Primul nivel
Conversia expresiilor. Teorie detaliată (2019)
Conversia expresiilor
Auzim adesea această expresie neplăcută: „simplificați expresia”. De obicei vedem un fel de monstru ca acesta:
„Este mult mai simplu”, spunem noi, dar un astfel de răspuns de obicei nu funcționează.
Acum vă voi învăța să nu vă fie frică de astfel de sarcini. Mai mult, la sfârșitul lecției, tu însuți vei simplifica acest exemplu la (doar!) un număr obișnuit (da, la naiba cu aceste litere).
Dar înainte de a începe această lecție, trebuie să fiți capabil să gestionați fracțiile și polinoamele factorizați. Prin urmare, mai întâi, dacă nu ați făcut acest lucru înainte, asigurați-vă că stăpâniți subiectele „” și „”.
Ai citit-o? Dacă da, atunci ești gata.
Operații de simplificare de bază
Acum să ne uităm la tehnicile de bază care sunt folosite pentru a simplifica expresiile.
Cel mai simplu este
1. Aducerea asemănătoare
Ce sunt asemănătoare? Ai luat asta în clasa a VII-a, când literele în loc de cifre au apărut pentru prima dată la matematică. Asemănători sunt termenii (monoamele) cu aceeași parte de literă. De exemplu, în sumă, termeni similari sunt și.
Vă amintiți?
A aduce similar înseamnă a adăuga mai mulți termeni similari unul altuia și a obține un singur termen.
Cum putem pune literele împreună? - tu intrebi.
Acest lucru este foarte ușor de înțeles dacă vă imaginați că literele sunt un fel de obiecte. De exemplu, o scrisoare este un scaun. Atunci cu ce este egală expresia? Două scaune plus trei scaune, câte vor fi? Așa e, scaune: .
Acum încearcă această expresie: .
Pentru a evita confuzia, lasă litere diferite să reprezinte obiecte diferite. De exemplu, - este (ca de obicei) un scaun și - este o masă. Apoi:
scaune mese scaune mese scaune scaune mese
Se numesc numerele cu care se înmulțesc literele din astfel de termeni coeficienți. De exemplu, într-un monom coeficientul este egal. Și în ea este egal.
Deci, regula pentru aducerea unora similare este:
Exemple:
Da-le asemanatoare:
Raspunsuri:
2. (și asemănător, întrucât, așadar, acești termeni au aceeași parte de literă).
2. Factorizarea
Acesta este de obicei cel mai mult o parte importantăîn simplificarea expresiilor. După ce ați dat altele similare, cel mai adesea expresia rezultată trebuie factorizată, adică prezentată ca produs. Acest lucru este deosebit de important în fracții: pentru a putea reduce o fracție, numărătorul și numitorul trebuie reprezentate ca produs.
Ați parcurs în detaliu metodele de factorizare a expresiilor în subiectul „”, așa că aici trebuie doar să vă amintiți ce ați învățat. Pentru a face acest lucru, decideți câteva exemple(trebuie factorizat):
Solutii:
3. Reducerea unei fracții.
Ei bine, ce poate fi mai plăcut decât să tai o parte din numărător și numitor și să le arunci din viața ta?
Aceasta este frumusețea reducerii.
E simplu:
Dacă numărătorul și numitorul conțin aceiași factori, ei pot fi redusi, adică îndepărtați din fracție.
Această regulă rezultă din proprietatea de bază a unei fracții:
Adică, esența operației de reducere este aceea Împărțim numărătorul și numitorul fracției la același număr (sau la aceeași expresie).
Pentru a reduce o fracție aveți nevoie de:
1) numărătorul și numitorul factorizați
2) dacă numărătorul și numitorul conțin factori comuni, pot fi tăiate.
Principiul, cred, este clar?
Aș dori să vă atrag atenția asupra unei greșeli tipice la abreviere. Deși acest subiect este simplu, mulți oameni fac totul greșit, neînțelegând asta reduce- acest lucru înseamnă divide numărătorul și numitorul sunt același număr.
Fără abrevieri dacă numărătorul sau numitorul este o sumă.
De exemplu: trebuie să simplificăm.
Unii oameni fac asta: ceea ce este absolut greșit.
Un alt exemplu: reduce.
„Cel mai inteligent” va face asta: .
Spune-mi ce e în neregulă aici? S-ar părea: - acesta este un multiplicator, ceea ce înseamnă că poate fi redus.
Dar nu: - acesta este un factor de un singur termen în numărător, dar numărătorul însuși ca întreg nu este factorizat.
Iată un alt exemplu: .
Această expresie este factorizată, ceea ce înseamnă că o puteți reduce, adică împărțiți numărătorul și numitorul cu, apoi cu:
Îl puteți împărți imediat în:
Pentru a evita astfel de greșeli, amintiți-vă calea ușoară cum se determină dacă o expresie este factorizată:
Operația aritmetică care este efectuată ultima când se calculează valoarea unei expresii este operația „master”. Adică dacă înlocuiți câteva (orice) numere în loc de litere și încercați să calculați valoarea expresiei, atunci dacă ultima acțiune este înmulțirea, atunci avem un produs (expresia este factorizată). Dacă ultima acțiune este adunarea sau scăderea, aceasta înseamnă că expresia nu este factorizată (și, prin urmare, nu poate fi redusă).
