나는 우리가 미분방정식과 같은 훌륭한 수학적 도구의 역사부터 시작해야 한다고 생각합니다. 모든 미분 및 적분과 마찬가지로 이 방정식은 17세기 후반 뉴턴에 의해 발명되었습니다. 그는 자신이 발견한 이 특별한 발견이 매우 중요하다고 생각하여 메시지를 암호화하기도 했습니다. 오늘날 이 메시지는 다음과 같이 번역될 수 있습니다. "모든 자연 법칙은 미분 방정식으로 설명됩니다." 이것은 과장된 것처럼 보일 수도 있지만 사실입니다. 물리학, 화학, 생물학의 모든 법칙은 이러한 방정식으로 설명될 수 있습니다.
이론의 발전과 창조에 큰 기여 미분 방정식수학자 오일러와 라그랑주가 기여했습니다. 이미 18세기에 그들은 현재 상급 대학 과정에서 공부하고 있는 내용을 발견하고 발전시켰습니다.
앙리 푸앵카레(Henri Poincaré) 덕분에 미분 방정식 연구의 새로운 이정표가 시작되었습니다. 그는 복소 변수의 함수 이론과 결합된 "미분 방정식의 질적 이론"을 창안하여 위상학의 기초, 즉 공간과 그 속성의 과학에 크게 기여했습니다.
미분 방정식이란 무엇입니까?
많은 사람들이 한 문구를 두려워하지만, 이 기사에서는 이름에서 보이는 것만큼 복잡하지 않은 이 매우 유용한 수학적 장치의 전체 본질을 자세히 설명합니다. 1차 미분방정식에 대해 이야기하려면 먼저 이 정의와 본질적으로 관련된 기본 개념을 숙지해야 합니다. 그리고 우리는 차동부터 시작하겠습니다.
미분
많은 사람들이 학교 시절부터 이 개념을 알고 있었습니다. 그러나 좀 더 자세히 살펴 보겠습니다. 함수 그래프를 상상해 보세요. 우리는 그것의 모든 부분이 직선의 형태를 취할 정도로 그것을 늘릴 수 있습니다. 서로 무한히 가까운 두 점을 살펴보겠습니다. 좌표(x 또는 y) 간의 차이는 미미합니다. 이를 미분이라고 하며 dy(y의 미분) 및 dx(x의 미분) 기호로 표시됩니다. 미분은 유한한 양이 아니며 이것이 그 의미이자 주요 기능이라는 것을 이해하는 것이 매우 중요합니다.
이제 우리는 미분 방정식의 개념을 설명하는 데 도움이 될 다음 요소를 고려해야 합니다. 이것은 파생 상품입니다.
유도체
우리 모두는 학교에서 이런 개념을 들었을 것입니다. 도함수는 함수가 증가하거나 감소하는 비율이라고 합니다. 그러나 이 정의에서는 많은 부분이 불분명해집니다. 미분을 통해 미분을 설명해보자. 서로 최소 거리에 있는 두 점이 있는 함수의 무한소 세그먼트로 돌아가 보겠습니다. 그러나 이 거리에서도 함수는 어느 정도 변경될 수 있습니다. 그리고 이 변화를 설명하기 위해 그들은 미분의 비율로 쓸 수 있는 도함수를 생각해 냈습니다: f(x)"=df/dx.
이제 파생 상품의 기본 속성을 고려해 볼 가치가 있습니다. 그 중 세 가지만 있습니다:
- 합 또는 차이의 도함수는 도함수의 합 또는 차이로 표시될 수 있습니다: (a+b)"=a"+b" 및 (a-b)"=a"-b".
- 두 번째 속성은 곱셈과 관련이 있습니다. 곱의 도함수는 한 함수의 곱과 다른 함수의 도함수의 합입니다: (a*b)"=a"*b+a*b".
- 차이의 미분은 다음과 같이 쓸 수 있습니다: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .
이러한 모든 속성은 1차 미분 방정식의 해를 찾는 데 유용합니다.
부분 파생 상품도 있습니다. 변수 x와 y에 의존하는 함수 z가 있다고 가정해 보겠습니다. 예를 들어 x에 대한 이 함수의 편도함수를 계산하려면 변수 y를 상수로 취하고 간단히 미분하면 됩니다.
완전한
또 다른 중요한 개념은 통합입니다. 실제로 이것은 파생 상품의 정반대입니다. 적분에는 여러 유형이 있지만 가장 간단한 미분 방정식을 풀려면 가장 사소한 것이 필요합니다.
그래서, x에 대한 f의 의존성이 있다고 가정해 봅시다. 우리는 그것으로부터 적분을 취하고 함수 F(x)(종종 역도함수라고 함)를 얻습니다. 이 함수의 도함수는 원래 함수와 같습니다. 따라서 F(x)"=f(x). 또한 도함수의 적분은 원래 함수와 같습니다.
미분방정식을 풀 때는 적분의 의미와 기능을 이해하는 것이 매우 중요합니다. 왜냐하면 해를 찾기 위해 매우 자주 사용해야 하기 때문입니다.
방정식은 성격에 따라 다릅니다. 다음 절에서는 1계 미분방정식의 종류를 살펴보고, 이를 푸는 방법에 대해 알아보겠습니다.
미분 방정식의 종류
"디퍼(Diffurs)"는 관련된 파생 상품의 순서에 따라 구분됩니다. 따라서 첫 번째, 두 번째, 세 번째 및 그 이상의 순서가 있습니다. 또한 일반 파생 상품과 부분 파생 상품 등 여러 클래스로 나눌 수 있습니다.
이번 글에서는 1계 상미분방정식을 살펴보겠습니다. 또한 다음 섹션에서는 예제와 이를 해결하는 방법에 대해 논의합니다. ODE는 가장 일반적인 유형의 방정식이기 때문에 ODE만 고려하겠습니다. 일반 종은 분리 가능한 변수, 동종 및 이종의 아종으로 나뉩니다. 다음으로, 서로 어떻게 다른지 알아보고 해결 방법을 알아봅니다.
또한, 이러한 방정식을 결합하여 1차 미분 방정식 시스템을 만들 수 있습니다. 우리는 또한 그러한 시스템을 고려하고 이를 해결하는 방법을 배울 것입니다.
왜 우리는 첫 번째 주문만 고려하고 있습니까? 간단한 것부터 시작해야하고 미분 방정식과 관련된 모든 것을 하나의 기사에서 설명하는 것은 불가능하기 때문입니다.
분리 가능한 방정식
이것은 아마도 가장 간단한 1차 미분방정식일 것입니다. 여기에는 다음과 같이 작성할 수 있는 예가 포함됩니다: y"=f(x)*f(y). 이 방정식을 풀려면 도함수를 미분 비율로 표현하는 공식(y"=dy/dx)이 필요합니다. 이를 사용하여 다음 방정식을 얻습니다: dy/dx=f(x)*f(y). 이제 표준 예제를 해결하는 방법으로 전환할 수 있습니다. 변수를 여러 부분으로 나눌 것입니다. 즉, 변수 y가 있는 모든 것을 dy가 있는 부분으로 이동하고 변수 x에서도 동일한 작업을 수행합니다. 우리는 dy/f(y)=f(x)dx 형식의 방정식을 얻습니다. 이는 양쪽에서 적분을 취하여 해결됩니다. 적분을 취한 후 설정해야 하는 상수를 잊지 마세요.
