이 비디오 자습서는 사용자가 피라미드 테마에 대한 아이디어를 얻는 데 도움이됩니다. 올바른 피라미드. 이 강의에서 우리는 피라미드의 개념에 대해 알게 될 것이고 정의를 줄 것입니다. 일반 피라미드가 무엇이며 어떤 속성이 있는지 생각해 봅시다. 그런 다음 규칙적인 피라미드의 측면 정리를 증명합니다.
이 강의에서 우리는 피라미드의 개념에 대해 알게 될 것이고 정의를 줄 것입니다.
다각형 고려 A 1 A 2...앤, 평면 α에 있고 점 피, 평면 α에 있지 않습니다 (그림 1). 요점을 연결하자 피 봉우리 A 1, A 2, A 3, … 앤... 우리는 엔 삼각형 : A 1 A 2 R, A 2 A 3 R 기타
정의... 다면체 RA 1 A 2 ... A n구성 엔-각형 A 1 A 2...앤 과 엔삼각형 RA 1 A 2, RA 2 A 3 …PA n А n -1이 호출됩니다. 엔-다각형 피라미드. 그림: 하나.
그림: 하나
사각형 피라미드를 고려하십시오 PABCD (그림 2).
아르 자형 -피라미드 꼭대기.
ABCD -피라미드의 바닥.
RA -측면 리브.
AB -베이스의 가장자리.
지점에서 아르 자형 수직을 생략하다 PH 기지의 평면에서 ABCD... 그려진 수직은 피라미드의 높이입니다.
그림: 2
피라미드의 전체 표면은 측면 표면, 즉 모든 측면 영역과 기본 영역으로 구성됩니다.
S 전체 \u003d S면 + S 메인
피라미드는 다음과 같은 경우 올바른 것으로 불립니다.
- 그베이스는 정다각형입니다.
- 피라미드의 꼭대기와 밑면의 중심을 연결하는 선분이 높이입니다.
정사각형 피라미드의 예에 대한 설명
정사각형 피라미드를 고려하십시오 PABCD (그림 3).
아르 자형 -피라미드 꼭대기. 피라미드의 기초 ABCD -정사각형, 즉 정사각형. 점 약, 대각선의 교차점은 정사각형의 중심입니다. 그 후, RO 피라미드의 높이입니다.
그림: 삼
설명: 올바른 엔-gon 내접원의 중심과 circumcircle의 중심이 일치합니다. 이 중심을 다각형의 중심이라고합니다. 때때로 상단이 중앙으로 비춰 진다고합니다.
정상 피라미드의 옆면 높이를 아포 헴 그리고 표시 h a.
1. 일반 피라미드의 모든 측면 모서리가 동일합니다.
2. 측면은 동일한 이등변 삼각형입니다.
이러한 속성의 증거는 정사각형 피라미드의 예에서 제공됩니다.
주어진: PABCD -정사각형 피라미드,
ABCD -정사각형,
RO -피라미드의 높이.
알다:
1. PA \u003d PB \u003d PC \u003d PD
2. ∆АВР \u003d ∆ВСР \u003d ∆СDP \u003d ∆DAP 그림 참조. 4.
그림: 4
증거.
RO -피라미드의 높이. 즉, 스트레이트 RO 평면에 수직 알파벳, 따라서 직접 JSC, VO, SO 과 하다그것에 누워. 그래서 삼각형 ROA, ROV, ROS, POD -직사각형.
사각형 고려 ABCD... 사각형의 속성에서 AO \u003d BO \u003d CO = 하다.
그런 다음 직각 삼각형은 ROA, ROV, ROS, POD 다리 RO -일반 및 다리 JSC, VO, SO 과 하다이는이 삼각형이 두 다리에서 동일하다는 것을 의미합니다. 삼각형의 동일성은 세그먼트의 동일성을 의미합니다. PA \u003d PB \u003d PC \u003d PD.항목 1이 입증되었습니다.
세그먼트 AB과 태양정사각형 하나의 변이기 때문에 동일합니다. PA \u003d PB \u003d RS... 그래서 삼각형 ABP과 HRV-이등변과 3면이 동일합니다.
마찬가지로 삼각형이 ATS, BCP, CDP, DAP 단락 2에서 증명하는 데 필요한 이등변 및 동일합니다.
일반 피라미드의 측면 표면적은 기본 둘레 곱하기 아포 헴의 절반입니다.
