2차 방정식은 a*x^2 +b*x+c=0 형식의 방정식입니다. 여기서 a,b,c는 임의의 실수이고 x는 변수입니다. 게다가, 숫자 a=0이다.

숫자 a,b,c를 계수라고 합니다. 숫자 a를 선행 계수라고 하고, 숫자 b를 x의 계수, 숫자 c를 자유 항이라고 합니다.

이차 방정식 풀기

이차 방정식을 푼다는 것은 모든 근을 찾거나 이차 방정식에 근이 없다는 사실을 확립하는 것을 의미합니다. 2차 방정식 a*x^2 +b*x+c=0의 근은 2차 삼항식 a*x^2 +b*x+c가 사라지는 변수 x의 값입니다. 때때로 이 x 값을 제곱 삼항식의 근이라고 합니다.

이차 방정식을 푸는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 가장 보편적인 것 중 하나를 고려하십시오. 이차 방정식을 푸는 데 사용할 수 있습니다.

이차 방정식을 푸는 공식

이차 방정식의 근에 대한 공식은 a*x^2 +b*x+c=0입니다.

x=(-b±√D)/(2*a), 여기서 D =b^2-4*a*c.

이 공식은 방정식 a*x^2 +b*x+c=0을 풀어서 얻습니다. 일반적인 견해, 이항식의 제곱을 분리하여.

이차 방정식의 근에 대한 공식에서 표현식 D(b^2-4*a*c)를 이차 방정식 a*x^2 +b*x+c=0의 판별식이라고 합니다. 이 이름은 다음에서 유래되었습니다. 라틴어, "차별자"로 번역됩니다. 판별식의 값에 따라 이차 방정식은 2개 또는 1개의 근을 갖거나 근이 전혀 없을 수도 있습니다.

판별식이 0보다 큰 경우,그러면 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. (x=(-b±√D)/(2*a))

판별식이 0인 경우,그러면 이차 방정식에는 하나의 근이 있습니다. (x=(-b/(2*a))

판별식이 음수이면,그러면 이차 방정식에는 근이 없습니다.

2차 방정식을 풀기 위한 일반 알고리즘

위의 내용을 바탕으로 다음 공식을 사용하여 2차 방정식 a*x^2 +b*x+c=0을 풀기 위한 일반 알고리즘을 공식화합니다.

1. D =b^2-4*a*c 공식을 사용하여 판별식의 값을 구합니다.

2. 판별식의 값에 따라 다음 공식을 사용하여 근을 계산합니다.

디<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

이 알고리즘은 보편적이며 모든 이차 방정식을 푸는 데 적합합니다. 완전한 것과 불완전한 것, 주어지는 것과 주어지지 않는 것.

판별식은 2차 방정식과 마찬가지로 8학년 대수학 과정에서 공부하기 시작합니다. 판별식과 비에타 정리를 사용하여 이차방정식을 풀 수 있습니다. 이차 방정식과 판별 공식을 연구하는 방법은 실제 교육의 많은 것과 마찬가지로 학생들에게 성공적으로 가르쳐지지 않습니다. 따라서 학년이 지나면 9-11학년의 교육이 " 고등 교육"그리고 모두가 다시 찾고 있어요 - “이차방정식은 어떻게 푸나요?”, “방정식의 근은 어떻게 구하나요?”, “판별식은 어떻게 구하나요?” 그리고...

판별식

2차 방정식 a*x^2+bx+c=0의 판별식 D는 D=b^2–4*a*c와 같습니다.
이차 방정식의 근(해)은 판별식(D)의 부호에 따라 달라집니다.
D>0 – 방정식에는 2개의 서로 다른 실수근이 있습니다.
D=0 - 방정식에는 1개의 근(2개의 일치하는 근)이 있습니다.
디<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
판별식을 계산하는 공식은 매우 간단하므로 많은 사이트에서 온라인 판별식 계산기를 제공합니다. 우리는 아직 이런 종류의 스크립트를 알아내지 못했기 때문에 이를 구현하는 방법을 아는 사람이 있으면 이메일로 알려주십시오. 이 이메일 주소는 스팸봇으로부터 보호됩니다. 해당 내용을 보려면 JavaScript가 활성화되어 있어야 합니다. .

이차 방정식의 근을 찾는 일반 공식:

우리는 공식을 사용하여 방정식의 근을 찾습니다.
제곱 변수의 계수가 쌍을 이루는 경우 판별식이 아니라 네 번째 부분을 계산하는 것이 좋습니다
이러한 경우 방정식의 근은 다음 공식을 사용하여 찾습니다.

근을 찾는 두 번째 방법은 비에타의 정리(Vieta's Theorem)입니다.

정리는 이차 방정식뿐만 아니라 다항식에도 공식화되었습니다. Wikipedia 또는 기타 전자 자료에서 이 내용을 읽을 수 있습니다. 그러나 단순화하기 위해 위의 2차 방정식과 관련된 부분, 즉 (a=1) 형태의 방정식을 생각해 보자.
Vieta 공식의 본질은 방정식의 근의 합이 반대 부호를 사용하여 취한 변수의 계수와 같다는 것입니다. 방정식 근의 곱은 자유항과 같습니다. 비에타의 정리는 공식으로 쓰여질 수 있습니다.
Vieta 공식의 유도는 매우 간단합니다. 간단한 인수를 통해 이차방정식을 작성해 봅시다
보시다시피, 독창적인 모든 것이 동시에 간단합니다. 근의 계수의 차이 또는 근의 계수의 차이가 1, 2인 경우 Vieta의 공식을 사용하는 것이 효과적입니다. 예를 들어 Vieta의 정리에 따르면 다음 방정식에는 근이 있습니다.




방정식 4까지의 분석은 다음과 같아야 합니다. 방정식의 근의 곱은 6이므로 근은 (1, 6)과 (2, 3) 값이거나 반대 부호가 있는 쌍이 될 수 있습니다. 근의 합은 7(반대 부호를 갖는 변수의 계수)입니다. 여기에서 우리는 이차 방정식의 해가 x=2라는 결론을 내립니다. x=3.
Vieta 공식을 충족시키기 위해 부호를 조정하여 자유 항의 제수 중에서 방정식의 근을 선택하는 것이 더 쉽습니다. 처음에는 이것이 어려워 보이지만 여러 이차 방정식을 연습해 보면 이 기술이 판별식을 계산하고 고전적인 방식으로 이차 방정식의 근을 찾는 것보다 더 효과적인 것으로 판명될 것입니다.
보시다시피, 판별식을 연구하는 학교 이론과 방정식의 해를 찾는 방법에는 실질적인 의미가 없습니다. “학생들에게 이차 방정식이 왜 필요한가요?”, “판별식의 물리적 의미는 무엇입니까?”

그것을 알아 내려고 노력하자 판별자는 무엇을 설명하는가?

대수학 과정에서는 함수, 함수 연구 계획 및 함수 그래프 구성을 공부합니다. 모든 함수 중에서 포물선은 중요한 위치를 차지하며 그 방정식은 다음과 같은 형식으로 작성할 수 있습니다.
따라서 이차 방정식의 물리적 의미는 포물선의 영점, 즉 함수 그래프와 가로축 Ox의 교차점입니다.
아래에 설명된 포물선의 특성을 기억해 주시기 바랍니다. 시험, 시험 또는 입학 시험을 치를 때가 올 것이며 참고 자료에 감사하게 될 것입니다. 제곱변수의 부호는 그래프의 포물선 가지가 위로 올라갈지(a>0)에 해당하며,

또는 가지가 아래로 향하는 포물선(a<0) .

