복잡한 변수의 기능.
복소변수의 함수 미분.

이 기사는 복소 변수의 함수 이론과 관련된 일반적인 문제를 고려할 일련의 강의를 시작합니다. 예제를 성공적으로 익히려면 다음 사항이 필요합니다. 기본 지식복소수에 대해. 자료를 통합하고 반복하려면 해당 페이지를 방문하세요. 찾는 기술도 필요합니다. 2차 편도함수. 여기 이런 편도함수가 있습니다... 지금도 그런 일이 얼마나 자주 발생하는지 보고 조금 놀랐습니다...

우리가 조사하기 시작한 주제에는 특별한 어려움이 없으며 복잡한 변수의 기능에서는 원칙적으로 모든 것이 명확하고 접근 가능합니다. 가장 중요한 것은 제가 실험적으로 도출한 기본 규칙을 준수하는 것입니다. 읽어!

복소변수 함수의 개념

먼저, 다음에 대한 지식을 새롭게 해보자. 학교 기능하나의 변수:

단일 변수 기능독립 변수의 각 값(정의 영역에서)이 함수의 단 하나의 값에 해당한다는 규칙입니다. 당연하게도 "X"와 "Y"는 - 실수.

복잡한 경우에는 기능적 종속성이 유사하게 지정됩니다.

복소수 변수의 단일 값 함수- 이것은 모두가 따르는 규칙입니다. 포괄적인독립 변수의 값(정의 영역에서)은 단 하나에 해당합니다. 포괄적인기능 값. 이론에서는 다중 값 함수와 다른 유형의 함수도 고려하지만 단순화를 위해 한 가지 정의에만 집중하겠습니다.

복소변수 함수의 차이점은 무엇입니까?

주요 차이점은 복소수입니다. 나는 아이러니하지 않습니다. 이러한 질문은 종종 사람들을 어리둥절하게 만듭니다. 기사 마지막 부분에서 재미있는 이야기를 들려 드리겠습니다. 수업에서 인형용 복소수우리는 형식의 복소수를 고려했습니다. 이제부터 문자 "z"는 변하기 쉬운, 다음과 같이 표시합니다: , 반면 "x"와 "y"는 서로 다를 수 있습니다. 유효한의미. 대략적으로 말하면, 복합 변수의 기능은 "보통" 값을 취하는 변수 및 에 따라 달라집니다. 이 사실로부터 논리적으로 다음 사항이 도출됩니다.

복소수 변수의 함수는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
, 여기서 및 는 두 가지의 두 가지 기능입니다. 유효한변수.

함수가 호출됩니다. 진짜 부분기능
함수가 호출됩니다. 허수부기능

즉, 복소변수의 함수는 두 개의 실수 함수와 에 의존합니다. 마지막으로 모든 것을 명확히 하기 위해 실제 예를 살펴보겠습니다.

실시예 1

해결책:기억하시겠지만 독립변수 “zet”는 다음과 같은 형식으로 작성됩니다.

(1) 우리는 로 대체했습니다.

(2) 첫 번째 항에는 약식 곱셈 공식을 사용했습니다. 용어에 괄호가 열렸습니다.

(3) 이를 잊지 않고 조심스럽게 제곱합니다.

(4) 용어 재배열: 먼저 용어를 다시 작성합니다. , 허수 단위가 없습니다.(첫 번째 그룹), 그 다음에는 (두 번째 그룹)이 있는 용어입니다. 용어를 섞을 필요는 없으며 이 단계는 (실제로 구두로 수행하여) 건너뛸 수 있다는 점에 유의해야 합니다.

(5) 두 번째 그룹의 경우 괄호에서 꺼냅니다.

결과적으로 우리의 함수는 다음과 같은 형태로 표현되었습니다.

답변:
– 함수의 실제 부분.
– 함수의 허수 부분.

이것들은 어떤 종류의 기능으로 밝혀졌나요? 그러한 인기를 찾을 수 있는 두 변수의 가장 일반적인 기능 부분 파생 상품. 자비 없이 우리는 그것을 찾을 것입니다. 하지만 조금 후에.

간략하게, 해결된 문제에 대한 알고리즘은 다음과 같이 작성할 수 있습니다. , 원래 함수에 단순화를 수행하고 모든 용어를 허수 단위(실수 부분) 없이 및 허수 단위(허수 부분)를 사용하여 두 그룹으로 나눕니다. .

실시예 2

함수의 실수부와 허수부 찾기

이는 다음에 대한 예입니다. 독립적인 결정. 복잡한 비행기에서 체커를 뽑은 채 전투에 뛰어들기 전에, 제가 여러분에게 가장 많은 것을 알려드리겠습니다. 중요한 조언이 주제에 대해:

조심하세요!물론 어디서나 조심해야 하지만 복소수에서는 그 어느 때보다 더 조심해야 합니다! 괄호를 조심스럽게 열면 아무것도 잃지 않도록 기억하십시오. 내 관찰에 따르면 가장 흔한 실수는 표지판을 잃어버리는 것입니다. 서두르지 마!

완벽한 솔루션그리고 수업이 끝나면 답변이 나옵니다.

이제 큐브입니다. 축약된 곱셈 공식을 사용하여 다음을 도출합니다.
.

공식은 솔루션 프로세스 속도를 크게 높이기 때문에 실제로 사용하기 매우 편리합니다.

복소변수의 함수 미분.

좋은 소식과 나쁜 소식 두 가지가 있습니다. 좋은 것부터 시작하겠습니다. 복소 변수 함수의 경우 미분 규칙과 기본 함수의 도함수 표가 유효합니다. 따라서 미분은 실제 변수의 함수의 경우와 똑같은 방식으로 취해집니다.

나쁜 소식은 많은 복잡한 변수 함수의 경우 파생 함수가 전혀 없다는 것입니다. 차별화 가능한가?하나의 기능 또는 다른 기능. 그리고 당신의 마음이 어떻게 느끼는지 "파악"하는 것은 추가적인 문제와 관련이 있습니다.

복잡한 변수의 기능을 고려해 봅시다. 이 함수가 미분 가능하려면 다음이 필요하고 충분합니다.

1) 따라서 1차 부분도함수가 존재합니다. 복소 변수의 함수 이론에서는 전통적으로 다른 표기법이 사용되므로 이러한 표기법은 즉시 잊어버리세요. .

2) 소위 수행하기 위해 코시-리만 조건:

이 경우에만 파생 상품이 존재합니다!

실시예 3

해결책세 가지 연속 단계로 나뉩니다.