증명을 위해 정삼각형 피라미드를 선택합니다.
주어진: RAVS -정삼각형 피라미드.
AB \u003d BC \u003d AC.
RO -높이.
알다: 
... 그림 참조. 5.
그림: 5
증거.
RAVS -정삼각형 피라미드. 즉 AB= AC \u003d BC... 허락하다 약 -삼각형의 중심 알파벳그때 RO 피라미드의 높이입니다. 정삼각형이 피라미드 바닥에 있습니다. 알파벳... 그것을주의해라 
.
삼각형 RAV, RVS, RSA -동일한 이등변 삼각형 (속성 별). 삼각형 피라미드에는 세 개의 측면이 있습니다. RAV, RVS, RSA... 따라서 피라미드의 측면 면적은 다음과 같습니다.
S 측 \u003d 3S RAV
정리가 증명되었습니다.
정사각형 피라미드의 바닥에 새겨진 원의 반경은 3m, 피라미드의 높이는 4m입니다. 피라미드의 측면 면적을 찾으십시오.
주어진: 정사각형 피라미드 ABCD,
ABCD -정사각형,
아르 자형 \u003d 3m,
RO -피라미드의 높이,
RO \u003d 4m.
찾다: S면. 그림 참조. 6.
그림: 6
결정.
증명 된 정리에 의해.
베이스의 측면을 먼저 찾으십시오. AB... 정사각형 피라미드의 밑면에 새겨진 원의 반지름이 3m라는 것을 알고 있습니다.
그런 다음 m.
정사각형의 둘레 구하기 ABCD측면 6m :
삼각형을 고려하십시오 BCD... 허락하다 미디엄 -측면 중간 DC... 같이 약 - 가운데 BD그때 
(미디엄).
삼각형 DPC -이등변. 미디엄 - 가운데 DC... 즉, RM -중앙값, 따라서 삼각형의 높이 DPC... 그때 RM -피라미드의 종말.
RO -피라미드의 높이. 그럼 똑바로 RO 평면에 수직 알파벳, 따라서 직선 OM그것에 누워. 변명을 찾아 보자 RM 직각 삼각형에서 ROM.
이제 피라미드의 측면을 찾을 수 있습니다.
대답: 60m 2.
정삼각형 피라미드의 밑 부분을 둘러싼 원의 반지름은 m이고 측면 표면적은 18m 2입니다. 종말의 길이를 찾으십시오.
주어진: ABCP -정삼각형 피라미드,
AB \u003d BC \u003d CA,
아르 자형 \u003d m,
S면 \u003d 18m 2.
찾다:. 그림 참조. 7.
그림: 7
결정.
정삼각형에서 알파벳 외접원의 반경이 주어집니다. 편 찾기 AB 이 삼각형은 사인 정리를 사용합니다.
정삼각형 (m)의 변을 알면 그 둘레를 찾습니다.
일반 피라미드의 측면 표면적에 대한 정리에 의해, 여기서 h a-피라미드의 종말. 그때:
대답: 4m
그래서 우리는 피라미드가 무엇인지, 정규 피라미드가 무엇인지 조사하고, 정규 피라미드의 측면에 대한 정리를 증명했습니다. 다음 수업에서는 잘린 피라미드에 대해 알아볼 것입니다.
서지
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- 기하학. 10 학년 : 수학에 대한 심도 있고 전문적인 연구를하는 교육 기관용 교과서 / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. -6 판, 고정 관념. -M. : Bustard, 008 .-- 233 p. : 아프다.
- 인터넷 포털 "Yaklass"()
- 인터넷 포털 "교육 아이디어 축제"9 월 1 일 "()
- 인터넷 포털 "Slideshare.net"()
숙제
- 정다각형이 불규칙한 피라미드의 기초가 될 수 있습니까?
- 일반 피라미드의 분리 된 모서리가 수직임을 증명하십시오.
- 피라미드의 아포 헴이 밑변과 같으면 정사각형 피라미드의 밑변에있는 2 면각의 값을 구합니다.
- RAVS -정삼각형 피라미드. 피라미드의 바닥에서 2 면체의 선형 각도를 만듭니다.
정의. 측면 가장자리 삼각형의 한쪽 모서리가 피라미드의 정점에 있고 반대쪽이 밑면 (다각형)과 일치하는 삼각형입니다.
정의. 사이드 리브 측면의 공통 측면입니다. 피라미드에는 다각형의 모서리만큼 많은 모서리가 있습니다.