포물선의 꼭지점은 뿌리 사이의 중간에 위치합니다.

판별식의 물리적 의미:

판별식이 0보다 큰 경우(D>0) 포물선은 Ox 축과 두 개의 교차점을 갖습니다.
판별식이 0(D=0)이면 정점의 포물선이 x축에 닿습니다.
그리고 마지막 경우, 판별식이 0보다 작은 경우(D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

불완전한 이차 방정식

이차 방정식 문제는 학교 커리큘럼과 대학에서 모두 연구됩니다. 이는 a*x^2 + b*x + c = 0 형식의 방정식을 의미합니다. 엑스-변수, a, b, c – 상수; ㅏ<>0 . 문제는 방정식의 근을 찾는 것입니다.

이차 방정식의 기하학적 의미

이차 방정식으로 표현되는 함수의 그래프는 포물선입니다. 2차 방정식의 해(근)는 포물선과 가로좌표(x) 축의 교차점입니다. 세 가지 가능한 경우가 있습니다.
1) 포물선에는 가로축과 교차점이 없습니다. 이는 가지가 위로 향하는 상부 평면에 있거나 가지가 아래로 향하는 바닥에 있음을 의미합니다. 그러한 경우, 이차 방정식에는 실수근이 없습니다(두 개의 복소근이 있음).

2) 포물선은 Ox 축과 하나의 교차점을 갖습니다. 이러한 점을 포물선의 꼭지점이라고 하며, 이 점의 이차 방정식은 최소값 또는 최대값을 얻습니다. 이 경우 이차 방정식에는 하나의 실수근(또는 두 개의 동일한 근)이 있습니다.

3) 마지막 경우는 실제로 더 흥미롭습니다. 포물선과 가로축의 교차점이 두 군데 있습니다. 이는 방정식의 실제 근이 두 개 있다는 것을 의미합니다.

변수의 거듭제곱 계수 분석을 기반으로 포물선 배치에 대한 흥미로운 결론을 도출할 수 있습니다.

1) 계수 a가 0보다 크면 포물선의 가지가 위쪽을 향하고, 음수이면 포물선의 가지가 아래쪽을 향합니다.

2) 계수 b가 0보다 크면 포물선의 꼭지점은 왼쪽 절반 평면에 있고, 음수 값을 취하면 오른쪽에 있습니다.

이차 방정식을 풀기 위한 공식 유도

이차방정식의 상수를 옮겨보자

등호에 대해서는 다음과 같은 표현을 얻습니다.

양변에 4a를 곱하세요

왼쪽에 완전한 정사각형을 얻으려면 양쪽에 b^2를 더하고 변환을 수행하십시오.

여기에서 우리는 찾습니다

이차 방정식의 판별식과 근에 대한 공식

판별식은 근호식의 값입니다. 양수이면 방정식에는 다음 공식으로 계산된 두 개의 실수 근이 있습니다. 판별식이 0일 때 이차방정식은 하나의 해(두 개의 일치하는 근)를 가지는데, 이는 위의 D=0 공식에서 쉽게 구할 수 있고, 판별식이 음수일 때 방정식에는 실수근이 없습니다. 그러나 이차 방정식의 해는 복소 평면에서 찾을 수 있으며 해당 값은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

비에타의 정리

이차 방정식의 두 근을 고려하고 이를 기반으로 이차 방정식을 구성해 봅시다. Vieta의 정리 자체는 표기법에서 쉽게 따릅니다. 그 근의 합은 반대 부호를 취한 계수 p와 같고 방정식 근의 곱은 자유 항 q와 같습니다. 위의 공식적 표현은 다음과 같습니다. 고전 방정식에서 상수 a가 0이 아닌 경우 전체 방정식을 이것으로 나눈 다음 Vieta의 정리를 적용해야 합니다.

인수분해 이차 방정식 일정

작업을 설정하십시오. 이차 방정식을 인수분해합니다. 이를 위해 먼저 방정식을 풉니다(근을 찾습니다). 다음으로, 찾은 근을 이차방정식의 전개식에 대입하면 문제가 해결됩니다.

이차방정식 문제

작업 1. 이차 방정식의 근을 찾아보세요

x^2-26x+120=0 .

해결 방법: 계수를 기록하고 이를 판별식에 대입합니다.

이 값의 근은 14이며 계산기로 쉽게 찾을 수 있거나 자주 사용하여 기억할 수 있지만 편의상 기사 끝 부분에서 자주 볼 수 있는 숫자의 제곱 목록을 제공합니다. 그런 문제.
찾은 값을 루트 공식으로 대체합니다.

그리고 우리는 얻습니다

작업 2. 방정식을 풀어보세요

2x2 +x-3=0.

해결책: 완전한 이차 방정식이 있고, 계수를 작성하고 판별식을 구합니다.


알려진 공식을 사용하여 이차 방정식의 근을 찾습니다.

작업 3. 방정식을 풀어보세요

9x2 -12x+4=0.

해결책: 완전한 이차 방정식이 있습니다. 판별식 결정

뿌리가 일치하는 경우가 있습니다. 공식을 사용하여 근의 값을 찾으십시오.

작업 4. 방정식을 풀어보세요

x^2+x-6=0 .

해결 방법: x에 대한 계수가 작은 경우 Vieta의 정리를 적용하는 것이 좋습니다. 그 조건에 따라 우리는 두 가지 방정식을 얻습니다.

두 번째 조건에서 곱은 -6과 같아야 함을 알 수 있습니다. 이는 근 중 하나가 음수임을 의미합니다. 다음과 같은 가능한 솔루션 쌍이 있습니다 (-3;2), (3;-2) . 첫 번째 조건을 고려하여 두 번째 솔루션 쌍을 거부합니다.
방정식의 근은 같습니다.

문제 5. 둘레가 18cm이고 넓이가 77cm 2인 직사각형의 변의 길이를 구하십시오.

해결책: 직사각형 둘레의 절반은 인접한 변의 합과 같습니다. x를 더 큰 변으로 표시하고, 18-x를 더 작은 변으로 표시하겠습니다. 직사각형의 면적은 다음 길이의 곱과 같습니다.
x(18-x)=77;
또는
x 2 -18x+77=0.
방정식의 판별식을 구해보자

방정식의 근을 계산

만약에 x=11,저것 18세=7 ,그 반대도 마찬가지입니다(x=7이면 21's=9).

문제 6. 2차 방정식 10x 2 -11x+3=0을 인수분해합니다.

해결책: 방정식의 근을 계산해 보겠습니다. 이를 위해 판별식을 찾습니다.

찾은 값을 루트 공식에 대입하고 계산합니다.

근으로 이차 방정식을 분해하는 공식을 적용합니다.

괄호를 열면 신원을 알 수 있습니다.

매개변수가 있는 2차 방정식

예 1. 어떤 매개변수 값에서 ㅏ ,방정식 (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0은 근이 하나입니까?

