Ortalama değerler istatistiklerde yaygın olarak kullanılmaktadır. Ortalama değerler ticari faaliyetin niteliksel göstergelerini karakterize eder: dağıtım maliyetleri, kar, karlılık vb.
Ortalama - Bu yaygın genelleme tekniklerinden biridir. Ortalamanın özünün doğru anlaşılması, onun koşullardaki özel önemini belirler. Pazar ekonomisi, bireysel ve rastgele ortalama, genel ve gerekli olanı belirlememize, ekonomik kalkınma kalıplarının eğilimini belirlememize izin verdiğinde.
ortalama değer - bunlar eylemlerin ifade edildiği genel göstergelerdir Genel Şartlar incelenen olgunun kalıpları.
İstatistiksel ortalamalar, istatistiksel olarak doğru şekilde organize edilmiş kütle gözlemlerinden (sürekli ve seçici) elde edilen kütle verilerine dayanarak hesaplanır. Bununla birlikte, istatistiksel ortalama, niteliksel olarak homojen bir nüfusa (kitle olgusu) ilişkin kitle verilerinden hesaplanırsa nesnel ve tipik olacaktır. Örneğin ortalamayı hesaplarsanız ücretler kooperatiflerde ve devlete ait işletmelerde ve sonuç tüm nüfusa yayıldığında, ortalama heterojen bir nüfusa göre hesaplandığı için hayalidir ve böyle bir ortalama tüm anlamını yitirir.
Ortalamanın yardımıyla, bireysel gözlem birimlerinde şu veya bu nedenle ortaya çıkan bir özelliğin değerindeki farklılıklar düzeltilir.
Örneğin, bir satış elemanının ortalama üretkenliği birçok nedene bağlıdır: nitelikler, hizmet süresi, yaş, hizmet biçimi, sağlık vb.
Ortalama çıktı tüm nüfusun genel özelliğini yansıtır.
Ortalama değer, çalışılan özelliğin değerlerinin bir yansımasıdır, dolayısıyla bu özellik ile aynı boyutta ölçülür.
Her ortalama değer, incelenen popülasyonu herhangi bir özelliğe göre karakterize eder. Bir dizi temel özelliğe göre incelenen popülasyonun tam ve kapsamlı bir şekilde anlaşılmasını sağlamak için, genel olarak olguyu farklı açılardan tanımlayabilen bir ortalama değerler sistemine sahip olmak gerekir.
Farklı ortalamalar vardır:
aritmetik ortalama;
geometrik ortalama;
harmonik ortalama;
ortalama kare;
ortalama kronolojik.
İstatistiklerde en sık kullanılan bazı ortalama türlerine bakalım.
Aritmetik ortalama
Basit aritmetik ortalama (ağırlıksız), özelliğin bireysel değerlerinin toplamının bu değerlerin sayısına bölünmesine eşittir.
Bir özelliğin bireysel değerlerine değişkenler denir ve x() ile gösterilir; nüfus birimlerinin sayısı n ile gösterilir, özelliğin ortalama değeri ile gösterilir 
. Bu nedenle aritmetik basit ortalama şuna eşittir:
Ayrık dağılım serisi verilerine göre aynı karakteristik değerlerin (varyantların) birkaç kez tekrarlandığı açıktır. Böylece, x seçeneği toplamda 2 kez, x seçeneği ise 16 kez vb. ortaya çıkar.
Dağılım serisindeki bir özelliğin özdeş değerlerinin sayısına frekans veya ağırlık denir ve n sembolüyle gösterilir.
Bir işçinin ortalama maaşını hesaplayalım 
ovmak.:
Her işçi grubu için ücret fonu, seçenekler ve sıklığın çarpımına eşittir ve bu çarpımların toplamı, tüm işçilerin toplam ücret fonunu verir.
Buna göre hesaplamalar genel formda sunulabilir:
Ortaya çıkan formüle ağırlıklı aritmetik ortalama adı verilir.
İşleme sonucunda istatistiksel materyal sadece ayrık dağılım serileri şeklinde değil aynı zamanda kapalı veya açık aralıklı aralık varyasyon serileri şeklinde de sunulabilmektedir.
Gruplandırılmış verilerin ortalaması, ağırlıklı aritmetik ortalama formülü kullanılarak hesaplanır:
Ekonomik istatistiklerin uygulanmasında bazen ortalamanın grup ortalamaları veya nüfusun bireysel bölümlerinin ortalamaları (kısmi ortalamalar) kullanılarak hesaplanması gerekebilir. Bu gibi durumlarda, grup veya özel ortalamalar (x) seçeneği olarak alınır ve buna dayanarak genel ortalama, olağan ağırlıklı aritmetik ortalama olarak hesaplanır.
Aritmetik ortalamanın temel özellikleri .
Aritmetik ortalamanın bir takım özellikleri vardır:
1. Aritmetik ortalamanın değeri, x karakteristiğinin her değerinin frekansının n kat artması veya azalmasıyla değişmeyecektir.
Tüm frekanslar herhangi bir sayıya bölünür veya çarpılırsa ortalama değer değişmeyecektir.
2. Bir özelliğin bireysel değerlerinin ortak çarpanı, ortalamanın işaretinin ötesine alınabilir:
3. İki veya daha fazla niceliğin toplamının (farkının) ortalaması, ortalamalarının toplamına (farkına) eşittir:
4. Eğer c sabit bir değer olmak üzere x = c ise, o zaman 
.
5. X özelliğinin değerlerinin aritmetik ortalama x'ten sapmalarının toplamı sıfıra eşittir:
Harmonik ortalama.
İstatistikler, aritmetik ortalamanın yanı sıra, özelliğin ters değerlerinin aritmetik ortalamasının tersi olan harmonik ortalamayı da kullanır. Aritmetik ortalama gibi basit ve ağırlıklı olabilir.
