului

16. Șapte Raze, Șapte Frați, Șapte Sephiroth, Șapte Rishi, Șapte Fii, Șapte Spirite, Șapte Principii - toate acestea sunt șapte tipuri de Suflete (particule elementare) Șapte Raze, Șapte Frați, Șapte Sephiroth, Șapte Rishi, Șapte Fii, Șapte Spirite, șapte principii... Această listă este și mai lungă, iar în viitor noi

Din cartea autorului

19. Clasificarea particulelor după „elemente” („elemente”) „Filozofii greci antici credeau că Pământul a fost construit din doar câteva „elemente primare”. Empedocle din Acraganthus, care a trăit în jurul anului 430 î.Hr., a identificat patru astfel de elemente: pământ, aer, apă și

Din cartea autorului

31. Eterul este motivul durității particulelor elementare.Particulele elementare însele, lipsite de calitate - adică nu absorb și nu creează Eter - sunt „efemere” unele în raport cu altele - ca și cum nu ar exista unele pentru altele Asta înseamnă că totul este particule elementare

Din cartea autorului

Secretele numerelor elementare Numărul „0” „O” reprezintă infinitul, existența nesfârșită fără margini, cauza principală a tuturor lucrurilor, Brahmanda sau oul Universului, sistem solar in intregimea sa. Astfel, zero definește universalitatea, cosmopolitismul. El

Din cartea autorului

X. A. Livraga. DESPRE tipuri variate oameni Jorge A. Livraga: M-ai întrebat despre diferite tipuri de oameni, despre natura lor interioară. După cum știi, ceea ce numim o persoană nu este nici începutul, nici sfârșitul, ci doar un moment în evoluția Monadei (Zonei) , care vine din adâncuri

Modul în care se produce adunarea vectorială nu este întotdeauna clar pentru elevi. Copiii habar nu au ce se ascunde în spatele lor. Trebuie doar să vă amintiți regulile și să nu vă gândiți la esență. Prin urmare, tocmai principiile adunării și scăderii cantităților vectoriale necesită multe cunoștințe.

Adăugarea a doi sau mai mulți vectori rezultă întotdeauna în încă unul. Mai mult, va fi mereu la fel, indiferent de modul în care se găsește.

Cel mai adesea în curs şcolar geometria are în vedere adunarea a doi vectori. Se poate realiza după regula triunghiului sau paralelogramului. Aceste desene arată diferit, dar rezultatul acțiunii este același.

Cum are loc adunarea folosind regula triunghiului?

Este folosit când vectorii sunt necoliniari. Adică nu se află pe aceeași linie dreaptă sau pe cele paralele.

În acest caz, primul vector trebuie trasat dintr-un punct arbitrar. De la capătul său este necesar să se tragă paralel și egal cu al doilea. Rezultatul va fi un vector care începe de la începutul primului și se termină la sfârșitul celui de-al doilea. Modelul seamănă cu un triunghi. De aici și numele regulii.

Dacă vectorii sunt coliniari, atunci se poate aplica și această regulă. Doar desenul va fi amplasat de-a lungul unei linii.

Cum se realizează adunarea folosind regula paralelogramului?

Încă o dată? se aplică numai vectorilor necoliniari. Construcția se realizează după un principiu diferit. Deși începutul este același. Trebuie să lăsăm deoparte primul vector. Și de la începutul său - al doilea. Pe baza acestora, completați paralelogramul și trasați o diagonală de la începutul ambilor vectori. Acesta va fi rezultatul. Acesta este modul în care se realizează adunarea vectorială conform regulii paralelogramului.

Până acum au fost două. Dar dacă sunt 3 sau 10? Utilizați următoarea tehnică.

Cum și când se aplică regula poligonului?

Dacă trebuie să efectuați adăugarea de vectori, al căror număr este mai mare de doi, nu vă fie teamă. Este suficient să le puneți pe toate deoparte secvențial și să conectați începutul lanțului cu sfârșitul său. Acest vector va fi suma necesară.

Ce proprietăți sunt valabile pentru operațiile cu vectori?

Despre vectorul zero. Care afirmă că atunci când se adaugă la acesta, se obține originalul.

Despre vectorul opus. Adică despre unul care are direcția opusă și mărimea egală. Suma lor va fi zero.

