Limitele le dau tuturor studenților la matematică multe probleme. Pentru a rezolva o limită, uneori trebuie să folosiți o mulțime de trucuri și să alegeți dintr-o varietate de metode de soluție exact cea care este potrivită pentru un anumit exemplu.
În acest articol nu vă vom ajuta să înțelegeți limitele capacităților dvs. sau să înțelegeți limitele controlului, dar vom încerca să răspundem la întrebarea: cum să înțelegeți limitele în matematica superioară? Înțelegerea vine cu experiența, așa că, în același timp, vom oferi câteva exemple detaliate soluții de limite cu explicații.
Conceptul de limită în matematică
Prima întrebare este: care este această limită și limita a ce? Putem vorbi despre limitele secvențelor numerice și ale funcțiilor. Suntem interesați de conceptul de limită a unei funcții, deoarece acesta este ceea ce întâlnesc cel mai des elevii. Dar mai întâi - cel mai mult definiție generală limită:
Să presupunem că există o valoare variabilă. Dacă această valoare în procesul de schimbare se apropie nelimitat de un anumit număr A , Acea A – limita acestei valori.
Pentru o funcție definită într-un anumit interval f(x)=y un astfel de număr se numește limită A , la care funcția tinde când X , tinzând la un anumit punct A . Punct A aparține intervalului pe care este definită funcția.
Sună greoi, dar este scris foarte simplu:
Lim- din engleza limită- limita.
Există, de asemenea, o explicație geometrică pentru determinarea limitei, dar aici nu vom aprofunda în teorie, deoarece ne interesează mai mult latura practică decât teoretică a problemei. Când spunem asta X tinde spre o anumită valoare, asta înseamnă că variabila nu preia valoarea unui număr, ci se apropie de el la infinit.
Să dăm exemplu concret. Sarcina este de a găsi limita.
Pentru a rezolva acest exemplu, înlocuim valoarea x=3 într-o funcție. Primim:
Apropo, dacă ești interesat, citește un articol separat pe acest subiect.
În exemple X poate tinde spre orice valoare. Poate fi orice număr sau infinit. Iată un exemplu când X tinde spre infinit:
Este clar intuitiv ce este număr mai mare la numitor, cu atât valoarea va fi mai mică pe care funcția va lua. Deci, cu o creștere nelimitată X sens 1/x va scădea și se va apropia de zero.
După cum puteți vedea, pentru a rezolva limita, trebuie doar să înlocuiți valoarea pentru care încercați în funcție X . Cu toate acestea, acesta este cel mai simplu caz. Adesea, găsirea limitei nu este atât de evidentă. În limite există incertitudini de tip 0/0 sau infinit/infinit . Ce să faci în astfel de cazuri? Recurge la trucuri!
Incertitudini în interior
Incertitudinea formei infinit/infinit
Să existe o limită:
Dacă încercăm să substituim infinitul în funcție, vom obține infinit atât la numărător, cât și la numitor. În general, merită să spunem că există un anumit element de artă în rezolvarea unor astfel de incertitudini: trebuie să observați cum puteți transforma funcția în așa fel încât incertitudinea să dispară. În cazul nostru, împărțim numărătorul și numitorul cu X în gradul superior. Ce se va intampla?
Din exemplul deja discutat mai sus, știm că termenii care conțin x în numitor vor tinde spre zero. Atunci soluția la limită este:
Pentru a rezolva incertitudinile de tip infinit/infinitîmpărțiți numărătorul și numitorul la X la cel mai înalt grad.
Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la
Un alt tip de incertitudine: 0/0
Ca întotdeauna, înlocuirea valorilor în funcție x=-1 dă 0 la numărător și numitor. Privește puțin mai atent și vei observa că avem o ecuație pătratică la numărător. Să găsim rădăcinile și să scriem:
Să reducem și să obținem:
Deci, dacă vă confruntați cu incertitudinea de tip 0/0 – factorizarea numărătorului și numitorului.
