Municipal instituție educațională„Gimnaziul nr. 41”
Supraveghetor: ,
profesor de matematică
Novouralsk, 2012.
Introducere 3
1. Informații generale despre pătratele magice 4
1.1. Conceptul de pătrat magic 4
1.2. Din istoria pătratelor magice 4
1.3. Tipuri de pătrate magice 6
2. Rezolvarea pătratelor magice 6
2.1. Rezolvarea pătratelor magice (metoda Bachet de Mezirac) 7
2.2. Enunțarea problemei 8
2.3. Algoritm pentru rezolvarea pătratelor magice 8
2.4. Dovada algoritmului (în forma algebrică) 9
2.5. Un exemplu de rezolvare a unui pătrat magic folosind algoritmul 10
3. Folosirea pătratelor magice 11
3.1. Diverse cazuri de generalizare a pătratelor magice 11
3.2. Aplicarea pătratelor latine 12
4. Concluzii generale 13
5. Concluzie 14
6. Referințe 15
Anexa 1
Anexa 2
Anexa 3
Introducere
În timpul clubului de matematică ne-am confruntat cu probleme legate de completarea celulelor unui pătrat după reguli speciale. Numerele propuse trebuiau introduse astfel încât rezultatul să îndeplinească mai multe condiții simultan:
Dacă însumați toate numerele din fiecare rând,
Dacă însumați toate numerele din fiecare coloană,
Dacă însumați toate numerele în două diagonale,
atunci toate aceste sume vor fi egale cu același număr.
În ciuda faptului că problemele diferă în ceea ce privește numerele inițiale, ordinea numerelor și specificarea sumei, toate erau similare, iar soluțiile erau de același tip.
Ideea a apărut nu numai de a rezolva fiecare problemă, ci și de a veni cu un algoritm de soluție generală și, de asemenea, de a găsi informații istorice despre probleme de acest tip în literatură.
S-a dovedit că figurile care ne interesează se numesc pătrate magice, cunoscute din cele mai vechi timpuri. Ele vor fi discutate în această lucrare.
Scopul lucrării: sistematizați informațiile despre pătratele magice, dezvoltați un algoritm pentru rezolvarea acestora.
Sarcini:
1. Studiați istoria apariției pătratelor magice.
2. Identificați tipurile de pătrate magice.
3. Învață modalități de a rezolva pătratele magice.
4. Dezvoltați și dovediți algoritmul de soluție.
5. Determinați utilizarea pătratelor magice.
1.Informații generale despre pătratele magice
1.1. Conceptul de pătrat magic
Pătratele magice sunt foarte populare și astăzi. Acestea sunt pătrate în care numerele sunt înscrise în fiecare celulă, astfel încât sumele numerelor de-a lungul oricărei orizontale, oricărei verticale și oricărei diagonale să fie egale. Cel mai faimos este pătratul magic înfățișat în gravura artistului german A. Dürer „Melancolie” (Anexa 1).
1.2. Din istoria pătratelor magice
Numerele au devenit o parte atât de importantă a vieții umane încât au început să le atribuie tot felul proprietăți magice. Deja cu câteva mii de ani în urmă China antică m-am lăsat purtat de a face pătrate magice. Amulete pătrate au fost găsite în timpul săpăturilor arheologice din China și India. Pătratul a fost împărțit în nouă pătrate mici, în fiecare dintre care erau scrise numerele de la 1 la 9. Este remarcabil că sumele tuturor numerelor din orice verticală, orizontală și diagonală au fost egale cu același număr 15 (Figura 1) .
Poza 1.
În Evul Mediu, pătratele magice erau foarte populare. Unul dintre pătratele magice este reprezentat în gravura celebrului artist german Albrecht Dürer, „Melancolie”. Cele 16 celule ale pătratului conțin numere de la 1 la 16, iar suma numerelor din toate direcțiile este 34. Este curios că cele două numere din mijlocul liniei de jos indică anul în care a fost creată imaginea - 1514. Obținerea pătratele magice au fost o distracție populară printre matematicieni; au fost create pătrate uriașe, de exemplu, 43x43, conținând numere de la 1 la 1849 și, pe lângă proprietățile indicate ale pătratelor magice, au și multe proprietăți suplimentare. Au fost inventate metode pentru a construi pătrate magice de orice dimensiune, dar încă nu a fost găsită o formulă prin care să se poată găsi numărul de pătrate magice dimensiune dată. Se știe, și puteți arăta cu ușurință acest lucru singur, că nu există pătrate magice de dimensiunea 2x2, există exact un pătrat magic de 3x3, restul acestor pătrate sunt obținute din acesta prin rotații și simetrii. Există deja 800 de pătrate magice 4x4, iar numărul de pătrate 5x5 este aproape de un sfert de milion.
1.3. Tipuri de pătrate magice
Magic(pătrat magic) n 2 numere în așa fel încât suma numerelor din fiecare rând, fiecare coloană și pe ambele diagonale să fie aceeași.
