§ 129. Ön açıklamalar.
Bir kişi sürekli olarak çok çeşitli miktarlarla ilgilenir. Bir çalışan ve bir işçi belli bir saatte işe yetişmeye çalışıyor, bir yaya en kısa yoldan belli bir yere ulaşma telaşında, buharlı kalorifer ateşçisi kazan içindeki sıcaklığın yavaş yavaş yükselmesinden endişeleniyor, işletme yöneticisi üretim maliyetini vb. azaltmak için planlar yapıyor.
Bunun gibi sayısız örnek verilebilir. Zaman, mesafe, sıcaklık, maliyet; bunların hepsi çeşitli büyüklüklerdir. Bu kitabın birinci ve ikinci bölümlerinde özellikle yaygın olan bazı büyüklüklerle tanıştık: alan, hacim, ağırlık. Fizik ve diğer bilimleri incelerken birçok nicelikle karşılaşırız.
Bir trende seyahat ettiğinizi hayal edin. Arada sırada saatinize bakarsınız ve ne kadar süredir yolda olduğunuzu fark edersiniz. Mesela treninizin kalkmasından bu yana 2, 3, 5, 10, 15 saat geçti vs. diyorsunuz. Bu rakamlar farklı zaman dilimlerini temsil ediyor; bunlara bu miktarın (zaman) değerleri denir. Veya treninizin kat ettiği mesafeyi görmek için pencereden dışarı bakıp yol direklerini takip edersiniz. Önünüzde 110, 111, 112, 113, 114 km sayıları yanıp sönüyor. Bu sayılar trenin kalkış noktasından itibaren kat ettiği farklı mesafeleri temsil etmektedir. Bunlara, bu sefer farklı büyüklükteki değerler de denir (iki nokta arasındaki yol veya mesafe). Böylece zaman, mesafe, sıcaklık gibi tek bir nicelik, aynı sayıda niceliği üstlenebilir. Farklı anlamlar.
Bir kişinin neredeyse hiçbir zaman tek bir niceliği dikkate almadığını, onu her zaman başka niceliklerle ilişkilendirdiğini lütfen unutmayın. Aynı anda iki, üç veya daha fazla nicelikle uğraşmak zorundadır. Saat 9'da okula gitmeniz gerektiğini düşünün. Saatinize bakıyorsunuz ve 20 dakikanız olduğunu görüyorsunuz. Daha sonra tramvaya mı bineceğinize yoksa okula yürüyerek mi gideceğinize hemen karar verirsiniz. Düşündükten sonra yürümeye karar verirsin. Düşünürken bir problemi çözdüğünüze dikkat edin. Bu tür sorunları her gün çözdüğünüz için bu görev basit ve tanıdık hale geldi. İçinde birkaç miktarı hızlı bir şekilde karşılaştırdınız. Saate bakan sizdiniz, yani zamanı hesaba kattınız, sonra evinizden okula olan mesafeyi zihinsel olarak hayal ettiniz; son olarak iki niceliği karşılaştırdınız: adımınızın hızı ve tramvayın hızı ve şu sonuca vardınız: verilen zaman(20 dk.) Yürümek için zamanınız olacak. Bundan basit örnek uygulamamızda bazı niceliklerin birbiriyle bağlantılı olduğunu, yani birbirlerine bağlı olduklarını görüyorsunuz.
On ikinci bölümde homojen niceliklerin ilişkisinden bahsedildi. Örneğin bir bölüm 12 m, diğeri 4 m ise bu bölümlerin oranı 12:4 olacaktır.
Bunun iki homojen miktarın oranı olduğunu söylemiştik. Bunu söylemenin başka bir yolu da iki sayının oranıdır bir isim.
Artık niceliklere daha aşina olduğumuza ve bir niceliğin değeri kavramını tanıttığımıza göre, oranın tanımını yeni bir şekilde ifade edebiliriz. Aslında 12 m ve 4 m'lik iki segmenti düşündüğümüzde tek bir değerden bahsediyorduk; uzunluk ve 12 m ve 4 m yalnızca iki değerdi. Farklı anlamlar Bu değer.
Bu nedenle gelecekte oranlar hakkında konuşmaya başladığımızda, bir miktarın iki değerini ele alacağız ve bir miktarın bir değerinin aynı miktardaki başka bir değere oranına, ilk değere bölünme bölümü adı verilecektir. ikinci olarak.
§ 130. Değerler doğrudan orantılıdır.
Durumu iki nicelik içeren bir problemi ele alalım: mesafe ve zaman.
Görev 1. Doğrusal ve düzgün bir şekilde hareket eden bir cisim saniyede 12 cm yol almaktadır.Cismin 2, 3, 4, ..., 10 saniyede kat ettiği mesafeyi belirleyiniz.
Zaman ve mesafedeki değişiklikleri takip etmek için kullanılabilecek bir tablo oluşturalım.
Tablo bize bu iki değer serisini karşılaştırma fırsatı veriyor. Buradan görüyoruz ki, birinci niceliğin (zaman) değerleri kademeli olarak 2, 3,..., 10 kat arttığında, ikinci niceliğin (mesafe) değerleri de 2, 3, ..., 10 kat artıyor, ..., 10 kere. Böylece bir büyüklüğün değeri birkaç kat arttığında başka bir büyüklüğün değeri de aynı oranda artar, bir büyüklüğün değeri birkaç kat azaldığında başka bir büyüklüğün değeri de aynı oranda azalır. aynı numara.