Ortalamalarla birlikte varyasyon serisinin özellikleri mod ve medyandır.
Moda - bu, incelenen popülasyonda en sık tekrarlanan bir özelliğin (varyantın) değeridir. Ayrık dağıtım serileri için mod, en yüksek frekansa sahip değişkenin değeri olacaktır.
Eşit aralıklara sahip aralık dağılım serileri için mod aşağıdaki formülle belirlenir:
Nerede 
- modu içeren aralığın başlangıç değeri;
- modal aralığın değeri;
- modal aralığın frekansı;
- modal olandan önceki aralığın frekansı;
- modal olanı takip eden aralığın frekansı.
Medyan - bu, varyasyon serisinin ortasında yer alan bir seçenektir. Dağıtım serisi ayrıksa ve tek sayıda üyeye sahipse, medyan sıralı serinin ortasında yer alan seçenek olacaktır (sıralı bir seri, popülasyon birimlerinin artan veya azalan sırada düzenlenmesidir).
Konu 3. Ortalamalar yöntemi
Ortalama boyut istatistikte, nüfusun bir birimiyle ilgili özelliğin düzeyini gösteren, bazı değişen özelliklere göre niteliksel olarak homojen olayların ve süreçlerin genelleştirilmiş bir özelliğidir.
ortalama değer
soyut çünkü Nüfusun bazı kişisel olmayan birimlerindeki bir özelliğin değerini karakterize eder.Öz ortalama değer, bireysel ve rastgele aracılığıyla genel ve gerekli olanın, yani kitle olgusunun gelişimindeki eğilim ve modelin ortaya çıkmasıdır. Ortalama değerlerde genelleştirilen özellikler nüfusun tüm birimlerinde doğaldır.
Bundan dolayı ortalama değer büyük önem kitlesel olayların doğasında bulunan ve nüfusun bireysel birimlerinde fark edilmeyen kalıpları tanımlamak. W. Petty'den başlayarak ortalamalar istatistiksel analizin ana tekniği olarak görülmeye başlandı.
Genel İlkeler ortalama değerlerin uygulanması:
1) ortalama değerin hesaplandığı nüfus biriminin makul bir seçiminin gerekli olması;
2) ortalama değeri belirlerken, ortalaması alınan özelliğin niteliksel içeriğinden yola çıkılmalı, incelenen özelliklerin ilişkisi ve hesaplama için mevcut veriler dikkate alınmalıdır;
3) ortalama değerler, genelleştirme göstergeleri sisteminin hesaplanmasını içeren gruplandırma yöntemiyle elde edilen niteliksel olarak homojen popülasyonlara göre hesaplanmalıdır;
4) Genel ortalamalar grup ortalamaları ile desteklenmelidir.
Birincil verilerin niteliğine, uygulama kapsamına ve istatistikteki hesaplama yöntemine bağlı olarak aşağıdakiler ayırt edilir: ana ortam türleri:
1) güç ortalamaları(aritmetik ortalama, harmonik, geometrik, ortalama kare ve kübik);
2) yapısal (parametrik olmayan) anlamına gelir(mod ve medyan).
İstatistiklerde doğru açıklama incelenen popülasyon, her bir durumda değişen bir özelliğe göre yalnızca çok spesifik bir ortalama türü verir. Belirli bir durumda ne tür bir ortalamanın uygulanması gerektiği sorusu, incelenen popülasyonun belirli bir analizi yoluyla ve ayrıca toplama veya tartma sırasında sonuçların anlamlılığı ilkesine dayanarak çözülür. Bu ve diğer ilkeler istatistiklerle ifade edilir ortalamalar teorisi.
Örneğin, aritmetik ortalama ve harmonik ortalama, incelenen popülasyondaki değişen bir özelliğin ortalama değerini karakterize etmek için kullanılır. Geometrik ortalama yalnızca ortalama dinamik oranları hesaplanırken kullanılır ve ikinci dereceden ortalama yalnızca varyasyon endeksleri hesaplanırken kullanılır.
Ortalama değerleri hesaplamaya yönelik formüller Tablo 3.1'de sunulmaktadır.
Tablo 3.1 – Ortalama değerlerin hesaplanmasına yönelik formüller
| Ortalama türleri | Hesaplama formülleri | |
| basit | ağırlıklı | |
| 1. Aritmetik ortalama |  |
|
| 2. Harmonik ortalama | ||
| 3. Geometrik ortalama | ||
| 4. Ortalama kare |  |
Tanımlar:- ortalamanın hesaplandığı miktarlar; - ortalama, yukarıdaki çubuğun bireysel değerlerin ortalamasının alındığını gösterdiği yer; - frekans (bir karakteristiğin bireysel değerlerinin tekrarlanabilirliği).
Açıkçası, çeşitli ortalamalar şunlardan türetilmiştir: Güç ortalaması için genel formül (3.1):
, (3.1)
k = + 1 olduğunda - aritmetik ortalama; k = -1 - harmonik ortalama; k = 0 - geometrik ortalama; k = +2 - ortalama karekök.
Ortalama değerler basit veya ağırlıklı olabilir. Ağırlıklı ortalamalar nitelik değerlerinin bazı çeşitlerinin farklı sayılara sahip olabileceği dikkate alınarak değerler çağrılır; bu bağlamda her seçeneğin bu sayı ile çarpılması gerekmektedir. Bu durumda "ölçekler" farklı gruplardaki toplam birimlerin sayısıdır; Her seçenek sıklığına göre "ağırlıklandırılır". f frekansına denir istatistiksel ağırlık veya ortalama ağırlık.