해결책: a=3 값을 직접 대체하면 해결책이 없음을 알 수 있습니다. 다음으로, 판별식이 0인 방정식에는 다중도 2의 근이 하나 있다는 사실을 사용할 것입니다. 판별식을 써보자

단순화해서 0과 동일시하자

우리는 매개변수 a에 대한 2차 방정식을 얻었으며, 그 해는 Vieta의 정리를 사용하여 쉽게 얻을 수 있습니다. 근의 합은 7이고 그 곱은 12입니다. 간단한 검색을 통해 숫자 3,4가 방정식의 근이 될 것임을 확인합니다. 계산 시작 시 이미 a=3이라는 해를 거부했기 때문에 유일한 올바른 해는 다음과 같습니다. a=4.따라서 a=4에 대해 방정식은 하나의 근을 갖습니다.

예 2. 어떤 매개변수 값에서 ㅏ ,방정식 a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0루트가 두 개 이상인가요?

해결 방법: 먼저 특이점을 고려해 보겠습니다. 이는 a=0 및 a=-3 값이 됩니다. a=0일 때 방정식은 6x-9=0 형식으로 단순화됩니다. x=3/2이고 루트는 하나입니다. a= -3에 대해 항등식 0=0을 얻습니다.
판별식을 계산해보자

그리고 a가 양수인 값을 찾으세요.

첫 번째 조건에서 a>3을 얻습니다. 두 번째로, 우리는 방정식의 판별식과 근을 찾습니다.


함수가 수행하는 간격을 정의해 보겠습니다. 양수 값. 점 a=0을 대입하면 다음을 얻습니다. 3>0 . 따라서 간격(-3;1/3) 외부에서는 함수가 음수입니다. 요점을 잊지 마세요 a=0,이는 원래 방정식에 하나의 근이 있기 때문에 제외되어야 합니다.
결과적으로 문제의 조건을 만족하는 두 개의 구간을 얻습니다.

실제로는 유사한 작업이 많이 있으므로 작업을 직접 파악하려고 노력하고 상호 배타적인 조건을 고려하는 것을 잊지 마십시오. 이차 방정식을 풀기 위한 공식을 잘 연구하십시오. 이 공식은 다양한 문제와 과학의 계산에 종종 필요합니다.

이차방정식. 판별자. 솔루션, 예.

주목!
추가사항이 있습니다
특별 조항 555의 자료.
매우 "별로..."인 사람들을 위해
그리고 "아주 많이…"라고 하시는 분들을 위해)

이차 방정식의 유형

이차 방정식이란 무엇입니까? 그것은 어떻게 생겼나요? 학기 중 이차 방정식키워드는 "정사각형".이는 방정식에서 반드시 x제곱이 있어야 합니다. 게다가 방정식에는 X(1제곱)와 숫자만 포함될 수도 있고 포함되지 않을 수도 있습니다. (무료 회원).그리고 2도만큼 X가 없어야 합니다.

수학적인 용어로 이차 방정식은 다음 형식의 방정식입니다.

여기 a, b, c- 몇 가지 숫자. b와 c-절대 그렇지만, ㅏ– 0이 아닌 모든 것. 예를 들어:

여기 ㅏ =1; 비 = 3; 씨 = -4

여기 ㅏ =2; 비 = -0,5; 씨 = 2,2

여기 ㅏ =-3; 비 = 6; 씨 = -18

글쎄요, 이해하시겠죠...

왼쪽의 이차 방정식에는 다음이 있습니다. 풀세트회원. 계수를 사용한 X 제곱 ㅏ, x의 계수를 사용한 1차 거듭제곱 비그리고 무료 회원 s.

이러한 이차 방정식을 다음과 같이 부릅니다. 가득한.

그리고 만약에 비= 0, 우리는 무엇을 얻나요? 우리는 X는 1도까지 사라질 것입니다.이는 0을 곱할 때 발생합니다.) 예를 들면 다음과 같습니다.

5x2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

등등. 그리고 두 계수가 모두 비그리고 씨 0과 같으면 훨씬 더 간단합니다.

2x2 =0,

-0.3x2 =0

무언가가 누락된 방정식을 호출합니다. 불완전한 이차 방정식.이는 매우 논리적입니다.) x 제곱은 모든 방정식에 존재합니다.

그런데 왜 ㅏ 0과 같을 수 없나요? 그리고 당신은 대신 대체 ㅏ 0.) X 제곱이 사라질 것입니다! 방정식은 선형이 됩니다. 그리고 해결책은 완전히 다릅니다 ...

이것이 이차방정식의 주요 유형입니다. 완전하고 불완전합니다.

이차 방정식 풀기.

완전한 이차 방정식을 푼다.

이차방정식은 풀기 쉽습니다. 공식과 명확하고 간단한 규칙에 따라. 첫 번째 단계에서는 주어진 방정식을 다음과 같이 줄여야 합니다. 표준보기, 즉. 다음 형식으로:

방정식이 이미 이 형식으로 제공된 경우 첫 번째 단계를 수행할 필요가 없습니다.) 가장 중요한 것은 모든 계수를 올바르게 결정하는 것입니다. ㅏ, 비그리고 씨.

이차 방정식의 근을 찾는 공식은 다음과 같습니다.

루트 기호 아래의 표현식은 다음과 같습니다. 판별력이 있는. 그러나 그에 대한 자세한 내용은 아래에서 확인하세요. 보시다시피 X를 찾기 위해 다음을 사용합니다. a, b, c만. 저것들. 이차 방정식의 계수. 값을 신중하게 대체하십시오. a, b, c우리는 이 공식으로 계산합니다. 대체하자 당신만의 간판으로! 예를 들어 방정식에서 다음과 같습니다.

ㅏ =1; 비 = 3; 씨= -4. 여기에 적어보겠습니다.

예제는 거의 해결되었습니다.

이것이 답입니다.

모든 것이 매우 간단합니다. 그리고 실수하는 것이 불가능하다고 생각하십니까? 응, 응, 어떻게...

가장 흔한 실수는 부호 값과의 혼동입니다. a, b, c. 또는 오히려 기호 (혼란스러워야 할 부분)가 아니라 근 계산 공식에 음수 값을 대체합니다. 여기서 도움이 되는 것은 특정 숫자로 수식을 자세히 기록하는 것입니다. 계산에 문제가 있는 경우, 그렇게!

다음 예제를 풀어야 한다고 가정해 보겠습니다.

여기 ㅏ = -6; 비 = -5; 씨 = -1

처음에는 답변을 얻는 경우가 거의 없다는 것을 알고 있다고 가정해 보겠습니다.

글쎄, 게으르지 마십시오. 한줄 추가 작성하는데 약 30초 정도 소요됩니다. 급격히 줄어들 것이다. 따라서 우리는 모든 괄호와 기호를 사용하여 자세히 작성합니다.

이렇게 세심하게 글을 쓴다는 것은 정말 어려운 일인 것 같습니다. 하지만 그럴 것 같습니다. 시도 해봐. 글쎄, 아니면 선택하세요. 빠르거나 옳은 것 중 무엇이 더 낫나요? 게다가 나는 당신을 행복하게 해줄 것입니다. 시간이 지나면 모든 것을 그렇게 주의 깊게 기록할 필요가 없게 됩니다. 그것은 저절로 잘 될 것입니다. 특히 아래에 설명된 실용적인 기술을 사용하는 경우 더욱 그렇습니다. 단점이 많은 이 사악한 예는 실수 없이 쉽게 풀 수 있습니다!

그러나 종종 이차 방정식은 약간 다르게 보입니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

알아보셨나요?) 네! 이것 불완전한 이차 방정식.

불완전한 이차방정식을 푼다.

일반 공식을 사용하여 풀 수도 있습니다. 여기서 동일한 것이 무엇인지 정확하게 이해하면 됩니다. a, b, c.

