Diferansiyel denklemler gibi muhteşem bir matematik aracının tarihiyle başlamamız gerektiğini düşünüyorum. Tüm diferansiyel ve integral hesaplar gibi bu denklemler de 17. yüzyılın sonlarında Newton tarafından icat edildi. Bu özel keşfinin o kadar önemli olduğunu düşündü ki, bugün şu şekilde çevrilebilecek bir mesajı bile şifreledi: "Doğanın tüm yasaları diferansiyel denklemlerle tanımlanır." Bu abartı gibi görünebilir ama doğrudur. Herhangi bir fizik, kimya, biyoloji kanunu bu denklemlerle açıklanabilir.

Teorinin geliştirilmesine ve yaratılmasına büyük katkı diferansiyel denklemler Matematikçiler Euler ve Lagrange'ın katkılarıyla. Şu anda üniversite son sınıf derslerinde okudukları konuları daha 18. yüzyılda keşfedip geliştirdiler.

Henri Poincaré sayesinde diferansiyel denklem araştırmalarında yeni bir dönüm noktası başladı. Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisi ile birleştiğinde topolojinin temeline - uzay bilimi ve özelliklerine - önemli katkı sağlayan "diferansiyel denklemlerin nitel teorisini" yarattı.

Diferansiyel denklemler nelerdir?

Çoğu insan tek bir cümleden korkar, ancak bu yazıda, aslında adından göründüğü kadar karmaşık olmayan bu çok kullanışlı matematik aparatının tüm özünü ayrıntılı olarak özetleyeceğiz. Birinci dereceden diferansiyel denklemler hakkında konuşmaya başlamak için öncelikle bu tanımla doğası gereği ilişkili olan temel kavramlara aşina olmalısınız. Ve diferansiyelle başlayacağız.

Diferansiyel

Birçok kişi bu kavramı okuldan beri biliyor. Ancak gelin daha yakından bakalım. Bir fonksiyonun grafiğini düşünün. Bunu öyle bir arttırabiliriz ki, herhangi bir parçası düz bir çizgi şeklini alacak. Birbirine sonsuz yakın olan iki noktayı ele alalım. Koordinatları arasındaki fark (x veya y) sonsuz küçük olacaktır. Buna diferansiyel denir ve dy (y'nin diferansiyeli) ve dx (x'in diferansiyeli) işaretleriyle gösterilir. Diferansiyelin sonlu bir miktar olmadığını ve bunun anlamı ve ana işlevi olduğunu anlamak çok önemlidir.

Şimdi diferansiyel denklem kavramını açıklamada bize yararlı olacak bir sonraki öğeyi ele almamız gerekiyor. Bu bir türevdir.

Türev

Muhtemelen hepimiz bu kavramı okulda duymuşuzdur. Türevin bir fonksiyonun artma veya azalma hızı olduğu söylenir. Ancak bu tanımdan pek çok şey belirsizleşiyor. Türevi diferansiyeller yoluyla açıklamaya çalışalım. Birbirinden minimum uzaklıkta olan iki noktaya sahip bir fonksiyonun sonsuz küçük bir parçasına dönelim. Ancak bu mesafeden bile işlev bir miktar değişmeyi başarıyor. Ve bu değişimi açıklamak için, diferansiyellerin oranı olarak yazılabilecek bir türev buldular: f(x)"=df/dx.

Şimdi türevin temel özelliklerini dikkate almaya değer. Bunlardan sadece üçü var:

1. Bir toplamın veya farkın türevi, türevlerin toplamı veya farkı olarak temsil edilebilir: (a+b)"=a"+b" ve (a-b)"=a"-b".
2. İkinci özellik çarpmayla ilgilidir. Bir çarpımın türevi, bir fonksiyonun çarpımları ile diğerinin türevinin toplamıdır: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Farkın türevi şu eşitlikle yazılabilir: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Tüm bu özellikler birinci mertebeden diferansiyel denklemlerin çözümlerini bulmamızda işimize yarayacaktır.

Kısmi türevler de vardır. Diyelim ki x ve y değişkenlerine bağlı bir z fonksiyonumuz var. Bu fonksiyonun, örneğin x'e göre kısmi türevini hesaplamak için, y değişkenini bir sabit olarak almamız ve basitçe türevini almamız gerekir.

İntegral

Bir diğer önemli kavram ise integraldir. Aslında bu türevin tam tersidir. İntegrallerin çeşitli türleri vardır, ancak en basit diferansiyel denklemleri çözmek için en önemsiz olanlara ihtiyacımız vardır.

Diyelim ki f'nin x'e bağımlılığı var. Bundan integrali alıyoruz ve türevi orijinal fonksiyona eşit olan F(x) fonksiyonunu (genellikle antiderivatif olarak adlandırıyoruz) elde ediyoruz. Böylece F(x)"=f(x). Buradan ayrıca türevin integralinin orijinal fonksiyona eşit olduğu sonucu çıkar.

Diferansiyel denklemleri çözerken integralin anlamını ve işlevini anlamak çok önemlidir, çünkü çözümü bulmak için bunları çok sık kullanmanız gerekecektir.

Denklemler doğalarına göre değişir. Bir sonraki bölümde birinci dereceden diferansiyel denklem türlerine bakacağız ve ardından bunların nasıl çözüleceğini öğreneceğiz.

Diferansiyel denklem sınıfları

"Diferansiyeller", içerdikleri türevlerin sırasına göre bölünür. Böylece birinci, ikinci, üçüncü ve daha fazlası vardır. Ayrıca çeşitli sınıflara da ayrılabilirler: adi ve kısmi türevler.

Bu yazıda birinci dereceden adi diferansiyel denklemlere bakacağız. Ayrıca aşağıdaki bölümlerde örnekleri ve bunları çözmenin yollarını tartışacağız. Yalnızca ODE'leri ele alacağız çünkü bunlar en yaygın denklem türleridir. Sıradan olanlar alt türlere ayrılır: ayrılabilir değişkenlerle, homojen ve heterojen. Daha sonra bunların birbirlerinden nasıl farklı olduklarını öğrenecek ve bunları nasıl çözeceğinizi öğreneceksiniz.

Ayrıca bu denklemler birleştirilerek birinci dereceden diferansiyel denklem sistemi elde edilebilir. Bu tür sistemleri de ele alıp nasıl çözebileceğimizi öğreneceğiz.

Neden sadece ilk sırayı düşünüyoruz? Çünkü basit bir şeyle başlamanız gerekiyor ve diferansiyel denklemlerle ilgili her şeyi tek bir makalede anlatmak kesinlikle imkansız.

Ayrılabilir denklemler

Bunlar belki de en basit birinci dereceden diferansiyel denklemlerdir. Bunlar şu şekilde yazılabilecek örnekleri içerir: y"=f(x)*f(y). Bu denklemi çözmek için türevi diferansiyellerin oranı olarak temsil edecek bir formüle ihtiyacımız var: y"=dy/dx. Bunu kullanarak şu denklemi elde ederiz: dy/dx=f(x)*f(y). Artık standart örnekleri çözme yöntemine dönebiliriz: değişkenleri parçalara ayıracağız yani y değişkeni olan her şeyi dy'nin bulunduğu kısma taşıyacağız ve aynısını x değişkeni için de yapacağız. Her iki taraftan integral alınarak çözülen dy/f(y)=f(x)dx biçiminde bir denklem elde ederiz. İntegrali aldıktan sonra ayarlanması gereken sabiti unutmayın.