1) 함수의 실수부와 허수부를 찾아봅시다. 이 작업은 이전 예제에서 논의되었으므로 설명 없이 적어보겠습니다.

그때부터:

따라서:

– 함수의 허수 부분.

한 번 더 멈출게요 기술적 포인트: 어떤 순서로실수 부분과 허수 부분에 항을 쓰나요? 네, 원칙적으로는 상관없습니다. 예를 들어 실수 부분은 다음과 같이 작성할 수 있습니다. , 그리고 상상의 것 – 다음과 같습니다: .

2) 코시-리만 조건이 충족되는지 확인해 보겠습니다. 두 가지가 있습니다.

상태부터 확인해보겠습니다. 우리는 찾는다 부분 파생 상품:

따라서 조건은 만족됩니다.

물론 좋은 소식은 편도함수는 거의 항상 매우 간단하다는 것입니다.

두 번째 조건이 충족되었는지 확인합니다.

결과는 동일하지만 반대 기호가 있으면 조건도 충족됩니다.

Cauchy-Riemann 조건이 충족되므로 함수는 미분 가능합니다.

3) 함수의 미분을 구해보자. 도함수 역시 매우 간단하며 일반적인 규칙에 따라 찾을 수 있습니다.

허수 단위는 미분 중에 상수로 간주됩니다.

답변: – 실제 부분, – 허수 부분.
Cauchy-Riemann 조건이 충족됩니다.

파생 상품을 찾는 두 가지 방법이 더 있습니다. 물론 덜 자주 사용되지만 정보는 두 번째 교훈을 이해하는 데 유용합니다. 복잡한 변수의 함수를 찾는 방법은 무엇입니까?

파생 상품은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

안에 이 경우:

따라서

우리는 역 문제를 해결해야 합니다. 즉, 결과 표현식에서 분리해야 합니다. 이를 위해서는 용어 및 대괄호 외부에서 다음이 필요합니다.

많은 사람들이 알고 있듯이 반대 동작은 수행하기가 다소 어렵습니다. 확인하려면 항상 초안에 표현을 취하거나 괄호를 다시 열어 결과가 정확히 맞는지 확인하는 것이 좋습니다.

도함수를 찾는 거울 공식:

이 경우: , 그 이유는 다음과 같습니다.

실시예 4

함수의 실수부와 허수부를 결정합니다. . Cauchy-Riemann 조건이 충족되는지 확인합니다. Cauchy-Riemann 조건이 충족되면 함수의 도함수를 구합니다.

빠른 솔루션수업이 끝나면 최종 디자인의 대략적인 샘플을 볼 수 있습니다.

코시-리만 조건은 항상 만족됩니까? 이론적으로 그들은 성취되는 것보다 더 자주 성취되지 않습니다. 하지만 실제 사례충족되지 않은 경우는 기억 나지 않습니다 =) 따라서 부분 파생 상품이 "수렴하지 않으면"매우 높은 확률로 어딘가에서 실수를했다고 말할 수 있습니다.

우리의 기능을 복잡하게 만들어 봅시다:

실시예 5

함수의 실수부와 허수부를 결정합니다. . Cauchy-Riemann 조건이 충족되는지 확인합니다. 계산하다

해결책:솔루션 알고리즘은 완전히 보존되지만 마지막에는 새로운 점이 추가됩니다. 즉, 한 점에서 도함수를 찾는 것입니다. 큐브용 필수 수식이미 출력되었습니다:

이 함수의 실수부와 허수부를 정의해 보겠습니다.

또 주목하고 또 주목해주세요!

그때부터:

따라서:
– 함수의 실제 부분;
– 함수의 허수 부분.

두 번째 조건 확인:

결과는 동일하지만 반대 기호가 있으면 조건도 충족됩니다.

Cauchy-Riemann 조건이 충족되므로 함수는 미분 가능합니다.

필요한 지점에서 미분 값을 계산해 보겠습니다.

답변:, , Cauchy-Riemann 조건이 충족됩니다.

큐브를 사용한 함수는 일반적이므로 다음은 강화할 예입니다.

실시예 6

함수의 실수부와 허수부를 결정합니다. . Cauchy-Riemann 조건이 충족되는지 확인합니다. 계산하다.

수업이 끝날 때 해결 방법과 마무리 예.

이론에 의하면 종합적인 분석지수, 사인, 코사인 등 복소 인수의 다른 함수도 정의됩니다. 이 함수들은 특이하고 심지어 기괴한 속성을 가지고 있습니다. 그리고 이것은 정말 흥미롭습니다! 정말 말씀드리고 싶은데, 공교롭게도 여기 이 책은 참고서나 교과서가 아니라 해결 책이기 때문에 동일한 문제를 몇 가지 공통 기능으로 고려해 보겠습니다.

먼저 소위에 대해 오일러의 공식:

누구에게나 유효한숫자의 경우 다음 공식이 유효합니다.

참고 자료로 노트북에 복사할 수도 있습니다.

엄밀히 말하면 공식은 하나뿐이지만 편의상 일반적으로 다음과 같이 씁니다. 특별한 경우표시기에 마이너스가 있습니다. 매개변수는 단일 문자일 필요는 없으며 복잡한 표현식이나 함수일 수 있습니다. 유효한의미. 실제로 우리는 지금 이것을 보게 될 것입니다:

실시예 7

파생상품을 찾아보세요.

해결책:당의 일반적인 노선은 흔들리지 않습니다. 기능의 실제 부분과 가상 부분을 구별하는 것이 필요합니다. 내가 데려올게 상세한 솔루션, 아래에서 각 단계에 대해 설명하겠습니다.

그때부터:

(1) 대신 "z"로 대체하십시오.

(2) 치환 후 실수부와 허수부를 선택해야 합니다. 지표에서 처음으로전시자. 이렇게 하려면 괄호를 엽니다.

(3) 지표의 허수 부분을 그룹화하여 허수 단위를 괄호 안에 넣습니다.

(4) 학위를 가지고 학교활동을 이용한다.

(5) 승수에 대해서는 오일러 공식을 사용합니다.

(6) 브래킷을 열면 다음과 같은 결과가 나타납니다.

– 함수의 실제 부분;
– 함수의 허수 부분.

추가 조치는 표준입니다. Cauchy-Riemann 조건이 충족되는지 확인해 보겠습니다.

실시예 9

함수의 실수부와 허수부를 결정합니다. . Cauchy-Riemann 조건이 충족되는지 확인합니다. 그렇다면 우리는 파생 상품을 찾지 못할 것입니다.