Pentru a consolida, rezolvați singur câteva exemple:
Raspunsuri:
1. Sper că nu te-ai grăbit imediat să tai și? Încă nu a fost suficient să „reducem” unități ca aceasta:
Primul pas ar trebui să fie factorizarea:
4. Adunarea și scăderea fracțiilor. Reducerea fracțiilor la un numitor comun.
Adunarea și scăderea fracțiilor obișnuite este o operație familiară: căutăm un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii. Să ne amintim:
Raspunsuri:
1. Numitorii și sunt relativ primi, adică nu au factori comuni. Prin urmare, LCM a acestor numere este egal cu produsul lor. Acesta va fi numitorul comun:
2. Aici numitorul comun este:
3. Aici, în primul rând, convertim fracțiile mixte în fracțiuni improprii și apoi conform schemei obișnuite:
Este cu totul altceva dacă fracțiile conțin litere, de exemplu:
Să începem cu ceva simplu:
a) Numitorii nu conțin litere
Aici totul este la fel ca în cazul fracțiilor numerice obișnuite: găsim numitorul comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii:
Acum, la numărător, puteți da unele similare, dacă există, și le puteți factoriza:
Incearca-l tu insuti:
b) Numitorii conțin litere
Să ne amintim principiul găsirii unui numitor comun fără litere:
· în primul rând, determinăm factorii comuni;
· apoi scriem toți factorii comuni pe rând;
· și înmulțiți-le cu toți ceilalți factori necomuni.
Pentru a determina factorii comuni ai numitorilor, mai întâi îi factorăm în factori primi:
Să subliniem factorii comuni:
Acum să scriem factorii comuni unul câte unul și să adăugăm la ei toți factorii neobișnuiți (nesubliniați):
Acesta este numitorul comun.
Să revenim la litere. Numitorii sunt dați exact în același mod:
· factorizarea numitorilor;
· determina factori comuni (identici);
· scrieți toți factorii comuni o dată;
· înmulțiți-le cu toți ceilalți factori necomuni.
Deci, în ordine:
1) factorizează numitorii:
2) determinați factori comuni (identici):
3) scrieți toți factorii comuni o dată și înmulțiți-i cu toți ceilalți factori (nesubliniați):
Deci aici există un numitor comun. Prima fracție trebuie înmulțită cu, a doua - cu:
Apropo, există un singur truc:
De exemplu: .
Vedem aceiași factori în numitori, doar toți cu indicatori diferiți. Numitorul comun va fi:
într-o măsură
într-o măsură
într-o măsură
într-o măsură.
Să complicăm sarcina:
Cum se face ca fracțiile să aibă același numitor?
Să ne amintim proprietatea de bază a unei fracții:
Nicăieri nu spune că același număr poate fi scăzut (sau adunat) de la numărătorul și numitorul unei fracții. Pentru că nu este adevărat!
Vedeți singur: luați orice fracție, de exemplu, și adăugați un număr la numărător și numitor, de exemplu, . Ce ai învățat?
Deci, o altă regulă de neclintit:
Când reduceți fracțiile la un numitor comun, utilizați numai operația de înmulțire!
Dar cu ce trebuie să înmulțiți pentru a obține?
Deci înmulțiți cu. Și înmulțiți cu:
Vom numi expresiile care nu pot fi factorizate „factori elementari”. De exemplu, - acesta este un factor elementar. - La fel. Dar nu: poate fi factorizat.
Dar expresia? Este elementar?
Nu, deoarece poate fi factorizat:
(ați citit deja despre factorizare în subiectul „”).
Deci, factorii elementari în care descompuneți o expresie cu litere sunt un analog al factorilor simpli în care descompuneți numerele. Și ne vom ocupa de ei în același mod.
Vedem că ambii numitori au un multiplicator. Va merge la numitorul comun al gradului (vă amintiți de ce?).
Factorul este elementar și nu au un factor comun, ceea ce înseamnă că prima fracție va trebui pur și simplu înmulțită cu ea:
Alt exemplu:
Soluţie:
Înainte de a înmulți acești numitori în panică, trebuie să te gândești cum să-i factorizezi? Ambele reprezintă:
Grozav! Apoi:
Alt exemplu:
Soluţie:
Ca de obicei, să factorizăm numitorii. La primul numitor pur și simplu îl punem între paranteze; în al doilea - diferența de pătrate:
S-ar părea că nu există factori comuni. Dar dacă te uiți cu atenție, sunt asemănătoare... Și este adevărat:
Deci hai sa scriem:
Adică, sa dovedit așa: în paranteză am schimbat termenii și, în același timp, semnul din fața fracției s-a schimbat în opus. Ia notă, va trebui să faci asta des.
