Metoda intervalului este o modalitate universală de a rezolva aproape orice inegalități care apar într-un curs de algebră școlară. Se bazează pe următoarele proprietăți ale funcțiilor:
1. O funcție continuă g(x) poate schimba semnul numai în punctul în care este egală cu 0. Grafic, aceasta înseamnă că graficul unei funcții continue se poate deplasa dintr-un semiplan în altul numai dacă intersectează x -axa (ne amintim că ordonata oricărui punct situat pe axa OX (axa absciselor) este egală cu zero, adică valoarea funcției în acest punct este egală cu 0):
Vedem că funcția y=g(x) prezentată pe grafic intersectează axa OX în punctele x= -8, x=-2, x=4, x=8. Aceste puncte se numesc zerouri ale funcției. Și în aceleași puncte funcția g(x) își schimbă semnul.
2. Funcția poate schimba și semnul la zerourile numitorului - cel mai simplu exemplu functia binecunoscuta:
Vedem că funcția își schimbă semnul la rădăcina numitorului, în punctul , dar nu dispare în niciun punct. Astfel, dacă o funcție conține o fracție, aceasta poate schimba semnul la rădăcinile numitorului.
2. Cu toate acestea, funcția nu își schimbă întotdeauna semnul la rădăcina numărătorului sau la rădăcina numitorului. De exemplu, funcția y=x 2 nu își schimbă semnul în punctul x=0:
Deoarece ecuația x 2 =0 are două rădăcini egale x=0, în punctul x=0 funcția pare să se transforme de două ori la 0. O astfel de rădăcină se numește rădăcină a celei de-a doua multiplicități.
Funcţie 
schimbă semnul la zero al numărătorului, , dar nu schimbă semnul la zero al numitorului: , întrucât rădăcina este rădăcina celei de-a doua multiplicități, adică a multiplicității pare:
Important! În rădăcinile multiplicității par, funcția nu își schimbă semnul.
Notă! Orice neliniară Inegalitățile din cursurile de algebră școlară sunt de obicei rezolvate folosind metoda intervalelor.
Va ofer unul detaliat, in urma caruia puteti evita greselile cand rezolvarea inegalităților neliniare.
1. Mai întâi trebuie să aduceți inegalitatea în formă
P(x)V0,
unde V este semnul de inegalitate:<,>,≤ sau ≥. Pentru a face acest lucru aveți nevoie de:
a) mutați toți termenii în partea stângă a inegalității,
b) găsiți rădăcinile expresiei rezultate,
c) factorizați partea stângă a inegalității
d) scrieți factori identici ca puteri.
Atenţie! Ultimul pas trebuie făcut pentru a nu face o greșeală cu multiplicitatea rădăcinilor - dacă rezultatul este un multiplicator la o putere pară, atunci rădăcina corespunzătoare are o multiplicitate pară.
2. Trasează rădăcinile găsite pe axa numerelor.
3. Dacă inegalitatea este strictă, atunci cercurile care indică rădăcinile pe axa numerelor sunt lăsate „goale”, dacă inegalitatea nu este strictă, atunci cercurile sunt completate.
4. Selectăm rădăcini de multiplicitate uniformă - în ele P(x) semnul nu se schimba.
5. Determinați semnul P(x) pe golul din dreapta. Pentru a face acest lucru, luați o valoare arbitrară x 0, care este mai mare decât rădăcina mai mare și înlocuiți-o în P(x).
Dacă P(x 0)>0 (sau ≥0), atunci în spațiul din dreapta punem semnul „+”.
Dacă P(x 0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".
La trecerea prin punctul care indică o rădăcină de multiplicitate pară, semnul NU SE SCHIMBA.
7. Încă o dată ne uităm la semnul inegalității originale și selectăm intervalele semnului de care avem nevoie.