"차이"에 대한 해법은 y에 대한 x의 의존성(우리의 경우)의 함수이거나, 수치 조건이 존재하는 경우 숫자 형태의 답입니다. 살펴 보자 구체적인 예전체 솔루션:
변수를 다른 방향으로 이동해 보겠습니다.
이제 적분을 해보자. 이들 모두는 특수 적분표에서 찾을 수 있습니다. 그리고 우리는 다음을 얻습니다:
ln(y) = -2*cos(x) + C
필요한 경우 "y"를 "x"의 함수로 표현할 수 있습니다. 이제 조건이 지정되지 않으면 미분 방정식이 풀린다고 말할 수 있습니다. 조건을 지정할 수 있습니다(예: y(n/2)=e). 그런 다음 이러한 변수의 값을 솔루션에 대입하고 상수 값을 찾습니다. 이 예에서는 1입니다.
1차 동차 미분방정식
이제 더 어려운 부분으로 넘어가겠습니다. 동차 1차 미분방정식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다. 일반적인 견해따라서: y"=z(x,y). 두 변수의 올바른 함수는 동질적이며 두 가지 종속성(x의 z 및 y의 z)으로 나눌 수 없다는 점에 유의해야 합니다. 여부를 확인하는 것은 매우 간단합니다. 방정식이 동차인지 아닌지: x=k*x 및 y=k*y를 대체합니다. 이제 모든 k를 취소합니다. 이 문자가 모두 취소되면 방정식은 동차이고 안전하게 풀 수 있습니다. 앞서, 이러한 예를 해결하는 원리도 매우 간단하다고 가정해 보겠습니다.
우리는 대체를 해야 합니다: y=t(x)*x, 여기서 t는 x에도 의존하는 특정 함수입니다. 그런 다음 도함수를 표현할 수 있습니다: y"=t"(x)*x+t. 이 모든 것을 원래 방정식에 대입하고 단순화하면 분리 가능한 변수 t와 x가 있는 예를 얻을 수 있습니다. 우리는 그것을 풀고 의존성 t(x)를 얻습니다. 이를 수신하면 단순히 y=t(x)*x를 이전 대체 항목으로 대체합니다. 그러면 우리는 x에 대한 y의 의존성을 얻습니다.
더 명확하게 설명하기 위해 x*y"=y-x*e y/x 예를 살펴보겠습니다.
교체로 확인하면 모든 것이 줄어 듭니다. 이는 방정식이 실제로 균질하다는 것을 의미합니다. 이제 우리는 앞서 이야기했던 또 다른 대체를 만듭니다: y=t(x)*x 및 y"=t"(x)*x+t(x). 단순화 후 다음 방정식을 얻습니다: t"(x)*x=-e t. 결과 예제를 분리된 변수로 풀고 e -t =ln(C*x)를 얻습니다. 우리가 해야 할 일은 바꾸는 것뿐입니다. t와 y/x(결국 y =t*x이면 t=y/x), 답은 e -y/x =ln(x*C)입니다.
1차 선형 미분 방정식
이제 또 다른 광범위한 주제를 살펴볼 시간입니다. 1차 불균일 미분 방정식을 분석해 보겠습니다. 이전 두 개와 어떻게 다른가요? 그것을 알아 봅시다. 일반적인 형태의 1차 선형 미분 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다: y" + g(x)*y=z(x). z(x)와 g(x)가 일정한 양일 수 있다는 점을 명확히 하는 것이 좋습니다.
이제 예를 들어 보겠습니다. y" - y*x=x 2 .
두 가지 해결책이 있으며, 두 가지를 모두 순서대로 살펴보겠습니다. 첫 번째는 임의의 상수를 변경하는 방법입니다.
이런 방식으로 방정식을 풀려면 먼저 오른쪽을 0으로 동일시하고 결과 방정식을 풀어야 합니다. 부품을 옮긴 후 다음 형식을 취합니다.
ln|y|=x 2 /2 + C;
y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .
이제 우리는 상수 C 1을 우리가 찾아야 하는 함수 v(x)로 대체해야 합니다.
파생 상품을 교체해 보겠습니다.
y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .
그리고 다음 표현식을 원래 방정식으로 대체합니다.
v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .
왼쪽에서 두 항이 취소되는 것을 볼 수 있습니다. 어떤 예에서 이런 일이 발생하지 않았다면 뭔가 잘못한 것입니다. 계속하자:
v"*e x2/2 = x 2 .
이제 변수를 분리해야 하는 일반적인 방정식을 푼다.
dv/dx=x 2 /e x2/2 ;
dv = x 2 *e - x2/2 dx.
적분을 추출하려면 여기서 부분별 적분을 적용해야 합니다. 그러나 이것은 우리 기사의 주제가 아닙니다. 관심이 있으시면 그러한 작업을 직접 수행하는 방법을 배울 수 있습니다. 어렵지 않으며, 충분한 기술과 주의를 기울이면 시간이 많이 걸리지 않습니다.
불균일 방정식을 푸는 두 번째 방법인 베르누이의 방법을 살펴보겠습니다. 어떤 접근 방식이 더 빠르고 쉬운지는 귀하가 결정합니다.
따라서 이 방법을 사용하여 방정식을 풀 때는 y=k*n으로 대체해야 합니다. 여기서 k와 n은 일부 x 종속 함수입니다. 그러면 도함수는 다음과 같습니다: y"=k"*n+k*n". 방정식에 두 대체 항목을 모두 대입합니다.
k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .
그룹화:
k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .
이제 괄호 안의 내용을 0과 동일시해야 합니다. 이제 두 개의 결과 방정식을 결합하면 풀어야 할 1계 미분 방정식 시스템을 얻게 됩니다.
첫 번째 평등을 일반 방정식으로 해결합니다. 이렇게 하려면 변수를 분리해야 합니다.
적분을 취하여 다음을 얻습니다: ln(n)=x 2 /2. 그런 다음 n을 표현하면 다음과 같습니다.
이제 결과 동등성을 시스템의 두 번째 방정식으로 대체합니다.
k"*e x2/2 =x 2 .
그리고 변환하면 첫 번째 방법과 동일한 동등성을 얻습니다.
dk=x 2 /e x2/2 .
또한 추가 조치에 대해서도 논의하지 않을 것입니다. 처음에는 1계 미분방정식을 푸는 데 상당한 어려움이 따른다는 점은 말할 가치가 있습니다. 그러나 주제를 더 깊이 파고들수록 문제는 점점 더 나아지기 시작합니다.
미분방정식은 어디에 사용되나요?
거의 모든 기본 법칙이 미분 형식으로 작성되고 우리가 보는 공식이 이러한 방정식의 해이기 때문에 미분 방정식은 물리학에서 매우 적극적으로 사용됩니다. 화학에서는 같은 이유로 사용됩니다. 기본 법칙은 도움을 받아 파생됩니다. 생물학에서는 미분 방정식을 사용하여 포식자와 먹이 같은 시스템의 행동을 모델링합니다. 또한 미생물 군집의 재생산 모델을 만드는 데에도 사용할 수 있습니다.