Acum să o aducem la un numitor comun:
Am înţeles? Să verificăm acum.
Sarcini pentru soluție independentă:
Raspunsuri:
Aici trebuie să ne amintim încă un lucru - diferența de cuburi:
Vă rugăm să rețineți că numitorul celei de-a doua fracții nu conține formula „pătratul sumei”! Pătratul sumei ar arăta astfel: .
A este așa-numitul pătrat incomplet al sumei: al doilea termen din acesta este produsul dintre primul și ultimul, și nu produsul lor dublu. Pătrat incomplet suma este unul dintre factorii de extindere a diferenței de cuburi:
Ce să faci dacă există deja trei fracții?
Da, acelasi lucru! În primul rând, să ne asigurăm că numărul maxim de factori din numitori este același:
Vă rugăm să rețineți: dacă schimbați semnele dintr-o paranteză, semnul din fața fracției se schimbă în opus. Când schimbăm semnele din a doua paranteză, semnul din fața fracției se schimbă din nou în opus. Ca urmare, acesta (semnul din fața fracției) nu s-a schimbat.
Scriem întreg primul numitor în numitorul comun și apoi adăugăm la acesta toți factorii care nu au fost încă scriși, din al doilea și apoi din al treilea (și așa mai departe, dacă există mai multe fracții). Adică, se dovedește așa:
Hmm... Este clar ce să faci cu fracțiile. Dar ce zici de cei doi?
Este simplu: știi cum să adunăm fracții, nu? Deci, trebuie să facem ca doi să devină o fracțiune! Să ne amintim: o fracție este o operație de împărțire (numărătorul se împarte la numitor, în cazul în care ai uitat). Și nu este nimic mai ușor decât împărțirea unui număr la. În acest caz, numărul în sine nu se va schimba, ci se va transforma într-o fracție:
Exact ce este nevoie!
5. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.
Ei bine, partea cea mai grea s-a terminat acum. Și în fața noastră este cel mai simplu, dar în același timp cel mai important:
Procedură
Care este procedura de calcul a unei expresii numerice? Amintiți-vă, calculând sensul acestei expresii:
ai numarat?
Ar trebui să funcționeze.
Deci, permiteți-mi să vă reamintesc.
Primul pas este să calculezi gradul.
Al doilea este înmulțirea și împărțirea. Dacă există mai multe înmulțiri și împărțiri în același timp, acestea se pot face în orice ordine.
Și, în sfârșit, facem adunarea și scăderea. Din nou, în orice ordine.
Dar: expresia dintre paranteze se evaluează din nou!
Dacă mai multe paranteze sunt înmulțite sau împărțite între ele, mai întâi calculăm expresia din fiecare dintre paranteze, apoi le înmulțim sau le împărțim.
Ce se întâmplă dacă există mai multe paranteze în interiorul parantezelor? Ei bine, să ne gândim: o expresie este scrisă între paranteze. Când calculezi o expresie, ce ar trebui să faci mai întâi? Așa e, calculează parantezele. Ei bine, ne-am dat seama: mai întâi calculăm parantezele interioare, apoi totul.
Deci, procedura pentru expresia de mai sus este următoarea (acțiunea curentă este evidențiată cu roșu, adică acțiunea pe care o fac chiar acum):
Bine, totul este simplu.
Dar aceasta nu este același lucru cu o expresie cu litere?
Nu, e la fel! Numai în loc de operații aritmetice trebuie să faci operații algebrice, adică acțiunile descrise în secțiunea anterioară: aducând similare, adunarea fracțiilor, reducerea fracțiilor și așa mai departe. Singura diferență va fi acțiunea de factorizare a polinoamelor (folosim adesea acest lucru atunci când lucrăm cu fracții). Cel mai adesea, pentru a factoriza, trebuie să folosiți I sau pur și simplu să scoateți factorul comun dintre paranteze.
De obicei, scopul nostru este de a reprezenta expresia ca produs sau coeficient.
De exemplu:
Să simplificăm expresia.
1) În primul rând, simplificăm expresia dintre paranteze. Acolo avem o diferență de fracții, iar scopul nostru este să o prezentăm ca produs sau coeficient. Deci, aducem fracțiile la un numitor comun și adăugăm:
Este imposibil să simplificați mai mult această expresie; toți factorii de aici sunt elementari (mai vă amintiți ce înseamnă asta?).
2) obținem:
Înmulțirea fracțiilor: ce ar putea fi mai simplu.
3) Acum puteți scurta:
OK, totul sa terminat acum. Nimic complicat, nu?
Alt exemplu:
Simplificați expresia.
Mai întâi, încercați să o rezolvați singur și abia apoi uitați-vă la soluție.
În primul rând, să stabilim ordinea acțiunilor. Mai întâi, să adăugăm fracțiile în paranteze, astfel încât în loc de două fracții obținem una. Apoi vom face împărțirea fracțiilor. Ei bine, să adăugăm rezultatul cu ultima fracție. Voi numerota pașii schematic:
Acum vă voi arăta procesul, colorând acțiunea curentă în roșu:
În cele din urmă, vă voi oferi două sfaturi utile:
1. Daca sunt asemanatoare, acestea trebuie aduse imediat. În orice moment apar altele asemănătoare în țara noastră, este indicat să le aducem imediat în discuție.
