1.4 Doğrusal olmayan sistemleri incelemeye yönelik yöntemlerin analizi

1. Belirsiz doğrusal olmayan karakteristik

2. Röle karakteristikli sistem

3. Röle tipinin doğrusal olmaması

Mutlak proses kararlılığı

Doğrusal olmayan otomatik kontrol sistemlerini incelemek için yaklaşık yöntemler

Stabilite kriteri Popova V.M.

(Romen bilim adamı)

Bu, koşulu karşılayan kesin bir doğrusal olmayanlığa sahip bir NL ACS'nin kararlılığını incelemek için kullanılan bir frekans yöntemidir.

Denge pozisyonunun stabilitesi dikkate alınır

Yeterli koşullar mutlak istikrar Bu tür sistemler V.M. Popov tarafından formüle edildi.

1. Transfer fonksiyonu tanıtıldı

Öyle varsayılıyor
asimptotik olarak kararlı bir sisteme karşılık gelir (kararlılık kriterlerinden herhangi biri tarafından kontrol edilir).

2.Frekans yanıtı bulundu
.

3. Değiştirilmiş bir frekans tepkisi oluşturuldu
,

ilişki tarafından belirlenir

Tekrar
=Yeniden
,

Ben
= .

4. Karmaşık düzlemde inşa edilmiştir
.

Popov kriteri:

Eğer bir noktadan geçersek
gerçek eksen üzerine düz bir çizgi çizilebilir, böylece değiştirilmiş AFC
bu düz çizginin bir tarafında yatıyordu, ardından kapalı bir NL kundağı motorlu silah kesinlikle kararlı olacaktır.

Örnek. NL kundağı motorlu topların mutlak stabilitesini Şekil 1'deki blok diyagramla araştırın;

Her şeyden beri 2. dereceden karakteristik denklemde sıfırdan büyüktür, o zaman
- asimptotik olarak kararlıdır ve dolayısıyla Popov'un kararlılık kriterinin (1) koşulu sağlanır.

Tekrar
=Yeniden
=

Ben
=Ben
=

Bir AFFC inşa ediyoruz
.

Özel bir form için asimptotik kararlılık

doğrusal olmayan özellikler

Dinlenme durumu kesinlikle stabil olacaktır

1.
asimptotik olarak kararlı bir sisteme karşılık gelir.

R=0 . Bu yukarıda tartışılan özelliğin özel bir durumudur.

Mutlak kararlılık için yeterli koşul – koşul (2) yerine

1.
- asimptotik olarak kararlı.

2.Ben

Şimdi stabilizasyon sistemlerinin (nominal mod - dinlenme durumu) stabilitesini değil, nominal modun giriş sinyali ile karakterize edildiği durumu ele alalım.
ve çıkış sinyali
, yani sınırlı sürekli Zamanın fonksiyonları.

Doğrusal olmayan elemanın şu forma sahip olduğunu varsayacağız:
, Nerede
koşulu karşılayan sürekli tek değerli bir fonksiyondur

onlar. doğrusal olmayan özelliğin değişim hızı sınırlıdır. Bu oldukça katı bir durumdur.

Bu durumda sınırlı sürecin mutlak istikrarını sağlamak için
,
koşulların karşılanması yeterlidir6

1.
- asimptotik olarak stabildi.

2.
.

Özel durumda ne zaman R=0

veya

Popov'un fikirlerinin gelişimiyle ilgili teori henüz tamamlanmadı; burada yeni, daha güçlü sonuçlar mümkün. Bugüne kadar elde edilen bu tür sonuçların bir özeti Naumov'un "Doğrusal Olmayan Otomatik Kontrol Sistemleri" kitabında mevcuttur.

Harmonik denge yöntemi

NL ACS'yi incelerken bazen çıkış değerindeki periyodik değişikliklerin görünümünü gözlemlemek mümkündür. y(T) durumlarda bile
Kundağı motorlu silahları incelerken kendimizi sınırlandırırsak doğrusal sabit katsayılı bir model varsa, belirtilen fenomen (doğal salınımlar) yalnızca karakteristik denklemde tamamen hayali kökler varsa meydana gelebilir
.

Ancak bu açıklamayla birlikte sistemin parametrelerindeki küçük bir değişiklik, kökü hayali eksenden sola veya sağa "kaydıracak" ve doğal salınımlar ya sönecek ya da sallanacaktır. Uygulamada, doğrusal olmayan sistemlerde, çıkış sinyalinin periyodik salınımları, sistem parametrelerindeki küçük değişikliklerle devam eder.

Bu tür sönümsüz salınımlar sistemin doğrusal olmayan doğasıyla açıklanmaktadır. Bunlara kendi kendine salınımlar denir.

Yöntemi düşünün harmonik denge, bu, doğrusal kısmın faz-frekans tepkisinin karşılıklı akışına ve doğrusal olmayan elemanın özelliklerine dayanarak kendi kendine salınımların varlığını veya yokluğunu belirlemeyi mümkün kılar.

Doğrusal olmayan bir elemanın tanımlandığı tek döngülü bir sistemi ele alalım.

(1)

ve transfer fonksiyonlu doğrusal parça
.

Sözde:

1.
kararlı bir sisteme karşılık gelir,

2. doğrusal olmayan karakteristik
- garip simetrik, yani

3. giriş sinyali
yani Bu bir stabilizasyon sistemidir.

Çıkış sinyalini arayacağız y(T) gibi

, (2)

Nerede - kendi kendine salınımların genliği,

- kendi kendine salınımların sıklığı.

Ve belirlenmesi gerekiyor.

Sinüzoidal Hipotez y(T) keyfi görünüyor. Ancak bu hipotezin doğal hale gelmesi için başka koşullar da sunulacaktır.

Çünkü
,(3)

Hadi sinyali kaçıralım
doğrusal olmayan eleman ve doğrusal kısım aracılığıyla sırayla genliği belirlemenin mümkün olacağı denklemleri bulun ve frekans NL kundağı motorlu silahlarda kendiliğinden salınımlar.

İzlenecek yol
doğrusal eleman aracılığıyla

Çünkü
- periyodik fonksiyon, ardından sinyal
doğrusal olmayan çıktıda eleman aynı zamanda periyodik bir fonksiyon olacaktır ancak sinüs dalgasından farklıdır.

Menzil
Menzil

Bilindiği gibi herhangi bir periyodik fonksiyon Fourier serisiyle temsil edilebilir:

(4)

Formül (4)'teki serbest terimin sıfıra eşit olduğunu varsayıyoruz. Bu, örneğin doğrusal olmayan bir elemanın özelliği koşulu karşıladığında gerçekleşecektir.

yani garip bir fonksiyondur.

Burada Fourier katsayıları Ve belirlenir:

(5)

Sağ taraftaki her terimi çarpıp bölerek (4)'ü dönüştürelim.
(6)

şunu hatırlatalım

(8)

Böylece sinyal geçerken
Doğrusal olmayan bir eleman aracılığıyla, doğrusal olmayan elemanın çıkışında bir sinyal vardır
katları olan birçok harmonik içerir . (yukarıdaki resme bakın).