Şimdi bu tür iki niceliği içeren bir problemi ele alalım: Madde miktarı ve maliyeti.
Görev 2. 15 m kumaşın maliyeti 120 ruble. Tabloda belirtilen diğer birkaç metre miktarı için bu kumaşın maliyetini hesaplayın.
Bu tabloyu kullanarak bir ürünün miktarındaki artışa bağlı olarak maliyetinin kademeli olarak nasıl arttığını takip edebiliriz. Bu problemin tamamen farklı miktarlar içermesine rağmen (ilk problemde - zaman ve mesafe ve burada - malların miktarı ve değeri), yine de bu miktarların davranışlarında büyük benzerlikler bulunabilir.
Hatta tablonun en üst satırında kumaşın metre sayısını belirten rakamlar yer alıyor, her birinin altında ise ilgili mal miktarının maliyetini ifade eden rakamlar yer alıyor. Bu tabloya kısa bir bakış bile hem üst hem de alt sıralardaki sayıların arttığını gösteriyor; Tablonun daha yakından incelenmesi ve bireysel sütunların karşılaştırılması sırasında, her durumda ikinci miktarın değerlerinin, birincinin değerleriyle aynı sayıda arttığı, yani; birinci nicelik diyelim 10 kat arttı, sonra ikinci niceliğin değeri de 10 kat arttı.
Tabloyu sağdan sola incelediğimizde miktarların belirtilen değerlerinin aynı oranda azalacağını göreceğiz. Bu anlamda birinci görev ile ikincisi arasında koşulsuz bir benzerlik vardır.
Birinci ve ikinci problemlerde karşılaştığımız büyüklük çiftlerine denir. doğrudan orantılı.
Dolayısıyla iki nicelik, birinin değeri birkaç kez arttığında (azaldığında) diğerinin değeri aynı miktarda artacak (azalacak) şekilde birbiriyle ilişkiliyse, bu tür niceliklere doğru orantılı nicelikler denir. .
Bu tür niceliklerin birbirleriyle doğrudan orantılı bir ilişkiyle ilişkili olduğu da söylenir.
Doğada ve çevremizdeki yaşamda buna benzer pek çok nicelik bulunur. İşte bazı örnekler:
1. Zaman iş (gün, iki gün, üç gün vb.) ve kazanç, bu süre zarfında yevmiyeyle birlikte alındı.
2. Hacim homojen bir malzemeden yapılmış herhangi bir nesne ve ağırlık bu ürün.
§ 131. Doğrudan orantılı büyüklüklerin özelliği.
Aşağıdaki iki niceliği içeren bir problemi ele alalım: çalışma zamanı ve kazanç. Günlük kazanç 20 ruble ise 2 günlük kazanç 40 ruble vb. olacaktır. Belirli sayıda günün belirli bir kazanca karşılık geleceği bir tablo oluşturmak en uygunudur.
Bu tabloya baktığımızda her iki niceliğin de 10 farklı değer aldığını görüyoruz. Birinci değerin her değeri, ikinci değerin belirli bir değerine karşılık gelir, örneğin 2 gün, 40 rubleye karşılık gelir; 5 gün 100 rubleye karşılık geliyor. Tabloda bu sayılar alt alta yazılmıştır.
İki miktarın doğru orantılı olması durumunda, değişim sürecinde her birinin diğerinin artması kadar arttığını zaten biliyoruz. Hemen bundan şu sonuç çıkıyor: Birinci miktarın herhangi iki değerinin oranını alırsak, bu, ikinci miktarın karşılık gelen iki değerinin oranına eşit olacaktır. Aslında:
Bu neden oluyor? Ancak bu değerler doğru orantılı olduğundan yani biri (zaman) 3 kat arttığında diğeri (kazanç) 3 kat arttı.
Bu nedenle şu sonuca vardık: Birinci miktarın iki değerini alıp bunları birbirine bölersek ve ardından ikinci miktarın karşılık gelen değerlerini bire bölersek, o zaman her iki durumda da şunu elde ederiz: aynı sayı, yani aynı ilişki. Bu, yukarıda yazdığımız iki ilişkinin eşittir işaretiyle bağlanabileceği anlamına gelir;
Hiç şüphe yok ki, eğer bu ilişkileri değil de diğerlerini, bu sırayla değil, tam tersi sırayla alırsak, ilişkilerde eşitliği de elde ederiz. Aslında miktarlarımızın değerlerini soldan sağa doğru ele alıp üçüncü ve dokuzuncu değerleri alacağız:
60:180 = 1 / 3 .
Yani şunu yazabiliriz:
Bu, şu sonuca varır: eğer iki miktar doğrudan orantılıysa, o zaman birinci miktarın keyfi olarak alınan iki değerinin oranı, ikinci miktarın karşılık gelen iki değerinin oranına eşittir.
§ 132. Doğru orantılılık formülü.
1 kg'ı 10,4 ruble ise, çeşitli miktarlarda tatlıların maliyetini gösteren bir tablo yapalım.