2. Același lucru este valabil și pentru fracțiile reducătoare: de îndată ce apare oportunitatea de a reduce, trebuie profitată de aceasta. Excepția este pentru fracțiile pe care le adunați sau scădeți: dacă acum au aceiași numitori, atunci reducerea ar trebui lăsată pentru mai târziu.
Iată câteva sarcini pe care le puteți rezolva singur:
Și ceea ce s-a promis chiar de la început:
Soluții (pe scurt):
Dacă ai făcut față cel puțin primelor trei exemple, atunci ai stăpânit subiectul.
Acum, la învățare!
CONVERSIUNEA EXPRESIUNILOR. REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ
Operatii de simplificare de baza:
- Aducerea asemănătoare: pentru a adăuga (reduce) termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestora și să atribuiți partea de litere.
- Factorizare: scoaterea factorului comun din paranteze, aplicarea acestuia etc.
- Reducerea unei fracții: Numătorul și numitorul unei fracții pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, ceea ce nu modifică valoarea fracției.
1) numărătorul și numitorul factorizați
2) dacă numărătorul și numitorul au factori comuni, aceștia pot fi tăiați.IMPORTANT: numai multiplicatorii pot fi redusi!
- Adunarea și scăderea fracțiilor:
; - Înmulțirea și împărțirea fracțiilor:
;
Pentru a înțelege cum să reduceți fracțiile, să ne uităm mai întâi la un exemplu.
A reduce o fracție înseamnă a împărți numărătorul și numitorul la același lucru. Atât 360, cât și 420 se termină într-o cifră, deci putem reduce această fracție cu 2. În noua fracție, atât 180, cât și 210 sunt de asemenea divizibile cu 2, așa că reducem această fracție cu 2. În numerele 90 și 105, suma dintre cifre este divizibil cu 3, deci ambele numere sunt divizibile cu 3, reducem fracția cu 3. În noua fracție, 30 și 35 se termină în 0 și 5, ceea ce înseamnă că ambele numere sunt divizibile cu 5, deci reducem fracția cu 5. Fracția rezultată de șase șaptimi este ireductibilă. Acesta este răspunsul final.
Putem ajunge la același răspuns într-un mod diferit.
Atât 360, cât și 420 se termină cu zero, ceea ce înseamnă că sunt divizibili cu 10. Reducem fracția cu 10. În noua fracție, atât numărătorul 36, cât și numitorul 42 sunt împărțiți la 2. Reducem fracția cu 2. În următoarea fracție, atât numărătorul 18, cât și numitorul 21 sunt împărțite la 3, ceea ce înseamnă că reducem fracția cu 3. Am ajuns la rezultat - șase șaptimi.
Și încă o soluție.
Data viitoare ne vom uita la exemple de fracții reducătoare.
Să înțelegem ce este fracțiile reducătoare, de ce și cum să reducem fracțiile și să dăm regula pentru reducerea fracțiilor și exemple de utilizare.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ce înseamnă „fracții reducătoare”
Reduceți fracțiaA reduce o fracție înseamnă a împărți numărătorul și numitorul acesteia la un factor comun care este pozitiv și diferit de unul.
În urma acestei acțiuni, se va obține o fracție cu numărător și numitor nou, egală cu fracția inițială.
De exemplu, să luăm fracția comună 6 24 și să o reducem. Împărțiți numărătorul și numitorul la 2, rezultând 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12. În acest exemplu, am redus fracția inițială cu 2.
Reducerea fracțiilor la formă ireductibilă
În exemplul anterior, am redus fracția 6 24 cu 2, rezultând fracția 3 12. Este ușor de observat că această fracție poate fi redusă și mai mult. De obicei, scopul reducerii fracțiilor este de a ajunge la o fracție ireductibilă. Cum se reduce o fracție la forma sa ireductibilă?
Acest lucru se poate face prin reducerea numărătorului și numitorului cu cel mai mare factor comun al acestora (GCD). Apoi, prin proprietatea celui mai mare divizor comun, numărătorul și numitorul vor avea numere prime reciproce, iar fracția va fi ireductibilă.
a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)
Reducerea unei fracții la o formă ireductibilă
Pentru a reduce o fracție la forma ei ireductibilă, trebuie să-i împărțiți numărătorul și numitorul la mcd-ul lor.
Să revenim la fracția 6 24 din primul exemplu și să o aducem la forma sa ireductibilă. Cel mai mare divizor comun al numerelor 6 și 24 este 6. Să reducem fracția:
6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4
Reducerea fracțiilor este convenabilă de utilizat pentru a nu lucra în număr mare. În general, există o regulă nerostită în matematică: dacă poți simplifica orice expresie, atunci trebuie să o faci. Reducerea unei fracții înseamnă cel mai adesea reducerea ei la o formă ireductibilă, și nu pur și simplu reducerea ei cu divizorul comun al numărătorului și numitorului.