Pentru a vă facilita rezolvarea exemplelor, vă prezentăm un tabel cu limitele unor funcții:
Regula lui L'Hopital înăuntru
O alta mod puternic, permițând eliminarea incertitudinilor de ambele tipuri. Care este esența metodei?
Dacă există incertitudine în limită, luați derivata numărătorului și numitorului până când incertitudinea dispare.
Regula lui L'Hopital arată astfel:
Punct important : trebuie să existe limita în care derivatele numărătorului și numitorului stau în locul numărătorului și numitorului.
Și acum - un exemplu real:
Există o incertitudine tipică 0/0 . Să luăm derivatele numărătorului și numitorului:
Voila, incertitudinea se rezolvă rapid și elegant.
Sperăm că veți putea aplica util aceste informații în practică și veți găsi răspunsul la întrebarea „cum să rezolvați limite în matematica superioară”. Dacă trebuie să calculați limita unei secvențe sau limita unei funcții într-un punct și nu există absolut timp pentru această lucrare, contactați un serviciu pentru studenți profesioniști pentru rapid și rapiditate. solutie detaliata.
Prima limită remarcabilă este următoarea egalitate:
\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)
Deoarece pentru $\alpha\to(0)$ avem $\sin\alpha\to(0)$, se spune că prima limită remarcabilă dezvăluie o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. În general, în formula (1), în locul variabilei $\alpha$, orice expresie poate fi plasată sub semnul sinus și la numitor, atâta timp cât sunt îndeplinite două condiții:
- Expresiile de sub semnul sinus și din numitor tind simultan spre zero, adică. există incertitudinea formei $\frac(0)(0)$.
- Expresiile de sub semnul sinus și la numitor sunt aceleași.
Corolarele din primul sunt, de asemenea, adesea folosite. limita minunata:
\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(ecuație)
Unsprezece exemple sunt rezolvate pe această pagină. Exemplul nr. 1 este dedicat demonstrarii formulelor (2)-(4). Exemplele nr. 2, nr. 3, nr. 4 și nr. 5 conțin soluții cu comentarii detaliate. Exemplele nr. 6-10 conțin soluții practic fără comentarii, deoarece explicațiile detaliate au fost date în exemplele anterioare. Soluția folosește câteva formule trigonometrice care poate fi găsit.
Permiteți-mi să observ că prezența funcțiilor trigonometrice cuplate cu incertitudinea $\frac (0) (0)$ nu înseamnă neapărat aplicarea primei limite remarcabile. Uneori sunt suficiente transformări trigonometrice simple - de exemplu, vezi.
Exemplul nr. 1
Demonstrați că $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) Deoarece $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, atunci:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Deoarece $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ și $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, Acea:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) Să facem schimbarea $\alpha=\sin(y)$. Deoarece $\sin(0)=0$, atunci din condiția $\alpha\to(0)$ avem $y\to(0)$. În plus, există o vecinătate de zero în care $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, deci:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Egalitatea $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ a fost dovedită.
c) Să facem înlocuirea $\alpha=\tg(y)$. Deoarece $\tg(0)=0$, atunci condițiile $\alpha\to(0)$ și $y\to(0)$ sunt echivalente. În plus, există o vecinătate de zero în care $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, prin urmare, pe baza rezultatelor punctului a), vom avea:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\la(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\la(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Egalitatea $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ a fost dovedită.
Egalitățile a), b), c) sunt adesea folosite împreună cu prima limită remarcabilă.
Exemplul nr. 2
Calculați limita $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.
