소개
입체도형을 공부하기 시작하면서 '피라미드'라는 주제를 다루게 되었습니다. 피라미드는 건축에서 매우 자주 사용되기 때문에 우리는 이 주제를 좋아했습니다. 그리고 우리 이후로 미래 직업건축가는 이 인물에서 영감을 받아 그녀가 우리를 훌륭한 프로젝트로 이끌 수 있다고 생각합니다.
건축 구조의 강도는 가장 중요한 품질입니다. 강도를 첫째로, 재료가 생성되는 재료와 연결하고, 둘째, 기능과 연결합니다. 건설적인 솔루션, 구조의 강도는 그 구조의 기본이 되는 기하학적 형태와 직접적인 관련이 있음이 밝혀졌습니다.
다시 말해서, 우리 얘기 중이야해당 건축 형태의 모델로 간주될 수 있는 기하학적 도형에 대해 설명합니다. 그것은 밝혀졌다 기하학적 모양또한 건축 구조의 강도를 결정합니다.
고대부터 이집트 피라미드는 가장 내구성이 뛰어난 건축 구조물로 여겨져 왔습니다. 아시다시피, 그들은 정사각뿔 모양을 가지고 있습니다.
가장 큰 안정성을 제공하는 것은 바로 이 기하학적 모양입니다. 넓은 영역근거. 반면에 피라미드 모양은지면 위의 높이가 증가함에 따라 질량이 감소하는 것을 보장합니다. 피라미드를 안정적으로 만들어 중력 조건 하에서 강하게 만드는 것은 이 두 가지 특성입니다.
프로젝트의 목적: 피라미드에 대해 새로운 것을 배우고, 지식을 심화하며, 실제 적용 방법을 찾아보세요.
이 목표를 달성하려면 다음 작업을 해결해야 했습니다.
· 피라미드에 대한 역사적 정보를 알아보세요
· 피라미드를 다음과 같이 생각해보자 기하학적 도형
· 생활과 건축에서의 응용을 찾아보세요
· 다음에 위치한 피라미드 간의 유사점과 차이점을 찾아보세요. 다른 부분들스베타
이론적인 부분
역사정보
피라미드 기하학의 시작은 고대 이집트와 바빌론에서 시작되었지만 활발히 발전한 것은 고대 그리스. 피라미드의 부피를 최초로 확립한 사람은 데모크리토스(Democritus)였으며, 크니도스의 에우독소스(Eudoxus)가 그것을 증명했습니다. 고대 그리스 수학자 Euclid는 그의 Elements XII 권에서 피라미드에 대한 지식을 체계화했으며 또한 피라미드의 첫 번째 정의를 도출했습니다. 비행기로 경계, 한 평면에서 한 지점으로 수렴합니다.
이집트 파라오의 무덤. 그중 가장 큰 피라미드인 El Giza의 Cheops, Khafre 및 Mikerin의 피라미드는 고대에 세계 7대 불가사의 중 하나로 간주되었습니다. 그리스인과 로마인이 이미 전례없는 왕의 자존심과 이집트 전체 국민을 무의미한 건설로 몰아 넣은 잔인함에 대한 기념비를 본 피라미드 건설은 가장 중요한 컬트 행위였으며 다음과 같이 표현해야했습니다. 국가와 통치자의 신비로운 정체성. 그 나라의 주민들은 일년 중 농업 작업이 없는 기간 동안 무덤 건설에 일했습니다. 많은 문헌은 왕들 자신이 (비록 나중에라도) 무덤 건설과 건축자들에게 기울인 관심과 관심을 증언합니다. 피라미드 자체에 주어진 특별한 컬트 영예에 대해서도 알려져 있습니다.
기본 개념
피라미드를 밑면이 다각형이고 나머지 면이 공통 꼭지점을 갖는 삼각형인 다면체라고 합니다.
아포템- 측면 가장자리 높이 일반 피라미드, 상단에서 그려짐;
측면- 꼭지점에서 만나는 삼각형;
옆갈비- 측면의 공통 측면;
피라미드의 꼭대기- 측면 리브를 연결하고 베이스 평면에 놓여 있지 않은 지점.