Regula pentru reducerea fracțiilor
Pentru a reduce fracțiile, amintiți-vă doar de regula, care constă din doi pași.
Regula pentru reducerea fracțiilor
Pentru a reduce o fracție aveți nevoie de:
- Aflați mcd al numărătorului și numitorului.
- Împărțiți numărătorul și numitorul la mcd-ul lor.
Să ne uităm la exemple practice.
Exemplul 1. Să reducem fracția.
Având în vedere fracția 182 195. Să o scurtăm.
Să găsim mcd-ul numărătorului și numitorului. În acest scop în în acest caz, Cel mai convenabil este să utilizați algoritmul euclidian.
195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13
Împărțiți numărătorul și numitorul la 13. Primim:
182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15
Gata. Am obținut o fracție ireductibilă care este egală cu fracția originală.
Cum altfel poți reduce fracțiile? În unele cazuri, este convenabil să factorizați numărătorul și numitorul în factori primi, apoi eliminați toți factorii comuni din părțile superioare și inferioare ale fracției.
Exemplul 2. Reduceți fracția
Având în vedere fracția 360 2940. Să o scurtăm.
Pentru a face acest lucru, imaginați-vă fracția originală sub forma:
360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7
Să scăpăm de factorii comuni ai numărătorului și numitorului, rezultând:
360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49
În cele din urmă, să ne uităm la o altă modalitate de a reduce fracțiile. Aceasta este așa-numita reducere secvențială. Folosind această metodă, reducerea se realizează în mai multe etape, în fiecare dintre acestea, fracția este redusă de un factor comun evident.
Exemplul 3. Reduceți fracția
Să reducem fracția 2000 4400.
Este imediat clar că numărătorul și numitorul au un factor comun de 100. Reducem fracția cu 100 și obținem:
2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44
20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22
Reducem din nou rezultatul rezultat cu 2 și obținem o fracție ireductibilă:
10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Calculatorul online funcționează reducerea fracțiilor algebriceîn conformitate cu regula fracțiilor reducătoare: înlocuirea fracției inițiale cu o fracție egală, dar cu un numărător și numitor mai mici, i.e. Împărțirea simultană a numărătorului și numitorului unei fracții la cel mai mare factor comun al acestora (GCD). Calculatorul afișează, de asemenea, o soluție detaliată care vă va ajuta să înțelegeți succesiunea reducerii.
Dat:
Soluţie:
Efectuarea reducerii fracțiilor
verificând posibilitatea efectuării reducerii fracţiilor algebrice
1) Determinarea celui mai mare divizor comun (MCD) al numărătorului și numitorului unei fracții
determinarea celui mai mare divizor comun (MCD) al numărătorului și numitorului unei fracții algebrice
2) Reducerea numărătorului și numitorului unei fracții
reducerea numărătorului și numitorului unei fracții algebrice
3) Selectarea întregii părți a unei fracții
separând întreaga parte a unei fracții algebrice
4) Conversia unei fracții algebrice într-o fracție zecimală
conversia unei fracții algebrice într-o zecimală
Ajutor pentru dezvoltarea site-ului proiectului
Stimate vizitator al site-ului.
Dacă nu ați reușit să găsiți ceea ce căutați, asigurați-vă că scrieți despre asta în comentarii, ceea ce lipsește în prezent de pe site. Acest lucru ne va ajuta să înțelegem în ce direcție trebuie să ne îndreptăm mai departe, iar alți vizitatori vor putea primi în curând materialul necesar.
Dacă site-ul s-a dovedit a fi util pentru dvs., donați site-ul proiectului doar 2 ₽și vom ști că ne mișcăm în direcția bună.
Vă mulțumim că ați trecut!
I. Procedura de reducere a unei fracții algebrice folosind un calculator online:
- Pentru a reduce o fracție algebrică, introduceți valorile numărătorului și numitorului fracției în câmpurile corespunzătoare. Dacă fracția este amestecată, atunci completați și câmpul corespunzător întregii părți a fracției. Dacă fracția este simplă, atunci lăsați necompletat întregul câmp al părții.
- Pentru a specifica o fracție negativă, plasați un semn minus pe întreaga parte a fracției.
- În funcție de fracția algebrică specificată, următoarea secvență de acțiuni este efectuată automat:
- determinarea celui mai mare divizor comun (MCD) al numărătorului și numitorului unei fracții;
- reducerea numărătorului și numitorului unei fracții cu mcd;
- evidenţierea întregii părţi a unei fracţii, dacă numărătorul fracției finale este mai mare decât numitorul.
- conversia fracției algebrice finale într-o fracție zecimală rotunjit la cea mai apropiată sutime.