Deoarece $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ și $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. si atat numaratorul cat si numitorul fractiei tind simultan spre zero, atunci aici avem de-a face cu o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$, i.e. Terminat. În plus, este clar că expresiile de sub semnul sinus și din numitor coincid (adică și este satisfăcut):
Deci, ambele condiții enumerate la începutul paginii sunt îndeplinite. De aici rezultă că formula este aplicabilă, i.e. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
Răspuns: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
Exemplul nr. 3
Găsiți $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Deoarece $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ și $\lim_(x\to(0))x=0$, atunci avem de-a face cu o incertitudine de forma $\frac (0 )(0)$, adică Terminat. Cu toate acestea, expresiile de sub semnul sinus și din numitor nu coincid. Aici trebuie să ajustați expresia din numitor la formularul cerut. Avem nevoie ca expresia $9x$ să fie la numitor, atunci va deveni adevărată. În esență, ne lipsește un factor de $9$ în numitor, care nu este atât de greu de introdus – doar înmulțiți expresia din numitor cu $9$. Desigur, pentru a compensa înmulțirea cu $9$, va trebui să împărțiți imediat la $9$:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
Acum, expresiile de la numitor și de sub semnul sinus coincid. Ambele condiții pentru limita $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ sunt îndeplinite. Prin urmare, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Și asta înseamnă că:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Exemplul nr. 4
Găsiți $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Deoarece $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ și $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, aici avem de-a face cu incertitudinea formei $\frac(0)(0)$. Cu toate acestea, forma primei limite remarcabile este încălcată. Un numărător care conține $\sin(5x)$ necesită un numitor de $5x$. În această situație, cel mai simplu mod este să împărțiți numărătorul cu $5x$ și să înmulțiți imediat cu $5x$. În plus, vom efectua o operație similară cu numitorul, înmulțind și împărțind $\tg(8x)$ la $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
Reducând cu $x$ și luând constanta $\frac(5)(8)$ în afara semnului limită, obținem:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Rețineți că $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ îndeplinește pe deplin cerințele pentru prima limită remarcabilă. Pentru a găsi $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ se aplică următoarea formulă:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Exemplul nr. 5
Găsiți $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Deoarece $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (rețineți că $\cos(0)=1$) și $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, atunci avem de-a face cu incertitudinea de forma $\frac(0)(0)$. Totuși, pentru a aplica prima limită remarcabilă, ar trebui să scăpați de cosinusul din numărător, trecând la sinusuri (pentru a aplica apoi formula) sau tangente (pentru a aplica apoi formula). Acest lucru se poate face cu următoarea transformare:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Să revenim la limită:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$
Fracția $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ este deja apropiată de forma necesară pentru prima limită remarcabilă. Să lucrăm puțin cu fracția $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, ajustând-o la prima limită remarcabilă (rețineți că expresiile din numărător și sub sinus trebuie să se potrivească):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
Să revenim la limita în cauză:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Exemplul nr. 6
Găsiți limita $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
Deoarece $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ și $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, atunci avem de-a face cu incertitudinea $\frac(0)(0)$. Să o dezvăluim cu ajutorul primei limite remarcabile. Pentru a face acest lucru, să trecem de la cosinus la sinusuri. Deoarece $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, atunci:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Trecând la sinusuri în limita dată, vom avea:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) = 9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Exemplul nr. 7
Calculați limita $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ sub rezerva $\alpha\neq \ beta$.
Explicații detaliate au fost date mai devreme, dar aici pur și simplu observăm că din nou există incertitudine $\frac(0)(0)$. Să trecem de la cosinus la sinus folosind formula
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Folosind această formulă, obținem:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\dreapta| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.
Exemplul nr. 8
Găsiți limita $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
Deoarece $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (rețineți că $\sin(0)=\tg(0)=0$) și $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, atunci aici avem de-a face cu incertitudinea de forma $\frac(0)(0)$. Să-l defalcăm după cum urmează:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$
Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Exemplul nr. 9
Găsiți limita $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
Deoarece $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ și $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, atunci există incertitudinea formei $\frac(0)(0)$. Înainte de a trece la extinderea acesteia, este convenabil să faceți o schimbare de variabilă în așa fel încât noua variabilă să tinde spre zero (rețineți că în formule variabila $\alpha \to 0$). Cel mai simplu mod este introducerea variabilei $t=x-3$. Cu toate acestea, pentru comoditatea transformărilor ulterioare (acest beneficiu poate fi văzut în cursul soluției de mai jos), merită să faceți următoarea înlocuire: $t=\frac(x-3)(2)$. Remarc că ambele înlocuiri sunt aplicabile în acest caz, doar că a doua înlocuire vă va permite să lucrați mai puțin cu fracții. Din moment ce $x\la(3)$, atunci $t\la(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\dreapta| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Răspuns: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Exemplul nr. 10
Găsiți limita $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.