키- 피라미드의 상단을 통해 밑면의 평면까지 그려진 수직 세그먼트(이 세그먼트의 끝은 피라미드의 상단과 수직의 하단입니다)
피라미드의 대각선 부분- 밑면의 상단과 대각선을 통과하는 피라미드 단면;
베이스- 피라미드의 꼭지점에 속하지 않는 다각형.
일반 피라미드의 기본 속성
옆갈비 옆면그리고 apothems는 각각 동일합니다.
밑면의 2면각은 동일합니다.
측면 모서리의 2면각은 동일합니다.
각 높이 지점은 밑면의 모든 정점에서 등거리에 있습니다.
각 높이 지점은 모든 측면에서 등거리에 있습니다.
기본 피라미드 공식
피라미드의 측면 및 전체 표면의 면적.
피라미드의 측면 면적 (전체 및 잘린 부분)은 모든 측면 면적의 합이고, 전체 표면적은 모든 측면 면적의 합입니다.
정리: 일반 피라미드의 측면 표면적은 밑면 둘레와 피라미드 변심의 곱의 절반과 같습니다.
피- 기본 둘레;
시간- 변심.
잘린 피라미드의 측면 및 전체 표면의 면적.
p 1, 피 2 - 기본 둘레;
시간- 변심.
아르 자형- 규칙적인 잘린 피라미드의 전체 표면적;
S측- 규칙적인 잘린 피라미드의 측면 표면 영역;
에스 1 + 에스 2- 기본 면적
피라미드의 부피
형태 볼륨 ula는 모든 종류의 피라미드에 사용됩니다.
시간- 피라미드의 높이.
피라미드 모서리
피라미드의 측면과 밑면이 이루는 각을 피라미드 밑면의 2면각이라고 합니다.
2면각은 두 개의 수직선에 의해 형성됩니다.
이 각도를 결정하려면 세 수직 정리를 사용해야 하는 경우가 많습니다..
측면 가장자리와 기본 평면에 대한 투영에 의해 형성된 각도를 호출합니다. 측면 가장자리와 밑면 평면 사이의 각도.
두 측면 가장자리가 이루는 각도를 이라고 합니다. 피라미드 측면 가장자리의 2면각.
피라미드의 한 면의 두 측면 모서리가 이루는 각도를 피라미드라고 합니다. 피라미드 꼭대기의 각도.
피라미드 섹션
피라미드의 표면은 다면체의 표면입니다. 각 면은 평면이므로 절단면에 의해 정의된 피라미드 단면은 개별 직선으로 구성된 파선입니다.
대각선 섹션
같은 면에 있지 않은 두 측면 모서리를 통과하는 평면에 의한 피라미드 단면을 피라미드의 단면이라고 합니다. 대각선 부분피라미드.
평행 섹션
정리:
피라미드가 밑면에 평행한 평면과 교차하는 경우 피라미드의 측면 모서리와 높이는 이 평면에 의해 비례 부분으로 나뉩니다.
이 평면의 단면은 밑면과 유사한 다각형입니다.
단면과 밑면의 면적은 정점으로부터의 거리의 제곱으로 서로 관련됩니다.
피라미드의 종류
올바른 피라미드– 밑면이 정다각형이고 피라미드의 꼭대기가 밑면의 중심에 투영되는 피라미드입니다.
일반 피라미드의 경우:
1. 옆갈비뼈가 동일하다
2. 옆면이 같다
3. 변심은 동등하다
4. 밑면의 이면각이 동일합니다.
5. 측면 가장자리의 2면각이 동일합니다.
6. 각 높이 지점은 밑면의 모든 꼭지점에서 등거리에 있습니다.
7. 각 높이 지점은 모든 측면 가장자리에서 등거리에 있습니다.
잘린 피라미드- 밑면과 밑면에 평행한 절단면 사이에 둘러싸인 피라미드의 일부.
잘린 피라미드의 밑면과 해당 부분을 호출합니다. 잘린 피라미드의 기초.
한 밑면의 한 점에서 다른 밑면까지 그은 수직선을 수선이라고 합니다. 잘린 피라미드의 높이.