미분방정식이 인생에 어떻게 도움이 될까요?
이 질문에 대한 대답은 간단합니다. 전혀 그렇지 않습니다. 당신이 과학자나 엔지니어가 아니라면, 그들은 당신에게 유용하지 않을 것입니다. 그러나 일반적인 개발의 경우 미분 방정식이 무엇인지, 어떻게 해결하는지 아는 것이 나쁠 것은 없습니다. 그러면 아들딸의 질문은 “미분방정식이란 무엇인가?”이다. 당신을 혼란스럽게하지 않을 것입니다. 글쎄요, 당신이 과학자나 엔지니어라면 모든 과학에서 이 주제의 중요성을 스스로 이해하고 있을 것입니다. 그러나 가장 중요한 것은 이제 “1계 미분방정식을 어떻게 풀 것인가?”라는 질문이다. 당신은 언제나 대답을 할 수 있습니다. 사람들이 이해하기조차 두려워하는 것을 이해하는 것은 항상 좋은 일입니다.
공부의 주요 문제
이 주제를 이해하는 데 있어 가장 큰 문제는 기능을 통합하고 차별화하는 기술이 부족하다는 것입니다. 미분과 적분을 잘 못한다면 공부하고 마스터할 가치가 있을 것입니다. 다양한 방법통합 및 차별화를 거친 후에야 기사에 설명된 자료를 연구하기 시작합니다.
어떤 사람들은 dx가 이월될 수 있다는 사실을 알고 놀랐습니다. 왜냐하면 이전에 (학교에서) 분수 dy/dx가 나눌 수 없다고 명시되었기 때문입니다. 여기에서 미분에 관한 문헌을 읽고 이것이 방정식을 풀 때 조작할 수 있는 무한량의 비율이라는 것을 이해해야 합니다.
많은 사람들은 1계 미분 방정식을 푸는 것이 종종 취할 수 없는 함수나 적분이라는 사실을 즉시 깨닫지 못하며, 이러한 오해는 그들에게 많은 어려움을 안겨줍니다.
더 나은 이해를 위해 또 무엇을 공부할 수 있습니까?
예를 들어, 비수학 전공 학생들을 위한 수학적 분석에 관한 전문 교과서를 사용하여 미분 미적분학의 세계에 더욱 몰입하기 시작하는 것이 가장 좋습니다. 그런 다음 보다 전문적인 문헌으로 넘어갈 수 있습니다.
미분 방정식 외에도 적분 방정식도 있으므로 항상 노력할 것과 공부할 것이 있다는 점은 말할 가치가 있습니다.
결론
이 기사를 읽은 후 미분 방정식이 무엇인지, 그리고 이를 올바르게 푸는 방법에 대한 아이디어를 얻으셨기를 바랍니다.
어쨌든 수학은 어떤 면에서는 우리 삶에 유용할 것입니다. 그것은 모든 사람이 손이 없는 논리와 주의력을 개발합니다.
함수 f(x,y)가 호출됩니다. 동질적 기능항등식이 참인 경우 차원 n의 인수 중 f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).
예를 들어, 함수 f(x,y)=x^2+y^2-xy는 두 번째 차원의 동차 함수입니다.
F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).
n=0이면 0차원 함수가 됩니다. 예를 들어, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)는 0차원의 동차 함수입니다. 왜냐하면
(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^ 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)
형태의 미분 방정식 \frac(dy)(dx)=f(x,y) f(x,y)가 0차원 인수의 동차 함수인 경우 x와 y에 대해 동차라고 합니다. 동차 방정식은 항상 다음과 같이 표현될 수 있습니다.
\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right).
새로운 필수 함수 u=\frac(y)(x) 를 도입하면 방정식 (1)을 분리 변수가 있는 방정식으로 줄일 수 있습니다.
X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.
u=u_0이 방정식 \varphi(u)-u=0의 근이면 동차 방정식의 해는 u=u_0 또는 y=u_0x(원점을 통과하는 직선)가 됩니다.
논평.동차 방정식을 풀 때 방정식을 (1) 형태로 줄일 필요는 없습니다. 즉시 y=ux 로 대체할 수 있습니다.
예시 1.동차방정식 풀기 xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.
해결책.방정식을 다음과 같은 형식으로 작성해 보겠습니다. y"=\sqrt(1-(\left(\frac(y)(x)\right)\^2}+\frac{y}{x} !}따라서 이 방정식은 x와 y에 대해 동질적인 것으로 나타납니다. u=\frac(y)(x) 또는 y=ux 를 입력해 보겠습니다. 그런 다음 y"=xu"+u . y와 y"에 대한 표현식을 방정식에 대입하면 다음을 얻습니다. x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). 변수를 분리합니다. \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). 여기에서 우리는 통합으로 찾습니다
\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), 또는 \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).
C_1|x|=\pm(C_1x) 이후 \pm(C_1)=C 를 표시하면 다음과 같습니다. \arcsin(u)=\ln(Cx), 어디 |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2)또는 e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). u를 \frac(y)(x)로 바꾸면 일반 적분을 얻을 수 있습니다. \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).
여기에서 공동의 결정: y=x\sin\ln(Cx) .
변수를 분리할 때 방정식의 양쪽을 x\sqrt(1-u^2) 곱으로 나누었으므로 해를 잃어 이 곱이 사라질 수 있습니다.
이제 x=0 및 \sqrt(1-u^2)=0 을 설정해 보겠습니다. 그러나 대체 u=\frac(y)(x) 로 인해 x\ne0 이고 관계 \sqrt(1-u^2)=0 에서 다음을 얻습니다. 1-\frac(y^2)(x^2)=0, 여기서 y=\pm(x) . 직접 검증을 통해 우리는 함수 y=-x 및 y=x도 이 방정식의 해임을 확신합니다.
예시 2.동차 방정식의 적분 곡선군 C_\alpha를 생각해 보세요. y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right). 이 동차미분방정식에 의해 정의된 곡선에 대응하는 점에서의 접선이 서로 평행함을 보여라.
메모:우리가 전화할게 적절한원점에서 나오는 동일한 광선에 있는 곡선 C_\alpha의 점입니다.
해결책.해당 지점의 정의에 따라 우리는 \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), 따라서 방정식 자체에 의해 y"=y"_1입니다. 여기서 y"와 y"_1은 각각 점 M과 M_1에서 적분 곡선 C_\alpha 및 C_(\alpha_1)에 대한 접선의 각도 계수입니다. (그림 12).
동차로 축소되는 방정식
ㅏ.다음 형식의 미분 방정식을 생각해 보세요.
\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\right).
여기서 a,b,c,a_1,b_1,c_1은 상수이고 f(u)는 인수 u의 연속 함수입니다.
c=c_1=0이면 방정식 (3)은 동질적이며 위에 표시된 대로 적분됩니다.
c,c_1 숫자 중 적어도 하나가 0이 아닌 경우 두 가지 경우를 구별해야 합니다.
