좌표법을 사용하여 문제 C2를 풀 때 많은 학생들이 동일한 문제에 직면합니다. 그들은 계산을 못해요 점의 좌표수식에 포함 내적. 가장 큰 어려움이 발생합니다 피라미드. 그리고 기본 지점이 다소 정상적인 것으로 간주되면 상단은 진짜 지옥입니다.

오늘 우리는 정사각형 피라미드에 대해 작업할 것입니다. 삼각형 피라미드(일명 -)도 있습니다. 사면체). 그것은 더 많은 것입니다 복잡한 디자인, 따라서 이에 대해서는 별도의 강의가 제공됩니다.

먼저 정의를 기억해 봅시다:

일반 피라미드는 다음과 같습니다.

밑면은 삼각형, 정사각형 등 정다각형입니다.

베이스에 그려진 고도는 베이스 중심을 통과합니다.

특히 사각형 피라미드의 밑면은 다음과 같습니다. 정사각형. Cheops와 마찬가지로 조금 더 작습니다.

다음은 모든 모서리가 1인 피라미드에 대한 계산입니다. 문제가 그렇지 않은 경우 계산은 변경되지 않습니다. 숫자만 달라집니다.

사각뿔의 꼭지점

그러니 올바른 것을 주도록 하세요. 사각뿔 SABCD, 여기서 S는 꼭지점이고 밑변 ABCD는 정사각형입니다. 모든 모서리는 1과 같습니다. 좌표계를 입력하고 모든 점의 좌표를 찾아야 합니다. 우리는:

점 A를 원점으로 하는 좌표계를 소개합니다.

OX 축은 모서리 AB와 평행하게 향합니다.
OY 축은 AD와 평행합니다. ABCD는 정사각형이므로 AB ⊥ AD;
마지막으로 OZ 축을 ABCD 평면에 수직인 위쪽으로 향하게 합니다.

이제 좌표를 계산해 보겠습니다. 추가 구성: SH - 베이스까지 그려진 높이입니다. 편의상 피라미드의 밑면을 별도의 도면에 배치하겠습니다. 점 A, B, C 및 D가 OXY 평면에 있으므로 좌표는 z = 0입니다.

A = (0; 0; 0) - 원점과 일치합니다.
B = (1; 0; 0) - 원점에서 OX 축을 따라 1씩 이동합니다.
C = (1; 1; 0) - OX 축을 따라 1씩, OY 축을 따라 1씩 단계적으로 이동합니다.
D = (0; 1; 0) - OY 축을 따라서만 이동합니다.
H = (0.5; 0.5; 0) - 사각형의 중심, 세그먼트 AC의 중심.

이제 점 S의 좌표를 찾는 일만 남았습니다. 점 S와 H의 x와 y 좌표는 OZ 축과 평행한 선에 있기 때문에 동일합니다. 이제 점 S의 z 좌표를 찾는 일이 남았습니다.

삼각형 ASH와 ABH를 고려해보세요:

AS = AB = 조건에 따라 1;
각도 AHS = AHB = 90°, SH는 높이이고 AH ⊥ HB는 정사각형의 대각선이므로;
AH측이 일반적입니다.

따라서 직각삼각형 ASH와 ABH는 동일한다리 하나와 빗변 하나. 이는 SH = BH = 0.5BD를 의미합니다. 그러나 BD는 변이 1인 정사각형의 대각선입니다. 그러므로 우리는 다음을 얻습니다:

점 S의 총 좌표:

결론적으로 우리는 일반 직사각형 피라미드의 모든 꼭지점의 좌표를 기록합니다.

갈비뼈가 다를 때해야 할 일

피라미드의 측면 모서리가 밑면의 모서리와 같지 않으면 어떻게 되나요? 이 경우 삼각형 AHS를 고려하십시오.

트라이앵글 AHS - 직사각형, 빗변 AS는 원래 피라미드 SABCD의 측면 모서리이기도 합니다. Leg AH는 쉽게 계산됩니다: AH = 0.5 AC. 남은 다리 SH를 찾아보겠습니다. 피타고라스의 정리에 따르면. 이는 점 S의 z 좌표가 됩니다.

일. 정사각형 피라미드 SABCD가 주어지면 밑면에 변이 1인 정사각형이 있습니다. 변 가장자리 BS = 3. 점 S의 좌표를 찾습니다.

우리는 이미 이 점의 x 및 y 좌표를 알고 있습니다: x = y = 0.5. 이는 두 가지 사실에서 비롯됩니다.