작업
1위. 정사각형 피라미드에서 점 O는 밑면의 중심, SO=8cm, BD=30cm, 측면 가장자리 SA를 찾습니다.
문제 해결
1위. 일반 피라미드에서는 모든 면과 모서리가 동일합니다.
OSB를 고려해보세요. OSB는 직사각형 직사각형이기 때문입니다.
SB 2 =SO 2 +OB 2
SB 2 =64+225=289
건축의 피라미드
피라미드는 일반적인 정육각형 모양의 기념비적인 구조물입니다. 기하학적 피라미드, 측면이 한 지점에서 수렴됩니다. 에 의해 기능적 목적고대의 피라미드는 매장지나 숭배 장소였습니다. 피라미드의 밑면은 삼각형, 사각형 또는 임의의 수의 꼭지점이 있는 다각형 모양일 수 있지만 가장 일반적인 버전은 사각형 밑면입니다.
피라미드가 상당히 많이 건설되어 있습니다. 다른 문화 고대 세계주로 사원이나 기념물로 사용됩니다. 대형 피라미드에는 이집트 피라미드가 포함됩니다.
지구 곳곳에서 피라미드 형태의 건축물을 볼 수 있습니다. 피라미드 건물은 고대를 연상시키며 매우 아름답게 보입니다.
이집트 피라미드가 가장 크다 건축 기념물세계 7대 불가사의 중 하나인 쿠프스의 피라미드를 포함한 고대 이집트. 기슭에서 꼭대기까지 137.3m에 달하고, 꼭대기를 잃기 전 높이는 146.7m였다.
역피라미드를 닮은 슬로바키아 수도의 라디오 방송국 건물은 1983년에 지어졌습니다. 사무실과 서비스 건물 외에도 볼륨 내부에는 슬로바키아에서 가장 큰 오르간 중 하나를 보유한 상당히 넓은 콘서트 홀이 있습니다.
“피라미드처럼 고요하고 장엄한” 루브르 박물관은 수세기에 걸쳐 많은 변화를 거쳐 오늘날의 모습을 갖추게 되었습니다. 최고의 박물관평화. 1190년 필립 아우구스투스(Philip Augustus)가 세운 요새로 탄생했으며 곧 왕실 거주지가 되었습니다. 1793년에 궁전은 박물관이 되었습니다. 컬렉션은 유산이나 구매를 통해 풍성해집니다.
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피라미드- 이것은 한 면이 피라미드의 밑면인 다면체입니다. 임의의 다각형이고 나머지는 측면입니다. 피라미드의 상단이라고 하는 공통 꼭지점이 있는 삼각형입니다. 피라미드 꼭대기에서 밑면까지 떨어뜨린 수직선을 피라미드라고 합니다. 피라미드 높이. 피라미드의 밑면이 삼각형, 사각형 등인 경우 피라미드를 삼각형, 사각형 등으로 부릅니다. 삼각형 피라미드는 사면체-사면체입니다. 사각형 - 오각형 등
피라미드, 잘린 피라미드
올바른 피라미드
피라미드의 밑면이 정다각형이고 높이가 밑면의 중심에 오면 피라미드는 정다각형입니다. 일반 피라미드에서는 모든 측면 모서리가 동일하고 모든 측면이 동일한 이등변삼각형입니다. 일반 피라미드의 측면 삼각형의 높이를 다음과 같이 부릅니다. 일반 피라미드의 변덕.
잘린 피라미드
피라미드의 밑면과 평행한 단면이 피라미드를 두 부분으로 나눕니다. 밑면과 이 부분 사이의 피라미드 부분은 다음과 같습니다. 잘린 피라미드 . 잘린 피라미드에 대한 이 섹션은 기본 중 하나입니다. 잘린 피라미드의 밑면 사이의 거리를 잘린 피라미드의 높이라고 합니다. 잘린 피라미드는 그것이 파생된 피라미드가 규칙적이면 규칙적이라고 합니다. 정절단 피라미드의 모든 측면은 동일한 이등변 사다리꼴입니다. 규칙적인 잘린 피라미드의 측면 사다리꼴 높이를 다음과 같이 부릅니다. 정규 잘린 피라미드의 전조.