Încă o dată avem de-a face cu incertitudinea $\frac(0)(0)$. Înainte de a trece la extinderea acesteia, este convenabil să faceți o schimbare de variabilă în așa fel încât noua variabilă să tindă spre zero (rețineți că în formule variabila este $\alpha\to(0)$). Cel mai simplu mod este să introduceți variabila $t=\frac(\pi)(2)-x$. Deoarece $x\la\frac(\pi)(2)$, atunci $t\la(0)$:
$$ \lim_(x\la\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\stânga|\frac(0)(0)\dreapta| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
Răspuns: $\lim_(x\la\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
Exemplul nr. 11
Găsiți limitele $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
În acest caz nu trebuie să folosim prima limită minunată. Vă rugăm să rețineți că atât prima cât și a doua limită conțin numai funcții și numere trigonometrice. Adesea în exemple de acest fel este posibilă simplificarea expresiei situate sub semnul limită. Mai mult, după simplificarea și reducerea menționată mai sus a unor factori, incertitudinea dispare. Am dat acest exemplu doar cu un singur scop: să arăt că prezența funcțiilor trigonometrice sub semnul limită nu înseamnă neapărat utilizarea primei limite remarcabile.
Deoarece $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (rețineți că $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) și $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (permiteți-mi să vă reamintesc că $\cos\frac(\pi)(2)=0$), atunci avem care se ocupă de incertitudinea formei $\frac(0)(0)$. Totuși, asta nu înseamnă că va trebui să folosim prima limită minunată. Pentru a dezvălui incertitudinea, este suficient să luăm în considerare faptul că $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\la\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Există o soluție similară în cartea de soluții a lui Demidovich (nr. 475). În ceea ce privește a doua limită, ca și în exemplele anterioare din această secțiune, avem o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. De ce apare? Apare deoarece $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ și $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Folosim aceste valori pentru a transforma expresiile în numărător și numitor. Scopul acțiunilor noastre este de a nota suma în numărător și numitor ca produs. Apropo, adesea în cadrul unui tip similar este convenabil să se schimbe o variabilă, făcută în așa fel încât noua variabilă să tinde spre zero (vezi, de exemplu, exemplele nr. 9 sau nr. 10 de pe această pagină). Totuși, în acest exemplu nu are rost să înlocuiești, deși, dacă se dorește, înlocuirea variabilei $t=x-\frac(2\pi)(3)$ nu este dificil de implementat.
$$ \lim_(x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
După cum puteți vedea, nu a trebuit să aplicăm prima limită minunată. Desigur, puteți face acest lucru dacă doriți (vezi nota de mai jos), dar nu este necesar.
Care este soluția folosind prima limită remarcabilă? arată ascunde
Folosind prima limită remarcabilă obținem:
$$ \lim_(x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ dreapta))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Răspuns: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
Limita functiei- număr A va fi limita unei marimi variabile daca, in procesul schimbarii ei, aceasta marime variabila se apropie la nesfarsit A.
Sau cu alte cuvinte, numărul A este limita funcției y = f(x) la punct x 0, dacă pentru orice succesiune de puncte din domeniul de definire a funcției , nu este egală x 0, și care converge spre punct x 0 (lim x n = x0), succesiunea valorilor funcției corespunzătoare converge către număr A.
