Trigonometrik denklemler kolay bir konu değildir. Çok çeşitlidirler.) Örneğin, bunlar:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = bebek karyolası(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Vesaire...
Ancak bu (ve diğer tüm) trigonometri canavarlarının iki ortak ve zorunlu özelliği vardır. Birincisi - inanmayacaksınız - denklemlerde trigonometrik fonksiyonlar var.) İkincisi: x'li tüm ifadeler bulunur aynı işlevler dahilinde. Ve sadece orada! X bir yerde görünüyorsa dıştan,Örneğin, sin2x + 3x = 3, bu zaten karma tipte bir denklem olacak. Bu tür denklemler bireysel bir yaklaşım gerektirir. Bunları burada ele almayacağız.
Bu dersimizde de kötü denklemleri çözmeyeceğiz.) Burada şu konuları ele alacağız: en basit trigonometrik denklemler. Neden? Evet çünkü çözüm herhangi trigonometrik denklemler iki aşamadan oluşur. İlk aşamada kötülük denklemi çeşitli dönüşümlerle basit bir denkleme indirgenir. İkincisinde bu en basit denklem çözülür. Başka yol yok.
Yani ikinci aşamada sorun yaşarsanız ilk aşamanın pek bir anlamı kalmıyor.)
Temel trigonometrik denklemler neye benzer?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Burada A herhangi bir sayıyı temsil eder. Herhangi.
Bu arada, bir fonksiyonun içinde saf bir X olmayabilir, ancak aşağıdaki gibi bir tür ifade olabilir:
cos(3x+π /3) = 1/2
vesaire. Bu hayatı zorlaştırır, ancak trigonometrik bir denklemi çözme yöntemini etkilemez.
Trigonometrik denklemler nasıl çözülür?
Trigonometrik denklemler iki şekilde çözülebilir. İlk yol: mantığı ve trigonometrik çemberi kullanmak. Burada bu yola bakacağız. İkinci yol - hafıza ve formüllerin kullanılması - bir sonraki derste tartışılacaktır.
İlk yol açık, güvenilir ve unutulması zordur.) Trigonometrik denklemleri, eşitsizlikleri ve her türlü zorlu standart dışı örnekleri çözmek için iyidir. Mantık hafızadan daha güçlüdür!)
Trigonometrik çember kullanarak denklem çözme.
Temel mantığı ve trigonometrik çemberi kullanma yeteneğini dahil ediyoruz. Nasıl olduğunu bilmiyor musun? Ancak... Trigonometride zorlanacaksınız...) Ama önemi yok. "Trigonometrik çember...... Nedir?" derslerine bir göz atın. ve "Trigonometrik bir daire üzerinde açıların ölçülmesi." Orada her şey basit. Ders kitaplarından farklı olarak...)
Ah bilirsin!? Ve hatta "Trigonometrik çemberle pratik çalışma" konusunda ustalaştınız!? Tebrikler. Bu konu size yakın ve anlaşılır gelecektir.) Özellikle sevindirici olan, trigonometrik çemberin hangi denklemi çözdüğünüzün umrunda olmamasıdır. Sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant - onun için her şey aynı. Tek çözüm ilkesi vardır.
Yani herhangi bir temel trigonometrik denklemi alıyoruz. En azından bu:
cosx = 0,5
X'i bulmamız gerekiyor. İnsan dilinde konuşmanız gerekir kosinüsü 0,5 olan (x) açısını bulun.
Daha önce çemberi nasıl kullanıyorduk? Üzerine bir açı çizdik. Derece veya radyan cinsinden. Ve hemen testere Bu açının trigonometrik fonksiyonları. Şimdi tam tersini yapalım. Dairenin üzerine 0,5'e eşit bir kosinüs çizelim ve hemen göreceğiz köşe. Geriye kalan tek şey cevabı yazmaktır.) Evet, evet!
Bir daire çizin ve kosinüsü 0,5'e eşit olarak işaretleyin. Elbette kosinüs ekseninde. Bunun gibi:
Şimdi bu kosinüsün bize verdiği açıyı çizelim. Farenizi resmin üzerine getirin (veya tabletinizdeki resme dokunun) ve göreceksin tam bu köşe X.
Hangi açının kosinüsü 0,5'tir?
x = π /3
çünkü 60°= çünkü( π /3) = 0,5
Bazıları şüpheyle kıkırdayacak, evet... Her şey ortadayken çember çizmeye değer miydi sanki... Elbette kıkırdayabilirsiniz...) Ama gerçek şu ki bu hatalı bir cevap. Daha doğrusu yetersiz. Çember uzmanları burada kosinüs değeri 0,5 olan bir sürü başka açının da bulunduğunu biliyorlar.