8. Atentie! Dacă inegalitatea noastră NU este STRICTĂ, atunci verificăm separat condiția egalității la zero.
9. Notează răspunsul.
Dacă originalul inegalitatea conține o necunoscută în numitor, apoi mutăm și toți termenii la stânga și reducem partea stângă a inegalității la forma
(unde V este semnul de inegalitate:< или >)
O inegalitate strictă de acest tip este echivalentă cu inegalitatea
NU strict inegalitatea formei
echivalent sistem:
În practică, dacă funcția are forma , atunci procedăm după cum urmează:
- Aflați rădăcinile numărătorului și numitorului.
- Le aplicăm pe ax. Lasă toate cercurile goale. Apoi, dacă inegalitatea nu este strictă, atunci pictăm peste rădăcinile numărătorului și lăsăm întotdeauna goale rădăcinile numitorului.
- În continuare urmează algoritmul general:
- Selectăm rădăcini de multiplicitate pară (dacă numărătorul și numitorul conțin aceleași rădăcini, atunci numărăm de câte ori apar aceleași rădăcini). În rădăcini ale multiplicității chiar, semnul nu se schimbă.
- Aflăm semnul în golul din dreapta.
- Punem semne.
- În cazul unei inegalități nestricte, verificăm separat condiția de egalitate și condiția de egalitate la zero.
- Selectăm golurile necesare și rădăcinile independente.
- Scriem răspunsul.
Pentru a înțelege mai bine algoritm de rezolvare a inegalităților folosind metoda intervalului, urmăriți TUTORIALUL VIDEO, care explică în detaliu exemplul rezolvarea inegalităților folosind metoda intervalului.
Tema lecției „Rezolvarea sistemelor de inegalități raționale”
Clasa 10
Tip de lecție: căutare
Scop: găsirea modalităților de rezolvare a inegalităților cu modul, aplicarea metodei intervalului într-o situație nouă.
Obiectivele lecției:
Testează-ți abilitățile în rezolvarea inegalităților raționale și a sistemelor acestora; - arata elevilor posibilitatea folosirii metodei intervalului la rezolvarea inegalitatilor cu modul;
Învață să gândești logic;
Dezvoltați abilitățile de autoevaluare a muncii dvs.;
Învață să-ți exprimi gândurile
Învață să-ți aperi punctul de vedere cu rațiune;
Să formeze un motiv pozitiv de învățare la elevi;
Dezvoltarea independenței elevului.
În timpul orelor
eu. Organizarea timpului(1 min)
Bună ziua, astăzi vom continua să studiem tema „Sistemul inegalităților raționale”, ne vom aplica cunoștințele și abilitățile într-o situație nouă.
Notați data și tema lecției „Rezolvarea sistemelor de inegalități raționale”. Astăzi vă invit într-o călătorie pe drumurile matematicii, unde vă așteaptă teste, un test de forță. Pe birourile tale sunt hărți rutiere cu sarcini, o fișă de călătorie de autoevaluare, pe care o veți preda mie (dispeceratului) la finalul călătoriei.
Motto-ul călătoriei va fi aforismul „Cine merge poate stăpâni drumul, dar cel care gândește la matematică”. Ia-ți cunoștințele cu tine. Angajați-vă procesul de gândire și porniți pe drum. Pe drum vom fi însoțiți de un radio rutier.Se redă o piesă muzicală (1 min). Apoi un sunet ascuțit al unui semnal.
II. Etapa de testare a cunoștințelor. Lucrați în grupuri.„Inspecția bagajelor”
Iată primul test de verificare a bagajelor, care vă testează cunoștințele pe această temă
Acum veți fi împărțiți în grupuri de 3 sau 4 persoane. Fiecare are o bucată de hârtie cu o sarcină pe birou. Distribuiți aceste sarcini între ele, rezolvați-le și notați răspunsurile gata făcute pe o foaie comună. Un grup de 3 persoane alege oricare 3 sarcini. Oricine realizează toate sarcinile va raporta acest lucru profesorului. Eu sau asistenții mei vom verifica răspunsurile, iar dacă cel puțin un răspuns este incorect, grupului i se va returna o foaie pentru verificare.. (copiii nu văd răspunsurile, li se spune doar care sarcină are răspunsul greșit).Câștigătorul este grupul care este primul care completează toate sarcinile fără erori. Înainte spre victorie.
Muzica este foarte silentioasa.