Şimdi bunu şu şekilde yapalım. İkinci satırdaki herhangi bir sayıyı alın ve bunu ilk satırdaki karşılık gelen sayıya bölün. Örneğin:
Bölümde her zaman aynı sayının elde edildiğini görüyorsunuz. Sonuç olarak, belirli bir doğrudan orantılı büyüklük çifti için, bir miktarın herhangi bir değerinin başka bir miktarın karşılık gelen değerine bölünmesi oranı sabit bir sayıdır (yani değişmez). Örneğimizde bu bölüm 10,4'tür. Bu sabit sayıya orantı faktörü denir. İÇİNDE bu durumda bir ölçü biriminin, yani bir kilogram malın fiyatını ifade eder.
Orantılılık katsayısı nasıl bulunur veya hesaplanır? Bunu yapmak için, bir niceliğin herhangi bir değerini alıp diğerinin karşılık gelen değerine bölmeniz gerekir.
Bir miktarın bu keyfi değerini harfle gösterelim. en ve başka bir miktarın karşılık gelen değeri - harf X , sonra orantılılık katsayısı (bunu belirtiyoruz) İLE) bölme işlemine göre buluruz:
Bu eşitlikte en - bölünebilir, X - bölen ve İLE- bölüm ve bölme özelliği gereği, temettü, bölenin bölümle çarpımına eşit olduğundan şunu yazabiliriz:
y = k X
Ortaya çıkan eşitliğe denir Doğru orantılılık formülü. Bu formülü kullanarak, diğer niceliğin karşılık gelen değerlerini ve orantı katsayısını biliyorsak, doğru orantılı niceliklerden birinin herhangi bir sayıdaki değerini hesaplayabiliriz.
Örnek. Fizikten ağırlığı biliyoruz R herhangi bir cismin özgül ağırlığına eşittir D bu cismin hacmiyle çarpılır V yani R = D V.
Farklı hacimlerde beş demir çubuk alalım; bilmek spesifik yer çekimi demir (7.8), bu boşlukların ağırlıklarını aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayabiliriz:
R = 7,8 V.
Bu formülü formülle karşılaştırmak en = İLE X , bunu görüyoruz y = R, x = V ve orantılılık katsayısı İLE= 7,8. Formül aynı sadece harfler farklı.
Bu formülü kullanarak bir tablo yapalım: 1. boşluğun hacmi 8 metreküp olsun. cm ise ağırlığı 7,8 · 8 = 62,4 (g) olur. 2. boşluğun hacmi 27 metreküptür. cm Ağırlığı 7,8 × 27 = 210,6 (g). Tablo şöyle görünecek:
Formülü kullanarak bu tabloda eksik olan sayıları hesaplayın R= D V.
§ 133. Doğrudan orantılı büyüklüklerle problemleri çözmenin diğer yöntemleri.
Önceki paragrafta, durumu doğru orantılı büyüklükler içeren bir problemi çözdük. Bu amaçla öncelikle doğru orantı formülünü türettik ve daha sonra bu formülü uyguladık. Şimdi benzer sorunları çözmenin iki yolunu daha göstereceğiz.
Bir önceki paragrafta tabloda verilen sayısal verileri kullanarak bir problem oluşturalım.
Görev. 8 metreküp hacimli boş. cm ağırlığı 62,4 gr. 64 metreküp hacimli bir boşluğun ağırlığı ne kadar olacaktır? santimetre?
Çözüm. Bilindiği gibi demirin ağırlığı hacmiyle orantılıdır. 8 cu ise. cm ağırlığı 62,4 g, ardından 1 cu. cm 8 kat daha az ağırlığa sahip olacak, yani.
62,4:8 = 7,8 (g).
64 metreküp hacimli boş. cm, 1 metreküp boşluktan 64 kat daha ağır olacaktır. cm, yani
7,864 = 499,2(g).
Sorunumuzu birliğe indirgeyerek çözdük. Bu ismin anlamı, ilk soruda bunu çözmek için hacim biriminin ağırlığını bulmamız gerektiği gerçeğiyle doğrulanmaktadır.
2. Orantı yöntemi. Aynı problemi orantı yöntemini kullanarak çözelim.
Demirin ağırlığı ve hacmi doğru orantılı miktarlar olduğundan, bir miktarın (hacim) iki değerinin oranı, başka bir miktarın (ağırlık) karşılık gelen iki değerinin oranına eşittir, yani.
(mektup R ham parçanın bilinmeyen ağırlığını belirledik). Buradan:
(G).
Problem orantı yöntemi kullanılarak çözüldü. Bu, sorunu çözmek için koşulda yer alan sayılardan bir oran derlendiği anlamına gelir.
§ 134. Değerler ters orantılıdır.
Şu problemi düşünün: “Beş mason toplayabilir. Tuğla duvar 168 gün içinde evde. 10, 8, 6 vb. duvar ustalarının aynı işi kaç günde tamamlayabileceklerini belirleyin.”
Bir evin duvarlarını 5 duvarcı 168 günde örerse, o zaman (aynı emek verimliliğiyle) 10 duvarcı bunu yarı sürede yapabilir, çünkü ortalama 10 kişi 5 kişiden iki kat daha fazla iş yapar.
