Ipoteză: credem că perfecţiunea formei piramidei se datorează legilor matematice inerente formei acesteia.

Ţintă: După ce ați studiat piramida ca corp geometric, explicați perfecțiunea formei sale.

Sarcini:

1. Dă definiție matematică piramidă.

2. Studiați piramida ca corp geometric.

3. Înțelegeți ce cunoștințe matematice au încorporat egiptenii în piramidele lor.

Întrebări private:

1. Ce este o piramidă ca corp geometric?

2. Cum poate fi explicată din punct de vedere matematic forma unică a piramidei?

3. Ce explică minunile geometrice ale piramidei?

4. Ce explică perfecțiunea formei piramidei?

Definiția piramidei.

PIRAMIDĂ (din greacă pyramis, gen. pyramidos) - un poliedru a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri având un vârf comun (desen). Pe baza numărului de colțuri ale bazei, piramidele sunt clasificate ca triunghiulare, patrulatere etc.

PIRAMIDĂ - o clădire monumentală cu formă geometrică piramide (uneori și trepte sau în formă de turn). Piramidele sunt numele dat mormintelor gigantice ale vechilor faraoni egipteni din mileniul III-II î.Hr. e., precum și vechile socluri ale templului american (în Mexic, Guatemala, Honduras, Peru), asociate cu cultele cosmologice.

Este posibil ca cuvântul grecesc „piramidă” să provină din expresia egipteană per-em-us, adică dintr-un termen care înseamnă înălțimea piramidei. Remarcabilul egiptolog rus V. Struve credea că grecescul „puram...j” provine din vechiul egiptean „p”-mr”.

Din istorie. După ce am studiat materialul din manualul „Geometrie” de către autorii lui Atanasyan. Butuzov și alții, am aflat că: Un poliedru compus dintr-un n-gon A1A2A3 ... Un și n triunghiuri PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 se numește piramidă. Poligonul A1A2A3 ... An este baza piramidei, iar triunghiurile PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 sunt fetele laterale piramide, P – vârful piramidei, segmente PA1, PA2,…, PAn – marginile laterale.

Cu toate acestea, această definiție a unei piramide nu a existat întotdeauna. De exemplu, matematician grec antic, autorul unor tratate teoretice de matematică care au ajuns până la noi, Euclid, definește o piramidă ca o figură corporală, limitat de avioane, care converg de la un plan la un punct.

Dar această definiție a fost criticată deja în vremuri străvechi. Deci Heron a propus următoarea definiție a unei piramide: „Este o figură delimitată de triunghiuri care converg într-un punct și a cărei bază este un poligon”.

Grupul nostru, comparând aceste definiții, a ajuns la concluzia că nu au o formulare clară a conceptului de „fundație”.

Am examinat aceste definiții și am găsit definiția lui Adrien Marie Legendre, care în 1794 în lucrarea sa „Elemente de geometrie” definește o piramidă astfel: „O piramidă este o figură solidă formată din triunghiuri care converg într-un punct și se termină pe diferite laturi ale o bază plată.”

Ni se pare că ultima definiție oferă o idee clară despre piramidă, deoarece aceasta despre care vorbim că baza este plată. O altă definiție a piramidei a apărut într-un manual din secolul al XIX-lea: „o piramidă este un unghi solid intersectat de un plan”.

Piramida ca corp geometric.

Acea. O piramidă este un poliedru, una dintre ale cărui fețe (bază) este un poligon, fețele rămase (laturile) sunt triunghiuri care au un vârf comun (vârful piramidei).

Se numește perpendiculara trasată din vârful piramidei pe planul bazei înălţimeh piramide.

Pe lângă piramida arbitrară, există piramida corecta la baza căruia se află un poligon regulat şi trunchi de piramidă.

În figură există o piramidă PABCD, ABCD este baza sa, PO este înălțimea sa.

Suprafata totala piramida este suma ariilor tuturor fețelor sale.

Sfull = Sside + Smain, Unde Latură– suma suprafețelor fețelor laterale.

Volumul piramidei se gaseste prin formula:

V=1/3Sbas. h, unde Sbas. - suprafata de baza, h- înălțime.

Axa unei piramide regulate este linia dreaptă care conține înălțimea acesteia.
Apotema ST este înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite.

Aria feței laterale a unei piramide regulate este exprimată astfel: Sside. =1/2P h, unde P este perimetrul bazei, h- inaltimea fetei laterale (apotema unei piramide regulate). Dacă piramida este intersectată de planul A’B’C’D’, paralel cu baza, atunci:

1) nervurile laterale și înălțimea sunt împărțite de acest plan în părți proporționale;

2) în secțiune transversală se obține un poligon A’B’C’D’, asemănător bazei;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Bazele unei piramide trunchiate– poligoane similare ABCD și A`B`C`D`, fețele laterale sunt trapeze.

Înălţime trunchi de piramidă - distanța dintre baze.

Volum trunchiat piramida se gaseste dupa formula:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Suprafața laterală a unei piramide trunchiate obișnuite se exprimă după cum urmează: Sside. = ½(P+P') h, unde P și P’ sunt perimetrele bazelor, h- înălțimea feței laterale (apotema unui piram trunchiat obișnuit

Secțiuni ale unei piramide.

Secțiunile unei piramide prin planuri care trec prin vârful ei sunt triunghiuri.

O secțiune care trece prin două margini laterale neadiacente ale unei piramide se numește secțiune diagonală.

Dacă secțiunea trece printr-un punct de pe marginea laterală și pe partea bazei, atunci urma sa până în planul bazei piramidei va fi această parte.

O secțiune care trece printr-un punct situat pe fața piramidei și o urmă de secțiune dată pe planul de bază, apoi construcția trebuie efectuată după cum urmează:

· găsiți punctul de intersecție al planului unei fețe date și urma secțiunii piramidei și desemnați-o;

· construiți o dreaptă care trece printr-un punct dat și punctul de intersecție rezultat;

· repetați acești pași pentru fețele următoare.

