정리. 피라미드의 부피는 밑면의 면적과 높이의 1/3을 곱한 것과 같습니다.
먼저 삼각형 피라미드에 대해 이 정리를 증명한 다음 다각형에 대해 증명합니다.
1) 삼각형 피라미드 SABC(그림 102)를 기반으로 높이가 피라미드 높이와 같고 한쪽 모서리가 모서리 SB와 일치하는 프리즘 SABCDE를 구성합니다. 피라미드의 부피가 이 프리즘 부피의 1/3임을 증명합시다. 이 피라미드를 프리즘에서 분리하십시오. 이렇게 하면 사각형 피라미드 SADEC이 남습니다(명확성을 위해 별도로 표시됨). 꼭짓점 S와 밑면 DC의 대각선을 통해 절단면을 그립니다. 결과로 생성된 두 개의 삼각형 피라미드는 공통 정점 S와 동일한 평면에 있는 동일한 밑변 DEC 및 DAC를 갖습니다. 따라서 위에서 증명된 보조 정리에 따르면 이 피라미드는 동일합니다. 그 중 하나인 SDEC를 이 피라미드와 비교해 보겠습니다. SDEC 피라미드의 기초에 대해 \(\Delta\)SDE를 사용할 수 있습니다. 그러면 그 꼭대기는 점 C에 있고 높이는 이 피라미드의 높이와 같습니다. \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)ABC이므로 동일한 보조 정리에 따라 피라미드 SDEC와 SABC는 동일합니다.
프리즘 ABCDES는 SABC, SDEC 및 SDAC의 동일한 크기의 피라미드 3개로 나뉩니다. (분명히, 모든 삼각기둥은 그러한 분할을 받을 수 있습니다. 이것은 삼각기둥의 중요한 특성 중 하나입니다.) 따라서 주어진 크기와 크기가 같은 세 피라미드의 부피의 합은 다음의 부피입니다. 프리즘; 따라서,
$$ V_(SABC) = \frac(1)(3) V_(SDEABC) = \frac(S_(ABC)\cdot H)(3) = S_(ABC)\frac(H)(3) $$
여기서 H는 피라미드의 높이입니다.
2) 다각형 피라미드 SABCDE의 밑면의 일부 꼭짓점 E(그림 103)를 통해 대각선 EB와 EC를 그립니다.
그런 다음 가장자리 SE와 이러한 각 대각선을 통해 절단 평면을 그립니다. 그런 다음 다각형 피라미드는 주어진 피라미드와 높이가 같은 여러 삼각형으로 나뉩니다. 다음을 통해 삼각형 피라미드의 밑변 면적을 나타냅니다. 비 1 ,비 2 ,비 3과 H를 통한 높이, 우리는 다음을 갖게 될 것입니다:
볼륨 SABCDE = 1 / 3 비 1H+1/3 비 2H+1/3 비 3 H = ( 비 1 + 비 2 + 비 3) H / 3 =
= (영역 ABCDE) H / 3 .
결과. V, B 및 H가 피라미드의 부피, 기본 면적 및 높이를 적절한 단위로 표현하는 숫자를 의미하는 경우,
정리. 잘린 피라미드의 부피는 잘린 피라미드의 높이와 높이가 같은 세 피라미드의 부피의 합과 같습니다. 하나는 이 피라미드의 아래쪽 바닥이고 다른 하나는 위쪽 바닥이며 세 번째 피라미드의 기본 면적은 상단 및 하단 기본 면적의 기하 평균과 같습니다.
잘린 피라미드(그림 104)의 밑변 면적을 B라고 하고 비, 높이 H 및 부피 V(잘린 피라미드는 삼각형 또는 다각형일 수 있습니다. 중요하지 않음).
임을 증명할 필요가 있음
V = 1/3 BH + 1/3 비 H + 1 / 3 H√B 비= 1/3H(B+ 비+√B 비 ),
여기서 √B 비 B와 B 사이의 기하 평균입니다. 비.
