Harmoninės vibracijos
Funkcijų grafikai f(x) = nuodėmė ( x) ir g(x) = cos( x) Dekarto plokštumoje.
harmoninis svyravimas- svyravimai, kurių metu fizinis (ar bet kuris kitas) dydis kinta laikui bėgant pagal sinusoidinį arba kosinusinį dėsnį. Harmoninių virpesių kinematinė lygtis turi formą
,kur X- svyravimo taško poslinkis (nukrypimas) nuo pusiausvyros padėties momentu t; A- virpesių amplitudė, tai yra reikšmė, kuri lemia didžiausią svyravimo taško nuokrypį nuo pusiausvyros padėties; ω - ciklinis dažnis, vertė, rodanti pilnų svyravimų, įvykusių per 2π sekundes, skaičių - visą svyravimų fazę, - pradinę svyravimų fazę.
Apibendrintas harmoninis svyravimas diferencine forma
(Bet koks ne trivialus šios diferencialinės lygties sprendimas yra harmoninis svyravimai su cikliniu dažniu)
Vibracijų rūšys
Harmoninio judėjimo poslinkio, greičio ir pagreičio evoliucija
- Laisvos vibracijos susidaro veikiant sistemos vidinėms jėgoms po to, kai sistema išvedama iš pusiausvyros. Kad laisvieji svyravimai būtų harmoningi, būtina, kad svyravimo sistema būtų tiesinė (apibūdinama tiesinėmis judėjimo lygtimis), joje nebūtų energijos išsklaidymo (pastaroji sukeltų slopinimą).
- Priverstinės vibracijos atliekami veikiant išorinei periodinei jėgai. Kad jie būtų harmoningi, pakanka, kad virpesių sistema būtų tiesinė (apibūdinama tiesinėmis judėjimo lygtimis), o pati išorinė jėga laikui bėgant kinta kaip harmoninis svyravimas (tai yra, kad šios jėgos priklausomybė nuo laiko yra sinusoidinė) .
Taikymas
Harmoninės vibracijos išsiskiria iš visų kitų vibracijų tipų dėl šių priežasčių:
taip pat žr
Pastabos
Literatūra
- Fizika. Pradinis fizikos vadovėlis / Red. G. S. Lansbergas. - 3 leidimas. - M ., 1962. - T. 3.
- Khaykin S. E. Fiziniai mechanikos pagrindai. - M., 1963 m.
- A. M. Afoninas. Fiziniai mechanikos pagrindai. - Red. MSTU im. Baumanas, 2006 m.
- Gorelikas G.S. Vibracijos ir bangos. Įvadas į akustiką, radiofiziką ir optiką. - M .: Fizmatlit, 1959. - 572 p.
Wikimedia fondas. 2010 m.
- Malborko komuna
- Afrikos tautos
Pažiūrėkite, kas yra „Harmoniniai virpesiai“ kituose žodynuose:
HARMONINIAI VIRPIMAI Šiuolaikinė enciklopedija
Harmoninės vibracijos- HARMONINIAI VIRPIMAI, periodiniai fizikinio dydžio pokyčiai, atsirandantys pagal sinuso dėsnį. Grafiškai harmoniniai svyravimai pavaizduoti sinusoidine kreive. Harmoniniai virpesiai yra paprasčiausias periodinio judėjimo tipas, kuriam būdingas ... Iliustruotas enciklopedinis žodynas
Harmoninės vibracijos- Svyravimai, kurių metu fizikinis dydis kinta laikui bėgant pagal sinuso arba kosinuso dėsnį. Grafiškai G. iki. yra pavaizduoti sinusoidine arba kosinuso kreive (žr. pav.); jie gali būti parašyti tokia forma: x = Asin (ωt + φ) arba x ... Didžioji sovietinė enciklopedija
HARMONINIAI VIRPIMAI- HARMONINIAI VIRPESIAI, periodinis judėjimas, pvz., ŠVYTUOKĖS judėjimas, atominiai svyravimai arba virpesiai elektros grandinėje. Kūnas atlieka neslopintus harmoninius virpesius, kai svyruoja išilgai linijos, judėdamas tuo pačiu ... ... Mokslinis ir techninis enciklopedinis žodynas
HARMONINIAI VIRPIMAI- svyravimai, prie kurių ryh fizinis. (ar bet kuri kita) reikšmė laikui bėgant kinta pagal sinusoidinį dėsnį: x=Asin(wt+j), kur x yra svyruojančios vertės reikšmė duotoje. laiko momentas t (mechaniniam G. į., pavyzdžiui, poslinkiui arba greičiui, ... ... Fizinė enciklopedija