, care corespunde raportului catetelor unui triunghi dreptunghic 4:3. Acest raport al picioarelor corespunde binecunoscutului triunghi dreptunghic cu laturile 3:4:5, care se numește triunghiul „perfect”, „sacru” sau „egiptean”. Potrivit istoricilor, triunghiului „egiptean” i s-a dat un sens magic. Plutarh a scris că egiptenii comparau natura universului cu un triunghi „sacru”; au asemănat simbolic piciorul vertical cu soțul, baza cu soția și ipotenuza cu ceea ce se naște din ambele.

Pentru un triunghi 3:4:5, egalitatea este adevărată: 32 + 42 = 52, care exprimă teorema lui Pitagora. Nu a fost această teoremă pe care preoții egipteni au vrut să o perpetueze ridicând o piramidă bazată pe triunghiul 3:4:5? E greu să găsești mai multe bun exemplu pentru a ilustra teorema lui Pitagora, care era cunoscută egiptenilor cu mult înainte de descoperirea ei de către Pitagora.

Astfel, genialii creatori ai piramidelor egiptene au căutat să uimească descendenții îndepărtați cu profunzimea cunoștințelor lor și au reușit acest lucru alegând triunghiul dreptunghic „de aur” ca „idee geometrică principală” pentru piramida lui Keops și „sacru” sau „egiptean” pentru piramida Khafre.triunghi.

Foarte des în cercetările lor, oamenii de știință folosesc proprietățile piramidelor cu proporții ale raportului de aur.

Dicționarul enciclopedic matematic oferă următoarea definiție a Secțiunii de Aur - aceasta este o diviziune armonică, diviziune în rapoarte extreme și medii - împărțind segmentul AB în două părți, astfel încât partea sa mai mare AC este media proporțională între întregul segment. AB și partea sa mai mică NE.

Determinarea algebrică a secțiunii de aur a unui segment AB = a reduce la rezolvarea ecuației a: x = x: (a – x), din care x este aproximativ egal cu 0,62a. Raportul x poate fi exprimat ca fracții 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, unde 2, 3, 5, 8, 13, 21 sunt numere Fibonacci.

Construcția geometrică a Secțiunii de Aur a segmentului AB se realizează după cum urmează: în punctul B, se restabilește o perpendiculară pe AB, pe ea este așezat segmentul BE = 1/2 AB, A și E sunt conectate, DE = BE este concediat și, în final, AC = AD, apoi egalitatea AB este satisfăcută: CB = 2:3.

ratia de aur adesea folosit în opere de artă, arhitectură și găsit în natură. Exemple vii sunt sculptura lui Apollo Belvedere, Partenonul. În timpul construcției Partenonului s-a folosit raportul dintre înălțimea clădirii și lungimea acesteia și acest raport este de 0,618. Obiectele din jurul nostru oferă, de asemenea, exemple ale raportului de aur, de exemplu, legăturile multor cărți au un raport lățime-lungime apropiat de 0,618. Având în vedere dispunerea frunzelor pe tulpina comună a plantelor, puteți observa că între fiecare două perechi de frunze a treia este situată la Raportul de Aur (diapozitive). Fiecare dintre noi „poartă” Raportul de Aur cu noi „în mâinile noastre” - acesta este raportul dintre falangele degetelor.

Datorită descoperirii mai multor papirusuri matematice, egiptologii au aflat câte ceva despre sistemele egiptene antice de calcul și măsurare. Sarcinile cuprinse în ele erau rezolvate de către cărturari. Unul dintre cele mai faimoase este Papirusul matematic Rhind. Studiind aceste probleme, egiptologii au învățat cum s-au ocupat egiptenii antici cu diferitele cantități care apăreau la calcularea măsurilor de greutate, lungime și volum, care implicau adesea fracții, precum și modul în care gestionau unghiurile.

Vechii egipteni foloseau o metodă de calcul a unghiurilor bazată pe raportul dintre înălțimea și baza unui triunghi dreptunghic. Ei exprimau orice unghi în limbajul unui gradient. Gradientul pantei a fost exprimat ca un raport de număr întreg numit „seced”. În Mathematics in the Age of the Pharaohs, Richard Pillins explică: „Seked-ul unei piramide regulate este înclinarea oricăreia dintre cele patru fețe triunghiulare față de planul bazei, măsurată prin al n-lea număr de unități orizontale per unitate verticală de ridicare. . Astfel, această unitate de măsură este echivalentă cu cotangentei noastre moderne a unghiului de înclinare. Prin urmare, cuvântul egiptean „seced” este legat de al nostru cuvânt modern"gradient"".

Cheia numerică a piramidelor constă în raportul dintre înălțimea lor și bază. În termeni practici, acesta este cel mai simplu mod de a realiza șabloanele necesare pentru a verifica constant unghiul corect de înclinare pe tot parcursul construcției piramidei.

Egiptologii ar fi bucuroși să ne convingă că fiecare faraon dorește să-și exprime individualitatea, de unde și diferențele de unghiuri de înclinare pentru fiecare piramidă. Dar ar putea exista un alt motiv. Poate că toți au vrut să întruchipeze diferite asociații simbolice, ascunse în proporții diferite. Cu toate acestea, unghiul piramidei lui Khafre (bazat pe triunghi (3:4:5) apare în cele trei probleme prezentate de piramide din Papirusul matematic Rhind). Deci această atitudine era bine cunoscută vechilor egipteni.

Pentru a fi corect față de egiptologii care susțin că egiptenii antici nu cunoșteau triunghiul 3:4:5, lungimea ipotenuzei 5 nu a fost niciodată menționată. Dar problemele matematice care implică piramide sunt întotdeauna rezolvate pe baza unghiului seceda - raportul dintre înălțime și bază. Deoarece lungimea ipotenuzei nu a fost niciodată menționată, s-a ajuns la concluzia că egiptenii nu au calculat niciodată lungimea celei de-a treia laturi.

Raporturile înălțime-bază folosite în piramidele din Giza erau, fără îndoială, cunoscute egiptenilor antici. Este posibil ca aceste relații pentru fiecare piramidă să fi fost alese în mod arbitrar. Cu toate acestea, acest lucru contrazice importanța acordată simbolismului numerelor în toate tipurile de egiptean Arte vizuale. Este foarte probabil ca astfel de relații să fie semnificative, deoarece exprimau idei religioase specifice. Cu alte cuvinte, întregul complex Giza a fost subordonat unui design coerent menit să reflecte o anumită temă divină. Acest lucru ar explica de ce designerii au ales unghiuri diferite pentru cele trei piramide.

