입체 기하학 과정을 위한 학교 커리큘럼에서 3차원 도형에 대한 연구는 일반적으로 프리즘 다면체와 같은 단순한 기하학적 몸체로 시작됩니다. 밑면의 역할은 평행한 평면에 있는 2개의 동일한 다각형으로 수행됩니다. 특별한 경우는 정사각기둥입니다. 밑변은 평행 사변형 (또는 프리즘이 기울어지지 않은 경우 직사각형) 모양을 갖는 측면이 수직 인 2 개의 동일한 정사각형입니다.
프리즘은 어떻게 생겼나요
정사각기둥은 육면체로 밑변에는 2개의 정사각형이 있고 측면은 직사각형으로 표시됩니다. 이 기하학적 도형의 또 다른 이름은 직육면체입니다.
사각기둥을 나타내는 그림은 아래와 같습니다.
당신은 또한 그림에서 볼 수 있습니다 기하학적 몸체를 구성하는 가장 중요한 요소. 일반적으로 다음과 같이 지칭됩니다.
때로는 기하학 문제에서 단면의 개념을 찾을 수 있습니다. 정의는 다음과 같이 들릴 것입니다. 단면은 절단 평면에 속하는 체적 바디의 모든 점입니다. 단면은 수직입니다(그림의 모서리를 90도 각도로 교차). 직사각형 프리즘의 경우 2개의 모서리와 밑면의 대각선을 통과하는 대각선 단면도 고려됩니다(구성할 수 있는 최대 단면 수는 2개).
절단면이 베이스나 측면과 평행하지 않은 방식으로 단면이 그려지면 결과적으로 잘린 프리즘이 생성됩니다.
다양한 비율과 공식이 감소된 프리즘 요소를 찾는 데 사용됩니다. 그들 중 일부는 평면 측정 과정에서 알려져 있습니다 (예를 들어, 프리즘 밑면의 면적을 찾으려면 정사각형 면적에 대한 공식을 기억하는 것으로 충분합니다).
표면적 및 부피
공식을 사용하여 프리즘의 부피를 결정하려면 밑면과 높이의 면적을 알아야 합니다.
V = 스프링 h
정사면체의 밑변은 한 변이 있는 정사각형이므로 ㅏ,더 자세한 형식으로 수식을 작성할 수 있습니다.
V = a² h
길이, 너비 및 높이가 동일한 일반 프리즘 인 큐브에 대해 이야기하는 경우 볼륨은 다음과 같이 계산됩니다.
프리즘의 측면 영역을 찾는 방법을 이해하려면 스윕을 상상해야 합니다.
그림에서 측면이 4개의 동일한 직사각형으로 구성되어 있음을 알 수 있습니다. 면적은 밑면 둘레와 그림 높이의 곱으로 계산됩니다.
측면 = Pos h
정사각형의 둘레가 이므로 피 = 4a,공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
측면 = 4a h
큐브의 경우:
측면 = 4a²
프리즘의 총 표면적을 계산하려면 측면 영역에 2개의 기본 영역을 추가합니다.
풀 = 사이드 + 2Sbase
사각형의 일반 프리즘에 적용되는 공식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
전체 = 4a h + 2a²
큐브 표면적의 경우:
전체 = 6a²
체적이나 표면적을 알면 기하학적 몸체의 개별 요소를 계산할 수 있습니다.
프리즘 요소 찾기
종종 밑변의 길이나 높이를 결정해야 하는 경우 부피가 주어지거나 측면 면적의 값이 알려진 문제가 있습니다. 이러한 경우 공식을 도출할 수 있습니다.
- 기본 측면 길이: a = 측면 / 4h = √(V / h);
- 높이 또는 측면 리브 길이: h = 측면 / 4a = V / a²;
- 기본 영역: 스프링 = V / h;
- 측면 영역: 옆 gr = 측면 / 4.
대각선 단면의 면적을 결정하려면 대각선의 길이와 그림의 높이를 알아야 합니다. 정사각형의 경우 d = a√2.그러므로:
Sdiag = ah√2
프리즘의 대각선을 계산하기 위해 다음 공식이 사용됩니다.
dprize = √(2a² + h²)
위의 비율을 적용하는 방법을 이해하려면 몇 가지 간단한 작업을 연습하고 해결할 수 있습니다.