harmonines vibracijas- Mechaniniai virpesiai, kai apibendrinta koordinatė ir (arba) apibendrintas greitis kinta proporcingai sinusui su argumentu, tiesiškai priklausomu nuo laiko. [Rekomenduojamų terminų rinkinys. 106 leidimas. Mechaniniai virpesiai. Mokslų akademija... Techninis vertėjo vadovas
HARMONINIAI VIRPIMAI- svyravimai, prie kurių ryh fizinis. (ar bet kuris kitas) dydis kinta laike pagal sinusoidinį dėsnį, kur x yra svyruojančio dydžio vertė momentu t (mechaniniam G iki., pavyzdžiui, poslinkiui ir greičiui, elektros įtampai ir srovei). . Fizinė enciklopedija
HARMONINIAI VIRPIMAI- (žr.), kuriame fizinis. vertė kinta laikui bėgant pagal sinuso arba kosinuso dėsnį (pavyzdžiui, kinta (žr.) ir greitis svyruojant (žr.) arba keičiasi (žr.) ir srovės stiprumas su elektriniu G. iki.) ... Didžioji politechnikos enciklopedija
HARMONINIAI VIRPIMAI- pasižymi svyravimo reikšmės x pokyčiu (pavyzdžiui, švytuoklės nukrypimu nuo pusiausvyros padėties, įtampos kintamosios srovės grandinėje ir kt.) laike t pagal dėsnį: x = Asin (?t + ?), kur A yra harmoninių virpesių amplitudė, ? kampas… … Didysis enciklopedinis žodynas
Harmoninės vibracijos- 19. Harmoniniai svyravimai Virpesiai, kuriuose virpesių dydžio reikšmės kinta laike pagal dėsnį Šaltinis ... Norminės ir techninės dokumentacijos terminų žodynas-žinynas
HARMONINIAI VIRPIMAI- periodinė svyravimai, su krykh laiko pasikeitimu fizine. dydis atsiranda pagal sinuso arba kosinuso dėsnį (žr. pav.): s = Asin (wt + f0), čia s yra svyruojančios vertės nuokrypis nuo jos plg. (pusiausvyros) reikšmė, A = const amplitudė, w = const apskritas ... Didelis enciklopedinis politechnikos žodynas
Virpesiai, atsirandantys veikiant išorinėms, periodiškai besikeičiančioms jėgoms (periodiškai tiekiant energiją iš išorės į virpesių sistemą)
Energijos transformacija
Spyruoklinė švytuoklė
Ciklinis dažnis ir virpesių periodas yra atitinkamai:
Medžiaginis taškas, pritvirtintas prie idealiai elastingos spyruoklės
Ø spyruoklės švytuoklės potencinės ir kinetinės energijos diagrama x koordinatėje.
Ø kokybiniai kinetinės ir potencinės energijos priklausomybės nuo laiko grafikai.
Ø Priverstas
Ø Priverstinių svyravimų dažnis lygus išorinės jėgos kitimo dažniui
Ø Jei Fbc keičiasi pagal sinuso arba kosinuso dėsnį, priverstiniai virpesiai bus harmoningi
Ø Esant savaiminiams virpesiams, būtinas periodiškas energijos tiekimas iš savo šaltinio virpesių sistemos viduje
Harmoniniai virpesiai yra svyravimai, kurių virpesių vertė laikui bėgant kinta pagal sinuso arba kosinuso dėsnį
harmoninių virpesių lygtys (taškų judėjimo dėsniai) turi formą
Harmoninės vibracijos
vadinami tokie svyravimai, kurių svyravimo reikšmė kinta laikui bėgant pagal dėsnįsinusas
arbakosinusas
.
Harmoninių virpesių lygtis atrodo kaip:
,
kur - virpesių amplitudė
(didžiausio sistemos nukrypimo nuo pusiausvyros padėties vertė); -apskrito (ciklinio) dažnio.
Periodiškai besikeičiantis kosinuso argumentas – vadinamas svyravimo fazė
. Virpesių fazė nustato svyruojančio dydžio poslinkį iš pusiausvyros padėties tam tikru laiku t. Konstanta φ yra fazės reikšmė momentu t = 0 ir vadinama pradinė svyravimo fazė
. Pradinės fazės vertė nustatoma pasirinkus atskaitos tašką. X reikšmė gali būti nuo -A iki +A.
