실용적인 기술을 훈련하기 위한 사이트에서 Taylor, Maclaurin 및 Laurent 시리즈로 기능 확장. 함수의 이러한 계열 확장을 통해 수학자들은 정의 영역의 특정 지점에서 함수의 대략적인 값을 추정할 수 있습니다. 이러한 함수 값을 계산하는 것은 컴퓨터 기술 시대에 별 의미가 없는 브레디스 테이블을 사용하는 것보다 훨씬 쉽습니다. 함수를 Taylor 계열로 확장한다는 것은 이 계열의 선형 함수의 계수를 계산하고 이를 다음과 같이 작성하는 것을 의미합니다. 올바른 형태. 학생들은 두 번째 시리즈의 일반적인 경우와 특수한 경우가 무엇인지 이해하지 못한 채 이 두 시리즈를 혼동합니다. 우리는 Maclaurin 시리즈를 다시 한 번 상기시켜 드립니다. 특별한 경우 Taylor 급수, 즉 이것은 Taylor 급수이지만 x = 0이라는 점에서 e^x, Sin(x), Cos(x) 등과 같은 잘 알려진 함수의 확장에 대한 모든 간략한 항목은 다음과 같습니다. Taylor 계열 확장이지만 인수의 경우 지점 0에 있습니다. 복잡한 인수 함수의 경우 Laurent 계열은 양면 무한 계열을 나타내기 때문에 TFCT에서 가장 일반적인 문제입니다. 두 계열의 합입니다. 웹사이트에서 직접 분해의 예를 살펴보는 것이 좋습니다. 임의의 숫자가 포함된 "예제"를 클릭한 다음 "해결책" 버튼을 클릭하면 매우 쉽게 수행할 수 있습니다. 변수가 가로축 영역에 속하는 경우 세로축을 따라 특정 영역의 원래 함수를 제한하는 주요 계열과 관련된 계열로 함수를 확장하는 것입니다. 벡터 분석은 수학의 또 다른 흥미로운 분야와 비교됩니다. 각 항을 조사해야 하기 때문에 그 과정에 꽤 많은 시간이 소요됩니다. 모든 Taylor 계열은 x0을 0으로 대체하여 Maclaurin 계열과 연관될 수 있지만 Maclaurin 계열의 경우 Taylor 계열을 역으로 나타내는 것이 때때로 명확하지 않습니다. 이 일이 얼마나 많이 이루어져야 하는지에 상관없이 순수한 형태, 그러나 일반적인 자기 개발에는 흥미 롭습니다. 모든 Laurent 계열은 양면 무한대에 해당합니다. 파워 시리즈전체적으로 z-a의 힘, 즉 동일한 Taylor 유형의 계열이지만 계수 계산이 약간 다릅니다. 몇 가지 이론적 계산을 거쳐 잠시 후에 로랑 급수의 수렴 영역에 대해 이야기하겠습니다. 지난 세기와 마찬가지로 함수를 급수로 단계적으로 확장하는 것은 단순히 공통 분모에 항을 가져오는 것만으로는 거의 달성할 수 없습니다. 왜냐하면 분모의 함수는 비선형이기 때문입니다. 문제를 공식화하려면 함수값의 대략적인 계산이 필요합니다. 테일러 급수의 인수가 선형 변수인 경우 확장은 여러 단계에서 발생하지만 확장되는 함수의 인수가 복소수 또는 비선형 함수인 경우 그림은 완전히 다릅니다. 이러한 함수를 멱급수로 표현하는 것은 명백합니다. 왜냐하면 이 방법을 사용하면 정의 영역의 어느 지점에서든 대략적인 값이기는 하지만 추가 계산에 거의 영향을 주지 않는 최소 오류로 쉽게 계산할 수 있기 때문입니다. 이는 Maclaurin 시리즈에도 적용됩니다. 영점에서 함수를 계산해야 할 때. 그러나 여기서는 로랑 급수 자체가 허수 단위를 사용하는 평면 확장으로 표현됩니다. 역시 성공이 없지는 않을 것이다 올바른 해결책동안 작업 일반적인 과정. 이 접근법은 수학에서는 알려져 있지 않지만 객관적으로 존재합니다. 결과적으로 소위 점별 하위 집합이라는 결론에 도달할 수 있으며, 함수를 계열로 확장하려면 도함수 이론 적용과 같이 이 프로세스에 대해 알려진 방법을 사용해야 합니다. 다시 한번 우리는 계산 후 계산 결과에 대해 가정을 한 교사가 옳았음을 확신합니다. 수학의 모든 표준에 따라 얻은 Taylor 시리즈가 존재하고 전체 수치 축에서 정의된다는 점에 유의하십시오. 그러나 사이트 서비스 사용자 여러분, 원래 함수의 유형을 잊지 마십시오. 처음에는 함수 정의 영역을 설정해야 합니다. 즉, 해당 영역에서 함수가 정의되지 않은 지점을 작성하고 추가 고려에서 제외해야 합니다. 실수. 말하자면, 이는 문제 해결의 효율성을 보여줄 것입니다. 인수 값이 0인 Maclaurin 급수를 구성하는 것도 지금까지 말한 내용에서 예외는 아닙니다. 함수 정의 영역을 찾는 과정은 취소되지 않았으며 이 수학적 연산에 진지하게 접근해야 합니다. 주요 부분을 포함하는 Laurent 계열의 경우 매개변수 "a"를 고립된 특이점이라고 하며 Laurent 계열은 링으로 확장됩니다. 이는 해당 부분의 수렴 영역의 교차점이므로 해당 정리가 뒤따를 것입니다. 그러나 경험이 부족한 학생에게 언뜻 보이는 것처럼 모든 것이 복잡하지는 않습니다. Taylor 시리즈를 공부하면 숫자의 공간을 확장하기 위한 일반화된 사례인 Laurent 시리즈를 쉽게 이해할 수 있습니다. 함수의 계열 확장은 함수 정의 영역의 한 지점에서만 수행될 수 있습니다. 주기성이나 무한 미분성과 같은 함수의 속성을 고려해야 합니다. 또한 온라인 계산기를 사용하여 볼 수 있듯이 하나의 함수가 최대 수십 개의 서로 다른 거듭제곱 시리즈로 표시될 수 있으므로 기성 기본 함수의 Taylor 급수 확장 표를 사용하는 것이 좋습니다. 온라인 시리즈 Maclaurin을 결정하는 것은 배 껍질을 벗기는 것만큼 쉽습니다. 사이트의 고유한 서비스를 사용하는 경우 올바른 서면 기능을 입력하기만 하면 제시된 답변을 몇 초 안에 받게 되며 정확하고 표준에 따라 보장됩니다. 서면 양식. 결과를 깨끗한 사본으로 직접 복사하여 교사에게 제출할 수 있습니다. 먼저 링에서 문제의 함수 분석성을 결정한 다음 모든 링에서 로랑 계열로 확장 가능하다고 명확하게 기술하는 것이 옳을 것입니다. 부정적인 힘을 담고 있는 로랑 계열의 항을 놓치지 않는 것이 중요하다. 가능한 한 이것에 집중하십시오. 정수 거듭제곱의 함수 확장에 대한 Laurent의 정리를 잘 활용하세요.