솔루션 문제의 예
다음은 수학의 주 기말 시험에 나타나는 몇 가지 과제입니다.
연습 1.
정사각기둥 모양의 상자에 모래를 붓는다. 높이가 10cm이고 바닥 길이가 2배 더 긴 같은 모양의 용기에 모래를 옮기면 모래 높이가 어떻게 될까요?
그것은 다음과 같이 주장되어야 한다. 첫 번째 및 두 번째 용기의 모래 양은 변경되지 않았습니다. 즉, 그 양은 동일합니다. 밑면의 길이를 다음과 같이 정의할 수 있습니다. ㅏ. 이 경우 첫 번째 상자의 경우 물질의 부피는 다음과 같습니다.
V₁ = ha² = 10a²
두 번째 상자의 경우 밑변의 길이는 2a, 그러나 모래 높이의 높이는 알 수 없습니다.
V₂ = h(2a)² = 4ha²
왜냐하면 V₁ = V₂, 표현식은 다음과 같을 수 있습니다.
10a² = 4ha²
방정식의 양변을 ²만큼 줄이면 다음을 얻습니다.
결과적으로 새로운 모래 수준은 시간 = 10 / 4 = 2.5센티미터.
작업 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁는 일반 프리즘입니다. BD = AB₁ = 6√2인 것으로 알려져 있습니다. 신체의 총 표면적을 찾으십시오.
알려진 요소를 더 쉽게 이해하기 위해 그림을 그릴 수 있습니다.
우리는 일반 프리즘에 대해 이야기하고 있기 때문에 밑변이 대각선이 6√2인 정사각형이라는 결론을 내릴 수 있습니다. 측면의 대각선은 같은 값을 가지므로 측면도 밑변과 같은 정사각형의 모양을 가집니다. 길이, 너비 및 높이의 세 가지 차원이 모두 동일한 것으로 나타났습니다. ABCDA₁B₁C₁D₁는 정육면체라는 결론을 내릴 수 있습니다.
모서리의 길이는 알려진 대각선을 통해 결정됩니다.
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
총 표면적은 입방체에 대한 공식으로 구합니다.
전체 = 6a² = 6 6² = 216
작업 3.
객실은 보수 중입니다. 바닥은 9m² 면적의 정사각형 모양으로 되어 있는 것으로 알려져 있다. 방의 높이는 2.5m이고 1m²의 비용이 50루블인 경우 방을 벽지하는 데 드는 최저 비용은 얼마입니까?
바닥과 천장은 정사각형, 즉 정사각형이고 벽이 수평면에 수직이므로 정기둥이라고 결론지을 수 있습니다. 측면 면적을 결정할 필요가 있습니다.
방의 길이는 a = √9 = 3중.
광장은 벽지로 덮일 것입니다 측면 = 4 3 2.5 = 30m².
이 방의 가장 저렴한 벽지 비용은 50 30 = 1500루블.
따라서 직사각형 프리즘의 문제를 해결하려면 정사각형과 직사각형의 면적과 둘레를 계산할 수 있을 뿐만 아니라 부피와 표면적을 구하는 공식을 알면 충분합니다.
입방체의 면적을 찾는 방법
삼각형 프리즘은 직사각형과 삼각형의 조합으로 형성된 3차원 물체입니다. 이 튜토리얼에서는 삼각형 프리즘의 내부(체적) 및 외부(표면적) 크기를 찾는 방법을 배웁니다.
삼각 프리즘 - 이것은 프리즘의 두 면을 형성하는 두 개의 삼각형이 있고 나머지 세 개의 면은 삼각형의 공변에 의해 형성된 평행사변형인 두 개의 평행한 평면에 의해 형성된 5면체입니다.
삼각형 프리즘의 요소
삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1은 프리즘 베이스 .
사변형 A 1 B 1 BA, B 1 BCC 1 및 A 1 C 1 CA는 다음과 같습니다. 프리즘의 측면 .
얼굴의 측면은 프리즘 가장자리(A 1 B 1 , A 1 C 1 , C 1 B 1 , AA 1 , CC 1 , BB 1 , AB, BC, AC) 삼각기둥은 총 9개의 면을 가지고 있습니다.
프리즘의 높이는 프리즘의 두 면을 연결하는 수직선의 선분입니다(그림에서 h).