Pătrat semi-magic este un tabel pătrat nxn umplut n 2 numere in asa fel incat sumele numerelor sa fie egale doar in randuri si coloane.
Normal– un pătrat magic plin cu numere întregi de la 1 la n 2.
Asociativ (simetric) - un pătrat magic în care suma oricăror două numere situate simetric în jurul centrului pătratului este egală cu n 2 + 1.
Pătratul magic al Diavolului (pandiagonal).- un pătrat magic, în care sumele numerelor de-a lungul diagonalelor rupte (diagonale care se formează atunci când pătratul este pliat într-un tor) coincid și în ambele direcții cu constanta magică.
Există 48 de pătrate magice diabolice 4x4 cu precizie de rotație și reflexie. Dacă luăm în considerare și simetria lor suplimentară - translațiile paralele torice, atunci rămân doar 3 pătrate semnificativ diferite (Figura 2).
Figura 2.
Pătratele pandiagonale de ordinul al patrulea au un număr de proprietăți suplimentare pentru care sunt chemaţi perfect. Nu există pătrate perfecte de ordine impară. Printre pătratele pandiagonale de paritate dublă peste 4 există unele perfecte.
Există 3600 de pătrate pandiagonale de ordinul 5. Luând în considerare translațiile paralele torice, există 144 de pătrate pandiagonale diferite.
2. Rezolvarea pătratelor magice
2.1 Rezolvarea pătratelor magice (metoda Bachet de Mezirac)
Regulile pentru construirea pătratelor magice sunt împărțite în trei categorii, în funcție de ordinea pătratului este impar, egal cu de două ori un număr impar sau egal cu de patru ori un număr impar. Metoda generala Construcția tuturor pătratelor este necunoscută, deși diferite scheme sunt utilizate pe scară largă. Este posibil să găsiți toate pătratele magice de ordinul n numai pentru n ≤ 4.
Pentru a rezolva pătrate magice normale de dimensiuni arbitrar de mari, vom folosi metoda descrisă în 1612 de matematicianul francez Claude Bachet de Mezirac. O traducere în limba rusă a cărții sale a fost publicată la Sankt Petersburg în 1877 sub titlul „Jocuri și probleme bazate pe matematică”.
Este convenabil să construiți un pătrat magic pe hârtie în carouri. Fie n un număr impar și trebuie să construim un pătrat nxn cu numere de la 1 la n2, procedăm în etape.
1. Scriem toate numerele de la 1 la n2 în celule în diagonală (n numere pe rând) pentru a forma un pătrat în diagonală.
2. Selectați un pătrat nxn în centrul său. Aceasta este baza (nu toate celulele sunt încă umplute) viitorului pătrat magic.
3. Mutăm cu atenție fiecare „colț” numeric situat în afara pătratului central din interior - în partea opusă a pătratului. Numerele acestor colțuri trebuie să umple toate celulele goale. S-a construit pătratul magic.
Să dăm un exemplu de umplere a unui pătrat de 3x3 cu numere de la 1 la 9. Pentru a face acest lucru, vom adăuga celule suplimentare pătratului pentru a obține diagonale. Mai întâi, umpleți celulele diagonale cu numere de la 1 la 9 (Figura 3), apoi „îndoiți colțurile” spre interior spre partea opusă în celulele goale ale pătratului (Figura 4).
Figura 3. Figura 4.
2.2. Formularea problemei.
Să descriem metoda noastră de rezolvare a pătratelor magice. Să ne concentrăm pe studierea modelului matematic al pătratelor magice 3x3.
Formularea generală a problemei.
Sunt nouă numere. Este necesar să le plasați în celule ale unui pătrat de 3x3, astfel încât de-a lungul oricărei verticale, orizontale și diagonale sumele numerelor să fie egale.
2.3. Algoritm pentru rezolvarea unui pătrat magic
Descrierea verbală a algoritmului
1. Sortați numerele în ordine crescătoare.
2. Găsiți numărul central (al cincilea în ordine).
3. Determinați perechi conform regulii: 1 pereche - primul număr și al nouălea,
2 perechi - al doilea număr și al optulea,
3 perechi - al treilea număr și al șaptelea,
4 perechi – al patrulea număr și al șaselea.
4. Aflați suma numerelor (S) care ar trebui obținută prin adăugarea numerelor de-a lungul fiecărei verticale, orizontale, diagonale: adăugați cea mai mică, cea mai centrală, cea mai mare număr mare, adică numerele 1 pereche cu un număr central.
5. Așezați numărul central în centrul pătratului.
6. De-a lungul liniei centrale orizontale (sau verticală), introduceți prima pereche de numere în celulele goale.
7. Notați a doua pereche de numere de-a lungul oricărei diagonale (astfel încât număr mai mare prima pereche a ajuns în coloana cu numărul mai mic al celei de-a doua perechi).
8. Calculați numărul care trebuie scris într-una dintre coloanele exterioare, conform regulii:
din S scade suma celor două numere cuprinse în celulele coloanei pentru a obține un număr.
9. În diagonală față de numărul rezultat, notați al doilea număr al perechii sale.