Niteliksel olarak homojen özelliklere sahip bir popülasyon incelenirse, ortalama değer burada şu şekilde hareket eder: tipik ortalama. Örneğin belirli bir sektördeki sabit gelir düzeyine sahip işçi grupları için temel ihtiyaçlara yönelik tipik bir ortalama harcama belirlenir.
Niteliksel olarak heterojen özelliklere sahip bir popülasyonu incelerken, ortalama göstergelerin atipikliği ön plana çıkabilir. Bunlar örneğin kişi başına üretilen milli gelirin (farklı yaş grupları) ortalama göstergeleridir. Ortalama değerler, özelliklerin veya sistemik mekansal toplamların (uluslararası topluluk, kıta, eyalet, bölge, bölge vb.) veya zamana yayılmış dinamik toplamların (yüzyıl, on yıl, yıl, mevsim vb.) niteliksel olarak heterojen değerlerini genelleştirir. ). Bu tür ortalama değerlere denir sistem ortalamaları
Sonunda ortalamanın doğru seçimi aşağıdaki sırayı varsayar:
a) nüfusun genel bir göstergesinin oluşturulması;
b) belirli bir genel gösterge için büyüklüklerin matematiksel ilişkisinin belirlenmesi;
c) bireysel değerlerin ortalama değerlerle değiştirilmesi;
d) uygun denklem kullanılarak ortalamanın hesaplanması.
3.2 Aritmetik ortalama, özellikleri ve hesaplama teknikleri. Harmonik ortalama
Aritmetik ortalama– en yaygın orta boy türü; ortalama karakteristik hacminin, incelenen istatistiksel popülasyonun bireysel birimleri için değerlerinin toplamı olarak oluşturulduğu durumlarda hesaplanır.
Aritmetik ortalamanın en önemli özellikleri :
1. Ortalamanın frekansların toplamına göre çarpımı her zaman değişkenlerin (bireysel değerler) frekanslara göre çarpımlarının toplamına eşittir.
2. Her seçenekten rastgele bir sayı çıkarırsanız (eklerseniz), yeni ortalama aynı sayı kadar azalacaktır (artacaktır).
3. Her seçenek rastgele bir sayıyla çarpılırsa (bölülürse), yeni ortalama aynı miktarda artacaktır (azalacaktır)
4. Tüm frekanslar (ağırlıklar) herhangi bir sayıya bölünür veya çarpılırsa aritmetik ortalama değişmeyecektir.
5. Bireysel seçeneklerin aritmetik ortalamadan sapmalarının toplamı her zaman sıfırdır.
İsteğe bağlı bir sabit değeri çıkarabilirsiniz ( daha iyi değer orta seçenekler veya en yüksek frekansa sahip seçenekler), ortaya çıkan farklılıkları ortak bir faktörle (tercihen aralığın değeri kadar) azaltın ve frekansları ayrıntılı olarak (yüzde olarak) ifade edin ve hesaplanan ortalamayı ortak bir faktörle çarpın ve ekleyin keyfi bir sabit değer.
Aritmetik ortalamayı hesaplamanın bu yöntemine denir koşullu sıfırdan hesaplama yöntemi.
Harmonik ortalama bu değer k = -1'de elde edildiğinden ters aritmetik ortalama denir. Basit harmonik ortalama karakteristik değerlerin ağırlıkları aynı olduğunda kullanılır. Örneğin, aynı yolu takip eden iki arabanın ortalama hızını hesaplamanız gerekir, ancak farklı hızlarda: birincisi - 100 km/saatlik bir hızla, ikincisi - 90 km/saatlik bir hızda. Harmonik ortalama yöntemini kullanarak ortalama hızı hesaplıyoruz:
İstatistiksel uygulamada daha sık kullanılır ağırlıklı harmonik ortalama – her bir özelliğin ağırlıklarının (veya olay hacimlerinin) eşit olmadığı ve ortalamanın hesaplanmasına yönelik başlangıç oranında payın bilindiği ancak paydanın bilinmediği durumlar için.
Örneğin ortalama fiyatı hesaplarken satış tutarının satılan adet sayısına oranını kullanmamız gerekir. Satılan birim sayısını bilmiyoruz ( Hakkında konuşuyoruz farklı mallar hakkında), ancak bu farklı malların satış miktarları bilinmektedir. Diyelim ki satılan malların ortalama fiyatını bulmanız gerekiyor (Tablo 3.2).
Tablo 3.2 – Başlangıç verileri
Şunu elde ederiz:
Burada aritmetik ortalama formülünü kullanırsanız gerçekçi olmayacak bir ortalama fiyat elde edebilirsiniz:
Ağırlığa göre ortalama fiyatı hesaplarken mal sayısını alırsak, aritmetik ağırlıklı ortalama formülü ile doğru sonuç verilir. Partilerin maliyetini ağırlık olarak kullanırsak harmonik ortalama doğru sonucu verir.
Yani, ortalamaHarmonik özel bir ortalama türü değil, aritmetik ortalamayı hesaplamanın özel bir yöntemidir.İstatistiklerde harmonik ortalamayı ayrı bir ortalama türü olarak ayırmak hala gelenekseldir, çünkü onun yardımıyla aritmetik ortalamayı hesaplama tekniği basitleştirilebilir ve daha da önemlisi mevcut istatistiksel materyalin doğası dikkate alınabilir.
Ortalama biçiminin (aritmetik veya harmonik) seçiminin doğruluğu da kontrol edilebilir ek kriter: Ağırlık olarak mutlak değerler kullanılıyorsa, ortalama hesaplanırken yapılan herhangi bir ara işlem önemli göstergeler vermelidir. Örneğin, ortalama fiyatı hesaplamak için, fiyatı mal sayısıyla çarparak maliyetlerini elde edin. Malların maliyetini fiyatlarına bölmek ise mal miktarını verir.