해결책:솔루션 알고리즘은 이전 두 예제와 매우 유사하지만 중요한 점, 그렇기 때문에 첫 단계단계별로 다시 설명하겠습니다.

그때부터:

1) 대신 “z”를 사용하세요.

(2) 먼저 실수부와 허수부를 선택합니다. 부비동 내부. 이러한 목적으로 대괄호를 엽니다.

(3) 우리는 공식을 사용하고, .

(4) 용도 쌍곡선 코사인의 패리티: 그리고 쌍곡사인의 이상한 점: . 쌍곡선은 비록 이 세상에 존재하지 않지만 여러 면에서 유사한 삼각함수를 연상시킵니다.

결국:
– 함수의 실제 부분;
– 함수의 허수 부분.

주목!빼기 기호는 허수 부분을 나타내며 어떤 경우에도 이를 잃어서는 안 됩니다! 명확한 설명을 위해 위에서 얻은 결과를 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

Cauchy-Riemann 조건이 충족되는지 확인해 보겠습니다.

Cauchy-Riemann 조건이 충족됩니다.

답변:, , Cauchy-Riemann 조건이 충족됩니다.

신사 숙녀 여러분, 스스로 알아봅시다.

실시예 10

함수의 실수부와 허수부를 결정합니다. Cauchy-Riemann 조건이 충족되는지 확인합니다.

나는 일부러 더 어려운 예를 선택했습니다. 왜냐하면 모든 사람이 껍질 벗긴 땅콩과 같은 것에 대처할 수 있는 것 같기 때문입니다. 동시에 주의력도 훈련하게 됩니다! 수업이 끝나면 너트 크래커.

음, 결론적으로 하나 더 고려해 보겠습니다. 흥미로운 예, 복소수 인수가 분모에 있는 경우. 실제로 이런 일이 몇 번 일어났습니다. 간단한 것을 살펴보겠습니다. 아, 나도 늙어가는구나...

실시예 11

함수의 실수부와 허수부를 결정합니다. Cauchy-Riemann 조건이 충족되는지 확인합니다.

해결책:이번에도 함수의 실수 부분과 허수 부분을 구별하는 것이 필요합니다.
그렇다면

"Z"가 분모에 있으면 어떻게 해야 할까요?

모든 것이 간단합니다. 표준이 도움이 될 것입니다 분자와 분모에 켤레식을 곱하는 방법, 수업의 예에서는 이미 사용되었습니다. 인형용 복소수. 학교 공식을 기억합시다. 우리는 이미 분모에 를 가지고 있는데, 이는 공액 표현이 가 될 것임을 의미합니다. 따라서 분자와 분모에 다음을 곱해야 합니다.

연방교육청

___________________________________

상트페테르부르크 주

전기기술대학교 "LETI"

_______________________________________

복소변수의 함수이론

지침

실습 수업까지

고등 수학에서는

상트 페테르부르크

출판사 SPbSETU "LETI"

UDC512.64(07)

TFKP: 문제 해결을 위한 방법론적 지침 / 편집자: V.G. Dyumin, A.M. Kotochigov, N.N. Sosnovsky. 상트페테르부르크: 상트페테르부르크 주립 전기 기술 대학교 "LETI" 출판사, 2010. 32 p.

승인됨

대학 편집출판위원회

~처럼 방법론적 지침

복소수 변수의 기능은 일반적으로 실제 평면의 매핑과 다릅니다.
그 자체로는 녹음의 형태로만 가능합니다. 중요하고 매우 유용한 개체는 복잡한 변수의 함수 클래스입니다.

하나의 변수의 함수와 동일한 도함수를 가집니다. 여러 변수의 함수는 부분 도함수와 방향 도함수를 가질 수 있는 것으로 알려져 있지만 일반적으로 서로 다른 방향의 도함수는 일치하지 않으며 한 지점에서 도함수에 대해 이야기하는 것은 불가능합니다. 그러나 복소 변수의 함수에 대해 차별화를 허용하는 조건을 설명하는 것이 가능합니다. 복소 변수의 미분 가능한 함수의 속성에 대한 연구는 방법론 지침의 내용입니다. 지침은 이러한 기능의 속성을 사용하여 다양한 문제를 해결하는 방법을 보여주기 위한 것입니다. 제시된 자료를 성공적으로 숙달하는 것은 복소수를 계산하는 기본 기술과 실제 부분과 허수 부분을 연결하는 불평등으로 정의된 가장 단순한 기하학적 객체에 대한 지식 없이는 불가능합니다. 복소수, 해당 모듈 및 인수도 포함됩니다. 이에 필요한 모든 정보의 요약은 지침에서 찾을 수 있습니다.

수학적 분석의 표준 장치인 극한, 도함수, 적분, 계열은 지침 본문에서 널리 사용됩니다. 이러한 개념이 고유한 특성을 갖는 경우 하나의 변수의 기능과 비교하여 적절한 설명이 제공되지만 대부분의 경우 실수 부분과 허수 부분을 분리하고 실제 분석의 표준 장치를 적용하는 것으로 충분합니다.

1. 복소변수의 기본 기능

어떤 기본 함수가 이 속성을 가지고 있는지 알아냄으로써 복소 변수 함수의 미분 가능성 조건에 대한 논의를 시작하는 것이 당연합니다. 뻔한 관계에서

따라서 모든 다항식은 미분 가능합니다. 이후 파워 시리즈수렴원 내에서 용어별로 차별화될 수 있습니다.

그러면 모든 함수는 테일러 급수로 확장될 수 있는 근처의 점에서 미분 가능합니다. 이는 충분조건이지만 곧 명확해지겠지만 필요조건이기도 합니다. 함수 그래프의 동작을 모니터링하여 파생물과 관련하여 한 변수의 함수 연구를 지원하는 것이 편리합니다. 이는 복잡한 변수의 함수에는 불가능합니다. 그래프 점은 차원 4의 공간에 있습니다.

그러나 함수의 일부 그래픽 표현은 복소 평면에서 매우 간단한 집합의 이미지를 고려하여 얻을 수 있습니다.
, 주어진 기능의 영향으로 발생합니다. 예를 들어, 이러한 관점에서 몇 가지 간단한 기능을 고려해 보겠습니다.