În Misterul lui Orion, Bauval și Gilbert au prezentat dovezi convingătoare care leagă piramidele din Giza cu constelația Orion, în special cu stelele centurii lui Orion.Aceeași constelație este prezentă în mitul lui Isis și Osiris și există motive pentru a vedea fiecare piramidă ca reprezentare a uneia dintre cele trei zeități principale - Osiris, Isis și Horus.

MIRACURI „GEOMETRICE”.

Printre grandioasele piramide ale Egiptului ocupă un loc aparte Marea Piramidă a faraonului Keops (Khufu). Înainte de a începe să analizăm forma și dimensiunea piramidei Keops, ar trebui să ne amintim ce sistem de măsuri au folosit egiptenii. Egiptenii aveau trei unități de lungime: un „cot” (466 mm), care era egal cu șapte „palme” (66,5 mm), care, la rândul lor, era egal cu patru „degete” (16,6 mm).

Să analizăm dimensiunile piramidei Keops (Fig. 2), urmând argumentele date în minunata carte a savantului ucrainean Nikolai Vasyutinsky „Proporția de aur” (1990).

Majoritatea cercetătorilor sunt de acord că lungimea laturii bazei piramidei, de exemplu, GF egal cu L= 233,16 m. Această valoare corespunde aproape exact la 500 de „coate”. Respectarea deplină a 500 de „coturi” va avea loc dacă lungimea „cotului” este considerată egală cu 0,4663 m.

Înălțimea piramidei ( H) este estimat de cercetători în mod variat de la 146,6 la 148,2 m. Și în funcție de înălțimea acceptată a piramidei, toate relațiile dintre elementele sale geometrice se schimbă. Care este motivul diferențelor de estimări ale înălțimii piramidei? Cert este că, strict vorbind, piramida lui Keops este trunchiată. Platforma sa superioară măsoară astăzi aproximativ 10 ´ 10 m, dar acum un secol avea 6 ´ 6 m. Evident, vârful piramidei a fost demontat și nu corespunde cu cel inițial.

Atunci când se evaluează înălțimea piramidei, este necesar să se țină cont de un astfel de factor fizic precum „proiectul” structurii. Pe o perioadă lungă de timp, sub influența presiunii colosale (atingând 500 de tone la 1 m2 de suprafață inferioară), înălțimea piramidei a scăzut față de înălțimea inițială.

Care a fost înălțimea inițială a piramidei? Această înălțime poate fi recreată prin găsirea „ideei geometrice” de bază a piramidei.

Figura 2.

În 1837, colonelul englez G. Wise a măsurat unghiul de înclinare al fețelor piramidei: s-a dovedit a fi egal A= 51°51". Această valoare este încă recunoscută de majoritatea cercetătorilor de astăzi. Valoarea unghiului specificată corespunde tangentei (tg A), egal cu 1,27306. Această valoare corespunde raportului dintre înălțimea piramidei AC la jumătatea bazei sale C.B.(Fig.2), adică A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

Și aici, cercetătorii au avut o mare surpriză!.png" width="25" height="24">= 1.272. Comparând această valoare cu valoarea tg A= 1,27306, vedem că aceste valori sunt foarte apropiate una de cealaltă. Dacă luăm unghiul A= 51°50”, adică reduceți-l cu doar un minut de arc, apoi valoarea A va deveni egal cu 1,272, adică va coincide cu valoarea. De remarcat că în 1840 G. Wise și-a repetat măsurătorile și a clarificat că valoarea unghiului A=51°50".

Aceste măsurători i-au condus pe cercetători la următoarea ipoteză foarte interesantă: triunghiul ACB al piramidei lui Keops s-a bazat pe relația AC / C.B. = = 1,272!

Luați în considerare acum triunghiul dreptunghic ABC, în care raportul picioarelor A.C. / C.B.= (Fig. 2). Dacă acum lungimile laturilor dreptunghiului ABC desemnat prin X, y, z, și, de asemenea, să ia în considerare faptul că raportul y/X= , apoi în conformitate cu teorema lui Pitagora, lungimea z poate fi calculat folosind formula:

Dacă acceptăm X = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Figura 3. Triunghi dreptunghic „de aur”.

Un triunghi dreptunghic în care laturile sunt legate ca t:de aur" triunghi dreptunghic.

Apoi, dacă luăm ca bază ipoteza că „ideea geometrică” principală a piramidei lui Cheops este un triunghi dreptunghic „de aur”, atunci de aici putem calcula cu ușurință înălțimea „proiectului” a piramidei lui Cheops. Este egal cu:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Să derivăm acum câteva alte relații pentru piramida lui Keops, care decurg din ipoteza „de aur”. În special, vom găsi raportul dintre zona exterioară a piramidei și zona bazei sale. Pentru a face acest lucru, luăm lungimea piciorului C.B. pe unitate, adică: C.B.= 1. Dar apoi lungimea laturii bazei piramidei GF= 2 și aria bazei EFGH va fi egal SEFGH = 4.

Să calculăm acum aria feței laterale a piramidei Keops SD. Pentru că înălțimea AB triunghi AEF egal cu t, atunci aria feței laterale va fi egală cu SD = t. Apoi, aria totală a tuturor celor patru fețe laterale ale piramidei va fi egală cu 4 t, iar raportul dintre suprafața totală exterioară a piramidei și zona bazei va fi egal cu raportul de aur! Asta e - principalul mister geometric al piramidei lui Keops!

Grupul de „miracole geometrice” din piramida lui Keops include proprietăți reale și exagerate ale relațiilor dintre diferitele dimensiuni din piramidă.

De regulă, ele sunt obținute în căutarea anumitor „constante”, în special, numărul „pi” (numărul lui Ludolfo), egal cu 3,14159...; baza logaritmilor naturali „e” (numărul Neperovo), egală cu 2,71828...; numărul „F”, numărul „secțiunii de aur”, egal cu, de exemplu, 0,618... etc.