Hareketli tarafı OA'yı çevirirseniz tam dönüş A noktası orijinal konumuna geri dönecektir. Aynı kosinüs 0,5'e eşit. Onlar. açı değişecek 360° veya 2π radyan ve kosinüs - hayır. Yeni açı 60° + 360° = 420° de denklemimizin çözümü olacaktır, çünkü
Bunun gibi sonsuz sayıda tam dönüş yapılabilir... Ve tüm bu yeni açılar trigonometrik denklemimizin çözümü olacaktır. Ve yanıt olarak hepsinin bir şekilde yazılması gerekiyor. Tüm. Aksi takdirde karar sayılmaz, evet...)
Matematik bunu basit ve zarif bir şekilde yapabilir. Kısa bir cevapla yazın sonsuz küme kararlar. İşte denklemimiz için şöyle görünüyor:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Şifresini çözeceğim. Hala yaz anlamlı bir şekilde Aptalca gizemli harfler çizmekten daha hoş, değil mi?)
π /3 - burası bizim bulunduğumuz köşenin aynısı testere daire üzerinde ve azimli kosinüs tablosuna göre.
2π radyan cinsinden tam bir devrimdir.
N - bu tam olanların sayısıdır, yani. tüm devir/dakika Açıktır ki N 0, ±1, ±2, ±3... vb.'ye eşit olabilir. Kısa girişte belirtildiği gibi:
n ∈ Z
N ait ( ∈ ) tam sayılar kümesi ( Z ). Bu arada, mektup yerine N harfler iyi kullanılabilir k, m, t vesaire.
Bu gösterim herhangi bir tam sayıyı alabileceğiniz anlamına gelir N . En az -3, en az 0, en az +55. Ne istersen. Bu sayıyı cevaba koyarsanız belirli bir açı elde edersiniz ve bu kesinlikle sert denklemimizin çözümü olacaktır.)
Veya başka bir deyişle, x = π /3 sonsuz bir kümenin tek köküdür. Diğer tüm kökleri elde etmek için, π /3'e herhangi bir sayıda tam devir eklemek yeterlidir ( N ) radyan cinsinden. Onlar. 2πn radyan.
Tüm? HAYIR. Zevki kasıtlı olarak uzatıyorum. Daha iyi hatırlamak için.) Denklemimizin cevaplarının yalnızca bir kısmını aldık. Çözümün bu ilk bölümünü şu şekilde yazacağım:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - sadece bir kök değil, kısa biçimde yazılmış bir dizi kök.
Ancak kosinüs değeri 0,5 olan açılar da vardır!
Cevabını yazdığımız resmimize dönelim. İşte burada:
Farenizi resmin üzerine getirin ve görürüz başka bir açı ayrıca 0,5'lik bir kosinüs verir. Sizce neye eşittir? Üçgenler aynı... Evet! O açıya eşit X sadece olumsuz yönde gecikti. Burası köşe -X. Ama biz zaten x'i hesapladık. π /3 veya 60°. Bu nedenle güvenle yazabiliriz:
x 2 = - π /3
Elbette tam dönüşlerle elde edilen tüm açıları ekliyoruz:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Şimdilik bu kadar.) Trigonometrik çemberde testere(elbette kim anlar)) Tüm 0,5 kosinüs veren açılar. Ve bu açıları kısaca yazdım matematiksel form. Cevap iki sonsuz kök dizisiyle sonuçlandı:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Bu doğru cevap.
Umut, Trigonometrik denklemlerin çözümü için genel prensip Bir daire kullanmak açıktır. Verilen denklemden kosinüsü (sinüs, teğet, kotanjant) bir daire üzerinde işaretliyoruz, ona karşılık gelen açıları çiziyoruz ve cevabı yazıyoruz. Elbette hangi köşelerde olduğumuzu bulmamız gerekiyor. testere daire üzerinde. Bazen o kadar açık değildir. Eh, burada mantığın gerekli olduğunu söyledim.)
Örneğin başka bir trigonometrik denkleme bakalım:
Lütfen denklemlerde mümkün olan tek sayının 0,5 sayısı olmadığını dikkate alın!) Bunu yazmak benim için kökleri ve kesirleri yazmaktan daha uygun.
Genel prensiplere göre çalışıyoruz. Bir daire çiziyoruz, işaretliyoruz (tabii ki sinüs ekseninde!) 0,5. Bu sinüse karşılık gelen tüm açıları aynı anda çiziyoruz. Bu resmi elde ediyoruz:
Önce açıyı ele alalım X ilk çeyrekte. Sinüs tablosunu hatırlıyoruz ve bu açının değerini belirliyoruz. Bu basit bir mesele:
x = π /6
Tüm dönüşleri hatırlıyoruz ve vicdan rahatlığıyla ilk cevap dizisini yazıyoruz:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
İşin yarısı tamamlandı. Ama şimdi belirlememiz gerekiyor. ikinci köşe... Kosinüs kullanmaktan daha zordur, evet... Ama mantık bizi kurtaracak! İkinci açı nasıl belirlenir x aracılığıyla mı? Evet Kolay! Resimdeki üçgenler aynı ve kırmızı köşe X açıya eşit X . Sadece negatif yönde π açısından sayılır. Bu yüzden kırmızıdır.) Ve cevap için pozitif yarı eksen OX'tan doğru ölçülmüş bir açıya ihtiyacımız var, yani. 0 derecelik bir açıyla.