기능성 시리즈 중 가장 요지파워 시리즈를 차지하라.
멱급수는 급수이다
그 용어는 음이 아닌 정수 거듭제곱의 증가로 배열된 거듭제곱 함수입니다. 엑스, ㅏ 씨0 , 씨 1 , 씨 2 , 씨 N - 상수 값. 숫자 씨1 , 씨 2 , 씨 N - 계열 항의 계수, 씨0 - 무료 회원. 멱급수의 항은 전체 수직선에서 정의됩니다.
개념을 알아봅시다. 전력 계열의 수렴 영역. 이것은 변수 값의 집합입니다. 엑스, 시리즈가 수렴됩니다. 멱급수는 상당히 단순한 수렴 영역을 갖습니다. 실제 변수 값의 경우 엑스수렴 영역은 한 점으로 구성되거나 특정 간격(수렴 간격)이거나 전체 축과 일치합니다. 황소 .
값을 멱급수에 대입하면 엑스= 0은 숫자 계열을 생성합니다.
씨0 +0+0+...+0+... ,
수렴하는 것.
그러므로 언제 엑스= 0이면 모든 멱급수는 수렴하므로, 그 융합 영역 빈 집합이 될 수 없습니다. 모든 멱급수의 수렴영역의 구조는 동일하다. 이는 다음 정리를 사용하여 설정할 수 있습니다.
정리 1(아벨의 정리). 멱급수가 어떤 값으로 수렴하는 경우 엑스 = 엑스 0 , 0과 다르면 수렴하며, 더욱이 절대적으로 모든 값에 대해 |엑스| < |엑스 0 | . 참고: 시작 값 "X는 0입니다."와 시작 값과 비교되는 "X" 값은 모두 부호를 고려하지 않고 모듈로로 사용됩니다.
결과. 만약에 멱급수는 발산한다 어떤 값에서 엑스 = 엑스 1 이면 모든 값에 대해 발산됩니다. |엑스| > |엑스 1 | .
이전에 이미 알아냈듯이 모든 멱급수는 다음 값으로 수렴합니다. 엑스= 0. 다음 경우에만 수렴하는 멱급수가 있습니다. 엑스= 0이고 다른 값에 대해서는 발산합니다. 엑스. 이 경우를 제외하고, 멱급수는 어떤 값에서 수렴한다고 가정합니다. 엑스 = 엑스 0 , 0과 다릅니다. 그러면 아벨의 정리에 따라 간격 ]-|의 모든 지점에서 수렴합니다. 엑스0 |, |엑스 0 |[ (왼쪽 및 오른쪽 경계가 거듭제곱이 수렴하는 x 값인 간격으로 각각 마이너스 기호와 플러스 기호를 사용함)는 원점을 기준으로 대칭입니다.
멱급수가 특정 값에서 발산하는 경우 엑스 = 엑스 1 , 그러면 Abel의 정리에 대한 추론에 따라 세그먼트 [-| 엑스1 |, |엑스 1 |] . 모든 멱급수에는 원점을 기준으로 대칭인 간격이 있습니다. 수렴 간격 , 계열이 수렴하는 각 지점에서 경계에서 수렴하거나 발산할 수 있지만 반드시 동시에는 아닐 수도 있고 세그먼트 외부에서 계열이 발산합니다. 숫자 아르 자형멱급수(power series)의 수렴 반경이라고 합니다.
특별한 경우 멱급수의 수렴 구간 한 점으로 퇴화될 수 있습니다(그러면 계열은 다음 경우에만 수렴됩니다. 엑스= 0이며 다음과 같이 간주됩니다. 아르 자형= 0) 또는 전체 수직선을 나타냅니다(그러면 계열은 수직선의 모든 점에서 수렴하며 다음과 같이 가정됩니다).
따라서 멱급수의 수렴 영역을 결정하는 것은 다음을 결정하는 것으로 구성됩니다. 수렴 반경 아르 자형수렴 간격의 경계에서 계열의 수렴을 연구합니다( ).