더 작은 기준으로 증명하기 위해 이 잘린 피라미드를 완전한 피라미드로 보완하는 작은 피라미드를 배치합니다. 그런 다음 잘린 피라미드 V의 볼륨을 전체 피라미드와 상위 추가 볼륨의 두 볼륨의 차이로 고려할 수 있습니다.
추가 피라미드의 높이를 문자로 표시 엑스, 우리는 그것을 찾을 것입니다
V = 1/3 B (H + 엑스) - 1 / 3 bx= 1 / 3 (BH + B x - bx) = 1 / 3 [ВH + (В - 비)엑스].
높이를 찾으려면 엑스의 정리를 사용하여 방정식을 작성할 수 있습니다.
$$ \frac(B)(b) = \frac((H + x)^3)(x^2) $$
이 방정식을 단순화하기 위해 양쪽에서 산술 제곱근을 추출합니다.
$$ \frac(\sqrt(B))(\sqrt(b)) = \frac(H + x)(x) $$
이 방정식(비율로 생각할 수 있음)에서 다음을 얻습니다.
$$ x\sqrt(B) = H\sqrt(b) + x\sqrt(b) $$
$$ (\sqrt(B) - \sqrt(b))x = H\sqrt(b) $$
따라서
$$ x = \frac(H\sqrt(b))(\sqrt(B) - \sqrt(b)) $$
이 식을 볼륨 V에 대해 파생된 공식에 대입하면 다음을 찾을 수 있습니다.
$$ V = \frac(1)(3)\왼쪽 $$
V- 이후로 비= (√B + √ 비) (√B - √ 비), 그런 다음 차이 √B - √로 분수를 줄임으로써 비우리는 얻는다:
$$ V = \frac(1)(3) BH +(\sqrt(B) + \sqrt(b))H\sqrt(b) =\\= \frac(1)(3)(BH+H\ 제곱(Bb)+Hb) =\\= \frac(1)(3)H(B+b+\sqrt(Bb)) $$
즉, 증명에 필요한 공식을 얻습니다.
기타 재료피라미드는 밑면에 다각형이 있는 다면체입니다. 모든 면은 차례로 한 꼭짓점에서 수렴하는 삼각형을 형성합니다. 피라미드는 삼각형, 사각형 등입니다. 어떤 피라미드가 당신 앞에 있는지 확인하려면 밑면의 모서리 수를 계산하는 것으로 충분합니다. "피라미드 높이"의 정의는 학교 커리큘럼의 기하학 문제에서 매우 자주 발견됩니다. 이 기사에서 우리는 그것을 찾는 다양한 방법을 고려할 것입니다.
피라미드의 일부
각 피라미드는 다음 요소로 구성됩니다.
- 세 모서리가 있고 상단에서 수렴하는 측면;
- apothem은 꼭대기에서 내려오는 높이를 나타냅니다.
- 피라미드의 상단은 측면 모서리를 연결하지만 밑면의 평면에 있지 않은 점입니다.
- 밑면은 꼭짓점을 포함하지 않는 다각형입니다.
- 피라미드의 높이는 피라미드의 상단과 교차하고 밑면과 직각을 이루는 세그먼트입니다.
부피가 알려진 경우 피라미드의 높이를 찾는 방법
공식 V \u003d (S * h) / 3 (공식에서 V는 부피, S는 기본 면적, h는 피라미드 높이)을 통해 h \u003d (3 * V) / S . 자료를 통합하기 위해 즉시 문제를 해결합시다. 삼각형 밑변의 크기는 50cm 2 이고 부피는 125cm 3 입니다. 삼각형 피라미드의 높이는 알려져 있지 않으므로 찾아야 합니다. 여기에서는 모든 것이 간단합니다. 데이터를 공식에 삽입합니다. 우리는 h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7.5 cm를 얻습니다.