10. Scrieți ultima pereche de numere în celulele rămase conform regulii: scrieți numărul mai mare din pereche în linia cu cel mai mic, iar cel mai mic în celula goală rămasă.
2.4. Dovada completării corecte a pătratului magic
(Rezolvarea problemei în formă generală)
Să demonstrăm că sumele numerelor situate de-a lungul verticalelor, orizontalelor și diagonalelor pătratului ca urmare a executării algoritmului vor fi egale.
Fie ca, după ordonare, fiecare număr următor să difere de cel anterior printr-o sumă constantă X. Să exprimăm toate numerele a1(cel mai mic număr) și X:
a1, a2=a1+x,
a3=a2+X=a1+2x,
a4=a1+3x,
a5=a1+4x,
a6=a1+5x,
a7=a1+6x,
a8=a1+7x,
A9 = A1 +8 X.
Să aflăm suma Sși exprimă-l prin numere a1Și X: S= A1 + A5 + A9 =3 A1 +12 X.
Lăsați pătratul magic să fie umplut conform algoritmului propus.
Să demonstrăm că sumele numerelor situate orizontal, vertical și diagonal pătratului sunt egale S.
Vertical:
S1=a4+a3+a8=a1+a1+a1+3x+2x+7x=3a1+12x=S
S2=a9+a5+a1=a1+a1+a1+8x+4x=3a1+12x=S
S3=a2+a7+a6=a1+a1+a1+x+6x+5x=3a1+12x=S
Orizontal:
S4=a4+a9+a2=a1+a1+a1+3x+8x+x=3a1+12x=S
S5=a3+a5+a7=a1+a1+a1+2x+4x+6x=3a1+12x=S
S6=a8+a1+a6=a1+a1+a1+7x+5x=3a1+12x=S
Diagonal:
S7=a4+a5+a6=a1+a1+a1+3x+4x+5x=3a1+12x=S
S8=a8+a5+a2=a1+a1+a1+7x+4x+x=3A1 +12x=S
Am primit aceleasi sume. Afirmația a fost dovedită.
Notă.
Numerele astfel organizate formează o progresie aritmetică. În această secvență (după ordonare) a1 este primul termen progresie aritmetică, x este diferența progresiei aritmetice. Pentru numerele care nu formează o progresie aritmetică, algoritmul nu funcționează.
2.5. Exemplu de rezolvare a pătratelor magice
Numerele date sunt: 5,2,4,8,1,3,7,9,6. Completați pătratul magic cu numerele date.
1. 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
2. Avem numărul central 5.
3. Perechi: 1 și 9, 2 și 8, 3 și 7, 4 și 6.
4. S = 5+1+9= 15 - suma.
8. 15-(9+2)=4
Acest algoritm diferă semnificativ de metoda Bachet de Meziriac. Pe de o parte, necesită calcule suplimentare (un dezavantaj al metodei); pe de altă parte, metoda noastră nu necesită construcții suplimentare (pătrat în diagonală). Mai mult, metoda este aplicabilă nu numai numerelor naturale consecutive de la 1 la 9, ci și oricăror nouă numere care sunt membre ale unei progresii aritmetice, în care îi vedem avantajele. În plus, constanta magică este determinată automat - suma numerelor de-a lungul fiecărei diagonale, verticale și orizontale.
3. Folosirea pătratelor magice
3.1. Diverse cazuri de generalizare a pătratelor magice
Problema compunerii și descrierii pătratelor magice i-a interesat pe matematicieni încă din cele mai vechi timpuri. in orice caz descriere completa Toate pătratele magice posibile nu au fost obținute până în prezent. Pe măsură ce dimensiunea (numărul de celule) unui pătrat crește, numărul de pătrate magice posibile crește rapid. Printre pătrate dimensiuni mari Există pătrate cu proprietăți interesante. De exemplu, în pătratul din figura nr. 5, nu numai sumele numerelor din rânduri, coloane și diagonale sunt egale, ci și sumele de cinci de-a lungul diagonalelor „rupte”, conectate în imagine prin linii colorate.
Figura 5. Figura 6.
Pătratele latine sunt un pătrat de n x n celule în care sunt scrise numerele 1, 2, ..., n, și în așa fel încât toate aceste numere să apară o dată în fiecare rând și fiecare coloană. (Figura 6) prezintă două astfel de pătrate latine 4x4. Au o caracteristică interesantă: dacă un pătrat este suprapus peste altul, atunci toate perechile de numere rezultate se dovedesc a fi diferite. Astfel de perechi de pătrate latine se numesc ortogonale. Problema găsirii unor pătrate latine ortogonale a fost pusă pentru prima dată de L. Euler, iar într-o formulare atât de distractivă: „Printre cei 36 de ofițeri există un număr egal de lănciri, dragoni, husari, cuirasieri, gărzi de cavalerie și grenadieri și, în plus, un număr egal de generali, colonei, maiori, căpitani, locotenenți și sublocotenenți, și Fiecare ramură a armatei este reprezentată de ofițeri din toate cele șase grade. Este posibil să aliniați acești ofițeri într-un pătrat de 6x6 astfel încât în orice coloană să fie ofițeri de toate gradele?” (Anexa 2).