알아냈나요? 첫 번째 예에서는 a = 1; b = -4;ㅏ 씨? 전혀 거기에 없습니다! 네, 맞습니다. 수학에서 이것은 다음을 의미합니다. c = 0 ! 그게 다야. 대신 공식에 0을 대입하세요. 씨,그리고 우리는 성공할 것입니다. 두 번째 예와 동일합니다. 여기에는 0이 없습니다 와 함께, ㅏ 비 !

그러나 불완전한 이차 방정식은 훨씬 더 간단하게 풀 수 있습니다. 공식이 없습니다. 첫 번째 불완전한 방정식을 고려해 보겠습니다. 왼쪽에서는 무엇을 할 수 있나요? 대괄호에서 X를 빼낼 수 있습니다! 그것을 꺼내자.

그리고 이것은 무엇입니까? 그리고 인수 중 하나라도 0인 경우에만 곱이 0이라는 사실! 나를 믿지 못합니까? 좋아요, 그러면 곱하면 0이 되는 0이 아닌 숫자 두 개를 생각해 보세요!
작동하지 않습니까? 그게 다야 ...
그러므로 우리는 자신있게 다음과 같이 쓸 수 있습니다. x 1 = 0, x 2 = 4.

모두. 이것이 우리 방정식의 근본이 될 것입니다. 둘 다 적합합니다. 이들 중 하나를 원래 방정식에 대입하면 올바른 항등식 0 = 0을 얻습니다. 보시다시피 해법은 일반 공식을 사용하는 것보다 훨씬 간단합니다. 그건 그렇고, 어느 X가 첫 번째가 되고 어느 것이 두 번째가 될지는 전혀 무관심합니다. 순서대로 작성하면 편하고, x 1- 무엇이 더 작고 x 2- 더 큰 것.

두 번째 방정식도 간단하게 풀 수 있습니다. 9를 오른쪽으로 이동합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

남은 것은 9에서 근을 추출하는 것뿐입니다. 결과는 다음과 같습니다.

뿌리도 2개 . x 1 = -3, x 2 = 3.

이것이 모든 불완전한 이차방정식을 푸는 방법입니다. 대괄호 안에 X를 넣거나 단순히 숫자를 오른쪽으로 이동한 다음 루트를 추출하면 됩니다.
이러한 기술을 혼동하는 것은 극히 어렵습니다. 단순히 첫 번째 경우에는 X의 근을 추출해야 하는데, 이는 다소 이해할 수 없는 일이고, 두 번째 경우에는 괄호에서 빼낼 것이 아무것도 없기 때문입니다...

판별자. 판별식.

마법의 단어 판별력이 있는 ! 이 단어를 들어보지 못한 고등학생은 거의 없습니다! “우리는 판별식을 통해 해결합니다”라는 문구는 자신감과 확신을 불러일으킵니다. 판별식에서 트릭을 기대할 필요가 없기 때문입니다! 사용이 간단하고 문제가 없습니다.) 문제를 해결하는 가장 일반적인 공식을 상기시켜 드리겠습니다. 어느이차 방정식:

루트 기호 아래의 표현식을 판별식이라고 합니다. 일반적으로 판별식은 문자로 표시됩니다. 디. 판별식:

D = b 2 - 4ac

그리고 이 표현에서 그토록 놀라운 점은 무엇입니까? 왜 특별한 이름을 가질 자격이 있었습니까? 무엇 판별자의 의미는?결국 -비,또는 2a이 공식에서는 특별히 아무것도 부르지 않습니다... 글자와 글자.

여기에 문제가 있습니다. 이 공식을 이용하여 이차방정식을 풀면, 세 가지 경우뿐이다.

1. 판별식은 양수입니다.이는 뿌리가 추출될 수 있음을 의미합니다. 뿌리가 잘 추출되었는지, 아니면 잘 추출되었는지는 또 다른 문제입니다. 중요한 것은 원칙적으로 무엇을 추출하느냐이다. 그러면 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 두 가지 다른 솔루션.

2. 판별식이 0입니다.그러면 하나의 해결책이 있을 것입니다. 분자에 0을 더하거나 빼도 아무 것도 바뀌지 않기 때문입니다. 엄밀히 말하면 이것은 하나의 뿌리가 아니지만, 두 개의 동일한. 그러나 에서는 단순화된 버전, 그것에 대해 이야기하는 것이 관례입니다 하나의 솔루션.

3. 판별식은 음수입니다.음수의 제곱근은 취할 수 없습니다. 글쎄요. 즉, 해결책이 없습니다.

솔직히 말하면 언제쯤 간단한 해결책이차 방정식에서는 판별식의 개념이 특별히 필요하지 않습니다. 계수의 값을 공식에 ​​대입하고 계산합니다. 모든 것은 두 개의 뿌리, 하나, 그리고 아무것도 발생하지 않습니다. 하지만 더 복잡한 작업을 해결할 때에는 지식 없이 판별식의 의미와 공식부족한. 특히 매개변수가 있는 방정식에서는 더욱 그렇습니다. 이런 식은 국가고시와 통합국가고시에 대한 곡예비행이다!)

그래서, 이차 방정식을 푸는 방법당신이 기억한 판별식을 통해. 아니면 나쁘지 않은 것을 배웠습니다.) 올바르게 결정하는 방법을 알고 있습니다. a, b, c. 방법을 아시나요? 주의 깊게이를 루트 공식으로 대체하고 주의 깊게결과를 계산해 보세요. 여기서 핵심 단어는 다음과 같습니다. 주의 깊게?

이제 오류 수를 획기적으로 줄이는 실용적인 기술에 주목해 보세요. 부주의로 인해 발생하는 동일한 것들... 나중에는 고통스럽고 공격적이 됩니다...

첫 번째 약속 . 이차 방정식을 풀기 전에 게으르지 말고 표준 형식으로 가져오세요. 이것은 무엇을 의미 하는가?
모든 변환 후에 다음 방정식을 얻는다고 가정해 보겠습니다.

루트 공식을 작성하기 위해 서두르지 마십시오! 거의 확실하게 확률이 뒤섞일 것입니다. a, b, c.예제를 올바르게 구성하십시오. 먼저 X 제곱, 그다음 무제곱, 자유 항입니다. 이와 같이:

그리고 다시 한 번, 서두르지 마세요! X 제곱 앞에 마이너스가 있으면 정말 당황스러울 수 있습니다. 잊어버리기 쉽습니다... 마이너스를 없애세요. 어떻게? 예, 이전 주제에서 가르친 대로입니다! 전체 방정식에 -1을 곱해야 합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

하지만 이제 안전하게 근에 대한 공식을 작성하고 판별식을 계산한 후 예제 풀이를 마칠 수 있습니다. 스스로 결정하십시오. 이제 루트 2와 -1이 있어야 합니다.

2차 접수. 뿌리를 확인해보세요! Vieta의 정리에 따르면. 겁내지 마세요. 제가 다 설명해드릴게요! 확인 중 마지막 것방정식. 저것들. 우리가 근본 공식을 기록하는 데 사용한 것입니다. (이 예에서와 같이) 계수가 a = 1, 뿌리를 확인하는 것은 쉽습니다. 그것들을 곱하면 충분합니다. 결과는 무료 회원이어야 합니다. 우리의 경우 -2. 2가 아니라 -2라는 점에 유의하세요! 무료 회원 당신의 간판으로 . 문제가 해결되지 않으면 이미 어딘가에서 문제가 발생한 것입니다. 오류를 찾아보세요.