Dacă două sau trei grupe își termină munca în același timp, unul dintre copiii din cealaltă grupă îl va ajuta pe profesor să verifice. Răspunsuri pe foaia profesorului (4 exemplare).
Lucrul se oprește când apare grupul câștigător.
Nu uitați să completați fișa de autoevaluare. Și mergem mai departe.
Fișa de sarcini pentru „Inspecția bagajelor”
1) 3)
2) 4)
III. Etapa de actualizare a cunoștințelor și descoperire de noi cunoștințe. "Eureka"
Inspecția a arătat că aveți o mulțime de cunoștințe.
Dar pe drum se întâmplă tot felul de situații, uneori este nevoie de ingeniozitate și vom verifica dacă ai uitat să-l iei cu tine.
Ați învățat să rezolvați sisteme de inegalități raționale folosind metoda intervalului. Astăzi ne vom uita la ce probleme este recomandabil să folosiți această metodă. Dar mai întâi, să ne amintim ce este un modul.
1. Continuați propozițiile „Modulul unui număr este egal cu numărul însuși dacă...”(oral)
„Modulul unui număr este egal cu numărul opus dacă...”
2. Fie A(X) un polinom în x
Continuați înregistrarea:
Răspuns:
Scrieți expresia opusă a lui A(x)
A(x) = 5 - 4x; A(x) = 6x 2 - 4x + 2
A(x)= -A(x)=
Elevul scrie pe tablă, băieții scriu în caiete.
3. Acum să încercăm să găsim o modalitate de a rezolva inegalitatea pătratică cu modul
Care sunt sugestiile dumneavoastră pentru a rezolva această inegalitate?
Ascultă sugestiile băieților.
Dacă nu există propuneri, atunci puneți întrebarea: „Poate fi rezolvată această inegalitate folosind sisteme de inegalități?”
Elevul iese și decide.
IV. Etapa de consolidare primară a noilor cunoștințe, elaborarea unui algoritm de soluție. Reaprovizionarea bagajelor.
(Se lucrează în grupuri de 4 persoane).
Acum vă sugerez să vă completați bagajele. Veți lucra în grupuri.Fiecărui grup i se dau 2 carduri de sarcini.
Pe prima carte trebuie să scrieți sisteme de rezolvare a inegalităților prezentate pe tablă și să dezvoltați un algoritm pentru rezolvarea acestor inegalități; nu este nevoie să le rezolvați.
Prima carte este diferită pentru grupuri, a doua este aceeași
Ce s-a întâmplat?
Sub fiecare ecuație de pe tablă trebuie să scrieți un set de sisteme.
4 elevi ies și scriu sisteme. În acest moment, discutăm despre algoritm cu clasa.
V. Etapa de consolidare a cunoștințelor."Calea spre casa".
Bagajul este completat, acum este timpul să ne întoarcem. Acum rezolvați singur oricare dintre inegalitățile propuse cu modul în conformitate cu algoritmul compilat.
Radioul rutier va fi din nou cu voi pe drum.
Redați muzică de fundal liniștită. Profesorul verifică proiectarea și oferă sfaturi dacă este necesar.
Sarcini pe tablă.
Lucrarea a fost finalizată. Verificați răspunsurile (sunt activate partea din spate panouri), completați fișa de călătorie de autoevaluare.
Stabilirea temelor.
Noteaza teme pentru acasă(copiați în caiet inegalitățile pe care nu le-ați făcut sau pe care le-ați făcut cu erori, suplimentar Nr. 84 (a) de la pagina 373 din manual dacă doriți)
VI. Etapa de relaxare.
Cum ți-a fost utilă această călătorie?
Ce ai invatat?
Rezuma. Numărați câte puncte a câștigat fiecare dintre voi.(băieții numesc scorul final).Predați fișele de autoevaluare dispeceratului, adică mie.
Vreau să închei lecția cu o pildă.