Herhangi bir "farklılığın" çözümü, x'in y'ye bağımlılığının bir fonksiyonudur (bizim durumumuzda) veya sayısal bir koşul mevcutsa, o zaman sayı biçimindeki cevaptır. Şuna bakalım spesifik örnek tüm çözüm:

Değişkenleri farklı yönlere taşıyalım:

Şimdi integralleri alalım. Hepsi özel bir integral tablosunda bulunabilir. Ve şunu elde ederiz:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Gerekirse "y"yi "x"in fonksiyonu olarak ifade edebiliriz. Artık koşul belirtilmemişse diferansiyel denklemimizin çözüldüğünü söyleyebiliriz. Bir koşul belirtilebilir, örneğin y(n/2)=e. Daha sonra bu değişkenlerin değerlerini çözümde yerine koyarız ve sabitin değerini buluruz. Örneğimizde 1'dir.

Birinci mertebeden homojen diferansiyel denklemler

Şimdi daha zor kısma geçelim. Homojen birinci dereceden diferansiyel denklemler şu şekilde yazılabilir: Genel görünüm yani: y"=z(x,y). İki değişkenin doğru fonksiyonunun homojen olduğu ve iki bağımlılığa bölünemeyeceği belirtilmelidir: x üzerinde z ve y üzerinde z. Denklem homojen mi değil mi: x=k*x ve y=k*y'nin yerine koyarız.Şimdi tüm k'ları iptal ederiz.Eğer tüm bu harfler iptal edilirse denklem homojendir ve güvenle çözmeye başlayabilirsiniz. İleride şunu söyleyelim: Bu örnekleri çözmenin prensibi de çok basittir.

Bir değişiklik yapmamız gerekiyor: y=t(x)*x, burada t, x'e de bağlı olan belirli bir fonksiyondur. O zaman türevi ifade edebiliriz: y"=t"(x)*x+t. Bütün bunları orijinal denklemimizde yerine koyup basitleştirerek ayrılabilir t ve x değişkenlerine sahip bir örnek elde ederiz. Bunu çözeriz ve t(x) bağımlılığını elde ederiz. Bunu aldığımızda, önceki yerine y=t(x)*x koyarız. Sonra y'nin x'e bağımlılığını elde ederiz.

Daha açık hale getirmek için bir örneğe bakalım: x*y"=y-x*e y/x .

Değiştirmeyi kontrol ederken her şey azalır. Bu, denklemin gerçekten homojen olduğu anlamına gelir. Şimdi bahsettiğimiz başka bir değişikliği yapıyoruz: y=t(x)*x ve y"=t"(x)*x+t(x). Sadeleştirmeden sonra şu denklemi elde ederiz: t"(x)*x=-e t. Ortaya çıkan örneği ayrılmış değişkenlerle çözeriz ve şunu elde ederiz: e -t =ln(C*x). Tek yapmamız gereken yerine koymak. t'yi y/x ile (sonuçta, eğer y =t*x ise t=y/x) ve cevabı alırız: e -y/x =ln(x*C).

Birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemler

Başka bir geniş konuya bakmanın zamanı geldi. Birinci mertebeden homojen olmayan diferansiyel denklemleri analiz edeceğiz. Önceki ikisinden nasıl farklılar? Hadi çözelim. Birinci dereceden lineer diferansiyel denklemler genel formda şu şekilde yazılabilir: y" + g(x)*y=z(x). z(x) ve g(x)'in sabit büyüklükler olabileceğini açıklığa kavuşturmak gerekir.

Şimdi bir örnek: y" - y*x=x 2 .

İki çözüm var ve her ikisine de sırayla bakacağız. Birincisi, keyfi sabitleri değiştirme yöntemidir.

Denklemi bu şekilde çözmek için önce sağ tarafı sıfıra eşitlemeli ve ortaya çıkan denklemi çözmelisiniz; parçalar aktarıldıktan sonra şu şekli alacaktır:

ln|y|=x 2/2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Şimdi C1 sabitini bulmamız gereken v(x) fonksiyonuyla değiştirmemiz gerekiyor.

Türevi değiştirelim:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Ve bu ifadeleri orijinal denklemde yerine koyun:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Sol tarafta iki terimin birbirini götürdüğünü görebilirsiniz. Bazı örneklerde bu olmadıysa, yanlış bir şey yaptınız demektir. Devam edelim:

v"*e x2/2 = x 2 .

Şimdi değişkenleri ayırmamız gereken olağan denklemi çözüyoruz:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

İntegrali çıkarmak için burada parçalara göre integral almamız gerekecek. Ancak bu yazımızın konusu değil. Eğer ilgileniyorsanız, bu tür eylemleri kendiniz nasıl gerçekleştireceğinizi öğrenebilirsiniz. Zor değildir ve yeterli beceri ve özenle fazla zaman almaz.

Homojen olmayan denklemleri çözmenin ikinci yöntemine dönelim: Bernoulli yöntemi. Hangi yaklaşımın daha hızlı ve daha kolay olduğuna karar vermek size kalmıştır.

Dolayısıyla, bu yöntemi kullanarak bir denklemi çözerken bir değişiklik yapmamız gerekir: y=k*n. Burada k ve n bazı x'e bağlı fonksiyonlardır. O zaman türev şu şekilde görünecektir: y"=k"*n+k*n". Her iki değişimi de denklemde yerine koyarız:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Gruplandırma:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Şimdi parantez içindekileri sıfıra eşitlememiz gerekiyor. Şimdi, elde edilen iki denklemi birleştirirsek çözülmesi gereken birinci dereceden diferansiyel denklem sistemini elde ederiz:

İlk eşitliği sıradan bir denklem olarak çözüyoruz. Bunu yapmak için değişkenleri ayırmanız gerekir:

İntegrali alırız ve şunu elde ederiz: ln(n)=x 2/2. O zaman n'yi ifade edersek:

Şimdi ortaya çıkan eşitliği sistemin ikinci denkleminde yerine koyuyoruz:

k"*e x2/2 =x 2 .

Ve dönüştürerek ilk yöntemdekiyle aynı eşitliği elde ederiz:

dk=x 2 /e x2/2 .

Ayrıca başka eylemleri de tartışmayacağız. Birinci mertebeden diferansiyel denklemlerin çözülmesinin ilk başta önemli zorluklara neden olduğunu söylemekte fayda var. Ancak konunun derinliklerine indikçe her şey giderek daha iyi sonuç vermeye başlıyor.

Diferansiyel denklemler nerede kullanılır?

Diferansiyel denklemler fizikte oldukça aktif olarak kullanılmaktadır, çünkü temel yasaların neredeyse tamamı diferansiyel formda yazılmıştır ve gördüğümüz formüller bu denklemlerin çözümleridir. Kimyada da aynı sebepten dolayı kullanılırlar: Temel yasalar onların yardımıyla türetilir. Biyolojide diferansiyel denklemler avcı ve av gibi sistemlerin davranışını modellemek için kullanılır. Ayrıca, örneğin bir mikroorganizma kolonisinin üreme modellerini oluşturmak için de kullanılabilirler.