Laiko intervalas T, po kurio kartojasi tam tikros virpesių sistemos būsenos, vadinamas svyravimo periodu
. Kosinusas yra periodinė funkcija, kurios periodas yra 2π, todėl per laikotarpį T, po kurio virpesių fazė gaus prieaugį, lygų 2π, kartosis harmoninius virpesius atliekančios sistemos būsena. Šis laikotarpis T vadinamas harmoninių virpesių periodu.
Harmoninių virpesių periodas yra
: T = 2π/.
Virpesių skaičius per laiko vienetą vadinamas virpesių dažnis
ν.
Harmoninių virpesių dažnis
yra lygus: ν = 1/T. Dažnio vienetas hercų(Hz) – vienas svyravimas per sekundę.
Apvalus dažnis = 2π/T = 2πν parodo virpesių skaičių per 2π sekundes.
Apibendrintas harmoninis svyravimas diferencine forma
Grafiškai harmoninius svyravimus galima pavaizduoti kaip x priklausomybę nuo t (1.1.A pav.), o sukimosi amplitudės metodas (vektorinės diagramos metodas)(1.1.B pav.) .
Sukimosi amplitudės metodas leidžia vizualizuoti visus parametrus, įtrauktus į harmoninių virpesių lygtį. Iš tiesų, jei amplitudės vektorius A esantis kampu φ su x ašimi (žr. 1.1. B pav.), tai jos projekcija x ašyje bus lygi: x = Acos(φ). Kampas φ yra pradinė fazė. Jei vektorius A sukasi kampiniu greičiu, lygiu apskritiminiam virpesių dažniui, tada vektoriaus galo projekcija judės išilgai x ašies ir įgaus reikšmes nuo -A iki +A, o šios projekcijos koordinatė laikui bėgant keisis pagal įstatymą:
.
Taigi vektoriaus ilgis lygus harmoninio virpesio amplitudei, vektoriaus kryptis pradiniu momentu sudaro kampą su x ašimi, lygų pradinei virpesio fazei φ, o krypties kampo pokytis su laiku yra lygus harmoninių virpesių fazei. Laikas, per kurį amplitudės vektorius daro vieną pilną apsisukimą, yra lygus harmoninių virpesių periodui T. Vektoriaus apsisukimų skaičius per sekundę lygus virpesių dažniui ν.
Paprasčiausias vibracijų tipas yra harmonines vibracijas- svyravimai, kurių metu svyruojančio taško poslinkis iš pusiausvyros padėties kinta laikui bėgant pagal sinuso arba kosinuso dėsnį.
Taigi, tolygiai sukant rutulį aplink perimetrą, jo projekcija (šešėlis lygiagrečiuose šviesos spinduliuose) atlieka harmoningą virpesių judesį vertikaliame ekrane (13.2 pav.).
Poslinkis iš pusiausvyros padėties harmoninių virpesių metu apibūdinamas lygtimi (tai vadinama harmoninio judėjimo kinematinis dėsnis), kurios forma:
\(x = A \cos \Bigr(\frac(2 \pi)(T)t + \varphi_0 \Bigl)\) arba \(x = A \sin \Bigr(\frac(2 \pi)(T) t + \varphi"_0 \Bigl)\)
kur X- maišymas - reikšmė, apibūdinanti svyruojančio taško padėtį laiko momentu t pusiausvyros padėties atžvilgiu ir matuojamas atstumu nuo pusiausvyros padėties iki taško padėties tam tikru laiko momentu; A- virpesių amplitudė - didžiausias kūno poslinkis iš pusiausvyros padėties; T- svyravimų periodas - vieno pilno svyravimo laikas; tie. mažiausias laikotarpis, po kurio kartojasi svyravimą apibūdinančių fizikinių dydžių reikšmės; \(\varphi_0\) - pradinė fazė; \(\varphi = \frac(2 \pi)(T)t + \varphi"_0\) - virpesių fazė laike t. Virpesių fazė yra periodinės funkcijos argumentas, kuris, esant tam tikrai virpesių amplitudei, bet kuriuo metu nustato kūno svyravimo sistemos būseną (poslinkį, greitį, pagreitį).