작동하는 경우 루트를 추가해야 합니다. 마지막이자 마지막 점검입니다. 계수는 다음과 같아야 합니다. 비와 함께 반대 친숙한. 우리의 경우에는 -1+2 = +1입니다. 계수 비 X 앞의 는 -1과 같습니다. 그래서 모든 것이 정확합니다!
x 제곱이 순수하고 계수가 있는 예에 대해서만 이것이 너무 간단하다는 것은 유감입니다. a = 1.하지만 적어도 그러한 방정식을 확인해보세요! 모두 실수가 적다할 것이다.

리셉션 3번째 . 방정식에 분수 계수가 있으면 분수를 제거하세요! "방정식을 푸는 방법? 항등 변환" 단원에 설명된 대로 방정식에 공통 분모를 곱합니다. 분수로 작업할 때 어떤 이유로든 오류가 계속해서 발생합니다...

그건 그렇고, 나는 여러 가지 마이너스로 사악한 예를 단순화하겠다고 약속했습니다. 제발! 여기 있습니다.

마이너스로 인해 혼동되지 않도록 방정식에 -1을 곱합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

그게 다야! 해결은 즐거움입니다!

그럼 주제를 요약해 보겠습니다.

실용적인 조언:

1. 풀기 전에 이차 방정식을 표준 형식으로 가져와서 작성합니다. 오른쪽.

2. X 제곱 앞에 음의 계수가 있으면 전체 방정식에 -1을 곱하여 이를 제거합니다.

3. 계수가 분수인 경우 전체 방정식에 해당 요소를 곱하여 분수를 제거합니다.

4. x 제곱이 순수하고 계수가 1이면 Vieta의 정리를 사용하여 해를 쉽게 확인할 수 있습니다. 해!

이제 결정할 수 있습니다.)

방정식 풀기:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

답변(혼란):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - 임의의 숫자

x 1 = -3
x 2 = 3

해결책이 없다

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

모든 것이 적합합니까? 엄청난! 이차방정식은 골칫거리가 아닙니다. 처음 세 개는 효과가 있었지만 나머지는 효과가 없었나요? 그렇다면 문제는 이차방정식에 있는 것이 아닙니다. 문제는 방정식의 동일한 변환에 있습니다. 링크를 살펴보시면 도움이 될 것입니다.

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먼저 이차방정식이 무엇인지, 일반형으로 어떻게 쓰는지 살펴보고, 관련된 정의를 알려드리겠습니다. 그런 다음 예제를 사용하여 불완전한 이차 방정식을 푸는 방법을 자세히 살펴보겠습니다. 다음으로, 우리는 완전한 방정식을 풀고, 근 공식을 얻고, 이차 방정식의 판별식을 익히고, 일반적인 예에 ​​대한 해결책을 고려할 것입니다. 마지막으로 근과 계수 사이의 연결을 추적해 보겠습니다.

페이지 탐색.

이차 방정식이란 무엇입니까? 유형

먼저 이차 방정식이 무엇인지 명확하게 이해해야 합니다. 따라서 이차 방정식의 정의 및 관련 정의를 사용하여 이차 방정식에 대한 대화를 시작하는 것이 논리적입니다. 그런 다음 이차 방정식의 주요 유형(환원 및 비환원, 완전 및 불완전 방정식)을 고려할 수 있습니다.

2차 방정식의 정의 및 예

정의.

이차 방정식다음 형식의 방정식입니다. a x 2 +b x+c=0여기서 x는 변수이고, a, b, c는 숫자이고, a는 0이 아닙니다.

2차 방정식을 종종 2차 방정식이라고 한다고 가정해 보겠습니다. 이는 이차 방정식이 다음과 같다는 사실에 기인합니다. 대수 방정식두번째 등급.

명시된 정의를 통해 우리는 이차 방정식의 예를 제공할 수 있습니다. 따라서 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 등이 됩니다. 이것은 이차 방정식입니다.

정의.

숫자 a, b, c가 호출됩니다. 이차 방정식의 계수 a·x 2 +b·x+c=0, 계수 a는 첫 번째 또는 가장 높은 계수 또는 x 2의 계수, b는 두 번째 계수 또는 x의 계수, c는 자유항이라고 합니다. .

예를 들어, 5 x 2 −2 x −3=0 형식의 2차 방정식을 생각해 보겠습니다. 여기서 선행 계수는 5이고 두 번째 계수는 −2이며 자유 항은 −3입니다. 방금 주어진 예에서와 같이 계수 b 및/또는 c가 음수인 경우 이차 방정식의 약식은 5 x 2 +(−2 )가 아니라 5 x 2 −2 x−3=0 입니다. ·x+(−3)=0 .

계수 a 및/또는 b가 1 또는 −1과 같을 때 일반적으로 이차 방정식에 명시적으로 존재하지 않는다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 이는 그러한 작성의 특성 때문입니다. 예를 들어, 2차 방정식 y 2 −y+3=0에서 선행 계수는 1이고 y의 계수는 −1과 같습니다.

축소 및 축소되지 않은 이차 방정식

최고차 계수의 값에 따라 감소된 이차 방정식과 감소되지 않은 이차 방정식이 구별됩니다. 이에 상응하는 정의를 제시해 보겠습니다.

정의.

최고차 계수가 1인 이차 방정식을 다음과 같이 부릅니다. 주어진 이차 방정식. 그렇지 않으면 이차 방정식은 다음과 같습니다. 손대지 않은.

에 따르면 이 정의, 2차 방정식 x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 등 – 주어진 경우, 각각의 첫 번째 계수는 1과 같습니다. A 5 x 2 −x−1=0 등 - 비환원 이차 방정식의 최고차 계수는 1과 다릅니다.

축소되지 않은 이차 방정식에서 양쪽을 선행 계수로 나누어 축소된 방정식으로 이동할 수 있습니다. 이 동작은 등가 변환입니다. 즉, 이렇게 얻은 기약 이차 방정식은 원래의 기약 이차 방정식과 동일한 근을 갖거나, 이와 같이 근이 없습니다.

비환원 이차 방정식에서 축소된 이차 방정식으로의 전환이 어떻게 수행되는지에 대한 예를 살펴보겠습니다.

예.

방정식 3 x 2 +12 x−7=0에서 해당하는 축소된 2차 방정식으로 이동합니다.

해결책.

원래 방정식의 양변을 선행 계수 3으로 나누기만 하면 됩니다. 이는 0이 아니므로 이 작업을 수행할 수 있습니다. (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, 이는 동일합니다. (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, 그리고 (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, 여기서 . 이것이 우리가 원래의 것과 동일한 축소된 이차 방정식을 얻은 방법입니다.

답변:

완전하고 불완전한 이차 방정식

2차 방정식의 정의에는 a≠0 조건이 포함됩니다. 이 조건은 방정식 a x 2 + b x + c = 0이 2차 방정식이 되기 위해 필요합니다. 왜냐하면 a = 0일 때 실제로는 b x + c = 0 형식의 선형 방정식이 되기 때문입니다.

계수 b와 c는 개별적으로나 함께 0과 같을 수 있습니다. 이러한 경우 이차 방정식을 불완전이라고 합니다.

정의.

2차 방정식 a x 2 +b x+c=0이 호출됩니다. 불완전한, 계수 b, c 중 적어도 하나가 0인 경우.