선형 함수

이 간단한 함수는 매우 중요합니다. 모든 미분 가능한 함수는 선형 함수와 국부적으로 유사하기 때문입니다. 함수의 동작을 최대한 자세히 고려해 봅시다

여기
-- 복소수의 계수 그리고 - 그의 주장. 따라서 선형 함수는 스트레칭, 회전 및 평행 이동을 수행합니다. 따라서 선형 매핑은 모든 집합을 유사한 집합으로 가져옵니다. 특히 선형 매핑의 영향으로 직선은 직선으로, 원은 원으로 변합니다.

기능

이 함수는 선형 다음으로 가장 복잡한 함수입니다. 모든 선을 직선으로, 원을 원으로 변환할 것이라고 기대하기는 어렵습니다. 간단한 예를 보면 이런 일이 발생하지 않는다는 것을 알 수 있지만 이 함수는 모든 선과 원의 집합을 원으로 변환한다는 것을 알 수 있습니다. 그 자체. 이를 확인하려면 매핑의 실제(좌표) 설명으로 이동하는 것이 편리합니다.

증명에는 역 매핑에 대한 설명이 필요합니다

다음과 같은 경우 방정식을 고려하십시오.
, 그러면 잘 될 거예요 일반 방정식똑바로. 만약에
, 저것

그러므로 언제
임의의 원의 방정식이 얻어집니다.

만약에 참고하세요
그리고
, 원은 원점을 통과합니다. 만약에
그리고
, 그러면 원점을 통과하는 직선을 얻게 됩니다.

반전 작업에 따라 고려 중인 방정식은 다음 형식으로 다시 작성됩니다.

, (
)

또는 . 이는 원이나 직선을 나타내는 방정식이기도 함을 알 수 있습니다. 방정식의 계수는 그리고
자리가 바뀌었다는 것은 반전 중에 0을 통과하는 직선이 원으로 바뀌고, 0을 통과하는 원이 직선으로 바뀌는 것을 의미합니다.

전력 기능

이러한 함수와 앞에서 설명한 함수의 주요 차이점은 일대일 함수가 아니라는 점입니다(
). 기능이라고 할 수 있습니다
복잡한 평면을 동일한 평면의 두 복사본으로 변환합니다. 이 주제를 정확하게 처리하려면 리만 표면의 번거로운 장치를 사용해야 하며 여기서 고려하는 문제의 범위를 벗어납니다. 복합 평면은 섹터로 나눌 수 있으며 각 섹터는 복합 평면에 일대일로 매핑된다는 점을 이해하는 것이 중요합니다. 이것은 기능에 대한 분석입니다.
예를 들어, 상부 절반 평면은 다음 함수에 의해 복소 평면에 일대일 매핑됩니다.
. 이러한 이미지의 기하학적 왜곡은 반전의 경우보다 설명하기가 더 어렵습니다. 연습으로, 표시할 때 상부 절반 평면의 직각 좌표 그리드가 어떻게 변환되는지 추적할 수 있습니다.

직사각형 좌표계의 격자가 평면에서 곡선 좌표계를 형성하는 포물선 계열로 변환되는 것을 볼 수 있습니다.
. 위에서 설명한 평면의 분할은 다음과 같은 기능을 합니다.
각각을 표시합니다 비행기 전체의 섹터. 정방향 및 역방향 매핑에 대한 설명은 다음과 같습니다.

그래서 기능은
그것은 가지고있다 다양한 역함수,

비행기의 다양한 구역에 지정됨

이러한 경우 매핑이 다중 시트라고 합니다.

Zhukovsky 기능

이 기능은 날개 이론의 기초를 형성했기 때문에 그 자체의 이름을 가지고 있습니다. 항공기, Zhukovsky가 만든 것입니다(이 디자인에 대한 설명은 책에서 찾을 수 있습니다). 이 함수에는 여러 가지 흥미로운 속성이 있습니다. 그 중 하나에 집중해 보겠습니다. 이 함수가 일대일로 작동하는 집합이 무엇인지 알아보세요. 평등을 고려하라

, 어디
.

결과적으로 Zhukovsky 함수는 모든 도메인에서 일대일입니다. 그리고 그들의 제품은 1과 같지 않습니다. 예를 들어, 이것은 열린 단위원입니다.
닫힌 단위원의 보수
.

원에서 Zhukovsky 함수의 동작을 고려한 다음

실수부와 허수부를 분리하여 타원의 매개변수 방정식을 얻습니다.

,
.

만약에
, 이 타원은 전체 평면을 채웁니다. 세그먼트의 이미지가 쌍곡선이라는 것과 유사한 방식으로 확인할 수 있습니다.

지수 함수

이 함수는 전체 복소 평면에서 절대적으로 수렴하는 거듭제곱 급수로 확장될 수 있습니다. 따라서 모든 곳에서 미분 가능합니다. 함수가 일대일인 집합을 설명하겠습니다. 명백한 평등
평면이 일련의 스트립으로 분할될 수 있으며, 각 스트립은 전체 복합 평면에 대한 함수에 의해 일대일로 매핑될 수 있음을 보여줍니다. 이 분할은 역함수가 어떻게 작동하는지, 더 정확하게 이해하는 데 필수적입니다. 역함수. 각 스트라이프에는 자연스럽게 정의된 역 매핑이 있습니다.

이 경우의 역함수도 다가이며, 역함수의 수는 무한합니다.

매핑의 기하학적 설명은 매우 간단합니다. 즉, 직선입니다.
광선으로 변하다
, 세그먼트

원으로 변하다
.

어디
실수이고 -라는 특수 문자 허수 단위 . 허수 단위의 경우 정의에 따라 다음과 같이 가정됩니다.
.

(4.1) – 대수적 형태 복소수 및
~라고 불리는 진짜 부분 복소수 및
-허수부 .

숫자
~라고 불리는 복합 공액체 숫자에
.

두 개의 복소수가 주어지자
,
.

1. 양
복소수 그리고 복소수라고 부른다

2. 차이로
복소수 그리고 복소수라고 부른다

3. 작품
복소수 그리고 복소수라고 부른다

4. 사적인 복소수를 나누는 것에서 복소수로
복소수라고 부른다

비고 4.1. 즉, 복소수에 대한 연산은 대수학의 리터럴 표현에 대한 산술 연산의 일반적인 규칙에 따라 도입됩니다.

예제 4.1.복소수가 제공됩니다. 찾다

해결책. 1) .

4) 분자와 분모에 분모의 켤레 복소수를 곱하면 다음을 얻습니다.

삼각법 형태 복소수:

어디
- 복소수의 계수,
복소수의 인수입니다. 모서리 고유하게 정의되지 않은 용어까지
:

,
.