Sinyal Akışı
doğrusal kısım boyunca

Doğrusal sistemler teorisinden biliyoruz ki transfer fonksiyonuna sahip bir doğrusal bağlantının girişi
Kararlı bir sisteme karşılık gelen harmonik bir sinyal verir; kararlı durumda bu bağlantının çıkışında bir sinyal olacaktır.

Burada
- frekans yanıtı modülü
noktada ,

argüman
.

Bu ilişkileri kullanarak aşağıdaki ifadeleri yazabiliriz:
, serinin (8) tüm bileşenlerini doğrusal kısımdan ayrı ayrı geçirmek ve ardından elde edilen ifadeleri toplamak

Sistemin doğrusallığı nedeniyle böyle bir prosedür yasaldır.

Varsayarak elde ederiz
:

Sonuçta ortaya çıkan ifade (9)
oldukça karmaşık bir yapıya sahiptir. kullanılarak büyük ölçüde basitleştirilebilir. Filtre hipotezi.

Tipik temel birimlerin frekans özelliklerini inceleyerek, frekans tepkilerinin sıfıra yakın olduğunu gördük.

Filtre hipotezi, (9)'un sağ tarafındaki frekans tepkisinin artan frekansla o kadar hızlı azaldığı ve (9)'da yalnızca ilk terimin dikkate alınabileceği, buna karşılık gelen k=1 ve kalan şartların ihmal edilebilir olduğunu düşünün. Başka bir deyişle, filtre hipotezi, ACS'nin doğrusal kısmının pratik olarak yüksek frekanslı salınımların geçmesine izin vermediği hipotezidir. Bu nedenle formül (9) (ve bu, yöntemin yaklaşık değeridir) aşağıdaki şekilde basitleştirilmiştir:

Böylece, filtre hipotezi varsayımı altında sistemi kapatırken harmonik bir denge elde edeceğiz (bu nedenle yöntemin adı - harmonik denge yöntemi)

Nasıl kullanılacağına bakalım yöntem harmonik denge genliği belirlemek A ve frekans kendi kendine salınımlar.

Konsepti tanıtalım Doğrusal olmayan bir elemanın eşdeğer transfer fonksiyonu:

(11)

Eğer
(ve bu kesin simetrik doğrusal olmayan özelliklerle meydana gelir), o zaman

(12)

Kapalı bir ACS'nin karakteristik denklemi (Şekil 1) şu şekildedir:

veya frekans yanıtı

(13)

(14)

Hayal edelim

Daha sonra denklem (14) yeniden yazılacaktır:

=
(17)

Eşitlik (14) veya (17), kendi kendine salınım parametrelerini belirlemek için grafik analitik yöntemin temelidir A Ve .

Doğrusal parçanın faz-frekans tepkisi karmaşık düzlem üzerinde oluşturulmuştur

ve doğrusal olmayan elemanın özellikleri

Eğriler kesişiyorsa, ACS'de kendi kendine salınımlar vardır.

Eğrilerin kesişme noktasındaki kendi kendine salınımların frekansı
ve genlik şuna göredir:
.

Seçilen alana daha yakından bakalım

Eğrilerin kesişim noktasına en yakın noktaların genlik ve frekanslarını biliyoruz. Kesişme noktasındaki genlik ve frekans, örneğin segmentin ikiye bölünmesiyle belirlenebilir.

Harmonik doğrusallaştırma yöntemi

Bu, NL ACS'deki periyodik salınımları belirlemek için çok etkili bir yaklaşık yöntemdir.

Doğrusal olmamanın harmonik doğrusallaştırılması yöntemini uygulamak için şu gereksinimin karşılanması gerekir: doğrusal kısmın filtre özelliklerine sahip olması gerekir; yüksek frekansların geçmesine izin vermemelidir.

Pratikte bu gereksinim genellikle karşılanır.

Doğrusal olmayan bir eleman olsun

(1)

İzin vermek
(2)

Daha sonra
(3)

(1)'i Fourier serisine genişletelim:

Doğrusal olmayan fonksiyonu hatırlayın F(X) Fourier serisine genişletildiğinde şu forma sahiptir:

,
,

O zaman doğrusal olmama durumumuzun Fourier serisi şöyle görünecektir:

++daha yüksek harmonikler (4)

Sabit bir bileşen koyalım

Denklem (2)'den:

Denklem (3)'ten:

O halde denklem (4) yeniden yazılabilir:

Denklem (5)'te yüksek frekansları ihmal ediyoruz ve bu, yöntemin yaklaşımıdır.

Böylece, doğrusal olmayan eleman
doğrusallaştırılmış ifade (5) ile değiştirilir; bu ifade, doğrusal parça filtre hipotezi karşılandığında aşağıdaki formu alır:

(6)

Bu prosedüre harmonik doğrusallaştırma denir.

Oranlar
Ve
en sabit a Ve . Dinamik modda, değiştiklerinde A Ve , katsayılar
Ve
değişecek. Bu, harmonik doğrusallaştırma ile geleneksel doğrusallaştırma arasındaki farktır. (Geleneksel doğrusallaştırma ile doğrusallaştırılmış denklemin katsayısı İLE doğrusallaştırma noktasına bağlıdır). Doğrusallaştırma katsayılarının bağımlılığı A Ve NL ACS'ye (6) doğrusal sistemleri incelemek için yöntemler uygulamanıza ve NL ACS'nin geleneksel doğrusallaştırmayla tespit edilemeyen özelliklerini analiz etmenize olanak tanır.

Harmonik doğrusallaştırma katsayıları

bazı tipik doğrusal olmayan durumlar

Röle karakteristiği

2. Ölü bölgeli röle karakteristiği

,
Salınım genliği

3. Histerezis döngülü röle karakteristiği

,
,

4. Ölü bölge ve histerezis döngüsü ile röle karakteristiği

Şimdi kapalı bir sistem düşünün.

Doğrusal olmayan bir elemanın transfer fonksiyonu kavramını tanıtabiliriz

Daha sonra kapalı bir ACS'nin karakteristik denklemi:

veya

Kapalı bir sistemde sabit genlik ve frekansta doğal sönümsüz salınımlar ortaya çıktığında, harmonik doğrusallaştırma katsayıları sabit hale gelir ve otomatik kontrol sistemi doğrusal hale gelir. Doğrusal bir sistemde periyodik sönümsüz salınımların varlığı tamamen hayali köklerin varlığına işaret eder.

Böylece belirlemek için periyodikçözümler karakteristik denklemde değiştirilmelidir
. Burada - akım frekansı ve - kendi kendine salınımların sıklığı.

Bu denklemdeki bilinmeyenler Ve .

Bu denklemin reel ve sanal kısımlarını ayıralım.

İstenilen periyodik çözümün frekansı ve genliği için notasyonu tanıtalım:
,
.

İki bilinmeyenli iki denklem elde ediyoruz.