L. Euler nu a putut găsi o soluție la această problemă. În 1901 s-a dovedit că o astfel de soluție nu există.
3.2. Aplicarea pătratelor latine
Pătratele magice și latine sunt rude apropiate. Teoria pătratelor latine și-a găsit numeroase aplicații, atât în matematică în sine, cât și în aplicațiile ei. Să dăm un exemplu. Să presupunem că vrem să testăm două soiuri de grâu pentru randament într-o anumită zonă și vrem să luăm în considerare influența gradului de rară a culturilor și influența a două tipuri de îngrășăminte. Pentru a face acest lucru, vom împărți suprafața pătrată în 16 părți egale (Figura 7). Vom planta primul soi de grâu pe parcele corespunzătoare dungii orizontale inferioare, vom planta următorul soi pe patru parcele corespunzătoare următoarei dungi etc. (în figură soiul este indicat prin culoare.)
Agricultură" href="/text/category/selmzskoe_hozyajstvo/" rel="bookmark">agricultura, fizică, chimie și tehnologie.
4. Concluzii generale
În timpul muncii mele m-am întâlnit tipuri variate Pătrate magice, a învățat cum să rezolvi pătratele magice normale folosind metoda Bachet de Mezirac. Deoarece soluția noastră pentru pătratele magice 3x3 diferă de metoda specificată, dar ne permitea să umplem corect celulele pătratului de fiecare dată, a existat dorința de a dezvolta propriul algoritm. Acest algoritm este descris în detaliu în lucrare și dovedit în formă algebrică. S-a dovedit că este aplicabil nu numai pătratelor normale, ci și pătratelor 3x3, unde numerele formează o progresie aritmetică. De asemenea, am putut găsi exemple de utilizare a pătratelor magice și latine.
Am învățat să rezolv niște pătrate magice, să dezvolt și să descriu algoritmi, să demonstrez enunțuri în formă algebrică. Am învățat concepte noi: progresie aritmetică, pătrat magic, constantă magică, am studiat tipurile de pătrate.
Din păcate, nici algoritmul dezvoltat de mine și nici metoda Bachet de Mezirac nu permit rezolvarea pătratelor magice 4x4. Prin urmare, am vrut să creez un algoritm de soluție pentru astfel de pătrate în viitor.
5. Concluzie
În această lucrare au fost studiate pătratele magice și a fost luată în considerare istoria originii lor. Au fost determinate tipurile de pătrate magice: pătrat magic sau magic, pătrat semimagic, normal, asociativ, pătrat magic diavolesc, perfect.
Printre metode existente Pentru rezolvarea acestora s-a ales metoda Bachet de Meziriac, s-a testat folosind exemple. În plus, pentru rezolvarea pătratelor magice 3x3, se propune propriul algoritm de soluție și se oferă o demonstrație matematică în formă algebrică.
Algoritmul propus diferă semnificativ de metoda Bachet de Meziriac. Pe de o parte, necesită calcule suplimentare (un dezavantaj al metodei); pe de altă parte, nu sunt necesare construcții suplimentare. Metoda este aplicabilă nu numai numerelor naturale consecutive de la 1 la 9, ci și oricăror nouă numere care sunt membre ale unei progresii aritmetice, în care îi vedem avantajele. În plus, constanta magică este determinată automat - suma numerelor de-a lungul fiecărei diagonale, verticale și orizontale.
Lucrarea prezintă o generalizare a pătratelor magice - pătrate latine și descrie aplicarea lor practică.
Această lucrare poate fi folosită în lecțiile de matematică ca a material suplimentar, precum și în orele de club și în munca individuala cu elevii.
6. Referințe
1. Misterele lumii numerelor / Comp. – D.: Stalker, 1997.-448 p.
2. Dicţionar enciclopedic al unui tânăr matematician / Comp. – M.: Pedagogie, 1989 – 352 p.: ill.
3. Enciclopedie pentru copii. T11. Matematică / Ch. ed. – M.: Avanta+, 2000 – 688 p.: ill.
4. Explorez lumea: Enciclopedia copiilor: Matematică / Comp. – și altele – M.: AST, 1996. – 480 p.: ill.
Există diverse tehnici de construire a pătratelor de paritate simplă și paritate dublă.
Calculați constanta magică. Acest lucru se poate face folosind un simplu formula matematica/ 2, unde n este numărul de rânduri sau coloane din pătrat. De exemplu, într-un pătrat 6x6 n=6, iar constanta sa magică este:
- Constanta magica = / 2
- Constanta magica = / 2
- Constanta magică = (6 * 37) / 2
- Constanta magica = 222/2
- Constanta magică pentru un pătrat de 6x6 este 111.
- Suma numerelor din orice rând, coloană și diagonală trebuie să fie egală cu constanta magică.