Puteti numi, de exemplu: 1) Proprietatea lui Herodot: (Inaltime)2 = 0,5 art. de bază x Apothem; 2) Proprietatea lui V. Pret: Inaltime: 0,5 art. baza = rădăcina pătrată a lui „F”; 3) Proprietatea lui M. Eist: Perimetrul bazei: 2 Inaltime = "Pi"; într-o interpretare diferită - 2 linguri. de bază : Înălțime = „Pi”; 4) Proprietatea lui G. Muchia: Raza cercului înscris: 0,5 art. de bază = "F"; 5) Proprietatea lui K. Kleppisch: (Art. principal.)2: 2(Art. principal. x Apothem) = (Art. principal. W. Apothema) = 2(Art. principal. x Apothem) : ((2 art. principal. .baza X Apotema) + (art. baza)2). etc. Puteți veni cu multe astfel de proprietăți, mai ales dacă conectați două piramide adiacente. De exemplu, ca „Proprietățile lui A. Arefyev” se poate menționa că diferența dintre volumele piramidei lui Keops și piramidei lui Khafre este egală cu dublul volumului piramidei lui Mikerin...

Multe puncte interesante, în special despre construcția piramidelor conform „raportului de aur”, sunt expuse în cărțile lui D. Hambidge „Simetria dinamică în arhitectură” și M. Gick „Estetica proporției în natură și artă”. Să ne amintim că „raportul de aur” este împărțirea unui segment într-un astfel de raport încât partea A este de atâtea ori mai mare decât partea B, de câte ori A este mai mic decât întregul segment A + B. Raportul A/B este egal cu numărul „F” == 1.618. .. Utilizarea „raportului de aur” este indicată nu numai în piramidele individuale, ci și în întregul complex de piramide de la Giza.

Cel mai curios lucru, însă, este că una și aceeași piramidă a lui Cheops pur și simplu „nu poate” conține atât de multe proprietăți minunate. Luând o anumită proprietate una câte una, aceasta poate fi „montată”, dar toate nu se potrivesc deodată - nu coincid, se contrazic. Prin urmare, dacă, de exemplu, la verificarea tuturor proprietăților, luăm inițial aceeași parte a bazei piramidei (233 m), atunci înălțimile piramidelor cu proprietăți diferite vor fi și ele diferite. Cu alte cuvinte, există o anumită „familie” de piramide care sunt similare în exterior cu Keops, dar au proprietăți diferite. Rețineți că nu există nimic deosebit de miraculos în proprietățile „geometrice” - multe apar pur automat, din proprietățile figurii în sine. Un „miracol” ar trebui considerat doar ceva ce era în mod clar imposibil pentru egiptenii antici. Aceasta, în special, include miracole „cosmice”, în care măsurătorile piramidei Cheops sau ale complexului piramidal de la Giza sunt comparate cu unele măsurători astronomice și sunt indicate numere „pare”: de un milion de ori mai puțin, de un miliard de ori mai puțin și curând. Să luăm în considerare câteva relații „cosmice”.

Una dintre afirmații este: „dacă împărțiți latura bazei piramidei la lungimea exactă a anului, obțineți exact 10 milioane de parte din axa pământului”. Calculați: împărțiți 233 la 365, obținem 0,638. Raza Pământului este de 6378 km.

O altă afirmație este de fapt opusă celei anterioare. F. Noetling a subliniat că dacă folosim „cotul egiptean” inventat de el însuși, atunci partea piramidei va corespunde „cea mai precisă durată a anului solar, exprimată la cea mai apropiată miliardime dintr-o zi” - 365.540. 903.777.

Afirmația lui P. Smith: „Înălțimea piramidei este exact o miliardime din distanța de la Pământ la Soare”. Deși înălțimea luată de obicei este de 146,6 m, Smith a considerat-o ca 148,2 m. Conform măsurătorilor radar moderne semi-axa mare Orbita Pământului este de 149.597.870 + 1,6 km. Aceasta este distanța medie de la Pământ la Soare, dar la periheliu este cu 5.000.000 de kilometri mai mică decât la afeliu.

O ultima afirmatie interesanta:

„Cum putem explica că masele piramidelor lui Keops, Khafre și Mykerinus se relaționează între ele, ca și masele planetelor Pământ, Venus și Marte?” Să calculăm. Masele celor trei piramide sunt: ​​Khafre - 0,835; Keops - 1.000; Mikerin - 0,0915. Raporturile maselor celor trei planete: Venus - 0,815; Pământ - 1.000; Marte - 0,108.

Deci, în ciuda scepticismului, remarcăm armonia binecunoscută a construcției enunțurilor: 1) înălțimea piramidei, ca o linie „care merge în spațiu”, corespunde distanței de la Pământ la Soare; 2) partea bazei piramidei, cea mai apropiată „de substrat”, adică de Pământ, este responsabilă pentru raza pământului și circulația pământului; 3) volumele piramidei (citește - mase) corespund raportului dintre masele planetelor cele mai apropiate de Pământ. Un „cifr” similar poate fi urmărit, de exemplu, în limbajul albinelor analizat de Karl von Frisch. Cu toate acestea, ne vom abține de la a comenta această problemă pentru moment.

FORMA DE PIRAMIDĂ

Celebra formă tetraedrică a piramidelor nu a apărut imediat. Sciții au făcut înmormântări sub formă de dealuri de pământ - movile. Egiptenii au construit „dealuri” din piatră – piramide. Acest lucru s-a întâmplat pentru prima dată după unificarea Egiptului de Sus și de Jos, în secolul 28 î.Hr., când fondatorul celei de-a treia dinastii, faraonul Djoser (Zoser), s-a confruntat cu sarcina de a întări unitatea țării.

Și aici, potrivit istoricilor, „noul concept de îndumnezeire” al regelui a jucat un rol important în întărirea puterii centrale. Deși înmormântările regale se distingeau printr-o splendoare mai mare, ele, în principiu, nu diferă de mormintele nobililor de curte; erau aceleași structuri - mastabas. Deasupra camerei cu sarcofagul care conținea mumia a fost turnat un deal dreptunghiular de pietre mici, unde a fost apoi așezată o mică clădire din blocuri mari de piatră - o „mastaba” (în arabă - „bancă”). Faraonul Djoser a ridicat prima piramidă pe locul mastabei predecesorului său, Sanakht. A fost treptă și a fost o etapă vizibilă de tranziție de la o formă arhitecturală la alta, de la o mastaba la o piramidă.