Graficul unei funcții a cărei limită, având în vedere un argument care tinde spre infinit, este egală cu L:
Sens A este limita (valoarea limită) a funcției f(x) la punct x 0în cazul oricărei succesiuni de puncte 
, care converge spre x 0, dar care nu conține x 0 ca unul dintre elementele sale (adică în vecinătatea perforată x 0), succesiune de valori ale funcției 
converge spre A.
Limita unei funcții Cauchy.
Sens A va fi limita functiei f(x) la punct x 0 dacă pentru orice număr nenegativ luat în avans ε se va găsi numărul nenegativ corespunzător δ = δ(ε) astfel încât pentru fiecare argument X, îndeplinind condiția 0 < | x - x0 | < δ , inegalitatea va fi satisfăcută | f(x)A |< ε .
Va fi foarte simplu dacă înțelegeți esența limitei și regulile de bază pentru găsirea acesteia. Care este limita funcției f (X) la X lupta pentru A egală A, este scris astfel:
Mai mult, valoarea la care tinde variabila X, poate fi nu numai un număr, ci și infinit (∞), uneori +∞ sau -∞, sau poate să nu existe nicio limită.
Pentru a înțelege cum afla limitele unei functii, cel mai bine este să priviți exemple de soluții.
Este necesar să găsiți limitele funcției f (x) = 1/X la:
X→ 2, X→ 0, X→ ∞.
Să găsim o soluție la prima limită. Pentru a face acest lucru, puteți pur și simplu să înlocuiți X numărul la care tinde, adică 2, obținem:
Să găsim a doua limită a funcției. Înlocuiește aici formă pură 0 în schimb X este imposibil, pentru că Nu poți împărți la 0. Dar putem lua valori apropiate de zero, de exemplu, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 și așa mai departe și valoarea funcției f (X) va crește: 100; 1000; 10000; 100.000 și așa mai departe. Astfel, se poate înțelege că atunci când X→ 0 valoarea funcției care se află sub semnul limită va crește fără limită, i.e. străduiește-te spre infinit. Care înseamnă:
Referitor la a treia limită. Aceeași situație ca și în cazul precedent, este imposibil de înlocuit ∞ în forma sa cea mai pură. Trebuie să luăm în considerare cazul creșterii nelimitate X. Inlocuim 1000 unul cate unul; 10000; 100000 și așa mai departe, avem că valoarea funcției f (x) = 1/X va scadea: 0,001; 0,0001; 0,00001; și așa mai departe, tinzând spre zero. De aceea:
Este necesar să se calculeze limita funcției 
Începând să rezolvăm al doilea exemplu, vedem incertitudine. De aici găsim cel mai înalt grad al numărătorului și numitorului - acesta este x 3, îl scoatem din paranteze în numărător și numitor și apoi îl reducem cu:
Răspuns 
Primul pas în găsirea acestei limite, înlocuiți valoarea 1 X, rezultând incertitudine. Pentru a o rezolva, să factorizăm numărătorul și să facem acest lucru folosind metoda de găsire a rădăcinilor ecuație pătratică x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.
Deci numărătorul va fi:
Răspuns 
Aceasta este definiția valorii sale specifice sau a unei anumite zone în care se încadrează funcția, care este limitată de limită.
Pentru a rezolva limitele, urmați regulile:
După ce am înțeles esența și principalul reguli pentru rezolvarea limitei, Vei primi concept de bază despre cum să le rezolvi.
Funcţie y = f (X) este o lege (regulă) conform căreia fiecare element x al mulțimii X este asociat cu unul și un singur element y al mulțimii Y.
Elementul x ∈ X numit argumentul funcției sau variabila independenta.
Elementul y ∈ Y numit valoarea functiei sau variabilă dependentă.
Se numește mulțimea X domeniul functiei.
Set de elemente y ∈ Y, care au preimagini în setul X, se numește zonă sau set de valori ale funcției.