Împărțiți pătratul magic în patru cadrane de dimensiuni egale. Etichetați cadranele A (stânga sus), C (dreapta sus), D (stânga jos) și B (dreapta jos). Pentru a afla dimensiunea fiecărui cadran, împărțiți n la 2.
- Astfel, într-un pătrat de 6x6, dimensiunea fiecărui cadran este de 3x3.
În cadranul A, scrieți a patra parte a tuturor numerelor; în cadranul B, scrieți următoarea patra din toate numerele; în cadranul C, scrieți următoarea patra din toate numerele; în cadranul D, scrieți ultimul sfert al tuturor numerelor.
- În exemplul nostru de pătrat de 6x6, în cadranul A, scrieți numerele 1-9; în cadranul B - numerele 10-18; în cadranul C - numerele 19-27; în cadranul D - numerele 28-36.
Notați numerele din fiecare cadran așa cum ați face pentru un pătrat impar.În exemplul nostru, începeți să completați cadranul A cu numere care încep de la 1 și cadranele C, B, D - începând cu 10, 19, respectiv 28.
- Scrieți întotdeauna numărul de la care începeți să completați fiecare cadran în celula centrală a rândului de sus al unui anumit cadran.
- Completați fiecare cadran cu numere ca și cum ar fi un pătrat magic separat. Dacă o celulă goală dintr-un alt cadran este disponibilă atunci când completați un cadran, ignorați acest fapt și utilizați excepțiile de la regulă pentru umplerea pătratelor impare.
Evidențiați numere specifice în cadranele A și D.În această etapă, suma numerelor din coloane, rânduri și diagonală nu va fi egală cu constanta magică. Prin urmare, trebuie să schimbați numerele din anumite celule din cadranele din stânga sus și din stânga jos.
- Pornind de la prima celulă din rândul superior al cadranului A, selectați un număr de celule egal cu numărul median de celule din întregul rând. Astfel, într-un pătrat de 6x6, selectați doar prima celulă din rândul de sus al cadranului A (în această celulă este scris numărul 8); într-un pătrat de 10x10 trebuie să selectați primele două celule din rândul de sus al cadranului A (numerele 17 și 24 sunt scrise în aceste celule).
- Formați un pătrat intermediar din celulele selectate. Deoarece ați selectat o singură celulă într-un pătrat de 6x6, pătratul intermediar va fi format dintr-o celulă. Să numim acest pătrat intermediar A-1.
- Într-un pătrat de 10x10, ați selectat cele două celule din rândul de sus, așa că trebuie să selectați primele două celule din al doilea rând pentru a forma un pătrat intermediar de 2x2 de patru celule.
- Pe linia următoare, săriți peste numărul din prima celulă, apoi evidențiați atâtea numere câte ați evidențiat în pătratul intermediar A-1. Să numim pătratul intermediar rezultat A-2.
- Obținerea pătratului intermediar A-3 este similară cu obținerea pătratului intermediar A-1.
- Pătratele intermediare A-1, A-2, A-3 formează zona A selectată.
- Repetați procesul descris în cadranul D: creați pătrate intermediare care formează zona D selectată.
PIATA MAGICA
un tabel pătrat de numere întregi în care sumele numerelor de-a lungul oricărui rând, oricărei coloane și oricare dintre cele două diagonale principale sunt egale cu același număr. Pătratul magic este de origine chineză veche. Potrivit legendei, în timpul domniei împăratului Yu (aproximativ 2200 î.Hr.), din apele râului Galben (Râul Galben) a ieșit la suprafață o țestoasă sacră, pe a cărei carapace erau înscrise hieroglife misterioase (Fig. 1a), iar aceste semne sunt cunoscute sub numele de lo-shu și sunt echivalente cu pătratul magic prezentat în Fig. 1, b. În secolul al XI-lea Au învățat despre pătratele magice în India și apoi în Japonia, unde în secolul al XVI-lea. O vastă literatură a fost dedicată pătratelor magice. Europenii au fost introduși în pătratele magice în secolul al XV-lea. scriitorul bizantin E. Moschopoulos. Primul pătrat inventat de un european este considerat pătratul lui A. Durer (Fig. 2), înfățișat în faimoasa sa gravură Melancolie 1. Data creării gravurii (1514) este indicată de numerele din cele două centrale. celulele liniei de jos. Diferite proprietăți mistice au fost atribuite pătratelor magice. În secolul al XVI-lea Cornelius Heinrich Agrippa a construit pătrate de ordinul 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9, care au fost asociate cu astrologia celor 7 planete. Se credea că un pătrat magic gravat pe argint protejează împotriva ciumei. Chiar și astăzi, printre atributele ghicitorilor europeni se pot vedea pătrate magice.