Despre comutativitatea adunării. Ce s-a cunoscut de atunci școală primară. Schimbarea pozițiilor termenilor nu modifică rezultatul. Cu alte cuvinte, nu contează ce vector să amâni primul. Răspunsul va fi în continuare corect și unic.

Despre asociativitatea adunării. Această lege vă permite să adăugați orice vector dintr-un triplu în perechi și să adăugați o treime la ei. Dacă scrieți asta folosind simboluri, obțineți următoarele:

primul + (al doilea + al treilea) = al doilea + (primul + al treilea) = al treilea + (primul + al doilea).

Ce se știe despre diferența vectorială?

Nu există o operație separată de scădere. Acest lucru se datorează faptului că este în esență adăugare. Numai celui de-al doilea dintre ei i se dă direcția opusă. Și apoi totul se face ca și cum s-ar lua în considerare adăugarea vectorilor. Prin urmare, practic nu se vorbește despre diferența lor.

Pentru a simplifica lucrul cu scăderea lor, se modifică regula triunghiului. Acum (la scăderea) al doilea vector trebuie pus deoparte de la începutul primului. Răspunsul va fi cel care leagă punctul final al minuendului cu același ca și subtraend. Deși îl puteți amâna așa cum este descris mai devreme, pur și simplu schimbând direcția celui de-al doilea.

Cum să găsiți suma și diferența vectorilor în coordonate?

Problema oferă coordonatele vectorilor și necesită aflarea valorilor acestora pentru rezultatul final. În acest caz, nu este nevoie să efectuați construcții. Adică, puteți folosi formule simple care descriu regula pentru adăugarea vectorilor. Arata asa:

a (x, y, z) + b (k, l, m) = c (x + k, y + l, z + m);

a (x, y, z) -b (k, l, m) = c (x-k, y-l, z-m).

Este ușor de observat că coordonatele trebuie pur și simplu adăugate sau scăzute în funcție de sarcina specifică.

Primul exemplu cu soluție

Condiție. Dat un dreptunghi ABCD. Laturile sale sunt egale cu 6 și 8 cm.Punctul de intersecție al diagonalelor este desemnat cu litera O. Este necesar să se calculeze diferența dintre vectorii AO și VO.

Soluţie. Mai întâi trebuie să desenați acești vectori. Ele sunt direcționate de la vârfurile dreptunghiului până la punctul de intersecție al diagonalelor.

Dacă te uiți cu atenție la desen, poți vedea că vectorii sunt deja combinați, astfel încât al doilea dintre ei să fie în contact cu sfârșitul primului. Doar că direcția lui este greșită. Ar trebui să înceapă din acest punct. Aceasta este dacă vectorii sunt adăugați, dar problema implică scăderea. Stop. Această acțiune înseamnă că trebuie să adăugați vectorul direcționat opus. Aceasta înseamnă că VO trebuie înlocuit cu OV. Și se dovedește că cei doi vectori au format deja o pereche de laturi din regula triunghiului. Prin urmare, rezultatul adunării lor, adică diferența dorită, este vectorul AB.

Și coincide cu latura dreptunghiului. Pentru a scrie răspunsul numeric, veți avea nevoie de următoarele. Desenați un dreptunghi pe lungime, astfel încât latura mai mare să fie orizontală. Începeți să numerotați vârfurile din stânga jos și mergeți în sens invers acelor de ceasornic. Atunci lungimea vectorului AB va fi de 8 cm.

Răspuns. Diferența dintre AO și VO este de 8 cm.

Al doilea exemplu și soluția sa detaliată

Condiție. Diagonalele rombului ABCD au 12 și 16 cm Punctul de intersecție a acestora este desemnat cu litera O. Calculați lungimea vectorului format din diferența dintre vectorii AO și BO.

Soluţie. Fie ca desemnarea vârfurilor rombului să fie aceeași ca în problema anterioară. Similar cu soluția din primul exemplu, se dovedește că diferența necesară este egală cu vectorul AB. Și lungimea lui este necunoscută. Rezolvarea problemei s-a rezumat la calcularea uneia dintre laturile rombului.

În acest scop, va trebui să luați în considerare triunghiul ABO. Este dreptunghiulară deoarece diagonalele unui romb se intersectează la un unghi de 90 de grade. Și picioarele sale sunt egale cu jumătate din diagonale. Adică 6 și 8 cm.Latura căutată în problemă coincide cu ipotenuza din acest triunghi.