„Un înțelept a mers și l-au întâmpinat trei oameni, care transportau căruțe cu pietre pentru construcție sub soarele fierbinte. Înțeleptul s-a oprit și a pus fiecăruia câte o întrebare. L-a întrebat pe primul: „Ce ai făcut toată ziua?”, iar acesta i-a răspuns zâmbind că a purtat pietrele blestemate toată ziua. Înțeleptul l-a întrebat pe al doilea: „Ce ai făcut toată ziua?”, iar el a răspuns: „Mi-am făcut treaba cu conștiință”, iar al treilea a zâmbit, chipul i s-a luminat de bucurie și plăcere: „Și am luat parte la construcție. al Templului!”
Lecția s-a terminat.
Fișă de autoevaluare
Nume, prenume, clasă | Numărul de puncte |
|
Lucrul în grup pentru a rezolva inegalități sau sisteme de inegalități. | 2 puncte dacă este făcut corect fără ajutor extern; 1 punct dacă este făcut corect cu ajutor extern; 0 puncte dacă nu ați finalizat sarcina 1 punct în plus pentru victoria grupei |
Continuăm să analizăm modalități de a rezolva inegalitățile care implică o variabilă. Am studiat deja inegalitățile liniare și pătratice, care sunt cazuri speciale de inegalități raționale. În acest articol vom clarifica ce tipuri de inegalități sunt considerate raționale și vă vom spune în ce tipuri sunt împărțite (întregi și fracționari). După aceea, vom arăta cum să le rezolvăm corect, să oferim algoritmii necesari și să analizăm probleme specifice.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Conceptul de egalități raționale
Când studiază subiectul rezolvării inegalităților în școală, iau imediat inegalitățile raționale. Ei dobândesc și perfecționează abilități în lucrul cu acest tip de expresie. Să formulăm definiția acestui concept:
Definiția 1
O inegalitate rațională este o inegalitate cu variabile care conține expresii raționale în ambele părți.
Rețineți că definiția nu afectează în niciun fel problema numărului de variabile, ceea ce înseamnă că pot exista atâtea câte se dorește. Prin urmare, sunt posibile inegalități raționale cu 1, 2, 3 sau mai multe variabile. Cel mai adesea ai de-a face cu expresii care conțin o singură variabilă, mai rar două și inegalități cu o cantitate mare De obicei, variabilele nu sunt luate în considerare deloc în cadrul cursului școlar.
Astfel, putem recunoaște o inegalitate rațională uitându-ne la scrierea ei. Ar trebui să aibă expresii raționale atât pe partea dreaptă, cât și pe partea stângă. Aici sunt cateva exemple:
x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2
Dar aici este o inegalitate de forma 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.
Toate inegalitățile raționale sunt împărțite în numere întregi și fracționale.
Definiția 2
Întreaga egalitate rațională constă din expresii raționale întregi (în ambele părți).
Definiția 3
Egalitatea rațională fracțională este o egalitate care conține o expresie fracțională în una sau ambele părți ale sale.
De exemplu, inegalitățile de forma 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 și 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 sunt fracţional raţional şi 0, 5 x ≤ 3 (2 − 5 y)Și 1: x + 3 > 0- întreg.
Am analizat ce sunt inegalitățile raționale și am identificat principalele tipuri ale acestora. Putem trece la o revizuire a modalităților de a le rezolva.
Să spunem că trebuie să găsim soluții la o întreagă inegalitate rațională r(x)< s (x) , care include o singură variabilă x. în care r(x)Și s x) reprezintă orice număr întreg numere rationale sau expresii, iar semnul de inegalitate poate diferi. Pentru a rezolva această problemă, trebuie să o transformăm și să obținem o egalitate echivalentă.
Să începem prin a muta expresia din partea dreaptă la stânga. Obținem următoarele:
de forma r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)
Noi stim aia r (x) − s (x) va fi o valoare întreagă, iar orice expresie întreagă poate fi convertită într-un polinom. Să ne transformăm r (x) − s (x)în h(x). Această expresie va fi un polinom identic egal. Având în vedere că r (x) − s (x) și h (x) au același interval de valori admisibile ale lui x, putem trece la inegalitățile h (x)< 0 (≤ , >, ≥), care va fi echivalent cu cel original.