정리 2.특정 지점에서 시작하여 멱급수의 모든 계수가 0이 아닌 경우 수렴 반경 한도와 동일계열의 일반적인 다음 구성원 계수의 절대 값 비율, 즉
예제 1. 멱급수의 수렴 영역 찾기
해결책. 여기
공식 (28)을 사용하여 이 계열의 수렴 반경을 찾습니다.
수렴 구간의 끝에서 계열의 수렴을 연구해 보겠습니다. 예제 13은 이 계열이 다음에서 수렴함을 보여줍니다. 엑스= 1이고 다음에서 발산합니다. 엑스= -1. 결과적으로 수렴 영역은 절반 구간입니다.
예제 2. 멱급수의 수렴 영역 찾기
해결책. 계열의 계수는 양수이며,
이 비율의 극한을 찾아봅시다. 멱급수의 수렴 반경:
구간의 끝에서 계열의 수렴을 연구해 보겠습니다. 값의 대체 엑스= -1/5 및 엑스= 이 행의 1/5은 다음을 제공합니다.
이들 급수 중 첫 번째는 수렴합니다(예제 5 참조). 그러나 "절대 수렴" 부분의 정리에 의해 두 번째 계열도 수렴하고 그 수렴 영역이 세그먼트입니다.
예제 3. 멱급수의 수렴 영역 찾기
해결책. 여기
공식 (28)을 사용하여 계열의 수렴 반경을 찾습니다.
의 값에 대한 계열의 수렴을 연구해 보겠습니다. 이 시리즈에서 이들을 대체하면 우리는 각각 다음을 얻습니다.
두 행이 모두 충족되지 않았기 때문에 분기됩니다. 필요한 조건수렴(그들의 공통항은 에서 0이 되는 경향이 없습니다). 따라서 수렴 구간의 양쪽 끝에서 이 급수는 발산하며 수렴하는 영역이 구간입니다.
예제 5. 멱급수의 수렴 영역 찾기
해결책. 우리는 관계를 찾습니다. 
:
공식 (28)에 따르면, 이 계열의 수렴 반경은
,
즉, 계열은 다음 경우에만 수렴됩니다. 엑스= 0이고 다른 값에 대해 발산함 엑스.
예를 들어 수렴 간격이 끝나면 계열이 다르게 동작하는 것으로 나타났습니다. 예 1에서는 수렴 구간의 한쪽 끝에서 계열이 수렴하고 다른 쪽 끝에서 발산합니다. 예 2에서는 양쪽 끝에서 수렴하고 예 3에서는 양쪽 끝에서 발산합니다.
멱급수의 수렴 반경에 대한 공식은 특정 점에서 시작하는 계열 항의 모든 계수가 0과 다르다는 가정하에 얻어집니다. 따라서 식 (28)의 사용은 이러한 경우에만 허용됩니다. 이 조건을 위반하면 다음을 사용하여 멱급수의 수렴 반경을 구해야 합니다. 달랑베르 징후, 또는 변수를 대체하여 계열을 지정된 조건을 만족하는 형태로 변환합니다.
예제 6. 멱급수의 수렴 구간 찾기
해결책. 이 계열에는 홀수 차수의 항이 포함되어 있지 않습니다. 엑스. 따라서 우리는 시리즈를 변환하여 설정합니다. 그럼 우리는 시리즈를 얻을
공식 (28)을 적용할 수 있는 수렴 반경을 찾으려면 이후 , a , 그러면 이 계열의 수렴 반경
따라서 우리가 얻은 등식으로부터 이 급수는 간격 에 수렴합니다.
멱급수의 합. 멱급수의 차별화와 통합
파워 시리즈를 보자
수렴 반경 아르 자형> 0, 즉 이 급수는 간격 으로 수렴합니다.
그러면 각 값 엑스수렴 간격에서 계열의 특정 합에 해당합니다. 따라서 멱급수의 합은 다음의 함수입니다. 엑스수렴 간격에. 그것을 나타냄 에프(엑스), 우리는 평등을 쓸 수 있습니다
각 지점에서 계열의 합이 나온다는 의미로 이해하세요. 엑스수렴 간격에서 함수의 값과 같습니다. 에프(엑스) 이 지점에서. 같은 의미에서, 거듭제곱 급수(29)는 다음 함수로 수렴한다고 말할 것입니다. 에프(엑스) 수렴 간격에.
수렴 간격 밖에서는 동등(30)이 의미가 없습니다.
실시예 7.멱급수의 합 구하기
해결책. 이것은 기하학적 시리즈입니다. ㅏ= 1, 에 큐= 엑스. 그러므로 그 합은 함수이다. 
. , 는 수렴 간격입니다. 그러므로 평등
값에 대해서만 유효하지만 함수는 
모든 값에 대해 정의됨 엑스, 제외하고 엑스= 1.
멱급수의 합이 증명될 수 있다 에프(엑스)은 수렴 구간 내의 모든 구간, 특히 계열의 수렴 구간의 모든 지점에서 연속적이고 미분 가능합니다.
멱급수의 항별 미분과 적분에 관한 정리를 제시하겠습니다.
정리 1.수렴 구간의 멱급수(30)는 항마다 무제한으로 미분할 수 있으며, 결과로 생성되는 멱급수는 원래 급수와 동일한 수렴 반경을 가지며 그 합은 각각 와 같습니다.
정리 2.멱급수(30)는 0부터 범위 내에서 무제한으로 항별로 적분할 수 있습니다. 엑스, if 및 결과로 나오는 거듭제곱 계열은 원래 계열과 동일한 수렴 반경을 가지며 그 합은 그에 따라 동일합니다.
파워 시리즈로 기능 확장
기능을 부여하자 에프(엑스), 이는 멱급수로 확장되어야 합니다. 즉, (30) 형식으로 표현됩니다.