Pentru a-l găsi veți avea nevoie de teorema lui Pitagora. Pătratul ipotenuzei va fi egal cu suma numerele 62 și 82. După pătrat, valorile obținute sunt: 36 și 64. Suma lor este 100. Rezultă că ipotenuza este egală cu 10 cm.

Răspuns. Diferența dintre vectorii AO și VO este de 10 cm.

Al treilea exemplu cu soluție detaliată

Condiție. Calculați diferența și suma a doi vectori. Coordonatele lor sunt cunoscute: prima are 1 și 2, a doua are 4 și 8.

Soluţie. Pentru a găsi suma, va trebui să adăugați prima și a doua coordonată în perechi. Rezultatul vor fi numerele 5 și 10. Răspunsul va fi un vector cu coordonate (5; 10).

Pentru diferență, trebuie să scazi coordonatele. După efectuarea acestei acțiuni se vor obține numerele -3 și -6. Acestea vor fi coordonatele vectorului dorit.

Răspuns. Suma vectorilor este (5; 10), diferența lor este (-3; -6).

Al patrulea exemplu

Condiție. Lungimea vectorului AB este de 6 cm, BC este de 8 cm. Al doilea este așezat de la capătul primului la un unghi de 90 de grade. Calculaţi: a) diferenţa dintre modulele vectorilor VA şi BC şi modulul diferenţei dintre VA şi BC; b) suma acelorași module și modulul sumei.

Rezolvare: a) Lungimile vectorilor sunt deja date în problemă. Prin urmare, calcularea diferenței lor nu este dificilă. 6 - 8 = -2. Situația cu modulul de diferență este ceva mai complicată. Mai întâi trebuie să aflați care vector va fi rezultatul scăderii. În acest scop, trebuie lăsat deoparte vectorul BA, care este îndreptat în direcția opusă AB. Apoi desenați vectorul BC de la capătul său, îndreptându-l în direcția opusă celei inițiale. Rezultatul scăderii este vectorul CA. Modulul său poate fi calculat folosind teorema lui Pitagora. Calculele simple duc la o valoare de 10 cm.

b) Suma modulelor vectorilor este egală cu 14 cm.Pentru găsirea celui de-al doilea răspuns va fi necesară o anumită transformare. Vectorul BA este îndreptat invers față de cel dat - AB. Ambii vectori sunt direcționați din același punct. În această situație, puteți folosi regula paralelogramului. Rezultatul adunării va fi o diagonală și nu doar un paralelogram, ci un dreptunghi. Diagonalele sale sunt egale, ceea ce înseamnă că modulul sumei este același ca în paragraful anterior.

Raspuns: a) -2 si 10 cm; b) 14 și 10 cm.

Vector care începe la un punct A (\displaystyle A)și se termină într-un punct B (\displaystyle B) de obicei notat ca . Vectorii pot fi de asemenea notați cu mic cu litere latine cu o săgeată (uneori o liniuță) deasupra lor, de exemplu. Un alt mod obișnuit de a scrie este de a evidenția simbolul vectorial cu caractere aldine: a (\displaystyle \mathbf (a) ).

Un vector în geometrie este în mod natural comparat cu translația (translația paralelă), ceea ce clarifică în mod evident originea numelui său (lat. vector, purtător). Deci, fiecare segment direcționat definește în mod unic un transfer paralel de plan sau spațiu: să zicem, un vector A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) determină în mod firesc traducerea la care punctul A (\displaystyle A) va merge la punct B (\displaystyle B), de asemenea invers, transfer paralel, în care A (\displaystyle A) intră în B (\displaystyle B), definește un singur segment direcționat A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB)))(singurul este dacă considerăm că toate segmentele direcționate din aceeași direcție sunt egale și - adică, le considerăm ca; într-adevăr, cu translație paralelă, toate punctele sunt deplasate în aceeași direcție cu aceeași distanță, deci în această înțelegere A 1 B 1 → = A 2 B 2 → = A 3 B 3 → = … (\displaystyle (\overrightarrow (A_(1)B_(1)))=(\overrightarrow (A_(2)B_(2)) )=(\overrightarrow (A_(3)B_(3)))=\dots )).