În secolele al XIX-lea și al XX-lea. interesul pentru pătratele magice a apărut odată cu forță nouă. Au început să fie studiate folosind metodele algebrei superioare și ale calculului operațional. Fiecare element al unui pătrat magic se numește celulă. Un pătrat a cărui latură este formată din n celule conține n2 celule și se numește pătrat de ordinul al n-lea. Majoritatea pătratelor magice folosesc primele n numere naturale consecutive. Suma S numere din fiecare rând, fiecare coloană și pe orice diagonală se numește constantă pătrată și este egală cu S = n(n2 + 1)/2. S-a demonstrat că n = 3. Pentru un pătrat de ordinul 3 S = 15, ordinul 4 - S = 34, ordinul 5 - S = 65. Cele două diagonale care trec prin centrul pătratului se numesc diagonale principale. O linie întreruptă este o diagonală care, ajungând la marginea pătratului, continuă paralelă cu primul segment din marginea opusă (o astfel de diagonală este formată din celulele umbrite din fig. 3). Celulele care sunt simetrice față de centrul pătratului se numesc simetrice oblice. Acestea sunt, de exemplu, celulele a și b din Fig. 3.
Regulile pentru construirea pătratelor magice sunt împărțite în trei categorii, în funcție de ordinea pătratului este impar, egal cu de două ori un număr impar sau egal cu de patru ori un număr impar. O metodă generală de construire a tuturor pătratelor este necunoscută, deși sunt utilizate pe scară largă diverse scheme, dintre care unele le vom lua în considerare mai jos. Pătratele magice de ordin impar pot fi construite folosind metoda unui geometru francez din secolul al XVII-lea. A. de la Lubera. Să luăm în considerare această metodă folosind exemplul unui pătrat de ordinul 5 (Fig. 4). Numărul 1 este plasat în celula centrală a rândului de sus. Toate numerele naturale sunt aranjate într-o ordine naturală ciclic de jos în sus în celule diagonale de la dreapta la stânga. După ce am ajuns la marginea superioară a pătratului (ca și în cazul numărului 1), continuăm să umplem diagonala începând din celula de jos a coloanei următoare. După ce am ajuns la marginea dreaptă a pătratului (numărul 3), continuăm să umplem diagonala care vine din celula din stânga în linia de mai sus. După ce a ajuns la o celulă umplută (numărul 5) sau la un colț (numărul 15), traiectoria coboară o celulă, după care procesul de umplere continuă.
Metoda lui F. de la Hire (1640-1718) se bazează pe două pătrate originale. În fig. Figura 5 arată cum se utilizează această metodă pentru a construi un pătrat de ordinul 5. Numerele de la 1 la 5 sunt introduse în celula primului pătrat, astfel încât numărul 3 se repetă în celulele diagonalei principale mergând în sus spre dreapta, și nici un număr nu apare de două ori în același rând sau în același coloană. Facem același lucru cu numerele 0, 5, 10, 15, 20 cu singura diferență că numărul 10 se repetă acum în celulele diagonalei principale, mergând de sus în jos (Fig. 5, b). Suma celulă cu celulă a acestor două pătrate (Fig. 5c) formează un pătrat magic. Această metodă este folosită și pentru a construi pătrate de ordine pară.
Dacă știți cum să construiți pătrate de ordinul m și n, atunci puteți construi un pătrat de ordinul mґn. Esența acestei metode este prezentată în Fig. 6. Aici m = 3 și n = 3. Un pătrat mai mare de ordinul 3 (cu numere marcate cu numere prime) este construit folosind metoda de la Loubert. În celula cu numărul 1ў (celula centrală a rândului de sus) se potrivește un pătrat de ordinul 3 dintre numerele de la 1 la 9, construit tot prin metoda de la Lubert. În celula cu numărul 2ў (dreapta în linia de jos) se potrivește un pătrat de ordinul 3 cu numere de la 10 la 18; în celula cu numărul 3ў - un pătrat de numere de la 19 la 27 etc. Ca rezultat, obținem un pătrat de ordinul 9. Astfel de pătrate sunt numite compozite.
Enciclopedia lui Collier. - Societate deschisă. 2000 .