İmleci çizimin üzerine getiriyoruz ve her şeyi görüyoruz. Resmi karmaşıklaştırmamak için ilk köşeyi kaldırdım. İlgilendiğimiz açı (yeşille çizilmiş) şuna eşit olacaktır:
π - x
X bunu biliyoruz π /6 . Bu nedenle ikinci açı şu şekilde olacaktır:
π - π /6 = 5π /6
Yine tam devrimler eklemeyi hatırlıyoruz ve ikinci cevap serisini yazıyoruz:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Bu kadar. Tam bir cevap iki dizi kökten oluşur:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Teğet ve kotanjant denklemler, trigonometrik denklemlerin çözümünde kullanılan aynı genel prensip kullanılarak kolayca çözülebilir. Tabii ki trigonometrik bir daire üzerinde teğet ve kotanjantın nasıl çizileceğini biliyorsanız.
Yukarıdaki örneklerde sinüs ve kosinüsün tablo değerini kullandım: 0,5. Onlar. öğrencinin bildiği anlamlardan biri mutlak.Şimdi yeteneklerimizi genişletelim diğer tüm değerler. Karar ver, öyleyse karar ver!)
Diyelim ki bu trigonometrik denklemi çözmemiz gerekiyor:
Böyle bir kosinüs değeri kısa tablolar HAYIR. Bu korkunç gerçeği soğukkanlılıkla görmezden geliyoruz. Bir daire çizin, kosinüs ekseninde 2/3'ü işaretleyin ve karşılık gelen açıları çizin. Bu resmi elde ediyoruz.
İlk önce ilk çeyrekteki açıya bakalım. Keşke x'in neye eşit olduğunu bilseydik, cevabı hemen yazardık! Bilmiyoruz... Başarısızlık!? Sakinlik! Matematik kendi insanını zor durumda bırakmaz! Bu durum için yay kosinüslerini buldu. Bilmemek? Boşuna. Öğrenin, düşündüğünüzden çok daha kolay. Bu bağlantıda "ters trigonometrik fonksiyonlar" ile ilgili tek bir hileli büyü yok... Bu konuda bu gereksizdir.
Biliyorsanız kendinize şunu söyleyin: "X, kosinüsü 2/3 olan bir açıdır." Ve hemen, tamamen ark kosinüs tanımına göre şunu yazabiliriz:
Ek devrimleri hatırlıyoruz ve trigonometrik denklemimizin ilk kök serisini sakince yazıyoruz:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
İkinci açının ikinci kök dizisi neredeyse otomatik olarak yazılır. Her şey aynı, yalnızca X (arccos 2/3) eksi olacak:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Ve bu kadar! Bu doğru cevap. Tablo değerlerinden bile daha kolay. Hiçbir şeyi hatırlamanıza gerek yok.) Bu arada, en dikkatli kişi bu resmin ark kosinüs yoluyla çözümü gösterdiğini fark edecektir. özünde cosx = 0,5 denklemi için resimdekinden hiçbir farkı yoktur.
Kesinlikle! Genel prensip Bu yüzden yaygındır! Kasıtlı olarak neredeyse aynı iki resim çizdim. Çember bize açıyı gösterir X kosinüsüne göre. Tablosal kosinüs olup olmadığı herkes tarafından bilinmiyor. Bunun ne tür bir açı olduğuna, π /3'e veya ark kosinüsün ne olduğuna karar vermek bize kalmış.
Sinüs ile aynı şarkı. Örneğin:
Tekrar bir daire çizin, sinüsü 1/3'e eşit olarak işaretleyin, açıları çizin. Elde ettiğimiz resim şu:
Ve yine resim denklemle hemen hemen aynı sinx = 0,5.İlk çeyreğe yine kornerden başlıyoruz. Sinüsü 1/3 ise X neye eşittir? Sorun değil!
Artık ilk kök paketi hazır:
x 1 = yaysin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
İkinci açıyı ele alalım. Tablo değeri 0,5 olan örnekte şuna eşitti:
π - x
Burada da durum tamamen aynı olacak! Sadece x farklıdır, yay 1/3'tür. Ne olmuş!? İkinci kök paketini güvenle yazabilirsiniz:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Bu tamamen doğru bir cevaptır. Her ne kadar pek tanıdık gelmese de. Ama açıktır, umarım.)