- 조건에 따라 결정되는 인수의 주요 값

, (또는
).

실증 양식 복소수:

뿌리
수의 거듭제곱 그것은 가지고있다 공식으로 구해지는 다양한 값

어디
.

값에 해당하는 포인트
, 은 올바른 정점입니다.
반경의 원에 내접된 정사각형
원점에 중심이 있습니다.

예제 4.2.모든 근값 찾기
.

해결책.복소수를 상상해 봅시다
삼각법 형식:

, 어디
.

그 다음에
. 따라서 식 (4.2)에 따르면
네 가지 의미가 있습니다.

,
.

믿음
, 우리는 찾는다

,
,

, .

여기서는 인수 값을 기본 값으로 변환했습니다.

복소 평면에 설정

복소수
비행기에 그려진
점
좌표와 함께
. 기준 치수
그리고 논쟁
해당 점의 극좌표에 해당합니다.
.

불평등을 기억하는 것이 유용합니다.
한 점을 중심으로 원을 정의합니다. 반지름 . 불평등
직선의 오른쪽에 위치한 반평면을 정의합니다.
, 그리고 불평등
- 직선 위에 위치한 반평면
. 또한, 불평등 시스템
광선 사이의 각도를 설정합니다
그리고
유래에서 나옵니다.

예제 4.3.부등식으로 정의된 영역을 그립니다.
.

해결책.첫 번째 부등식은 중심이 점에 있는 링에 해당합니다.
두 개의 반경 1과 2가 있는 경우 원은 해당 영역에 포함되지 않습니다(그림 4.1).

두 번째 부등식은 광선 사이의 각도에 해당합니다.
(네 번째 좌표각의 이등분선) 및
(양의 축 방향
). 광선 자체는 해당 영역에 들어가지 않습니다(그림 4.2).

원하는 영역은 얻은 두 영역의 교차점입니다(그림 4.3).

4.2. 복소변수의 기능

단일 값 함수를 보자
해당 지역에서 정의되고 연속적
, ㅏ - 부분적으로 부드럽게 닫힌 또는 닫히지 않은 방향의 곡선
. 평소처럼
,, 어디
,
- 변수의 실제 함수 그리고 .

함수의 적분 계산
복소변수 일반적인 곡선 적분 계산으로 축소됩니다. 즉

기능의 경우
단순히 연결된 도메인에서의 분석
, 포인트 포함 그리고 이면 Newton-Leibniz 공식은 다음과 같습니다.

어디
- 함수에 대한 일부 역도함수
, 그건
지역에
.

복소변수의 함수적분에서는 변수의 변화가 가능하며, 부분적분은 실수변수의 함수적분을 계산할 때와 유사하다.

또한 적분 경로가 한 점에서 나오는 선의 일부인 경우에도 주의하세요. , 또는 한 점을 중심으로 하는 원의 일부 , 그런 다음 양식의 변수 대체를 만드는 것이 유용합니다.
. 첫 번째 경우
, ㅏ - 실제 통합 변수; 두 번째 경우
, ㅏ - 실제 통합 변수.

예제 4.4.계산하다
포물선으로
지점에서
요점까지
(그림 4.4).

해결책.피적분 함수를 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.

그 다음에
,
. 공식 (4.3)을 적용해보자:

왜냐하면
, 저것
,
. 그렇기 때문에

예제 4.5.적분 계산
, 어디 - 원호
,
(그림 4.5) .

해결책.의 말을하자
, 그 다음에
,
,
. 우리는 다음을 얻습니다:

기능
, 링의 단일 값 및 분석
, 이 고리에서 다음으로 분해됩니다. 로랑 시리즈

공식 (4.5)에서 시리즈
~라고 불리는 주요 부분 Laurent 시리즈와 시리즈
~라고 불리는 오른쪽 부분 로랑 시리즈.

정의 4.1. 점 ~라고 불리는고립된 특이점 기능
, 함수가 작동하는 이 지점 근처에 있는 경우
요점 자체를 제외한 모든 곳에서 분석 .

기능
한 지점 근처에 Laurent 시리즈로 확장 가능합니다. 이 경우 Laurent 시리즈에서는 세 가지 다른 경우가 가능합니다.

1) 음의 차이 거듭제곱이 있는 항을 포함하지 않습니다.
, 그건

(Laurent의 시리즈에는 주요 부분이 포함되어 있지 않습니다). 이 경우 ~라고 불리는 제거 가능한 특이점 기능
;

2) 음의 차이 거듭제곱을 갖는 유한한 수의 항을 포함합니다.
, 그건

그리고
. 이 경우 요점은 ~라고 불리는 질서의 극 기능
;

3) 음의 거듭제곱을 갖는 무한한 수의 항을 포함합니다.

이 경우 요점은 ~라고 불리는 본질적으로 특별한 점 기능
.

고립된 특이점의 특성을 결정할 때 로랑 급수 전개를 찾을 필요는 없습니다. 고립된 특이점의 다양한 속성을 사용할 수 있습니다.

1) 함수의 제거 가능한 특이점입니다.
, 함수의 유한한 한계가 있는 경우
그 시점에 :

2) 는 함수의 극이다
, 만약에

3) 는 본질적으로 함수의 특이점입니다.
, 만약에
함수에는 한계가 없으며 유한도 무한도 없습니다.

정의 4.2. 점 ~라고 불리는영
첫 주문 (또는 다중성 ) 기능
, 다음 조건이 충족되는 경우:

…,

.

참고 4.2. 점 if와 only if가 0이면
첫 주문 기능
, 이 지점 근처에서 평등이 유지되는 경우

기능은 어디에 있나요?
한 지점에서 분석 그리고

4) 포인트 질서의 극이다 (
) 기능
, 이 점이 0차인 경우 기능을 위해
.

5) 하자 - 함수의 고립된 특이점
, 어디
- 한 지점에서의 분석 기능 . 그리고 요점을 보자 순서가 0이다 기능
그리고 제로 오더 기능
.

~에
점 질서의 극이다
기능
.

~에
점 함수의 제거 가능한 특이점입니다.
.

예제 4.6.고립된 점을 찾아 함수에 대한 유형 결정
.

해결책.기능
그리고
- 전체 복잡한 평면에서 분석적입니다. 이는 함수의 특이점을 의미합니다.
는 분모의 0, 즉 다음과 같은 점입니다.
. 그러한 점은 무한히 많습니다. 우선 이게 포인트다
, 그리고 방정식을 만족하는 점들
. 여기에서
그리고
.