Bu denklemleri çözerek şunu buluruz: Ve - NL ACS'deki periyodik çözümlerin genliği ve sıklığı.

Bu denklemleri kullanarak yalnızca şunları belirleyebilirsiniz: Ve , ama aynı zamanda bir bağımlılık da inşa et Ve örneğin ACS'nin kazancından İLE.

Daha sonra göz önünde bulundurularak İLE değişkenleri yazıyoruz:

merak ediyor İLE, bulduk Ve yani
Ve

Seçebilmek İLE böylece

1. yeterli olmaz

2. kundağı motorlu silahlar için zararsız olurdu,

3. Kendi kendine salınım olmayacaktı.

Aynı denklemleri kullanarak iki parametrenin düzleminde mümkündür (örneğin, T Ve İLE) kendi kendine salınımların genliği ve frekansının eşit değerlerine sahip çizgiler oluşturun. Bu denklem için yeniden yazıyoruz:

Sayısal değerleri belirtme , alıyoruz
Ve

Bu grafiklerden seçebilirsiniz T Ve İLE.

Doğrusal olmayan otomatik kontrol sistemlerinde çözümlerin kararlılığının belirlenmesi

NL ACS'deki kendi kendine salınımlar kararlı periyodik çözümlere karşılık gelmelidir. Bu nedenle genliği bulduktan sonra ve frekanslar periyodik çözümler, bunların stabilite açısından incelenmesi gerekir.

Mikhailov'un hodografını kullanarak NL ACS'de periyodik çözümlerin kararlılığını incelemek için yaklaşık bir yöntem düşünelim.

NL kundağı motorlu silahlara izin ver

,
.
- harmonik doğrusallaştırma yöntemi kullanılarak elde edilmiştir.

Kapalı bir sistemin karakteristik denklemi

Yerine koyduğumuz karakteristik eğrinin denklemini (Mikhailov'un hodografı) yazalım.
.

- Mikhailov hodografı boyunca mevcut frekans değeri,

- harmonik doğrusallaştırmanın frekansı (kendi kendine salınımlar).

Daha sonra herhangi bir veri için kalıcı Ve Mikhailov eğrisi sıradan doğrusal sistemlerle aynı forma sahip olacaktır.

Karşılık gelen periyodik çözümler için Ve , Mikhailov'un hodografı koordinatların orijininden geçecektir (çünkü sistem stabilite sınırındadır).

Verdiğimiz periyodik çözümlerin kararlılığını belirlemek için artış

Eğer
Mikhailov eğrisi 1 pozisyonunu alacak ve ne zaman

- konum 2, o zaman periyodik çözüm kararlıdır.

Eğer
eğri 2 pozisyonunu alacaktır ve ne zaman
- konum 1 ise periyodik çözüm kararsızdır.

2.7.3.1. Doğrusal olmayan sistemleri incelemek için kesin yöntemler

1. Doğrudan Lyapunov yöntemi. Lyapunov'un doğrusal olmayan sistemlerin kararlılığına ilişkin teoremine dayanmaktadır. Lyapunov fonksiyonu, sistemin koordinatlarının işaret tanımlı bir fonksiyonu olan ve aynı zamanda zamanda işaret tanımlı bir türevi olan bir araştırma aparatı olarak kullanılmaktadır. Yöntemin uygulanması karmaşıklığı nedeniyle sınırlıdır.

2. Popov'un yöntemi (Romen bilim adamı) daha basittir, ancak yalnızca bazı özel durumlar için uygundur.

3. Parçalı doğrusal yaklaşıma dayalı yöntem. Bireysel doğrusal olmayan bağlantıların özellikleri, sorunun doğrusal olduğu ve oldukça basit bir şekilde çözülebildiği bir dizi doğrusal bölüme ayrılmıştır.

Doğrusal olmayan karakteristiklerin bölündüğü bölüm sayısı (röle karakteristikleri) küçükse yöntem kullanılabilir. Çok sayıda alanla bu zordur. Çözüm ancak bilgisayar yardımıyla mümkündür.

4. Faz uzayı yöntemi. Rastgele tipte doğrusal olmayanların yanı sıra çeşitli doğrusal olmayan özelliklere sahip sistemleri incelemenizi sağlar. Aynı zamanda faz uzayında doğrusal olmayan sistemde meydana gelen süreçlerin faz portresi adı verilen bir yapı oluşturulur. Faz portresinin ortaya çıkmasıyla, kararlılık, kendi kendine salınım olasılığı ve kararlı durumdaki doğruluk değerlendirilebilir. Ancak faz uzayının boyutu doğrusal olmayan sistemin diferansiyel denkleminin mertebesine eşittir. İkinci dereceden daha yüksek sistemlere başvuru neredeyse imkansızdır.

5. Rastgele süreçleri analiz etmek için Markov rastgele süreçler teorisinin matematiksel aygıtını kullanabilirsiniz. Ancak yöntemin karmaşıklığı ve analizde yalnızca birinci ve bazı durumlarda ikinci dereceden denklemler için gerekli olan Fokker-Planck denklemini çözme yeteneği, kullanımını sınırlamaktadır.

Bu nedenle, doğrusal olmayan sistemleri analiz etmek için kullanılan kesin yöntemler doğru, doğru sonuçların elde edilmesini sağlasa da, bunlar çok karmaşıktır ve bu da pratik uygulamalarını sınırlamaktadır. Bu yöntemler tamamen bilimsel, bilişsel, araştırma açısından önemlidir ve bu nedenle tamamen akademik yöntemler olarak sınıflandırılabilirler ve bunların gerçek karmaşık sistemlere pratik uygulanması mantıklı değildir.

2.7.3.2. Doğrusal olmayan sistemleri incelemek için yaklaşık yöntemler

Doğrusal olmayan sistemleri analiz etmek için kesin yöntemlerin pratik uygulamasının karmaşıklığı ve sınırlamaları, bu sistemleri incelemek için yaklaşık, daha basit yöntemler geliştirme ihtiyacını doğurmuştur. Yaklaşık yöntemler, birçok pratik durumda, doğrusal olmayan sistemlerin analizinin şeffaf ve kolayca görülebilen sonuçlarının oldukça basit bir şekilde elde edilmesini mümkün kılar. Yaklaşık yöntemler şunları içerir:

1. Doğrusal olmayan bir elemanın doğrusal eşdeğeriyle değiştirilmesine dayanan harmonik doğrusallaştırma yöntemi ve harmoniklere yakın olan sistemin bazı hareketleri için eşdeğerlik elde edilir. Bu, kontrol sisteminde kendiliğinden salınımların meydana gelme olasılığını oldukça basit bir şekilde araştırmayı mümkün kılar. Ancak yöntem aynı zamanda doğrusal olmayan sistemlerin geçici süreçlerini incelemek için de uygulanabilir.