Interpretarea unui vector ca transfer ne permite să introducem o operație într-un mod natural și intuitiv evident - ca o alcătuire (aplicare secvențială) a două (sau mai multe) transferuri; același lucru este valabil și pentru operația de înmulțire a unui vector cu un număr.

Noțiuni de bază

Un vector este un segment direcționat construit din două puncte, dintre care unul este considerat început, iar celălalt sfârșit.

Coordonatele unui vector sunt definite ca diferența dintre coordonatele punctelor sale de început și de sfârșit. De exemplu, pe un plan de coordonate, dacă sunt date coordonatele de început și de sfârșit: T 1 = (x 1 , y 1) (\displaystyle T_(1)=(x_(1),y_(1)))Și T 2 = (x 2 , y 2) (\displaystyle T_(2)=(x_(2),y_(2))), atunci coordonatele vectoriale vor fi: V → = T 2 - T 1 = (x 2 , y 2) - (x 1 , y 1) = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1) (\displaystyle (\overrightarrow (V))=T_ (2)-T_(1)=(x_(2),y_(2))-(x_(1),y_(1))=(x_(2)-x_(1),y_(2)-y_ (1))).

Lungimea vectorului V → (\displaystyle (\overrightarrow (V))) este distanța dintre două puncte T 1 (\displaystyle T_(1))Și T 2 (\displaystyle T_(2)), este de obicei notat | V → | = | T 2 − T 1 | = | (x 2 − x 1 , y 2 − y 1) | = (x 2 − x 1) 2 + (y 2 − y 1) 2 (\displaystyle |(\overrightarrow (V))|=|T_(2)-T_(1)|=|(x_(2)- x_(1),y_(2)-y_(1))|=(\sqrt ((x_(2)-x_(1))^(2)+(y_(2)-y_(1))^( 2))))

Rolul zero între vectori este jucat de vectorul zero, al cărui început și sfârșit coincid T 1 = T 2 (\displaystyle T_(1)=T_(2)); lui, spre deosebire de alți vectori, nu i se atribuie nicio direcție.

Pentru reprezentarea în coordonate a vectorilor mare importanță are un concept proiecția vectorului pe axă(linie dreaptă direcțională, vezi figura). O proiecție este lungimea unui segment format din proiecțiile punctelor de început și de sfârșit ale unui vector pe o linie dată, iar proiecției i se atribuie un semn plus dacă direcția proiecției corespunde direcției axei, în caz contrar - un semn minus. Proiecția este egală cu lungimea vectorului original înmulțită cu cosinusul unghiului dintre vectorul original și axă; proiecția unui vector pe axa perpendiculară pe acesta este nulă.

Aplicații

Vectorii sunt folosiți pe scară largă în geometrie și științe aplicate, unde sunt folosiți pentru a reprezenta mărimi care au o direcție (forțe, viteze etc.). Utilizarea vectorilor simplifică o serie de operații - de exemplu, determinarea unghiurilor dintre linii drepte sau segmente, calcularea ariilor figurilor. În grafica computerizată, vectorii normali sunt utilizați pentru a crea iluminare corectă corpuri. Utilizarea vectorilor poate fi folosită ca bază pentru metoda coordonatelor.

Tipuri de vectori

Uneori, în loc să luăm în considerare un set de vectori toata lumea segmentele dirijate (considerând ca distincte toate segmentele dirijate ale căror începuturi și sfârșituri nu coincid), ele iau doar o anumită modificare a acestei mulțimi (mulțime de factori), adică unele segmente dirijate sunt considerate egale dacă au aceeași direcție și lungime, deși pot avea început (și sfârșit) diferit, adică segmentele direcționate de aceeași lungime și direcție sunt considerate a reprezenta același vector; Astfel, fiecare vector se dovedește a avea o întreagă clasă corespunzătoare de segmente direcționate, identice ca lungime și direcție, dar care diferă ca început (și sfârșit).

Da, ei vorbesc despre "gratuit", "alunecare"Și vectori „fixi”.. Aceste tipuri diferă prin conceptul de egalitate a doi vectori.

Când se vorbește despre vectori liberi, ei identifică orice vector care are aceeași direcție și lungime;
vorbind despre vectori de alunecare, ei adaugă că originile vectorilor de alunecare egali trebuie să coincidă sau să se afle pe aceeași linie dreaptă pe care se află segmentele direcționate reprezentând acești vectori (astfel încât unul să poată fi combinat cu o altă mișcare în direcția specificată de aceasta);
vorbind despre vectori fiși, ei spun că sunt considerați egali doar vectorii ale căror direcții și origini coincid (adică în acest caz nu există factorizare: nu există doi vectori fiși cu origini diferite care ar fi considerați egali).