차례대로

정의.

완전한 이차 방정식는 모든 계수가 0이 아닌 방정식입니다.

그러한 이름은 우연히 주어진 것이 아닙니다. 이는 다음 논의를 통해 명확해질 것입니다.

계수 b가 0이면 2차 방정식은 a·x 2 +0·x+c=0의 형태를 취하고, 이는 방정식 a·x 2 +c=0과 동일합니다. c=0, 즉 이차방정식은 a·x 2 +b·x+0=0의 형태를 가지며, a·x 2 +b·x=0으로 다시 쓸 수 있습니다. 그리고 b=0이고 c=0이면 2차 방정식 a·x 2 =0을 얻습니다. 결과 방정식은 왼쪽 변에 변수 x가 있는 항이나 자유 항 또는 둘 다가 포함되지 않는다는 점에서 완전한 2차 방정식과 다릅니다. 따라서 그들의 이름은 불완전한 이차 방정식입니다.

따라서 방정식 x 2 +x+1=0 및 −2 x 2 −5 x+0.2=0은 완전한 2차 방정식의 예이고 x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0입니다. , −x 2 −5 x=0은 불완전한 2차 방정식입니다.

불완전한 2차 방정식 풀기

이전 단락의 정보에 따르면 다음과 같습니다. 세 가지 유형의 불완전 이차 방정식:

• a·x 2 =0, 계수 b=0 및 c=0이 이에 대응합니다.
• b=0 일 때 a x 2 +c=0 ;
• 그리고 c=0일 때 a·x 2 +b·x=0이다.

이러한 각 유형의 불완전한 2차 방정식이 어떻게 해결되는지 순서대로 살펴보겠습니다.

에×2=0

계수 b와 c가 0인 불완전한 2차 방정식, 즉 a x 2 =0 형식의 방정식을 푸는 것부터 시작해 보겠습니다. 방정식 a·x 2 =0은 방정식 x 2 =0과 동일하며, 이는 원본에서 두 부분을 0이 아닌 숫자 a로 나누어 얻은 것입니다. 분명히, 방정식 x 2 =0의 근은 0입니다. 왜냐하면 0 2 =0이기 때문입니다. 이 방정식에는 다른 근이 없으며, 이는 0이 아닌 숫자 p에 대해 부등식 p 2 >0이 유지된다는 사실로 설명됩니다. 이는 p≠0에 대해 평등 p 2 =0이 결코 달성되지 않음을 의미합니다.

따라서 불완전한 이차 방정식 a·x 2 =0은 단일 근 x=0을 갖습니다.

예를 들어, 불완전한 2차 방정식 −4 x 2 =0에 대한 해를 구합니다. 이는 방정식 x 2 =0과 동일하며 유일한 근은 x=0이므로 원래 방정식에는 단일 근 0이 있습니다.

이 경우 간단한 솔루션은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

이제 계수 b가 0이고 c≠0인 불완전한 2차 방정식, 즉 a x 2 +c=0 형식의 방정식이 어떻게 해결되는지 살펴보겠습니다. 우리는 반대 부호를 사용하여 방정식의 한쪽에서 다른 쪽으로 항을 이동하는 것뿐만 아니라 방정식의 양쪽을 0이 아닌 숫자로 나누면 등가 방정식이 된다는 것을 알고 있습니다. 따라서 불완전한 2차 방정식 a x 2 +c=0에 대해 다음과 같은 등가 변환을 수행할 수 있습니다.

• c를 오른쪽으로 이동하면 방정식 a x 2 =−c가 됩니다.
• 그리고 양변을 a로 나누면 가 됩니다.

결과 방정식을 통해 우리는 그 뿌리에 대한 결론을 도출할 수 있습니다. a와 c의 값에 따라 표현식의 값은 음수(예: a=1 및 c=2이면 ) 또는 양수(예: a=−2 및 c=6인 경우)일 수 있습니다. ), 조건 c≠0에 의해 0과 같지 않습니다. 사례를 별도로 살펴보겠습니다.

이면 방정식에는 근이 없습니다. 이 진술은 모든 숫자의 제곱이 음수가 아니라는 사실에서 비롯됩니다. 이로부터 , 그러면 임의의 숫자 p에 대해 동등성은 참이 될 수 없습니다.

그렇다면 방정식의 근이 있는 상황은 다릅니다. 이 경우에 대해 기억하면 방정식의 근은 즉시 명백해집니다. 숫자가 방정식의 근이기도 하다는 것을 추측하기 쉽습니다. 실제로 . 이 방정식에는 예를 들어 모순으로 표시할 수 있는 다른 근이 없습니다. 해보자.

방금 x 1 및 −x 1 로 발표된 방정식의 근을 표시해 보겠습니다. 방정식에 표시된 근 x 1 및 −x 1과 다른 근 x 2가 하나 더 있다고 가정합니다. x 대신 방정식에 그 뿌리를 대입하면 방정식이 올바른 수치 동등성으로 바뀌는 것으로 알려져 있습니다. x 1과 −x 1에 대해서는 가 있고, x 2에 대해서는 가 있습니다. 수치적 등식의 속성을 사용하면 정확한 수치적 등식을 항별로 뺄셈을 수행할 수 있으므로 등식의 해당 부분을 빼면 x 1 2 −x 2 2 =0이 됩니다. 숫자 연산의 속성을 사용하면 결과 동등성을 (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0으로 다시 작성할 수 있습니다. 우리는 두 숫자 중 적어도 하나가 0과 같은 경우에만 두 숫자의 곱이 0과 같다는 것을 알고 있습니다. 따라서 결과 동등성에서 x 1 −x 2 =0 및/또는 x 1 +x 2 =0이 되며 이는 x 2 =x 1 및/또는 x 2 =−x 1과 동일합니다. 그래서 처음에 방정식 x 2의 근이 x 1 및 −x 1과 다르다고 말했기 때문에 우리는 모순에 이르렀습니다. 이는 방정식에 및 이외의 근이 없음을 증명합니다.

이 단락의 정보를 요약해 보겠습니다. 불완전한 2차 방정식 a x 2 +c=0은 다음 방정식과 같습니다.

• 이면 뿌리가 없습니다.
• 두 개의 뿌리가 있고 , 만약 .

a·x 2 +c=0 형식의 불완전한 2차 방정식을 푸는 예를 고려해 보겠습니다.

2차 방정식 9 x 2 +7=0부터 시작해 보겠습니다. 자유 항을 방정식의 오른쪽으로 이동하면 9 x 2 =−7 형식을 취하게 됩니다. 결과 방정식의 양변을 9로 나누면 에 도달합니다. 우변이 음수이므로 이 방정식에는 근이 없습니다. 따라서 원래의 불완전 이차 방정식 9 x 2 +7 = 0에는 근이 없습니다.