1) 행렬식 \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. 공식 x=\xi+h,~y=\eta+k에 따라 새로운 변수 \xi 및 \eta를 도입합니다(여기서 h와 k는 아직 결정되지 않은 상수임). 방정식 (3)을 다음 형식으로 줄입니다.
\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\오른쪽).
시스템에 대한 해로 h와 k 선택 선형 방정식
\begin(케이스)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(케이스)~(\Delta\ne0),
우리는 균질 방정식을 얻습니다 \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\right). 일반 적분을 구하고 그 안에 있는 \xi를 x-h로 바꾸고 \eta를 y-k로 바꾸면 방정식 (3)의 일반 적분을 얻습니다.
2) 행렬식 \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. 일반적인 경우 시스템 (4)에는 솔루션이 없으며 위에 설명된 방법은 적용 가능하지 않습니다. 이 경우 \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, 따라서 방정식 (3)은 다음과 같은 형식을 갖습니다. \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\right). z=ax+by 치환은 분리 가능한 변수가 있는 방정식으로 이어집니다.
예시 3.방정식을 풀어보세요 (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.
해결책.선형 대수 방정식 시스템을 고려하십시오. \begin(케이스)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end(케이스)
이 시스템의 결정자 \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.
시스템에는 고유한 솔루션 x_0=-1,~y_0=3이 있습니다. x=\xi-1,~y=\eta+3 을 교체합니다. 그러면 방정식 (5)는 다음과 같은 형식을 취합니다.
(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.
이 방정식은 동차 방정식입니다. \eta=u\xi 설정하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, 어디 (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.
변수 분리 \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.
통합하면 우리는 찾을 수 있습니다 \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C)또는 \xi^2(1+2u-u^2)=C .
변수 x,~y로 돌아가 보겠습니다.
(x+1)^2\왼쪽=C_1또는 x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).
예시 4.방정식을 풀어보세요 (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.
해결책.선형 대수 방정식 시스템 \begin(건)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(건)호환되지 않습니다. 이 경우 이전 예에서 사용한 방법은 적합하지 않습니다. 방정식을 적분하기 위해 x+y=z, dy=dz-dx 치환을 사용합니다. 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.
변수를 분리하면,
Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0따라서 x-2z-3\ln|z-2|=C.
변수 x,~y로 돌아가서 이 방정식의 일반 적분을 얻습니다.
X+2y+3\ln|x+y-2|=C.
비.때로는 변수 y=z^\alpha 를 대체하여 방정식을 동질적으로 만들 수 있습니다. 이는 방정식의 모든 항이 동일한 차원일 때 발생합니다. 변수 x에 차원 1이 할당되고 변수 y - 차원 \alpha 및 도함수 \frac(dy)(dx) - 차원 \alpha-1이 할당됩니다.
실시예 5.방정식을 풀어보세요 (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.
해결책.대체하기 y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, 여기서 \alpha는 현재로서는 임의의 숫자이며 나중에 선택할 것입니다. y와 dy에 대한 표현식을 방정식에 대입하면 다음을 얻습니다.
\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0또는 \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,
x^2z^(3\alpha-1) 에는 차원이 있습니다. 2+3\알파-1=3\알파+1, z^(\alpha-1) 의 차원은 \alpha-1 이고, xz^(3\alpha) 의 차원은 1+3\alpha 입니다. 모든 항의 측정값이 동일하면 결과 방정식은 동질적입니다. 즉, 조건이 충족되면 3\알파+1=\알파-1, 또는 \alpha-1 .
y=\frac(1)(z) ; 원래 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0또는 (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.
이제 넣어보자 z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. 그러면 이 방정식은 다음과 같은 형식을 취하게 됩니다. (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, 어디 유(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.
이 방정식의 변수 분리 \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. 통합하면 우리는 찾을 수 있습니다
\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C)또는 \frac(x(u^2+1))(u)=C.
u를 \frac(1)(xy)로 대체하면 이 방정식 1+x^2y^2=Cy의 일반 적분을 얻을 수 있습니다.
방정식은 또한 적분을 다음 형식으로 작성하면 C\to\infty의 일반 적분에서 얻은 명확한 해 y=0을 갖습니다. y=\frac(1+x^2y^2)(C), 그리고 C\to\infty 의 한계로 이동합니다. 따라서 함수 y=0은 원래 방정식에 대한 특정 해입니다.
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동차 미분 방정식의 예에 대한 기성 답변많은 학생들이 1차(1차 컨트롤러가 교육에서 가장 일반적임)를 찾고 있으므로 이를 자세히 분석할 수 있습니다. 하지만 예제로 넘어가기 전에 개요를 주의 깊게 읽어 보시기 바랍니다. 이론적 자료.
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 형태의 방정식. 여기서 함수 P(x,y)와 Q(x,y)는 동일한 순서의 동종 함수입니다. 동차미분방정식(ODR).
동차 미분 방정식을 풀기 위한 계획
1. 먼저 대체 y=z*x를 적용해야 합니다. 여기서 z=z(x)는 새로운 미지 함수입니다. 따라서 원래 방정식은 분리 가능한 변수가 있는 미분 방정식으로 축소됩니다.
2. 곱의 미분은 y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z 또는 미분 dy=d(zx)=z*dx+와 같습니다. x*dz.
3. 다음으로, 새로운 함수 y와 그 파생물 y"(또는 dy)를 다음으로 대체합니다. 분리 가능한 변수가 있는 DE x와 z에 상대적입니다.
4. 분리 가능한 변수를 사용하여 미분 방정식을 푼 후 역방향으로 변경하면 y=z*x이므로 z= y/x가 되며 다음을 얻습니다. 미분방정식의 일반해(일반적분).
5. 초기 조건 y(x 0)=y 0이 주어지면 우리는 코시 문제에 대한 특정 해를 찾습니다. 이론상으로는 쉽지만 실제로 모든 사람이 미분방정식을 푸는 것을 그다지 좋아하지는 않습니다. 그러므로 우리의 지식을 심화시키기 위해 일반적인 예를 살펴보겠습니다. 쉬운 작업에 대해서는 가르쳐줄 것이 많지 않으므로 더 복잡한 작업으로 넘어가겠습니다.
1차 동차 미분방정식 계산
예시 1.
해결책: 나누기 오른쪽도함수에 가까운 요인인 변수에 대한 방정식. 그 결과 우리는 도착한다. 0차 동차 미분방정식
그리고 아마도 많은 사람들이 관심을 갖게 되었을 것입니다. 동차 방정식의 함수 차수를 결정하는 방법은 무엇입니까?
이 질문은 매우 관련성이 높으며 이에 대한 답변은 다음과 같습니다.
오른쪽에서는 함수와 인수 대신 값 t*x, t*y를 대체합니다. 단순화하면 매개변수 "t"가 어느 정도 k로 얻어지는데 이를 방정식의 차수라고 합니다. 우리의 경우 "t"는 감소할 것입니다. 이는 0승 또는 동차 방정식의 0차.
다음으로 오른쪽에서 새 변수 y=zx로 이동할 수 있습니다. z=y/x.