대각선과 모서리의 길이를 알면 피라미드의 높이를 찾는 방법
우리가 기억하는 것처럼 피라미드의 높이는 밑변과 직각을 이룹니다. 그리고 이것은 대각선의 높이, 가장자리 및 절반이 함께 형성된다는 것을 의미합니다. 물론 많은 사람들이 피타고라스 정리를 기억합니다. 두 가지 차원을 알면 세 번째 값을 찾는 것이 어렵지 않습니다. 잘 알려진 정리 a² = b² + c²를 상기하십시오. 여기서 는 빗변이고 우리의 경우 피라미드의 가장자리입니다. b - 대각선의 첫 번째 다리 또는 절반 및 c - 각각 두 번째 다리 또는 피라미드 높이. 이 공식에서 c² = a² - b²입니다.
이제 문제: 일반 피라미드에서 대각선은 20cm이고 모서리의 길이는 30cm입니다. 높이를 찾아야 합니다. 우리는 c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500을 해결합니다. 따라서 c \u003d √ 500 \u003d 약 22.4입니다.
잘린 피라미드의 높이를 찾는 방법
밑면과 평행한 단면을 가진 다각형입니다. 잘린 피라미드의 높이는 두 개의 밑면을 연결하는 부분입니다. 두 밑변의 대각선 길이와 피라미드 모서리를 알면 일반 피라미드에서 높이를 찾을 수 있습니다. 큰 밑변의 대각선을 d1, 작은 밑변의 대각선을 d2, 모서리의 길이를 l로 둡니다. 높이를 찾으려면 다이어그램의 두 위쪽 반대 지점에서 밑면까지 높이를 낮출 수 있습니다. 우리는 두 개의 직각 삼각형이 있음을 알았습니다. 다리 길이를 찾는 것이 남아 있습니다. 이렇게하려면 큰 대각선에서 작은 대각선을 빼고 2로 나눕니다. 따라서 우리는 하나의 다리를 찾을 것입니다 : a \u003d (d1-d2) / 2. 그 후 피타고라스 정리에 따르면 피라미드의 높이인 두 번째 다리만 찾으면 됩니다.
이제 이 전체를 실제로 살펴보겠습니다. 우리 앞에는 과제가 있습니다. 잘린 피라미드는 밑변이 정사각형이고 큰 밑변의 대각선 길이는 10cm, 작은 피라미드는 6cm, 가장자리는 4cm로 높이를 찾는 데 필요합니다. 우선, 우리는 다리 하나를 찾습니다: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm. 한 다리는 2 cm, 빗변은 4 cm입니다. 두 번째 다리 또는 높이는 16- 4 \u003d 12, 즉 h \u003d √12 = 약 3.5cm.
피라미드밑변이 임의의 다각형이고 모든 면이 피라미드의 상단인 공통 정점이 있는 삼각형인 다면체라고 합니다.
피라미드는 3차원 도형입니다. 그렇기 때문에 면적뿐만 아니라 부피도 찾아야하는 경우가 많습니다. 피라미드의 부피 공식은 매우 간단합니다.
여기서 S는 밑면의 면적이고 h는 피라미드의 높이입니다.
키피라미드는 직선이라고하며 꼭대기에서 밑면까지 직각으로 낮아집니다. 따라서 피라미드의 부피를 찾으려면 밑변에 어떤 다각형이 있는지 결정하고 면적을 계산하고 피라미드의 높이를 찾고 부피를 찾아야합니다. 피라미드의 부피를 계산하는 예를 고려하십시오.
과제: 정사각뿔이 주어졌습니다. 
밑변 a = 3 cm, 모든 변 b = 4 cm 피라미드의 부피를 찾으십시오.
먼저 부피를 계산하려면 피라미드의 높이가 필요하다는 것을 기억하십시오. 피타고라스 정리를 사용하여 찾을 수 있습니다. 이렇게하려면 대각선의 길이 또는 절반이 필요합니다. 그런 다음 직각 삼각형의 두 변을 알면 높이를 찾을 수 있습니다. 먼저 대각선을 찾습니다. 