프리즘의 대각선은 같은 면에 속하지 않는 프리즘의 두 꼭짓점에서 끝이 있는 선분입니다. 삼각형 프리즘은 그러한 대각선을 그릴 수 없습니다.
베이스 영역 프리즘의 삼각형면의 면적입니다.
프리즘의 사변형 면의 면적의 합입니다.
삼각기둥의 종류
삼각형 프리즘에는 직선과 비스듬한 두 가지 유형이 있습니다.
직선 프리즘은 측면이 직사각형인 반면, 기울어진 측면은 평행사변형이 있습니다(그림 참조).
측면 모서리가 밑면의 평면에 수직인 프리즘을 직선 프리즘이라고 합니다.
측면 모서리가베이스의 평면에 대해 기울어 진 프리즘을 경사라고합니다.
삼각기둥 계산을 위한 기본 공식
삼각기둥의 부피
삼각형 프리즘의 부피를 찾으려면 밑면의 면적에 프리즘의 높이를 곱하십시오.
프리즘 부피 = 기본 면적 x 높이
V=S 메인 시간
프리즘 측면 면적
삼각형 프리즘의 측면 면적을 찾으려면 밑변 둘레에 높이를 곱하십시오.
삼각기둥의 측면 면적 = 밑변 x 높이
S면 \u003d P 메인. 시간
프리즘의 총 표면적
프리즘의 전체 표면적을 구하려면 밑면의 면적과 측면의 면적을 더하십시오.
S 측 \u003d P 메인 이후. h, 우리는 다음을 얻습니다.
에스 풀 =피 메인. h+2S 메인
올바른 프리즘 밑변이 정다각형인 직각기둥입니다.
프리즘 속성:
프리즘의 위 아래 밑변은 동일한 다각형입니다.
프리즘의 측면은 평행 사변형처럼 보입니다.
프리즘의 측면 모서리는 평행하고 동일합니다.
팁: 삼각기둥을 계산할 때 사용되는 단위에 주의해야 합니다. 예를 들어 밑면의 면적이 cm2인 경우 높이는 센티미터로, 부피는 cm3으로 표시해야 합니다. 바닥 면적이 mm 2인 경우 높이는 mm로, 부피는 mm 3 등으로 표시해야 합니다.
프리즘 예
이 예에서:
- ABC와 DEF는 프리즘의 삼각형 밑변을 구성합니다.
- ABED, BCFE 및 ACFD는 직사각형 측면입니다.
— 측면 모서리 DA, EB 및 FC는 프리즘 높이에 해당합니다.
- 점 A, B, C, D, E, F는 프리즘의 꼭짓점입니다.
삼각기둥 계산 작업
작업 1. 직각 삼각형 프리즘의 밑변은 다리 6과 8이 있는 직각 삼각형이고 측면 모서리는 5입니다. 프리즘의 부피를 찾으세요.
해결책:직선 프리즘의 부피는 V = Sh이며, 여기서 S는 밑면의 면적이고 h는 측면 모서리입니다. 이 경우 밑면의 면적은 직각 삼각형의 면적입니다 (그 면적은 변이 6과 8인 직사각형 면적의 절반과 같습니다). 따라서 볼륨은 다음과 같습니다.
V = 1/2 6 8 5 = 120.
작업 2.
측면 모서리에 평행한 평면이 삼각형 프리즘의 밑면의 중심선을 통해 그려집니다. 잘라낸 삼각기둥의 부피는 5입니다. 원래의 각기둥의 부피를 구합니다.
해결책:
프리즘의 부피는 밑면의 면적과 높이의 곱과 같습니다. V = S 주 h.
원래 프리즘의 밑면에 있는 삼각형은 잘린 프리즘의 밑면에 있는 삼각형과 유사합니다. 단면이 정중선을 통해 그려지기 때문에 유사성 계수는 2와 같습니다(큰 삼각형의 선형 치수는 작은 삼각형의 선형 치수의 두 배입니다). 유사한 도형의 면적은 유사도 계수의 제곱, 즉 S 2 \u003d S 1 k 2 \u003d S 1 2 2 \u003d 4S 1과 관련이 있는 것으로 알려져 있습니다.
전체 프리즘의 밑면의 면적은 차단 프리즘의 밑면의 면적의 4배입니다. 두 프리즘의 높이는 같으므로 전체 프리즘의 부피는 잘린 프리즘 부피의 4배입니다.