II. Pentru trimitere:
O fracție este un număr format din una sau mai multe părți (fracții) ale unei unități. O fracție comună (fracție simplă) se scrie ca două numere (numărătorul fracției și numitorul fracției) separate de o bară orizontală (bara fracției) care indică semnul diviziunii. Numătorul unei fracții este numărul de deasupra liniei fracțiilor. Numărătorul arată câte acțiuni au fost luate din total. Numitorul unei fracții este numărul de sub linia fracției. Numitorul arată în câte părți egale este împărțit întregul. O fracție simplă este o fracție care nu are o parte întreagă. O fracție simplă poate fi corectă sau improprie. O fracție proprie este o fracție al cărei numărător este mai mic decât numitorul ei, deci o fracție proprie este întotdeauna mai mică decât unu. Exemplu de fracții proprii: 8/7, 11/19, 16/17. O fracție improprie este o fracție în care numărătorul este mai mare sau egal cu numitorul, deci o fracție improprie este întotdeauna mai mare sau egală cu unu. Exemplu de fracții improprii: 7/6, 8/7, 13/13. fracția mixtă este un număr care conține un număr întreg și o fracție proprie și denotă suma acelui număr întreg și a fracției proprii. Orice fracție mixtă poate fi transformată într-o fracție improprie. Exemplu fractii mixte: 1¼, 2½, 4¾.
III. Notă:
- Bloc de date sursă evidențiat galben , bloc intermediar de calcul alocat albastru , blocul soluție este evidențiat în verde.
- Pentru a adăuga, scădea, înmulți și împărți fracții obișnuite sau mixte, utilizați calculatorul de fracții online cu solutie detaliata.
Fracții
Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
Fracțiile nu sunt foarte deranjante în liceu. Deocamdată. Până când dai peste puteri cu exponenți raționali și logaritmi. Și acolo... Apăsați și apăsați pe calculator și acesta arată un afișaj complet al unor numere. Trebuie să gândești cu capul ca în clasa a treia.
În sfârșit, să aflăm fracțiile! Ei bine, cât de mult te poți încurca în ele!? În plus, totul este simplu și logic. Asa de, care sunt tipurile de fracții?
Tipuri de fracții. Transformări.
Există trei tipuri de fracții.
1. Fracții comune , De exemplu:
Uneori, în loc de o linie orizontală, pun o bară oblică: 1/2, 3/4, 19/5, bine, și așa mai departe. Aici vom folosi adesea această ortografie. Numărul de sus este numit numărător, inferior - numitor. Dacă confundați în mod constant aceste nume (se întâmplă...), spuneți-vă fraza: " Zzzzz tine minte! Zzzzz numitor – uite zzzzz uh!" Uite, totul va fi zzzz amintit.)
Linia, orizontală sau înclinată, înseamnă Divizia numărul de sus (numărător) până în jos (numitorul). Asta e tot! În loc de liniuță, este foarte posibil să puneți un semn de divizare - două puncte.
Când este posibilă împărțirea completă, aceasta trebuie făcută. Deci, în locul fracției „32/8” este mult mai plăcut să scrieți numărul „4”. Acestea. 32 este pur și simplu împărțit la 8.
32/8 = 32: 8 = 4
Nici măcar nu vorbesc despre fracția „4/1”. Care este, de asemenea, doar „4”. Și dacă nu este complet divizibil, îl lăsăm ca o fracție. Uneori trebuie să faci operația inversă. Transformă un număr întreg într-o fracție. Dar mai multe despre asta mai târziu.
2. zecimale , De exemplu:
În această formă va trebui să notați răspunsurile la sarcinile „B”.
3. Numere mixte , De exemplu:
Numerele mixte practic nu sunt folosite în liceu. Pentru a lucra cu ele, acestea trebuie convertite în fracții obișnuite. Dar cu siguranță trebuie să poți face asta! Altfel, vei întâlni un astfel de număr într-o problemă și vei îngheța... spațiu gol. Dar ne vom aminti de această procedură! Puțin mai jos.
Cel mai versatil fracții comune. Să începem cu ei. Apropo, dacă o fracție conține tot felul de logaritmi, sinusuri și alte litere, acest lucru nu schimbă nimic. În sensul că totul acțiunile cu expresii fracționale nu sunt diferite de acțiunile cu fracții obișnuite!
Proprietatea principală a unei fracții.
Deci să mergem! Pentru început, o să vă surprind. Întreaga varietate de transformări de fracții este asigurată de o singură proprietate! Așa se numește proprietatea principală a fracției. Tine minte: Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite (împărțite) cu același număr, fracția nu se modifică. Acestea:
Este clar că poți continua să scrii până când ești albastru la față. Nu lăsați sinusurile și logaritmii să vă încurce, ne vom ocupa de ele în continuare. Principalul lucru este să înțelegeți că toate aceste expresii variate sunt aceeași fracție . 2/3.
Avem nevoie de el, de toate aceste transformări? Si cum! Acum vei vedea singur. Pentru început, să folosim proprietatea de bază a unei fracții pentru fracții reducătoare. Ar părea un lucru elementar. Împărțiți numărătorul și numitorul la același număr și gata! Este imposibil să faci o greșeală! Dar... omul este o ființă creativă. Poți greși oriunde! Mai ales dacă trebuie să reduceți nu o fracție ca 5/10, ci o expresie fracțională cu tot felul de litere.