2. İstatistiksel doğrusallaştırma yöntemi aynı zamanda doğrusal olmayan bir öğenin doğrusal eşdeğeriyle değiştirilmesine de dayanır, ancak sistem rastgele bozuklukların etkisi altında hareket ettiğinde. Yöntem, doğrusal olmayan bir sistemin rastgele etkiler altındaki davranışını nispeten basit bir şekilde incelemeyi ve bazı istatistiksel özelliklerini bulmayı mümkün kılar.

Harmonik doğrusallaştırma yöntemi

Herhangi bir mertebeden diferansiyel denklemle tanımlanan doğrusal olmayan sistemlere uygulayalım. Bunu yalnızca otomatik bir kontrol sistemindeki öz salınımların hesaplanmasıyla ilgili olarak ele alalım. Kapalı döngü kontrol sistemini sırasıyla transfer fonksiyonları ve ile doğrusal ve doğrusal olmayan parçalara (Şekil 7.2) ayıralım.

Doğrusal bir bağlantı için:

Doğrusal olmayan bir bağlantı, formun doğrusal olmayan bağımlılıklarına sahip olabilir:

vb. Kendimizi forma bağımlılıkla sınırlayalım:

Pirinç. 7.2. Harmonik doğrusallaştırma yöntemine doğru

Bu doğrusal olmayan sistemde kendi kendine salınımları inceleme problemini ortaya koyalım. Açıkça konuşursak, kendi kendine salınımlar sinüzoidal olmayacaktır, ancak değişken için şunu varsayacağız: X harmonik fonksiyona yakındırlar. Bu, doğrusal kısmın (7.1) kural olarak bir alçak geçiş filtresi (LPF) olması gerçeğiyle doğrulanır. Bu nedenle doğrusal kısım, değişkende bulunan yüksek harmonikleri geciktirecektir. sen. Bu varsayıma filtre hipotezi denir. Aksi takdirde doğrusal kısım yüksek geçişli filtre (HPF) ise harmonik doğrusallaştırma yöntemi hatalı sonuçlar verebilir.

(7.2)'yi yerine koyarak (7.2)'yi bir Fourier serisine genişletelim:

İstenilen salınımlarda sabit bir bileşenin olmadığını varsayalım.

Bu koşul, doğrusal olmayan karakteristik koordinatların orijinine göre simetrik olduğunda ve doğrusal olmayan bağlantıya herhangi bir dış etki uygulanmadığında her zaman karşılanır.

O zaman bunu kabul ettik.

Yazılı genişletmede, serinin tüm yüksek harmoniklerini, filtrelendiklerini göz önünde bulundurarak değiştirip atacağız. Daha sonra doğrusal olmayan bağlantı için yaklaşık formülü elde ederiz.

Fourier serisi genişleme formülleri tarafından belirlenen harmonik doğrusallaştırma katsayıları nerede ve nelerdir:

Böylece, doğrusal olmayan denklem (7.2), doğrusal denkleme benzer şekilde birinci harmonik (7.3) için yaklaşık bir denklemle değiştirilir. Özelliği, denklemin katsayılarının istenen öz salınım genliğine bağlı olmasıdır. Genel durumda, daha karmaşık bir bağımlılıkla (7.2), bu katsayılar hem genliğe hem de frekansa bağlı olacaktır.

Doğrusal olmayan bir denklemin yaklaşık doğrusal olanla değiştirilmesi işlemine harmonik doğrusallaştırma denir ve katsayılara (7.4), (7.5) doğrusal olmayan bağlantının harmonik iletim katsayıları denir.

(7.3)'ten, söz konusu sistem için doğrusal olmayan bağlantının transfer fonksiyonunun şu olduğu anlaşılmaktadır:

(7.1) ve (7.3)'ü hesaba katarak açık döngü sisteminin transfer fonksiyonunu elde ederiz:

ve kapalı sistemin karakteristik denklemi:

(7.6)'yı değiştirerek açık çevrim sisteminin frekans transfer fonksiyonunu buluruz:

Bağlı değildir [bkz. (7.8)].

Doğrusal olmayan bir bağlantının eşdeğer transfer fonksiyonunun modülü aşağıdaki formülle belirlenir:

ve çıkışındaki birinci harmoniğin genliğinin giriş değerinin genliğine oranına eşittir. Doğrusal olmayan bağlantının frekans aktarım fonksiyonunun argümanı şuna eşittir:

Koordinatların kökenine göre kesin ve simetrik olan, histerezis döngüleri olmayan karakteristik özelliklere sahip doğrusal olmayan bağlantılar için, bu nedenle - tamamen gerçek ve

Doğrusal olmayan bir bağlantının eşdeğer transfer fonksiyonunun tersi sıklıkla kullanılır:

doğrusal olmayan bağlantının eşdeğer empedansı denir. Nyquist kriterini kullanarak öz salınımları hesaplarken kullanımı uygundur. Harmonik doğrusallaştırma yöntemini kullanmanın bir örneği olarak, histerezis döngüsü olmayan üç konumlu bir rölenin röle karakteristiğini düşünün (Şekil 7.3). Olarak Şekil l'de görülebilir. 7.3'te statik karakteristik koordinatların orijinine göre simetriktir, dolayısıyla . Bu nedenle katsayıyı yalnızca (7.4) formülünü kullanarak bulmak gerekir. Bunu yapmak için, bağlantının girişine sinüzoidal bir fonksiyon uyguluyoruz ve y(t)'yi oluşturuyoruz (Şekil 7.4).

Pirinç. 7.3. Üç konumun statik karakteristiği

histerezis döngüsü olmayan röle

Olarak Şekil l'de görülebilir. 7.4 ile

x 1 = b'ye karşılık gelen faz açısı arcsin (b/a)'ya eşittir (Şekil 7.4).

İntegral simetrisini hesaba katarak ve (7.4)'e uygun olarak şunu elde ederiz:

Çünkü , sonunda elimizde:

Benzer şekilde diğer doğrusal olmayan bağlantıların da harmonik doğrusallaştırılmasını gerçekleştirmek mümkündür. Doğrusallaştırma sonuçları ,'de verilmiştir.

Yukarıda belirtildiği gibi, harmonik doğrusallaştırma yöntemi, doğrusal olmayan bir sistemde kendi kendine salınım rejiminin ortaya çıkma olasılığını analiz etmek ve parametrelerini belirlemek için uygundur. Kendi kendine salınımları hesaplamak için çeşitli stabilite kriterleri kullanılır. En basit ve en belirgin yol Nyquist kriterini kullanmaktır. Formun doğrusal olmayan bir bağımlılığının olduğu ve doğrusal olmayan bağlantının eşdeğer transfer fonksiyonunun yalnızca giriş sinyalinin genliğine bağlı olduğu durumlarda Nyquist kriterinin kullanılması özellikle uygundur.

Pirinç. 7.4. Röle karakteristiğinin doğrusallaştırılması örneği

Kendi kendine salınımların meydana gelme koşulları: çözümde (7.7) bir çift tamamen hayali kökün ortaya çıkması ve diğer tüm köklerin sol yarı düzlemde bulunması (–1,j0 noktasıyla bağlantı).