Funcția reală este numită limitat de sus (de jos), dacă există un număr M astfel încât inegalitatea să fie valabilă pentru toți:
.
Se apelează funcția de număr limitat, dacă există un număr M astfel încât pentru toate:
.
Marginea superioară sau limita superioară exactă O funcție reală se numește cel mai mic număr care își limitează intervalul de valori de sus. Adică acesta este un număr s pentru care, pentru toată lumea și pentru oricare, există un argument a cărui valoare a funcției depășește s′: .
Limita superioară a unei funcții poate fi notată după cum urmează:
.
Respectiv marginea de jos sau limita inferioară exactă O funcție reală se numește cel mai mare număr care își limitează intervalul de valori de jos. Adică acesta este un număr i pentru care, pentru toată lumea și pentru oricare, există un argument a cărui valoare a funcției este mai mică decât i′: .
Infimul unei funcții poate fi notat astfel:
.
Determinarea limitei unei funcții
Determinarea limitei unei funcţii după Cauchy
Limite finite ale funcției la punctele finale
Fie ca funcția să fie definită într-o vecinătate a punctului final, cu posibila excepție a punctului însuși. la un moment dat, dacă pentru oricare există așa ceva, în funcție de , că pentru tot x pentru care , inegalitatea este valabilă
.
Limita unei funcții se notează după cum urmează:
.
Sau la .
Folosind simbolurile logice ale existenței și universalității, definiția limitei unei funcții poate fi scrisă după cum urmează:
.
Limite unilaterale.
Limită din stânga într-un punct (limită din stânga):
.
Limită dreaptă într-un punct (limită dreaptă):
.
Limitele din stânga și din dreapta sunt adesea indicate după cum urmează:
;
.
Limitele finite ale unei funcții în puncte la infinit
Limitele în puncte la infinit sunt determinate într-un mod similar.
.
.
.
Ele sunt adesea denumite ca:
;
;
.
Folosind conceptul de vecinătate a unui punct
Dacă introducem conceptul de vecinătate perforată a unui punct, atunci putem da o definiție unificată a limitei finite a unei funcții în puncte finite și infinit îndepărtate:
.
Aici pentru puncte finale
;
;
.
Orice vecinătate de puncte la infinit este perforată:
;
;
.
Limite infinite ale funcției
Definiție
Fie definită funcția într-o vecinătate perforată a unui punct (finit sau la infinit). Limita funcției f (X) ca x → x 0
este egal cu infinitul, dacă pentru cineva, în mod arbitrar un numar mare M > 0
, există un număr δ M > 0
, în funcție de M, că pentru tot x aparținând δ M perforat - vecinătatea punctului: , se respectă următoarea inegalitate:
.
Limita infinită se notează după cum urmează:
.
Sau la .
Folosind simbolurile logice ale existenței și universalității, definiția limitei infinite a unei funcții poate fi scrisă după cum urmează:
.
De asemenea, puteți introduce definiții ale limitelor infinite ale anumitor semne egale cu și:
.
.
Definiția universală a limitei unei funcții
Folosind conceptul de vecinătate a unui punct, putem da o definiție universală a limitei finite și infinite a unei funcții, aplicabilă atât pentru puncte finite (bilaterale și unilaterale) cât și infinit îndepărtate:
.
Determinarea limitei unei funcţii după Heine
Să fie definită funcția pe o mulțime X:.
Numărul a se numește limita funcției la un moment dat:
,
dacă pentru orice succesiune convergentă spre x 0
:
,
ale căror elemente aparțin mulțimii X: ,
.
Să scriem această definiție folosind simbolurile logice ale existenței și universalității:
.
Dacă luăm vecinătatea din stânga a punctului x ca o mulțime X 0 , apoi obținem definiția limitei stângi. Dacă este dreptaci, atunci obținem definiția limitei drepte. Dacă luăm vecinătatea unui punct la infinit ca mulțime X, obținem definiția limitei unei funcții la infinit.