În acest fel, înțeleptul și arhitectul Imhotep, care mai târziu a fost considerat un vrăjitor și identificat de greci cu zeul Asclepius, l-a „crescut” pe faraon. Parcă s-au ridicat șase mastaba la rând. Mai mult, prima piramidă a ocupat o suprafață de 1125 x 115 metri, cu o înălțime estimată de 66 de metri (conform standardelor egiptene - 1000 de „palmii”). La început, arhitectul a plănuit să construiască o mastaba, dar nu alungită, ci în plan pătrat. Ulterior a fost extins, dar din moment ce prelungirea a fost făcută mai jos, părea că sunt două trepte.

Această situație nu l-a mulțumit pe arhitect, iar pe platforma superioară a uriașei mastabe plate, Imhotep a mai așezat trei, scăzând treptat spre vârf. Mormântul era situat sub piramidă.

Mai multe piramide trepte sunt cunoscute, dar mai târziu constructorii au trecut la construirea de piramide tetraedrice care ne sunt mai familiare. De ce, totuși, nu triunghiular sau, să zicem, octogonal? Un răspuns indirect este dat de faptul că aproape toate piramidele sunt orientate perfect de-a lungul celor patru direcții cardinale și, prin urmare, au patru laturi. În plus, piramida era o „casă”, carcasa unei camere funerare pătraunghiulare.

Dar ce a determinat unghiul de înclinare al fețelor? În cartea „Principiul proporțiilor” un întreg capitol este dedicat acestui lucru: „Ce ar fi putut determina unghiurile de înclinare ale piramidelor”. În special, se indică faptul că „imaginea spre care gravitează marile piramide ale Vechiului Regat este un triunghi cu unghi drept la vârf.

În spațiu, este un semi-octaedru: o piramidă în care marginile și laturile bazei sunt egale, fețele sunt triunghiuri echilaterale„. Anumite considerații sunt date cu privire la acest subiect în cărțile lui Hambidge, Gick și alții.

Care este avantajul unghiului semi-octaedru? Conform descrierilor făcute de arheologi și istorici, unele piramide s-au prăbușit sub propria greutate. Ceea ce era necesar era un „unghi de durabilitate”, un unghi care era cel mai sigur din punct de vedere energetic. Pur empiric, acest unghi poate fi luat din unghiul vârfului într-o grămadă de nisip uscat care se prăbușește. Dar pentru a obține date exacte, trebuie să utilizați un model. Luând patru bile bine fixate, trebuie să plasați o a cincea pe ele și să măsurați unghiurile de înclinare. Cu toate acestea, puteți face o greșeală aici, așa că un calcul teoretic vă ajută: ar trebui să conectați centrele bilelor cu linii (mental). Baza va fi un pătrat cu latura egală cu dublul razei. Pătratul va fi doar baza piramidei, a cărei lungime a marginilor va fi, de asemenea, egală cu dublul razei.

Astfel, un pachet strâns de bile precum 1:4 ne va oferi un semi-octaedru obișnuit.

Cu toate acestea, de ce multe piramide, care gravitează spre o formă similară, nu o păstrează totuși? Piramidele probabil îmbătrânesc. Contrar celebrului zical:

„Totul în lume se teme de timp, iar timpul se teme de piramide”, clădirile piramidelor trebuie să îmbătrânească, nu numai procesele de intemperii externe pot și ar trebui să apară în ele, ci și procesele de „contracție” internă, care pot determină ca piramidele să devină mai joase. Contracția este posibilă și pentru că, așa cum a relevat lucrările lui D. Davidovits, egiptenii antici au folosit tehnologia de a face blocuri din așchii de var, cu alte cuvinte, din „beton”. Tocmai procese similare ar putea explica motivul distrugerii Piramidei Medum, situată la 50 km sud de Cairo. Are 4600 de ani, dimensiunile bazei sunt 146 x 146 m, inaltimea este de 118 m. „De ce este atât de desfigurat?” se întreabă V. Zamarovsky. „Referirile obișnuite la efectele distructive ale timpului și „folosirea pietrei pentru alte clădiri” nu sunt potrivite aici.

La urma urmei, majoritatea blocurilor și plăcilor sale de parament au rămas pe loc până în ziua de azi, în ruine la poalele sale." După cum vom vedea, o serie de prevederi ne fac chiar să credem că celebra piramidă a lui Keops, de asemenea, a "zărit". în orice caz, în toate imaginile antice, piramidele sunt ascuțite...

Forma piramidelor ar fi putut fi generată și prin imitație: niște mostre naturale, „perfecțiune miraculoasă”, să zicem, niște cristale sub formă de octaedru.

Cristale similare ar putea fi cristale de diamant și aur. Un număr mare de caracteristici „suprapuse” sunt tipice pentru concepte precum Faraon, Soare, Aur, Diamant. Peste tot - nobil, genial (strălucitor), grozav, impecabil și așa mai departe. Asemănările nu sunt întâmplătoare.

Cultul solar, după cum se știe, a fost parte importantă religiile Egiptului Antic. „Oricât vom traduce numele celei mai mari piramide”, notează unul dintre manualele moderne, „Cerul lui Khufu” sau „Cerul lui Khufu”, însemna că regele este soarele.” Dacă Khufu, în strălucirea puterii sale, și-a imaginat că este al doilea soare, atunci fiul său Djedef-Ra a devenit primul dintre regii egipteni care s-a numit „fiul lui Ra”, adică fiul Soarelui. Soarele a fost simbolizat printre aproape toate popoarele prin „metalul solar”, aurul. „Un disc mare de aur strălucitor” - așa numeau egiptenii lumina zilei noastre. Egiptenii cunoșteau perfect aurul, cunoșteau formele sale native, unde cristalele de aur pot apărea sub formă de octaedre.

„Piatra soarelui”—diamantul—este, de asemenea, interesantă aici ca „probă de forme”. Numele diamantului provine tocmai din lumea arabă, „almas” - cel mai dur, cel mai dur, indestructibil. Vechii egipteni cunoșteau destul de bine diamantul și proprietățile sale. Potrivit unor autori, au folosit chiar tuburi de bronz cu freze de diamant pentru găurire.