İstatistiklerdeki harmonik ortalama kullanılarak, planın ortalama tamamlanma yüzdesi (planın fiili uygulamasına bağlı olarak), operasyonların gerçekleştirilmesi için harcanan ortalama süre (bir operasyonda harcanan ortalama süreye ve toplam çalışma süresine bağlı olarak) da belirlenir. Bireysel çalışanlar), vb.
Geometrik ortalama Bir özelliğin bireysel değerleri göreceli değerler biçiminde sunulduğunda, ortalama büyüme oranlarının (ortalama büyüme katsayıları) belirlenmesinde uygulamasını bulur. Bir özelliğin minimum ve maksimum değerleri arasında (örneğin 100 ile 1000000 arasında) ortalamanın bulunması gerekiyorsa da kullanılır.
Ortalama kare Bir özelliğin toplamdaki değişimini ölçmek için kullanılır (standart sapmanın hesaplanması).
İstatistiklerde geçerli ortalamaların çoğunluğu kuralı:
X zarar.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.
İstatistiksel bir popülasyon, bazı açılardan homojen ve aynı zamanda farklı özelliklere sahip bir dizi birim, nesne veya olaydan oluşur. Her nesnenin özelliklerinin büyüklüğü, hem nüfusun tüm birimlerinde ortak olanlarla hem de bireysel özellikleriyle belirlenir.
Sıralı dağılım serileri (sıralama, aralık vb.) analiz edildiğinde, istatistiksel popülasyonun unsurlarının açıkça belirli merkezi değerler etrafında yoğunlaştığı fark edilebilir. Bireysel nitelik değerlerinin belirli merkezi değerler etrafında böyle bir konsantrasyonu, kural olarak, tüm istatistiksel dağılımlarda meydana gelir. İncelenen özelliğin bireysel değerlerinin frekans dağılımının merkezi etrafında gruplanma eğilimine denir. Merkezi Eğilim. Dağılımın merkezi eğilimini karakterize etmek için ortalama değerler adı verilen genelleştirici göstergeler kullanılır.
Ortalama boyut istatistiklerde karakterize eden genel bir gösterge diyorlar tipik boyut belirli yer ve zaman koşulları altında niteliksel olarak homojen bir popülasyondaki karakteristiktir ve popülasyon birimi başına değişen karakteristik miktarını yansıtır. Ortalama değer çoğu durumda özelliğin toplam hacminin bu özelliğe sahip birimlerin sayısına bölünmesiyle hesaplanır. Örneğin aylık ücret fonu ve aylık çalışan sayısı biliniyorsa, ücret fonunun işçi sayısına bölünmesiyle ortalama aylık ücret belirlenebilir.
Ortalama değerler bir iş gününün ortalama süresi, hafta, yıl, ortalama gibi göstergelerdir. tarife kategorisi işçiler, ortalama emek üretkenliği düzeyi, kişi başına ortalama milli gelir, ülkedeki ortalama tahıl verimi, kişi başına ortalama gıda tüketimi vb.
Ortalama değerler hem mutlak hem de göreceli değerlerden hesaplanır, göstergeler olarak adlandırılır ve ortalama karakteristik ile aynı ölçü birimlerinde ölçülür. İncelenen popülasyonun değerini bir sayı ile karakterize ederler. Ortalama değerler, sosyo-ekonomik olayların ve süreçlerin nesnel ve tipik düzeyini yansıtır.
Her ortalama, incelenen popülasyonu belirli bir özelliğe göre karakterize eder, ancak herhangi bir popülasyonu karakterize etmek, tipik özelliklerini ve niteliksel özelliklerini tanımlamak için bir ortalama göstergeler sistemine ihtiyaç vardır. Bu nedenle, yerel istatistik uygulamasında sosyo-ekonomik olayları incelemek için kural olarak kullanılır. ortalamalar sistemi.Örneğin, ortalama ücret göstergeleri, işgücü verimliliği (birim çalışma süresi başına ortalama çıktı), sermaye-emek oranı ve enerji üretimi, mekanizasyon düzeyi ve işin otomasyonu vb. göstergelerle birlikte değerlendirilir.
İstatistik biliminde ve uygulamada ortalamalar son derece önemlidir. Ortalamalar yöntemi en önemli istatistiksel yöntemlerden biridir ve ortalama, istatistik biliminin ana kategorilerinden biridir. Ortalamalar teorisi istatistik teorisinin merkezi yerlerinden birini işgal eder. Ortalama değerler, varyasyon ölçümlerinin (Bölüm 5), örnekleme hatalarının (Bölüm 6), varyansın (Bölüm 8) ve korelasyon analizi(bölüm 9).
İstatistikleri endeksler olmadan hayal etmek de imkansızdır ve ikincisi esasen ortalama değerleri temsil eder. İstatistiksel gruplama yönteminin kullanılması aynı zamanda ortalama değerlerin kullanılmasına da yol açmaktadır.
Daha önce de belirtildiği gibi gruplandırma yöntemi, istatistiğin ana yöntemlerinden biridir. Gruplandırma yöntemiyle birlikte ortalama yöntemi bileşen Bilimsel olarak geliştirilmiş istatistiksel metodoloji. Ortalama göstergeler istatistiksel gruplama yöntemini organik olarak tamamlar.
Ortalama değerler, zaman içindeki olaylardaki değişiklikleri karakterize etmek, ortalama büyüme oranlarını ve artışları hesaplamak için kullanılır. Örneğin, belirli bir süre (birkaç yıl) için emek verimliliği ve ücretlerin ortalama büyüme oranlarının karşılaştırılması, incelenen zaman dilimi boyunca olgunun gelişiminin doğasını, ayrı olarak emek verimliliğini ve ayrı olarak ücretleri ortaya koymaktadır. Bu iki olgunun büyüme oranlarının karşılaştırılması, emek üretkenliğinin belirli zaman dilimlerindeki ödemesine göre büyümesi veya azalması arasındaki ilişkinin doğası ve özelliği hakkında bir fikir verir.