İşçi sayısı ve çalışma saatlerindeki değişiklikleri takip edebileceğimiz bir tablo çizelim.
Örneğin 6 işçinin kaç gün sürdüğünü bulmak için önce bir işçinin kaç gün sürdüğünü (168 5 = 840), daha sonra 6 işçinin kaç gün sürdüğünü (840: 6 = 140) hesaplamanız gerekir. Bu tabloya baktığımızda her iki niceliğin de altı farklı değer aldığını görüyoruz. Birinci büyüklüğün her değeri belirli bir değere karşılık gelir; ikinci değerin değeri, örneğin 10, 84'e karşılık gelir, 8 sayısı, 105 sayısına karşılık gelir, vb.
Her iki büyüklüğün değerlerini soldan sağa doğru düşünürsek üst büyüklüğün değerlerinin arttığını, alt büyüklüğün değerlerinin ise azaldığını görürüz. Artış ve azalışlar şu yasaya tabidir: Harcanan çalışma süresinin değerleri azaldıkça, işçi sayısı değerleri de aynı oranda artar. Bu fikir daha da basit bir şekilde şu şekilde ifade edilebilir: Herhangi bir göreve ne kadar çok işçi katılırsa, işi tamamlamak için o kadar az zamana ihtiyaç duyarlar. belli işler. Bu problemde karşılaştığımız iki niceliğe denir ters orantı.
Böylece, iki nicelik birbiriyle, birinin değeri birkaç kez artarken (azalırken), diğerinin değeri aynı miktarda azalacak (artacak) şekilde ilişkiliyse, bu tür niceliklere ters orantılı nicelikler denir. .
Hayatta buna benzer pek çok nicelik vardır. Örnekler verelim.
1. 150 ruble için ise. Birkaç kilogram şeker almanız gerekiyorsa, şeker miktarı bir kilogramın fiyatına bağlı olacaktır. Fiyat ne kadar yüksek olursa, bu parayla o kadar az mal satın alabilirsiniz; bu tablodan görülebilir:
Şekerin fiyatı birkaç kat arttıkça 150 rubleye alınabilecek kilogram şeker sayısı da aynı oranda azalıyor. Bu durumda iki miktar (ürünün ağırlığı ve fiyatı) ters orantılıdır.
2. İki şehir arası mesafe 1.200 km ise hareket hızına bağlı olarak farklı sürelerde katedilebilir. Var olmak Farklı yollar ulaşım: yürüyerek, at sırtında, bisikletle, tekneyle, arabayla, trenle, uçakla. Hız ne kadar düşük olursa, hareket etmek o kadar fazla zaman alır. Bu tablodan görülebilir:
Hızın birkaç kez artmasıyla seyahat süresi aynı miktarda azalır. Bu, bu koşullar altında hız ve zamanın ters orantılı büyüklükler olduğu anlamına gelir.
§ 135. Ters orantılı büyüklüklerin özelliği.
Önceki paragrafta incelediğimiz ikinci örneği ele alalım. Orada iki nicelikle ilgilendik; hız ve zaman. Bu büyüklüklerin değer tablosuna soldan sağa bakarsak, birinci büyüklüğün (hız) değerlerinin arttığını, ikinci (zaman) değerlerinin azaldığını ve Zaman azaldıkça hız aynı oranda artar. Bir miktarın bazı değerlerinin oranını yazarsanız, bunun başka bir miktarın karşılık gelen değerlerinin oranına eşit olmayacağını anlamak zor değildir. Hatta üst değerin dördüncü değerinin yedinci değere oranını (40:80) alırsak, alt değerin dördüncü ve yedinci değerlerinin oranına (30:80) eşit olmayacaktır. 15). Bu şekilde yazılabilir:
40:80, 30:15'e veya 40:80 =/=30:15'e eşit değildir.
Ancak bu ilişkilerden biri yerine tam tersini alırsak eşitlik elde ederiz, yani bu ilişkilerden bir orantı oluşturmak mümkün olacaktır. Örneğin:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
Yukarıdakilere dayanarak, şu sonuca varabiliriz: eğer iki miktar ters orantılıysa, o zaman bir miktarın keyfi olarak alınan iki değerinin oranı, başka bir miktarın karşılık gelen değerlerinin ters oranına eşittir.
§ 136. Ters orantılılık formülü.
Problemi düşünün: “6 parça ipek kumaş var farklı boyutlar Ve farklı çeşitler. Tüm parçaların maliyeti aynıdır. Tek parça 20 ruble fiyatında 100 m kumaş içerir. Metre başına Bu parçalardaki kumaşın bir metresi sırasıyla 25, 40, 50, 80, 100 rubleye mal oluyorsa diğer beş parçanın her birinde kaç metre vardır?” Bu sorunu çözmek için bir tablo oluşturalım:
Bu tablonun üst satırındaki boş hücreleri doldurmamız gerekiyor. Öncelikle ikinci parçada kaç metre olduğunu belirlemeye çalışalım. Bu şöyle yapılabilir. Sorunun koşullarından tüm parçaların maliyetinin aynı olduğu bilinmektedir. İlk parçanın maliyetini belirlemek kolaydır: 100 metre içerir ve her metrenin maliyeti 20 rubledir, bu da ilk ipek parçasının 2.000 ruble değerinde olduğu anlamına gelir. İkinci ipek parçası aynı miktarda ruble içerdiğinden, 2.000 rubleyi bölüyoruz. bir metre yani 25 fiyatına ikinci parçanın ölçüsünü buluyoruz: 2.000: 25 = 80 (m). Aynı şekilde diğer tüm parçaların boyutunu da bulacağız. Tablo şöyle görünecek:
Metre sayısı ile fiyat arasında ters orantılı bir ilişkinin olduğunu görmek kolaydır.