Jei pradiniu metu t0 = 0 svyruojantis taškas maksimaliai pasislenka iš pusiausvyros padėties, tada \(\varphi_0 = 0\), o taško poslinkis iš pusiausvyros padėties keičiasi pagal dėsnį
\(x = A \cos \frac(2 \pi)(T)t.\)
Jei svyruojantis taškas esant t 0 = 0 yra stabilios pusiausvyros padėtyje, tai taško poslinkis iš pusiausvyros padėties keičiasi pagal dėsnį
\(x = A \sin \frac(2 \pi)(T)t.\)
vertė V, periodo atvirkštinė vertė ir lygi pilnų svyravimų, atliktų per 1 s, skaičiui, vadinama virpesių dažnis:
\(\nu = \frac(1)(T) \)(SI dažnio vienetas yra hercai, 1Hz = 1s -1).
Jei laiku t kūnas įsipareigoja N tada visas įkarštis
\(T = \frac(t)(N) ; \nu = \frac(N)(t).\)
Reikšmė \(\omega = 2 \pi \nu = \frac(2 \pi)(T)\) , rodanti, kiek svyravimų kūnas atlieka per 2 \(\pi\) Su, paskambino ciklinis (apvalus) dažnis.
Kinematinį harmoninio judėjimo dėsnį galima parašyti taip:
\(x = A \cos(2\pi \nu t + \varphi_0), x = A \cos(\omega t + \varphi_0).\)
Grafiškai svyruojančio taško poslinkio priklausomybė nuo laiko pavaizduota kosinusu (arba sinusoidu).
13.3 pav., a pavaizduota svyravimo taško poslinkio nuo pusiausvyros padėties priklausomybė nuo laiko atvejui \(\varphi_0=0\), t.y. \(~x=A\cos \omega t.\)
Išsiaiškinkime, kaip laikui bėgant kinta svyruojančio taško greitis. Norėdami tai padaryti, randame šios išraiškos laiko išvestinę:
\(\upsilon_x = x" A \sin \omega t = \omega A \cos \Bigr(\omega t + \frac(\pi)(2) \Bigl) ,\)
kur \(~\omega A = |\upsilon_x|_m\) yra greičio projekcijos ašyje amplitudė X.
Ši formulė rodo, kad harmoninių svyravimų metu kūno greičio projekcija x ašyje taip pat kinta pagal harmonikos dėsnį tuo pačiu dažniu, skirtinga amplitude ir maišymo fazę lenkia \(\frac(\pi )(2)\) (13.3 pav., b).
Išsiaiškinti pagreičio priklausomybę a x (t) Raskite greičio projekcijos laiko išvestinę:
\(~ a_x = \upsilon_x" = -\omega^2 A \cos \omega t = \omega^2 \cos(\omega t + \pi),\)
kur \(~\omega^2 A = |a_x|_m\) yra pagreičio projekcijos į ašį amplitudė X.
Dėl harmoninių virpesių – projekcija pagreitis lenkia fazės poslinkį k (13.3 pav., c).
Panašiai galite nubraižyti \(~x(t), \upsilon_x (t)\) ir \(~a_x(t),\), jei \(~x = A \sin \omega t\) su \(\varphi_0 =0.\)
Atsižvelgiant į tai, kad \(A \cos \omega t = x\), pagreičio formulę galima parašyti
\(~a_x = - \omega^2 x,\)
tie. harmoniniams virpesiams pagreičio projekcija yra tiesiogiai proporcinga poslinkiui ir priešinga ženklu, t.y. pagreitis nukreiptas priešinga poslinkiui kryptimi.
Taigi, pagreičio projekcija yra antroji poslinkio išvestinė ir x \u003d x "", tada gautą santykį galima parašyti taip:
\(~a_x + \omega^2 x = 0\) arba \(~x"" + \omega^2 x = 0.\)
Paskutinė lygybė vadinama harmoninių virpesių lygtis.
Vadinama fizine sistema, kurioje gali egzistuoti harmoniniai virpesiai harmoninis osciliatorius, ir harmoninių virpesių lygtis - harmoninių osciliatorių lygtis.
Literatūra
Aksenovičius L. A. Fizika vidurinėje mokykloje: teorija. Užduotys. Testai: Proc. pašalpa įstaigoms, teikiančioms bendrąsias. aplinkos, ugdymas / L. A. Aksenovičius, N. N. Rakina, K. S. Farino; Red. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsia i vykhavanne, 2004. - S. 368-370.