또 다른 불완전한 이차 방정식 −x 2 +9=0을 풀어보겠습니다. 9를 오른쪽으로 이동합니다: −x 2 =−9. 이제 양변을 −1로 나누면 x 2 =9가 됩니다. 오른쪽에는 양수가 있으며, 그로부터 또는 이라고 결론을 내립니다. 그런 다음 최종 답을 적습니다. 불완전한 이차 방정식 −x 2 +9=0은 두 개의 근 x=3 또는 x=−3을 갖습니다.

a x 2 +b x=0

c=0에 대한 마지막 유형의 불완전 이차 방정식의 해를 다루는 것이 남아 있습니다. a x 2 + b x = 0 형식의 불완전한 2차 방정식을 사용하면 다음을 풀 수 있습니다. 인수분해 방법. 분명히, 우리는 방정식의 왼쪽에 위치하여 공통 인수 x를 괄호에서 빼는 것으로 충분합니다. 이를 통해 원래의 불완전한 이차 방정식에서 x·(a·x+b)=0 형식의 등가 방정식으로 이동할 수 있습니다. 그리고 이 방정식은 두 방정식 x=0 및 a·x+b=0의 집합과 동일하며, 후자는 선형이고 근 x=−b/a를 갖습니다.

따라서 불완전 이차 방정식 a·x 2 +b·x=0은 두 근 x=0과 x=−b/a를 갖습니다.

자료를 통합하기 위해 구체적인 예에 ​​대한 솔루션을 분석하겠습니다.

예.

방정식을 푼다.

해결책.

대괄호에서 x를 빼면 방정식이 됩니다. 이는 x=0 및 의 두 방정식과 동일합니다. 우리가 얻은 것을 해결하기 일차 방정식: , 그리고 대분수를 일반 분수로 나누어서 를 찾습니다. 따라서 원래 방정식의 근은 x=0 및 입니다.

필요한 연습을 마친 후 이러한 방정식에 대한 해를 간략하게 작성할 수 있습니다.

답변:

x=0, .

판별식, 이차 방정식의 근에 대한 공식

이차 방정식을 풀려면 근 공식이 있습니다. 적어보자 이차 방정식의 근에 대한 공식: , 어디 D=b2−4ac-소위 이차 방정식의 판별식. 항목은 본질적으로 다음을 의미합니다.

근식이 어떻게 도출되었는지, 이차방정식의 근을 찾는 데 어떻게 사용되는지를 아는 것은 유용합니다. 이것을 알아 봅시다.

이차 방정식의 근에 대한 공식 유도

2차 방정식 a·x 2 +b·x+c=0을 풀어야 합니다. 몇 가지 동등한 변환을 수행해 보겠습니다.

• 이 방정식의 양변을 0이 아닌 숫자 a로 나누어 다음과 같은 이차 방정식을 얻을 수 있습니다.
• 지금 완전한 정사각형을 선택하세요왼쪽: . 그 후 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
• 이 단계에서 마지막 두 항을 반대 부호를 사용하여 오른쪽으로 옮기는 것이 가능합니다.
• 그리고 오른쪽의 표현식도 변형해 보겠습니다.

그 결과, 원래의 2차 방정식 a·x 2 +b·x+c=0과 동등한 방정식에 도달했습니다.

우리가 조사했을 때 우리는 이전 단락에서 비슷한 형태의 방정식을 이미 풀었습니다. 이를 통해 방정식의 근에 대해 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.

• 이면 방정식에 실제 해가 없습니다.
• 만약 이면 방정식은 , 따라서 , 그것의 유일한 근이 보이는 형태를 갖습니다;
• if , then or 는 or 와 동일합니다. 즉, 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

따라서 방정식의 근의 유무, 즉 원래의 이차 방정식은 우변에 있는 표현식의 부호에 따라 달라집니다. 차례로, 이 표현식의 부호는 분자의 부호에 의해 결정됩니다. 왜냐하면 분모 4·a 2는 항상 양수이기 때문입니다. 즉, 표현식 b 2 −4·a·c의 부호에 의해 결정됩니다. 이 표현식은 b 2 −4 a c라고 불렸습니다. 이차 방정식의 판별식그리고 편지로 지정 디. 여기에서 판별식의 본질은 분명합니다. 값과 부호를 기반으로 이차 방정식에 실제 뿌리가 있는지 여부와 그렇다면 그 숫자가 1 또는 2인지 결론을 내립니다.

방정식으로 돌아가 판별 표기법을 사용하여 다시 작성해 보겠습니다. 그리고 우리는 결론을 내립니다.

• D라면<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• D=0이면 이 방정식은 단일 근을 갖습니다.
• 마지막으로, D>0이면 방정식은 두 개의 근을 갖습니다. or는 or 형식으로 다시 쓸 수 있으며, 분수를 공통 분모로 확장하고 가져온 후에 우리는 얻습니다.

그래서 우리는 이차방정식의 근에 대한 공식을 도출했습니다. 그들은 다음과 같습니다. 여기서 판별식 D는 공식 D=b 2 −4·a·c로 계산됩니다.

도움을 받아 양의 판별식을 사용하면 이차 방정식의 실수근을 모두 계산할 수 있습니다. 판별식이 0이면 두 공식 모두 이차 방정식의 고유한 해에 해당하는 동일한 근 값을 제공합니다. 그리고 음의 판별식을 사용하여 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하려고 하면 추출에 직면하게 됩니다. 제곱근음수에서 우리를 넘어 학교 커리큘럼. 음의 판별식을 사용하면 이차 방정식에는 실수 근이 없지만 쌍이 있습니다. 복합 공액체근은 우리가 얻은 것과 동일한 근 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

근 공식을 사용하여 2차 방정식을 풀기 위한 알고리즘

실제로 이차 방정식을 풀 때 즉시 근 공식을 사용하여 해당 값을 계산할 수 있습니다. 그러나 이것은 복잡한 뿌리를 찾는 것과 더 관련이 있습니다.

그러나 학교 과정대수학은 보통 우리 얘기 중이야복잡한 것이 아니라 이차 방정식의 실제 근에 관한 것입니다. 이 경우 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하기 전에 먼저 판별식을 찾고 그것이 음수가 아닌지 확인하는 것이 좋습니다(그렇지 않으면 방정식에 실제 근이 없다고 결론을 내릴 수 있습니다). 그런 다음 뿌리의 값을 계산하십시오.

위의 추론을 통해 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 이차 방정식을 푸는 알고리즘. 2차 방정식 a x 2 +b x+c=0을 풀려면 다음을 수행해야 합니다.

• 판별식 D=b 2 −4·a·c를 사용하여 그 값을 계산합니다.
• 판별식이 음수이면 이차 방정식에는 실수 근이 없다고 결론을 내립니다.
• D=0인 경우 공식을 사용하여 방정식의 유일한 근을 계산합니다.
• 판별식이 양수인 경우 근 공식을 사용하여 이차 방정식의 두 실수근을 찾습니다.

여기서는 판별식이 0이면 공식을 사용할 수도 있습니다. 와 동일한 값을 제공합니다.

이차 방정식을 풀기 위해 알고리즘을 사용하는 예로 넘어갈 수 있습니다.

이차 방정식 풀이의 예

양수, 음수, 판별식이 0인 세 가지 이차 방정식의 해를 고려해 보겠습니다. 그들의 해를 다룬 후에는 비유적으로 다른 이차 방정식을 푸는 것이 가능할 것입니다. 의 시작하자.

예.

방정식 x 2 +2·x−6=0의 근을 구합니다.

해결책.

이 경우 2차 방정식의 계수는 다음과 같습니다: a=1, b=2 및 c=−6. 알고리즘에 따르면 먼저 판별식을 계산해야 합니다. 이를 위해 표시된 a, b 및 c를 판별식에 대체하면 다음과 같습니다. D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0, 즉 판별식이 0보다 크므로 이차방정식은 두 개의 실수근을 갖습니다. 루트 공식을 사용하여 이를 찾아보겠습니다. 여기서는 다음을 수행하여 결과 표현식을 단순화할 수 있습니다. 승수를 루트 기호 너머로 이동이어서 분수가 감소됩니다.