Oficial:

Ei spun asta vectori liberi A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB)))și sunt egale dacă există puncte E (\displaystyle E)Și F (\displaystyle F) astfel încât patrulatere A B F E (\displaystyle ABFE)Și C D F E (\displaystyle CDFE)- paralelograme.

Ei spun asta vectori de alunecare A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB)))Și C D → (\displaystyle \ (\overrightarrow (CD))) sunt egale dacă

Vectorii de alunecare sunt folosiți în special în mecanică. Cel mai simplu exemplu vector de alunecare în mecanică - forța care acționează asupra solid. Deplasarea originii vectorului forță de-a lungul dreptei pe care se află nu modifică momentul forței în raport cu niciun punct; transferul acestuia pe o altă linie dreaptă, chiar dacă nu modificați mărimea și direcția vectorului, poate provoca o modificare a momentului său (chiar și aproape întotdeauna o va face): prin urmare, la calcularea momentului, forța nu poate fi considerată ca fiind liberă. vector, adică nu poate fi considerat aplicat unui punct arbitrar al unui corp rigid.

Ei spun asta vectori fix A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB)))Și C D → (\displaystyle \ (\overrightarrow (CD))) sunt egale dacă punctele coincid în perechi A (\displaystyle A)Și C (\displaystyle C), B (\displaystyle B)Și D (\displaystyle D).

Un vector într-un caz este un segment direcționat, iar în alte cazuri, diferiți vectori sunt clase de echivalență diferite de segmente direcționate, determinate de o relație de echivalență specifică. Mai mult decât atât, relația de echivalență poate fi diferită, determinând tipul de vector („liber”, „fix”, etc.). Pur și simplu, în cadrul unei clase de echivalență, toate segmentele direcționate incluse în ea sunt tratate ca fiind complet egale și fiecare poate reprezenta în mod egal întreaga clasă.

Toate operațiile pe vectori (adunarea, înmulțirea cu un număr, produsele scalare și vectoriale, calculul modulului sau lungimii, unghiul dintre vectori etc.) sunt, în principiu, definite identic pentru toate tipurile de vectori; diferența de tipuri se reduce în în această privință numai că pentru cele în mișcare și fixe se impune o restricție asupra posibilității de a efectua operații între doi vectori care au începuturi diferite (de exemplu, pentru doi vectori fiși, adăugarea este interzisă - sau nu are sens - dacă începuturile lor sunt diferit; cu toate acestea, pentru toate cazurile în care această operație este permisă - sau are sens - este aceeași ca pentru vectorii liberi). Prin urmare, adesea tipul de vector nu este deloc menționat explicit; se presupune că este evident din context. Mai mult, în funcție de contextul problemei, același vector poate fi considerat fix, alunecant sau liber; de exemplu, în mecanică, vectorii forțelor aplicate unui corp pot fi însumați indiferent de punctul de aplicare la găsirea rezultantei. (atât în statică, cât și în dinamică atunci când se studiază mișcarea centrului de masă, modificările de impuls etc.), dar nu pot fi adăugate între ele fără a lua în considerare punctele de aplicare la calcularea cuplului (și în statică și dinamică) .

Relații între vectori

Reprezentarea coordonate

Când se lucrează cu vectori, este adesea introdus un anumit sistem de coordonate carteziene și coordonatele vectorului sunt determinate în el, descompunându-l în vectori de bază. Extinderea bazei poate fi reprezentat geometric folosind proiecții vectoriale pe axele de coordonate. Dacă sunt cunoscute coordonatele începutului și sfârșitului vectorului, coordonatele vectorului însuși se obțin scăzând coordonatele începutului său din coordonatele sfârșitului vectorului.