요점을 고려하십시오
. 이 시점에서 우리는 다음을 얻습니다:

,
,

,
.

0의 순서는
.

,
,

,
.

그래서 기간
2차 극점(
).

. 그 다음에

,
.

0 분자의 순서는 다음과 같습니다.
.

,
,
.

분모의 0 차수는 다음과 같습니다.
. 따라서 포인트는
~에
1차 극점은 다음과 같습니다( 간단한 극 ).

정리 4.1. (잔류물에 대한 코시의 정리 ). 기능의 경우
경계에서 분석적이다 지역
유한한 수의 특이점을 제외하고 영역 내부의 모든 곳에서
, 저것

적분을 계산할 때 함수의 모든 특이점을 주의 깊게 찾는 것이 좋습니다.
를 클릭한 다음 등고선과 특이점을 그린 다음 적분 윤곽선 내부에 있는 점만 선택합니다. 사진 없이 올바른 선택을 하는 것은 종종 어렵습니다.

공제액 계산 방법
특이점의 유형에 따라 다릅니다. 따라서 잔차를 계산하기 전에 특이점의 유형을 결정해야 합니다.

1) 한 지점에서 함수의 잔여물 Laurent 전개의 1차 마이너스 계수와 같습니다.
한 지점 근처에 :

이 설명은 모든 유형의 고립점에 적용되므로 이 경우 특이점의 유형을 결정할 필요가 없습니다.

2) 제거 가능한 특이점의 잔차는 0과 같습니다.

3) 만일 는 단순한 극점(1차 극점)이고, 함수는 다음과 같습니다.
형태로 표현될 수 있다
, 어디
,
(이 경우에는 참고하세요.
), 잔여물은 해당 지점에 있습니다. 같음

특히, 만약
, 저것
.

4) 만일 - 간단한 극, 그럼

5) 만일 - 극
차차 함수
, 저것

예제 4.7.적분 계산
.

해결책.특이점 찾기 피적분 함수
. 기능
특이점이 2개 있다
그리고
한 점만 윤곽선 안에 들어갑니다.
(그림 4.6). 점
- 2차 극점 이후
함수에 대한 배수 2의 0입니다
.

그런 다음 공식 (4.7)을 사용하여 이 지점에서 잔여물을 찾습니다.

정리 4.1에 의해 우리는 다음을 찾습니다.

강의 번호 4.

기하학적으로 복소변수의 함수 w=f(지) 특정 세트의 표시를 지정합니다. 지– 특정 세트로 가는 비행기 승-비행기. 점 승Î G~라고 불리는 방법 포인트들 지표시될 때 w=f(지), 점 지Î 디 – 원기 포인트들 승.

만약 모두가 지하나의 값만 일치합니다. w=f(지), 함수가 호출됩니다. 모호하지 않은 (w=|z|,w=,w=답장 지등) 어떤 경우에는 지둘 이상의 값과 일치합니다. 승, 함수가 호출됩니다. 다의미적 (w=인수 지).

만약 (즉, 다양한 포인트지역 디함수는 다른 의미), 그 다음에는 함수 승=에프(지) 라고 한다 단엽의 지역에 디.

즉, 1가 함수는 승=에프(지) 일대일로 해당 지역을 매핑합니다. 디~에 G. 단일 시트 디스플레이 포함 승=에프(지) 임의 지점의 역상 이미지 승Î G단일 요소로 구성됩니다: : . 그렇기 때문에 지변수의 함수로 간주될 수 있음 승, 정의됨 G. 지정되어 호출됩니다. 역함수 .

해당 지역에 있는 경우 디적어도 한 쌍의 포인트가 있는 경우 함수는 다음과 같습니다. 에프(지)라고 불린다. 여러잎 지역에 디.

디스플레이하는 경우 승=에프(지)는 다중 잎입니다 디(예를 들어, 승=z n), 이 경우에는 일부 값 승Î G두 개 이상의 포인트와 일치합니다. 지Î 디:에프(지)=승. 따라서 역 매핑은 단일 값이 아닌 다중 값 함수입니다.

면적의 한 자리 디기능 승=에프(지) 라고 한다 다중값 함수의 분기에프, 값이 있는 경우 에프어느 시점에서든 지Î 디값 중 하나와 일치합니다. 에프이 지점에서.

다중 값 함수의 단일 값 분기를 분리하려면 다음과 같이 진행하십시오. 디기능을 단일성 영역으로 나누기 승=에프(지) 두 영역이 공통 내부 점을 갖지 않도록 하고 각 점은 지Î 디이 지역 중 하나에 속했거나 일부 국경에 속했습니다. 이러한 일의성 영역 각각에서 다음과 반대인 함수를 정의합니다. 승=에프(지). 다중 값 함수의 단일 값 분기입니다.

컨포멀 매핑의 개념

예.한 지점의 신축 계수와 회전 각도 찾기 지=2나표시할 때 .

■ 파생상품 찾기 그리고 주어진 시점에서의 그 가치 .

신축률 케이미분 계수와 같습니다. .

회전 각도 제이도함수의 인수와 동일합니다. 따라서 요점은 4쿼터에 있습니다. . ■

예제 3.5.표시될 때 평면의 어느 부분을 결정합니다. 승=지 2는 늘어나는 것과 압축되는 것입니다.

■ 파생상품 찾기 승¢=2 지. 어느 지점의 인장 요인 지같음 케이=|승¢( 지)|=2|지|. 복소평면에 있는 점들의 집합 케이>1, 즉 2| 지|>1 또는 은 표시될 때 늘어나는 평면의 일부를 형성합니다. 그러므로 표시할 때 승=지 2 원의 바깥쪽이 늘어납니다. 내부 부분- 수축합니다. ■

표시하다 승=에프(지) 라고 한다 등각의 (즉, 모양을 유지) 곡선 사이의 각도를 유지하고 점 근처의 지속적인 확장 특성을 갖는 경우 점에서.

분석 기능을 통해 설정된 모든 매핑 에프(지)는 가 있는 모든 지점에서 등각입니다.

매핑이 호출됩니다. 해당 지역의 컨포멀 , 이 영역의 모든 지점에서 등각인 경우.

각도의 기준 방향이 보존되는 등각 매핑을 호출합니다. 첫 번째 종류의 등각 매핑 . 각도의 방향이 반대가 되는 등각 매핑(Conformal Mapping)이라고 합니다. ΙΙ 속의 등각 매핑 (예를 들어, ).