정의. 피라미드 높이 피라미드의 꼭대기에서 바닥까지 수직으로 떨어집니다.
정의. Apothem 는 피라미드의 측면에 수직이며, 피라미드의 상단에서베이스의 측면으로 내려갑니다.
정의. 대각선 섹션 피라미드의 상단과 밑면의 대각선을 통과하는 평면에 의한 피라미드의 단면입니다.
정의. 올바른 피라미드 밑면이 정다각형이고 높이가 밑면의 중심으로 떨어지는 피라미드입니다.
피라미드의 부피와 표면적
공식. 피라미드의 부피 베이스 영역과 높이를 통해 :
피라미드 속성
모든 측면 모서리가 같으면 피라미드 밑면 주위에 원을 설명 할 수 있고 밑면의 중심은 원의 중심과 일치합니다. 또한 상단에서 떨어진 수직선은베이스의 중심 (원)을 통과합니다.
모든 측면 모서리가 동일하면 동일한 각도로 바닥면에 기울어집니다.
측면 모서리는 기준면과 동일한 각도를 형성하거나 피라미드 밑면 주위에 원을 설명 할 수있는 경우 동일합니다.
측면이 기준면에 한 각도로 기울어지면 원이 피라미드 바닥에 새겨지고 피라미드의 상단이 중앙으로 투영됩니다.
측면이 동일한 각도로베이스 평면에 대해 기울어 진 경우 측면의 아포 헴은 동일합니다.
일반 피라미드의 속성
1. 피라미드의 상단은베이스의 모든 모서리에서 등거리에 있습니다.
2. 모든 측면 리브가 동일합니다.
3. 모든 측면 리브는베이스와 동일한 각도로 기울어집니다.
4. 모든 측면의 아포 헴은 동일합니다.
5. 모든 측면의 면적이 동일합니다.
6. 모든면은 동일한 2 면체 (평면) 각도를 갖습니다.
7. 피라미드 주위에 구체를 설명 할 수 있습니다. 설명 된 구의 중심은 가장자리의 중앙을 통과하는 수직선의 교차점이됩니다.
8. 피라미드에 구를 새길 수 있습니다. 내접 구의 중심은 가장자리와 밑면 사이의 각도에서 시작되는 이등분선의 교차점이됩니다.
9. 내접 구의 중심이 외접 구의 중심과 일치하면 꼭지점에서 편평한 각도의 합이 π와 같거나 그 반대의 경우, 한 각도는 π / n과 같습니다. 여기서 n은 피라미드 밑면의 각도 수입니다.
구와 피라미드의 연결
다면체가 원을 설명 할 수있는 피라미드의 바닥에있을 때 피라미드 주위에 구를 설명 할 수 있습니다 (필수적이고 충분한 조건). 구의 중심은 피라미드 측면 가장자리의 중간 점을 수직으로 통과하는 평면의 교차점이됩니다.
구는 항상 삼각형 또는 일반 피라미드를 중심으로 설명 할 수 있습니다.
피라미드 내부 2 면체 모서리의 이등분면이 한 지점에서 교차하는 경우 (필요하고 충분한 조건) 구를 피라미드에 새길 수 있습니다. 이 점은 구의 중심이됩니다.
원뿔과 피라미드의 연결
원뿔은 꼭지점이 일치하면 피라미드에 내접이라고하며 원뿔의 밑면은 피라미드의 기저에 새겨집니다.
피라미드의 아포 헴이 서로 같으면 원뿔을 피라미드에 새길 수 있습니다.
원뿔은 꼭대기가 일치하면 피라미드 주위에 외접이라고 불리며 원뿔의 밑면은 피라미드의 기저 주위에 외접됩니다.
피라미드의 모든 측면 모서리가 서로 같으면 피라미드 주위에 원뿔을 설명 할 수 있습니다.
피라미드와 실린더의 연결
피라미드의 꼭대기가 원통의 한 밑면에 있고 피라미드의 밑면이 원통의 다른 밑면에 새겨 져 있으면 피라미드를 원통에 내접이라고합니다.
원이 피라미드의 바닥 주위에 설명 될 수있는 경우 피라미드 주위에 원통을 설명 할 수 있습니다.
사면체에는 4 개의면과 4 개의 정점과 6 개의 가장자리가 있으며, 두 가장자리에는 공통 정점이 없지만 닿지 않습니다.