Trigonometrik denklemler daire kullanılarak bu şekilde çözülür. Bu yol açık ve anlaşılırdır. Belirli bir aralıkta köklerin seçimi ile trigonometrik denklemlerden, trigonometrik eşitsizliklerden tasarruf eden kişidir - bunlar genellikle neredeyse her zaman bir daire içinde çözülür. Kısacası standart görevlerden biraz daha zor olan her görevde.
Bilgiyi pratikte uygulayalım mı?)
Trigonometrik denklemleri çözün:
İlk olarak, daha basit, doğrudan bu dersten.
Şimdi durum daha karmaşık.
İpucu: Burada daireyi düşünmeniz gerekecek. Şahsen.)
Ve şimdi görünüşte basitler... Bunlara özel durumlar da deniyor.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
İpucu: Burada bir daire içinde iki seri cevabın olduğu ve nerede bir cevap olduğunu bulmanız gerekiyor... Ve iki seri cevap yerine bir cevabın nasıl yazılacağını. Evet, böylece sonsuz sayıdan tek bir kökü bile kaybolmaz!)
Aslında çok basit):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
İpucu: Burada arksinüs ve arkkosinüsün ne olduğunu bilmeniz gerekiyor? Arktanjant, arkkotanjant nedir? En çok basit tanımlar. Ancak herhangi bir tablo değerini hatırlamanıza gerek yok!)
Cevaplar elbette bir karmaşa):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Her şey yolunda gitmiyor mu? Olur. Dersi tekrar okuyun. Sadece düşünceli bir şekilde(böyle bir şey var eski kelime...) Ve bağlantıları takip edin. Ana bağlantılar daireyle ilgilidir. Trigonometri olmadan, gözleri bağlı olarak yolda geçmeye benzer. Bazen işe yarar.)
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Konuyla ilgili ders ve sunum: "Basit trigonometrik denklemlerin çözümü"
Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.
1C'den 10. sınıfa yönelik Integral çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Geometri problemlerini çözüyoruz. Uzayda inşa etmek için etkileşimli görevler
Yazılım ortamı "1C: Matematiksel Oluşturucu 6.1"
Neyi inceleyeceğiz:
1. Trigonometrik denklemler nelerdir?
3. Trigonometrik denklemleri çözmek için iki ana yöntem.
4. Homojen trigonometrik denklemler.
5. Örnekler.
Trigonometrik denklemler nelerdir?
Arkadaşlar, arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant konularını zaten inceledik. Şimdi genel olarak trigonometrik denklemlere bakalım.
Trigonometrik denklemler, bir değişkenin trigonometrik bir fonksiyonun işareti altında bulunduğu denklemlerdir.
En basit trigonometrik denklemlerin çözüm şeklini tekrarlayalım:
1)Eğer |a|≤ 1 ise cos(x) = a denkleminin bir çözümü vardır:
X= ± arccos(a) + 2πk
2) Eğer |a|≤ 1 ise sin(x) = a denkleminin bir çözümü vardır:
3) Eğer |a| > 1 ise sin(x) = a ve cos(x) = a denklemlerinin çözümü yoktur 4) tg(x)=a denkleminin bir çözümü vardır: x=arctg(a)+ πk
5) ctg(x)=a denkleminin bir çözümü vardır: x=arcctg(a)+ πk
Tüm formüller için k bir tam sayıdır
En basit trigonometrik denklemler şu şekildedir: T(kx+m)=a, T bir trigonometrik fonksiyondur.
Örnek.Denklemleri çözün: a) sin(3x)= √3/2
Çözüm:
A) 3x=t'yi gösterelim, sonra denklemimizi şu şekilde yeniden yazalım:
Bu denklemin çözümü şöyle olacaktır: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.
Değerler tablosundan şunu elde ederiz: t=((-1)^n)×π/3+ πn.
Değişkenimize dönelim: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,
O halde x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3
Cevap: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, burada n bir tamsayıdır. (-1)^n – eksi bir üssü n.
Trigonometrik denklemlere daha fazla örnek.
Denklemleri çözün: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3Çözüm:
A) Bu sefer doğrudan denklemin köklerini hesaplamaya geçelim:
X/5= ± arccos(1) + 2πk. O zaman x/5= πk => x=5πk
Cevap: x=5πk, burada k bir tamsayıdır.
B) Bunu şu şekilde yazıyoruz: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Bunu biliyoruz: arktan(√3)= π/3
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
Cevap: x=2π/9 + πk/3; burada k bir tam sayıdır.
Denklemleri çözün: cos(4x)= √2/2. Ve segmentteki tüm kökleri bulun.