동시에, 새로운 변수의 도함수를 통해 “y”의 도함수를 표현하는 것을 잊지 마세요. 우리가 찾는 부분의 법칙에 의해 
미분의 방정식형태를 취할 것이다 
오른쪽과 왼쪽의 공통 용어를 취소하고 다음으로 이동합니다. 분리된 변수가 있는 미분 방정식.
DE의 양쪽을 통합합시다 
추가 변환의 편의를 위해 즉시 로그 아래에 상수를 입력합니다. 
로그의 속성을 기반으로 결과는 다음과 같습니다. 대수 방정식다음과 동일 
이 항목은 아직 해결(답변)이 아니므로 수행된 변수 교체로 돌아가야 합니다. 
이런 식으로 그들은 찾아낸다 미분방정식의 일반해. 이전 강의를 주의 깊게 읽으면 변수가 분리된 방정식을 계산하는 방식을 자유롭게 사용할 수 있어야 하며 이러한 방정식은 보다 복잡한 유형의 원격 제어에 대해 계산되어야 한다고 말했습니다.
예시 2.
미분방정식의 적분 구하기
해결책: 동종 및 결합 제어 시스템을 계산하는 방식은 이제 여러분에게 친숙합니다. 변수를 방정식의 오른쪽으로 이동하고 분자와 분모의 x 2를 공통 인수로 꺼냅니다. 
따라서 우리는 0차의 균질한 미분 방정식을 얻습니다.
다음 단계는 변수 z=y/x, y=z*x의 대체를 도입하는 것입니다. 이를 기억할 수 있도록 지속적으로 상기시켜 드리겠습니다.
그 후 우리는 차동 장치에 리모콘을 작성합니다. 
다음으로 의존성을 다음으로 변환합니다. 분리된 변수가 있는 미분 방정식
그리고 우리는 그것을 통합으로 해결합니다. 
적분은 간단하며 나머지 변환은 로그의 속성을 기반으로 수행됩니다. 마지막 단계에서는 로그를 노출하는 작업이 포함됩니다. 마지막으로 원래 교체로 돌아가서 다음 형식으로 작성합니다. 
상수 "C"는 어떤 값이든 가질 수 있습니다. 통신으로 공부하는 사람은 누구나 시험에서 이런 식의 문제를 겪게 되므로 주의 깊게 살펴보고 계산 도표를 기억해두시기 바랍니다.
예시 3.
미분방정식 풀기
해결 방법: 위의 방법론에 따라 다음과 같이 이러한 유형의 미분 방정식이 해결됩니다. 새로운 변수를 도입함으로써.도함수에 변수가 없도록 종속성을 다시 작성해 보겠습니다. 
또한 오른쪽을 분석하면 -ee 조각이 모든 곳에 존재하고 이를 새로운 미지수로 표시한다는 것을 알 수 있습니다.
z=y/x, y=z*x .
y의 도함수 구하기
교체를 고려하여 원래 DE를 다음 형식으로 다시 작성합니다. 
동일한 용어를 단순화하고 모든 결과를 DE로 줄입니다. 분리된 변수로
평등의 양면을 통합함으로써 
우리는 로그 형태의 해결책을 찾았습니다. 
우리가 찾은 종속성을 노출함으로써 미분방정식의 일반해
이는 변수의 초기 변경 사항을 대체한 후 다음 형식을 취합니다. 
여기서 C는 Cauchy 조건으로부터 추가로 결정될 수 있는 상수입니다. 코시 문제가 지정되지 않으면 임의의 실수 값을 취합니다.
이것이 동차 미분 방정식의 미적분학의 모든 지혜입니다.
1차 동차 미분 방정식을 풀려면 u=y/x 치환을 사용하십시오. 즉, u는 x에 따라 달라지는 새로운 미지 함수입니다. 따라서 y=ux입니다. 곱 미분 규칙 y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u(x'=1이므로)를 사용하여 도함수 y'를 찾습니다. 다른 형태의 표기법: dy = udx + xdu 치환 후 방정식을 단순화하고 분리 가능한 변수가 있는 방정식에 도달합니다.
1차 동차 미분 방정식을 푸는 예.
1) 방정식을 푼다
이 방정식이 동질적인지 확인합니다(동질 방정식을 결정하는 방법 참조). 일단 확신이 들면, 우리는 u=y/x를 대체하여 y=ux, y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u로 만듭니다. 대체: u'x+u=u(1+ln(ux)-lnx). 제품의 로그 이후 합계와 동일로그, ln(ux)=lnu+lnx. 여기에서
u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). 유사한 용어를 가져온 후: u'x+u=u(1+lnu). 이제 괄호를 열어보세요.
u'x+u=u+u·lnu. 양쪽 모두 u를 포함하므로 u'x=u·lnu입니다. u는 x의 함수이므로 u'=du/dx입니다. 대체하자
우리는 분리가능한 변수를 갖는 방정식을 얻었습니다. 곱 x·u·lnu≠0인 경우 두 부분에 dx를 곱하고 x·u·lnu로 나누어 변수를 분리합니다.
다음을 통합하자:
왼쪽에는 테이블 일체형이 있습니다. 오른쪽 - dt=(lnu)'du=du/u에서 t=lnu를 대체합니다.
ln│t│=ln│x│+C. 그러나 우리는 그러한 방정식에서 C 대신 ln│C│를 사용하는 것이 더 편리하다는 것을 이미 논의했습니다. 그 다음에
ln│t│=ln│x│+ln│C│. 로그의 속성에 따르면: ln│t│=ln│Сx│. 따라서 t=Cx입니다. (조건에 따라 x>0). 이제 역치환을 할 시간입니다: lnu=Cx. 그리고 또 하나의 역 교체:
로그의 속성에 따라:
이것은 방정식의 일반 적분입니다.
우리는 곱 x·u·lnu≠0(따라서 x≠0,u≠0, lnu≠0, wherece u≠1)의 조건을 기억합니다. 그러나 조건에서 x≠0이면 u≠1이 유지되므로 x≠y입니다. 분명히 일반해에는 y=x (x>0)가 포함됩니다.
2) 초기 조건 y(1)=2를 만족하는 방정식 y'=x/y+y/x의 부분적분을 구합니다.
먼저, 이 방정식이 동질적인지 확인합니다(비록 y/x 및 x/y라는 용어가 이미 간접적으로 이를 나타냄에도 불구하고). 그런 다음 u=y/x를 대체하여 y=ux, y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u로 만듭니다. 결과 표현식을 방정식으로 대체합니다.
u'x+u=1/u+u. 단순화하자:
u'x=1/u. u는 x의 함수이므로 u'=du/dx:
우리는 분리가능한 변수를 갖는 방정식을 얻었습니다. 변수를 분리하기 위해 양쪽에 dx와 u를 곱하고 x로 나눕니다(조건에 따라 x≠0이므로 u≠0도 있으므로 해의 손실이 없음을 의미).
다음을 통합하자:
그리고 양측이 표 적분을 포함하기 때문에 우리는 즉시 다음을 얻습니다.
역 교체를 수행합니다.