Cum să reduceți corect și rapid fracțiile fără a face muncă suplimentară poate fi citit în Secțiunea specială 555.
Un elev normal nu se deranjează să împartă numărătorul și numitorul la același număr (sau expresie)! Pur și simplu taie tot ce este la fel de sus și dedesubt! Aici pândește greseala tipica, un blooper, dacă vrei.
De exemplu, trebuie să simplificați expresia:
Nu e nimic de gândit aici, tăiați litera „a” de sus și cele două de jos! Primim:
Totul este corect. Dar chiar te-ai împărțit toate numărător și toate numitorul este „a”. Dacă sunteți obișnuit să tăiați, atunci în grabă puteți tăia „a” din expresie
și primește-l din nou
Ceea ce ar fi categoric neadevărat. Pentru că aici toate numărătorul de pe „a” este deja nu împărtășită! Această fracție nu poate fi redusă. Apropo, o astfel de reducere este, um... o provocare serioasă pentru profesor. Acest lucru nu este iertat! Vă amintiți? Când reduceți, trebuie să împărțiți toate numărător și toate numitor!
Reducerea fracțiilor face viața mult mai ușoară. Veți obține o fracție undeva, de exemplu 375/1000. Cum pot continua să lucrez cu ea acum? Fără calculator? Înmulțiți, spuneți, adăugați, pătrați!? Și dacă nu ești prea leneș, și tăiați-l cu grijă cu cinci, și cu încă cinci, și chiar... cât timp este scurtat, pe scurt. Să luăm 3/8! Mult mai frumos, nu?
Proprietatea principală a unei fracții vă permite să convertiți fracțiile obișnuite în zecimale și invers fara calculator! Acest lucru este important pentru examenul de stat unificat, nu?
Cum se transformă fracțiile de la un tip la altul.
Cu fracțiile zecimale totul este simplu. Cum se aude, așa este scris! Să spunem 0,25. Acesta este zero virgulă douăzeci și cinci sutimi. Deci scriem: 25/100. Reducem (împărțim numărătorul și numitorul la 25), obținem fracția obișnuită: 1/4. Toate. Se întâmplă și nimic nu se reduce. Ca 0,3. Aceasta este trei zecimi, adică. 3/10.
Ce se întâmplă dacă numerele întregi nu sunt zero? E bine. Scriem întreaga fracție fara nicio virgula la numărător, iar la numitor - ceea ce se aude. De exemplu: 3.17. Aceasta este trei virgulă șaptesprezece sutimi. Scriem la numărător 317 și la numitor 100. Obținem 317/100. Nimic nu este redus, asta înseamnă totul. Acesta este răspunsul. Primar Watson! Din tot ce s-a spus concluzie utilă: orice fracție zecimală poate fi convertită într-o fracție comună .
Dar unii oameni nu pot face conversia inversă de la obișnuit la zecimal fără un calculator. Și este necesar! Cum veți nota răspunsul la examenul de stat unificat!? Citiți cu atenție și stăpâniți acest proces.
Care este caracteristica unei fracții zecimale? Numitorul ei este Mereu costă 10, sau 100, sau 1000, sau 10000 și așa mai departe. Dacă fracția ta comună are un numitor ca acesta, nu este nicio problemă. De exemplu, 4/10 = 0,4. Sau 7/100 = 0,07. Sau 12/10 = 1,2. Ce se întâmplă dacă răspunsul la sarcina din secțiunea „B” s-a dovedit a fi 1/2? Ce vom scrie ca răspuns? Sunt necesare zecimale...
Să ne amintim proprietatea principală a fracției ! Matematica vă permite în mod favorabil să înmulțiți numărătorul și numitorul cu același număr. Orice, apropo! Cu excepția zero, desigur. Deci, să folosim această proprietate în avantajul nostru! Cu ce poate fi înmulțit numitorul, adică 2 ca să devină 10, sau 100, sau 1000 (mai mic este mai bine, desigur...)? La 5, evident. Simțiți-vă liber să înmulțiți numitorul (acesta este S.U.A necesar) cu 5. Dar atunci și numărătorul trebuie înmulțit cu 5. Aceasta este deja matematică cereri! Obținem 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Asta e tot.
Cu toate acestea, se întâlnesc tot felul de numitori. Veți întâlni, de exemplu, fracția 3/16. Încercați să vă dați seama cu ce să înmulțiți 16 pentru a face 100 sau 1000... Nu funcționează? Apoi puteți împărți pur și simplu 3 la 16. În lipsa unui calculator, va trebui să împărțiți cu un colț, pe o foaie de hârtie, așa cum se predau în școala primară. Obținem 0,1875.