Çözüm:
Biz karar vereceğiz Genel görünüm denklemimiz: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk
4x= ± π/4 + 2πk;
X= ± π/16+ πk/2;
Şimdi segmentimize hangi köklerin düştüğünü görelim. k'da k=0, x= π/16'da verilen parçadayız.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 ile tekrar vuruyoruz.
k=2 için, x= π/16+ π=17π/16, ancak burada vurmadık, bu da büyük k için de açıkça vuramayacağımız anlamına geliyor.
Cevap: x= π/16, x= 9π/16
İki ana çözüm yöntemi.
En basit trigonometrik denklemlere baktık ama daha karmaşık olanları da var. Bunları çözmek için yeni bir değişken ekleme yöntemi ve çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır. Örneklere bakalım.Denklemi çözelim:
Çözüm:
Denklemimizi çözmek için yeni bir değişken ekleme yöntemini kullanacağız: t=tg(x).
Yer değiştirme sonucunda şunu elde ederiz: t 2 + 2t -1 = 0
Kökleri bulalım ikinci dereceden denklem: t=-1 ve t=1/3
O zaman tg(x)=-1 ve tg(x)=1/3 en basit trigonometrik denklemi elde ederiz, köklerini bulalım.
X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=yay(1/3) + πk.
Cevap: x= -π/4+πk; x=yay(1/3) + πk.
Bir denklem çözme örneği
Denklemleri çözün: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0
Çözüm:
Şu özdeşliği kullanalım: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1
Denklemimiz şu şekilde olacaktır: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 çünkü 2 (x) - 3 çünkü(x) -2 = 0
t=cos(x) değişimini tanıtalım: 2t 2 -3t - 2 = 0
İkinci dereceden denklemimizin çözümü köklerdir: t=2 ve t=-1/2
O halde cos(x)=2 ve cos(x)=-1/2.
Çünkü kosinüs birden büyük değerler alamaz, bu durumda cos(x)=2'nin kökü yoktur.
cos(x)=-1/2 için: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
Cevap: x= ±2π/3 + 2πk
Homojen trigonometrik denklemler.
Tanım: a sin(x)+b cos(x) formundaki denklemlere birinci dereceden homojen trigonometrik denklemler denir.Formun denklemleri
ikinci dereceden homojen trigonometrik denklemler.
Birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemi çözmek için onu cos(x)'e bölün: 
Sıfıra eşitse kosinüse bölemezsiniz, durumun böyle olmadığından emin olalım:
cos(x)=0 olsun, sonra asin(x)+0=0 => sin(x)=0 olsun, ancak sinüs ve kosinüs aynı anda sıfıra eşit değildir, bir çelişki elde ederiz, böylece güvenli bir şekilde bölebiliriz sıfır.
Denklemi çözün:
Örnek: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0
Çözüm:
Ortak çarpanı çıkaralım: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
O zaman iki denklemi çözmemiz gerekiyor:
Cos(x)=0 ve cos(x)+sin(x)=0
x= π/2 + πk'de Cos(x)=0;
cos(x)+sin(x)=0 denklemini düşünün. Denklemimizi cos(x)'e bölün:
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk
Cevap: x= π/2 + πk ve x= -π/4+πk
İkinci dereceden homojen trigonometrik denklemler nasıl çözülür?
Beyler, her zaman bu kurallara uyun!
1. a katsayısının neye eşit olduğuna bakın, eğer a=0 ise denklemimiz cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) formunu alacaktır, bunun çözümünün bir örneği önceki slaytta verilmiştir.
2. Eğer a≠0 ise denklemin her iki tarafını kosinüs kareye bölmeniz gerekir, şunu elde ederiz:
t=tg(x) değişkenini değiştirip denklemi elde ederiz:
Örnek No.:3'ü çözün
Denklemi çözün:Çözüm:
Denklemin her iki tarafını da kosinüs karesine bölelim: 
t=tg(x) değişkenini değiştiriyoruz: t 2 + 2 t - 3 = 0
İkinci dereceden denklemin köklerini bulalım: t=-3 ve t=1
O halde: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk
Tg(x)=1 => x= π/4+ πk
Cevap: x=-arctg(3) + πk ve x= π/4+ πk
Örnek No.:4'ü çözün
Denklemi çözün:Çözüm:
İfademizi dönüştürelim:
Şu tür denklemleri çözebiliriz: x= - π/4 + 2πk ve x=5π/4 + 2πk
Cevap: x= - π/4 + 2πk ve x=5π/4 + 2πk
Örnek no.:5'i çözün
Denklemi çözün:Çözüm:
İfademizi dönüştürelim:
tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 değişimini tanıtalım
İkinci dereceden denklemimizin çözümü kökler olacaktır: t=-2 ve t=1/2
O zaman şunu elde ederiz: tg(2x)=-2 ve tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2
2x= arktg(1/2) + πk => x=yayg(1/2)/2+ πk/2
Cevap: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ve x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Bağımsız çözüm için problemler.