각 정점은 3 개의면과 모서리로 구성되어 삼각형 코너.
정사면체의 꼭지점과 반대면의 중심을 연결하는 세그먼트를 중앙 사면체 (GM).
Bimedian 접촉하지 않는 (KL) 반대쪽 모서리의 중간 점을 연결하는 세그먼트입니다.
사면체의 모든 바이 메디 언과 중앙값은 한 지점 (S)에서 교차합니다. 이 경우 중간 값은 절반으로 나뉘고 중간 값은 위쪽에서 시작하여 3 : 1의 비율로 나뉩니다.
정의. 예각 피라미드 아포 헴이 밑변 길이의 절반 이상인 피라미드입니다.
정의. 둔각 피라미드 아포 헴이 밑변 길이의 절반 미만인 피라미드입니다.
정의. 정사면체 -네면이 모두 정삼각형 인 4 면체. 5 개의 정다각형 중 하나입니다. 정사면체에서 모든 2 면체 각도 (면 사이)와 3 면체 각도 (정점에서)는 동일합니다.
정의. 직사각형 사면체 꼭지점에서 세 가장자리 사이에 직각을 갖는 사면체라고합니다 (가장자리가 수직 임). 3면 형태 직사각형 삼각형 코너 면은 직각 삼각형이고 밑면은 임의의 삼각형입니다. 모든면의 아포 텐은 아포 텐이 떨어지는베이스 측면의 절반과 같습니다.
정의. 등사 면체 측면이 서로 같고 밑면이 정삼각형 인 4 면체라고합니다. 이러한 사면체에서면은 이등변 삼각형입니다.
정의. 직교 사면체 윗면에서 반대면으로 내려가는 모든 높이 (수직)가 한 지점에서 교차하는 4 면체라고합니다.
정의. 별 피라미드 베이스가 별인 다면체라고합니다.
정의
피라미드 다각형 \\ (A_1A_2 ... A_n \\) 및 \\ (n \\) 삼각형으로 구성된 다면체이며, 공통 꼭지점 \\ (P \\) (다각형의 평면에 있지 않음)과 반대쪽이 다각형의 측면과 일치합니다.
지정 : \\ (PA_1A_2 ... A_n \\).
예 : 오각형 피라미드 \\ (PA_1A_2A_3A_4A_5 \\).
삼각형 \\ (PA_1A_2, \\ PA_2A_3 \\) 등 불린다 측면 피라미드, 세그먼트 \\ (PA_1, PA_2 \\) 등 - 측면 갈비뼈, 다각형 \\ (A_1A_2A_3A_4A_5 \\)- 기초, 포인트 \\ (P \\)- 상단.
신장 피라미드는 피라미드 상단에서 기본 평면까지 수직으로 떨어집니다.
밑면에 삼각형이있는 피라미드를 사면체.
피라미드는 옳은베이스가 정다각형이고 다음 조건 중 하나가 충족되는 경우 :
\\ ((a) \\) 피라미드의 측면 가장자리가 동일합니다.
\\ ((b) \\) 피라미드의 높이는 밑면 근처에 설명 된 원의 중심을 통과합니다.
\\ ((c) \\) 측면 리브는베이스의 평면에 대해 같은 각도로 기울어집니다.
\\ ((d) \\) 측면은베이스의 평면에 대해 동일한 각도로 기울어집니다.
정사면체 모든면이 동일한 정삼각형 인 삼각형 피라미드입니다.
정리
조건 \\ ((a), (b), (c), (d) \\)는 동등합니다.
증거
피라미드의 높이 \\ (PH \\)를 그려 봅시다. \\ (\\ alpha \\)를 피라미드 밑면의 평면이라고합시다.
1) \\ ((a) \\)가 \\ ((b) \\)를 의미한다는 것을 증명합시다. \\ (PA_1 \u003d PA_2 \u003d PA_3 \u003d ... \u003d PA_n \\)이라고합시다.
때문에 \\ (PH \\ perp \\ alpha \\), \\ (PH \\)는이 평면에있는 모든 직선에 수직이므로 삼각형은 직사각형입니다. 따라서 이러한 삼각형은 공통 다리 \\ (PH \\)와 빗변 \\ (PA_1 \u003d PA_2 \u003d PA_3 \u003d ... \u003d PA_n \\)에서 동일합니다. 따라서 \\ (A_1H \u003d A_2H \u003d ... \u003d A_nH \\)입니다. 이것은 점 \\ (A_1, A_2, ..., A_n \\)이 점 \\ (H \\)에서 같은 거리에 있으므로 반경 \\ (A_1H \\)를 가진 동일한 원에 있다는 것을 의미합니다. 정의에 따라이 원은 폴리곤 \\ (A_1A_2 ... A_n \\) 주위로 둘러싸여 있습니다.