A B → = (A B x , A B y , A B z) = (B x - A x , B y - A y , B z - A z) (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(AB_(x), AB_(y),AB_(z))=(B_(x)-A_(x),B_(y)-A_(y),B_(z)-A_(z)))

Vectorii unitar de coordonate, notați cu i → , j → , k → (\displaystyle (\vec (i)),(\vec (j)),(\vec (k))), corespunzătoare axelor x , y , z (\displaystyle x,y,z). Apoi vectorul a → (\displaystyle (\vec (a))) poate fi scris ca

a → = a x i → + a y j → + a z k → (\displaystyle (\vec (a))=a_(x)(\vec (i))+a_(y)(\vec (j))+a_(z) (\vec (k)))

Orice proprietate geometrică poate fi scrisă în coordonate, după care studiul din geometric devine algebric și este adesea simplificat. Opusul, în general, nu este în întregime adevărat: se obișnuiește să se spună că numai acele relații care sunt valabile în orice sistem de coordonate carteziene au o „interpretare geometrică” invariant).

Operații pe vectori

Modul vectorial

Modul vectorial A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) este un număr egal cu lungimea segmentului A B (\displaystyle AB). Notat ca | A B → | (\displaystyle |(\overrightarrow (AB))|). Prin coordonate se calculează astfel:

| a → | = a x 2 + a y 2 + a z 2 (\displaystyle |(\vec (a))|=(\sqrt (a_(x)^(2)+a_(y)^(2)+a_(z)^( 2))))

Adăugarea vectorului

În reprezentarea în coordonate, vectorul sumă se obține prin însumarea coordonatelor corespunzătoare ale termenilor:

a → + b → = (a x + b x , a y + b y , a z + b z) (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))=(a_(x)+b_(x),a_ (y)+b_(y),a_(z)+b_(z)))

Pentru a construi geometric vectorul sumă c → = a → + b → (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))+(\vec (b))) folosiți reguli (metode) diferite, dar toate dau același rezultat. Utilizarea uneia sau a alteia reguli este justificată de problema rezolvată.

Regula triunghiului

Regula triunghiului rezultă cel mai firesc din înțelegerea unui vector ca transfer. Este clar că rezultatul aplicării secvenţiale a două transferuri a → (\displaystyle (\vec (a)))și un anumit punct va fi același cu aplicarea unui transfer deodată a → + b → (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))), corespunzător acestei reguli. Pentru a adăuga doi vectori a → (\displaystyle (\vec (a)))Și b → (\displaystyle (\vec (b))) conform regulii triunghiului, ambii acești vectori sunt transferați paralel cu ei înșiși, astfel încât începutul unuia dintre ei coincide cu sfârșitul celuilalt. Apoi vectorul sumă este dat de a treia latură a triunghiului rezultat, iar începutul său coincide cu începutul primului vector, iar sfârșitul său cu sfârșitul celui de-al doilea vector.

Această regulă poate fi generalizată direct și natural la adăugarea oricărui număr de vectori, transformându-se în regula liniei întrerupte:

Regula poligonului

Începutul celui de-al doilea vector coincide cu sfârșitul primului, începutul celui de-al treilea cu sfârșitul celui de-al doilea și așa mai departe, suma n (\displaystyle n) vectors este un vector, începutul coincide cu începutul primului, iar sfârșitul coincide cu sfârșitul n (\displaystyle n)-th (adică reprezentat de un segment direcționat care închide polilinia). Denumită și regula liniei întrerupte.

Regula paralelogramului

Pentru a adăuga doi vectori a → (\displaystyle (\vec (a)))Și b → (\displaystyle (\vec (b))) Conform regulii paralelogramului, ambii acești vectori sunt transferați paralel cu ei înșiși, astfel încât originile lor să coincidă. Atunci vectorul sumă este dat de diagonala paralelogramului construit pe ele, pornind de la originea lor comună. (Este ușor de observat că această diagonală coincide cu a treia latură a triunghiului când se folosește regula triunghiului).

Regula paralelogramului este deosebit de convenabilă atunci când este nevoie de a descrie vectorul sumă ca fiind aplicat imediat în același punct la care sunt aplicați ambii termeni - adică de a descrie toți cei trei vectori ca având o origine comună.

Modulul sumei vectoriale

Modulul sumei a doi vectori poate fi calculat folosind teorema cosinusului:

| a → + b → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 + 2 | a → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) (\displaystyle |(\vec (a))+(\vec (b))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+|( \vec (b))|^(2)+2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec (a)),(\vec (b))) ), Unde a → (\displaystyle (\vec (a)))Și b → (\displaystyle (\vec (b))).