Adesea, o astfel de transformare simplă va fi suficientă pentru a rezolva inegalitatea, deoarece rezultatul poate fi o inegalitate liniară sau pătratică, a cărei valoare este ușor de calculat. Să analizăm astfel de probleme.
Exemplul 1
Condiție: rezolva o întreagă inegalitate rațională x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.
Soluţie
Să începem prin a muta expresia din partea dreaptă la stânga cu semnul opus.
x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0
Acum că am finalizat toate operațiile cu polinoamele din stânga, putem trece la inegalitatea liniară 3 x − 2 ≤ 0, echivalent cu ceea ce s-a dat în condiție. Este usor de rezolvat:
3 x ≤ 2 x ≤ 2 3
Răspuns: x ≤ 2 3 .
Exemplul 2
Condiție: găsiți soluția inegalității (x 2 + 1) 2 − 3 x 2 > (x 2 − x) (x 2 + x).
Soluţie
Transferăm expresia din partea stângă în partea dreaptă și efectuăm transformări ulterioare folosind formule de înmulțire abreviate.
(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0
Ca rezultat al transformărilor noastre, am primit o inegalitate care va fi adevărată pentru orice valoare a lui x, prin urmare, soluția inegalității inițiale poate fi orice număr real.
Răspuns: orice număr cu adevărat.
Exemplul 3
Condiție: rezolva inegalitatea x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.
Soluţie
Nu vom transfera nimic din partea dreaptă, deoarece există 0 acolo. Să începem imediat prin a converti partea stângă într-un polinom:
x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .
Am derivat o inegalitate pătratică echivalentă cu cea originală, care poate fi rezolvată cu ușurință folosind mai multe metode. Să folosim o metodă grafică.
Să începem prin a calcula rădăcinile trinomului pătrat − 2 x 2 + 11 x + 6:
D = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2, x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0, 5, x 2 = 6
Acum să marchem totul pe diagramă zerouri necesare. Deoarece coeficientul de conducere este mai mic decât zero, ramurile parabolei de pe grafic vor indica în jos.
Vom avea nevoie de regiunea parabolei situată deasupra axei x, deoarece avem un semn > în inegalitate. Interval necesar egală (− 0 , 5 , 6) , prin urmare, acest interval de valori va fi soluția de care avem nevoie.
Răspuns: (− 0 , 5 , 6) .
Mai sunt cazuri complexe, când stânga se dovedește a fi un polinom de gradul trei sau mai mare. Pentru a rezolva o astfel de inegalitate, se recomandă utilizarea metodei intervalului. Mai întâi calculăm toate rădăcinile polinomului h(x), care se face cel mai adesea prin factorizarea unui polinom.
Exemplul 4
Condiție: calculati (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .
Soluţie
Să începem, ca întotdeauna, prin a muta expresia în partea stângă, după care va trebui să extindem parantezele și să aducem termeni similari.
(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0
În urma transformărilor, am obținut o egalitate echivalentă cu cea originală, în stânga căreia se află un polinom de gradul trei. Să folosim metoda intervalului pentru a o rezolva.
Mai întâi calculăm rădăcinile polinomului, pentru care trebuie să rezolvăm ecuația cubică x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 = 0. Are rădăcini raționale? Ele pot fi doar printre divizorii termenului liber, i.e. dintre numerele ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Să le substituim unul câte unul în ecuația originală și să aflăm că numerele 1, 2 și 3 vor fi rădăcinile sale.
Deci polinomul x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 poate fi descris ca un produs (x − 1) · (x − 2) · (x − 3), și inegalitatea x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 poate fi reprezentat ca (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)< 0 . Cu o inegalitate de acest tip, atunci ne va fi mai ușor să stabilim semnele pe intervale.
În continuare, efectuăm pașii rămași ai metodei intervalului: trageți o linie numerică și puncte pe ea cu coordonatele 1, 2, 3. Ei împart linia dreaptă în 4 intervale în care trebuie să determine semnele. Să umbrim intervalele cu un minus, deoarece inegalitatea originală are semnul < .