공식의 값을 대체하십시오. 
d와 edge b를 사용하여 높이 h를 찾습니다. 
이제 찾자
정리.
피라미드의 부피는 밑면의 면적과 높이의 곱의 1/3과 같습니다..
증거:
먼저 삼각형 피라미드에 대한 정리를 증명한 다음 임의의 피라미드에 대한 정리를 증명합니다.1. 삼각형 피라미드를 고려하십시오OABC볼륨 V, 기본 영역에스그리고 높이 시간. 축 그리기 오 (OM2- 높이), 단면 고려A1 B1 C1축에 수직인 평면을 가진 피라미드오따라서 바닥면과 평행합니다. 로 나타내다엑스가로 좌표 중1 이 평면과 x축의 교차점,에스(엑스)- 단면적. 표현하다 에스(엑스)가로 질러 에스, 시간그리고 엑스. 삼각형 A1 입력1 에서1 그리고 ABC도 비슷합니다. 과연 A1 입력1 II AB, 그래서 삼각형 OA 1 입력 1 삼각형 OAB와 유사합니다. 에서따라서, 하지만1 입력1 : 하지만나= OA 1: OA .
직각 삼각형 OA 1 입력 1 및 OAB 또한 유사합니다(꼭짓점 O와 공통 예각을 가짐). 따라서 OA 1: OA = 오 1 중1 : 옴 = x: 시간. 이런 식으로하지만 1 입력 1 : A B = x: 시간.마찬가지로 다음과 같이 증명됩니다.B1 C1:태양 = 엑스: 시간그리고 A1 C1:AC =엑스: 시간.그래서 삼각형A1 B1 C1그리고 알파벳유사성 계수와 유사엑스: 시간.따라서 S(x): S = (x: 시간)², 또는 S(x) = S x²/ 시간².
이제 물체의 부피를 계산하는 기본 공식을 적용해 보겠습니다.ㅏ= 0, b=시간우리는 얻는다
따라서 원래 피라미드의 부피는 1/3Sh입니다.. 정리가 증명되었습니다.
결과:
높이가 h이고 밑면이 S 및 S인 잘린 피라미드의 부피 V1 , 공식에 의해 계산됩니다
h - 피라미드의 높이
중지 - 상부 베이스의 면적
S 로우 - 하부 베이스 면적
공간에 있는 모든 기하학적 인물의 주요 특징은 부피입니다. 이 기사에서는 밑면에 삼각형이 있는 피라미드가 무엇인지 고려하고 삼각형 피라미드(정규 전체 및 잘린)의 부피를 찾는 방법도 보여줍니다.
삼각형 피라미드 란 무엇입니까?
누구나 고대 이집트 피라미드에 대해 들어 보았지만 삼각형이 아닌 사각형의 규칙적인 피라미드입니다. 삼각형 피라미드를 얻는 방법을 설명하겠습니다.
임의의 삼각형을 가져와 이 삼각형의 평면 외부에 있는 한 점과 모든 정점을 연결해 보겠습니다. 결과 그림을 삼각형 피라미드라고합니다. 아래 그림에 나와 있습니다.
보시다시피, 고려중인 그림은 일반적으로 다른 4 개의 삼각형으로 구성됩니다. 각 삼각형은 피라미드의 측면 또는 면입니다. 이 피라미드는 종종 사면체, 즉 4면의 3차원 도형이라고 합니다.
측면 외에도 피라미드에는 모서리(6개 있음)와 꼭짓점(4개 있음)도 있습니다.
삼각형 베이스로
임의의 삼각형과 공간상의 한 점을 이용하여 구한 도형은 일반적으로 불규칙한 경사 피라미드가 됩니다. 이제 원래 삼각형의 변이 같고 공간의 한 점이 삼각형 평면에서 거리 h만큼 기하학적 중심 바로 위에 있다고 상상해보십시오. 이러한 초기 데이터를 사용하여 구축된 피라미드는 정확할 것입니다.