임무는 계수를 결정하는 것입니다. 
행 (30). 이를 위해 용어별로 평등(30) 용어를 차별화하여 다음을 일관되게 찾습니다.
……………………………………………….. (31)
방정식 (30)과 (31)을 가정하면 엑스= 0, 우리는 찾는다
발견된 표현식을 평등(30)으로 대체하면 다음을 얻습니다.
(32)
일부 기본 함수의 Maclaurin 급수 확장을 찾아보겠습니다.
실시예 8. Maclaurin 시리즈의 함수 확장
해결책. 이 함수의 도함수는 함수 자체와 일치합니다.
그러므로 언제 엑스= 0 우리는
이 값을 공식 (32)에 대입하면 원하는 확장을 얻습니다.
(33)
이 계열은 전체 수직선(수렴 반경)으로 수렴합니다.
기능의 경우 에프엑스(f(x))해당 지점을 포함하는 일정 간격이 있습니다. ㅏ, 모든 차수의 파생물이면 Taylor 공식을 적용할 수 있습니다.
어디 r n– 소위 나머지 항 또는 계열의 나머지는 라그랑주 공식을 사용하여 추정할 수 있습니다.
, 여기서 숫자 x는 사이에 있습니다. 엑스그리고 ㅏ.
어떤 가치를 위해서라면 xrn®0에서 N®\, 한계 내에서 Taylor 공식은 이 값에 대한 수렴 공식으로 변합니다. 테일러 시리즈:
그래서 기능은 에프엑스(f(x))문제의 지점에서 Taylor 시리즈로 확장될 수 있습니다. 엑스, 만약에:
1) 모든 주문의 파생 상품이 있습니다.
2) 구성된 계열은 이 지점에서 수렴됩니다.
~에 ㅏ=0 우리는 다음과 같은 시리즈를 얻습니다. 매클로린 근처:
실시예 1 에프(엑스)= 2엑스.
해결책. 함수와 그 파생어의 값을 찾아 보겠습니다. 엑스=0
에프엑스(f(x)) = 2엑스, 에프( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2엑스 ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f¢¢(x) = 2엑스 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
에프(엔)(엑스) = 2엑스에 N 2, 에프(엔)( 0) = 2 0 에 N 2=ln N 2.
얻은 파생 상품 값을 Taylor 시리즈 공식으로 대체하면 다음을 얻습니다.
이 계열의 수렴 반경은 무한대이므로 이 확장은 -\에 유효합니다.<엑스<+¥.
실시예 2 엑스+4) 기능의 경우 에프(엑스)=이자형 엑스.
해결책. 함수 e의 도함수 찾기 엑스그리고 그 시점에서의 가치 엑스=-4.
에프엑스(f(x))= 전자 엑스, 에프(-4) = 전자 -4 ;
f¢(x)= 전자 엑스, f¢(-4) = 전자 -4 ;
f¢¢(x)= 전자 엑스, f¢¢(-4) = 전자 -4 ;
에프(엔)(엑스)= 전자 엑스, 에프(엔)( -4) = 전자 -4 .
따라서 함수의 필수 Taylor 계열은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
이 확장은 -¥에도 유효합니다.<엑스<+¥.
실시예 3 . 기능 확장 에프엑스(f(x))=ln 엑스일련의 권력 ( 엑스- 1),
(즉, 점 근처의 Taylor 시리즈에서 엑스=1).
해결책. 이 함수의 도함수를 찾아보세요.
이 값을 공식에 대입하면 원하는 Taylor 계열을 얻습니다.
d'Alembert의 검정을 사용하면 다음과 같은 경우 계열이 수렴하는지 확인할 수 있습니다.
½ 엑스- 1½<1. Действительно,
계열은 ½이면 수렴합니다. 엑스- 1½<1, т.е. при 0<엑스<2. При 엑스=2 라이프니츠 기준의 조건을 만족하는 교대 계열을 얻습니다. ~에 엑스=0 함수가 정의되지 않았습니다. 따라서 Taylor 계열의 수렴 영역은 반 개방 구간(0;2]입니다.
이런 방식으로 얻은 전개를 매클로린 급수(즉, 점 근처에서)로 표현해 보겠습니다. 엑스=0) 일부 기본 기능의 경우:
(2) 
,
(3) 
,
(마지막 분해가 호출됩니다. 이항 계열)
실시예 4 . 함수를 거듭제곱 계열로 확장
해결책. 확장 (1)에서는 다음을 대체합니다. 엑스에 - 엑스 2, 우리는 다음을 얻습니다:
실시예 5
. Maclaurin 시리즈의 함수 확장 
해결책. 우리는 
공식 (4)를 사용하여 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
대신 대체 엑스공식에 -엑스, 우리는 다음을 얻습니다:
여기에서 우리는 다음을 발견합니다:
괄호를 열고, 계열의 용어를 재배열하고 유사한 용어를 가져오면,
이 계열은 다음 간격으로 수렴합니다.
(-1;1), 이는 각각 이 구간에서 수렴하는 두 개의 계열에서 얻어지기 때문입니다.
논평 .
공식 (1)-(5)를 사용하여 해당 함수를 Taylor 계열로 확장할 수도 있습니다. 즉, 양의 정수 거듭제곱으로 함수를 확장하는 경우( 하아). 이를 위해서는 함수 (1)-(5) 중 하나를 얻기 위해 주어진 함수에 대해 동일한 변환을 수행해야 합니다. 엑스비용은 k( 하아) m , 여기서 k는 상수이고, m은 양의 정수입니다. 변수를 변경하는 것이 편리한 경우가 많습니다. 티=하아 Maclaurin 시리즈의 t에 대해 결과 함수를 확장합니다.