Tot ce trebuie să facem este să notăm răspunsul gata: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Răspuns: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
În unele cazuri, procedați de la inegalitatea r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) la h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , unde h(x)– un polinom într-un grad mai mare de 2, nepotrivit. Acest lucru se extinde la cazurile în care exprimarea r(x) − s(x) ca produs de binoame liniare și trinoame pătratice este mai ușoară decât factorizarea h(x) în factori individuali. Să ne uităm la această problemă.
Exemplul 5
Condiție: găsiți soluția inegalității (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).
Soluţie
Această inegalitate se aplică numerelor întregi. Dacă mutam expresia din partea dreaptă spre stânga, deschidem parantezele și efectuăm o reducere a termenilor, obținem x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .
Rezolvarea unei astfel de inegalități nu este ușoară, deoarece trebuie să cauți rădăcinile unui polinom de gradul al patrulea. Nu are o singură rădăcină rațională (de exemplu, 1, - 1, 19 sau − 19 nu sunt potrivite) și este dificil să cauți alte rădăcini. Aceasta înseamnă că nu putem folosi această metodă.
Dar există și alte soluții. Dacă mutăm expresiile din partea dreaptă a inegalității inițiale la stânga, putem pune în paranteză factorul comun x 2 − 2 x − 1:
(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .
Am obținut o inegalitate echivalentă cu cea inițială, iar soluția ei ne va oferi răspunsul dorit. Să găsim zerourile expresiei din partea stângă, pentru care rezolvăm ecuații pătratice x 2 − 2 x − 1 = 0Și x 2 − 2 x − 19 = 0. Rădăcinile lor sunt 1 ± 2, 1 ± 2 5. Se trece la egalitatea x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0, care poate fi rezolvată prin metoda intervalului:
Conform figurii, răspunsul va fi - ∞, 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5, 1 + 2 ∪ 1 + 2 5, + ∞.
Răspuns: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Să adăugăm că uneori nu este posibil să găsim toate rădăcinile unui polinom h(x), prin urmare, nu o putem reprezenta ca un produs al binoamelor liniare și trinoamelor pătratice. Apoi rezolvați o inegalitate de forma h (x)< 0 (≤ , >, ≥) nu putem, ceea ce înseamnă că este imposibil să rezolvăm și inegalitatea rațională inițială.
Să presupunem că trebuie să rezolvăm inegalitățile raționale fracționale de forma r (x)< s (x) (≤ , >, ≥) , unde r (x) și s x) sunt expresii raționale, x este o variabilă. Cel puțin una dintre expresiile indicate va fi fracțională. Algoritmul de soluție în acest caz va fi următorul:
- Determinăm intervalul de valori admisibile ale variabilei x.
- Mutăm expresia din partea dreaptă a inegalității la stânga și expresia rezultată r (x) − s (x) reprezentați-o ca o fracție. Mai mult, unde p(x)Și q(x) vor fi expresii întregi care sunt produse ale binoamelor liniare, trinoamelor pătratice necompunebile, precum și puteri cu exponent natural.
- În continuare, rezolvăm inegalitatea rezultată folosind metoda intervalului.
- Ultimul pas este excluderea punctelor obținute în timpul soluției din intervalul de valori acceptabile ale variabilei x pe care am definit-o la început.
Acesta este algoritmul de rezolvare a inegalităților raționale fracționale. Cea mai mare parte este clară; explicații minore sunt necesare doar pentru paragraful 2. Am mutat expresia din partea dreaptă la stânga și am obținut r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥), și apoi cum să o aduceți la forma p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?
În primul rând, să stabilim dacă această transformare poate fi întotdeauna efectuată. Teoretic, o astfel de posibilitate există întotdeauna, deoarece orice expresie rațională poate fi convertită într-o fracție rațională. Aici avem o fracție cu polinoame în numărător și numitor. Să ne amintim teorema fundamentală a algebrei și teorema lui Bezout și să determinăm că orice polinom de grad n care conține o variabilă poate fi transformat într-un produs de binoame liniare. Prin urmare, în teorie, putem transforma întotdeauna expresia în acest fel.