Diferansiyel denklemler hayatta size nasıl yardımcı olabilir?

Bu sorunun cevabı basit: hiç de değil. Eğer bir bilim adamı veya mühendis değilseniz, bunların size yararlı olması pek olası değildir. Ancak genel gelişim açısından diferansiyel denklemin ne olduğunu ve nasıl çözüldüğünü bilmekten zarar gelmez. Ve sonra oğlunun veya kızının sorusu şu olur: "Diferansiyel denklem nedir?" kafanı karıştırmayacağım. Eğer bir bilim adamı veya mühendis iseniz, o zaman bu konunun herhangi bir bilimdeki önemini kendiniz anlarsınız. Ama şimdi en önemli şey “birinci dereceden diferansiyel denklem nasıl çözülür?” sorusunun ortaya çıkmasıdır. her zaman bir cevap verebilirsiniz. Katılıyorum, insanların anlamaktan bile korktuğu bir şeyi anlamak her zaman güzeldir.

Ders çalışmadaki temel sorunlar

Bu konunun anlaşılmasındaki temel sorun, fonksiyonların entegrasyonu ve farklılaştırılmasındaki zayıf beceridir. Türev ve integral alma konusunda kötüyseniz, o zaman muhtemelen çalışmaya ve uzmanlaşmaya değer. farklı yöntemler entegrasyon ve farklılaşma ve ancak bundan sonra makalede açıklanan materyali incelemeye başlayın.

Bazı insanlar dx'in taşınabileceğini öğrendiklerinde şaşırırlar, çünkü daha önce (okulda) dy/dx kesirinin bölünemez olduğu belirtilmişti. Burada türevle ilgili literatürü okumanız ve bunun denklemleri çözerken kullanılabilecek sonsuz küçük miktarların bir oranı olduğunu anlamanız gerekir.

Birçok kişi birinci dereceden diferansiyel denklemleri çözmenin çoğu zaman alınamayacak bir fonksiyon veya integral olduğunu hemen fark etmez ve bu yanılgı onlara büyük sıkıntı verir.

Daha iyi anlamak için başka neleri inceleyebilirsiniz?

Matematik dışı uzmanlık öğrencileri için matematiksel analiz gibi özel ders kitaplarıyla diferansiyel hesap dünyasına daha fazla dalmaya başlamak en iyisidir. Daha sonra daha uzmanlaşmış literatüre geçebilirsiniz.

Diferansiyel denklemlere ek olarak integral denklemlerin de olduğunu söylemeye değer, bu nedenle her zaman çabalayacak ve çalışacak bir şeyiniz olacak.

Çözüm

Bu makaleyi okuduktan sonra diferansiyel denklemlerin ne olduğu ve bunları doğru şekilde nasıl çözeceğiniz hakkında bir fikriniz olacağını umuyoruz.

Her halükarda matematik hayatta bir şekilde işimize yarayacaktır. Mantık ve dikkati geliştirir, onsuz her insan elsiz kalır.

f(x,y) fonksiyonu çağrılır homojen fonksiyonözdeşlik doğruysa, n boyutundaki argümanlarının f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

Örneğin, f(x,y)=x^2+y^2-xy fonksiyonu ikinci boyutun homojen bir fonksiyonudur, çünkü

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

n=0 olduğunda sıfır boyutlu bir fonksiyonumuz olur. Örneğin, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2) sıfır boyutlu homojen bir fonksiyondur, çünkü

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^) 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

Formun diferansiyel denklemi \frac(dy)(dx)=f(x,y) f(x,y) sıfır boyutlu argümanlarının homojen bir fonksiyonu ise, x ve y'ye göre homojen olduğu söylenir. Homojen bir denklem her zaman şu şekilde temsil edilebilir:

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right).

Gerekli yeni u=\frac(y)(x) fonksiyonunu tanıtarak, denklem (1), değişkenleri ayıran bir denkleme indirgenebilir:

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

Eğer u=u_0 \varphi(u)-u=0 denkleminin kökü ise, o zaman homojen denklemin çözümü u=u_0 veya y=u_0x (başlangıç ​​noktasından geçen düz çizgi) olacaktır.

Yorum. Homojen denklemleri çözerken onları (1) formuna indirgemek gerekli değildir. Hemen y=ux değişimini yapabilirsiniz.

Örnek 1. Homojen denklemi çözün xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

Çözüm. Denklemi formda yazalım. y"=\sqrt(1-(\left(\frac(y)(x)\right)\^2}+\frac{y}{x} !} yani bu denklem x ve y'ye göre homojen çıkıyor. u=\frac(y)(x) veya y=ux koyalım. Sonra y"=xu"+u . Denklemde y ve y" ifadelerini yerine koyarsak şunu elde ederiz: x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). Değişkenleri ayırıyoruz: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). Buradan integral alarak buluyoruz

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), veya \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

C_1|x|=\pm(C_1x) olduğundan, \pm(C_1)=C'yi ifade ederek şunu elde ederiz: \arcsin(u)=\ln(Cx), Nerede |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2) veya e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). u'yu \frac(y)(x) ile değiştirirsek genel integrali elde ederiz \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

Buradan ortak karar: y=x\sin\ln(Cx) .

Değişkenleri ayırırken denklemin her iki tarafını x\sqrt(1-u^2) çarpımına böldük, böylece çözümü kaybedebilirdik, bu da bu çarpımın kaybolmasına neden olur.

Şimdi x=0 ve \sqrt(1-u^2)=0 değerini ayarlayalım. Ancak x\ne0 u=\frac(y)(x) yerine konulması nedeniyle ve \sqrt(1-u^2)=0 ilişkisinden bunu elde ederiz 1-\frac(y^2)(x^2)=0, buradan y=\pm(x) . Doğrudan doğrulamayla y=-x ve y=x fonksiyonlarının da bu denklemin çözümleri olduğuna ikna olduk.

Örnek 2. Homojen bir denklemin C_\alfa integral eğrileri ailesini düşünün y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right). Bu homojen diferansiyel denklemle tanımlanan eğrilere karşılık gelen noktalardaki teğetlerin birbirine paralel olduğunu gösterin.

Not: Arayacağız uygun C_\alpha eğrileri üzerindeki, orijinden çıkan aynı ışın üzerinde bulunan noktalar.

Çözüm. Karşılık gelen noktaların tanımı gereği elimizde \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), yani denklemin kendisi gereği y"=y"_1, burada y" ve y"_1 sırasıyla M ve M_1 noktalarında C_\alpha ve C_(\alpha_1) integral eğrilerine teğetlerin açısal katsayılarıdır. (Şekil 12).

Homojene indirgenen denklemler

A. Formun diferansiyel denklemini düşünün

\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\right).

burada a,b,c,a_1,b_1,c_1 sabitlerdir ve f(u), u bağımsız değişkeninin sürekli bir fonksiyonudur.

Eğer c=c_1=0 ise denklem (3) homojendir ve yukarıda belirtildiği gibi entegre edilmiştir.

c,c_1 sayılarından en az biri sıfırdan farklı ise iki durum ayırt edilmelidir.