Gerekli hesaplamaları kendiniz yaparsanız, her seferinde 2.000 sayısını 1 m fiyatına bölmeniz gerektiğini fark edeceksiniz.Tam tersine, parçanın metre cinsinden boyutunu 1 m fiyatıyla çarpmaya başlarsanız, fark edeceksiniz. , her zaman 2.000 sayısını alacaksınız.Bu ve her parça 2.000 rubleye mal olduğu için beklemek gerekiyordu.
Buradan şu sonucu çıkarabiliriz: belirli bir ters orantılı büyüklük çifti için, bir miktarın herhangi bir değerinin başka bir miktarın karşılık gelen değeriyle çarpımı sabit bir sayıdır (yani değişmez).
Bizim problemimizde bu çarpım 2.000'e eşit.Hareket hızından ve bir şehirden diğerine gitmek için gereken zamandan bahseden önceki problemde, o problem için de sabit bir sayının (1.200) olduğunu kontrol edin.
Her şeyi hesaba katarak ters orantı formülünü elde etmek kolaydır. Bir miktarın belirli bir değerini harfle gösterelim X ve başka bir miktarın karşılık gelen değeri harfle temsil edilir en . Daha sonra yukarıdakilere dayanarak çalışma X Açık en harfiyle gösterdiğimiz sabit bir değere eşit olmalıdır İLE yani
xy = İLE.
Bu eşitlikte X - çarpma en - çarpan ve k- iş. Çarpma özelliğine göre çarpan, çarpımın çarpıma bölünmesine eşittir. Araç,
Bu ters orantı formülüdür. Bunu kullanarak, diğerinin değerlerini ve sabit sayıyı bilerek, ters orantılı niceliklerden birinin herhangi bir sayıda değerini hesaplayabiliriz. İLE.
Başka bir sorunu ele alalım: “Bir makalenin yazarı, kitabı normal formatta ise 96 sayfa olacağını, cep formatı ise 300 sayfa olacağını hesapladı. Denedi farklı varyantlar 96 sayfayla başladı ve daha sonra sayfa başına 2.500 mektup yazdı. Daha sonra aşağıdaki tabloda gösterilen sayfa numaralarını aldı ve sayfada kaç harf olacağını tekrar hesapladı.”
Kitabın 100 sayfa olması durumunda sayfada kaç harf olacağını hesaplamaya çalışalım.
2.500 96 = 240.000 olduğundan kitabın tamamında 240.000 harf vardır.
Bunu dikkate alarak ters orantı formülünü kullanıyoruz ( en - sayfadaki harf sayısı, X - sayfa sayısı):
Örneğimizde İLE= 240.000 dolayısıyla
Yani sayfada 2.400 harf var.
Benzer şekilde, bir kitabın 120 sayfa olması durumunda sayfadaki harf sayısının şöyle olacağını öğreniyoruz:
Masamız şöyle görünecek:
Kalan hücreleri kendiniz doldurun.
§ 137. Ters orantılı büyüklüklerle ilgili problemleri çözmenin diğer yöntemleri.
Önceki paragrafta koşulları ters orantılı büyüklükler içeren problemleri çözdük. Önce ters orantı formülünü çıkardık, sonra bu formülü uyguladık. Şimdi bu tür problemler için iki çözüm daha göstereceğiz.
1. Birliğe indirgeme yöntemi.
Görev. 5 tornacı bir işi 16 günde yapabiliyor. Bu işi 8 işçi kaç günde tamamlayabilir?
Çözüm. Tornacı sayısı ile çalışma saatleri arasında ters bir ilişki vardır. Eğer 5 tornacı bir işi 16 günde yaparsa, bir kişinin bunun için 5 kat daha fazla zamana ihtiyacı olacaktır, yani.
5 tornacı işi 16 günde tamamlıyor,
1 tornacı bu işi 16 5 = 80 günde tamamlar.
Problemde 8 tornanın işi kaç günde tamamlayacağı sorulmaktadır. Açıkçası, 1 turner'dan 8 kat daha hızlı işle başa çıkacaklar, yani.
80: 8 = 10 (gün).
Sorunun birliğe indirgenerek çözümü budur. Burada öncelikle bir işçinin işi tamamlaması için gereken süreyi belirlemek gerekiyordu.
2. Orantı yöntemi. Aynı sorunu ikinci şekilde çözelim.
İşçi sayısı ile çalışma süresi arasında ters orantılı bir ilişki olduğundan şunu yazabiliriz: 5 tornacının çalışma süresi yeni tornacı sayısı (8) 8 tornacının çalışma süresi önceki tornacı sayısı (5) mektupla gerekli çalışma süresi X ve gerekli sayıları kelimelerle ifade edilen orana değiştirin:
Aynı problem oranlar yöntemiyle de çözülür. Bunu çözmek için problem tanımında yer alan sayılardan bir orantı oluşturmamız gerekiyordu.
