삽입 방법 수학 공식웹사이트로?
웹 페이지에 하나 또는 두 개의 수학 공식을 추가해야 하는 경우 가장 쉬운 방법은 기사에 설명된 대로입니다. 수학 공식은 Wolfram Alpha에서 자동으로 생성된 그림 형식으로 사이트에 쉽게 삽입됩니다. . 단순함 외에도 이 보편적인 방법은 검색 엔진에서 사이트의 가시성을 향상시키는 데 도움이 됩니다. 그것은 오랫동안 작동해 왔지만(제 생각에는 영원히 작동할 것입니다) 이미 도덕적으로 구식입니다.
사이트에서 수학 공식을 정기적으로 사용하는 경우 MathML, LaTeX 또는 ASCIIMathML 마크업을 사용하여 웹 브라우저에 수학 표기법을 표시하는 특수 JavaScript 라이브러리인 MathJax를 사용하는 것이 좋습니다.
MathJax 사용을 시작하는 방법에는 두 가지가 있습니다: (1) 간단한 코드를 사용하여 MathJax 스크립트를 웹사이트에 빠르게 연결할 수 있습니다. 이 스크립트는 적시에 원격 서버에서 자동으로 로드됩니다(서버 목록). (2) MathJax 스크립트를 원격 서버에서 귀하의 서버로 다운로드하고 이를 귀하 사이트의 모든 페이지에 연결하십시오. 더 복잡하고 시간이 많이 걸리는 두 번째 방법은 사이트 페이지 로딩 속도를 높이고, 어떤 이유로 상위 MathJax 서버를 일시적으로 사용할 수 없게 되더라도 이는 귀하의 사이트에 어떤 식으로든 영향을 미치지 않습니다. 이러한 장점에도 불구하고 저는 첫 번째 방법이 더 간단하고 빠르며 기술이 필요하지 않기 때문에 선택했습니다. 내 예를 따르면 단 5분 안에 귀하의 사이트에서 MathJax의 모든 기능을 사용할 수 있습니다.
기본 MathJax 웹사이트나 문서 페이지에서 가져온 두 가지 코드 옵션을 사용하여 원격 서버에서 MathJax 라이브러리 스크립트를 연결할 수 있습니다.
이러한 코드 옵션 중 하나를 복사하여 웹페이지의 코드에 붙여넣어야 합니다. 태그 사이나 태그 바로 뒤에 붙여넣는 것이 좋습니다. 첫 번째 옵션에 따르면 MathJax는 더 빠르게 로드되고 페이지 속도가 덜 느려집니다. 그러나 두 번째 옵션은 최신 버전의 MathJax를 자동으로 모니터링하고 로드합니다. 첫 번째 코드를 삽입하면 정기적으로 업데이트해야 합니다. 두 번째 코드를 삽입하면 페이지가 더 느리게 로드되지만 MathJax 업데이트를 지속적으로 모니터링할 필요는 없습니다.
MathJax를 연결하는 가장 쉬운 방법은 Blogger 또는 WordPress에 있습니다. 사이트 제어판에서 타사 JavaScript 코드를 삽입하도록 설계된 위젯을 추가하고 위에 제시된 다운로드 코드의 첫 번째 또는 두 번째 버전을 복사한 다음 위젯을 더 가까이 배치합니다. 템플릿의 시작 부분까지(그런데 MathJax 스크립트가 비동기적으로 로드되기 때문에 이것은 전혀 필요하지 않습니다). 그게 다야. 이제 MathML, LaTeX 및 ASCIIMathML의 마크업 구문을 배우고 사이트의 웹 페이지에 수학 공식을 삽입할 준비가 되었습니다.
모든 프랙탈은 일관되게 적용되는 특정 규칙에 따라 구성됩니다. 금액 무제한한 번. 이러한 각 시간을 반복이라고 합니다.