În prezent, principalul furnizor de diamante este Africa de Sud, dar și Africa de Vest este bogată în diamante. Teritoriul Republicii Mali este chiar numit „Țara diamantelor”. Între timp, pe teritoriul Mali locuiesc dogonii, alături de care susținătorii ipotezei paleo-vizitei pun multe speranțe (vezi mai jos). Diamantele nu ar fi putut fi motivul contactelor vechilor egipteni cu această regiune. Cu toate acestea, într-un fel sau altul, este posibil ca tocmai prin copierea octaedrelor de diamant și cristale de aur, egiptenii antici să-i îndumnezeeze pe faraoni, „indestructibili” ca diamantul și „străluciți” ca aurul, fiii Soarelui, comparabili doar la cele mai minunate creații ale naturii.

Concluzie:

După ce am studiat piramida ca corp geometric, făcând cunoștință cu elementele și proprietățile sale, ne-am convins de validitatea opiniei despre frumusețea formei piramidei.

În urma cercetărilor noastre, am ajuns la concluzia că egiptenii, după ce au adunat cele mai valoroase cunoștințe matematice, le-au întruchipat într-o piramidă. Prin urmare, piramida este cu adevărat cea mai perfectă creație a naturii și a omului.

BIBLIOGRAFIE

„Geometrie: manual. pentru clasele 7 – 9. educatie generala instituţii\ etc. - ed. a IX-a - M.: Educaţie, 1999

Istoria matematicii în școală, M: „Prosveshchenie”, 1982.

Geometrie clasele 10-11, M: „Iluminism”, 2000

Peter Tompkins „Secretele Marii Piramide a lui Keops”, M: „Tsentropoligraf”, 2005.

Resurse de internet

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Când rezolvă problema C2 folosind metoda coordonatelor, mulți elevi se confruntă cu aceeași problemă. Ei nu pot calcula coordonatele punctelor incluse în formulă produs punctual. Apar cele mai mari dificultăți piramide. Și dacă punctele de bază sunt considerate mai mult sau mai puțin normale, atunci vârfurile sunt un adevărat iad.

Astăzi vom lucra la o piramidă patruunghiulară obișnuită. Există, de asemenea, o piramidă triunghiulară (alias - tetraedru). E mai mult design complex, așa că îi va fi dedicată o lecție separată.

În primul rând, să ne amintim definiția:

O piramidă obișnuită este aceea care:

1. Baza este un poligon regulat: triunghi, pătrat etc.;
2. O altitudine trasă la bază trece prin centrul acesteia.

În special, baza piramida patruunghiulara este pătrat. La fel ca și Cheops, doar puțin mai mic.

Mai jos sunt calcule pentru o piramidă în care toate muchiile sunt egale cu 1. Dacă nu este cazul în problema dvs., calculele nu se schimbă - doar numerele vor fi diferite.

Vârfurile unei piramide patruunghiulare

Deci, să fie dată o piramidă patruunghiulară regulată SABCD, unde S este vârful și baza ABCD este un pătrat. Toate muchiile sunt egale cu 1. Trebuie să introduceți un sistem de coordonate și să găsiți coordonatele tuturor punctelor. Avem:

Introducem un sistem de coordonate cu originea in punctul A:

1. Axa OX este îndreptată paralel cu muchia AB;
2. Axa OY este paralelă cu AD. Deoarece ABCD este un pătrat, AB ⊥ AD;
3. În cele din urmă, direcționăm axa OZ în sus, perpendicular pe planul ABCD.

Acum calculăm coordonatele. Construcție suplimentară: SH - înălțimea trasă la bază. Pentru comoditate, vom plasa baza piramidei într-un desen separat. Deoarece punctele A, B, C și D se află în planul OXY, coordonatele lor este z = 0. Avem:

1. A = (0; 0; 0) - coincide cu originea;
2. B = (1; 0; 0) - pas cu 1 de-a lungul axei OX de la origine;
3. C = (1; 1; 0) - pas cu 1 de-a lungul axei OX și cu 1 de-a lungul axei OY;
4. D = (0; 1; 0) - pas numai de-a lungul axei OY.
5. H = (0,5; 0,5; 0) - centrul pătratului, mijlocul segmentului AC.

Rămâne de găsit coordonatele punctului S. Rețineți că coordonatele x și y ale punctelor S și H sunt aceleași, deoarece se află pe o dreaptă paralelă cu axa OZ. Rămâne de găsit coordonata z pentru punctul S.

Luați în considerare triunghiurile ASH și ABH:

1. AS = AB = 1 prin condiție;
2. Unghiul AHS = AHB = 90°, deoarece SH este înălțimea și AH ⊥ HB ca diagonalele pătratului;
3. Partea AH este comună.

Prin urmare, triunghiuri dreptunghiulare ASH și ABH egal câte un catet și câte o ipotenuză. Aceasta înseamnă SH = BH = 0,5 BD. Dar BD este diagonala unui pătrat cu latura 1. Prin urmare, avem:

Coordonatele totale ale punctului S:

În concluzie, notăm coordonatele tuturor vârfurilor unei piramide dreptunghiulare regulate:

Ce să faci când coastele sunt diferite

Ce se întâmplă dacă marginile laterale ale piramidei nu sunt egale cu marginile bazei? În acest caz, luați în considerare triunghiul AHS:

Triunghiul AHS - dreptunghiular, iar ipotenuza AS este, de asemenea, o margine laterală a piramidei originale SABCD. Piciorul AH este ușor de calculat: AH = 0,5 AC. Vom găsi piciorul rămas SH conform teoremei lui Pitagora. Aceasta va fi coordonata z pentru punctul S.

Sarcină. Având în vedere o piramidă patruunghiulară regulată SABCD, la baza căreia se află un pătrat cu latura 1. Latura laterală BS = 3. Aflați coordonatele punctului S.

Cunoaștem deja coordonatele x și y ale acestui punct: x = y = 0,5. Aceasta rezultă din două fapte:

1. Proiecția punctului S pe planul OXY este punctul H;
2. În același timp, punctul H este centrul unui pătrat ABCD, ale cărui laturi sunt egale cu 1.