Değişen bir özelliğin bir dizi değerini tek bir sayı ile karakterize etmenin gerekli olduğu her durumda, ortalama değeri kullanılır.
İstatistiksel bir toplamda, bir özelliğin değeri nesneden nesneye değişir, yani değişir. Bu değerlerin ortalamasını alarak ve popülasyonun her bir üyesine niteliğin seviye değerini sağlayarak, niteliğin bireysel değerlerinden soyutlarız, böylece nitelik değerlerinin dağılım serisini olduğu gibi değiştiririz. aynı değer ortalama değere eşittir. Bununla birlikte, böyle bir soyutlama, yalnızca ortalama almanın, bir bütün olarak verilen özelliğe göre temel özelliği değiştirmemesi durumunda meşrudur. İstatistiksel bir popülasyonun, bir özelliğin bireysel değerleriyle ilişkili olan ve ortalama alındığında değişmeden tutulması gereken bu temel özelliğine, incelenen özelliğe göre ortalamanın tanımlayıcı özelliği denir. Başka bir deyişle, özelliğin bireysel değerlerinin yerini alan ortalama, olgunun genel hacmini değiştirmemelidir; Bu eşitlik zorunludur: olgunun hacmi, ortalama değer ile nüfus büyüklüğünün çarpımına eşittir. Örneğin, üç arpa verim değerinden (x, = 20,0; 23,3; 23,6 c/ha) ortalama hesaplanırsa (20,0 + 23,3 + 23,6): 3 = 22,3 c/ha ha, o zaman tanımlamaya göre ortalamanın özelliği aşağıdaki eşitliğe uyulmalıdır:
Yukarıdaki örnekten görülebileceği gibi, tek bir çiftlikte bile 22,3 c/ha verim elde edilmediğinden, ortalama arpa verimi hiçbir bireysel verimle örtüşmemektedir. Ancak her çiftliğin 22,3 c/ha aldığını varsayarsak toplam verim değişmeyecek ve 66,9 c/ha'ya eşit olacaktır. Sonuç olarak, bireysel bireysel göstergelerin gerçek değerini değiştiren ortalama, incelenen özelliğin tüm değerlerinin toplamının boyutunu değiştiremez.
Ortalama değerlerin asıl önemi genelleştirme işlevinde yatmaktadır, yani. bir özelliğin birçok farklı bireysel değerinin, tüm fenomen kümesini karakterize eden ortalama bir değerle değiştirilmesi. Ortalamanın bireysel birimleri karakterize etme yeteneği değil, popülasyonun her birimi başına bir özelliğin düzeyini ifade etme yeteneği, onun ayırt edici yeteneğidir. Bu özellik, ortalamayı değişen özelliklerin düzeyinin genelleştirici bir göstergesi haline getirir; popülasyonun bireysel birimlerindeki bir özelliğin değerinin bireysel değerlerinden soyutlayan bir gösterge. Ancak ortalamanın soyut olması onu bilimsel araştırmalardan mahrum bırakmaz. Soyutlama herhangi bir bilimsel araştırmanın gerekli derecesidir. Ortalama değerde, herhangi bir soyutlamada olduğu gibi, bireyin ve genelin diyalektik birliği gerçekleştirilir. Ortalama karakteristiğin ortalama ve bireysel değerleri arasındaki ilişki, birey ile genel arasındaki diyalektik bağlantının bir ifadesi olarak hizmet eder.
Ortalamaların kullanımı, genel ve bireysel, kitle ve birey gibi diyalektik kategorilerin anlaşılmasına ve aralarındaki ilişkiye dayanmalıdır.
Ortalama değer, her bir bireysel nesnede ortak olanı yansıtır. Bu sayede ortalama, kitlesel toplumsal olayların doğasında olan ve bireysel olaylarda fark edilmeyen kalıpların belirlenmesinde büyük önem kazanmaktadır.
Olguların gelişiminde zorunluluk tesadüfle birleştirilir. Bu nedenle ortalama değerler kanunla ilgilidir büyük sayılar. Bu bağlantının özü, ortalama değer hesaplanırken, büyük sayılar kanunu nedeniyle farklı yönlere sahip rastgele dalgalanmaların karşılıklı olarak dengelenmesi, iptal edilmesi ve ortalama değerin, olayın temel modelini, gerekliliğini ve etkisini açıkça ortaya koymasıdır. belirli bir popülasyonun karakteristik genel koşulları. Ortalama, incelenen olgunun tipik, gerçek düzeyini yansıtır. Bu seviyeleri tahmin etmek ve bunları zaman ve mekan içinde değiştirmek ortalamaların temel görevlerinden biridir. Böylece, örneğin ortalamalar aracılığıyla, artan emek üretkenliği, mahsul verimi ve hayvan üretkenliği modeli ortaya çıkar. Sonuç olarak, ortalama değerler, genel koşulların etkisinin ve incelenen olgunun modelinin ifade edildiği genel göstergeleri temsil eder.
Ortalama değerleri kullanarak, zaman ve mekandaki olaylardaki değişiklikleri, gelişimlerindeki eğilimleri, özellikler arasındaki bağlantıları ve bağımlılıkları, etkililiği inceliyoruz. çeşitli formlarüretim, emek ve teknolojinin organizasyonu, uygulama bilimsel ve teknolojik ilerleme, belirli sosyo-ekonomik olayların ve süreçlerin gelişiminde yeni, ilerici tanımlama.