등각 사상의 이론과 실제에서는 두 가지 문제가 제기되고 해결됩니다.

첫 번째 작업은 주어진 매핑에서 주어진 라인이나 영역의 이미지를 찾는 것입니다. 직접적인 업무 .

두 번째는 주어진 선이나 영역을 다른 주어진 선이나 영역에 매핑하는 함수를 찾는 것입니다. 역 문제 .

직접적인 문제를 해결할 때 점의 이미지가 고려됩니다. 지표시되면 0 승=에프(지)는 점이다 승 0 , 이렇게 승 0 =에프(지 0), 즉 대체의 결과이다. 지 0인치 에프(지). 따라서 집합의 이미지를 찾으려면 두 개의 관계로 구성된 시스템을 풀어야 합니다. 그 중 하나는 매핑 기능을 지정합니다. 승=에프(지), 다른 하나는 선의 이미지를 찾는 문제가 해결되는 경우 선의 방정식이고, 매핑 영역의 문제가 해결되는 경우 사전 이미지의 점 집합을 결정하는 부등식입니다. 두 경우 모두 솔루션 절차는 변수를 제거하는 것으로 축소됩니다. 지주어진 두 비율에서.

규칙 3.3.방정식으로 주어진 선의 이미지를 찾으려면 에프(엑스,와이)=0(또는 명시적으로 와이=제이(엑스)), 표시할 때 승=에프(지) 필요한:

1. 함수의 실수부와 허수부를 선택하세요. 에프(지): 유=재 에프(지), V=나는 에프(지).

2. 시스템에서 제외 엑스그리고 유.결과 관계는 이 선의 이미지 방정식입니다.

규칙 3.4.표시할 때 주어진 줄의 이미지를 찾으려면 승=에프(지) 필요한:

1. 매개변수 형식으로 선의 방정식을 작성합니다. 지=지(티) 또는 복잡한 형태 .

2. 선 방정식의 유형에 따라 해당 사례를 고려하십시오.

라인이 파라메트릭 형식으로 제공되면 다음 표현식으로 대체하십시오. 지(티) V 승=에프(지);

라인이 복잡한 형태로 주어지면 다음을 표현하십시오. 지~에서 승=에프(지) 즉, 그리고 . 그럼 대체해야 해 지그리고 직선의 방정식에서. 결과 관계는 이 선의 이미지 방정식입니다.

규칙 3.5.특정 영역의 이미지를 찾으려면 두 가지 방법 중 하나를 사용해야 합니다.

첫 번째 방법.

1. 이 영역의 경계 방정식을 적어보세요. 규칙 3.3 또는 3.4를 사용하여 주어진 영역의 경계 이미지를 찾습니다.

2. 주어진 영역의 임의의 내부 지점을 선택하고 주어진 매핑에서 해당 이미지를 찾습니다. 결과 점이 속하는 영역은 해당 영역의 원하는 이미지입니다.

두 번째 방법.

1. 익스프레스 지비율에서 승=에프(지).

2. 1단계에서 받은 내용을 대체합니다. 주어진 지역을 정의하는 부등식의 표현. 결과 비율은 원하는 이미지입니다.

예.원의 이미지 찾기 | 지|=1 함수를 사용하여 표시할 때 승=지 2 .

■ 편도(규칙 3.3에 따름)

1. 하자 z=x+iy, w=u+iv. 그 다음에 u+iv =엑스 2 -와이 2 +나 2xy. 우리는 다음을 얻습니다:

2. 제외하자 엑스그리고 ~에이 방정식으로부터. 이를 위해 첫 번째와 두 번째 방정식을 제곱하고 다음을 추가해 보겠습니다.

유 2 +V 2 =엑스 4 -2엑스 2 와이 2 +와이 4 +2엑스 2 와이 2 =엑스 4 +2엑스 2 와이 2 +와이 4 =(엑스 2 +와이 2) 2 .

시스템의 세 번째 방정식을 고려하면 다음을 얻습니다. 유 2 +V 2 =1 또는 | 승| 2 =1, 즉 | 승|=1. 그래서 원의 이미지 | 지|=1은 원입니다 | 승|=1, 두 번 통과할 수 있습니다. 이는 이후로 다음과 같은 사실에서 비롯됩니다. 승=지 2 다음 인수 승=2Arg 지+2pk. 그래서 포인트가 되면 지설명하다 완전한 원 |지|=1이면 해당 이미지가 원을 설명합니다 | 승|=1 두 번.

방법 2(규칙 3.4에 따름)

1. 단위원의 방정식을 매개변수 형식으로 작성해 보겠습니다. 지=전자 그것 (0£ 티£2 피).

2. 대체하자 지=전자 그것비율로 승=지 2: w=e 나 2 티=cos2 티+나죄2 티. 따라서 | 승| 2 = 왜냐하면 2 2 티+죄 2 2 티=1, 즉 | 승|=1 – 이미지 방정식. ■

예.선 이미지의 방정식 찾기 y=x표시될 때 승=지 3 .

■ 곡선이 명시적으로 제공되므로 규칙 3.3을 적용합니다.

1. 승=지 3 =(엑스+나) 3 =엑스 3 +3엑스 2 나+3엑스(나) 2 +(나) 3 =엑스 3 - 3xy 2 +나(3엑스 2 y-y 3).

수단,

2. 결과 시스템에서 우리는 대체합니다 y=x: 제외 엑스이 방정식으로부터 우리는 다음을 얻습니다. v=-u.

따라서 시스템의 I 및 III 좌표각의 이등분선 이미지 xOy시스템의 II 및 IV 좌표 각도의 이등분선입니다. uOv. ■

1. 선형 함수

선형 함수형태의 함수라고 불린다.

승=아즈+비, (4.1)

어디 ㅏ, 비- 복잡한 상수.

이 함수는 정의되어 있습니다 . 따라서 이면 선형 함수는 복소 변수의 전체 평면에 대한 등각 매핑을 생성합니다. 이 경우 모든 곡선의 접선은 동일한 각도 Arg만큼 회전됩니다. ㅏ이며 모든 지점의 장력은 동일합니다. 만약에 에이= 1, 그럼 , 이는 신축이나 회전이 없음을 의미합니다. 이 경우 우리는 얻는다 w=z+b. 이 매핑은 전체 평면을 벡터만큼 이동합니다.

일반적인 경우 복소수를 쓰는 지수 형식으로 이동하면 다음을 얻습니다. 따라서 선형 매핑은 세 가지 기하학적 변환으로 구성됩니다.