Not.Önceki paragraflarda doğrudan ve ters orantı konusunu inceledik. Doğa ve yaşam bize niceliklerin doğrudan ve ters orantılı bağımlılığının birçok örneğini verir. Ancak bu iki bağımlılık türünün yalnızca en basiti olduğunu belirtmek gerekir. Bunların yanı sıra nicelikler arasında daha karmaşık başka bağımlılıklar da vardır. Ayrıca herhangi iki nicelik aynı anda artıyorsa aralarında mutlaka doğru bir orantı olduğu düşünülmemelidir. Doğrudan çok uzak. Örneğin geçiş ücretleri demiryolu mesafeye bağlı olarak artar: ne kadar uzağa gidersek o kadar fazla öderiz ancak bu, ödemenin mesafeyle orantılı olduğu anlamına gelmez.
Bağımlılık Türleri
Pili şarj etmeye bakalım. İlk miktar olarak şarj olması için gereken süreyi alalım. İkinci değer ise şarj edildikten sonra çalışacağı süredir. Pili ne kadar uzun süre şarj ederseniz, o kadar uzun süre dayanır. Pil tamamen şarj olana kadar işlem devam edecektir.
Pilin çalışma süresinin şarj edildiği zamana bağlı olması
Not 1
Bu bağımlılığa denir dümdüz:
Bir değer arttıkça ikincisi de artar. Bir değer azaldıkça ikinci değer de azalır.
Başka bir örneğe bakalım.
Bir öğrenci ne kadar çok kitap okursa o kadar çok daha az hata bunu dikte ederek yapacak. Veya dağlarda ne kadar yükseğe çıkılırsa atmosfer basıncı o kadar düşük olur.
Not 2
Bu bağımlılığa denir tersi:
Bir değer artarken ikincisi azalır. Bir değer azaldıkça ikinci değer artar.
Böylece, şu durumda doğrudan bağımlılık her iki miktar da eşit olarak değişir (hem artar hem de azalır) ve bu durumda ters ilişki– tam tersi (biri artar, diğeri azalır veya tam tersi).
Miktarlar arasındaki bağımlılıkların belirlenmesi
örnek 1
Bir arkadaşı ziyaret etmek için gereken süre 20$ dakikadır. Hız (birinci değer) $2$ kat artarsa, arkadaşa giden yolda harcanacak zamanın (ikinci değer) nasıl değiştiğini bulacağız.
Açıkçası, süre $2$ kat azalacak.
Not 3
Bu bağımlılığa denir orantılı:
Bir çokluğun değişme sayısı, ikinci çokluğun değişme sayısı.
Örnek 2
Mağazadaki 2 dolarlık somun ekmek için 80 ruble ödemeniz gerekiyor. Eğer 4$'lık somun ekmek almanız gerekiyorsa (ekmek miktarı 2$ kat artar), kaç kat daha fazla ödemeniz gerekir?
Açıkçası, maliyet de 2$ kat artacak. Orantılı bağımlılığa bir örneğimiz var.
Her iki örnekte de orantılı bağımlılıklar dikkate alınmıştır. Ancak ekmek somunları örneğinde miktarlar tek yönde değişir, dolayısıyla bağımlılık şu şekildedir: dümdüz. Bir arkadaşının evine gitme örneğinde hız ile zaman arasındaki ilişki şu şekildedir: tersi. Böylece var doğru orantılı ilişki Ve ters orantılı ilişki.
Doğrudan orantılılık
$2$ orantılı miktarları ele alalım: ekmek somunlarının sayısı ve maliyeti. 2 dolarlık somun ekmeğin fiyatı 80 dolar ruble olsun. Çöreklerin sayısı 4$ kat artarsa (8$$ çörek), toplam maliyeti 320$ ruble olacaktır.
Çörek sayısının oranı: $\frac(8)(2)=4$.
Bun maliyet oranı: $\frac(320)(80)=$4.
Gördüğünüz gibi bu ilişkiler birbirine eşittir:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
Tanım 1
İki oranın eşitliğine denir oran.
Doğrudan orantılı bir bağımlılıkla, birinci ve ikinci miktarlardaki değişiklik çakıştığında bir ilişki elde edilir:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
Tanım 2
İki miktara denir doğrudan orantılı Bunlardan biri değiştiğinde (arttığında veya azaldığında), diğer değer de aynı miktarda değişirse (sırasıyla artar veya azalırsa).
Örnek 3
Araba 2$ saatte 180$ km yol kat etti. Aynı hızla mesafenin $2$ katı kadar mesafe kat edeceği süreyi bulun.
Çözüm.
Zaman mesafeyle doğru orantılıdır:
$t=\frac(S)(v)$.
Sabit bir hızla mesafe kaç kat artarsa, zaman da aynı miktarda artacaktır:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
Araba 2$ saatte 180$ km yol kat etti
Araba $x$ saatte 180 $ \cdot 2=360$ km yol alacak
Araba ne kadar uzağa giderse, o kadar uzun sürecektir. Sonuç olarak büyüklükler arasındaki ilişki doğru orantılıdır.