1) Denklemi çözünA) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7
2) Denklemleri çözün: sin(3x)= √3/2. Ve [π/2; π].
3) Denklemi çözün: bebek karyolası 2 (x) + 2 bebek karyolası (x) + 1 =0
4) Denklemi çözün: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0
5) Denklemi çözün: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0
6) Denklemi çözün: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Tarafımızca toplandı kişisel bilgi sizinle iletişim kurmamıza ve sizi bilgilendirmemize olanak tanır benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde kanuna uygun olarak, adli prosedür, V duruşma ve/veya genel taleplere veya taleplere dayalı olarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Temel trigonometrik fonksiyonlar (sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant) arasındaki ilişkiler verilmiştir. trigonometrik formüller. Trigonometrik fonksiyonlar arasında oldukça fazla bağlantı olduğu için bu, trigonometrik formüllerin bolluğunu açıklamaktadır. Bazı formüller aynı açının trigonometrik fonksiyonlarını birbirine bağlar, diğerleri - çok açılı fonksiyonlar, diğerleri - dereceyi azaltmanıza izin verir, dördüncü - tüm fonksiyonları yarım açının tanjantı ile ifade eder, vb.
Bu yazıda tüm ana konuları sırayla listeleyeceğiz. trigonometrik formüller trigonometri problemlerinin büyük çoğunluğunu çözmek için yeterlidir. Ezberleme ve kullanım kolaylığı açısından bunları amaçlarına göre gruplandırıp tablolara koyacağız.
Sayfada gezinme.
Temel trigonometrik kimlikler
Temel trigonometrik özdeşlikler Bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı arasındaki ilişkiyi tanımlar. Bunlar sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tanımlarının yanı sıra birim çember kavramından kaynaklanır. Bir trigonometrik fonksiyonu diğerine göre ifade etmenize izin verirler.
Bu trigonometri formüllerinin ayrıntılı bir açıklaması, bunların türetilmesi ve uygulama örnekleri için makaleye bakın.
Azaltma formülleri
Azaltma formülleri sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın özelliklerinden kaynaklanır, yani trigonometrik fonksiyonların periyodiklik özelliğini, simetri özelliğini ve ayrıca belirli bir açıyla kayma özelliğini yansıtırlar. Bu trigonometrik formüller, rastgele açılarla çalışmaktan sıfır ila 90 derece arasındaki açılarla çalışmaya geçiş yapmanızı sağlar.
Bu formüllerin mantığı, bunları ezberlemek için anımsatıcı bir kural ve uygulama örnekleri makalede incelenebilir.
Toplama formülleri
Trigonometrik toplama formülleriİki açının toplamı veya farkının trigonometrik fonksiyonlarının bu açıların trigonometrik fonksiyonları cinsinden nasıl ifade edildiğini gösterin. Bu formüller aşağıdaki trigonometrik formüllerin türetilmesi için temel oluşturur.
İkili, üçlü vb. formüller. açı
İkili, üçlü vb. formüller. açı (bunlara çoklu açı formülleri de denir) ikili, üçlü vb. trigonometrik fonksiyonların nasıl olduğunu gösterir. açılar (), tek bir açının trigonometrik fonksiyonları cinsinden ifade edilir. Bunların türetilmesi toplama formüllerine dayanmaktadır.
Daha ayrıntılı bilgi ikili, üçlü vb. için makale formüllerinde toplanmıştır. açı
Yarım açı formülleri
Yarım açı formülleri yarım açının trigonometrik fonksiyonlarının tam açının kosinüsü cinsinden nasıl ifade edildiğini gösterin. Bu trigonometrik formüller çift açı formüllerinden kaynaklanmaktadır.
Sonuçları ve uygulama örnekleri makalede bulunabilir.
Derece azaltma formülleri
Dereceleri azaltmak için trigonometrik formüller geçişi kolaylaştırmayı amaçlamaktadır. doğal dereceler trigonometrik fonksiyonlar sinüs ve kosinüslere birinci dereceye kadar, ancak çoklu açılara. Başka bir deyişle trigonometrik fonksiyonların kuvvetlerini birinciye düşürmenize olanak tanırlar.
Trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı için formüller
Asıl amaç trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı için formüller fonksiyonların çarpımına gitmektir; bu, sadeleştirme yaparken çok faydalıdır trigonometrik ifadeler. Bu formüller aynı zamanda sinüs ve kosinüslerin toplamını ve farkını çarpanlara ayırmanıza olanak tanıdığından trigonometrik denklemlerin çözümünde de yaygın olarak kullanılır.