(7.7)’yi eksi bire eşitleyelim:

(7.12)’yi çözmek için farklı değerler ayarlayıp AFC’yi oluşturuyoruz. Bazı a = A noktalarında AFC, istikrar rezervlerinin yokluğuna karşılık gelen (-1,j0) noktasından geçecektir.

Frekans ve istenen harmonik salınımın frekansına ve genliğine karşılık gelir: (Şekil 7.5).

Benzer şekilde, herhangi türden doğrusal olmayan bağımlılıklar için periyodik bir çözüm bulmak mümkündür; bu, özellikle doğrusal olmayan bir elemanın eşdeğer transfer fonksiyonunun yalnızca genliğe değil aynı zamanda frekansa da bağlı olduğu gerçeğine yol açar. Kendimizi formun doğrusal olmayan bağımlılığını dikkate almakla sınırlandırırsak, periyodik rejimi bulma süreci basitleştirilebilir.

Pirinç. 7.5. Kendi kendine salınımların oluşma durumu

Denklemi (7.12) şu şekilde yazalım:

Bakınız (7.11). (7.13)

Denklem (7.13) grafiksel olarak kolaylıkla çözülebilir. Bunun için AFC'yi ve ters işaretli ters AFC'yi ayrı ayrı oluşturmak gerekir. İki AFC'nin kesişme noktası çözümü belirler (7.13). Periyodik modun frekansını grafikteki frekans işaretlerinden, genliği ise grafikteki genlik işaretlerinden buluruz (Şekil 7.6).

Bununla birlikte, bulunan periyodik rejim, yalnızca bu rejimin sistemde süresiz olarak uzun bir süre var olabilmesi anlamında kararlı olduğu zaman kendi kendine salınımlara karşılık gelir. Periyodik modun kararlılığı aşağıdaki şekilde belirlenebilir.

Açık durumda sistemin doğrusal kısmının kararlı veya nötr olduğunu varsayalım. A genliğine bir miktar pozitif A artışı verelim. Sonra artacak, dolayısıyla azalacak. Sonuç olarak azalır ve dolayısıyla (-1,j0) noktasından daha da uzaklaşır. A azalır ve 0'a yönelir. Benzer şekilde, eğer A negatif bir artış aldıysa - A. O zaman azalacak, dolayısıyla artacak, artacak ve dolayısıyla genlik artacaktır çünkü AFC (-1,j0) noktasına yaklaşacaktır (istikrar marjlarında azalma).

Pirinç. 7.6. Doğrusal olmayan durumlarda kendi kendine salınımların meydana gelme koşulu

tür bağımlılıkları

Sonuç olarak, A'nın herhangi bir rastgele sapması, sistemi öyle bir şekilde değiştirir ki, genlik değerini geri getirir. Bu, kendi kendine salınımlara karşılık gelen periyodik rejimin istikrarına karşılık gelir.

Buradaki periyodik mod için stabilite kriteri, eğrinin daha küçük genliklere karşılık gelen kısmının, karakteristik ile bir kesişme noktasının varlığına karşılık gelen sistemin doğrusal kısmının AFC'si tarafından kapsandığı gerçeğine inmektedir. gerçek değerler ekseninin negatif kısmı (bkz. Şekil 7.6).

Açık çevrimli bir sistemin AFC'si gerçek değerler ekseninin negatif kısmını iki kez geçtiğinde, ve'nin iki değeri için AFC'nin (-1,j0) noktasından geçmesi mümkündür (Şekil 1). 7.7).

İki kesişme noktası, ve parametreleriyle iki olası periyodik çözüme karşılık gelir. Yukarıda yapılanlara benzer şekilde, ilk noktanın kararsız bir periyodik salınım moduna, ikincisinin ise kararlı bir moda karşılık geldiğinden emin olabilirsiniz; kendi kendine salınımlar (Şekil 7.8).

Daha karmaşık durumlarda, örneğin kararsız olduğunda, açık döngü sisteminin AFC'sinin konumu dikkate alınarak ortaya çıkan periyodik modun kararlılığını belirlemek mümkündür. Burada ortak olan şey, periyodik rejimin istikrarını elde etmek için, genlikteki pozitif bir artışın sistemde yakınsak süreçlere, negatif bir artışın ise ıraksak süreçlere yol açmasının gerekli olmasıdır.

Yukarıdaki hesaplamanın ortaya koyduğu gibi, sistemde harmoniğe yakın olası periyodik modların yokluğunda, sistemin davranışı için birçok farklı seçenek vardır. Bununla birlikte, lineer kısmı daha yüksek harmonikleri bastırma özelliğine sahip olan sistemlerde, özellikle bazı parametreler için periyodik bir çözümün olduğu ancak diğerlerinin olmadığı sistemlerde, periyodik bir çözümün yokluğunda sistemin böyle olacağına inanmak için nedenler vardır. denge durumuna göre kararlıdır. Bu durumda denge durumunun kararlılığı, doğrusal parça açık durumda kararlı veya nötr olduğunda, AFC'sinin hodografı kapsamaması gerekliliği ile değerlendirilebilir.

Doğrusal olmayan özelliklerin istatistiksel doğrusallaştırılması yöntemi

Doğrusal olmayan sistemlerin istatistiksel özelliklerini değerlendirmek için, doğrusal olmayan karakteristiği, belirli bir istatistik anlamında orijinal doğrusal olmayan karakteristiğe eşdeğer olan doğrusal bir karakterle değiştirmeye dayanan istatistiksel doğrusallaştırma yöntemini kullanabilirsiniz.

Doğrusal olmayan bir dönüşümü doğrusal bir dönüşümle değiştirmek yaklaşık bir değerdir ve yalnızca bazı açılardan adil olabilir. Bu nedenle, böyle bir değiştirmenin dayandığı istatistiksel eşdeğerlik kavramı açık değildir ve doğrusal olmayan ve onun yerine geçen doğrusal dönüşümlerin istatistiksel eşdeğerliği için çeşitli kriterleri formüle etmek mümkündür.

(7.2) formunun doğrusal olmayan ataletsiz bağımlılığının doğrusallaştırmaya tabi tutulması durumunda, genellikle aşağıdaki istatistiksel eşdeğerlik kriterleri uygulanır:

Birincisi, matematiksel beklentilerin ve süreçlerin varyanslarının eşitliğini gerektirir ve burada eşdeğer doğrusallaştırılmış bağlantının çıktı değeri ve doğrusal olmayan bağlantının çıktı değeridir;

İkincisi, doğrusal olmayan ve doğrusallaştırılmış elemanların çıkışındaki süreçler arasındaki farkın ortalama karesinin en aza indirilmesini gerektirir.

İlk kriterin uygulanması durumu için doğrusallaştırmayı ele alalım. Doğrusal olmayan bağımlılığı (7.2), karakteristikli (7.2) doğrusal olmayan bağlantının çıkışında mevcut olanlarla aynı matematiksel beklentilere ve dağılıma sahip olan doğrusal bir karakteristikle (7.14) değiştirelim. Bu amaçla (7.14)'ü şu şekilde sunuyoruz: burada merkezi bir rastgele fonksiyon var.