따라서 원하는 볼륨은 20입니다.
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정의.
이것은 밑변이 두 개의 동일한 정사각형이고 측면이 동일한 직사각형인 육각형입니다.
사이드 리브인접한 두 측면의 공통면입니다.
프리즘 높이프리즘의 밑면에 수직인 선분
프리즘 대각선- 같은 면에 속하지 않는 밑변의 두 꼭짓점을 연결하는 선분
대각선 평면- 프리즘의 대각선과 그 측면 모서리를 통과하는 평면
대각선 단면- 프리즘과 대각선의 교차점 경계. 정사각기둥의 대각선 단면은 직사각형
수직 단면(직교 단면)- 이것은 프리즘과 그 측면 모서리에 수직으로 그려진 평면의 교차점입니다.
정사각기둥의 요소
그림은 해당 문자로 표시된 두 개의 일반 사각형 프리즘을 보여줍니다.
- 밑변 ABCD와 A 1 B 1 C 1 D 1은 같고 서로 평행하다
- 측면 AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C 및 CC 1 D 1 D, 각각은 직사각형
- 측면 - 프리즘의 모든 측면 면적의 합
- 전체 표면 - 모든 밑면과 측면의 면적의 합(측면과 밑면의 면적의 합)
- 사이드 리브 AA 1 , BB 1 , CC 1 및 DD 1 .
- 대각선 B 1 D
- 베이스 대각선 BD
- 대각선 단면 BB 1 D 1 D
- 수직 단면 A 2 B 2 C 2 D 2 .
정사각기둥의 성질
- 밑변은 두 개의 동일한 정사각형입니다.
- 베이스는 서로 평행
- 측면은 직사각형입니다.
- 측면은 서로 동일합니다.
- 측면은 베이스에 수직입니다.
- 측면 갈비뼈는 서로 평행하고 동일합니다.
- 모든 측면 리브에 수직이고 베이스에 평행한 수직 단면
- 수직 단면 각도 - 오른쪽
- 정사각기둥의 대각선 단면은 직사각형
- 베이스에 평행한 수직(직교 단면)
정사각기둥의 공식
문제 해결 지침
주제에 대한 문제를 해결할 때 " 정사각기둥"는 다음을 의미합니다.올바른 프리즘- 밑면의 프리즘이 정다각형이고 측면 모서리가 밑면의 평면에 수직입니다. 즉, 정사각기둥의 밑변에는 다음이 포함됩니다. 정사각형. (위의 일반 사각형 프리즘의 속성 참조) 메모. 이것은 기하학(단면 솔리드 기하학 - 프리즘) 작업에 대한 수업의 일부입니다. 해결에 어려움을 일으키는 작업은 다음과 같습니다. 여기에 없는 기하학 문제를 해결해야 하는 경우 포럼에 작성하십시오.. 문제를 풀 때 제곱근을 추출하는 동작을 나타내기 위해 기호를 사용합니다.√ .
작업.
정사각기둥에서 밑변의 넓이는 144 cm 2 이고 높이는 14 cm 이며, 프리즘의 대각선과 전체 표면적을 구합니다.해결책.
정사각형은 정사각형입니다.
따라서 밑면의 측면은 다음과 같습니다.
규칙적인 직사각형 프리즘의 밑변의 대각선은 다음과 같을 것입니다.
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2
정각기둥의 대각선은 밑변의 대각선과 프리즘의 높이로 직각삼각형을 이룬다. 따라서 피타고라스 정리에 따르면 주어진 정사각기둥의 대각선은 다음과 같습니다.
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22cm
대답: 22cm
작업
정사각기둥의 대각선이 5cm이고 측면의 대각선이 4cm인 경우 정사각기둥의 전체 표면적을 구하십시오.해결책.
정사각기둥의 밑변은 정사각형이므로 밑변(a로 표시)은 피타고라스 정리에 의해 구합니다.
A 2 + A 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5
측면 높이(h로 표시)는 다음과 같습니다.
H 2 + 12.5 \u003d 4 2
시간 2 + 12.5 = 16
시간 2 \u003d 3.5
시간 = √3.5
총 표면적은 측면 표면적의 합과 기본 면적의 2배입니다.
S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.
답: 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.