Rămâne de găsit coordonatele punctului S. Luați în considerare triunghiul AHS. Este dreptunghiulară, cu ipotenuza AS = BS = 3, catetul AH fiind jumătate din diagonală. Pentru calcule suplimentare avem nevoie de lungimea sa:

Teorema lui Pitagora pentru triunghiul AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Avem:

Deci, coordonatele punctului S:

Elevii întâlnesc conceptul de piramidă cu mult înainte de a studia geometria. Vina este a celebrelor mari minuni egiptene ale lumii. Prin urmare, atunci când încep să studieze acest minunat poliedru, majoritatea studenților deja își imaginează clar. Toate atracțiile menționate mai sus au forma corectă. Ce s-a întâmplat piramida regulata, și ce proprietăți are vor fi discutate în continuare.

In contact cu

Definiție

Există destul de multe definiții ale unei piramide. Din cele mai vechi timpuri, a fost foarte popular.

De exemplu, Euclid a definit-o ca o figură corporală formată din planuri care, pornind de la unul, converg într-un anumit punct.

Heron a oferit o formulare mai precisă. El a insistat că aceasta era cifra care are o bază și plane sub formă de triunghiuri, convergând la un moment dat.

Bazându-se pe interpretare modernă, piramida este reprezentată ca un poliedru spațial format dintr-un anumit k-gon și k figuri triunghiulare plate care au un punct comun.

Să ne uităm la asta mai detaliat, din ce elemente constă:

• K-gonul este considerat baza figurii;
• Formele 3-gonale ies în afară pe măsură ce marginile părții laterale;
• partea superioară din care provin elementele laterale se numește vârf;
• toate segmentele care leagă un vârf se numesc muchii;
• dacă o linie dreaptă este coborâtă de la vârf la planul figurii la un unghi de 90 de grade, atunci partea ei este închisă în spațiul interior— înălțimea piramidei;
• în orice element lateral, o perpendiculară, numită apotema, poate fi trasă pe partea poliedrului nostru.

Numărul de muchii este calculat folosind formula 2*k, unde k este numărul de laturi ale k-gonului. Câte fețe are un poliedru, cum ar fi o piramidă, pot fi determinate folosind expresia k+1.

Important! O piramidă de formă regulată este o figură stereometrică al cărei plan de bază este un k-gon cu laturi egale.

Proprietăți de bază

Piramida corectă are multe proprietăți, care sunt unice pentru ea. Să le enumerăm:

1. Baza este o figură cu forma corectă.
2. Marginile piramidei care limitează elementele laterale au valori numerice egale.
3. Elementele laterale sunt triunghiuri isoscele.
4. Baza înălțimii figurii cade în centrul poligonului, în timp ce este simultan punctul central al înscrisului și al circumscrisului.
5. Toate nervurile laterale sunt înclinate față de planul bazei la același unghi.
6. Toate suprafețele laterale au același unghi de înclinare față de bază.

Datorită tuturor proprietăților enumerate, efectuarea calculelor elementelor este mult mai simplă. Pe baza proprietăților de mai sus, acordăm atenție doua semne:

1. În cazul în care poligonul se încadrează într-un cerc, fețele laterale vor avea baza unghiuri egale.
2. Când descrieți un cerc în jurul unui poligon, toate marginile piramidei care emană de la vârf vor avea lungimi egale și unghiuri egale cu baza.

Baza este un pătrat

Piramidă patruunghiulară obișnuită - un poliedru a cărui bază este un pătrat.

Are patru fețe laterale, care au aspect isoscel.

Un pătrat este reprezentat pe un plan, dar se bazează pe toate proprietățile unui patrulater regulat.

De exemplu, dacă este necesar să relaționați latura unui pătrat cu diagonala sa, atunci utilizați următoarea formulă: diagonala este egală cu produsul dintre latura pătratului și rădăcina pătrată a două.

Se bazează pe un triunghi regulat

O piramidă triunghiulară regulată este un poliedru a cărui bază este un 3-gon regulat.

Dacă baza este un triunghi regulat și marginile laterale sunt egale cu marginile bazei, atunci o astfel de figură numit tetraedru.

Toate fețele unui tetraedru sunt 3-goane echilaterale. ÎN în acest caz, Trebuie să cunoașteți câteva puncte și să nu pierdeți timpul cu ele când calculați:

• unghiul de înclinare a nervurilor față de orice bază este de 60 de grade;
• dimensiunea tuturor fețelor interne este, de asemenea, de 60 de grade;
• orice față poate acționa ca bază;
• , desenate în interiorul figurii, acestea sunt elemente egale.

Secțiuni ale unui poliedru

În orice poliedru există mai multe tipuri de secțiuni apartament. Adesea, într-un curs de geometrie școlar, lucrează cu doi:

• axial;
• paralel cu baza.

O secțiune axială se obține prin intersectarea unui poliedru cu un plan care trece prin vârf, margini laterale și axă. În acest caz, axa este înălțimea desenată de la vârf. Planul de tăiere este limitat de liniile de intersecție cu toate fețele, rezultând un triunghi.

Atenţie!ÎN piramida corecta secțiunea axială este un triunghi isoscel.

Dacă planul de tăiere este paralel cu baza, atunci rezultatul este a doua opțiune. În acest caz, avem o figură în secțiune transversală similară bazei.

De exemplu, dacă există un pătrat la bază, atunci secțiunea paralelă cu baza va fi și ea un pătrat, doar de dimensiuni mai mici.

Când rezolvă probleme în această condiție, ei folosesc semne și proprietăți de similitudine ale figurilor, bazat pe teorema lui Thales. În primul rând, este necesar să se determine coeficientul de similitudine.

Dacă planul este trasat paralel cu baza și taie partea superioară a poliedrului, atunci se obține o piramidă trunchiată obișnuită în partea inferioară. Atunci bazele unui poliedru trunchiat se spune că sunt poligoane similare. În acest caz, fețele laterale sunt trapeze isoscele. Secțiunea axială este, de asemenea, isoscelă.

Pentru a determina înălțimea unui poliedru trunchiat, este necesar să se tragă înălțimea în secțiunea axială, adică în trapez.

Zone de suprafață

Principalele probleme geometrice care trebuie rezolvate la un curs de geometrie școlară sunt aflarea suprafetei si volumului unei piramide.