1) Belirleyici \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. h ve k'nin hala belirlenmemiş sabitler olduğu x=\xi+h,~y=\eta+k formüllerine göre yeni \xi ve \eta değişkenlerini tanıtarak, denklem (3)'ü şu forma indirgedik:

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\Sağ).

Sistemin çözümü olarak h ve k'yi seçmek doğrusal denklemler

\begin(cases)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(cases)~(\Delta\ne0),

homojen bir denklem elde ederiz \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\right). Genel integralini bulup içindeki \xi'yi x-h ve \eta'yı y-k ile değiştirerek denklem (3)'ün genel integralini elde ederiz.

2) Belirleyici \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. Genel durumda Sistem (4)'ün hiçbir çözümü yoktur ve yukarıda özetlenen yöntem uygulanamaz; bu durumda \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda ve bu nedenle denklem (3) şu şekle sahiptir: \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\right). z=ax+by ikamesi, ayrılabilir değişkenlere sahip bir denkleme yol açar.

Örnek 3. Denklemi çözün (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

Çözüm. Bir doğrusal cebirsel denklem sistemi düşünün \begin(cases)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end(cases)

Bu sistemin belirleyicisi \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

Sistemin benzersiz bir çözümü vardır: x_0=-1,~y_0=3. Değiştirmeyi x=\xi-1,~y=\eta+3 yapıyoruz. Daha sonra denklem (5) şu şekli alacaktır:

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

Bu denklem homojen bir denklemdir. \eta=u\xi ayarlandığında şunu elde ederiz

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, Neresi (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

Değişkenleri Ayırma \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

Bütünleşerek şunu buluruz \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C) veya \xi^2(1+2u-u^2)=C .

x,~y değişkenlerine dönelim:

(x+1)^2\sol=C_1 veya x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

Örnek 4. Denklemi çözün (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

Çözüm. Doğrusal cebirsel denklem sistemi \begin(case)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(case) uyumsuz. Bu durumda önceki örnekte kullanılan yöntem uygun değildir. Denklemin integralini almak için x+y=z, dy=dz-dx ikamesini kullanırız. Denklem şu şekli alacaktır

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

Değişkenleri ayırarak şunu elde ederiz

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0 dolayısıyla x-2z-3\ln|z-2|=C.

x,~y değişkenlerine dönersek bu denklemin genel integralini elde ederiz

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

B. Bazen denklem y=z^\alpha değişkeni değiştirilerek homojen hale getirilebilir. Bu, denklemdeki tüm terimler aynı boyutta olduğunda, x değişkenine 1 boyutu, y değişkenine - boyut \alpha ve türevi \frac(dy)(dx) - boyut \alpha-1 olarak atanırsa meydana gelir.

Örnek 5. Denklemi çözün (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

Çözüm. Oyuncu değişikliği yapma y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz Burada \alpha şimdilik rastgele bir sayıdır ve bunu daha sonra seçeceğiz. Denklemde y ve dy ifadelerini yerine koyarsak şunu elde ederiz:

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0 veya \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

x^2z^(3\alpha-1) öğesinin şu boyuta sahip olduğunu unutmayın: 2+3\alfa-1=3\alfa+1, z^(\alpha-1) \alpha-1 boyutuna sahiptir, xz^(3\alpha) 1+3\alpha boyutuna sahiptir. Tüm terimlerin ölçümleri aynı ise ortaya çıkan denklem homojen olacaktır; koşul yerine getirilirse 3\alfa+1=\alfa-1 veya \alpha-1 .

y=\frac(1)(z) koyalım; orijinal denklem şu formu alır

\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0 veya (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

Şimdi koyalım z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. O zaman bu denklem şu şekli alacaktır (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, Neresi u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

Bu denklemdeki değişkenleri ayırmak \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. Bütünleşerek şunu buluruz

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C) veya \frac(x(u^2+1))(u)=C.

u'yu \frac(1)(xy) ile değiştirerek, bu denklemin genel integralini elde ederiz: 1+x^2y^2=Cy.

Denklemin ayrıca, eğer integral şu ​​şekilde yazılırsa, C\to\infty'deki genel integralden elde edilen açık bir y=0 çözümü vardır. y=\frac(1+x^2y^2)(C) ve ardından C\to\infty adresindeki sınıra gidin. Dolayısıyla y=0 fonksiyonu orijinal denklemin özel bir çözümüdür.

Tarayıcınızda Javascript devre dışı.
Hesaplamaları gerçekleştirmek için ActiveX kontrollerini etkinleştirmelisiniz!

Homojen diferansiyel denklem örneklerine hazır cevaplar Birçok öğrenci ilk sırayı arıyor (1. sıradaki kontrolörler öğretimde en yaygın olanlardır), o zaman bunları ayrıntılı olarak analiz edebilirsiniz. Ancak örneklere geçmeden önce özeti dikkatlice okumanızı öneririz. teorik materyal.
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 formundaki ve P(x,y) ve Q(x,y) fonksiyonlarının aynı mertebeden homojen fonksiyonlar olduğu denklemlere denir homojen diferansiyel denklem(ODR).

Homojen bir diferansiyel denklemi çözme şeması

1. Öncelikle y=z*x ikamesini uygulamanız gerekir; burada z=z(x) yeni bir bilinmeyen fonksiyondur (böylece orijinal denklem, ayrılabilir değişkenlere sahip bir diferansiyel denkleme indirgenir).
2. Çarpımın türevi y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z'ye veya dy=d(zx)=z*dx+ diferansiyellerinde eşittir x*dz.
3. Daha sonra yeni y fonksiyonunu ve onun türevi y"yi (veya dy) yerine koyarız Ayrılabilir değişkenli DE x ve z'ye göre.
4. Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemi çözdükten sonra y=z*x, dolayısıyla z= y/x şeklinde ters değişim yaparız ve şunu elde ederiz: bir diferansiyel denklemin genel çözümü (genel integral).
5. Başlangıç ​​koşulu y(x 0)=y 0 verilirse Cauchy problemine özel bir çözüm buluruz. Teoride kolay gibi görünse de pratikte diferansiyel denklemleri çözmek herkes kadar eğlenceli değildir. Bu nedenle bilgimizi derinleştirmek için yaygın örneklere bakalım. Kolay görevlerle ilgili size öğretecek pek bir şey yok, o yüzden daha karmaşık olanlara geçelim.

Birinci dereceden homojen diferansiyel denklemlerin hesaplamaları

Örnek 1.

Çözüm: Böl Sağ Taraf Türeve yakın bir faktör olan bir değişken için denklemler. Sonuç olarak şuraya varıyoruz 0. dereceden homojen diferansiyel denklem

Ve burada belki de birçok insan ilgilenmeye başladı, homojen bir denklemin bir fonksiyonunun sırası nasıl belirlenir?
Soru oldukça alakalı ve cevabı şu:
sağ tarafta fonksiyon ve argüman yerine t*x, t*y değerini koyarız. Basitleştirme yapılırken “t” parametresi, denklemin sırası adı verilen belirli bir k derecesine kadar elde edilir. Bizim durumumuzda 0'ıncı kuvvete eşdeğer olan "t" azaltılacaktır veya homojen bir denklemin sıfır derecesi.
Daha sonra sağ tarafta yeni değişken y=zx'e geçebiliriz; z=y/x.
Aynı zamanda “y”nin türevini de yeni değişkenin türevi üzerinden ifade etmeyi unutmayın. Parçalar kuralına göre buluruz

Diferansiyel denklemler formu alacak

Sağ ve sol taraftaki ortak şartları iptal edip şuraya geçiyoruz: ayrılmış değişkenli diferansiyel denklem.