멩거 스펀지를 구성하기 위한 반복 알고리즘은 매우 간단합니다. 측면 1이 있는 원래 정육면체는 면에 평행한 평면에 의해 27개의 동일한 정육면체로 나뉩니다. 하나의 중앙 큐브와 면을 따라 인접한 6개의 큐브가 제거됩니다. 결과는 나머지 20개의 작은 큐브로 구성된 세트입니다. 각 큐브에 동일한 작업을 수행하면 400개의 작은 큐브로 구성된 세트가 생성됩니다. 이 과정을 끝없이 계속하면 Menger 스폰지가 생깁니다.
함수 계열 이론에서 중심 위치는 함수를 계열로 확장하는 데 사용되는 섹션이 차지합니다.
따라서 작업은 다음과 같이 설정됩니다. 주어진 기능에 대해 우리는 그러한 멱급수를 찾아야 합니다
이는 특정 간격으로 수렴되었으며 그 합은 다음과 같습니다. 
,
저것들.
=
..
이 작업은 함수를 멱급수로 확장하는 문제.
멱급수에서 함수를 분해하기 위한 필요 조건무한한 횟수의 미분 가능성입니다. 이는 수렴 거듭제곱의 속성에서 따릅니다. 이 조건은 원칙적으로 정의 영역의 기본 기능에 대해 충족됩니다.
그럼 함수가 다음과 같다고 가정해 봅시다. 
어떤 순서의 파생물도 있습니다. 멱급수로 확장하는 것이 가능합니까? 그렇다면 이 계열을 어떻게 찾을 수 있습니까? 문제의 두 번째 부분은 해결하기가 더 쉽기 때문에 시작해 보겠습니다.
함수가 다음과 같다고 가정해보자. 
점을 포함하는 구간에 수렴하는 거듭제곱 계열의 합으로 표현될 수 있습니다. 엑스 0 :
=
..
(*)
어디 ㅏ 0 ,ㅏ 1 ,ㅏ 2 ,...,ㅏ 피 ,... – (아직) 알려지지 않은 계수.
값을 동등(*)으로 입력해 보겠습니다. x = x 0 , 그럼 우리는 얻을
.
멱급수(*) 항을 항별로 구별해 보겠습니다.
=
..
그리고 여기를 믿으세요 x = x 0 , 우리는 얻는다
.
다음 차별화를 통해 우리는 시리즈를 얻습니다.
=
..
믿는 x = x 0 ,
우리는 얻는다 
, 어디 
.
후에 피- 우리가 얻는 다중 미분
마지막 평등을 가정하면 x = x 0 ,
우리는 얻는다 
, 어디
따라서 계수가 발견됩니다.
,
,
,
…,
,….,
어느 것을 시리즈(*)로 대체하면, 우리는 다음을 얻습니다.
결과 시리즈는 다음과 같습니다. 테일러 옆에기능을 위해
.
따라서 우리는 다음을 확인했습니다. 함수가 거듭제곱(x - x)으로 확장될 수 있는 경우 0 ), 이 확장은 고유하며 결과 계열은 필연적으로 Taylor 계열입니다.
테일러 급수는 점에서 임의 차수의 도함수를 갖는 모든 함수에 대해 얻을 수 있습니다. x = x 0 . 그러나 이것이 함수와 결과 계열 사이에 등호를 배치할 수 있다는 의미는 아닙니다. 급수의 합은 원래 함수와 같습니다. 첫째, 그러한 등식은 수렴 영역에서만 의미가 있을 수 있으며, 함수에 대해 얻은 Taylor 시리즈는 발산할 수 있으며, 둘째, Taylor 시리즈가 수렴하면 그 합이 원래 함수와 일치하지 않을 수 있습니다.
3.2. 테일러 급수에서 함수의 분해성을 위한 충분한 조건문제를 해결하는 데 도움이 되는 성명서를 작성해 보겠습니다.
기능의 경우
x 지점 근처에서 0 최대 파생 상품이 있습니다 (N+
1) 순서를 포함하면 이 동네에는공식테일러
어디아르 자형 N (엑스)-테일러 공식의 나머지 항은 다음과 같은 형식을 갖습니다(라그랑주 형식).
어디 점ξ x와 x 사이에 위치 0 .
Taylor 급수와 Taylor 공식 사이에는 차이가 있습니다. Taylor 공식은 유한합입니다. 피 -정족수.