OXY 평면에 점 S를 투영하면 점 H가 됩니다.
동시에 점 H는 모든 변이 1인 정사각형 ABCD의 중심입니다.

이제 점 S의 좌표를 찾는 일만 남았습니다. 삼각형 AHS를 고려해보세요. 빗변 AS = BS = 3인 직사각형이고 다리 AH가 대각선의 절반입니다. 추가 계산을 위해서는 길이가 필요합니다.

삼각형 AHS에 대한 피타고라스 정리: AH 2 + SH 2 = AS 2. 우리는:

따라서 점 S의 좌표는 다음과 같습니다.

첫 번째 수준

피라미드. 비주얼 가이드 (2019)

피라미드란 무엇입니까?

그녀는 어떻게 보입니까?

보시다시피: 피라미드의 맨 아래에(그들은 “ 기지에서") 일부 다각형, 그리고 이 다각형의 모든 꼭지점은 공간의 어떤 지점에 연결됩니다(이 지점을 " 꼭지점»).

이 전체 구조는 여전히 옆면 , 옆갈비뼈그리고 베이스 리브. 다시 한번, 이 모든 이름과 함께 피라미드를 그려 봅시다:

일부 피라미드는 매우 이상하게 보일 수 있지만 여전히 피라미드입니다.

예를 들어 여기는 완전히 "경사"입니다. 피라미드.

그리고 이름에 대해 조금 더 설명합니다. 피라미드 밑면에 삼각형이 있으면 피라미드를 삼각형이라고 부르고, 사각형이면 사각형, 센타각형이면... 스스로 추측해 보세요. .

동시에 떨어진 지점도 키, 라고 불리는 높이 베이스. "비뚤어진" 피라미드에서는 키피라미드 밖으로 끝날 수도 있습니다. 이와 같이:

그리고 거기에는 아무런 문제가 없습니다. 둔각삼각형처럼 보입니다.

올바른 피라미드.

많은 복잡한 단어? 해독해 봅시다: "기본에서 - 정확합니다" - 이것은 이해할 수 있습니다. 이제 정다각형에는 중심, 즉 과 , 의 중심인 점이 있다는 것을 기억해 봅시다.

그런데 "상판이 밑면의 중앙에 돌출되어 있다"는 말은 높이의 밑면이 정확히 밑면의 중심에 들어간다는 뜻입니다. 보세요 얼마나 부드럽고 귀엽게 생겼나요? 일반 피라미드 .

육각형: 밑면에는 정육각형이 있고 꼭지점은 밑면의 중심으로 투영됩니다.

사각형: 밑면은 정사각형이고 상단은 이 정사각형의 대각선 교차점에 투영됩니다.

삼각형: 밑면에는 정삼각형이 있고 꼭지점은 이 삼각형의 높이(중앙값과 이등분선이기도 함)의 교차점으로 투영됩니다.

매우 일반 피라미드의 중요한 특성:

오른쪽 피라미드에서

모든 측면 가장자리가 동일합니다.
모든 측면은 이등변삼각형이고 이 삼각형은 모두 같습니다.

피라미드의 부피

피라미드 부피의 주요 공식은 다음과 같습니다.

정확히 어디에서 왔습니까? 이것은 그렇게 간단하지 않으며 처음에는 공식에서 피라미드와 원뿔에는 부피가 있지만 원통에는 부피가 없다는 것을 기억하면 됩니다.

이제 가장 인기 있는 피라미드의 부피를 계산해 보겠습니다.

밑면의 측면을 동일하게 하고 측면 가장자리를 동일하게 만듭니다. 우리는 찾아야합니다.

이것은 정삼각형의 면적입니다.

이 지역을 찾는 방법을 기억합시다. 우리는 면적 공식을 사용합니다.

우리에겐 “ ”은 이것이고, “ ”도 이것도, eh.

이제 찾아보자.

피타고라스의 정리에 따르면

차이점이 뭐야? 이것이 둘레 반경입니다. 왜냐하면 피라미드옳은그러므로 중심입니다.

이후 - 중앙값의 교차점도 마찬가지입니다.

(피타고라스의 정리)

이를 공식에 대입해 보겠습니다.

그리고 모든 것을 부피 공식으로 대체해 보겠습니다.

주목:정사면체(예:)가 있는 경우 공식은 다음과 같습니다.

밑면의 측면을 동일하게 하고 측면 가장자리를 동일하게 만듭니다.

여기서는 볼 필요가 없습니다. 결국 밑면은 정사각형이므로.