Orantı kuralım:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
Cevap: Arabanın 4$ saate ihtiyacı olacak.
Ters orantılılık
Tanım 3
Çözüm.
Zaman hız ile ters orantılıdır:
$t=\frac(S)(v)$.
Aynı yolda hız kaç kat artarsa zaman da aynı oranda azalır:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Sorunun durumunu tablo şeklinde yazalım:
Araba 60$ km'yi 6$ saatte kat etti
Araba $x$ saatte 120$ km yol kat edecek
Araba ne kadar hızlı olursa, o kadar az zaman alır. Sonuç olarak büyüklükler arasındaki ilişki ters orantılıdır.
Orantı kuralım.
Çünkü orantılılık terstir, orandaki ikinci ilişki tersinedir:
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
Cevap: Arabanın 3$ saate ihtiyacı olacak.
Temel hedefler:
- miktarların doğrudan ve ters orantılı bağımlılığı kavramını tanıtmak;
- bu bağımlılıkları kullanarak problemlerin nasıl çözüleceğini öğretin;
- problem çözme becerilerinin gelişimini teşvik etmek;
- orantıları kullanarak denklem çözme becerisini pekiştirmek;
- adımları sıradan ile tekrarlayın ve ondalık sayılar;
- geliştirmek mantıksal düşünmeöğrenciler.
DERSLER SIRASINDA
BEN. Faaliyet için kendi kaderini tayin etme(Düzenleme zamanı)
- Çocuklar! Bugün derste oranlar kullanılarak çözülen problemlerle tanışacağız.
II. Bilgiyi güncelleme ve faaliyetlerdeki zorlukları kaydetme
2.1. Sözlü çalışma (3 dakika)
– İfadelerin anlamını bulun ve cevaplarda şifrelenmiş kelimeyi bulun.
14 – sn; 0,1 – ve; 7 – l; 0,2 – a; 17 – içinde; 25 – ila
– Ortaya çıkan kelime güçtür. Tebrikler!
– Bugünkü dersimizin mottosu: Güç bilgidedir! Arıyorum; bu öğrendiğim anlamına geliyor!
– Ortaya çıkan sayılardan bir oran oluşturun. (14:7 = 0,2:0,1 vb.)
2.2. Bildiğimiz nicelikler arasındaki ilişkiyi düşünelim. (7 dakika)
– arabanın sabit hızla kat ettiği mesafe ve hareket süresi: S = v t ( artan hız (zaman) ile mesafe artar;
– araç hızı ve yolculukta harcanan süre: v=S:t(yolu kat etme süresi arttıkça hız azalır);
–
tek fiyattan satın alınan malların maliyeti ve miktarı:
C = a · n (fiyattaki artış (azalış) ile satın alma maliyeti artar (azalır));
– ürünün fiyatı ve miktarı: a = C: n (miktar arttıkça fiyat düşer)
– dikdörtgenin alanı ve uzunluğu (genişlik): S = a · b (uzunluk (genişlik) arttıkça alan artar;
– dikdörtgenin uzunluğu ve genişliği: a = S: b (uzunluk arttıkça genişlik azalır;
– aynı emek verimliliğiyle bazı işleri yapan işçi sayısı ve bu işi tamamlamak için gereken süre: t = A: n (işçi sayısı arttıkça işin yapılması için harcanan süre azalır), vb. .
Bir nicelik birkaç kez arttığında diğerinin hemen aynı miktarda arttığı (örnekler oklarla gösterilmiştir) bağımlılıklar ve bir nicelik birkaç kez arttığında ikinci niceliğin aynı miktarda azaldığı bağımlılıklar elde ettik. aynı sayıda.
Bu tür bağımlılıklara doğrudan ve ters orantılılık denir.
Doğrudan orantılı bağımlılık– bir değer birkaç kez arttığında (azaldığında) ikinci değerin aynı miktarda arttığı (azaldığı) bir ilişki.
Ters orantılı ilişki– bir değer birkaç kez arttığında (azaldığında) ikinci değerin aynı miktarda azaldığı (arttığı) bir ilişki.
III. Bir öğrenme görevi ayarlama
– Karşı karşıya olduğumuz sorun nedir? (Doğrudan ve ters bağımlılıklar arasında ayrım yapmayı öğrenin)
- Bu - hedef bizim dersimiz. Şimdi formüle edin başlık ders. (Doğrudan ve ters orantılı ilişki).
- Tebrikler! Dersin konusunu not defterlerinize yazın. (Öğretmen konuyu tahtaya yazar.)
IV. Yeni bilginin "keşfi"(10 dk)
199 numaralı probleme bakalım.
1. Yazıcı 27 sayfayı 4,5 dakikada yazdırır. 300 sayfanın basılması ne kadar sürer?
27 sayfa – 4,5 dk.
300 sayfa - x?
2. Kutuda her biri 250 g olan 48 paket çay bulunmaktadır. Bu çaydan kaç tane 150 gramlık paket alacaksınız?
48 paket – 250 gr.
X? – 150 gr.