이 방법은 함수의 멱급수 확장의 고유성에 대한 정리를 보여줍니다. 이 정리의 핵심은 동일한 점 근처에서 확장이 어떻게 수행되든 동일한 기능으로 수렴하는 두 개의 서로 다른 거듭제곱 계열을 얻을 수 없다는 것입니다.
실시예 6 . 점 근처에서 테일러 급수의 함수를 확장합니다. 엑스=3.
해결책. 이 문제는 이전과 마찬가지로 Taylor 급수의 정의를 사용하여 해결할 수 있습니다. 이를 위해 함수의 도함수와 그 값을 찾아야 합니다. 엑스=3. 그러나 기존 확장(5)을 사용하는 것이 더 쉬울 것입니다.
결과 계열은 다음에서 수렴합니다. 
또는 -3<엑스- 3<3, 0<엑스< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
실시예 7
. Taylor 급수를 거듭제곱( 엑스-1) 기능 
.
해결책.
시리즈는 다음과 같이 수렴합니다. 
, 또는 2< 엑스£5.
16.1. 기본 함수를 Taylor 계열로 확장하고
매클로린
임의의 함수가 집합에 정의되어 있는 경우를 보여드리겠습니다. 
, 지점 부근 
많은 파생 상품이 있으며 거듭제곱 시리즈의 합입니다.
그러면 이 계열의 계수를 찾을 수 있습니다.
멱급수로 바꿔보자 
. 그 다음에 
.
함수의 1차 도함수를 구해보자 
:
~에 
:
.
2차 미분에 대해 우리는 다음을 얻습니다:
~에 
:
.
이 절차를 계속 N일단 우리가 얻으면: 
.
따라서 우리는 다음 형식의 거듭제곱 계열을 얻었습니다.
,
라고 불리는 테일러 옆에기능을 위해 
지점 근처에 
.
Taylor 시리즈의 특별한 경우는 다음과 같습니다. 매클로린 시리즈~에 
:
Taylor(Maclaurin) 계열의 나머지는 주 계열을 버리고 얻어집니다. N첫 번째 멤버는 다음과 같이 표시됩니다. 
. 그런 다음 기능 
합계로 쓸 수 있다 N시리즈의 첫 번째 멤버 
그리고 나머지 
:,
.
나머지는 보통 
다양한 수식으로 표현됩니다.
그 중 하나는 라그랑주 형식입니다.
, 어디 
.
.
실제로는 Maclaurin 급수가 더 자주 사용됩니다. 따라서 함수를 작성하려면 
멱급수 합계의 형태로 다음이 필요합니다.
1) Maclaurin(Taylor) 계열의 계수를 찾습니다.
2) 결과적인 거듭제곱 계열의 수렴 영역을 찾습니다.
3) 이 계열이 다음 함수로 수렴됨을 증명하십시오. 
.
정리1
(맥라우린 급수의 수렴을 위한 필요충분조건) 시리즈의 수렴 반경을 보자 
. 이 계열이 간격으로 수렴하려면 
기능하다 
,조건이 충족되기 위해서는 필요하고 충분합니다. 
지정된 간격으로.
정리 2.함수의 임의 차수의 도함수인 경우 
어느 정도 간격을 두고 
절대값이 동일한 숫자로 제한됨 중, 그건 
, 이 간격에서 함수는 
Maclaurin 계열로 확장할 수 있습니다.
예1
.
점 주변의 Taylor 시리즈로 확장 
기능.
해결책.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
융합지역 
.
예2
.
기능 확장 
한 점 주위의 테일러 급수에서 
.
해결책:
함수와 그 파생물의 값을 찾으십시오. 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
이 값들을 일렬로 나열해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:
또는 
.
이 급수의 수렴영역을 찾아보자. d'Alembert의 검정에 따르면 계열은 다음과 같이 수렴합니다.
.
그러므로 어떤 경우에도 
이 한계는 1보다 작으므로 계열의 수렴 범위는 다음과 같습니다. 
.
기본 기본 함수의 매클로린 급수 확장의 몇 가지 예를 고려해 보겠습니다. Maclaurin 시리즈를 기억하세요:
.
간격으로 수렴 
기능하다 
.
함수를 시리즈로 확장하려면 다음이 필요합니다.
a) 이 함수에 대한 매클로린 급수 계수를 구합니다.
b) 결과 계열에 대한 수렴 반경을 계산합니다.
c) 결과 계열이 다음 함수로 수렴됨을 증명합니다. 
.
예시 3.기능을 고려하십시오 
.
해결책.
함수와 그 파생물의 값을 계산해 보겠습니다. 
.
그런 다음 계열의 수치 계수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
누구에게나 N.발견된 계수를 Maclaurin 급수로 대체하고 다음을 얻습니다. 
결과 계열의 수렴 반경을 찾아보겠습니다. 즉:
.
따라서 계열은 간격으로 수렴합니다. 
.
이 계열은 다음 함수로 수렴됩니다. 
어떤 값에 대해서도 
, 왜냐하면 어떤 간격으로든 
기능 
절대값 파생 상품의 수는 제한되어 있습니다. 
.
예4
.
기능을 고려하십시오 
.
해결책.
:
짝수차의 파생물이 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 
, 그리고 파생 상품은 홀수 차수입니다. 발견된 계수를 Maclaurin 급수로 대체하고 확장을 구해 보겠습니다.
이 급수의 수렴구간을 구해보자. d'Alembert 징후에 따르면:
누구에게나 
. 따라서 계열은 간격으로 수렴합니다. 
.
이 계열은 다음 함수로 수렴됩니다. 
, 모든 파생 상품이 단일성으로 제한되기 때문입니다.