Teorema
Definițiile Cauchy și Heine ale limitei unei funcții sunt echivalente.
Dovada
Proprietăţi şi teoreme ale limitei unei funcţii
În plus, presupunem că funcțiile luate în considerare sunt definite în vecinătatea corespunzătoare a punctului, care este un număr finit sau unul dintre simbolurile: . Poate fi, de asemenea, un punct limită unilateral, adică să aibă forma sau . Cartierul este bilateral pentru o limită cu două laturi și unilateral pentru o limită unilaterală.
Proprietăți de bază
Dacă valorile funcției f (X) schimbați (sau faceți nedefinit) un număr finit de puncte x 1, x 2, x 3, ... x n, atunci această modificare nu va afecta existența și valoarea limitei funcției la un punct arbitrar x 0 .
Dacă există o limită finită, atunci există o vecinătate perforată a punctului x 0
, pe care funcția f (X) limitat:
.
Fie funcția să aibă în punctul x 0
limită finită diferită de zero:
.
Atunci, pentru orice număr c din intervalul , există o astfel de vecinătate perforată a punctului x 0
, pentru ce ,
, Dacă ;
, Dacă .
Dacă, pe o vecinătate perforată a punctului, , este o constantă, atunci .
Dacă există limite finite și și pe o vecinătate perforată a punctului x 0
,
Acea .
Dacă , și pe o anumită vecinătate a punctului
,
Acea .
În special, dacă se află într-un anumit punct
,
atunci dacă , atunci și ;
dacă , atunci și .
Dacă pe o vecinătate perforată a unui punct x 0
:
,
și există limite egale finite (sau infinite ale unui anumit semn):
, Acea
.
Dovezile principalelor proprietăți sunt date pe pagină
„Proprietățile de bază ale limitelor unei funcții”.
Proprietăți aritmetice ale limitei unei funcții
Fie funcțiile și să fie definite într-o vecinătate perforată a punctului. Și să fie limite finite:
Și .
Și fie C o constantă, adică număr dat. Apoi
;
;
;
, Dacă .
Daca atunci.
Pe pagină sunt date dovezi ale proprietăților aritmetice
„Proprietăți aritmetice ale limitelor unei funcții”.
Criteriul Cauchy pentru existența unei limite a unei funcții
Teorema
Pentru o funcție definită pe o vecinătate perforată a unui punct finit sau infinit x 0
, a avut o limită finită în acest punct, este necesar și suficient ca pentru orice ε > 0
exista o astfel de vecinătate perforată a punctului x 0
, că pentru orice puncte și din această vecinătate este valabilă următoarea inegalitate:
.
Limita unei funcții complexe
Teoremă asupra limitei unei funcții complexe
Fie ca funcția să aibă o limită și mapați o vecinătate perforată a unui punct pe o vecinătate perforată a unui punct. Lăsați funcția să fie definită pe această vecinătate și aveți o limită asupra acesteia.
Iată punctele finale sau infinit îndepărtate: . Vecinătățile și limitele lor corespunzătoare pot fi fie cu două laturi, fie unilaterale.
Atunci există o limită a unei funcții complexe și este egală cu:
.
Teorema limită a unei funcții complexe se aplică atunci când funcția nu este definită într-un punct sau are o valoare diferită de limită. Pentru a aplica această teoremă, trebuie să existe o vecinătate perforată a punctului în care mulțimea de valori a funcției nu conține punctul:
.
Dacă funcția este continuă în punctul , atunci semnul limită poate fi aplicat argumentului funcției continue:
.
Următoarea este o teoremă corespunzătoare acestui caz.
Teoremă asupra limitei unei funcții continue a unei funcții
Să existe o limită a funcției g (t) ca t → t 0
, și este egal cu x 0
:
.
Aici este punctul t 0
poate fi finit sau infinit distant: .
Și fie funcția f (X) este continuă în punctul x 0
.
Atunci există o limită a funcției complexe f (g(t)), și este egal cu f (x0):
.