Seçilen kritere göre katsayılar aşağıdaki ilişkileri sağlamalıdır:

(7.15)'ten istatistiksel eşdeğerliğin şu durumlarda ortaya çıktığı sonucu çıkar:

Ayrıca işaret, doğrusal olmayan F( F() karakteristiğinin türevinin işaretiyle çakışmalıdır. X).

Büyüklüklere istatistiksel doğrusallaştırma katsayıları denir. Bunları hesaplamak için doğrusal olmayan bağlantının çıkışındaki sinyali bilmeniz gerekir:

doğrusal olmayan bağlantının girişindeki rastgele bir sinyalin dağılımının olasılık yoğunluğu nerede.

İkinci kriter için istatistiksel doğrusallaştırma katsayıları, doğrusal olmayan ve doğrusallaştırılmış bağlantının çıkışındaki süreçler arasındaki ortalama kare farkının minimumunu sağlayacak şekilde seçilir; eşitliği sağlamak

(7.16), (7.17) ve (7.18)'de belirtildiği gibi istatistiksel doğrusallaştırma katsayıları, yalnızca doğrusal olmayan bağlantının özelliklerine değil, aynı zamanda girişindeki sinyalin dağıtım yasasına da bağlıdır. Birçok pratik durumda, bu rastgele değişkenin dağılım yasasının Gaussian (normal) olduğu varsayılabilir ve şu ifadeyle tanımlanır:

Bu, kontrol sistemlerindeki doğrusal olmayan bağlantıların, giriş sinyallerinin herhangi bir dağıtım yasası için çıkış sinyallerinin Gaussian'a yakın olduğu dağıtım yasalarının doğrusal eylemsizlik elemanlarıyla seri olarak bağlanmasıyla açıklanmaktadır. Sistem ne kadar eylemsiz olursa, çıkış sinyalinin dağıtım yasası Gaussian'a o kadar yakın olur, yani. sistemin eylemsiz cihazları, doğrusal olmayan bağlantılar tarafından ihlal edilen Gauss dağılımının restorasyonuna yol açar. Ayrıca dağılım yasasında çok küçük bir aralıkta meydana gelen değişiklikler istatistiksel doğrusallaştırma katsayılarını etkiler. Bu nedenle doğrusal olmayan elemanların girişindeki sinyallerin Gauss kanununa göre dağıtıldığına inanılmaktadır.

Bu durumda katsayılar yalnızca doğrusal olmayan bağlantının girişindeki sinyale bağlıdır, bu nedenle tipik doğrusal olmayan özellikler için katsayılar önceden hesaplanabilir, bu da istatistiksel doğrusallaştırma yöntemini kullanan sistemlerin hesaplamalarını önemli ölçüde basitleştirir. Normal dağılım yasası ve doğrusal olmayan sistemleri hesaplarken tipik doğrusal olmayan bağlantılar için, burada verilen verileri kullanabilirsiniz.

Analiz için istatistiksel doğrusallaştırma yönteminin uygulanması

sabit modlar ve izleme hatası

Doğrusal olmayan bağlantıların özelliklerini doğrusal bağımlılıklarla değiştirme yeteneği, doğrusal olmayan sistemleri analiz ederken doğrusal sistemler için geliştirilen yöntemlerin kullanılmasına olanak tanır. Şekil 2'de gösterilen sistemdeki durağan modları analiz etmek için istatistiksel doğrusallaştırma yöntemini uygulayalım. 7.9,

burada F(e) doğrusal olmayan elemanın (ayırıcı) statik karakteristiğidir;

W(p) – sistemin doğrusal kısmının transfer fonksiyonu.

Analizin görevi, ayırıcı özelliklerinin sistemin doğruluğu üzerindeki etkisini değerlendirmek ve sistemin normal çalışmasının bozulduğu ve izlemenin başarısız olduğu koşulları belirlemektir.

g(t) sinyalinin rastgele olmayan bileşenine göre çalışmanın doğruluğu analiz edilirken, istatistiksel doğrusallaştırma yöntemine göre doğrusal olmayan F(e) elemanının yerini iletim katsayısına sahip doğrusal bir bağlantı alır. Daha önce gösterildiği gibi dinamik hata aşağıdaki formülle bulunur:

İzlemenin başarısız olmasının koşulunun belirlenmesinin yanı sıra ve bulmanın bir örneği de verilmiştir.

Kendi kendine test soruları

1. Doğrusal olmayan sistemleri analiz etmek için yaklaşık yöntemleri adlandırın.

2. Harmonik doğrusallaştırma yönteminin özü nedir?

3. İstatistiksel doğrusallaştırma yönteminin özü nedir?

4. Hangi doğrusal olmayan bağlantılar için q¢(a) = 0 olur?

5. İstatistiksel eşdeğerlik için hangi kriterleri biliyorsunuz?

Açıkça söylemek gerekirse, doğada doğrusal sistemler mevcut değildir; tüm gerçek sistemler doğrusal değildir. Çeşitli sensörler, dedektörler, ayırıcılar, amplifikatörler, analogdan dijitale ve dijitalden analoğa dönüştürücüler, kontrol cihazları ve aktüatörler doğrusal olmayan özelliklere sahiptir.

Doğrusal olmayan sistemlerin analizi için genel bir teori yoktur. Bilim adamları, belirli koşullar ve kısıtlamalar altında analiz problemlerinin çözülmesine olanak tanıyan doğrusal olmayan sistemleri analiz etmek için çeşitli yöntemler geliştirmişlerdir.

Doğrusal olmayan sistemleri analiz etmenin en yaygın yöntemlerini karakterize edelim.

Faz düzlemi yöntemi. Bu yöntem aynı zamanda faz portreleri veya faz uzayları yöntemi olarak da adlandırılır. Bu yöntem, ikinci (üçüncü) dereceden yüksek olmayan doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerle tanımlanan doğrusal olmayan sistemlerin davranışını grafiksel yapıları kullanarak görsel olarak analiz etmenize olanak tanır.

Parçalı doğrusal yaklaşım yöntemi. Bu yöntem, doğrusal olmayan bir elemanın karakteristiğinin parçalı doğrusal yaklaşımını kullanır, sistemi çeşitli sinyal değerleri için doğrusal olarak analiz eder ve ardından analiz sonuçlarını birleştirir. Yöntem, özellikle "çapraz bağlanma" noktalarında, analizin yüksek emek yoğunluğu ve sonuçların düşük doğruluğu ile karakterize edilir.

Harmonik doğrusallaştırma yöntemi. Bu yöntem, doğrusal olmayan elemandan sonra doğrusal alçak geçiren filtrenin bağlandığı ve giriş etkisinin harmonik olduğu durumlarda kullanılır.