시리즈의 합을 기억하세요. 에스(엑스) 부분합의 함수 수열의 극한으로 정의될 수 있습니다. 에스 피 (엑스) 어느 정도 간격으로 엑스:
.
이에 따르면, 함수를 테일러 급수로 확장한다는 것은 어떤 함수에 대해서도 다음과 같은 급수를 찾는 것을 의미합니다. 엑스엑스
Taylor의 공식을 다음과 같은 형식으로 작성해 보겠습니다.
그것을주의해라 
우리가 얻는 오류를 정의하고 함수를 교체하십시오. 에프(엑스)
다항식 에스 N (엑스).
만약에 
, 저것 
,저것들. 이 기능은 Taylor 시리즈로 확장됩니다. 그 반대의 경우라면 
, 저것 
.
따라서 우리는 증명했습니다. 테일러 급수에서 함수의 분해 가능성에 대한 기준.
기능을 위해서는에프(x)는 Taylor 시리즈로 확장되며, 이 간격에서 다음이 필요하고 충분합니다.
, 어디아르 자형 N (엑스)는 테일러 급수의 나머지 항입니다.
공식화된 기준을 사용하면 다음을 얻을 수 있습니다. 충분한테일러 급수의 함수 분해 조건.
만약에x 지점 근처 0 함수의 모든 도함수의 절대값은 동일한 수 M으로 제한됩니다.≥ 0, 즉
, 티o 이 근처에서 함수는 Taylor 시리즈로 확장됩니다.
위에서부터 다음과 같다 연산기능 확장에프(엑스) 테일러 시리즈에서한 지점 근처에 엑스 0 :
1. 함수의 도함수 찾기 에프(엑스):
f(x), f'(x), f"(x), f'"(x), f (N) (엑스),…
2. 해당 지점에서 함수의 값과 그 도함수 값을 계산합니다. 엑스 0
에프(엑스 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f'”(x 0 ), f (N) (엑스 0 ),…
3. 공식적으로 Taylor 계열을 작성하고 결과로 나오는 거듭제곱 계열의 수렴 영역을 찾습니다.
4. 충분조건의 충족 여부를 확인합니다. 우리는 무엇을 위해 설립 엑스수렴 영역에서 나머지 항 아르 자형 N (엑스)
0이 되는 경향이 있다 
또는
.
이 알고리즘을 사용하여 함수를 테일러 급수로 확장하는 것을 다음과 같이 부릅니다. 정의에 따라 함수를 테일러 급수로 확장또는 직접 분해.
실용적인 기술을 훈련하기 위한 사이트에서 Taylor, Maclaurin 및 Laurent 시리즈로 기능 확장. 함수의 이러한 계열 확장을 통해 수학자들은 정의 영역의 특정 지점에서 함수의 대략적인 값을 추정할 수 있습니다. 이러한 함수 값을 계산하는 것은 컴퓨터 기술 시대에 별 의미가 없는 브레디스 테이블을 사용하는 것보다 훨씬 쉽습니다. 함수를 Taylor 계열로 확장한다는 것은 이 계열의 선형 함수의 계수를 계산하고 이를 다음과 같이 작성하는 것을 의미합니다. 올바른 형태. 학생들은 두 번째 시리즈의 일반적인 경우와 특수한 경우가 무엇인지 이해하지 못한 채 이 두 시리즈를 혼동합니다. Maclaurin 급수는 Taylor 급수의 특별한 경우라는 점을 다시 한 번 상기시켜 드리겠습니다. 즉, 이것은 Taylor 급수이지만 x = 0 지점에 있습니다. 잘 알려진 함수의 확장에 대한 모든 간략한 항목은 다음과 같습니다. e^x, Sin(x), Cos(x) 등과 같은 이들은 Taylor 급수 확장이지만 인수의 경우 지점 0입니다. 복잡한 인수 함수의 경우 Laurent 계열은 양면 무한 계열을 나타내기 때문에 TFCT에서 가장 일반적인 문제입니다. 두 계열의 합입니다. 웹사이트에서 직접 분해의 예를 살펴보는 것이 좋습니다. 