Și există și numitori foarte proasți. De exemplu, nu există nicio modalitate de a transforma fracția 1/3 într-o zecimală bună. Atât pe calculator, cât și pe o bucată de hârtie, obținem 0,3333333... Aceasta înseamnă că 1/3 este o fracție zecimală exactă nu se traduce. La fel ca 1/7, 5/6 și așa mai departe. Sunt multe dintre ele, intraductibile. Acest lucru ne aduce la o altă concluzie utilă. Nu orice fracție poate fi convertită într-o zecimală !
Apropo, asta informatii utile pentru autotest. În secțiunea „B” trebuie să scrieți o fracție zecimală în răspunsul dvs. Și ai primit, de exemplu, 4/3. Această fracție nu se transformă într-o zecimală. Asta înseamnă că ai făcut o greșeală undeva pe parcurs! Întoarce-te și verifică soluția.
Deci, ne-am dat seama de fracții obișnuite și zecimale. Tot ce rămâne este să ne ocupăm de numere mixte. Pentru a lucra cu ele, acestea trebuie convertite în fracții obișnuite. Cum să o facă? Poți să prinzi un elev de clasa a șasea și să-l întrebi. Dar un elev de clasa a șasea nu va fi întotdeauna la îndemână... Va trebui să o faci singur. Nu e greu. Trebuie să înmulțiți numitorul părții fracționale cu întreaga parte și să adăugați numărătorul părții fracționale. Acesta va fi numărătorul fracției comune. Dar numitorul? Numitorul va rămâne același. Sună complicat, dar în realitate totul este simplu. Să ne uităm la un exemplu.
Să presupunem că ați fost îngrozit să vedeți numărul din problemă:
Calm, fără panică, ne gândim. Întreaga parte este 1. Unitate. Fracțiune- 3/7. Prin urmare, numitorul părții fracționale este 7. Acest numitor va fi numitorul fracției ordinare. Numărăm numărătorul. Înmulțim 7 cu 1 (partea întreagă) și adunăm 3 (numărătorul părții fracționale). Obținem 10. Acesta va fi numărătorul unei fracții comune. Asta e tot. Arată și mai simplu în notație matematică:
Este clar? Atunci asigură-ți succesul! Convertiți în fracții obișnuite. Ar trebui să obțineți 10/7, 7/2, 23/10 și 21/4.
Operația inversă - conversia unei fracții improprii într-un număr mixt - este rareori necesară în liceu. Ei bine, dacă da... Și dacă nu ești la liceu, poți să te uiți la Secțiunea specială 555. Apropo, veți învăța și despre fracțiile improprii acolo.
Ei bine, asta e practic tot. Ți-ai amintit tipurile de fracții și ai înțeles Cum transferă-le de la un tip la altul. Intrebarea ramane: Pentru ce Fă-o? Unde și când să aplici această cunoaștere profundă?
Raspund. Orice exemplu în sine sugerează acțiunile necesare. Dacă în exemplu sunt amestecate fracții obișnuite, zecimale și chiar numere mixte, convertim totul în fracții obișnuite. Se poate face oricând. Ei bine, dacă scrie ceva de genul 0,8 + 0,3, atunci îl numărăm așa, fără nicio traducere. De ce avem nevoie de muncă suplimentară? Alegem soluția care este convenabilă S.U.A !
Dacă sarcina este în întregime zecimale, dar um... un fel de răi, du-te la cele obișnuite, încearcă! Uite, totul se va rezolva. De exemplu, va trebui să pătrați numărul 0,125. Nu este atât de ușor dacă nu te-ai obișnuit să folosești un calculator! Nu numai că trebuie să înmulți numerele într-o coloană, dar trebuie să te gândești și unde să introduci virgula! Cu siguranță nu va funcționa în capul tău! Ce se întâmplă dacă trecem la o fracție obișnuită?
0,125 = 125/1000. O reducem cu 5 (asta este pentru inceput). Primim 25/200. Din nou până la 5. Obținem 5/40. Oh, încă se micșorează! Înapoi la 5! Primim 1/8. Îl pătram cu ușurință (în mintea noastră!) și obținem 1/64. Toate!
Să rezumam această lecție.
1. Există trei tipuri de fracții. Numere comune, zecimale și mixte.
2. Decimale și numere mixte Mereu pot fi convertite în fracții obișnuite. Transfer invers nu intotdeauna disponibil.
3. Alegerea tipului de fracții pentru a lucra cu o sarcină depinde de sarcina în sine. În prezența tipuri diferite fracții într-o singură sarcină, cel mai de încredere lucru este să treceți la fracții obișnuite.
Acum poți exersa. Mai întâi, convertiți aceste fracții zecimale în fracții obișnuite:
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
Ar trebui să obțineți răspunsuri ca acesta (în mizerie!):
Să terminăm aici. În această lecție ne-am împrospătat memoria puncte cheie prin fracții. Se întâmplă, totuși, că nu există nimic special de reîmprospătat...) Dacă cineva a uitat complet, sau nu a stăpânit încă... Atunci puteți merge la o Secțiune specială 555. Toate elementele de bază sunt acoperite în detaliu acolo. Mulți dintr-o dată intelege totulîncep. Și rezolvă fracții din mers).
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