2) \\ ((b) \\)가 \\ ((c) \\)를 의미한다는 것을 증명합시다.
\\ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \\) 직사각형이고 두 다리가 동일합니다. 따라서 각도도 동일하므로 \\ (\\ 각도 PA_1H \u003d \\ 각도 PA_2H \u003d ... \u003d \\ 각도 PA_nH \\).
3) \\ ((c) \\)가 \\ ((a) \\)를 의미한다는 것을 증명합시다.
첫 번째 점, 삼각형과 유사 \\ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \\) 직사각형과 다리와 예각을 따라. 이는 빗변도 동일하다는 것을 의미합니다. 즉, \\ (PA_1 \u003d PA_2 \u003d PA_3 \u003d ... \u003d PA_n \\)입니다.
4) \\ ((b) \\)가 \\ ((d) \\)를 의미한다는 것을 증명합시다.
때문에 정다각형에서 circumcircle과 incircle의 중심이 일치하고 (일반적으로이 점을 정다각형의 중심이라고 함) \\ (H \\)는 incircle의 중심입니다. \\ (H \\) 지점에서 밑면의 측면까지 수직을 그립니다 : \\ (HK_1, HK_2 \\) 등. 이것은 내접원의 반경입니다 (정의에 따라). 그런 다음 TTP에 따라 (\\ (PH \\)는 평면에 수직이고 \\ (HK_1, HK_2 \\) 등은 측면에 수직 인 돌기) 경사 \\ (PK_1, PK_2 \\) 등입니다. 변에 수직 \\ (A_1A_2, A_2A_3 \\) 등 각기. 따라서 정의에 따라 \\ (\\ 각도 PK_1H, \\ 각도 PK_2H \\) 측면과 밑면 사이의 각도와 같습니다. 때문에 삼각형 \\ (PK_1H, PK_2H, ... \\)이 같으면 (두 다리의 직사각형) 각도 \\ (\\ 각도 PK_1H, \\ 각도 PK_2H, ... \\) 같다.
5) \\ ((d) \\)가 \\ ((b) \\)를 의미한다는 것을 증명합시다.
네 번째 점과 유사하게 삼각형 \\ (PK_1H, PK_2H, ... \\)은 동일합니다 (다리 및 예각을 따라 직사각형). 즉, 세그먼트 \\ (HK_1 \u003d HK_2 \u003d ... \u003d HK_n \\)가 동일 함을 의미합니다. 따라서 정의에 따라 \\ (H \\)는 밑면에 새겨진 원의 중심입니다. 하지만 이후 정다각형의 경우 내접 원과 외접 원의 중심이 일치하면 \\ (H \\)가 외접 원의 중심입니다. Wht.
결과
일반 피라미드의 측면은 동일한 이등변 삼각형입니다.
정의
정상 피라미드의 옆면 높이를 아포 헴.
일반 피라미드의 모든 측면의 종명은 서로 동일하며 중앙값과 이등분선이기도합니다.
중요 사항
1. 정삼각형 피라미드의 높이는 밑면의 높이 (또는 이등분선 또는 중앙값)의 교차점 (밑면은 정삼각형)에 있습니다.
2. 정사각형 피라미드의 높이는 밑면의 대각선이 교차하는 지점에 떨어집니다 (밑면은 정사각형).
3. 정육각형 피라미드의 높이는 밑면의 대각선이 교차하는 지점에서 떨어집니다 (밑면은 정육각형).
4. 피라미드의 높이는 바닥에있는 직선에 수직입니다.
정의
피라미드는 직사각형측면 모서리 중 하나가베이스 평면에 수직 인 경우
중요 사항
1. 직사각형 피라미드에서 밑면에 수직 인 모서리는 피라미드의 높이입니다. 즉, \\ (SR \\)은 높이입니다.
2. 때문에 \\ (SR \\)은 밑면에서 직선에 수직입니다. \\ (\\ 삼각형 SRM, \\ 삼각형 SRP \\) -직각 삼각형.