임의의 숫자가 포함된 "예제"를 클릭한 다음 "해결책" 버튼을 클릭하면 매우 쉽게 수행할 수 있습니다. 변수가 가로축 영역에 속하는 경우 세로축을 따라 특정 영역의 원래 함수를 제한하는 주요 계열과 관련된 계열로 함수를 확장하는 것입니다. 벡터 분석은 수학의 또 다른 흥미로운 분야와 비교됩니다. 각 항을 조사해야 하기 때문에 그 과정에 꽤 많은 시간이 소요됩니다. 모든 Taylor 계열은 x0을 0으로 대체하여 Maclaurin 계열과 연관될 수 있지만 Maclaurin 계열의 경우 Taylor 계열을 역으로 나타내는 것이 때때로 명확하지 않습니다. 이 일이 얼마나 많이 이루어져야 하는지에 상관없이 순수한 형태, 그러나 일반적인 자기 개발에는 흥미 롭습니다. 모든 Laurent 계열은 정수의 양면 무한 거듭제곱 계열에 해당합니다. z-a의 힘, 즉 동일한 Taylor 유형의 계열이지만 계수 계산이 약간 다릅니다. 몇 가지 이론적 계산을 거쳐 잠시 후에 로랑 급수의 수렴 영역에 대해 이야기하겠습니다. 지난 세기와 마찬가지로 함수를 급수로 단계적으로 확장하는 것은 단순히 공통 분모에 항을 가져오는 것만으로는 거의 달성할 수 없습니다. 왜냐하면 분모의 함수는 비선형이기 때문입니다. 문제를 공식화하려면 함수값의 대략적인 계산이 필요합니다. 테일러 급수의 인수가 선형 변수인 경우 확장은 여러 단계에서 발생하지만 확장되는 함수의 인수가 복소수 또는 비선형 함수인 경우 그림은 완전히 다릅니다. 이러한 함수를 멱급수로 표현하는 것은 명백합니다. 왜냐하면 이 방법을 사용하면 정의 영역의 어느 지점에서든 대략적인 값이기는 하지만 추가 계산에 거의 영향을 주지 않는 최소 오류로 쉽게 계산할 수 있기 때문입니다. 이는 Maclaurin 시리즈에도 적용됩니다. 영점에서 함수를 계산해야 할 때. 그러나 여기서는 로랑 급수 자체가 허수 단위를 사용하는 평면 확장으로 표현됩니다. 역시 성공이 없지는 않을 것이다 올바른 해결책동안 작업 일반적인 과정. 이 접근법은 수학에서는 알려져 있지 않지만 객관적으로 존재합니다. 결과적으로 소위 점별 하위 집합이라는 결론에 도달할 수 있으며, 함수를 계열로 확장하려면 도함수 이론 적용과 같이 이 프로세스에 대해 알려진 방법을 사용해야 합니다. 다시 한번 우리는 계산 후 계산 결과에 대해 가정을 한 교사가 옳았음을 확신합니다. 수학의 모든 표준에 따라 얻은 Taylor 시리즈가 존재하고 전체 수치 축에서 정의된다는 점에 유의하십시오. 그러나 사이트 서비스 사용자 여러분, 원래 함수의 유형을 잊지 마십시오. 처음에는 함수 정의 영역을 설정해야 합니다. 즉, 실수 영역에서 함수가 정의되지 않은 지점을 작성하고 추가 고려에서 제외해야 합니다. 말하자면, 이는 문제 해결의 효율성을 보여줄 것입니다. 인수 값이 0인 Maclaurin 급수를 구성하는 것도 지금까지 말한 내용에서 예외는 아닙니다. 함수 정의 영역을 찾는 과정은 취소되지 않았으며 이 수학적 연산에 진지하게 접근해야 합니다. 주요 부분을 포함하는 Laurent 계열의 경우 매개변수 "a"를 고립된 특이점이라고 하며 Laurent 계열은 링으로 확장됩니다. 이는 해당 부분의 수렴 영역의 교차점이므로 해당 정리가 뒤따를 것입니다. 그러나 경험이 부족한 학생에게 언뜻 보이는 것처럼 모든 것이 복잡하지는 않습니다. Taylor 시리즈를 공부하면 숫자의 공간을 확장하기 위한 일반화된 사례인 Laurent 시리즈를 쉽게 이해할 수 있습니다. 함수의 계열 확장은 함수 정의 영역의 한 지점에서만 수행될 수 있습니다. 