İstatistiksel doğrusallaştırma yöntemi. Bu yöntem, durağan bir rastgele sürecin giriş sinyali olarak hareket ettiği durumlarda kullanılır. Bu yöntemde, gerçek doğrusal olmayan öğe, çıktının matematiksel beklentisi ve sürecin varyansı, gerçek doğrusal olmayan öğenin çıktısıyla aynı olan doğrusal bir öğeyle değiştirilir. Eşdeğer bir doğrusal elemanın parametrelerini belirleme yöntemleri farklı olabilir.

Markov süreci yöntemi. Bu yöntem, durağan olmayan rastgele giriş sinyalleri için kullanılır, ancak analitik bir çözüm yalnızca ikinci dereceden yüksek olmayan sistemler için bulunabilir.

Bilgisayar simülasyon yöntemi. Bu yöntem evrensel olma iddiasındadır; doğrusal olmamanın doğası ve sistemin düzeni üzerinde hiçbir temel kısıtlamaya sahip değildir. Şu anda, doğrusal olmayan sistemleri analiz etmek için en yaygın yöntem budur; yöntemin tek dezavantajı, analizin herhangi bir analitik sonucunun (formüller biçiminde) bulunmamasıdır.

Şekil 1.5b'de gösterilen karakteristik, duyarsızlık nedeniyle ek bir konumun olduğu üç konumlu bir röledir. Böyle bir özelliğin denklemi

x dışarı		x giriş	< a ,

x dışarı	B sikn(xin)	x giriş	>a.

Şekil 1.5c'de gösterilen karakteristik, histerezisli iki konumlu bir röledir. Aynı zamanda “hafızalı röle” olarak da adlandırılır. Önceki durumunu ve x girişi dahilinde “hatırlar”< a сохраняет это своё значение. Уравне-

böyle bir özelliğin tanımı

xout = b sisn(x − a)	xin > 0,
xout = b sikn(x + a)
xout = b sikn(x + a)	x giriş< 0 ,

x dışarı = + b	xin > − a ;	x&giriş< 0,
x dışarı = − b	xin< a;	xin > 0,

Şekil 1.5 d'de gösterilen karakteristik, ölü bölgeye bağlı olarak ek bir konumun olduğu histerezisli üç konumlu bir röledir. Böyle bir özelliğin denklemi

Yukarıdaki denklemlerden, bir histerezis döngüsünün yokluğunda rölenin çıkış eyleminin yalnızca xin veya xout = f (xin) değerine bağlı olduğu açıktır.

Bir histerezis döngüsünün varlığında, x out'un değeri aynı zamanda x in'e veya x out = f (x in ,x & in)'e göre türevine de bağlıdır; burada x & in, sistemdeki "bellek"in varlığını karakterize eder. röle.

x dışarı =

[siqn(x − а2

) + siln(x + a1 )]

x dışarı =

[ siqn(x + a2

) + siln(x − а1 )]

x giriş< 0 .

Doğrusal olmayan bir sistemin analiz ve sentez problemlerini çözmek için öncelikle sistemin çıkış sinyalleri ile sisteme uygulanan etkileri yansıtan sinyaller arasındaki bağlantıyı karakterize eden matematiksel modelinin oluşturulması gerekir. Sonuç olarak, bazen bir dizi mantıksal ilişkiye sahip, yüksek dereceden doğrusal olmayan bir diferansiyel denklem elde ederiz. Modern bilgisayar teknolojisi, herhangi bir doğrusal olmayan denklemin çözülmesini mümkün kılar ve bu doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerin inanılmaz derecede büyük bir kısmının çözülmesi gerekecektir. Daha sonra en iyisini seçin. Ancak aynı zamanda seçilen çözümün gerçekten optimal olduğundan emin olunamaz ve seçilen çözümün nasıl iyileştirileceği bilinmemektedir. Dolayısıyla kontrol teorisinin problemlerinden biri aşağıdaki gibidir.

Sistem parametrelerinin en iyi yapısını ve optimal oranlarını belirlemenizi sağlayan kontrol sistemi tasarım yöntemlerinin oluşturulması.

Bu görevi tamamlamak için aşağıdakilere ihtiyacınız var hesaplama yöntemleri

Doğrusal olmayan bir sistemin parametreleri ile kontrol sürecinin dinamik göstergeleri arasındaki matematiksel bağlantıların oldukça basit bir biçimde belirlenmesine izin verin.

Leniya. Ve doğrusal olmayan bir diferansiyel denklemin çözümünü bulmadan. Sorunu çözmek için sistemin gerçek elemanlarının doğrusal olmayan karakteristiklerinin yerini bazı idealleştirilmiş yaklaşık karakteristikler alır. Doğrusal olmayan sistemlerin bu tür özellikleri kullanarak hesaplanması yaklaşık sonuçlar verir, ancak asıl önemli olan, elde edilen bağımlılıkların sistemin yapısını ve parametrelerini dinamik özellikleriyle ilişkilendirmeyi mümkün kılmasıdır.

En basit durumlarda ve esas olarak ikinci dereceden doğrusal olmayan bir sistem için kullanılır. faz yolu yöntemi Bu, başlangıç koşullarını dikkate alarak çeşitli doğrusal olmayan bağlantı türleri için doğrusal olmayan bir sistemin hareket dinamiklerini açıkça göstermenize olanak tanır. Ancak bu yöntemi kullanarak çeşitli dış etkileri hesaba katmak zordur.

Yüksek dereceli bir sistem için kullanılır harmonik doğrusallaştırma yöntemi. Geleneksel doğrusallaştırmada, doğrusal olmayan bir karakteristik doğrusal olarak ele alınır ve bazı özelliklerini kaybeder. Harmonik doğrusallaştırma ile doğrusal olmayan bağlantının belirli özellikleri korunur. Ancak bu yöntem yaklaşıktır. Bu yöntemi kullanarak doğrusal olmayan bir sistem hesaplanırken gösterilecek olan bir dizi koşul karşılandığında kullanılır. Bu yöntemin önemli bir özelliği, sistem parametrelerini düzenleme sürecinin dinamik göstergelerine doğrudan bağlamasıdır.

Rastgele etkiler altında düzenlemenin istatistiksel hatasını belirlemek için şunu kullanın: istatistiksel doğrusallaştırma yöntemi. Bu yöntemin özü, doğrusal olmayan öğenin, doğrusal olmayan öğeyle aynı şekilde rastgele bir fonksiyonun ilk iki istatistiksel momentini dönüştüren eşdeğer bir doğrusal öğeyle değiştirilmesidir: matematiksel beklenti (ortalama değer) ve dağılım ( veya standart sapma). Doğrusal olmayan sistemleri analiz etmenin başka yöntemleri de vardır. Örneğin, B.V. formunda küçük parametre yöntemi. Bulgakov. Asimptotik yöntem N.M. Krylov ve N.N. Bogolyubova Periyodik bir çözüme yakın bir süreci zaman içinde analiz etmek. Grafo-analitik Yöntem, doğrusal olmayan bir problemin doğrusal bir soruna indirgenmesine olanak sağlar. Harmonik denge yöntemi L.S. tarafından kullanıldı. Nyquist kriterini kullanarak doğrusal olmayan sistemlerin kararlılığını analiz etmek için Goldfarb. Grafik-analitik yöntemler Bunların arasında en yaygın kullanılan yöntem D.A. Başkirova. Bu ders kitabı, çeşitli araştırma yöntemleri arasında şunları dikkate alacaktır: faz yörüngeleri yöntemi, nokta dönüşümleri yöntemi, harmonik doğrusallaştırma yöntemi E.P. Popov, grafik-analitik yöntem L.S. Goldfarb, mutlak kararlılık kriteri, V.M. Popov, istatistiksel doğrusallaştırma yöntemi.