3. 삼각형 \\ (\\ 삼각형 SRN, \\ 삼각형 SRK \\) -또한 직사각형.
즉,이 모서리에 의해 형성된 삼각형과베이스에있는이 모서리의 상단에서 연장되는 대각선은 직사각형이됩니다.
\\ [(\\ Large (\\ text (피라미드의 부피와 표면적))) \\]
정리
피라미드의 부피는 피라미드 높이에 의한 기본 면적의 곱의 1/3과 같습니다. \
결과
\\ (a \\)를 밑변, \\ (h \\) 피라미드의 높이라고합시다.
1. 정삼각형 피라미드의 부피는 \\ (V _ (\\ text (오른쪽 삼각형 파이)) \u003d \\ Dfrac (\\ sqrt3) (12) a ^ 2h \\),
2. 정사각형 피라미드의 부피는 \\ (V _ (\\ 텍스트 (오른쪽 네 파이)) \u003d \\ Dfrac13a ^ 2h \\).
3. 정육각형 피라미드의 부피는 \\ (V _ (\\ 텍스트 (오른쪽 16 진수)) \u003d \\ dfrac (\\ sqrt3) (2) a ^ 2h \\).
4. 정사면체의 부피는 \\ (V _ (\\ text (오른쪽 tet.)) \u003d \\ Dfrac (\\ sqrt3) (12) a ^ 3 \\).
정리
일반 피라미드의 측면 표면적은 아포 헴에 의한 기본 둘레의 절반 곱과 같습니다.
\\ [(\\ 큰 (\\ 텍스트 (잘린 피라미드))) \\]
정의
임의의 피라미드 \\ (PA_1A_2A_3 ... A_n \\)를 고려하십시오. 피라미드의 측면 가장자리에있는 점을 통해 피라미드 바닥과 평행 한 평면을 그립니다. 이 평면은 피라미드를 두 개의 다면체로 분할합니다. 그 중 하나는 피라미드 (\\ (PB_1B_2 ... B_n \\))이고 다른 하나는 호출됩니다. 잘린 피라미드 (\\ (A_1A_2 ... A_nB_1B_2 ... B_n \\)).
잘린 피라미드에는 서로 유사한 다각형 \\ (A_1A_2 ... A_n \\) 및 \\ (B_1B_2 ... B_n \\)의 두 개의 밑면이 있습니다.
잘린 피라미드의 높이는 상단베이스의 일부 지점에서 하단베이스의 평면까지 그려진 수직입니다.
중요 사항
1. 잘린 피라미드의 모든 측면은 사다리꼴입니다.
2. 정사각형 (즉, 정사각형을 절단하여 얻은 피라미드)의 밑면 중심을 연결하는 세그먼트가 높이입니다.
피라미드. 잘린 피라미드
피라미드 다면체라고하며 그 중 하나는 다각형 ( 베이스 ), 다른 모든면은 공통 정점 ( 측면 ) (그림 15). 피라미드는 옳은 베이스가 정다각형이고 피라미드의 상단이베이스의 중앙에 투영 된 경우 (그림 16). 모든 모서리가 동일한 삼각형 피라미드를 사면체 .
사이드 리브 피라미드는 밑면에 속하지 않는 측면의 측면입니다. 신장 피라미드는 정점에서 밑면까지의 거리라고합니다. 일반 피라미드의 모든 측면 가장자리는 서로 동일하고 모든 측면 가장자리는 동일한 이등변 삼각형입니다. 꼭대기에서 그린 정사각형의 측면 높이를 아포 헴 . 대각선 섹션 피라미드의 단면은 한면에 속하지 않는 두 개의 측면 모서리를 통과하는 평면이라고합니다.
측면 면적 피라미드는 모든 측면 영역의 합이라고합니다. 전체 표면적 모든 측면과 밑면의 합이라고합니다.
정리
1. 피라미드에서 모든 측면 모서리가 바닥면에 똑같이 기울어지면 피라미드의 윗부분이 바닥 주위로 둘러싸인 원의 중심으로 투영됩니다.
2. 피라미드에서 모든 측면 모서리의 길이가 같으면 피라미드의 상단이 밑면에 둘러싸인 원의 중심으로 투영됩니다.
3. 피라미드에서 모든면이 바닥면에 똑같이 기울어지면 피라미드의 상단이 바닥에 새겨진 원의 중심으로 투영됩니다.
임의 피라미드의 부피를 계산하려면 공식이 정확합니다.