3. Araba 25 litre benzin kullanarak 310 km yol kat etti. Bir araba 40 litrelik dolu bir depoyla ne kadar uzağa gidebilir?
310 km – 25 lt
X? – 40 litre
4. Debriyaj dişlilerinden biri 32, diğeri 40 dişlidir. Birinci vites 215 devir yaparken ikinci vites kaç devir yapar?
32 diş – 315 devir.
40 diş – x?
Orantıyı derlemek için okların bir yönü gereklidir; bunun için ters orantılılıkta bir oranın tersi ile değiştirilir.
Öğrenciler tahtada niceliklerin anlamını bulurlar; öğrenciler seçtikleri bir problemi anında çözerler.
– Doğrudan ve ters orantılı bağımlılığı olan problemlerin çözümü için bir kural oluşturun.
Tahtada bir tablo belirir:
V. Dış konuşmada birincil konsolidasyon(10 dk)
Çalışma sayfası ödevleri:
- 21 kg pamuk tohumundan 5,1 kg yağ elde edildi. 7 kg pamuk tohumundan ne kadar yağ elde edilir?
- Stadyumun inşası için 5 buldozer 210 dakikada alanı temizledi. 7 buldozerin bu alanı temizlemesi ne kadar sürer?
VI. Bağımsız iş Standarda göre kendi kendine test ile(5 dakika)
İki öğrenci 225 numaralı görevi bağımsız olarak gizli tahtalarda ve geri kalanını not defterlerinde tamamlar. Daha sonra algoritmanın çalışmasını kontrol ederler ve bunu tahtadaki çözümle karşılaştırırlar. Hatalar düzeltilir ve nedenleri belirlenir. Görev doğru bir şekilde tamamlanırsa öğrenciler yanlarına “+” işareti koyarlar.
Bağımsız çalışmalarda hata yapan öğrenciler danışmanlardan yararlanabilirler.
VII. Bilgi sistemine dahil olma ve tekrarlama№ 271, № 270.
Yönetim kurulunda altı kişi çalışıyor. 3-4 dakika sonra tahtada çalışan öğrenciler çözümlerini sunarlar, geri kalanlar ise ödevleri kontrol ederek tartışmaya katılırlar.
VIII. Etkinlik üzerine düşünme (ders özeti)
– Derste yeni ne öğrendiniz?
-Neyi tekrarladılar?
– Orantı problemlerini çözme algoritması nedir?
– Hedefimize ulaştık mı?
– Çalışmalarınızı nasıl değerlendiriyorsunuz?
İki miktara denir doğrudan orantılı Biri birkaç kat arttığında diğeri de aynı oranda artıyorsa. Buna göre biri birkaç kat azaldığında diğeri de aynı miktarda azalır.
Bu miktarlar arasındaki ilişki doğrudan orantılı bir ilişkidir. Doğrudan orantılı bağımlılık örnekleri:
1) sabit bir hızda kat edilen mesafe zamanla doğru orantılıdır;
2) bir karenin çevresi ve kenarı doğru orantılı büyüklüklerdir;
3) Tek fiyattan satın alınan bir ürünün maliyeti, miktarıyla doğru orantılıdır.
Doğrudan orantılı bir ilişkiyi ters olandan ayırmak için şu atasözünü kullanabilirsiniz: "Ormanın derinliklerine doğru, daha fazla yakacak odun."
Orantıları kullanarak doğrudan orantılı büyüklükleri içeren problemleri çözmek uygundur.
1) 10 parça yapmak için 3,5 kg metale ihtiyacınız vardır. Bu parçalardan 12 tanesini yapmak için ne kadar metal harcanacak?
(Şöyle mantık yürütüyoruz:
1. Dolu sütuna şu yönde bir ok yerleştirin: Daha daha az.
2. Ne kadar çok parça olursa, bunları yapmak için o kadar çok metal gerekir. Bu, bunun doğrudan orantılı bir ilişki olduğu anlamına gelir.
12 parça yapmak için x kg metale ihtiyaç duyulduğunu varsayalım. Oranı oluşturuyoruz (okun başından sonuna kadar):
12:10=x:3,5
Bulmak için uç terimlerin çarpımını bilinen orta terime bölmeniz gerekir:
Bu, 4,2 kg metalin gerekli olacağı anlamına gelir.
Cevap: 4,2 kg.
2) 15 metre kumaş için 1680 ruble ödediler. Bu kumaşın 12 metre fiyatı ne kadar?
(1. Dolu sütuna en büyük sayıdan en küçüğüne doğru bir ok yerleştirin.
2. Ne kadar az kumaş satın alırsanız, o kadar az ödemeniz gerekir. Bu, bunun doğrudan orantılı bir ilişki olduğu anlamına gelir.
3. Bu nedenle ikinci ok birinciyle aynı yöndedir).
X rublenin 12 metre kumaşa mal olduğunu varsayalım. Bir orantı yaparız (okun başından sonuna kadar):
15:12=1680:x
Oranın bilinmeyen ekstrem terimini bulmak için orta terimlerin çarpımını oranın bilinen ekstrem terimine bölün:
Bu, 12 metrenin 1344 rubleye mal olduğu anlamına gelir.
Cevap: 1344 ruble.