DE'nin her iki tarafını da entegre edelim

Daha sonraki dönüşümlerin kolaylığı için, sabiti hemen logaritmanın altına giriyoruz

Logaritmanın özelliklerine göre elde edilen sonuç logaritmik denklem aşağıdakine eşdeğer

Bu giriş henüz bir çözüm (cevap) değil; değişkenlerin değiştirilmesi işlemine geri dönmek gerekiyor

Bu şekilde buluyorlar diferansiyel denklemlerin genel çözümü. Önceki dersleri dikkatlice okursanız, ayrılmış değişkenlere sahip denklem hesaplama şemasını serbestçe kullanabilmeniz gerektiğini ve bu tür denklemlerin daha karmaşık uzaktan kumanda türleri için hesaplanması gerektiğini söylemiştik.

Örnek 2. Diferansiyel denklemin integralini bulun

Çözüm: Homojen ve birleşik kontrol sistemlerini hesaplama şeması artık size tanıdık geliyor. Değişkeni denklemin sağ tarafına taşırız ve ayrıca pay ve paydadaki x 2'yi ortak faktör olarak çıkarırız

Böylece sıfır mertebeden homojen bir diferansiyel denklem elde ederiz.
Bir sonraki adım, ezberlemeniz için size sürekli hatırlatacağımız z=y/x, y=z*x değişkenlerinin değiştirilmesini tanıtmaktır.

Bundan sonra uzaktan kumandayı diferansiyellere yazıyoruz

Daha sonra bağımlılığı şuna dönüştürüyoruz: ayrılmış değişkenli diferansiyel denklem

ve bunu entegrasyonla çözüyoruz.

İntegraller basittir, geri kalan dönüşümler logaritmanın özelliklerine göre gerçekleştirilir. Son adım logaritmanın ortaya çıkarılmasını içerir. Sonunda orijinal değiştirmeye dönüyoruz ve bunu forma yazıyoruz

"C" sabiti herhangi bir değeri alabilir. Yazışma yoluyla çalışan herkes sınavlarda bu tür denklemlerle sorun yaşar, bu yüzden lütfen dikkatlice inceleyin ve hesaplama şemasını unutmayın.

Örnek 3. Diferansiyel denklemi çözün

Çözüm: Yukarıdaki metodolojiden takip edildiği gibi, bu tür diferansiyel denklemler çözülür yeni bir değişken ekleyerek. Türevi değişkensiz olacak şekilde bağımlılığı yeniden yazalım.

Ayrıca sağ tarafı analiz ettiğimizde -ee parçasının her yerde mevcut olduğunu ve onu yeni bir bilinmeyen olarak ifade ettiğini görüyoruz.
z=y/x, y=z*x .
Y'nin türevini bulma

Değiştirmeyi dikkate alarak orijinal DE'yi formda yeniden yazıyoruz

Aynı terimleri basitleştiriyoruz ve ortaya çıkan tüm terimleri DE'ye indiriyoruz ayrılmış değişkenlerle

Eşitliğin her iki tarafının integrali alınarak

logaritma şeklinde bir çözüme ulaşırız

Bulduğumuz bağımlılıkları açığa çıkararak diferansiyel denklemin genel çözümü

değişkenlerin başlangıçtaki değişimini yerine koyduktan sonra şu şekli alır:

Burada C, Cauchy koşulundan daha ayrıntılı olarak belirlenebilecek bir sabittir. Cauchy problemi belirtilmezse keyfi bir gerçek değer alır.
Homojen diferansiyel denklemlerin hesabındaki tüm bilgelik budur.

1. dereceden homojen bir diferansiyel denklemi çözmek için u=y/x ikamesini kullanın, yani u, x'e bağlı yeni bir bilinmeyen fonksiyondur. Dolayısıyla y=ux. Çarpım farklılaşma kuralını kullanarak y' türevini buluyoruz: y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u (x'=1 olduğundan). Başka bir gösterim biçimi için: dy = udx + xdu Yerine koyma işleminden sonra denklemi basitleştirir ve ayrılabilir değişkenlere sahip bir denkleme ulaşırız.

1. mertebeden homojen diferansiyel denklemlerin çözümüne örnekler.

1) Denklemi çözün

Bu denklemin homojen olup olmadığını kontrol ediyoruz (bkz. Homojen bir denklem nasıl belirlenir). İkna olduktan sonra u=y/x değişimini yaparız, buradan y=ux, y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u olur. Yerine koy: u'x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Ürünün logaritmasından beri toplamına eşit logaritmalar, ln(ux)=lnu+lnx. Buradan

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). Benzer terimleri getirdikten sonra: u'x+u=u(1+lnu). Şimdi parantezleri aç

u'x+u=u+u·lnu. Her iki taraf da u'yu içerir, dolayısıyla u'x=u·lnu. u x'in bir fonksiyonu olduğundan u'=du/dx olur. Hadi değiştirelim

Ayrılabilir değişkenlere sahip bir denklem elde ettik. x·u·lnu≠0 çarpımı olması koşuluyla, her iki parçayı da dx ile çarparak ve x·u·lnu'ya bölerek değişkenleri ayırıyoruz.

İntegral alalım:

Sol tarafta bir tablo integrali var. Sağda - dt=(lnu)'du=du/u'dan başlayarak t=lnu değişimini yapıyoruz

ln│t│=ln│x│+C. Ancak bu tür denklemlerde C yerine ln│C│ almanın daha uygun olduğunu daha önce tartışmıştık. Daha sonra

ln│t│=ln│x│+ln│C│. Logaritmanın özelliğine göre: ln│t│=ln│Сx│. Dolayısıyla t=Cx. (koşula göre, x>0). Ters değişimi yapmanın zamanı geldi: lnu=Cx. Ve bir ters değiştirme daha:

Logaritmanın özelliğine göre:

Bu denklemin genel integralidir.

x·u·lnu≠0 çarpımının durumunu hatırlıyoruz (ve dolayısıyla x≠0,u≠0, lnu≠0, dolayısıyla u≠1). Ancak koşuldan x≠0, u≠1 kalır, dolayısıyla x≠y. Açıkçası, genel çözüme y=x (x>0) dahildir.

2) y'=x/y+y/x denkleminin y(1)=2 başlangıç ​​koşullarını sağlayan kısmi integralini bulun.

İlk olarak, bu denklemin homojen olup olmadığını kontrol ederiz (her ne kadar y/x ve x/y terimlerinin varlığı zaten dolaylı olarak bunu gösteriyor olsa da). Daha sonra u=y/x değişimini yaparız, buradan y=ux, y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u olur. Ortaya çıkan ifadeleri denklemde yerine koyarız:

u'x+u=1/u+u. Basitleştirelim:

u'x=1/u. u x'in bir fonksiyonu olduğundan u'=du/dx:

Ayrılabilir değişkenlere sahip bir denklem elde ettik. Değişkenleri ayırmak için her iki tarafı da dx ve u ile çarparız ve x'e böleriz (koşula göre x≠0, dolayısıyla u≠0 da olur, bu da çözüm kaybı olmadığı anlamına gelir).