주기성이나 무한 미분성과 같은 함수의 속성을 고려해야 합니다. 또한 온라인 계산기를 사용하여 볼 수 있듯이 하나의 함수가 최대 수십 개의 서로 다른 거듭제곱 시리즈로 표시될 수 있으므로 기성 기본 함수의 Taylor 급수 확장 표를 사용하는 것이 좋습니다. 온라인 시리즈 Maclaurin을 결정하는 것은 배 껍질을 벗기는 것만큼 쉽습니다. 사이트의 고유한 서비스를 사용하는 경우 올바른 서면 기능을 입력하기만 하면 제시된 답변을 몇 초 안에 받게 되며 정확하고 표준에 따라 보장됩니다. 서면 양식. 결과를 깨끗한 사본으로 직접 복사하여 교사에게 제출할 수 있습니다. 먼저 링에서 문제의 함수 분석성을 결정한 다음 모든 링에서 로랑 계열로 확장 가능하다고 명확하게 기술하는 것이 옳을 것입니다. 부정적인 힘을 담고 있는 로랑 계열의 항을 놓치지 않는 것이 중요하다. 가능한 한 이것에 집중하십시오. 정수 거듭제곱의 함수 확장에 대한 Laurent의 정리를 잘 활용하세요.
고등 수학을 공부하는 학생들은 우리에게 주어진 계열의 수렴 간격에 속하는 특정 거듭제곱 계열의 합이 연속적이고 무제한의 미분 함수로 판명된다는 것을 알아야 합니다. 질문이 생깁니다: 주어진 임의 함수 f(x)가 특정 거듭제곱의 합이라고 말할 수 있습니까? 즉, 함수 f(x)는 어떤 조건에서 묘사될 수 있습니까? 파워 시리즈? 이 질문의 중요성은 함수 f(x)를 멱급수의 처음 몇 항의 합, 즉 다항식으로 대략적으로 대체할 수 있다는 사실에 있습니다. 함수를 다소 간단한 표현식(다항식)으로 대체하는 것은 특정 문제를 해결할 때, 즉 적분을 풀 때, 계산할 때 등에도 편리합니다.
특정 함수 f(x)에 대해 (α - R; x 0 + R 부근에서 마지막 차수를 포함하여 (n+1)차까지 도함수를 계산할 수 있음이 입증되었습니다. ) 어떤 점 x = α, 공식은 다음과 같습니다.
이 공식은 유명한 과학자 Brooke Taylor의 이름을 따서 명명되었습니다. 이전 시리즈에서 얻은 시리즈를 Maclaurin 시리즈라고 합니다.
매클로린 급수에서 전개를 수행하는 것을 가능하게 하는 규칙:
R n (x) -> n -> 무한대에서 0입니다. 존재하는 경우 함수 f(x)는 매클로린 급수의 합과 일치해야 합니다.
이제 개별 기능에 대한 Maclaurin 급수를 고려해 보겠습니다.
1. 따라서 첫 번째 것은 f(x) = e x가 됩니다. 물론, 그 특성상 이러한 함수는 매우 다른 차수의 도함수를 가지며, f (k) (x) = e x , 여기서 k는 모두와 같습니다. x = 0을 대체합니다. 우리는 f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... 위의 내용을 기반으로 시리즈 e x는 다음과 같습니다.
2. 함수 f(x) = sin x에 대한 매클로린 급수. 모든 미지수에 대한 함수는 도함수를 가지며, 또한 f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), 여기서 k는 임의와 같음 자연수. 즉, 간단한 계산을 통해 f(x) = sin x에 대한 계열은 다음과 같은 형식이 될 것이라는 결론에 도달할 수 있습니다.
3. 이제 f(x) = cos x 함수를 고려해 보겠습니다. 모든 미지수에 대해 임의 차수의 도함수를 가지며 |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|