어디 V -볼륨;
S 메인 -기본 영역;
H -피라미드의 높이.
올바른 피라미드의 경우 공식이 정확합니다.
어디 피 -기본 둘레;
h a -변명;
H -높이;
S 풀
S면
S 메인 -기본 영역;
V -올바른 피라미드의 부피.
잘린 피라미드 피라미드의 바닥과 평행 한 바닥과 시컨트 평면 사이에 둘러싸인 피라미드 부분이라고합니다 (그림 17). 일반 잘린 피라미드 피라미드의 바닥과 평행 한 바닥과 시컨트 평면 사이에 둘러싸인 일반 피라미드의 일부라고합니다.
기초 잘린 피라미드-유사한 다각형. 측면 -사다리꼴. 신장 잘린 피라미드는 밑면 사이의 거리입니다. 대각선 잘린 피라미드는 같은면에 있지 않은 정점을 연결하는 세그먼트라고합니다. 대각선 섹션 잘린 피라미드의 단면은 한면에 속하지 않는 두 개의 측면 모서리를 통과하는 평면이라고합니다.
잘린 피라미드의 경우 다음 공식이 유효합니다.
(4)
어디 에스 1 , 에스 2-상부 및 하부 기지의 영역;
S 풀 -총 표면적;
S면 -측면 표면적;
H -높이;
V -잘린 피라미드의 부피.
잘린 피라미드의 경우 공식이 정확합니다.
어디 피 1 , 피 2-기본 둘레;
h a -규칙적으로 잘린 피라미드의 종말.
예 1. 정삼각형 피라미드에서 밑면의 2 면각은 60º입니다. 밑면의 평면에 대한 측면 모서리의 경사각 탄젠트를 찾으십시오.
결정. 그림을 그려 봅시다 (그림 18).
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피라미드는 규칙적이므로 밑면에는 정삼각형이 있고 모든 측면은 동일한 이등변 삼각형입니다. 밑면의 2 면각은 피라미드의 측면이 밑면에 대한 경사각입니다. 선형 각도는 각도입니다. ㅏ 두 수직 사이 : 그리고 즉. 피라미드의 윗부분은 삼각형의 중심 (외접원의 중심과 삼각형의 내접원)에 투영됩니다. 알파벳). 측면 리브의 경사각 (예 : SB) 모서리 자체와베이스 평면에 대한 투영 사이의 각도입니다. 리브 용 SB 이 각도는 각도가 될 것입니다 SBD... 접선을 찾으려면 다리를 알아야합니다. 그래서 과 OB... 세그먼트의 길이를 BD 3과 같음 ㅏ... 점 약 선분 BD 부분으로 나뉘어져 있습니다. 그래서: 
우리가 찾은 것 : 
대답:
예 2. 밑변의 대각선이 cm 및 cm이고 높이가 4cm 인 경우 규칙적으로 잘린 사각형 피라미드의 부피를 찾으십시오.
결정. 잘린 피라미드의 부피를 찾기 위해 공식 (4)를 사용합니다. 밑변의 면적을 찾으려면 대각선을 알고 밑변의 변을 찾아야합니다. 밑변의 측면은 각각 2cm와 8cm입니다. 그러므로 밑면의 면적과 공식의 모든 데이터를 대체하여 잘린 피라미드의 부피를 계산합니다.
대답: 112cm 3.
예 3. 정삼각형의 잘린 피라미드의 측면 면적을 찾으십시오.베이스의 측면은 10cm와 4cm이고 피라미드의 높이는 2cm입니다.
결정. 그림을 그려 봅시다 (그림 19).
이 피라미드의 측면은 이등변 사다리꼴입니다. 사다리꼴의 면적을 계산하려면 밑면과 높이를 알아야합니다. 베이스는 조건에 따라 제공되며 높이 만 알 수 없습니다. 우리는 어디에서 찾을 것입니다 ㅏ 1 이자형 점에서 수직 ㅏ 하단베이스의 평면에 1, ㅏ 1 디 -직각 ㅏ 1 on 같이. ㅏ 1 이자형 \u003d 2cm, 이것이 피라미드의 높이이기 때문입니다. 찾다 DE 우리는 평면도를 묘사 할 추가 도면을 만들 것입니다 (그림 20). 점 약 -상부 및 하부베이스의 중심 투영. (그림 20 참조) 그리고 다른 한편으로는 확인 내접원의 반지름이고 
OM -원에 새겨진 반경 :
MK \u003d DE.