이것은 방정식의 일반 적분입니다. 초기 조건 y(1)=2를 사용합니다. 즉, 결과 솔루션에 y=2, x=1을 대체합니다.
3) 균질 방정식의 일반 적분을 구합니다.
(x²-y²)dy-2xydx=0.
u=y/x, y=ux, dy=xdu+udx로 대체됩니다. 다음과 같이 바꾸자:
(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. 괄호에서 x²를 꺼내서 두 부분을 이것으로 나눕니다(x≠0 제공).
x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0
(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. 괄호를 열고 단순화합니다.
xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,
xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. du 및 dx를 사용하여 용어를 그룹화합니다.
(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. 괄호에서 공통 요소를 제거해 보겠습니다.
x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. 변수를 분리합니다.
x(1-u²)du=u(u²+1)dx. 이를 위해 방정식의 양쪽을 xu(u²+1)≠0으로 나눕니다(따라서 요구 사항 x≠0(이미 언급됨), u≠0을 추가합니다).
다음을 통합하자:
방정식의 오른쪽에는 표 형식의 적분이 있고 왼쪽의 유리 분수를 단순 인수로 분해합니다.
(또는 두 번째 적분에서는 미분 기호를 대체하는 대신 t=1+u², dt=2udu로 대체하는 것이 가능했습니다. 누구든지 어떤 방법이 더 나은지). 우리는 다음을 얻습니다:
로그의 속성에 따르면:
역교체
우리는 u≠0이라는 조건을 기억합니다. 따라서 y≠0입니다. C=0 y=0이면 해의 손실이 없다는 뜻이고, 일반적분에는 y=0이 포함됩니다.
논평
왼쪽에 x가 있는 용어를 남겨두면 다른 형식으로 작성된 솔루션을 얻을 수 있습니다.
이 경우 적분 곡선의 기하학적 의미는 Oy 축에 중심이 있고 원점을 통과하는 원군입니다.
자체 테스트 작업:
1) (x²+y²)dx-xydy=0
1) 방정식이 동차인지 확인한 후 u=y/x를 대체합니다(y=ux, dy=xdu+udx). 조건으로 대체: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. 방정식의 양변을 x²≠0으로 나누면 (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0이 됩니다. 따라서 dx+u²dx-xudu-u²dx=0입니다. 단순화하면 dx-xudu=0이 됩니다. 따라서 xudu=dx, udu=dx/x입니다. 두 부분을 통합해 보겠습니다.
동종의
이번 강의에서는 소위 말하는 1차 동차 미분 방정식. 와 함께 분리 가능한 방정식그리고 선형 불균일 방정식이러한 유형의 리모콘은 거의 모든 곳에서 발견됩니다. 테스트 작업디퓨저 주제에 검색 엔진을 통해 페이지를 방문했거나 미분 방정식을 이해하는 데 자신이 없다면 먼저 해당 주제에 대한 입문 강의를 진행하는 것이 좋습니다. 1차 미분방정식. 사실 동종 방정식을 푸는 데 사용되는 많은 원리와 기술은 분리 가능한 변수를 사용하는 가장 간단한 방정식의 경우와 정확히 동일합니다.
균질 미분 방정식과 다른 유형의 미분 방정식의 차이점은 무엇입니까? 이를 즉시 설명하는 가장 쉬운 방법은 구체적인 예를 사용하는 것입니다.
실시예 1
해결책:
무엇 첫째로결정할 때 분석해야합니다 어느미분 방정식 첫 주문? 우선, '학교' 액션을 이용하여 변수를 즉시 분리하는 것이 가능한지 확인이 필요하다. 일반적으로 이 분석은 정신적으로 수행되거나 초안에서 변수를 분리하려고 시도하여 수행됩니다.
이 예에서는 변수는 분리될 수 없다(부분에서 부분으로 용어를 던지거나 대괄호에서 요소를 올리는 등의 작업을 시도할 수 있습니다.) 그런데 이 예에서는 승수가 존재하기 때문에 변수를 나눌 수 없다는 사실이 매우 분명합니다.
질문이 생깁니다: 이 확산 문제를 어떻게 해결합니까?
확인이 필요하며 이 방정식은 동질적이지 않나요?? 검증은 간단하며 검증 알고리즘 자체는 다음과 같이 공식화할 수 있습니다.
원래 방정식으로:
대신에우리는 대체, 대신에우리는 대체, 우리는 미분을 건드리지 않습니다:
문자 람다는 조건부 매개변수이며 여기서는 다음과 같은 역할을 합니다. 변환의 결과로 모든 람다를 "파괴"하고 원래 방정식을 얻을 수 있는 경우 이 미분 방정식 균질하다.
람다가 지수만큼 즉시 감소한다는 것은 명백합니다. 
이제 오른쪽에서 대괄호에서 람다를 꺼냅니다. 
두 부분을 동일한 람다로 나눕니다.
결과적으로 모두람다는 꿈처럼, 아침 안개처럼 사라졌고, 우리는 원래의 방정식을 얻었습니다.
결론:이 방정식은 동질적이다
동차 미분 방정식을 푸는 방법은 무엇입니까?
아주 좋은 소식이 있어요. 단일(!) 표준 대체를 사용하여 모든 동차 방정식을 풀 수 있습니다.
"게임" 기능은 다음과 같아야 합니다. 바꾸다 일하다일부 기능 (또한 "x"에 따라 다름)그리고 "x":
그들은 거의 항상 간략하게 다음과 같이 씁니다.
우리는 그러한 교체로 인해 파생 상품이 어떻게 변할지 알아내고 제품 차별화 규칙을 사용합니다. 그렇다면:
우리는 원래 방정식으로 대체합니다.
그러한 대체품은 무엇을 제공합니까? 이러한 교체 및 단순화 후에 우리는 보장분리 가능한 변수를 사용하여 방정식을 얻습니다. 기억하다첫사랑처럼 :) 그리고 그에 따라 .
대체 후 최대 단순화를 수행합니다. 
는 "x"에 의존하는 함수이므로, 그 도함수는 표준 분수로 쓸 수 있습니다: .
따라서:
변수를 분리합니다. 왼쪽에서는 "te"만 수집하고 오른쪽에서는 "x"만 수집해야 합니다.
변수가 분리되어 있으므로 통합해 보겠습니다. 
내 첫 번째에 따르면 기술적인 조언기사에서 1차 미분방정식대부분의 경우 상수를 로그 형식으로 "공식화"하는 것이 좋습니다.
방정식을 적분한 후 다음을 수행해야 합니다. 역 교체, 이는 또한 표준적이고 고유합니다.
그렇다면
안에 이 경우:
20개 중 18~19개 사례에서 동차 방정식의 해는 일반 적분으로 작성됩니다..
답변:일반 적분: 
동차 방정식에 대한 답이 거의 항상 일반 적분의 형태로 제공되는 이유는 무엇입니까?
대부분의 경우 "게임"을 명시적으로 표현하는 것은 (일반적인 솔루션을 얻기 위해) 불가능하며, 가능하다면 일반적인 솔루션은 대부분 번거롭고 서투른 것으로 판명됩니다.
따라서 예를 들어 고려된 예에서 일반 적분의 양쪽에 로그를 가중하여 일반 솔루션을 얻을 수 있습니다. 