Dacă vectorii sunt reprezentați în conformitate cu regula triunghiului și unghiul este luat conform desenului - între laturile triunghiului - care nu coincide cu definiția obișnuită a unghiului dintre vectori și, prin urmare, cu unghiul din cele de mai sus formula, atunci ultimul termen capătă semnul minus, care corespunde teoremei cosinusului în formularea sa directă.

Pentru suma unui număr arbitrar de vectori se aplică o formulă similară, în care există mai mulți termeni cu cosinus: un astfel de termen există pentru fiecare pereche de vectori din mulțimea însumată. De exemplu, pentru trei vectori formula arată astfel:

| a → + b → + c → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 + | c → | 2 + 2 | a → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) + 2 | a → | | c → | cos ⁡ (a → , c →) + 2 | b → | | c → | cos ⁡ (b → , c →) . (\displaystyle |(\vec (a))+(\vec (b))+(\vec (c))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+|(\ vec (b))|^(2)+|(\vec (c))|^(2)+2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec) (a)),(\vec (b)))+2|(\vec (a))||(\vec (c))|\cos((\vec (a)),(\vec (c) ))+2|(\vec (b))||(\vec (c))|\cos((\vec (b)),(\vec (c))).)

Scădere vectorială

Doi vectori a → , b → (\displaystyle (\vec (a)),(\vec (b)))şi vectorul diferenţei lor

Pentru a obține diferența în formă de coordonate, trebuie să scădeți coordonatele corespunzătoare ale vectorilor:

a → - b → = (a x - b x , a y - b y , a z - b z) (\displaystyle (\vec (a))-(\vec (b))=(a_(x)-b_(x),a_ (y)-b_(y),a_(z)-b_(z)))

Pentru a obține vectorul diferențelor c → = a → - b → (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))-(\vec (b)))începuturile vectorilor sunt legate prin începutul vectorului c → (\displaystyle (\vec (c))) va fi un sfârșit b → (\displaystyle (\vec (b))) iar sfârșitul este sfârșitul a → (\displaystyle (\vec (a))). Dacă scriem folosind puncte vectoriale, atunci A C → − A B → = B C → (\displaystyle (\overrightarrow (AC))-(\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (BC))).

Modul de diferență vectorială

Trei vectori a → , b → , a → − b → (\displaystyle (\vec (a)),(\vec (b)),(\vec (a))-(\vec (b))), ca și în cazul adunării, formează un triunghi, iar expresia pentru modulul de diferență este similară:

| a → − b → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 − 2 | a → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) , (\displaystyle |(\vec (a))-(\vec (b))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+| (\vec (b))|^(2)-2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec (a)),(\vec (b)) ),)

Unde cos ⁡ (a → , b →) (\displaystyle \cos((\vec (a)),(\vec (b))))- cosinusul unghiului dintre vectori a → (\displaystyle (\vec (a)))Și b → . (\displaystyle (\vec (b)).)

Diferența față de formula pentru modulul sumei este în semnul din fața cosinusului; în acest caz, trebuie să monitorizați cu atenție ce unghi este luat (versiunea formulei pentru modulul sumei cu unghiul dintre laturile unui triunghi atunci când se însumează conform regulii triunghiului nu diferă ca formă de această formulă pentru modulul diferenței, dar trebuie să aveți Rețineți că aici sunt luate unghiuri diferite: în cazul unei sume, unghiul este luate când vectorul b → (\displaystyle (\vec (b))) este purtată până la capătul vectorului a → (\displaystyle (\vec (a))), când se caută modulul diferenței, se ia unghiul dintre vectorii aplicați unui punct; expresia pentru modulul sumei folosind același unghi ca în această expresie pentru modulul diferenței, diferă prin semnul din fața cosinusului).

Înmulțirea unui vector cu un număr

Înmulțirea vectorială a → (\displaystyle (\vec (a))) pe număr α > 0 (\displaystyle \alpha >0), dă un vector codirecțional cu o lungime de câteva ori mai mare.
Înmulțirea vectorială a → (\displaystyle (\vec (a))) pe număr α < 0 {\displaystyle \alpha <0} , dă un vector direcționat opus cu o lungime de α (\displaystyle \alpha) ori mai mult. Înmulțirea unui vector cu un număr sub formă de coordonate se face prin înmulțirea tuturor coordonatelor cu acest număr.