Există două tipuri de valori ale suprafeței:

• zona elementelor laterale;
• suprafata intregii suprafete.

Din numele în sine este clar despre ce vorbim. Suprafata laterala include doar elemente laterale. Rezultă de aici că, pentru a-l găsi, trebuie pur și simplu să adunăm zonele planurilor laterale, adică zonele de 3-gonuri isoscele. Să încercăm să derivăm formula pentru aria elementelor laterale:

1. Aria unui 3-gon isoscel este Str=1/2(aL), unde a este latura bazei, L este apotema.
2. Numărul de planuri laterale depinde de tipul de k-gon de la bază. De exemplu, o piramidă patruunghiulară obișnuită are patru planuri laterale. Prin urmare, este necesar să se adauge ariile a patru figuri Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Expresia este simplificată în acest fel deoarece valoarea este 4a = Rosn, unde Rosn este perimetrul bazei. Iar expresia 1/2*Rosn este semiperimetrul său.
3. Deci, concluzionăm că aria elementelor laterale ale unei piramide regulate este egală cu produsul semiperimetrului bazei și apotema: Sside = Rosn * L.

Aria suprafeței totale a piramidei este formată din suma ariilor planurilor laterale și ale bazei: Sp.p. = Sside + Sbas.

În ceea ce privește aria bazei, aici formula este utilizată în funcție de tipul de poligon.

Volumul unei piramide obișnuite egal cu produsul dintre suprafața planului de bază și înălțimea împărțită la trei: V=1/3*Sbas*H, unde H este înălțimea poliedrului.

Ce este o piramidă obișnuită în geometrie

Proprietățile unei piramide patruunghiulare regulate

Primul nivel

Piramidă. Ghid vizual (2019)

Ce este o piramidă?

Cum arată ea?

Vedeți: în partea de jos a piramidei (se spune „ la baza") un poligon, iar toate vârfurile acestui poligon sunt conectate la un anumit punct din spațiu (acest punct se numește " vârf»).

Toată această structură mai are fetele laterale, coaste lateraleȘi coaste de bază. Încă o dată, să desenăm o piramidă împreună cu toate aceste nume:

Unele piramide pot părea foarte ciudat, dar sunt încă piramide.

Aici, de exemplu, este complet „oblic” piramidă.

Și mai multe despre nume: dacă există un triunghi la baza piramidei, atunci piramida se numește triunghiulară, dacă este un patrulater, atunci patruunghiular, iar dacă este un centagon, atunci... ghiciți singur. .

În același timp, punctul în care a căzut înălţime, numit baza de inaltime. Vă rugăm să rețineți că în piramidele „strâmbe”. înălţime poate ajunge chiar în afara piramidei. Ca aceasta:

Și nu este nimic în neregulă cu asta. Arată ca un triunghi obtuz.

Piramida corectă.

Mult cuvinte complexe? Să descifrăm: „La bază - corect” - acest lucru este de înțeles. Acum să ne amintim că un poligon obișnuit are un centru - un punct care este centrul lui și , și .

Ei bine, cuvintele „vârful este proiectat în centrul bazei” înseamnă că baza înălțimii cade exact în centrul bazei. Uite ce netedă și drăguță arată piramida regulata.

Hexagonal: la bază există un hexagon regulat, vârful este proiectat în centrul bazei.

Patraunghiular: baza este un pătrat, vârful este proiectat la punctul de intersecție a diagonalelor acestui pătrat.

Triunghiular: la bază se află un triunghi regulat, vârful este proiectat până la punctul de intersecție al înălțimilor (sunt și mediane și bisectoare) acestui triunghi.

Foarte proprietăți importante ale unei piramide obișnuite:

În piramida dreaptă

• toate marginile laterale sunt egale.
• toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele și toate aceste triunghiuri sunt egale.

Volumul piramidei

Formula principală pentru volumul unei piramide:

De unde anume a venit? Acest lucru nu este atât de simplu și la început trebuie doar să vă amintiți că o piramidă și un con au volum în formulă, dar un cilindru nu.

Acum să calculăm volumul celor mai populare piramide.

Lasă latura bazei să fie egală și marginea laterală egală. Trebuie să găsim și.

Aceasta este aria unui triunghi regulat.

Să ne amintim cum să căutăm această zonă. Folosim formula zonei:

Pentru noi, „ ” este aceasta, iar „ ” este și aceasta, eh.

Acum să-l găsim.

Conform teoremei lui Pitagora pt

Care este diferența? Acesta este circumradius în deoarece piramidăcorectși, prin urmare, centrul.

Deoarece - punctul de intersecție al medianelor de asemenea.

(teorema lui Pitagora pentru)

Să o înlocuim în formula pentru.

Și să înlocuim totul în formula de volum:

Atenţie: dacă aveți un tetraedru obișnuit (adică), atunci formula se dovedește astfel:

Lasă latura bazei să fie egală și marginea laterală egală.

Nu este nevoie să te uiți aici; La urma urmei, baza este un pătrat și, prin urmare.

O vom găsi. Conform teoremei lui Pitagora pt

știm noi? Aproape. Uite:

(am văzut asta uitându-ne la ea).

Înlocuiți în formula pentru:

Și acum înlocuim și în formula de volum.

Lasă latura bazei să fie egală și marginea laterală.

Cum să găsești? Uite, un hexagon este format din exact șase triunghiuri regulate identice. Am căutat deja aria unui triunghi regulat atunci când calculăm volumul unui triunghi regulat. piramidă triunghiulară, aici folosim formula găsită.

Acum să-l găsim.

Conform teoremei lui Pitagora pt

Dar ce contează? Este simplu pentru că (și toți ceilalți) au dreptate.

Să înlocuim:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDĂ. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

O piramidă este un poliedru care constă din orice poligon plat (), un punct care nu se află în planul bazei (vârful piramidei) și toate segmentele care leagă vârful piramidei cu punctele bazei (marginile laterale).

O perpendiculară coborâtă din vârful piramidei spre planul bazei.

Piramida corectă- o piramidă în care un poligon regulat se află la bază, iar vârful piramidei este proiectat în centrul bazei.

Proprietatea unei piramide regulate:

• Într-o piramidă obișnuită, toate marginile laterale sunt egale.
• Toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele și toate aceste triunghiuri sunt egale.