- apotema- înălțimea feței laterale a unei piramide regulate, care este desenată din vârful acesteia (în plus, apotema este lungimea perpendicularei, care este coborâtă de la mijlocul poligonului regulat la una dintre laturile sale);
- fetele laterale (ASB, BSC, CSD, DSA) - triunghiuri care se întâlnesc la vârf;
- coaste laterale ( LA FEL DE , B.S. , C.S. , D.S. ) — laturile comune ale fețelor laterale;
- vârful piramidei (t. S) - un punct care leagă nervurile laterale și care nu se află în planul bazei;
- înălţime ( ASA DE ) - un segment perpendicular trasat prin vârful piramidei până la planul bazei acesteia (capetele unui astfel de segment vor fi vârful piramidei și baza perpendicularei);
- secțiunea diagonală a piramidei- o sectiune a piramidei care trece prin varful si diagonala bazei;
- baza (ABCD) - un poligon care nu aparține vârfului piramidei.
Proprietățile piramidei.
1. Când toate marginile laterale au aceeași dimensiune, atunci:
- este ușor să descrii un cerc lângă baza piramidei, iar vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc;
- nervurile laterale formează unghiuri egale cu planul bazei;
- Mai mult, este adevărat și opusul, adică. când nervurile laterale se formează cu planul bazei unghiuri egale, sau când un cerc poate fi descris lângă baza piramidei și vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc, ceea ce înseamnă că toate marginile laterale ale piramidei au aceeași dimensiune.
2. Când fețele laterale au un unghi de înclinare față de planul bazei de aceeași valoare, atunci:
- este ușor să descrii un cerc lângă baza piramidei, iar vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc;
- înălțimile fețelor laterale sunt de lungime egală;
- aria suprafeței laterale este egală cu ½ produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea feței laterale.
3. O sferă poate fi descrisă în jurul unei piramide dacă la baza piramidei există un poligon în jurul căruia poate fi descris un cerc (o condiție necesară și suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec prin mijlocul marginilor piramidei perpendicular pe acestea. Din această teoremă concluzionăm că atât în jurul oricărui triunghiular cât și în jurul oricărui piramida regulata poate descrie sfera.
4. O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă dacă planele bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei se intersectează în punctul 1 (condiție necesară și suficientă). Acest punct va deveni centrul sferei.
Cea mai simplă piramidă.
Pe baza numărului de unghiuri, baza piramidei este împărțită în triunghiular, patruunghiular și așa mai departe.
Va fi o piramidă triunghiular, patruunghiular, și așa mai departe, când baza piramidei este un triunghi, un patrulater și așa mai departe. O piramidă triunghiulară este un tetraedru - un tetraedru. Patraunghiular - pentagonal și așa mai departe.
Când rezolvă problema C2 folosind metoda coordonatelor, mulți elevi se confruntă cu aceeași problemă. Ei nu pot calcula coordonatele punctelor incluse în formulă produs punctual. Apar cele mai mari dificultăți piramide. Și dacă punctele de bază sunt considerate mai mult sau mai puțin normale, atunci vârfurile sunt un adevărat iad.
Astăzi vom lucra la o piramidă patruunghiulară obișnuită. Mai sunt ceva piramidă triunghiulară(alias - tetraedru). E mai mult design complex, așa că îi va fi dedicată o lecție separată.
În primul rând, să ne amintim definiția:
O piramidă obișnuită este aceea care:
- Baza este un poligon regulat: triunghi, pătrat etc.;
- O altitudine trasă la bază trece prin centrul acesteia.
În special, baza unei piramide patruunghiulare este pătrat. La fel ca și Cheops, doar puțin mai mic.
Mai jos sunt calcule pentru o piramidă în care toate muchiile sunt egale cu 1. Dacă nu este cazul în problema dvs., calculele nu se schimbă - doar numerele vor fi diferite.
Vârfurile unei piramide patruunghiulare
Deci, să fie dată o piramidă patruunghiulară regulată SABCD, unde S este vârful și baza ABCD este un pătrat. Toate muchiile sunt egale cu 1. Trebuie să introduceți un sistem de coordonate și să găsiți coordonatele tuturor punctelor. Avem:
Introducem un sistem de coordonate cu originea in punctul A:
- Axa OX este îndreptată paralel cu muchia AB;
- Axa OY este paralelă cu AD. Deoarece ABCD este un pătrat, AB ⊥ AD;
- În cele din urmă, direcționăm axa OZ în sus, perpendicular pe planul ABCD.
Acum calculăm coordonatele. Construcție suplimentară: SH - înălțimea trasă la bază. Pentru comoditate, vom plasa baza piramidei într-un desen separat. Deoarece punctele A, B, C și D se află în planul OXY, coordonatele lor este z = 0. Avem:
- A = (0; 0; 0) - coincide cu originea;
- B = (1; 0; 0) - pas cu 1 de-a lungul axei OX de la origine;
- C = (1; 1; 0) - pas cu 1 de-a lungul axei OX și cu 1 de-a lungul axei OY;
- D = (0; 1; 0) - pas numai de-a lungul axei OY.
- H = (0,5; 0,5; 0) - centrul pătratului, mijlocul segmentului AC.
Rămâne de găsit coordonatele punctului S. Rețineți că coordonatele x și y ale punctelor S și H sunt aceleași, deoarece se află pe o dreaptă paralelă cu axa OZ. Rămâne de găsit coordonata z pentru punctul S.