Ortalama değerler, sosyo-ekonomik olayların istatistiksel analizinde yaygın olarak kullanılmaktadır, çünkü hem zaman hem de mekan açısından değişen kitlesel sosyal olayların gelişimindeki kalıplar ve eğilimler bunların içinde tezahür etmektedir. Dolayısıyla, örneğin, ekonomideki emek üretkenliğini artırma modeli, üretimde çalışan işçi başına ortalama üretimdeki artışa, brüt hasatta artışa - ortalama mahsul verimindeki artışa vb. yansır.
Ortalama değer, incelenen olgunun en önemli yönlerinden birini yansıtan tek bir özelliğe dayalı olarak genelleştirilmiş bir özelliğini verir. Bu bağlamda, incelenen olgunun kapsamlı bir analizi için, birbiriyle ilişkili ve tamamlayıcı bir dizi temel özellik için bir ortalama değerler sistemi oluşturmak gereklidir.
Ortalamanın, incelenen sosyal olgularda gerçekten tipik ve doğal olanı yansıtması için, hesaplanırken aşağıdaki koşullara uyulması gerekir.
1. Ortalamanın hesaplandığı kriterin anlamlı olması gerekir. Aksi takdirde önemsiz veya çarpık bir ortalama elde edilecektir.
2. Ortalama yalnızca niteliksel olarak homojen bir nüfus için hesaplanmalıdır. Bu nedenle, ortalamaların doğrudan hesaplanmasından önce istatistiksel gruplama yapılmalıdır; bu, incelenen popülasyonun niteliksel olarak homojen gruplara bölünmesini mümkün kılar. Bu bakımdan ortalamalar yönteminin bilimsel temeli istatistiksel gruplama yöntemidir.
Bir nüfusun homojenliği sorununa, resmi olarak dağılım biçimine göre karar verilmemelidir. Bu, ortalamanın tipikliği sorunu gibi, bütünlüğü oluşturan nedenler ve koşullar temelinde çözülmelidir. Birimleri ortak ana nedenlerin ve belirleyen koşulların etkisi altında oluşan bütünlük de homojendir. genel seviye belirli bir özelliğin, tüm nüfusun karakteristiğinin.
3. Ortalama değerin hesaplanması, belirli bir türdeki tüm birimlerin veya yeterince büyük bir nesne kümesinin kapsamına dayanmalıdır, böylece rastgele dalgalanmalar karşılıklı olarak birbirine eşit olur ve bir model, karakteristiğin tipik ve karakteristik boyutları ortaya çıkar. inceleniyor.
4. Genel gereksinim Herhangi bir ortalama değer türünü hesaplarken, bireysel değerlerini ortalama değerle (ortalamanın tanımlayıcı özelliği olarak adlandırılan) değiştirirken, toplamdaki özelliğin toplam hacmini değiştirmeden korumak zorunludur.
Konu 5. İstatistiksel göstergeler olarak ortalama değerler
Ortalama değer kavramı. İstatistiksel araştırmalarda ortalamaların kapsamı
Elde edilen birincil istatistiksel verilerin işlenmesi ve özetlenmesi aşamasında ortalama değerler kullanılır. Ortalama değerlerin belirlenmesi ihtiyacı, kural olarak, incelenen popülasyonların farklı birimleri için aynı karakteristikteki bireysel değerlerin aynı olmamasından kaynaklanmaktadır.
Ortalama boyut incelenen popülasyondaki bir özelliğin veya özellikler grubunun genelleştirilmiş değerini karakterize eden bir gösterge olarak adlandırılır.
Niteliksel olarak homojen özelliklere sahip bir popülasyon incelenirse, ortalama değer burada şu şekilde hareket eder: tipik ortalama. Örneğin, belirli bir sektördeki sabit gelir düzeyine sahip işçi grupları için temel ihtiyaçlara ilişkin tipik ortalama harcama belirlenir; Tipik ortalama, belirli bir nüfustaki özelliğin niteliksel olarak homojen değerlerini genelleştirir; bu, bu gruptaki işçiler arasında temel mallara ilişkin harcamaların payıdır.
Niteliksel olarak heterojen özelliklere sahip bir popülasyonu incelerken, ortalama göstergelerin atipikliği ön plana çıkabilir. Bunlar, örneğin, kişi başına üretilen milli gelirin ortalama göstergeleri (farklı yaş grupları), Rusya genelinde tahıl veriminin ortalama göstergeleri (farklı iklim bölgeleri ve farklı tahıl mahsulleri), nüfusun doğum oranının ortalama göstergeleridir. ülkenin tüm bölgeleri, belirli bir döneme ait ortalama sıcaklıklar vb. Burada ortalama değerler, özelliklerin veya sistemik mekansal toplamların (uluslararası topluluk, kıta, devlet, bölge, bölge vb.) veya zamana yayılan dinamik toplamların (yüzyıl, on yıl, yıl, mevsim vb.) niteliksel olarak heterojen değerlerini genelleştirir. ). Bu tür ortalama değerlere denir sistem ortalamaları.
Dolayısıyla ortalama değerlerin önemi genelleştirme işlevlerinde yatmaktadır. Ortalama değer yerine geçer Büyük sayı popülasyonun tüm birimlerinde bulunan ortak özellikleri ortaya çıkaran bir özelliğin bireysel değerleri. Bu da rastgele nedenlerden kaçınmamıza ve ortak nedenlerden kaynaklanan genel kalıpları belirlememize olanak tanır.