Pe pagină sunt date dovezi ale teoremelor
„Limita și continuitatea unei funcții complexe”.
Funcții infinitezimale și infinit de mari
Funcții infinitezimale
Definiție
Se spune că o funcție este infinitezimală dacă
.
Sumă, diferență și produs a unui număr finit de funcții infinitezimale la este o funcție infinitezimală la .
Produsul unei funcții mărginit pe o vecinătate perforată a punctului , la o infinitezimală la este o funcție infinitezimală la .
Pentru ca o funcție să aibă o limită finită, este necesar și suficient ca
,
unde este o funcție infinitezimală la .
„Proprietăți ale funcțiilor infinitezimale”.
Funcții infinit de mari
Definiție
Se spune că o funcție este infinit de mare dacă
.
Suma sau diferența unei funcții mărginite, pe o vecinătate perforată a punctului , și o funcție infinit de mare la este o funcție infinit de mare la .
Dacă funcția este infinit de mare pentru , și funcția este mărginită pe o vecinătate perforată a punctului , atunci
.
Dacă funcția , pe o vecinătate perforată a punctului , satisface inegalitatea:
,
iar funcția este infinitezimală la:
, și (pe vreo vecinătate perforată a punctului), apoi
.
Dovezile proprietăților sunt prezentate în secțiune
„Proprietăți ale funcțiilor infinit de mari”.
Relația dintre funcțiile infinit de mari și infinitezimale
Din cele două proprietăți anterioare rezultă legătura dintre funcțiile infinit de mari și infinitezimale.
Dacă o funcție este infinit de mare la , atunci funcția este infinitezimală la .
Dacă o funcție este infinitezimală pentru , și , atunci funcția este infinit mare pentru .
Relația dintre o funcție infinitezimală și o funcție infinit de mare poate fi exprimată simbolic:
,
.
Dacă o funcție infinitezimală are un anumit semn la , adică este pozitivă (sau negativă) pe o vecinătate perforată a punctului , atunci acest fapt poate fi exprimat astfel:
.
În același mod, dacă o funcție infinit de mare are un anumit semn la , atunci ei scriu:
.
Apoi legătura simbolică dintre funcțiile infinit de mici și infinit de mari poate fi completată cu următoarele relații:
,
,
,
.
Formule suplimentare referitoare la simbolurile infinitului pot fi găsite pe pagină
„Punctează la infinit și proprietățile lor”.
Limitele funcţiilor monotone
Definiție
Funcție definită pe un set numere reale X este numit strict crescând, dacă pentru toate acestea sunt valabile următoarea inegalitate:
.
În consecință, pentru strict în scădere Funcționează următoarea inegalitate:
.
Pentru nedescrescătoare:
.
Pentru necrescătoare:
.
Rezultă că o funcție strict crescătoare este, de asemenea, nedescrescătoare. O funcție strict descrescătoare este, de asemenea, necreștetoare.
Funcția este numită monoton, dacă nu este în scădere sau în creștere.
Teorema
Fie ca funcția să nu scadă pe intervalul în care .
Dacă este mărginită mai sus de numărul M: atunci există o limită finită. Dacă nu este limitat de sus, atunci.
Dacă este limitată de jos de numărul m: atunci există o limită finită. Dacă nu este limitat de jos, atunci.
Dacă punctele a și b sunt la infinit, atunci în expresii semnele limită înseamnă că .
Această teoremă poate fi formulată mai compact.
Fie ca funcția să nu scadă pe intervalul în care . Atunci există limite unilaterale în punctele a și b:
;
.
O teoremă similară pentru o funcție care nu crește.
Fie ca funcția să nu crească pe intervalul în care . Apoi există limite unilaterale:
;
.
Dovada teoremei este prezentată pe pagină
„Limitele funcțiilor monotone”.
Referinte:
L.D. Kudryavtsev. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 2003.
CM. Nikolsky. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 1983.