Sinüs, kosinüs ve sinüs-kosinüs çarpımı için formüller
Trigonometrik fonksiyonların çarpımından bir toplam veya farka geçiş, sinüs, kosinüs ve sinüs kosinüs çarpımı formülleri kullanılarak gerçekleştirilir.
Evrensel trigonometrik ikame
Trigonometrinin temel formüllerine ilişkin incelememizi, trigonometrik fonksiyonları yarım açının tanjantı cinsinden ifade eden formüllerle tamamlıyoruz. Bu değiştirme çağrıldı evrensel trigonometrik ikame. Kolaylığı, tüm trigonometrik fonksiyonların, kökleri olmadan rasyonel olarak yarım açının tanjantı cinsinden ifade edilmesi gerçeğinde yatmaktadır.
Kaynakça.
- Cebir: Ders Kitabı 9. sınıf için. ortalama okul / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M .: Eğitim, 1990. - 272 s.: hasta - ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Cebir ve analizin başlangıcı: Ders kitabı. 10-11 sınıflar için. ortalama okul - 3. baskı. - M.: Eğitim, 1993. - 351 s.: hasta. - ISBN 5-09-004617-4.
- Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. Genel Eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: hasta - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.
Telif hakkı akıllı öğrencilere aittir
Her hakkı saklıdır.
Telif hakkı yasasıyla korunmaktadır. Sitenin hiçbir kısmı dahil iç malzemeler Ve dış tasarım telif hakkı sahibinin önceden yazılı izni olmadan hiçbir şekilde çoğaltılamaz ve kullanılamaz.
En basit trigonometrik denklemler kural olarak formüller kullanılarak çözülür. Size en basit trigonometrik denklemlerin şöyle olduğunu hatırlatmama izin verin:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x bulunacak açıdır,
a herhangi bir sayıdır.
Ve işte bu en basit denklemlerin çözümlerini hemen yazabileceğiniz formüller.
Sinüs için:
Kosinüs için:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Teğet için:
x = arktan a + π n, n ∈ Z
Kotanjant için:
x = arkctg a + π n, n ∈ Z
Aslında bu, en basit trigonometrik denklemleri çözmenin teorik kısmıdır. Üstelik her şey!) Hiçbir şey. Ancak bu konudaki hataların sayısı tabloların dışındadır. Özellikle örnek şablondan biraz sapıyorsa. Neden?
Evet, çünkü pek çok insan bu mektupları yazıyor, anlamlarını hiç anlamadan! Bir şey olmasın diye dikkatli yazıyor...) Bunun çözülmesi gerekiyor. Sonuçta insanlar için trigonometri veya trigonometri için insanlar!?)
Hadi çözelim mi?
Bir açı şuna eşit olacaktır: Arccos bir, ikinci: -arccos a.
Ve bu her zaman bu şekilde sonuçlanacaktır. Herhangi A.
Bana inanmıyorsanız farenizi resmin üzerine getirin veya tabletinizdeki resme dokunun.) Numarayı değiştirdim A olumsuz bir şeye. Neyse, bir köşemiz var Arccos bir, ikinci: -arccos a.
Bu nedenle cevap her zaman iki kök dizisi şeklinde yazılabilir:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Bu iki seriyi tek bir seride birleştirelim:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Ve hepsi bu. En basit trigonometrik denklemi kosinüsle çözmek için genel bir formül elde ettik.
Bunun bir tür bilim dışı bilgelik olmadığını, ancak iki dizi yanıtın yalnızca kısaltılmış bir versiyonu, Ayrıca “C” görevlerini de yerine getirebileceksiniz. Eşitsizliklerde, belirli bir aralıktan köklerin seçilmesinde... Orada artı/eksili cevap işe yaramıyor. Ama cevabı iş gibi ele alıp iki ayrı cevaba bölerseniz her şey çözülecektir.) Aslında biz de bu yüzden araştırıyoruz. Ne, nasıl ve nerede.
En basit trigonometrik denklemde
sinx = a
ayrıca iki dizi kök elde ederiz. Her zaman. Ve bu iki seri de kaydedilebilir tek satırda. Yalnızca bu satır daha yanıltıcı olacaktır:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Ancak özü aynı kalıyor. Matematikçiler, kök dizileri için iki yerine bir giriş yapacak bir formül tasarladılar. Bu kadar!
Matematikçileri kontrol edelim mi? Ve asla bilemezsin...)
Önceki derste sinüslü bir trigonometrik denklemin çözümü (herhangi bir formül olmadan) ayrıntılı olarak tartışıldı:
Cevap iki dizi kökle sonuçlandı:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Aynı denklemi formülü kullanarak çözersek şu cevabı alırız:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Aslında bu yarım kalmış bir cevaptır.) Öğrencinin şunu bilmesi gerekir. arcsin 0,5 = π /6. Tam cevap şöyle olacaktır:
x = (-1) n π /6+ π n, n ∈ Z
İşte ortaya çıkıyor faiz Sor. Şununla yanıtla: x 1; x 2 (bu doğru cevap!) ve yalnızlığın içinden X (ve bu doğru cevaptır!) - bunlar aynı şey mi, değil mi? Şimdi öğreneceğiz.)