Ortalama değer türleri ve hesaplama yöntemleri
İstatistiksel işleme aşamasında, çözümü için uygun ortalamanın seçilmesinin gerekli olduğu çeşitli araştırma problemleri belirlenebilir. Bu durumda, aşağıdaki kurala göre yönlendirilmek gerekir: ortalamanın payını ve paydasını temsil eden miktarlar birbirleriyle mantıksal olarak ilişkili olmalıdır.
güç ortalamaları;
yapısal ortalamalar.
Aşağıdaki kuralları tanıtalım:
Ortalaması hesaplanan miktarlar;
Yukarıdaki çubuğun bireysel değerlerin ortalamasının alındığını gösterdiği ortalama;
Frekans (bireysel karakteristik değerlerin tekrarlanabilirliği).
Genel güç ortalaması formülünden çeşitli ortalamalar türetilir:
(5.1)
k = 1 olduğunda - aritmetik ortalama; k = -1 - harmonik ortalama; k = 0 - geometrik ortalama; k = -2 - ortalama karenin kökü.
Ortalama değerler basit veya ağırlıklı olabilir. Ağırlıklı ortalamalar Bunlar, özellik değerlerinin bazı varyantlarının farklı sayılara sahip olabileceğini ve dolayısıyla her seçeneğin bu sayıyla çarpılması gerektiğini dikkate alan değerlerdir. Başka bir deyişle, "ölçekler" farklı gruplardaki toplam birimlerin sayısıdır; Her seçenek sıklığına göre "ağırlıklandırılır". f frekansına denir istatistiksel ağırlık veya ortalama ağırlık.
Aritmetik ortalama- en yaygın ortalama türü. Ortalama terimi elde etmeniz gereken gruplanmamış istatistiksel veriler üzerinde hesaplama yapıldığında kullanılır. Aritmetik ortalama, bir özelliğin toplamdaki toplam hacminin değişmeden kaldığı elde edildiğinde, bir özelliğin ortalama değeridir.
Aritmetik ortalamanın formülü (basit) şu şekildedir:
burada n popülasyon büyüklüğüdür.
Örneğin, bir işletme çalışanlarının ortalama maaşı aritmetik ortalama olarak hesaplanır:
Buradaki belirleyici göstergeler her çalışanın maaşı ve işletmenin çalışan sayısıdır. Ortalama hesaplanırken toplam ücret tutarı aynı kaldı ancak tüm çalışanlara eşit olarak dağıtıldı. Örneğin 8 kişinin çalıştığı küçük bir şirkette çalışanların ortalama maaşını hesaplamanız gerekiyor:
Ortalama değerleri hesaplarken, ortalaması alınan özelliğin bireysel değerleri tekrarlanabilir, böylece ortalama değer gruplandırılmış veriler kullanılarak hesaplanır. Bu durumda kullanmaktan bahsediyoruz aritmetik ortalama ağırlıklı formuna sahip olan
(5.3)
Bu nedenle, bazılarının ortalama hisse senedi fiyatını hesaplamamız gerekiyor. anonim şirket borsa ticaretinde. İşlemlerin 5 gün (5 işlem) içerisinde gerçekleştirildiği bilinmekte olup, satış kuru üzerinden satılan hisse adedi şu şekilde dağıtılmıştır:
1 - 800 ak. - 1010 ovmak.
2 - 650 ak. - 990 ovmak.
3 - 700 ak. - 1015 ovmak.
4 - 550 ak. - 900 ovmak.
5 - 850 Ak. - 1150 ovmak.
Hisselerin ortalama fiyatını belirlemek için kullanılan başlangıç oranı, toplam işlem tutarının (TVA) satılan hisse sayısına (KPA) oranıdır:
OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3.634.500;
KPA = 800+650+700+550+850=3550.
Bu durumda ortalama hisse senedi fiyatı şuna eşitti:
Hem kullanımı hem de hesaplanması açısından oldukça önemli olan aritmetik ortalamanın özelliklerinin bilinmesi gerekmektedir. Aritmetik ortalamanın istatistiksel ve ekonomik hesaplamalarda yaygın kullanımını en çok belirleyen üç ana özelliği ayırt edebiliriz.
Özellik bir (sıfır): Bir özelliğin bireysel değerlerinin ortalama değerinden pozitif sapmalarının toplamı, negatif sapmaların toplamına eşittir. Bu çok önemli bir özelliktir, çünkü rastgele nedenlerden kaynaklanan sapmaların (+ ve -) karşılıklı olarak iptal edileceğini gösterir.
Kanıt:
Özellik iki (minimum): Bir özelliğin bireysel değerlerinin aritmetik ortalamadan kare sapmalarının toplamı, diğer herhangi bir sayıdan (a) daha azdır, yani. minimum sayı vardır.
Kanıt.
a değişkeninden sapmaların karelerinin toplamını derleyelim:
(5.4)
Bu fonksiyonun ekstremumunu bulmak için türevini a'ya göre sıfıra eşitlemek gerekir:
Buradan şunu anlıyoruz:
(5.5)
Sonuç olarak, sapmaların kareleri toplamının ekstremumu elde edilir. Bir fonksiyonun maksimumu olamayacağından bu ekstremum minimumdur.
Üçüncü özellik: sabit bir değerin aritmetik ortalaması bu sabite eşittir: a = sabit için.
Aritmetik ortalamanın bu üç önemli özelliğine ek olarak, tasarım özellikleri Elektronik bilgisayar teknolojisinin kullanımı nedeniyle giderek önemini yitiren:
her birimin niteliğinin bireysel değeri sabit bir sayıyla çarpılır veya bölünürse, aritmetik ortalama aynı miktarda artacak veya azalacaktır;
her bir nitelik değerinin ağırlığı (frekansı) sabit bir sayıya bölünürse aritmetik ortalama değişmeyecektir;
her birimin niteliğinin bireysel değerleri aynı miktarda azaltılır veya artırılırsa, aritmetik ortalama aynı miktarda azalacak veya artacaktır.