승 1 =rz- 계수와의 유사성 아르 자형=|ㅏ|;

승 2 =전자 나는 j w 1 =rze i j- 각도로 회전 제이=인수 ㅏ지점 주변 에 대한;

승=승 2 +비=다시 나는 j z+비- 벡터로의 병렬 전송.

그러므로 매핑은 승=아즈+비|에 있는 평면 도형의 선형 치수를 변경합니다. ㅏ| 한 번, 이 그림을 각도만큼 회전합니다. 제이=인수 ㅏ원점 주위로 이동하고 해당 값만큼 벡터 방향으로 이동합니다.

선형 매핑에는 원형 속성이 있습니다. 즉, 원을 매핑합니다. 지-원 안의 비행기 승-평면(또는 그 반대); 직선을 직선으로 변환합니다.

예.축의 이미지 찾기 OU표시될 때 승=2iz-3i.

■ 편도(규칙 3.4에 따름) 우리는 파라메트릭 형태의 축 방정식을 선택합니다.

1. 실제 형태에서는 축의 방정식이 아야: 엑스=0, -¥<와이<+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy, -¥<와이<+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран ~에.

2. 대체하자 z=iy표현에 승=2iz-3i: 승=-2와이-3나, -¥<와이<+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (~에- 매개변수). 실제 부분과 허수 부분을 분리한 후 실제 형식의 이미지 방정식을 얻습니다. 유=-2와이, V=-3 또는 V=-3, -엔<유<+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv, 실제 축과 평행합니다.

방법 2. 우리는 선형 변환의 원형 속성을 사용합니다. 즉, 직선의 이미지는 직선입니다. 직선은 두 점을 지정하여 정의되므로 축에서는 충분합니다. OU두 점을 선택하고 해당 이미지를 찾으십시오. 발견된 점을 통과하는 직선이 필수가 됩니다. 포인트를 선택하자 지 1 =0, 지 2 =나, 그들의 이미지 승 1 =-3나, 승 2 =-2-3나매핑되면 Im 라인에 누워 승= -3. 따라서 축의 이미지는 OU직선이다 V=-3.

3방향(기하학적). 관계에서 승=2iz-3i그 뒤를 따른다 ㅏ=2나, 비=-3나, |ㅏ|=2, . 이는 주어진 직선(축 OU)는 원점을 기준으로 각도만큼 회전한 다음 3단위 아래로 이동해야 합니다. 2배 늘려도 원래 선은 원점을 통과하므로 기하학적 모양이 변경되지 않습니다. ■

예.원을 나타내는 선형 함수 찾기 | z-i|=원주당 1개 | 와- 3|=2.

■ 제기된 문제는 매핑 이론의 역문제입니다. 주어진 이미지와 사전 이미지가 주어지면 해당 매핑을 찾습니다. 추가 조건이 없으면 문제에 고유한 해결책이 없습니다. 기하학적 솔루션을 제시해 보겠습니다.

1. 원의 중심을 원점으로 이동합니다. 이를 위해 매핑을 적용합니다. 승 1 =z-i.

2. 비행기 안 승 1 2배 스트레치를 제공하는 매핑을 적용해 보겠습니다. 승 2 =2승 1 .

3. 원을 오른쪽으로 3단위 이동합니다. 승=승 2 +3. 마지막으로 우리는 다음을 얻습니다: 승=2(z-i)+3, w= 2지+3-2나– 필요한 기능.

기하학적 작업을 수행하기 위해 다른 순서를 선택할 수 있습니다. 먼저 이동하지 말고 회전하거나 늘입니다. ■

2. 분수 선형 함수

분수 선형형태의 함수라고 불린다.

, (4.2)

어디 ㅏ, 비,씨,디-, .

분수 선형 변환의 속성

1°적합성

표시하다 승=엘(지)는 을 제외한 복합 평면의 모든 끝점에서 등각입니다.

2° 순환 속성

분수 선형 매핑에서 직선이나 원의 이미지 승=엘(지)는 직선 또는 원입니다(직선의 이미지는 원 또는 직선일 수 있고, 원의 이미지는 직선이면서 원일 수 있습니다). 표시할 때 이를 확인하는 것은 쉽습니다. 승=엘(지) 점을 통과하는 모든 직선과 원은 직선 평면으로 이동합니다 ( 승) 및 점을 통과하지 않는 모든 직선이나 원 디, - 평면의 원주에서 ( 승).

3°이중 관계 불변성

태도 분수 선형 매핑 하에서 보존됩니다. 즉, 불변입니다. 이 관계를 이라고 합니다 네 점의 이중 비율. 따라서 분수 선형 변환은 세 점과 해당 이미지를 지정하여 고유하게 결정됩니다. 이 쌍을 사용하면 다음 공식을 사용하여 분수 선형 함수를 찾을 수 있습니다.

. (4.3)

이 공식은 숫자 중 일부가 다음과 같은 경우에도 적용될 수 있습니다. zk그리고 주규칙을 사용하면 ¥로 변환됩니다. 기호 ¥가 나타나는 차이는 1로 대체되어야 합니다.

4°대칭 유지

포인트라면 지 1과 지 2는 어떤 선이나 원에 대해 대칭이다 g, 그런 다음 분수 선형 매핑의 경우 승=엘(지) 그들의 이미지 승 1과 승 2는 이미지를 기준으로 대칭이 됩니다. g: .

직선에 대한 대칭은 일반적인 의미로 이해됩니다.

포인트들 지그리고 지*호출된다 원에 대해 대칭 |z~z 0 |=아르 자형, 그들이 원의 중심에서 나오는 동일한 광선 위에 놓여 있고 원의 중심으로부터의 거리의 곱이 반경의 제곱과 같다면, 즉

|z~z 0 |×| z*-z 0 |=아르 자형 2 . (4.4)

점에 대칭인 점 지 0 – 원의 중심은 명백히 무한대의 지점입니다.

5°경계 순회 매칭 원리(선이나 원으로 둘러싸인 영역 표시)

분수 선형 매핑에서 직선 또는 원인 경우 g직선이나 원으로 변한다 g¢, 그다음 지역 디, 이는 제한적이다 g, 경계가 있는 두 영역 중 하나로 변환됩니다. g¢. 이 경우 국경 우회 대응 원칙이 적용됩니다. 일부 노선 우회 중에 g지역 디왼쪽 (오른쪽)에있는 것으로 밝혀진 다음 해당 선의 횡단으로 g¢지역 D¢왼쪽(오른쪽)에도 있어야 합니다.