Bölüm7

Doğrusal olmayan sistemlerin analizi

Kontrol sistemi, matematiksel açıklaması için standart temel bağlantıların kullanıldığı ayrı fonksiyonel öğelerden oluşur (bkz. Bölüm 1.4). Tipik temel bağlantılar arasında bir adet ataletsiz (takviye edici) bağlantı vardır. Girişi bağlayan böyle bir bağlantının statik özelliği X ve izin günü sen miktarlar, doğrusal: sen=Kx. Kontrol sisteminin gerçek fonksiyonel elemanları doğrusal olmayan statik bir özelliğe sahiptir sen=F(X). Doğrusal olmayan bağımlılık türü F(∙) değiştirilebilir:

Değişken eğime sahip fonksiyonlar (“doygunluk” etkisine sahip fonksiyonlar, trigonometrik fonksiyonlar, vb.);

Parçalı doğrusal fonksiyonlar;

Röle fonksiyonları.

Çoğu zaman, kontrol sisteminin hassas elemanının statik karakteristiğinin doğrusal olmadığını hesaba katmak gerekir; ayrımcı özelliğin doğrusal olmaması. Genellikle, kontrol sisteminin ayrımcı özelliğin doğrusal bölümünde çalışmasını sağlamaya çalışırlar (işlev türü buna izin veriyorsa) F(∙)) ve doğrusal modeli kullanın sen=Kx. Bazen bu, kontrol sistemi hatasının dinamik ve dalgalanma bileşenlerinin büyük değerleri nedeniyle veya fonksiyonun sözde önemli doğrusal olmaması nedeniyle elde edilemez. F(∙), örneğin röle fonksiyonlarının doğasında vardır. Daha sonra, doğrusal olmayan statik özelliğe sahip bağlantıları dikkate alarak kontrol sisteminin bir analizini yapmak gerekir; Doğrusal olmayan bir sistemi analiz eder.

7.1. Doğrusal olmayan sistemlerin özellikleri

Doğrusal olmayan sistemlerdeki işlemler, doğrusal sistemlerdeki işlemlerden çok daha çeşitlidir. Doğrusal olmayan sistemlerin ve içlerindeki süreçlerin bazı özelliklerine dikkat edelim.

1. Süperpozisyon ilkesi geçerli değildir: Doğrusal olmayan bir sistemin tepkisi, bireysel etkilere verilen tepkilerin toplamına eşit değildir. Örneğin, doğrusal sistemler için (bkz. Bölüm 3) izleme hatasının dinamik ve dalgalanma bileşenlerinin bağımsız olarak hesaplanması, doğrusal olmayan sistemler için imkansızdır.

2. Değişebilirlik özelliği, doğrusal olmayan bir sistemin yapısal diyagramına uygulanamaz (doğrusal ve doğrusal olmayan bağlantılar birbirinin yerine kullanılamaz).

3. Doğrusal olmayan sistemlerde kararlılık koşulları ve kararlılık kavramı değişir. Doğrusal olmayan sistemlerin kararlılığı açısından davranışı, darbeye ve başlangıç koşullarına bağlıdır. Ek olarak, doğrusal olmayan bir sistemde yeni bir tür kararlı durum süreci mümkündür: sabit genlik ve frekansa sahip kendi kendine salınımlar. Bu tür kendi kendine salınımlar, genliklerine ve frekanslarına bağlı olarak doğrusal olmayan kontrol sisteminin performansını bozmayabilir. Bu nedenle, doğrusal olmayan sistemler artık doğrusal sistemler gibi iki sınıfa (kararlı ve kararsız) bölünmez, daha çok sayıda sınıfa ayrılır.

Doğrusal olmayan sistemler için Rus matematikçi A.M. Lyapunov 1892'de "küçükte" ve "büyükte" kararlılık kavramlarını ortaya attı: Bir sistem, kararlı denge noktasından bir miktar (yeterince küçük) sapma ile belirli bir durumda kalırsa "küçükte" kararlıdır. (sınırlı) bölge ε ve sistem, kararlı denge noktasından herhangi bir sapma için ε bölgesinde kalıyorsa kararlı "büyük"tür. ε bölgesinin kararlı denge noktasının yakınında istenildiği kadar küçük ayarlanabileceğini unutmayın; bu nedenle Bölüm 1'de verilenler geçerlidir. Şekil 2'de doğrusal sistemlerin kararlılık tanımı yürürlükte kalır ve Lyapunov'a göre asimptotik kararlılık tanımına eşdeğerdir. Aynı zamanda, gerçek doğrusal olmayan sistemler için doğrusal sistemlerin kararlılığına ilişkin daha önce tartışılan kriterler, "küçük" kararlılık kriteri olarak algılanmalıdır.

4. Doğrusal olmayan sistemlerde geçici süreçler niteliksel olarak değişir. Örneğin, fonksiyon durumunda F(∙) 1. dereceden doğrusal olmayan bir sistemde değişken eğimle, geçici süreç, değişen parametreli bir üstel ile tanımlanır T.

5. Doğrusal olmayan bir sistemin ayrımcı karakteristiğinin sınırlı açıklığı, izleme hatasının nedenidir (sistem “küçükte” kararlıdır). Bu durumda, bir sinyal aramak ve sistemi izleme moduna geçirmek gerekir (arama ve izleme ölçer kavramı Bölüm 1.1'de verilmiştir). Periyodik ayrım özelliğine sahip senkronizasyon sistemlerinde çıkış değerinde sıçramalar mümkündür.

Doğrusal olmayan sistemlerin dikkate alınan özelliklerinin varlığı, bu tür sistemlerin analizi için özel yöntemlerin kullanılması ihtiyacını doğurmaktadır. Aşağıdakiler dikkate alınır:

Doğrusal olmayan bir diferansiyel denklemin çözülmesine dayanan ve özellikle kararlı durumdaki hatanın belirlenmesine ve ayrıca doğrusal olmayan bir PLL sisteminin bantlarının yakalanmasına ve tutulmasına izin veren bir yöntem;

Önemli ölçüde doğrusal olmayan bir öğeye sahip sistemleri analiz etmek için uygun olan harmonik ve istatistiksel doğrusallaştırma yöntemleri;

Markov süreçleri teorisinin sonuçlarına dayanarak doğrusal olmayan sistemlerin analiz ve optimizasyon yöntemleri.

7.2. Doğrusal olmayan bir PLL sisteminde düzenli süreçlerin analizi