- 뭐, 괜찮아요. 하지만 인정해야 하지만 여전히 약간 비뚤어져 있습니다.
그건 그렇고, 이 예에서 나는 일반 적분을 아주 "괜찮게" 적어 두지 않았습니다. 실수가 아니예요, 그러나 "좋은" 스타일에서는 일반 적분이 일반적으로 형식으로 작성된다는 점을 상기시켜 드립니다. 이렇게 하려면 방정식을 적분한 직후에 로그 없이 상수를 써야 합니다. (여기에는 규칙의 예외가 있습니다!):
그리고 역대입 후에 "고전적인" 형식의 일반 적분을 얻습니다. 
접수된 답변을 확인할 수 있습니다. 이렇게 하려면 일반 적분을 미분해야 합니다. 즉, 다음을 찾아야 합니다. 암시적으로 지정된 함수의 파생물:
방정식의 각 변에 다음을 곱하여 분수를 제거합니다. 
원래의 미분방정식이 얻어졌는데, 이는 해가 올바르게 발견되었음을 의미합니다.
항상 확인하는 것이 좋습니다. 그러나 균질 방정식은 일반적으로 일반 적분을 확인하기 어렵다는 점에서 불쾌합니다. 이를 위해서는 매우 적절한 미분 기술이 필요합니다. 고려된 예에서는 검증 중에 가장 단순한 파생 상품을 찾는 것이 이미 필요했습니다(예제 자체는 매우 간단하지만). 확인할 수 있다면 확인해보세요!
실시예 2
방정식의 균질성을 확인하고 일반 적분을 구합니다. 
양식에 답변을 작성하세요
이는 다음에 대한 예입니다. 독립적인 결정– 행동 알고리즘 자체에 익숙해지도록 합니다. 여유 시간에 검사를 수행할 수 있습니다. 왜냐하면... 여기는 꽤 복잡해서 굳이 제시하지도 않았습니다. 그렇지 않으면 그런 미치광이에게 다시 오지 않을 것입니다 :)
그리고 이제 약속한 사람 중요한 점, 주제의 시작 부분에서 언급한
굵은 검정색 글자로 강조하겠습니다.
변환 중에 승수를 "재설정"하는 경우 (상수는 아님)분모에 넣으면 솔루션을 잃을 위험이 있습니다!
사실 우리는 첫 번째 예에서 이 문제를 겪었습니다. 미분 방정식에 대한 입문 수업. 방정식을 푸는 과정에서 "y"가 분모에 있는 것으로 밝혀졌습니다. 그러나 분명히 DE에 대한 해이며 불평등한 변환(나눗셈)의 결과로 이를 잃을 가능성이 있습니다! 또 다른 점은 상수 값이 0인 일반 솔루션에 포함되었다는 것입니다. 분모의 "X" 재설정도 무시할 수 있습니다. 원래 디퓨저를 만족하지 않습니다.
같은 수업의 세 번째 방정식을 사용하는 유사한 이야기로, 해결하는 동안 우리는 분모에 "떨어졌습니다". 엄밀히 말하면 여기서 이 디퓨저가 해결책인지 확인이 필요했던 걸까요? 결국 그렇습니다! 하지만 여기에서도 이 기능이 일반 적분에 포함되었기 때문에 "모든 것이 잘 되었습니다". 
에 .
그리고 이것이 "분리 가능한" 방정식에서 자주 작동하는 경우 동종 및 일부 다른 디퓨저에서는 작동하지 않을 수 있습니다. 확실히.
이 단원에서 이미 해결된 문제를 분석해 보겠습니다. 실시예 1 X의 "재설정"이 있었지만 방정식의 해결책이 될 수는 없습니다. 하지만 실시예 2우리는 나누어 
, 그러나 그는 또한 "그것을 무사히 처리했습니다": , 솔루션은 손실될 수 없었으며 단순히 여기에 없습니다. 하지만 물론 저는 의도적으로 "행복한 기회"를 만들었고 실제로 다음과 같은 상황이 발생한다는 것은 사실이 아닙니다.
실시예 3
미분방정식 풀기 
간단한 예가 아닌가요? ;-)
해결책:이 방정식의 동질성은 명백하지만 여전히 - 첫 번째 단계에서우리는 변수를 분리하는 것이 가능한지 항상 확인합니다. 방정식도 동질적이지만 그 안의 변수는 쉽게 분리됩니다. 예, 일부 있습니다!
"분리 가능성"을 확인한 후 방정식을 교체하고 최대한 단순화합니다. 
변수를 분리하고 왼쪽에 "te"를, 오른쪽에 "x"를 수집합니다. 
그리고 여기서 멈춰요. 나누면 두 가지 기능이 동시에 손실될 위험이 있습니다. 이후 기능은 다음과 같습니다. 
첫 번째 함수는 분명히 방정식의 해입니다. . 우리는 두 번째 것을 확인합니다. 또한 그 파생물을 디퓨저로 대체합니다. 
– 올바른 동등성이 얻어집니다. 이는 함수가 해라는 것을 의미합니다.
그리고 우리는 이러한 결정을 잃을 위험이 있습니다.
게다가 분모는 "X"로 밝혀졌고, 그러나 교체는 0이 아님을 의미합니다. 이 사실을 기억하십시오. 하지만! 꼭 확인하세요는 ORIGINAL 미분 방정식의 해입니다. 전혀 아니다.
이 모든 것을 기록하고 계속합시다. 
나는 운이 좋게도 좌변의 적분을 얻었다고 말해야 하는데, 그것은 훨씬 더 나쁠 수 있습니다.
오른쪽에 단일 로그를 수집하고 족쇄를 버립니다. 
이제 역 교체만 하면 됩니다.
모든 항에 다음을 곱해 보겠습니다.
이제 확인해야합니다 - "위험한" 솔루션이 일반 적분에 포함되었는지 여부. 예, 두 솔루션 모두 상수 값이 0인 일반 적분에 포함되었으므로 추가로 표시할 필요가 없습니다. 답변:
일반 적분:
시험. 테스트도 아니고 순수한 즐거움 :) 
원래의 미분방정식이 얻어졌는데, 이는 해가 올바르게 발견되었음을 의미합니다.
스스로 해결하려면:
실시예 4
동질성 테스트 수행 및 미분방정식 풀기 
미분을 통해 일반적분을 확인합니다.
완벽한 솔루션그리고 수업이 끝나면 답변이 나옵니다.
미리 만들어진 미분을 사용하여 동차 방정식이 제공되는 경우 몇 가지 예를 고려해 보겠습니다.
실시예 5
미분방정식 풀기
이것은 매우 흥미로운 예, 그냥 전체 스릴러입니다!
해결책우리는 그것을 좀 더 컴팩트하게 디자인하는 데 익숙해질 것입니다. 먼저 정신적으로나 초안에서 변수가 분리될 수 없는지 확인한 후 동질성 테스트를 수행합니다. 이는 일반적으로 최종 초안에서는 수행되지 않습니다. (특별히 요구되지 않는 한). 따라서 솔루션은 거의 항상 다음 항목으로 시작됩니다. 이 방정식은 동질적입니다. 교체해 보겠습니다.».