Cevabı şununla değiştiriyoruz: x 1 değerler N =0; 1; 2; vb. sayarsak bir dizi kök elde ederiz:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 ve benzeri.
Yanıt olarak aynı oyuncu değişikliği ile x 2 , şunu elde ederiz:
x2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 ve benzeri.
Şimdi değerleri yerine koyalım N (0; 1; 2; 3; 4...) tekil için genel formüle dönüştürülür X . Yani eksi birin sıfır kuvvetine, ardından birinciye, ikinciye vb. yükseltiriz. Tabii ki ikinci terimin yerine 0 koyarız; 1; 2 3; 4 vb. Ve sayıyoruz. Seriyi alıyoruz:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 ve benzeri.
Görebildiğiniz tek şey bu.) Genel formül bize şunu verir: tamamen aynı sonuçlar iki cevap ayrı ayrı olduğu gibi. Her şey bir anda, sırayla. Matematikçiler aldanmadılar.)
Teğet ve kotanjantlı trigonometrik denklemlerin çözümüne yönelik formüller de kontrol edilebilir. Ama yapmayacağız.) Zaten basitler.
Tüm bu değiştirme ve doğrulamayı özel olarak yazdım. Burada bir şeyi anlamak önemlidir basit şey: Temel trigonometrik denklemleri çözmek için formüller var, cevapların sadece kısa bir özeti. Bu kısalık için kosinüs çözümüne artı/eksi ve sinüs çözümüne (-1)n eklemek zorunda kaldık.
Bu ekler, yalnızca temel bir denklemin cevabını yazmanız gereken görevlere hiçbir şekilde müdahale etmez. Ancak bir eşitsizliği çözmeniz gerekiyorsa veya cevapla ilgili bir şeyler yapmanız gerekiyorsa: belirli bir aralıkta kökleri seçin, ODZ'yi kontrol edin vb., bu eklemeler bir kişiyi kolayca rahatsız edebilir.
Peki ne yapmalıyım? Evet, ya cevabı iki seri halinde yazın ya da denklemi/eşitsizliği trigonometrik çemberi kullanarak çözün. Daha sonra bu eklemeler ortadan kalkar ve hayat kolaylaşır.)
Özetleyebiliriz.
En basit trigonometrik denklemleri çözmek için hazır cevap formülleri vardır. Dört parça. Bir denklemin çözümünü anında yazmak için iyidirler. Örneğin, denklemleri çözmeniz gerekir:
sinx = 0,3
Kolayca: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Sorun değil: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Kolayca: x = arktan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Bir tane kaldı: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
çünkü x = 1,8
Eğer bilgiyle parlıyorsanız, anında cevabı yazın:
x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
o zaman zaten parlıyorsun, bu... şu... bir su birikintisinden.) Doğru cevap: hiçbir çözüm yok. Nedenini anlamıyor musun? Ark kosinüsün ne olduğunu okuyun. Ek olarak, orijinal denklemin sağ tarafında sinüs, kosinüs, teğet, kotanjantın tablo değerleri varsa, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 ve benzeri. - kemerlerden geçen cevap bitmeyecek. Kemerler radyana dönüştürülmelidir.
Ve eğer eşitsizlikle karşılaşırsanız,
o zaman cevap şu:
x πn, n ∈ Z
nadir saçmalıklar var, evet...) Burada trigonometrik daireyi kullanarak çözmeniz gerekiyor. İlgili başlıkta ne yapacağız.
Bu satırları kahramanca okuyanlar için. Devasa çabalarınızı takdir etmeden duramıyorum. Size bonus.)
Bonus:
Endişe verici bir savaş durumunda formülleri yazarken deneyimli ineklerin bile nerede olduğu konusunda kafası karışır. πn, Ve nerede 2πn. İşte size basit bir numara. İçinde herkes değerindeki formüller n. Ark kosinüsü olan tek formül hariç. Orada duruyor 2πn. İki Peen. Anahtar kelime - iki. Aynı formülde iki başında imzalayın. Artı ve eksi. Burada ve orada - iki.
Yani eğer yazsaydın iki yay kosinüsünden önce işareti koyun, sonunda ne olacağını hatırlamak daha kolaydır iki Peen. Ve bunun tersi de oluyor. Kişi işareti kaçıracak ± , sonuna varır, doğru yazar iki Pien, aklı başına gelecektir. İleride bir şey var iki imza! Kişi başlangıca dönecek ve hatayı düzeltecektir! Bunun gibi.)
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