피타고라스 정리에 의해
측면 면적 : 
대답:
예 4. 피라미드의 바닥에는 이등변 사다리꼴이 있으며, 그 밑면은 ㅏ과 비 (ㅏ> 비). 각 측면은 피라미드의 기준면이 다음과 같은 각도를 형성합니다. 제이... 피라미드의 총 표면적을 찾으십시오.
결정. 그림을 그려 봅시다 (그림 21). 피라미드의 총 표면적 SABCD 사다리꼴의 면적과 면적의 합과 같습니다. ABCD.
피라미드의 모든면이 바닥면에 똑같이 기울어지면 꼭지점이 바닥에 새겨진 원의 중심으로 투영된다는 진술을 사용합시다. 점 약 -정점 투영 에스 피라미드 바닥에서. 삼각형 잔디 삼각형의 직교 투영입니다. CSD 기지의 평면에. 평면 그림의 직교 투영 영역에 대한 정리에 의해 다음을 얻습니다.
마찬가지로 
따라서 작업은 사다리꼴 영역을 찾는 것으로 축소되었습니다. ABCD... 사다리꼴 그리기 ABCD별도로 (그림 22). 점 약 -사다리꼴에 새겨진 원의 중심.
원은 사다리꼴 또는 피타고라스 정리에 의해 시작될 수 있으므로
- 아포 헴 -정상 피라미드의 측면 높이, 상단에서 그려진 (또한, 아포 헴은 수직의 길이이며, 정다각형의 중앙에서 측면의 1로 낮아집니다)
- 측면 (ASB, BSC, CSD, DSA) -꼭지점에서 수렴하는 삼각형;
- 사이드 리브 ( 같이 , BS , CS , DS ) -측면의 공통면;
- 피라미드 꼭대기 (t. S) -측면 가장자리를 연결하고베이스의 평면에 있지 않은 점;
- 신장 ( 그래서 ) -피라미드의 상단을 통해 바닥면까지 그려지는 수직 세그먼트 (이러한 세그먼트의 끝은 피라미드의 상단과 수직의 바닥이 될 것입니다).
- 피라미드의 대각선 부분 -바닥의 상단과 대각선을 통과하는 피라미드의 단면;
- 베이스 (ABCD) -피라미드의 꼭대기가 속하지 않는 다각형.
피라미드 속성.
1. 모든 측면 리브가 같은 크기 인 경우 :
- 피라미드 바닥 근처의 원을 설명하는 것은 쉬우 며 피라미드의 상단은이 원의 중심으로 투영됩니다.
- 측면 리브는 기본 평면과 동일한 각도를 형성합니다.
- 또한 그 반대도 사실입니다. 측면 모서리가 기준면과 동일한 각도를 형성하거나 피라미드의 바닥 근처에 원을 설명 할 수 있고 피라미드의 상단이이 원의 중심으로 투영 될 때 피라미드의 모든 측면 모서리의 크기가 동일합니다.
2. 측면이베이스 평면과 동일한 경사각을 가질 때 :
- 피라미드 바닥 근처의 원을 설명하는 것은 쉬우 며 피라미드의 상단은이 원의 중심으로 투영됩니다.
- 측면의 높이는 같은 길이입니다.
- 측면 표면적은 측면 높이에 의한베이스 둘레 곱의 ½입니다.
3. 다각형이 원을 설명 할 수있는 피라미드의 바닥에 있으면 피라미드 근처에 구를 설명 할 수 있습니다 (필수적이고 충분한 조건). 구의 중심은 피라미드 가장자리의 중간 점을 통과하는 평면의 교차점이됩니다. 이 정리로부터 우리는 구가 삼각형 주위와 규칙 피라미드 주위에 모두 설명 될 수 있다는 결론을 내립니다.
4. 피라미드 내부 2 면체 각도의 이등분면이 첫 번째 점에서 교차하면 (필요하고 충분한 조건) 구를 피라미드에 새길 수 있습니다. 이 점은 구의 중심이됩니다.
가장 단순한 피라미드.
모서리의 수에 따라 피라미드의 밑면은 삼각형, 사각형 등으로 나뉩니다.
피라미드는 삼각형, 사각형등, 피라미드의 밑면이 삼각형, 사각형 등일 때. 삼각형 피라미드는 사면체-사면체입니다. 사각형-오면체 등.