동차 방정식에 이미 만들어진 미분이 포함되어 있으면 수정된 대체를 통해 풀 수 있습니다.
그러나 나는 그러한 대체물을 사용하는 것을 권장하지 않습니다. 왜냐하면 그것은 눈과 눈이 필요한 중국 미분의 만리장성이 될 것이기 때문입니다. 와 함께 기술적 포인트시각적 관점에서 미분의 "점선" 지정으로 전환하는 것이 더 유리합니다. 이를 위해 방정식의 모든 항을 다음과 같이 나눕니다. 
그리고 여기서 우리는 이미 "위험한" 변화를 겪었습니다!제로 미분은 축에 평행한 직선군에 해당합니다. 그들이 우리 DU의 뿌리인가요? 원래 방정식으로 대체해 보겠습니다. 
이 평등은 즉, 나누어서 해를 잃을 위험이 있는 경우에 유효합니다. 그리고 우리는 그를 잃었어요- 그 이후로 더 이상 만족하지 않는다결과 방정식 
.
주목해야 할 점은 만약 우리가 처음에는방정식이 주어졌다 , 그러면 루트에 대한 이야기가 없을 것입니다. 하지만 우리는 그것을 갖고 있고 제때에 잡았습니다.
우리는 표준 교체로 솔루션을 계속합니다.
:
대체 후에는 방정식을 최대한 단순화합니다. 
변수를 분리합니다.
그리고 여기서도 다시 중지합니다. 나누면 두 가지 기능을 잃을 위험이 있습니다. 이후 기능은 다음과 같습니다. 
분명히, 첫 번째 함수는 방정식의 해입니다. . 두 번째 것을 확인합니다. 파생물도 대체합니다. 
- 받았다 진정한 평등, 이는 함수가 미분 방정식의 해이기도 함을 의미합니다.
그리고 나누면 이러한 솔루션을 잃을 위험이 있습니다. 그러나 일반 적분에는 들어갈 수 있습니다. 하지만 들어갈 수는 없지
이를 기록하고 두 부분을 통합해 보겠습니다. 
좌변의 적분은 다음을 사용하여 표준 방식으로 해결됩니다. 완전한 정사각형 강조 표시, 하지만 디퓨저에 사용하는 것이 훨씬 더 편리합니다. 불확실한 계수 방법:
무한 계수 방법을 사용하여 다음을 확장합니다. 피적분 함수기본 분수의 합: 
따라서: 
적분 찾기: 
– 로그만 그렸으므로 상수도 로그 아래로 밀어 넣습니다.
교체하기 전에 다시 단순화할 수 있는 모든 것을 단순화합니다.:
체인 재설정:
그리고 역 교체는 다음과 같습니다.
이제 "잃어버린 것들"에 대해 기억해 봅시다. 솔루션은 의 일반 적분에 포함되었지만 "금전 등록기를 지나쳐 버렸습니다". 분모로 밝혀졌습니다. 따라서 답변에는 별도의 문구가 수여되며 예-그런데 아래에 있는 것으로 밝혀진 잃어버린 솔루션을 잊지 마십시오.
답변:일반 적분: 
. 더 많은 솔루션:
여기서 일반적인 해결책을 표현하는 것은 그리 어렵지 않습니다.
, 그러나 이것은 이미 과시입니다.
그러나 확인하는 데는 편리합니다. 파생 상품을 찾아 보겠습니다.
그리고 대체 
방정식의 왼쪽에:
– 그 결과, 방정식의 우변이 얻어졌는데, 이것이 바로 확인이 필요한 내용이었습니다.
다음 디퓨저는 자체적으로 사용됩니다.
실시예 6
미분방정식 풀기 
강의가 끝나면 전체 솔루션과 답변이 제공됩니다. 연습을 위해 동시에 여기에 일반적인 해결책을 표현해 보세요.
수업의 마지막 부분에서는 주제에 대한 몇 가지 일반적인 작업을 더 고려할 것입니다.
실시예 7
미분방정식 풀기 
해결책:구타당한 길을 따라 가자. 이 방정식은 동질적이므로 교체해 보겠습니다. 
여기서 "X"는 괜찮습니다. 하지만 이차 삼항식은 어떻습니까? 요인으로 분해할 수 없으므로 솔루션을 잃지 않습니다. 항상 이랬을 거예요! 왼쪽에서 완전한 정사각형을 선택하고 적분합니다.
여기서는 단순화할 것이 없으므로 역 교체를 수행합니다. 
답변:일반 적분: 
실시예 8
미분방정식 풀기 
이것은 스스로 해결하는 예입니다.
그래서:
동일하지 않은 전환의 경우 항상 확인하세요. (적어도 말로는), 솔루션을 잃어버리고 있나요?이러한 변화는 무엇입니까? 일반적으로 무언가를 단축하거나 분할합니다. 그래서 예를 들어 나눗셈을 할 때 그 함수가 미분방정식의 해인지 확인해야 합니다. 동시에, 나눌 때 이 제수가 0이 되지 않기 때문에 더 이상 그러한 확인이 필요하지 않습니다.
또 다른 위험한 상황은 다음과 같습니다.
여기서 를 없애고, DE가 해결책인지 확인해야 합니다. 종종 "x"와 "y"는 이러한 승수로 사용되며 이를 줄임으로써 솔루션이 될 수 있는 함수를 잃게 됩니다.
반면에, 무언가가 처음에 분모에 있다면 그러한 걱정을 할 이유가 없습니다. 따라서 동차 방정식에서는 함수가 분모에 "선언"되어 있으므로 걱정할 필요가 없습니다.
문제가 특정 솔루션만 찾는 데 필요한 경우에도 나열된 미묘함은 관련성을 잃지 않습니다. 비록 작지만 필요한 특정 솔루션을 정확하게 잃어버릴 가능성이 있습니다. 사실인가요? 코시 문제동차방정식을 사용하는 실제 작업에서는 이 질문이 거의 사용되지 않습니다. 그러나 기사에는 그러한 예가 있습니다. 동차로 축소되는 방정식, 문제 해결 능력을 강화하기 위해 "급하게" 공부하는 것이 좋습니다.
더 복잡한 동차 방정식도 있습니다. 어려움은 변수 변경이나 단순화에 있는 것이 아니라 변수 분리의 결과로 발생하는 다소 어렵거나 드문 적분에 있습니다. 나는 그러한 균질 방정식에 대한 해법의 예를 가지고 있습니다. 무서운 적분과 무서운 답입니다. 하지만 우리는 그들에 대해 이야기하지 않을 것입니다. 왜냐하면 다음 수업에서는 (아래 참조)아직 고문 할 시간이 있고, 신선하고 낙천적 인 모습을보고 싶습니다!
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솔루션 및 답변:
예 2: 해결책:원래 방정식에서 이 목적을 위해 동질성 방정식을 확인해 보겠습니다. 대신에로 대체하자, 그리고 대신에대체하자: 
결과적으로 원래 방정식이 얻어지며 이는 이 DE가 균질하다는 것을 의미합니다.