Vezi ce este „PIAȚA MAGIC” în alte dicționare:
Un pătrat împărțit într-un număr egal de n coloane și rânduri, cu primul n2 înscris în celulele rezultate numere naturale, care adună la fiecare coloană, fiecare rând și două diagonale mari același număr... Dicţionar enciclopedic mare
MAGIC SQUARE, o MATRICE pătrată, împărțită în celule și umplută cu cifre sau litere într-un anumit fel, reparând o situație magică specială. Cel mai comun pătrat de litere este SATOR, format din cuvintele SATOR, AREPO,... ... Dicționar enciclopedic științific și tehnic
Un pătrat împărțit într-un număr egal n de coloane și rânduri, cu numere naturale de la 1 la n2 înscrise în celulele rezultate, care însumează același număr pentru fiecare coloană, fiecare rând și două diagonale mari. În fig. exemplu de M. k. s...... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic
Un pătrat magic sau magic este un tabel pătrat umplut cu numere în așa fel încât suma numerelor din fiecare rând, fiecare coloană și pe ambele diagonale să fie aceeași. Dacă sumele numerelor dintr-un pătrat sunt egale doar în rânduri și coloane, atunci ... Wikipedia
Un pătrat împărțit într-un număr egal n de coloane și rânduri, cu primele n2 numere naturale înscrise în celulele rezultate, care se adună la același număr pentru fiecare coloană, fiecare rând și două diagonale mari. Imaginea arată un exemplu... ... Dicţionar enciclopedic
Un pătrat împărțit într-un număr egal n de coloane și rânduri, cu primele n2 numere naturale înscrise în celulele rezultate, care însumează fiecare coloană, fiecare rând și două diagonale mari același număr [egal cu... ... Marea Enciclopedie Sovietică
Tabel pătrat de numere întregi de la 1 la n2, satisfăcător urmatoarele conditii: unde s=n(n2+1)/2. Sunt luate în considerare și ecuații matematice mai generale, în care nu este necesar ca orice număr a să fie caracterizat în mod unic de o pereche de resturi (a, b) modulo n(cifre... Enciclopedie matematică
Carte Un pătrat împărțit în părți, fiecare dintre ele conține un număr care se adună la același număr împreună cu altele pe orizontală, verticală sau diagonală. BTS, 512... Dicționar mare zicale rusești
- (greacă magikos, de la magos magician). Magic, legat de magie. Dicţionar cuvinte străine, inclus în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. Magie MAGICĂ. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Pavlenkov F., 1907... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse
Este o versiune tridimensională a pătratului magic. Un cub magic tradițional (clasic) de ordinul n este un cub de dimensiuni n×n×n, umplut cu diverse numere naturale de la 1 la n3, astfel încât sumele numerelor din oricare dintre cele 3n2 rânduri, ... ... Wikipedia
Cărți
- Piața Magică, Irina Bjorno, „Piața Magică” este o colecție de povești și nuvele scrise în stilul realismului magic, în care realitatea este strâns împletită cu magia și fantezia, formând un stil nou, magic -... Categorie: Groază și mister Editura: Publishing Solutions, carte electronică (fb2, fb3, epub, mobi, pdf, html, pdb, lit, doc, rtf, txt)
XIII Conferința științifică și practică a școlarilor
„Pătrate magice”
Elevii din clasa 8 „A”.
Liceul PTP
Sholokhova Anna
Șeful Anokhin M.N.
Istoria creării operei mele…………………………………………………………………2
pătrat magic ................................................. ... .......................3
Pătrate magice semnificative din punct de vedere istoric.................4-5
PIATA GASITA IN KHAJURAHO (INDIA).......6
Pătratul magic al lui Yang Hui (China)............................................. ..7
Piața Albrecht Durer.................................................. ..... ...........8
Pătrate de Henry E. Dudeney și Allan W. Johnson Jr.....9
Pătratul magic al Diavolului.................................10-11
REGULI DE CONSTRUIRE PĂTRARE MAGICE.....12
REDACARE PĂTRARE MAGICE.................................13-15
Crearea pătratului magic al lui Albrecht Durer. .....17-18
Sudoku.................................................. .. .................................................19-21 Kakuro.................................................. .. .................................................22-23
TASK BANK .................................................. ... ...............24-25
Concluzii.................................................................. ............................26 Literatură................. .. ................................................ ........ ......27
Istoria creației operei mele .
Înainte, nici nu credeam că se poate inventa așa ceva. Prima dată când am dat peste pătrate magice a fost în clasa întâi într-un manual; erau cele mai simple.| 7 | ||
| 8 | 0 | |
| 5 |
Câțiva ani mai târziu, m-am dus la mare cu părinții mei și am întâlnit o fată care iubea Sudoku. Am vrut să învăț și ea mi-a explicat cum să o fac. Mi-a plăcut foarte mult această activitate și a devenit așa-zisul meu hobby.
După ce mi s-a propus să particip la o conferință științifică și practică, am ales imediat tema „Pătrate magice”. În această lucrare am inclus material istoric, soiuri, reguli pentru crearea unui joc de ghicitori.
Patrat magic.
Pătratele magice există pentru toate ordinele, cu excepția n=2, deși cazul n=1 este banal - pătratul este format dintr-un singur număr.
Suma numerelor din fiecare rând, coloană și diagonală. Chemat constantă magică, M. Constanta magică a unui pătrat magic normal depinde numai de n și este dată de formula.
| Ordinul nr | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| M(n) | 15 | 34 | 65 | 111 | 175 | 260 | 369 | 505 | 671 | 870 | 1105 |
Primele valori ale constantelor magice sunt date în tabelele următoare.
Pătrate magice semnificative din punct de vedere istoric.
În cartea veche chineză „Zhe-kim” („Cartea Permutărilor”) există o legendă că împăratul Nu, care a trăit acum 4 mii de ani, a văzut o țestoasă sacră pe malul râului. Pe coaja ei era un model de cercuri albe și negre (Fig. 1). Dacă înlocuiți fiecare cifră cu un număr care indică câte cercuri conține, obțineți un tabel. | 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
Această masă are o proprietate minunată. Să adunăm numerele din prima coloană: 4+3+8=15.Același rezultat se va obține la adunarea numerelor din a doua și a treia coloană. Se obține și prin adăugarea numerelor din oricare dintre cele trei linii. Nu numai atât, dar același răspuns 15 se obține dacă se adună numerele fiecăreia dintre cele două diagonale: 4+5+6=8+5+2=15.