Harmonik ortalama. Bu ortalamaya ters aritmetik ortalama denir çünkü bu değer k = -1 olduğunda kullanılır.
Basit harmonik ortalama Nitelik değerlerinin ağırlıkları aynı olduğunda kullanılır. Formülü, k = -1 yerine temel formülden türetilebilir:
Örneğin, aynı yolu farklı hızlarda kat eden iki arabanın ortalama hızını hesaplamamız gerekiyor: birincisi 100 km/saat, ikincisi 90 km/saat. Harmonik ortalama yöntemini kullanarak ortalama hızı hesaplıyoruz:
İstatistiksel uygulamada, formülü şu şekilde olan harmonik ağırlıklı olan daha sık kullanılır:
Bu formül, her bir özelliğin ağırlıklarının (veya olay hacimlerinin) eşit olmadığı durumlarda kullanılır. Ortalamanın hesaplanmasında kullanılan başlangıç oranında pay bilinmektedir ancak payda bilinmemektedir.
Bu bölümde ortalama değerlerin amacı açıklanmakta, bunların ana türleri ve biçimleri ile hesaplama yöntemleri tartışılmaktadır. Sunulan materyali incelerken, ortalama değerlerin oluşturulmasına yönelik gereklilikleri anlamak gerekir, çünkü bunlara uygunluk, bu değerleri bir dizi homojen birim için nitelik değerlerinin tipik özellikleri olarak kullanmanıza izin verir.
Ortalama formları ve türleri
ortalama değer popülasyonun birimi başına elde edilen nitelik değerleri düzeyinin genelleştirilmiş bir özelliğidir. Göstergelerin oranının bir ölçüsü olan göreceli değerden farklı olarak, ortalama değer, nüfus birimi başına düşen özelliğin bir ölçüsü olarak hizmet eder.
Ortalama değerin en önemli özelliği, incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortak olanı yansıtmasıdır.
Nüfusun bireysel birimlerinin nitelik değerleri, bazıları önemli veya rastgele olabilen birçok faktörün etkisi altında bir yönde veya başka bir yönde dalgalanır. Örneğin, banka kredilerine ilişkin faiz oranları, tüm kredi kuruluşları için başlangıç faktörleri (zorunlu karşılıkların düzeyi ve merkez bankası tarafından ticari bankalara sağlanan kredilere ilişkin taban faiz oranı vb.) ve aynı zamanda kredilerin özellikleri tarafından belirlenmektedir. Belirli bir kredinin doğasında olan riske, büyüklüğüne ve geri ödeme süresine, krediyi işleme ve geri ödemesini izleme maliyetlerine vb. bağlı olarak her bir özel işlem.
Ortalama değer, bir özelliğin bireysel değerlerini özetler ve belirli bir popülasyonun en karakteristik özelliği olan genel koşulların, belirli yer ve zaman koşullarındaki etkisini yansıtır. Ortalamanın özü, popülasyonun bireysel birimlerinin karakteristik değerlerinde rastgele faktörlerin eyleminin neden olduğu sapmaları iptal etmesi ve ana faktörlerin eyleminin neden olduğu değişiklikleri dikkate almasıdır. Ortalama değer, niteliksel olarak homojen bir popülasyondan hesaplandığında, belirli bir birim popülasyonundaki bir özelliğin tipik seviyesini yansıtacaktır. Bu bağlamda ortalama yöntemi gruplama yöntemiyle birlikte kullanılır.
Nüfusu bir bütün olarak karakterize eden ortalama değerlere denir genel, ve bir grup veya alt grubun özelliklerini yansıtan ortalamalar, - grup.
Genel ve grup ortalamalarının birleşimi, zaman ve mekan arasında karşılaştırma yapılmasına olanak tanır ve istatistiksel analizin sınırlarını önemli ölçüde genişletir. Örneğin, 2002 nüfus sayımının sonuçları özetlendiğinde, çoğu ülkede olduğu gibi Rusya için de şu ortaya çıktı: Avrupa ülkeleri yaşlanan bir nüfusla karakterizedir. 1989 nüfus sayımıyla karşılaştırıldığında ortalama yaşülke sakinlerinin oranı üç yıl artarak 37,7 yıl, erkekler - 35,2 yıl, kadınlar - 40,0 yıl oldu (1989 verilerine göre bu rakamlar sırasıyla 34,7, 31,9 ve 37,2 yıldı). Rosstat'a göre, 2011 yılında doğumda beklenen yaşam süresi erkekler için 63 yıl, kadınlar için ise 75,6 yıldı.
Her ortalama, incelenen popülasyonun bir özelliğine göre özelliğini yansıtır. Pratik kararlar verebilmek için kural olarak nüfusu çeşitli özelliklere göre karakterize etmek gerekir. Bu durumda ortalamalar sistemi kullanılır.
Örneğin, bankacılık faaliyetlerinde kabul edilebilir bir risk seviyesinde operasyonların gerekli karlılık seviyesine ulaşmak için, verilen kredilere ilişkin ortalama faiz oranları, mevduat ve diğer finansal araçlara ilişkin ortalama faiz oranları dikkate alınarak belirlenmektedir.
Ortalama değeri hesaplamanın şekli, türü ve yöntemi, çalışmanın belirtilen amacına, incelenen özelliklerin türüne ve ilişkisine ve ayrıca ilk verilerin niteliğine bağlıdır. Ortalamalar iki ana kategoriye ayrılır:
- 1) güç ortalamaları;
- 2) yapısal ortalamalar.
Ortalama formül, uygulanan ortalamanın gücünün değerine göre belirlenir. Artan üs ile k ortalama değer buna göre artar.