İntegral alalım:

ve her iki taraf da tablo halinde integraller içerdiğinden, hemen şunu elde ederiz:

Ters değiştirme işlemini gerçekleştiriyoruz:

Bu denklemin genel integralidir. y(1)=2 başlangıç ​​koşulunu kullanırız, yani elde edilen çözümde y=2, x=1 yerine koyarız:

3) Homojen denklemin genel integralini bulun:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

u=y/x'in değiştirilmesi, dolayısıyla y=ux, dy=xdu+udx. yerine koyalım:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. X²'yi parantezden çıkarıyoruz ve her iki parçayı da ona bölüyoruz (x≠0 şartıyla):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Parantezleri açın ve basitleştirin:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Terimleri du ve dx ile gruplandırıyoruz:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Ortak faktörleri parantezlerden çıkaralım:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Değişkenleri ayırıyoruz:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Bunu yapmak için denklemin her iki tarafını da xu(u²+1)≠0'a böleriz (buna göre x≠0 (zaten belirtilmiş), u≠0 gerekliliklerini ekleriz):

İntegral alalım:

Denklemin sağ tarafında tablo halinde bir integral var ve sol taraftaki rasyonel kesri basit faktörlere ayırıyoruz:

(veya ikinci integralde, diferansiyel işaretini değiştirmek yerine, t=1+u², dt=2udu - kim hangi yöntemi beğenirse onu tercih eder) değişimini yapmak mümkündü. Şunu elde ederiz:

Logaritmanın özelliklerine göre:

Ters değiştirme

u≠0 koşulunu hatırlıyoruz. Dolayısıyla y≠0. C=0 y=0 olduğunda bu, çözüm kaybının olmadığı ve y=0'ın genel integrale dahil edildiği anlamına gelir.

Yorum

Terimi solda x ile bırakırsanız farklı biçimde yazılmış bir çözüm elde edebilirsiniz:

Bu durumda integral eğrisinin geometrik anlamı, merkezleri Oy ekseni üzerinde olan ve orijinden geçen bir daire ailesidir.

Kendi kendine test görevleri:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) Denklemin homojen olup olmadığını kontrol ediyoruz ve ardından u=y/x değişimini yapıyoruz, dolayısıyla y=ux, dy=xdu+udx. Şu koşulu yerine koyun: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Denklemin her iki tarafını da x²≠0'a bölerek şunu elde ederiz: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Dolayısıyla dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Basitleştirirsek: dx-xudu=0. Dolayısıyla xudu=dx, udu=dx/x. Her iki parçayı da entegre edelim:

Homojen

Bu derste sözde bakacağız birinci dereceden homojen diferansiyel denklemler. İle birlikte ayrılabilir denklemler Ve doğrusal homojen olmayan denklemler bu tür uzaktan kumanda hemen hemen her yerde bulunur deneme çalışması difüzörler konusu hakkında. Sayfaya bir arama motorundan geldiyseniz veya diferansiyel denklemleri anlama konusunda kendinize pek güvenmiyorsanız, öncelikle konuyla ilgili bir giriş dersi üzerinde çalışmanızı şiddetle tavsiye ederim - Birinci dereceden diferansiyel denklemler. Gerçek şu ki, homojen denklemlerin çözümüne yönelik ilkelerin ve kullanılan tekniklerin çoğu, ayrılabilir değişkenlere sahip en basit denklemlerle tamamen aynı olacaktır.

Homojen diferansiyel denklemler ile diğer diferansiyel denklem türleri arasındaki fark nedir? Bunu hemen açıklamanın en kolay yolu belirli bir örnektir.

örnek 1

Çözüm:
Ne İlk önce Karar verirken analiz edilmeli herhangi diferansiyel denklem birinci derece? Öncelikle değişkenleri “okul” eylemleriyle hemen ayırmanın mümkün olup olmadığını kontrol etmek gerekiyor. Genellikle bu analiz zihinsel olarak veya değişkenleri bir taslakta ayırmaya çalışarak yapılır.

Bu örnekte değişkenler ayrılamaz(Terimleri parçadan parçaya atmayı, faktörleri parantezlerin dışına çıkarmayı vb. deneyebilirsiniz). Bu arada bu örnekte çarpanın varlığından dolayı değişkenlerin bölünemeyeceği oldukça açık.

Şu soru ortaya çıkıyor: Bu yaygın sorun nasıl çözülecek?

Kontrol etmeniz gerekiyor ve Bu denklem homojen değil mi?? Doğrulama basittir ve doğrulama algoritmasının kendisi aşağıdaki gibi formüle edilebilir:

Orijinal denklem için:

yerine yerine koyarız, yerine yerine koyarız, türevine dokunmuyoruz:

Lambda harfi koşullu bir parametredir ve burada aşağıdaki rolü oynar: eğer dönüşümlerin bir sonucu olarak TÜM lambdaları "yok etmek" ve orijinal denklemi elde etmek mümkünse, o zaman bu diferansiyel denklem homojendir.

Lambdaların üs tarafından hemen azaltıldığı açıktır:

Şimdi sağ tarafta lambdayı parantezlerden çıkarıyoruz:

ve her iki parçayı da aynı lambdaya bölün:

Sonuç olarak Tüm Lambdalar bir rüya gibi, bir sabah sisi gibi ortadan kayboldu ve orijinal denklemi elde ettik.

Çözüm: Bu denklem homojendir

Homojen bir diferansiyel denklem nasıl çözülür?

Çok iyi haberlerim var. Kesinlikle tüm homojen denklemler tek bir (!) standart ikame kullanılarak çözülebilir.

“Oyun” işlevi şu şekilde olmalıdır: yer değiştirmek iş bazı işlevler (“x”e de bağlıdır) ve "x":

Neredeyse her zaman kısaca yazarlar:

Böyle bir yer değiştirmeyle türevin neye dönüşeceğini buluyoruz, ürünün farklılaşma kuralını kullanıyoruz. Eğer öyleyse:

Orijinal denklemde yerine koyarız:

Böyle bir değişim ne verecek? Bu değiştirme ve basitleştirmelerden sonra, garantili ayrılabilir değişkenlere sahip bir denklem elde ederiz. HATIRLAMAK ilk aşk gibi :) ve buna göre .

Değiştirmeden sonra maksimum basitleştirmeler yapıyoruz:

“x”e bağlı bir fonksiyon olduğundan türevi standart kesir olarak yazılabilir: .
Böylece:

Değişkenleri ayırıyoruz, sol tarafta yalnızca “te” ve sağ tarafta yalnızca “x” toplamanız gerekiyor:

Değişkenler ayrıldı, integral alalım:


İlk bana göre teknik tavsiye makaleden Birinci dereceden diferansiyel denklemlerçoğu durumda bir sabitin logaritma biçiminde "formüle edilmesi" tavsiye edilir.