예5
.
.
해결책.
함수와 그 파생물의 값을 찾아 보겠습니다. 
:
따라서 이 계열의 계수는 다음과 같습니다. 
그리고 
, 따라서:
이전 행과 유사하게 수렴되는 영역 
. 계열은 다음 함수로 수렴합니다. 
, 모든 파생 상품이 단일성으로 제한되기 때문입니다.
기능을 참고해주세요 
홀수 거듭제곱, 함수의 홀수 및 계열 확장 
– 짝수 거듭제곱으로 시리즈로 확장합니다.
예6
.
이항 계열: 
.
해결책.
함수와 그 파생물의 값을 찾아 보겠습니다. 
:
이를 통해 다음을 알 수 있습니다.
이 계수 값을 Maclaurin 급수로 대체하고 이 함수를 거듭제곱 급수로 확장해 보겠습니다.
이 계열의 수렴 반경을 찾아보겠습니다.
따라서 계열은 간격으로 수렴합니다. 
. 제한 지점에서 
그리고 
지수에 따라 계열이 수렴할 수도 있고 수렴하지 않을 수도 있습니다. 
.
연구한 계열은 간격으로 수렴합니다. 
기능하다 
즉, 계열의 합입니다. 
~에 
.
예7
.
매클로린 급수(Maclaurin series)의 함수를 확장해 보겠습니다. 
.
해결책.
이 함수를 계열로 확장하기 위해 다음과 같은 이항 계열을 사용합니다. 
. 우리는 다음을 얻습니다: 
멱급수(멱급수는 수렴하는 영역에서 적분될 수 있음)의 속성을 기반으로 이 급수의 왼쪽과 오른쪽 변의 적분을 찾습니다.
이 시리즈의 수렴 영역을 찾아 보겠습니다. 
,
즉, 이 계열의 수렴 영역은 간격입니다. 
. 구간의 끝에서 계열의 수렴을 결정해 보겠습니다. ~에 
. 이 계열은 조화로운 계열, 즉 발산하는 계열입니다. ~에 
우리는 공통 용어로 숫자 시리즈를 얻습니다 
.
급수는 라이프니츠의 기준에 따라 수렴됩니다. 따라서 이 계열의 수렴 영역은 간격입니다. 
.
16.2. 대략적인 계산에 멱급수 적용
대략적인 계산에서 멱급수는 매우 중요한 역할을 합니다. 도움을 받아 삼각 함수 표, 로그 표, 기타 함수 값 표가 작성되었으며, 이는 확률 이론 및 수학적 통계와 같은 다양한 지식 분야에서 사용됩니다. 또한 함수를 거듭제곱 계열로 확장하는 것은 이론적 연구에 유용합니다. 대략적인 계산에서 멱급수를 사용할 때 가장 큰 문제는 계열의 합을 첫 번째 계열의 합으로 대체할 때 오류를 추정하는 문제입니다. N회원.
두 가지 경우를 고려해 보겠습니다.
이 기능은 부호 교대 계열로 확장됩니다.
함수는 일련의 상수 부호로 확장됩니다.
교대 계열을 사용한 계산
기능을 보자 
교류 전력 계열로 확장되었습니다. 그런 다음 특정 값에 대해 이 함수를 계산할 때 
라이프니츠 기준을 적용할 수 있는 수열을 얻습니다. 이 기준에 따라 계열의 합이 첫 번째 계열의 합으로 대체되면 N항이면 절대 오차는 이 계열의 나머지 부분 중 첫 번째 항을 초과하지 않습니다. 즉, 
.
예8
.
계산하다 
0.0001의 정확도로.
해결책.
Maclaurin 급수를 사용하겠습니다. 
, 각도 값을 라디안으로 대체:
주어진 정확도로 계열의 첫 번째 항과 두 번째 항을 비교하면 다음과 같습니다.
세 번째 확장 기간:
지정된 계산 정확도보다 낮습니다. 그러므로 계산하려면 
시리즈의 두 항을 남겨두는 것으로 충분합니다.
.
따라서 
.
예9
.
계산하다 
0.001의 정확도로.
해결책.
우리는 이항 급수 공식을 사용할 것입니다. 이를 위해 다음과 같이 작성해 보겠습니다. 
처럼: 
.
이 표현에서는 
,
계열의 각 항을 지정된 정확도와 비교해 보겠습니다. 분명하다 
. 그러므로 계산하려면 
시리즈의 세 가지 용어를 남기는 것으로 충분합니다.
또는 
.
양수 계열을 사용한 계산
예10
.
숫자 계산 
0.001의 정확도로.
해결책.
기능에 대한 연속 
대체하자 
. 우리는 다음을 얻습니다:
계열의 합을 첫 번째 계열의 합으로 대체할 때 발생하는 오류를 추정해 보겠습니다. 
회원. 명백한 불평등을 적어 보겠습니다.
그건 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
문제에 따라 찾아야 할 것 N따라서 다음과 같은 부등식이 성립합니다. 
또는 
.
언제인지 확인하기 쉽습니다. N= 6:
.
따라서, 
.
예11
.
계산하다 
0.0001의 정확도로.
해결책.
로그를 계산하려면 함수에 계열을 사용할 수 있습니다. 
, 그러나 이 계열은 매우 느리게 수렴하므로 주어진 정확도를 달성하려면 9999개의 항을 사용해야 합니다! 따라서 로그를 계산하려면 일반적으로 함수에 대한 계열이 사용됩니다. 
, 이는 간격에 수렴합니다. 
.
계산해보자 
이 시리즈를 사용합니다. 허락하다 
, 그 다음에 
.