어떻게 피라미드를 만들 수 있나요? 표면에 아르 자형예를 들어 오각형 ABCDE와 같은 다각형을 만들어 보겠습니다. 비행기 밖으로 아르 자형점 S를 선택해 보겠습니다. 점 S를 세그먼트로 다각형의 모든 점에 연결하면 SABCDE 피라미드가 생성됩니다(그림).
점 S가 호출됩니다. 맨 위이고 다각형 ABCDE는 다음과 같습니다. 기초이 피라미드. 따라서 상단 S와 하단 ABCDE를 갖는 피라미드는 M ∈ ABCDE인 모든 세그먼트의 합집합입니다.
삼각형 SAB, SBC, SCD, SDE, SEA가 호출됩니다. 옆면피라미드, 측면 SA, SB, SC, SD, SE의 공통 측면 - 측면 갈비뼈.
피라미드라고 불린다. 삼각형, 사각형, p각베이스의 측면 수에 따라. 그림에서. 삼각형, 사각형 및 육각형 피라미드의 이미지가 제공됩니다.
피라미드의 꼭대기와 밑면의 대각선을 지나는 평면을 피라미드라고 한다. 대각선, 결과 섹션은 다음과 같습니다. 대각선.그림에서. 186 육각형 피라미드의 대각선 부분 중 하나가 음영처리되어 있습니다.
피라미드의 상단을 통해 밑면까지 그려진 수직 세그먼트를 피라미드의 높이라고 합니다(이 세그먼트의 끝은 피라미드의 상단과 수직의 밑면입니다).
피라미드라고 불리는 옳은, 피라미드의 밑면이 정다각형이고 피라미드의 꼭지점이 중심에 투영된 경우.
정다각형 피라미드의 모든 옆면은 합동인 이등변삼각형이다. 일반 피라미드에서는 모든 측면 모서리가 합동입니다.
꼭지점에서 그린 정뿔의 옆면의 높이를 다음과 같이 부릅니다. 변심피라미드. 일반 피라미드의 모든 변심은 합동입니다.
베이스의 측면을 다음과 같이 지정하면 ㅏ, 그리고 apothem은 다음을 통해 시간, 피라미드의 한 측면의 면적은 1/2입니다. 아.
피라미드의 모든 측면의 면적의 합을 피라미드라고 합니다. 측면 표면적피라미드이며 S면으로 지정됩니다.
왜냐하면 측면정규 피라미드는 다음과 같이 구성됩니다. N그러면 일치하는 얼굴
S측 = 1/2 안=피 시간 / 2 ,
여기서 P는 피라미드 밑면의 둘레입니다. 따라서,
S측 =피 시간 / 2
즉. 일반 피라미드의 측면 표면적은 밑면과 변심의 둘레의 곱의 절반과 같습니다.
피라미드의 전체 표면적은 다음 공식으로 계산됩니다.
S = S ocn. + S 측. .
피라미드의 부피는 밑면 S ocn 면적의 곱의 1/3과 같습니다. 높이 H까지:
V = 1/3 S 메인. N.
이 공식과 다른 공식의 파생은 다음 장에서 제공됩니다.
이제 다른 방식으로 피라미드를 만들어 보겠습니다. 예를 들어 정점 S가 있는 5면체 각도를 다면체 각도로 가정합니다(그림).
비행기를 그려보자 아르 자형주어진 다면체 각도의 모든 모서리와 교차하도록 다른 점 A, B, C, D, E(그림). 그런 다음 SABCDE 피라미드는 다면체 각도와 경계가 있는 절반 공간의 교차점으로 간주될 수 있습니다. 아르 자형, 정점 S가 놓여 있습니다.
분명히 피라미드의 모든 면의 수는 임의적일 수 있지만 4개 이상이어야 합니다. 삼면체 각도가 평면과 교차하면 4개의 변이 있는 삼각형 피라미드가 생성됩니다. 나는 그것을 좋아한다 삼각뿔가끔 불린다 사면체, 이는 사면체를 의미합니다.
잘린 피라미드피라미드가 밑면과 평행한 평면과 교차하면 얻을 수 있습니다.