În practică, factorizarea polinoamelor este adesea destul de dificilă, mai ales dacă gradul este mai mare de 4. Dacă nu putem efectua extinderea, atunci nu vom putea rezolva această inegalitate, dar astfel de probleme nu sunt de obicei studiate în cursurile școlare.
În continuare trebuie să decidem dacă inegalitatea rezultată p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) echivalent în raport cu r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) și la cea originală. Există posibilitatea ca acesta să se dovedească a fi inegal.
Echivalența inegalității va fi asigurată atunci când intervalul de valori acceptabile p(x)q(x) se va potrivi cu intervalul de expresie r (x) − s (x). Apoi, ultimul punct al instrucțiunilor pentru rezolvarea inegalităților raționale fracționale nu trebuie urmat.
Dar intervalul de valori pentru p(x)q(x) poate fi mai lat decât r (x) − s (x), de exemplu, prin reducerea fracțiilor. Un exemplu ar fi mersul de la x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 la x · x - 1 x + 3 . Sau acest lucru se poate întâmpla atunci când aduceți termeni similari, de exemplu, aici:
x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 la 1 x + 3
Pentru astfel de cazuri, a fost adăugat ultimul pas al algoritmului. Prin executarea acestuia, veți scăpa de valorile variabile străine care apar din cauza extinderii intervalului de valori acceptabile. Să luăm câteva exemple pentru a face mai clar despre ce vorbim.
Exemplul 6
Condiție: găsiți soluții pentru egalitatea rațională x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .
Soluţie
Acționăm conform algoritmului indicat mai sus. Mai întâi determinăm intervalul de valori acceptabile. ÎN în acest caz, este determinată de sistemul de inegalități x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0, a cărui soluție este mulțimea (− ∞, − 1) ∪ (− 1, 3) ∪ (3 , + ∞) .
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0
După aceea, trebuie să-l transformăm astfel încât să fie convenabil să aplicăm metoda intervalului. În primul rând, dăm fracții algebrice la cel mai mic numitor comun (x − 3) 2 (x + 1):
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)
Reducem expresia la numărător folosind formula pentru pătratul sumei:
x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1
Gama de valori acceptabile ale expresiei rezultate este (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Vedem că este similar cu ceea ce a fost definit pentru egalitatea inițială. Concluzionăm că inegalitatea x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 este echivalentă cu cea inițială, ceea ce înseamnă că nu avem nevoie de ultimul pas al algoritmului.
Folosim metoda intervalului:
Vedem soluția ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞), care va fi soluția inegalității raționale inițiale x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .
Răspuns: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
Exemplul 7
Condiție: calculați soluția x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .
Soluţie
Determinăm intervalul de valori acceptabile. În cazul acestei inegalități, ea va fi egală cu toate numerele reale, cu excepția − 2, − 1, 0 și 1 .
Mutăm expresiile din partea dreaptă spre stânga:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0
Ținând cont de rezultat, scriem:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1
Pentru expresia - 1 x - 1, intervalul de valori valide este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția unuia. Vedem că gama de valori s-a extins: − 2 , − 1 și 0 . Aceasta înseamnă că trebuie să efectuăm ultimul pas al algoritmului.
Deoarece am ajuns la inegalitatea - 1 x - 1 > 0, putem scrie echivalentul ei 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .
Excludem punctele care nu sunt incluse în intervalul de valori acceptabile ale egalității inițiale. Trebuie să excludem din (− ∞ , 1) numerele − 2 , − 1 și 0 . Astfel, soluția inegalității raționale x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 vor fi valorile (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Răspuns: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
În concluzie, dăm un alt exemplu de problemă în care răspunsul final depinde de intervalul de valori acceptabile.
Exemplul 8
Condiție: găsiți soluția inegalității 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0.
Soluţie
Gama de valori admisibile ale inegalității specificate în condiție este determinată de sistemul x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.
Acest sistem nu are soluții, pentru că
x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0
Aceasta înseamnă că egalitatea inițială 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 nu are nicio soluție, deoarece nu există valori ale variabilei pentru care ar face sens.
Răspuns: nu exista solutii.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