분명히, 정삼각뿔의 모서리, 변, 꼭짓점의 수는 임의의 삼각형으로 만든 피라미드의 수와 같습니다.
그러나 올바른 그림에는 몇 가지 독특한 특징이 있습니다.
- 위에서 그린 높이가 기하학적 중심(중앙값의 교차점)에서 밑면과 정확히 교차합니다.
- 이러한 피라미드의 측면은 이등변 또는 정삼각형인 세 개의 동일한 삼각형으로 형성됩니다.
정삼각뿔은 단순히 이론적인 기하학적 대상이 아닙니다. 자연의 일부 구조는 탄소 원자가 공유 결합에 의해 동일한 원자 4개에 연결된 다이아몬드의 결정 격자 또는 피라미드의 상단이 수소 원자에 의해 형성되는 메탄 분자와 같은 모양을 갖습니다.
삼각형 피라미드
다음 식을 사용하여 밑면에 임의의 n각형이 있는 절대적으로 모든 피라미드의 부피를 결정할 수 있습니다.
여기서 기호 S o는 밑면의 면적을 나타내고, h는 피라미드 꼭대기에서 표시된 밑면까지 그린 그림의 높이입니다.
임의의 삼각형의 면적은 변의 길이의 곱의 절반과 같기 때문에 apothem h가 이쪽으로 낮아짐에 따라 삼각형 피라미드의 부피 공식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
V = 1/6 × a × h a × h
일반 유형의 경우 높이를 결정하는 것이 쉬운 일이 아닙니다. 이를 해결하기 위해 가장 쉬운 방법은 일반 방정식으로 표현되는 점(꼭짓점)과 평면(삼각 밑면) 사이의 거리 공식을 사용하는 것입니다.
올바른 것을 위해 특정 모양이 있습니다. 밑변(정삼각형)의 면적은 다음과 같습니다.
V에 대한 일반 표현식으로 대체하면 다음을 얻습니다.
V = √3/12 × a 2 × h
특별한 경우는 사면체의 모든면이 동일한 정삼각형으로 판명되는 상황입니다. 이 경우 볼륨은 모서리 a의 매개변수를 아는 것에 기초해서만 결정될 수 있습니다. 해당 표현식은 다음과 같습니다.
잘린 피라미드
꼭짓점을 포함하는 윗부분이 정삼각뿔에서 잘리면 잘린 그림이 됩니다. 원래 것과 달리 두 개의 정삼각형 밑변과 세 개의 이등변 사다리꼴로 구성됩니다.
아래 사진은 종이로 만든 정삼각뿔이 어떻게 생겼는지 보여줍니다.
잘린 삼각형 피라미드의 부피를 결정하려면 세 가지 선형 특성을 알아야 합니다. 즉, 밑변의 각 변과 그림의 높이가 위아래 밑변 사이의 거리와 같습니다. 볼륨에 대한 해당 공식은 다음과 같이 작성됩니다.
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
여기서 h는 그림의 높이, A와 a는 각각 큰(아래) 정삼각형과 작은(위) 정삼각형의 변의 길이입니다.
문제의 해결책
독자가 기사의 정보를 더 명확하게 이해할 수 있도록 작성된 공식 중 일부를 사용하는 방법을 명확한 예와 함께 보여드리겠습니다.
삼각형 피라미드의 부피를 15 cm 3 이라고 하자. 수치가 맞는 것으로 알려져 있습니다. 피라미드의 높이가 4cm인 경우 측면 모서리의 apothem b를 찾아야 합니다.
그림의 부피와 높이를 알고 있으므로 적절한 공식을 사용하여 밑변의 길이를 계산할 수 있습니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25.98cm
a b \u003d √ (h 2 + a 2 / 12) \u003d √ (16 + 25.98 2 / 12) \u003d 8.5 cm
그림의 변호의 계산된 길이는 모든 유형의 피라미드에 해당하는 높이보다 큰 것으로 판명되었습니다.