우리는 그것을 찾을 것입니다. 피타고라스의 정리에 따르면

우리는 알고 있나요? 거의. 바라보다:

(우리는 이것을 보면서 이것을 보았습니다).

다음 공식으로 대체하십시오.

이제 우리는 부피 공식에 and 를 대입합니다.

베이스의 측면과 측면 가장자리를 동일하게 만듭니다.

찾는 방법? 보세요, 육각형은 정확히 6개의 동일한 정삼각형으로 구성되어 있습니다. 정삼각뿔의 부피를 계산할 때 이미 정삼각형의 면적을 찾았는데, 여기서는 찾은 공식을 사용합니다.

이제 (그것을) 찾아보자.

피타고라스의 정리에 따르면

하지만 그게 무슨 상관인가요? 그것은 (그리고 다른 모든 사람들도) 정확하기 때문에 간단합니다.

다음과 같이 바꾸자:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

피라미드. 주요 사항에 대해 간략하게

피라미드는 평평한 다각형(), 밑면 평면에 있지 않은 점(피라미드의 상단) 및 피라미드 상단과 밑면의 점(측면 모서리)을 연결하는 모든 세그먼트로 구성된 다면체입니다.

피라미드 꼭대기에서 밑면까지 떨어진 수직선입니다.

올바른 피라미드- 밑면에 정다각형이 놓여 있고, 피라미드의 꼭대기가 밑면의 중심에 투영되어 있는 피라미드.

일반 피라미드의 특성:

일반 피라미드에서는 모든 측면 모서리가 동일합니다.
모든 측면은 이등변삼각형이고 이 삼각형은 모두 동일합니다.

여기에서는 피라미드와 관련 공식 및 개념에 대한 기본 정보를 찾을 수 있습니다. 이들 모두는 통합 상태 시험을 준비하기 위해 수학 교사와 함께 공부합니다.

평면, 다각형을 생각해 보세요. , 그 안에 누워 있고 그 안에 누워 있지 않은 점 S. S를 다각형의 모든 꼭지점에 연결해 봅시다. 결과로 나온 다면체를 피라미드라고 합니다. 세그먼트를 사이드 리브라고 합니다. 다각형을 밑면이라고 하며 점 S는 피라미드의 꼭대기입니다. 숫자 n에 따라 피라미드는 삼각형(n=3), 사각형(n=4), 오각형(n=5) 등으로 불립니다. 삼각뿔의 다른 이름은 다음과 같습니다. 사면체. 피라미드의 높이는 꼭대기에서 밑면까지 내려가는 수직선입니다.

다음과 같은 경우 피라미드를 정규라고 합니다. 정다각형이고 피라미드 고도의 밑변(수직선의 밑변)이 중심입니다.

강사의 코멘트:
"정사면체"와 "정사면체"의 개념을 혼동하지 마십시오. 정사면체에서는 측면 모서리가 밑면의 모서리와 반드시 동일할 필요는 없지만 정사면체에서는 6개의 모서리가 모두 동일합니다. 이것이 그의 정의입니다. 동등성은 다각형의 중심 P가 일치한다는 것을 의미한다는 것을 쉽게 증명할 수 있습니다. 밑면 높이가 있으므로 정사면체는 정뿔꼴입니다.

변심이란 무엇입니까?
피라미드의 가장 중요한 점은 측면의 높이입니다. 피라미드가 규칙적이라면 모든 변심은 동일합니다. 그 반대는 사실이 아닙니다.

자신의 용어에 대한 수학 교사: 피라미드 작업의 80%는 두 가지 유형의 삼각형을 통해 만들어집니다.
1) 어포헴 SK와 하이트 SP를 포함
2) 측면 가장자리 SA 및 해당 돌출부 PA 포함

이러한 삼각형에 대한 참조를 단순화하기 위해 수학 교사가 첫 번째 삼각형을 호출하는 것이 더 편리합니다. 무기력한, 그리고 두 번째 늑골. 안타깝게도 이 용어는 어떤 교과서에서도 찾아볼 수 없고, 교사가 일방적으로 소개해야 합니다.

피라미드의 부피 공식:
1) , 피라미드 밑면의 면적은 어디에 있고, 피라미드의 높이는 어디입니까?
2) , 는 내접구의 반경이고 는 피라미드의 전체 표면적입니다.
3) 여기서 MN은 교차하는 두 모서리 사이의 거리이고 나머지 네 모서리의 중간점에 의해 형성된 평행사변형의 면적입니다.