Denklemin integrali alındıktan sonra şunu yapmamız gerekir: ters değiştirme, aynı zamanda standart ve benzersizdir:
Eğer öyleyse
İÇİNDE bu durumda:

20 vakanın 18-19'unda homojen bir denklemin çözümü genel integral olarak yazılır.

Cevap: genel integral:

Neden homojen bir denklemin cevabı neredeyse her zaman genel bir integral şeklinde veriliyor?
Çoğu durumda, “oyunu” açıkça ifade etmek imkansızdır (genel bir çözüm elde etmek için) ve mümkünse, çoğu zaman genel çözümün hantal ve hantal olduğu ortaya çıkar.

Dolayısıyla, örneğin ele alınan örnekte, genel integralin her iki tarafındaki logaritmaları tartarak genel bir çözüm elde edilebilir:

- Sorun değil. Ancak yine de biraz çarpık olduğunu kabul etmelisiniz.

Bu arada, bu örnekte genel integrali pek "düzgün" yazmadım. Bu bir hata değil ama “iyi” bir üslupla, genel integralin genellikle şeklinde yazıldığını hatırlatırım. Bunun için denklemin integrali alındıktan hemen sonra sabitin logaritmasız yazılması gerekir. (işte kuralın istisnası!):

Ve ters ikameden sonra genel integrali “klasik” biçimde elde edin:

Alınan cevap kontrol edilebilir. Bunu yapmak için genel integralin türevini almanız gerekir, yani bulmanız gerekir. örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi:

Denklemin her iki tarafını şu şekilde çarparak kesirlerden kurtuluruz:

Orijinal diferansiyel denklem elde edilmiştir, yani çözüm doğru bulunmuştur.

Her zaman kontrol edilmesi tavsiye edilir. Ancak homojen denklemler hoş değildir çünkü genel integrallerini kontrol etmek genellikle zordur - bu çok çok iyi bir türev alma tekniği gerektirir. Ele alınan örnekte, doğrulama sırasında en basit türevleri bulmak zaten gerekli değildi (örneğin kendisi oldukça basit olmasına rağmen). Kontrol edebiliyorsanız kontrol edin!

Örnek 2

Denklemin homojenliğini kontrol edin ve genel integralini bulun.

Cevabı forma yazın

Bu bir örnektir bağımsız karar– böylece eylemlerin algoritmasına alışırsınız. Kontrolü boş zamanınızda yapabilirsiniz, çünkü... burada oldukça karmaşık ve bunu sunma zahmetine bile girmedim, aksi takdirde bir daha böyle bir manyağa gelmeyeceksin :)

Ve şimdi söz verilen kişi önemli nokta Konunun en başında bahsedilen,
Kalın siyah harflerle vurgulayacağım:

Dönüşümler sırasında çarpanı "sıfırlarsak" (sabit değil)paydaya koyarsak çözümleri kaybetme riskiyle karşı karşıya kalırız!

Ve aslında ilk örnekte bununla karşılaştık diferansiyel denklemlerle ilgili giriş dersi. Denklemi çözme sürecinde, "y"nin paydada olduğu ortaya çıktı: , ancak açıkçası DE'nin bir çözümü ve eşitsiz bir dönüşümün (bölünmenin) bir sonucu olarak onu kaybetme şansı var! Diğer bir husus ise sabitin sıfır değerinde genel çözüme dahil edilmesidir. Paydadaki “X”in sıfırlanması da göz ardı edilebilir çünkü orijinal difüzörü karşılamıyor.

Çözümü sırasında paydaya "bıraktığımız" aynı dersin üçüncü denklemiyle benzer bir hikaye. Açıkçası burada bu difüzörün çözüm olup olmadığını kontrol etmek gerekiyordu? Sonuçta öyle! Ancak burada bile "her şey yolunda gitti", çünkü bu fonksiyon genel integrale dahil edildi .

Ve eğer bu genellikle "ayrılabilir" denklemlerle işe yararsa, o zaman homojen ve diğer bazı difüzörlerle işe yaramayabilir. Büyük olasılıkla.

Bu derste çözülmüş olan problemleri analiz edelim: örnek 1 X'in "sıfırlanması" vardı, ancak bu denklemin çözümü olamaz. Ama içinde Örnek 2 biz bölündük ama aynı zamanda "bundan paçayı sıyırdı": çözümler kaybolamayacağı için burada değiller. Ama elbette bilerek “mutlu anlar” yarattım ve pratikte karşımıza çıkacakların bunlar olduğu da bir gerçek değil:

Örnek 3

Diferansiyel denklemi çözün

Basit bir örnek değil mi? ;-)

Çözüm: Bu denklemin homojenliği açıktır, fakat yine de - ilk adımda Değişkenleri ayırmanın mümkün olup olmadığını HER ZAMAN kontrol ederiz. Çünkü denklem de homojendir ancak içindeki değişkenler kolaylıkla ayrılabilir. Evet, bazıları var!

“Ayrılabilirliği” kontrol ettikten sonra, bir değişiklik yapıp denklemi mümkün olduğunca basitleştiriyoruz:

Değişkenleri ayırıyoruz, solda “te” ve sağda “x”i topluyoruz:

Ve işte DUR. Bölme yaparken aynı anda iki işlevi kaybetme riskiyle karşı karşıyayız. 'den bu yana işlevler şunlardır:

İlk fonksiyon açıkça denklemin bir çözümüdür . İkinciyi kontrol ediyoruz - türevini de difüzörümüze yerleştiriyoruz:

– doğru eşitlik elde edilir, bu da fonksiyonun bir çözüm olduğu anlamına gelir.

VE bu kararları kaybetme riskiyle karşı karşıyayız.

Ayrıca paydanın “X” olduğu ortaya çıktı, ancak değiştirme, bunun sıfır olmadığını ima eder. Bu gerçeği unutmayın. Ancak! Kontrol ettiğinizden emin olun, ORİJİNAL diferansiyel denklemin çözümüdür. Hayır değil.

Bütün bunları not edip devam edelim:

Sol tarafın integrali konusunda şanslı olduğumu söylemeliyim; çok daha kötü olabilir.

Sağ tarafta tek bir logaritma topluyoruz ve prangaları atıyoruz:

Ve şimdi tam tersi değiştirme:

Tüm terimleri şununla çarpalım:

Şimdi kontrol etmelisiniz - Genel integrale “tehlikeli” çözümlerin dahil edilip edilmediği. Evet, her iki çözüm de genel integrale sabitin sıfır değerinde dahil edilmiştir: dolayısıyla ayrıca şununla belirtilmelerine gerek yoktur: cevap:

genel integral:

Sınav. Bir test bile değil, saf zevk :)

Orijinal diferansiyel denklem elde edilmiştir, yani çözüm doğru bulunmuştur.

Kendiniz çözmek için:

Örnek 4

Homojenlik testi yapın ve diferansiyel denklemi çözün

Genel integrali türev alarak kontrol edin.

Tam çözüm ve dersin sonunda cevap.

Hazır diferansiyellerle homojen bir denklem verildiğinde birkaç örnek ele alalım.

Örnek 5

Diferansiyel denklemi çözün

Bu çok ilginç örnek, tam bir gerilim filmi!