Probabil că chinezii au venit cu această legendă când au găsit aranjarea numerelor de la 1 la 9 cu o proprietate atât de remarcabilă. Ei au numit desenul „lo-shu” și au început să-l considere un simbol magic și să-l folosească în vrăji. Prin urmare, acum se numește orice tabel pătrat format din numere și având această proprietate pătrat magic.
Fig.1
PIATA GASITA IN KHAJURAHO (INDIA).
Cel mai vechi pătrat magic unic a fost descoperit într-o inscripție din secolul al XI-lea în orașul indian Khajuraho.
Acesta este primul pătrat magic, aparținând unei varietăți de așa-numite pătrate „diavolești”.
Pătratul magic al lui Yang Hui (China)
În secolul al XIII-lea, matematicianul Yang Hui a abordat problema metodelor de construire a pătratelor magice. Cercetările sale au fost apoi continuate de alți matematicieni chinezi. Yang Hui a considerat pătratele magice nu numai de al treilea, ci și de ordine superioară.
Unele dintre pătratele sale erau destul de complexe, dar întotdeauna dădea reguli pentru construcția lor. A reușit să construiască un pătrat magic de ordinul al șaselea.
Suma numerelor de pe orice orizontală, verticală și diagonală este 34. Această sumă se găsește și în toate pătratele de colț 2x2, în pătratul central (10+11+6+7), în pătratul celulelor de colț (16+13+4+1), în pătratele construite prin „mișcarea cavalerului” (2+8 +9+15 și 3+5+12+14), dreptunghiuri formate din perechi de celule din mijloc pe laturi opuse (3+2+15+14 și 5+8+9+12). Cele mai multe simetrii suplimentare sunt datorită faptului că suma oricăror două numere situate central simetric este 17.
Squares de Henry E. Dudeney și Allan W. Johnson, Jr.
Dacă o serie de numere non-strict naturală este introdusă într-o matrice pătrată n x n, atunci acest pătrat magic este netradițional. Mai jos sunt două astfel de pătrate magice, pline în mare parte cu numere prime. Primul (Fig. 3) are ordinul n=3 (pătratul Dudeney); al doilea (Fig. 4) (dimensiunea 4x4) este un pătrat Johnson. Ambele au fost dezvoltate la începutul secolului al XX-lea.
Fig.3 Fig.4
Pătratul magic al Diavolului
Pătratele chiar sunt mult mai dificil de construit decât cele impare. Există multe moduri de a explica principiile construcției lor. Acest articol descrie un mod distractiv de a construi un pătrat magic 4 x 4.
Începem prin a introduce unul în celula din stânga a rândului de sus. Numărul doi se află în celula următoare, iar numerele 3 și 4 sunt în cele ulterioare. În acest fel, rândul de sus va fi completat. În rândul următor, introduceți numerele 5, 6, 7 și 8.
Continuați până când ați umplut toate celulele (Figura 1).
Fig.1
Apoi, în toate rândurile exterioare, trebuie să eliminați două numere din celulele centrale, adică numerele 2 și 3 sunt eliminate în rândul de sus și 14 și 15 în rândul de jos. În cele din urmă, în rândul din stânga numerele 5 și 9 sunt eliminate, iar în rândul din dreapta - 8 și 12 (Fig. 2).
Fig.2 Acum aceste numere pot fi aranjate destul de mult intr-un mod interesant. Numerele 2 și 3 ocupă celulele care conțineau anterior numerele 14 și 15. Astfel, rândul de jos va fi format din numerele 13,3,2 și 16. Numerele 14 și 15 sunt aranjate după același principiu, adică , ele ocupă acele celule care conțineau anterior numerele 2 și 3. Drept urmare, rândul de sus va fi format din numerele 1,15,14 și 4. Sper că înțelegeți deja cum va fi construit mai departe pătratul magic. Numerele 8 și 12 vor ocupa celulele care conțineau anterior numerele 5 și 9. În cele din urmă, numerele 5 și 9 se încadrează în două celule din coloana din dreapta (Fig. 3).
Fig.3 Vă rugăm să rețineți că în acest pătrat magic suma numerelor din orice serie este 34.
În același mod, puteți crea un pătrat 4 * 4 prin simpla aranjare a șaisprezece numere în succesiune, începând de la orice număr. Dacă construiți un pătrat magic în care numerele sunt în secvența 3, 6, 9, 12 etc., atunci veți vedea că suma numerelor din orice serie va fi egală cu 102.
Există multe moduri de a construi chiar și pătrate magice. Unele dintre ele sunt foarte complexe, consumatoare de timp și interesante doar pentru matematicieni. Din fericire, metoda de a crea pătrate magice yantra bazate pe data nașterii este extrem de simplă.