피라미드 높이의 밑면 속성:

다음 조건 중 하나가 충족되면 점 P(그림 참조)는 피라미드 밑면에 있는 내접원의 중심과 일치합니다.
1) 모든 변심은 동일하다
2) 모든 측면이 베이스에 대해 균등하게 기울어져 있습니다.
3) 모든 변심점은 피라미드의 높이와 같은 방향으로 기울어져 있습니다.
4) 피라미드의 높이는 모든 측면에 대해 균등하게 기울어져 있습니다.

수학선생님의 코멘트: 모든 점은 하나의 공통 속성으로 통합됩니다. 어떤 식 으로든 측면이 모든 곳에서 관련됩니다 (변심은 해당 요소입니다). 따라서 교사는 덜 정확하지만 학습에 더 편리한 공식을 제공할 수 있습니다. 점 P는 측면에 대한 동일한 정보가 있는 경우 피라미드의 밑면인 내접원의 중심과 일치합니다. 그것을 증명하려면 모든 변심삼각형이 동일하다는 것을 보여주는 것으로 충분합니다.

다음 세 가지 조건 중 하나가 참일 경우 점 P는 피라미드 밑면 근처에 외접하는 원의 중심과 일치합니다.
1) 모든 측면 가장자리가 동일합니다.
2) 모든 측면 리브는 베이스에 대해 균등하게 기울어져 있습니다.
3) 모든 측면 리브가 높이에 맞춰 균등하게 기울어져 있음

변심- 정점에서 그려진 정뿔의 측면 높이 (또한 변심은 정다각형의 중앙에서 측면 중 하나로 낮아진 수직선의 길이입니다)
옆면 (ASB, BSC, CSD, DSA) - 꼭지점에서 만나는 삼각형;
측면 갈비뼈 ( 처럼 , 학사 , C.S. , D.S. ) - 측면의 공통 측면;
피라미드의 꼭대기 (t. S) - 측면 리브를 연결하고 베이스 평면에 있지 않은 지점.
키 ( 그래서 ) - 피라미드의 상단을 통해 밑면까지 그려진 수직 세그먼트(이러한 세그먼트의 끝은 피라미드의 상단과 수직의 하단이 됩니다)
피라미드의 대각선 부분- 밑면의 상단과 대각선을 통과하는 피라미드 부분;
베이스 (ABCD) - 피라미드의 꼭지점에 속하지 않는 다각형.

피라미드의 속성.

1. 모든 측면 모서리의 크기가 동일한 경우:

피라미드의 밑면 근처에 원을 묘사하는 것은 쉽습니다. 그리고 피라미드의 꼭대기는 이 원의 중심으로 투영될 것입니다.
측면 리브는 베이스 평면과 동일한 각도를 형성합니다.
게다가 그 반대도 마찬가지입니다. 측면 리브가 베이스 평면과 형성될 때 동일한 각도또는 피라미드의 밑면 근처에 원이 설명될 수 있고 피라미드의 꼭대기가 이 원의 중심으로 투영될 때 피라미드의 모든 측면 모서리의 크기가 동일하다는 것을 의미합니다.

2. 측면이 동일한 값의 베이스 평면에 대한 경사각을 갖는 경우:

피라미드의 밑면 근처에 원을 묘사하는 것은 쉽습니다. 그리고 피라미드의 꼭대기는 이 원의 중심으로 투영될 것입니다.
측면의 높이는 길이가 동일합니다.
측면의 면적은 밑면 둘레와 측면 높이의 곱의 1/2과 같습니다.

3. 피라미드의 밑면에 원을 묘사할 수 있는 다각형이 있다면(필요충분조건) 피라미드 주위에 구를 묘사할 수 있습니다. 구의 중심은 수직인 피라미드 가장자리의 중간을 통과하는 평면의 교차점이 됩니다. 이 정리로부터 우리는 구가 삼각형 주위와 정뿔 주위 모두에서 설명될 수 있다는 결론을 내립니다.

4. 피라미드 내부 2면각의 이등분면이 첫 번째 점에서 교차하는 경우(필요 및 충분 조건) 구는 피라미드에 내접할 수 있습니다. 이 점이 구의 중심이 됩니다.

가장 단순한 피라미드.

피라미드의 밑면은 각도의 수에 따라 삼각형, 사각형 등으로 구분됩니다.

피라미드가 있을 것이다 삼각형의, 사각형의, 피라미드의 밑면이 삼각형, 사각형 등인 경우. 삼각뿔사면체-사면체가 있습니다. 사각형 - 오각형 등.