Çözüm Daha kompakt tasarlamaya alışacağız. Öncelikle zihinsel olarak veya taslak üzerinde değişkenlerin burada ayrılamayacağından emin oluyoruz, ardından homojenlik için bir test yapıyoruz - bu genellikle son taslakta gerçekleştirilmiyor. (özel olarak gerekmedikçe). Bu nedenle çözüm neredeyse her zaman girişle başlar: “ Bu denklem homojendir, yerine koyalım: ...».

Homojen bir denklem hazır diferansiyeller içeriyorsa, değiştirilmiş bir ikame ile çözülebilir:

Ancak böyle bir ikame kullanılmasını önermiyorum, çünkü bu, bir göze ve göze ihtiyaç duyduğunuz Çin diferansiyellerinin Çin Seddi olduğu ortaya çıkacak. İLE teknik nokta Görsel açıdan bakıldığında, türevin "kesikli" gösterimine geçmek daha avantajlıdır; bunu yapmak için denklemin tüm terimlerini şu şekilde böleriz:

Ve burada zaten “tehlikeli” bir dönüşüm gerçekleştirdik! Sıfır diferansiyel, eksene paralel bir düz çizgi ailesine karşılık gelir. Onlar bizim DU'muzun kökleri mi? Orijinal denklemde yerine koyalım:

Bu eşitlik, eğer bölerken çözümü kaybetme riskiyle karşı karşıyaysak geçerlidir, ve onu kaybettik- ondan beri artık tatmin etmiyor elde edilen denklem .

Şunu belirtmeliyiz ki, eğer ilk olarak denklem verildi o zaman kök hakkında konuşma olmazdı. Ama elimizde ve zamanında yakaladık.

Çözüme standart bir değişimle devam ediyoruz:
:

Yerine koyma işleminden sonra denklemi mümkün olduğunca basitleştiririz:

Değişkenleri ayırıyoruz:

Ve burada yine DUR: bölerken iki işlevi kaybetme riskiyle karşı karşıyayız. 'den bu yana işlevler şunlardır:

Açıkçası, ilk fonksiyon denklemin bir çözümüdür . İkinciyi kontrol ediyoruz - türevini de değiştiriyoruz:

- kabul edilmiş gerçek eşitlik Bu, fonksiyonun aynı zamanda diferansiyel denklemin bir çözümü olduğu anlamına gelir.

Ve bölerken bu çözümleri kaybetme riskiyle karşı karşıyayız. Ancak genel integralin içine girebilirler. Ama giremezler

Bunu not edelim ve her iki parçayı da entegre edelim:

Sol tarafın integrali standart bir şekilde şu şekilde çözülür: tam bir kareyi vurgulama, ancak difüzörlerde kullanmak çok daha uygundur belirsiz katsayılar yöntemi:

Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak genişletiyoruz integral fonksiyonu temel kesirlerin toplamına göre:


Böylece:

İntegralleri bulma:

– sadece logaritmaları çizdiğimiz için sabiti de logaritmanın altına iteriz.

Değiştirmeden önce basitleştirilebilecek her şeyi yeniden basitleştiriyoruz:

Zincirlerin sıfırlanması:

Ve ters değiştirme:

Şimdi "kayıp şeyleri" hatırlayalım: Çözüm, 'deki genel integrale dahil edildi, ancak "kasanın yanından uçup gitti", çünkü payda olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle, cevapta ayrı bir cümle verilir ve evet - bu arada, aşağıda olduğu ortaya çıkan kayıp çözümü de unutmayın.

Cevap: genel integral: . Daha fazla çözüm:

Genel çözümü burada ifade etmek o kadar da zor değil:
, ama bu zaten bir gösteriş.

Ancak kontrol etmek için uygundur. Türevini bulalım:

ve yerine denklemin sol tarafında:

– sonuç olarak denklemin doğru tarafı elde edildi ve kontrol edilmesi gereken de buydu.

Aşağıdaki difüzör tek başınadır:

Örnek 6

Diferansiyel denklemi çözün

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap. Uygulama için aynı zamanda genel çözümü burada ifade etmeye çalışın.

Dersin son bölümünde konuyla ilgili birkaç tipik görevi daha ele alacağız:

Örnek 7

Diferansiyel denklemi çözün

Çözüm: Hadi gittiğimiz yoldan gidelim. Bu denklem homojendir, yerine koyma işlemini yapalım:

"X" burada sorun değil, peki ya ikinci dereceden üç terimli? Faktörlere ayrıştırılamadığından kesinlikle çözümleri kaybetmeyiz. Her zaman böyle olurdu! Sol taraftaki karenin tamamını seçin ve entegre edin:

Burada basitleştirilecek hiçbir şey yok ve bu nedenle ters değiştirme:

Cevap: genel integral:

Örnek 8

Diferansiyel denklemi çözün

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Bu yüzden:

Eşit olmayan dönüşümler için HER ZAMAN kontrol edin (en azından sözlü olarak), Çözümlerinizi kaybediyor musunuz? Nedir bu dönüşümler? Tipik olarak bir şeyi kısaltmak veya bölmek. Yani örneğin bölerken fonksiyonların diferansiyel denklemin çözümü olup olmadığını kontrol etmeniz gerekir. Aynı zamanda, bölerken artık böyle bir kontrole gerek yoktur - çünkü bu bölen sıfıra gitmez.

İşte başka bir tehlikeli durum:

Burada kurtulmak için DE'nin bir çözüm olup olmadığını kontrol etmelisiniz. Çoğunlukla “x” ve “y” bu tür çarpan olarak kullanılır ve bunları azaltarak çözüm olabilecek fonksiyonları kaybederiz.

Öte yandan, eğer başlangıçta paydada bir şey varsa, o zaman böyle bir endişeye gerek yoktur. Dolayısıyla homojen bir denklemde, fonksiyon paydada "bildirildiği" için fonksiyon hakkında endişelenmenize gerek yoktur.

Listelenen incelikler, sorun yalnızca belirli bir çözümün bulunmasını gerektirse bile alaka düzeyini kaybetmez. Küçük de olsa tam olarak gerekli özel çözümü kaybetme şansımız var. Bu doğru mu Cauchy sorunu homojen denklemlere sahip pratik görevlerde oldukça nadiren sorulur. Ancak makalede bu tür örnekler var Homojene indirgenen denklemlerÇözme becerilerinizi güçlendirmek için "topuklu" çalışmanızı öneririm.

Daha karmaşık homojen denklemler de vardır. Zorluk, değişken değişimlerinde veya basitleştirmelerinde değil, değişkenlerin ayrılması sonucu ortaya çıkan oldukça zor veya nadir integrallerde yatmaktadır. Bu tür homojen denklemlerin çözüm örneklerine sahibim: korkutucu integraller ve korkutucu cevaplar. Ama onlar hakkında konuşmayacağız çünkü sonraki derslerde (aşağıya bakınız) Sana işkence edecek hâlâ zamanım var, seni taze ve iyimser görmek istiyorum!

Mutlu promosyon!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2: Çözüm: Bu amaçla orijinal denklemde denklemin homojenliğini kontrol edelim. yerine yerine koyalım ve yerine yerine koyalım:

Sonuç olarak orijinal denklem elde edilir, bu da DE'nin homojen olduğu anlamına gelir.