Luați în considerare triunghiurile ASH și ABH:
- AS = AB = 1 prin condiție;
- Unghiul AHS = AHB = 90°, deoarece SH este înălțimea și AH ⊥ HB ca diagonalele pătratului;
- Partea AH este comună.
Prin urmare, triunghiuri dreptunghiulare ASH și ABH egal câte un catet și câte o ipotenuză. Aceasta înseamnă SH = BH = 0,5 BD. Dar BD este diagonala unui pătrat cu latura 1. Prin urmare, avem:
Coordonatele totale ale punctului S:
În concluzie, notăm coordonatele tuturor vârfurilor unei piramide dreptunghiulare regulate:
Ce să faci când coastele sunt diferite
Ce se întâmplă dacă marginile laterale ale piramidei nu sunt egale cu marginile bazei? În acest caz, luați în considerare triunghiul AHS:
Triunghiul AHS - dreptunghiular, iar ipotenuza AS este, de asemenea, o margine laterală a piramidei originale SABCD. Piciorul AH este ușor de calculat: AH = 0,5 AC. Vom găsi piciorul rămas SH conform teoremei lui Pitagora. Aceasta va fi coordonata z pentru punctul S.
Sarcină. Având în vedere o piramidă patruunghiulară regulată SABCD, la baza căreia se află un pătrat cu latura 1. Latura laterală BS = 3. Aflați coordonatele punctului S.
Cunoaștem deja coordonatele x și y ale acestui punct: x = y = 0,5. Aceasta rezultă din două fapte:
- Proiecția punctului S pe planul OXY este punctul H;
- În același timp, punctul H este centrul unui pătrat ABCD, ale cărui laturi sunt egale cu 1.
Rămâne de găsit coordonatele punctului S. Luați în considerare triunghiul AHS. Este dreptunghiulară, cu ipotenuza AS = BS = 3, catetul AH fiind jumătate din diagonală. Pentru calcule suplimentare avem nevoie de lungimea sa:
Teorema lui Pitagora pentru triunghiul AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Avem:
Deci, coordonatele punctului S:
Tutorial video 2: Problema piramidei. Volumul piramidei
Tutorial video 3: Problema piramidei. Piramida corectă
Lectura: Piramida, baza ei, nervurile laterale, înălțimea, suprafata laterala; piramidă triunghiulară; piramida regulata
Piramida, proprietățile salePiramidă este un corp tridimensional care are un poligon la bază și toate fețele sale sunt formate din triunghiuri.
Un caz special al unei piramide este un con cu un cerc la bază.
Să ne uităm la elementele principale ale piramidei:
Apotema- acesta este un segment care leagă vârful piramidei cu mijlocul marginii inferioare a feței laterale. Cu alte cuvinte, aceasta este înălțimea marginii piramidei.
În figură puteți vedea triunghiuri ADS, ABS, BCS, CDS. Dacă te uiți cu atenție la nume, poți vedea că fiecare triunghi are o literă comună în numele său - S. Adică, aceasta înseamnă că toate fețele laterale (triunghiurile) converg într-un singur punct, care se numește vârful piramidei. .
Segmentul OS care leagă vârful cu punctul de intersecție al diagonalelor bazei (în cazul triunghiurilor - în punctul de intersecție al înălțimilor) se numește înălțimea piramidei.
O secțiune diagonală este un plan care trece prin vârful piramidei, precum și una dintre diagonalele bazei.
Deoarece suprafața laterală a piramidei este formată din triunghiuri, pentru a găsi aria totală a suprafeței laterale, este necesar să găsiți aria fiecărei fețe și să le însumați. Numărul și forma fețelor depind de forma și dimensiunea laturilor poligonului care se află la bază.
Se numește singurul plan dintr-o piramidă care nu aparține vârfului său bază piramide.
În figură vedem că baza este un paralelogram, dar poate fi orice poligon arbitrar.
Proprietăți:
Luați în considerare primul caz al unei piramide, în care are muchii de aceeași lungime:
- Un cerc poate fi desenat în jurul bazei unei astfel de piramide. Dacă proiectați vârful unei astfel de piramide, atunci proiecția acesteia va fi situată în centrul cercului.
- Unghiurile de la baza piramidei sunt aceleași pe fiecare față.
- În acest caz, o condiție suficientă pentru faptul că un cerc poate fi descris în jurul bazei piramidei și, de asemenea, că toate marginile sunt de lungimi diferite, pot fi considerate aceleași unghiuri între bază și fiecare margine a fețelor.
Dacă întâlniți o piramidă în care unghiurile dintre fețele laterale și bază sunt egale, atunci următoarele proprietăți sunt adevărate:
- Veți putea descrie un cerc în jurul bazei piramidei, al cărui vârf este proiectat exact în centru.
- Dacă desenați fiecare margine laterală a înălțimii la bază, atunci acestea vor fi de lungime egală.
- Pentru a găsi suprafața laterală a unei astfel de piramide, este suficient să găsiți perimetrul bazei și să îl înmulțiți cu jumătate din lungimea înălțimii.
- S bp = 0,5P oc H.
- Tipuri de piramide.
- În funcție de poligonul care se află la baza piramidei, acestea pot fi triunghiulare, patrulatere etc. Dacă la baza piramidei se află un poligon regulat (cu laturi egale), atunci o astfel de piramidă va fi numită obișnuită.
Piramidă triunghiulară regulată