Kiekio pokyčiai aprašomi naudojant sinuso arba kosinuso dėsnius, tada tokie svyravimai vadinami harmoniniais. Apsvarstykite grandinę, sudarytą iš kondensatoriaus (kuris buvo įkrautas prieš įtraukiant į grandinę) ir induktoriaus (1 pav.).
1 paveikslas.
Harmoninių virpesių lygtis gali būti parašyta taip:
$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
kur $t$-laikas; $q$ mokestis, $q_0$-- maksimalus įkrovos nuokrypis nuo jo vidutinės (nulinės) vertės pokyčių metu; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- svyravimo fazė; $(\alpha )_0$ - pradinė fazė; $(\omega )_0$ – ciklinis dažnis. Per laikotarpį fazė pasikeičia $2\pi $.
Tipo lygtis:
harmoninių virpesių diferencialinės formos lygtis virpesių grandinėje, kurioje nebus aktyviosios varžos.
Bet kokie periodiniai svyravimai gali būti tiksliai pavaizduoti kaip harmoninių virpesių suma, vadinamoji harmoninė serija.
Grandinės, kurią sudaro ritė ir kondensatorius, virpesių periodui gauname Thomson formulę:
Jei išraišką (1) atskirsime pagal laiką, galime gauti funkcijos $I(t)$ formulę:
Kondensatoriaus įtampą galima rasti taip:
Iš (5) ir (6) formulių matyti, kad srovės stipris yra didesnis už kondensatoriaus įtampą $\frac(\pi )(2).$
Harmoniniai svyravimai gali būti pavaizduoti tiek lygčių, funkcijų, tiek vektorinių diagramų pavidalu.
(1) lygtis parodo laisvus neslopintus virpesius.
Slopintų virpesių lygtis
Krovinio pokytis ($q$) kondensatoriaus plokštelėse grandinėje, atsižvelgiant į varžą (2 pav.), bus aprašytas formos diferencine lygtimi:
2 pav.
Jei varža, kuri yra grandinės dalis $R \
kur $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ yra ciklinis virpesių dažnis. $\beta =\frac(R)(2L)-$silpinimo koeficientas. Slopintų virpesių amplitudė išreiškiama taip:
Tuo atveju, kai esant $t=0$ kondensatoriaus įkrovimas lygus $q=q_0$, grandinėje nėra srovės, tada $A_0$ galime parašyti:
Virpesių fazė pradiniu laiko momentu ($(\alpha )_0$) yra lygi:
$R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ įkrovos pokytis nėra svyravimai, kondensatoriaus iškrova vadinama periodiniu.
1 pavyzdys
Pratimas: Didžiausia apmokestinimo vertė yra $q_0=10\ C$. Jis harmoningai kinta su periodu $T= 5 c$. Nustatykite didžiausią galimą srovę.
Sprendimas:
Kaip pagrindą problemos sprendimui naudojame:
Norint rasti srovės stiprumą, išraiška (1.1) turi būti diferencijuojama atsižvelgiant į laiką:
kur srovės stiprumo didžiausia (amplitudės vertė) yra išraiška:
Iš uždavinio sąlygų žinome krūvio amplitudės reikšmę ($q_0=10\ Kl$). Turėtumėte rasti natūralų virpesių dažnį. Išreikškime tai taip:
\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]
Tokiu atveju norima reikšmė bus rasta naudojant (1.3) ir (1.2) lygtis kaip:
Kadangi visi dydžiai uždavinio sąlygomis pateikiami SI sistemoje, atliksime skaičiavimus:
Atsakymas:$I_0=12,56\ A.$
2 pavyzdys
Pratimas: Koks yra virpesių periodas grandinėje, kurioje yra induktorius $L=1$H ir kondensatorius, jei srovė grandinėje kinta pagal dėsnį: $I\left(t\right)=-0.1sin20\pi t\ \left(A \right)?$ Kokia yra kondensatoriaus talpa?
Sprendimas:
Iš srovės svyravimų lygties, kuri pateikta uždavinio sąlygomis:
matome, kad $(\omega )_0=20\pi $, todėl svyravimo periodą galime apskaičiuoti naudodami formulę:
\ \
Pagal Thomsono formulę grandinėje, kurioje yra induktyvumas ir kondensatorius, turime:
Apskaičiuokime talpą:
Atsakymas:$T=0,1$ c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$