답변:

다음 일반적인 예로 넘어가겠습니다.

예.

2차 방정식 −4 x 2 +28 x−49=0 을 풉니다.

해결책.

판별식을 찾는 것부터 시작합니다. D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. 따라서 이 이차 방정식은 단일 근을 가지며, 이는 다음과 같습니다.

답변:

x=3.5.

음의 판별식을 사용하여 이차 방정식을 푸는 것을 고려해야 합니다.

예.

방정식 5·y 2 +6·y+2=0을 푼다.

해결책.

다음은 2차 방정식의 계수입니다: a=5, b=6 및 c=2. 우리는 이 값을 판별 공식으로 대체합니다. D=b2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. 판별식이 음수이므로 이 이차 방정식에는 실수근이 없습니다.

복소수 근을 표시해야 하는 경우 이차 방정식의 근에 대해 잘 알려진 공식을 적용하고 다음을 수행합니다. 행동 복소수 :

답변:

실제 근은 없으며 복소근은 다음과 같습니다. .

이차 방정식의 판별식이 음수이면 학교에서는 일반적으로 실제 근이 없고 복소근을 찾을 수 없음을 나타내는 답을 즉시 기록한다는 점을 다시 한 번 알아두십시오.

짝수 번째 계수에 대한 근 공식

D=b 2 −4·a·c인 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하면 더 간결한 형태의 공식을 얻을 수 있으며, x에 대해 짝수 계수를 사용하여(또는 간단히 a로) 이차 방정식을 풀 수 있습니다. 예를 들어 2·n 또는 14·ln5=2·7·ln5 ) 형식의 계수입니다. 그녀를 내보내자.

a x 2 +2 n x+c=0 형식의 2차 방정식을 풀어야 한다고 가정해 보겠습니다. 우리가 알고 있는 공식을 이용하여 그 뿌리를 찾아봅시다. 이를 위해 판별식을 계산합니다. D=(2n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), 그런 다음 루트 공식을 사용합니다.

표현 n 2 −a c를 D 1로 표시하겠습니다 (때로는 D "로 표시됨). 그런 다음 두 번째 계수 2 n을 사용하여 고려중인 이차 방정식의 근에 대한 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다. , 여기서 D 1 =n 2 -a·c.

D=4·D1, 즉 D1=D/4임을 쉽게 알 수 있다. 즉, D 1은 판별식의 네 번째 부분입니다. D 1 의 부호가 D 의 부호와 동일하다는 것은 분명합니다. 즉, 기호 D 1은 이차 방정식의 근의 유무를 나타내는 지표이기도 합니다.

따라서 두 번째 계수가 2·n인 이차 방정식을 풀려면 다음이 필요합니다.

• D 1 =n 2 −a·c를 계산합니다.
• 만약 D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 =0이면 공식을 사용하여 방정식의 유일한 근을 계산합니다.
• D 1 >0이면 공식을 사용하여 두 개의 실수 근을 찾습니다.

이 단락에서 얻은 근 공식을 사용하여 예제를 해결해 보겠습니다.

예.

2차 방정식 5 x 2 −6 x −32=0 을 풉니다.

해결책.

이 방정식의 두 번째 계수는 2·(−3) 으로 나타낼 수 있습니다. 즉, 원래의 2차 방정식을 5 x 2 +2 (−3) x−32=0(여기서는 a=5, n=−3 및 c=−32) 형식으로 다시 작성하고 다음의 네 번째 부분을 계산할 수 있습니다. 판별식: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. 값이 양수이므로 방정식에는 두 개의 실수 근이 있습니다. 적절한 근 공식을 사용하여 이를 찾아보겠습니다.

이차 방정식의 근에 대해 일반적인 공식을 사용하는 것이 가능했지만 이 경우 더 많은 계산 작업이 수행되어야 합니다.

답변:

이차 방정식의 형태 단순화

때로는 공식을 사용하여 이차 방정식의 근을 계산하기 전에 "이 방정식의 형태를 단순화하는 것이 가능합니까? "라는 질문을 던져도 괜찮습니다. 계산 측면에서 1100 x 2 −400 x−600=0보다 2차 방정식 11 x 2 −4 x−6=0을 푸는 것이 더 쉬울 것이라는 점에 동의하세요.

일반적으로 이차 방정식의 형태를 단순화하려면 양변에 특정 숫자를 곱하거나 나누어야 합니다. 예를 들어, 이전 단락에서는 양변을 100으로 나누어 방정식 1100 x 2 −400 x −600=0을 단순화하는 것이 가능했습니다.

유사한 변환은 계수가 아닌 2차 방정식으로 수행됩니다. 이 경우 방정식의 양쪽은 일반적으로 계수의 절대값으로 나뉩니다. 예를 들어, 2차 방정식 12 x 2 −42 x+48=0을 생각해 보겠습니다. 계수의 절대값: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. 원래 이차 방정식의 양변을 6으로 나누면 등가 이차 방정식 2 x 2 −7 x+8=0에 도달합니다.

그리고 이차 방정식의 양변을 곱하는 것은 일반적으로 분수 계수를 제거하기 위해 수행됩니다. 이 경우 곱셈은 계수의 분모에 의해 수행됩니다. 예를 들어, 이차방정식의 양변에 LCM(6, 3, 1)=6을 곱하면 x 2 +4·x−18=0이라는 더 간단한 형식을 취하게 됩니다.

이 점의 결론에서 우리는 거의 항상 모든 항의 부호를 변경하여 이차 방정식의 가장 높은 계수에서 마이너스를 제거한다는 점에 주목합니다. 이는 양쪽에 −1을 곱하거나 나누는 것에 해당합니다. 예를 들어, 일반적으로 2차 방정식 −2 x 2 −3 x+7=0에서 해 2 x 2 +3 x−7=0으로 이동합니다.

이차 방정식의 근과 계수 사이의 관계

이차 방정식의 근에 대한 공식은 계수를 통해 방정식의 근을 표현합니다. 근 공식을 기반으로 근과 계수 사이의 다른 관계를 얻을 수 있습니다.

Vieta의 정리에서 가장 잘 알려지고 적용 가능한 공식은 형식과 입니다. 특히, 주어진 2차 방정식의 경우 근의 합은 반대 부호를 갖는 두 번째 계수와 같고 근의 곱은 자유항과 같습니다. 예를 들어, 2차 방정식 3 x 2 −7 x + 22 = 0의 형태를 살펴보면 근의 합은 7/3이고 근의 곱은 22라고 즉시 말할 수 있습니다. /삼.

이미 작성된 공식을 사용하면 이차 방정식의 근과 계수 사이에 여러 가지 다른 연결을 얻을 수 있습니다. 예를 들어, 계수를 통해 2차 방정식 근의 제곱의 합을 표현할 수 있습니다.

서지.

• 대수학:교과서 8학년용. 일반 교육 기관 / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 편집자 S. A. Telyakovsky. - 16판. -M .: 교육, 2008. - 271 p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• 모르드코비치 A.G.대수학. 8 학년. 오후 2시 1부. 학생들을 위한 교과서 교육 기관/ A.G. 모르드코비치. - 11판, 삭제됨. - M .: Mnemosyne, 2009. - 215 p .: 아픈. ISBN 978-5-346-01155-2.