따라서, 
,
계산하기 위해서는 
주어진 정확도로 처음 네 항의 합을 구합니다. 
.
나머지 시리즈 
그것을 버리자. 오류를 추정해 봅시다. 그것은 분명하다 
또는 
.
따라서 계산에 사용된 계열에서는 함수에 대한 계열의 9999 대신 처음 4개의 항만 취하면 충분했습니다. 
.
자가진단 질문
1. 테일러 급수란 무엇입니까?
2. 매클로린 급수는 어떤 형태를 띠었는가?
3. 테일러 급수의 함수 전개에 대한 정리를 공식화합니다.
4. 주요 함수의 매클로린 급수 전개를 적어보세요.
5. 고려되는 시리즈의 수렴 영역을 나타냅니다.
6. 멱급수를 사용하여 대략적인 계산에서 오류를 추정하는 방법은 무엇입니까?
함수 f(x)가 점 a를 포함하는 특정 구간에서 모든 차수에 대한 도함수를 갖는 경우 Taylor 공식을 적용할 수 있습니다.
,
어디 r n– 소위 나머지 항 또는 계열의 나머지는 라그랑주 공식을 사용하여 추정할 수 있습니다.
, 여기서 숫자 x는 x와 a 사이에 있습니다.
기능 입력 규칙:
어떤 가치를 위해서라면 엑스 r n→0 N→π, 극한에서 Taylor 공식은 이 값에 대해 수렴됩니다. 테일러 시리즈:
,
따라서 함수 f(x)는 다음과 같은 경우 고려 중인 점 x에서 Taylor 계열로 확장될 수 있습니다.
1) 모든 주문의 파생 상품이 있습니다.
2) 구성된 계열은 이 지점에서 수렴됩니다.
a = 0 일 때 우리는 다음과 같은 시리즈를 얻습니다. 매클로린 근처:
,
Maclaurin 시리즈에서 가장 간단한(기본) 기능의 확장:
지수함수
, R=무한대
삼각함수 
, R=무한대 
, R=무한대
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
actgx 함수는 x의 거듭제곱으로 확장되지 않습니다. 왜냐하면 ctg0=무한대
쌍곡선 함수
로그 함수
, -1
이항 계열
.
예 1. 함수를 거듭제곱 계열로 확장 에프(엑스)= 2엑스.
해결책. 함수와 그 파생어의 값을 찾아 보겠습니다. 엑스=0
에프엑스(f(x)) = 2엑스, 에프( 0)
= 2 0
=1;
에프"(엑스) = 2엑스 ln2, 에프"( 0)
= 2 0
ln2= ln2;
에프""(x) = 2엑스 2 2, 에프""( 0)
= 2 0
ln 2 2= ln 2 2;
…
에프(엔)(엑스) = 2엑스에 N 2, 에프(엔)( 0)
= 2 0
에 N 2=ln N 2.
얻은 파생 상품 값을 Taylor 시리즈 공식으로 대체하면 다음을 얻습니다.
이 계열의 수렴 반경은 무한대와 같으므로 이 확장은 -무한대에 유효합니다.<엑스<+∞.
예 2. Taylor 급수를 거듭제곱( 엑스+4) 기능의 경우 에프(엑스)=이자형 엑스.
해결책. 함수 e의 도함수 찾기 엑스그리고 그 시점에서의 가치 엑스=-4.
에프엑스(f(x))= 전자 엑스, 에프(-4)
= 전자 -4
;
에프"(엑스)= 전자 엑스, 에프"(-4)
= 전자 -4
;
에프""(x)= 전자 엑스, 에프""(-4)
= 전자 -4
;
…
에프(엔)(엑스)= 전자 엑스, 에프(엔)( -4)
= 전자 -4
.
따라서 함수의 필수 Taylor 계열은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
이 확장은 -무한대에도 유효합니다.<엑스<+∞.
예 번호 3. 기능 확장 에프엑스(f(x))=ln 엑스일련의 권력 ( 엑스- 1),
(즉, 점 근처의 Taylor 시리즈에서 엑스=1).
해결책. 이 함수의 도함수를 찾아보세요.
f(x)=lnx , , , ,
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1(n-1)!
이 값을 공식에 대입하면 원하는 Taylor 계열을 얻습니다.
d'Alembert의 검정을 사용하면 계열이 ½x-1½에서 수렴하는지 확인할 수 있습니다.<1 . Действительно,
계열은 ½이면 수렴합니다. 엑스- 1½<1, т.е. при 0<엑스<2. При 엑스=2 라이프니츠 기준의 조건을 만족하는 교대 계열을 얻습니다. x=0이면 함수가 정의되지 않습니다. 따라서 Taylor 계열의 수렴 영역은 반 개방 구간(0;2]입니다.
예 번호 4. 함수를 거듭제곱 계열로 확장합니다. 예 번호 5. 함수를 Maclaurin 계열로 확장합니다. 논평
.
이 방법은 멱급수에서 함수 확장의 고유성에 관한 정리를 기반으로 합니다. 이 정리의 핵심은 동일한 점 근처에서 확장이 어떻게 수행되든 동일한 기능으로 수렴하는 두 개의 서로 다른 거듭제곱 계열을 얻을 수 없다는 것입니다. 예 번호 5a. 매클로린 급수(Maclaurin series)의 함수를 확장하고 수렴 영역을 나타냅니다. |3x|인 경우 분수 3/(1-3x)는 분모가 3x인 무한히 감소하는 기하 수열의 합으로 간주될 수 있습니다.< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
예 번호 6. x = 3 점 근처에서 함수를 테일러 급수로 확장합니다. 예 번호 7. 함수 ln(x+2) 의 거듭제곱(x -1)으로 Taylor 계열을 작성합니다. 예 번호 8. 함수 f(x)=sin(πx/4)를 점 x =2 부근의 Taylor 계열로 확장합니다. 예 1. ln(3)을 0.01 단위까지 계산합니다. 예 2. 0.0001 단위로 계산합니다. 예 번호 3. 10 -5 이내의 적분 ∫ 0 1 4 sin (x) x 를 계산합니다. 예 번호 4. 0.001의 정확도로 적분 ∫ 0 1 4 e x 2를 계산합니다.