그림에서. 잘린 사각형 피라미드의 이미지가 제공됩니다.
잘린 피라미드라고도합니다. 삼각형, 사각형, n각형베이스의 측면 수에 따라. 잘린 피라미드를 구성하면 위쪽과 아래쪽의 두 가지 기본이 있습니다. 잘린 피라미드의 밑면은 두 개의 다각형으로 구성되며 그 측면은 쌍으로 평행합니다. 잘린 피라미드의 측면은 사다리꼴입니다.
키잘린 피라미드는 상부 밑면의 임의의 지점에서 하부 평면까지 그려진 수직 세그먼트입니다.
정절두뿔밑면과 밑면에 평행한 단면 평면 사이에 둘러싸인 정뿔뿔의 일부라고 합니다. 정삼각형(사다리꼴)의 측면 높이를 다음과 같이 부릅니다. 변심.
정뿔형의 측면 모서리가 합동이고 모든 측면이 합동이며 모든 변심이 합동임을 증명할 수 있습니다.
올바르게 잘린 경우 N-석탄 피라미드를 통해 ㅏ그리고 비앤상단 및 하단베이스의 측면 길이를 나타냅니다. 시간변심의 길이이고, 피라미드의 각 측면의 면적은 다음과 같습니다.
1 / 2 (ㅏ + 비앤) 시간
피라미드의 모든 측면 면적의 합을 측면 면적이라고 하며 S면으로 지정합니다. . 분명히, 올바른 잘림을 위해 N-석탄 피라미드
S측 = N 1 / 2 (ㅏ + 비앤) 시간.
왜냐하면 아빠= P 및 아니오= P 1 - 잘린 피라미드 밑면의 둘레
S측 = 1 / 2 (P + P 1) 시간,
즉, 규칙적인 잘린 피라미드의 측면 표면적은 밑변과 변심의 둘레의 합의 절반과 같습니다.
피라미드 바닥과 평행한 단면
정리. 피라미드가 밑면과 평행한 평면과 교차하는 경우:1) 측면 갈비뼈와 높이가 비례적인 부분으로 나누어집니다.
2) 단면에서 밑면과 유사한 다각형을 얻게 됩니다.
3) 단면적과 밑면은 상단으로부터의 거리의 제곱으로 연결됩니다.
삼각뿔의 정리를 증명하는 것으로 충분합니다.
평행 평면은 평행선을 따라 세 번째 평면과 교차하므로 (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (그림).
평행선은 각도의 변을 비례적인 부분으로 자르므로
$$ \frac(\left|(SA)\right|)(\left|(SA_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1)\right| )=\frac(\왼쪽|(SC)\오른쪽|)(\왼쪽|(SC_1)\오른쪽|) $$
따라서 ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 및
$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\오른쪽|) $$
ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 및
$$ \frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_(1)C_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\right|)=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$
따라서,
$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_ (1)C_1)\right|)=\frac(\left|(AC)\right|)(\left|(A_(1)C_1)\right|) $$
대응 각도 삼각형 ABC그리고 A 1 B 1 C 1 은 평행하고 동일한 변을 가진 각도처럼 합동입니다. 그렇기 때문에
ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1
비슷한 삼각형의 면적은 해당 변의 제곱과 관련이 있습니다.
$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$
$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SH)\right|)(\left|(SH_1 )\오른쪽|) $$
따라서,
$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$
정리. 높이가 같은 두 피라미드를 밑면에 평행한 평면으로 위에서 같은 거리에서 자르면 단면적은 밑면 면적에 비례합니다.
(그림 84) B와 B 1을 두 피라미드의 밑면 영역으로 하고, H를 각각의 높이로 하고, 비그리고 비 1 - 베이스에 평행하고 동일한 거리에 있는 꼭지점에서 제거된 평면에 의한 단면적 시간.
이전 정리에 따르면 우리는 다음을 갖게 됩니다:
$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: 그리고 \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
어디
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: 또는 \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$
결과. B = B 1이면, 비 = 비 1, 즉 높이가 같은 두 피라미드의 밑면이 같으면 위에서 같은 간격으로 떨어진 부분도 같습니다.
기타 재료