해결책. 확장 (1)에서 x를 -x 2로 바꾸면 다음을 얻습니다.
, -∞
해결책. 우리는
공식 (4)를 사용하여 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
공식에서 x 대신 –x를 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
여기에서 우리는 다음을 발견합니다: ln(1+x)-ln(1-x) = -
괄호를 열고, 계열의 용어를 재배열하고 유사한 용어를 가져오면,
. 이 계열은 각각 이 구간에서 수렴하는 두 개의 계열에서 얻어지기 때문에 (-1;1) 구간에서 수렴합니다.
공식 (1)-(5)를 사용하여 해당 함수를 Taylor 계열로 확장할 수도 있습니다. 즉, 양의 정수 거듭제곱으로 함수를 확장하는 경우( 하아). 이를 위해서는 함수 (1)-(5) 중 하나를 얻기 위해 주어진 함수에 대해 동일한 변환을 수행해야 합니다. 엑스비용은 k( 하아) m , 여기서 k는 상수이고, m은 양의 정수입니다. 변수를 변경하는 것이 편리한 경우가 많습니다. 티=하아 Maclaurin 시리즈의 t에 대해 결과 함수를 확장합니다.
해결책. 먼저 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , 를 찾습니다.
초등학생:
수렴 영역 |x|< 1/3.
해결책. 이 문제는 이전과 마찬가지로 Taylor 급수의 정의를 사용하여 해결할 수 있습니다. 이를 위해 함수의 도함수와 그 값을 찾아야 합니다. 엑스=3. 그러나 기존 확장(5)을 사용하는 것이 더 쉬울 것입니다.
=
결과 계열은 또는 –3에서 수렴됩니다.
해결책.
계열은 , 또는 -2에서 수렴합니다.< x < 5.
해결책. t=x-2로 대체해 보겠습니다.
x 대신 π / 4 t를 대체하는 확장(3)을 사용하여 다음을 얻습니다.
결과 계열은 -무한대에서 주어진 함수로 수렴됩니다.< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞멱급수를 사용한 대략적인 계산
멱급수는 대략적인 계산에 널리 사용됩니다. 도움을 받으면 주어진 정확도로 근, 삼각 함수, 숫자의 대수 및 정적분의 값을 계산할 수 있습니다. 계열은 미분방정식을 적분할 때도 사용됩니다.
멱급수에서 함수의 확장을 고려해보세요.
특정 지점에서 함수의 대략적인 값을 계산하려면 엑스, 표시된 시리즈의 수렴 영역에 속하며 첫 번째 시리즈는 확장에 남아 있습니다. N회원 ( N– 유한 수), 나머지 용어는 폐기됩니다.
구한 근사값의 오차를 추정하려면 버린 나머지 rn(x)를 추정해야 합니다. 이렇게 하려면 다음 기술을 사용하십시오.
해결책. x=1/2인 확장을 사용해 보겠습니다(이전 항목의 예제 5 참조).
전개의 처음 세 항 이후의 나머지를 버릴 수 있는지 확인해 보겠습니다. 이를 위해 무한히 감소하는 기하 수열의 합을 사용하여 이를 평가합니다.
그래서 우리는 이 나머지를 버리고 다음을 얻을 수 있습니다.
해결책. 이항 계열을 사용해 봅시다. 5 3 은 130에 가장 가까운 정수의 세제곱이므로, 숫자 130을 130 = 5 3 +5로 표현하는 것이 좋습니다. 
이미 라이프니츠 기준을 만족하는 결과 교대 급수의 네 번째 항이 필요한 정확도보다 작기 때문입니다.
이므로 해당 항목과 그 뒤에 나오는 용어를 삭제할 수 있습니다.
실제로 필요한 많은 정적분 또는 부적절한 적분은 뉴턴-라이프니츠 공식을 사용하여 계산할 수 없습니다. 왜냐하면 그 적용은 종종 기본 함수에 표현식이 없는 역도함수를 찾는 것과 관련되어 있기 때문입니다. 역도함수를 찾는 것도 가능하지만 불필요하게 노동 집약적입니다. 그러나 피적분 함수가 멱급수로 확장되고 적분의 한계가 이 급수의 수렴 간격에 속하면 미리 정해진 정확도로 적분의 대략적인 계산이 가능합니다.
해결책. 해당 부정 적분은 기본 함수로 표현될 수 없습니다. 즉, "비영구 적분"을 나타냅니다. 뉴턴-라이프니츠 공식은 여기에 적용될 수 없습니다. 적분을 대략적으로 계산해 봅시다.
죄에 대한 계열을 용어별로 나누기 엑스~에 엑스, 우리는 다음을 얻습니다: 
이 계열 항을 항별로 통합하면(적분 한계가 이 계열의 수렴 간격에 속하기 때문에 가능함) 다음을 얻습니다.
결과 계열은 라이프니츠의 조건을 충족하고 주어진 정확도로 원하는 값을 얻으려면 처음 두 항의 합을 취하는 것으로 충분합니다.
따라서 우리는 
.
해결책.
. 결과 계열의 두 번째 항 이후 나머지를 버릴 수 있는지 확인해 보겠습니다.
0.0001<0.001. Следовательно, 
.
