강도 kN/m의 분포 하중과 kN·m의 집중 모멘트(그림 3.12)가 작용하는 캔틸레버 빔의 경우 다음이 필요합니다. 전단력 및 굽힘 모멘트 다이어그램을 구성하고 원형 단면의 빔을 선택합니다. 허용 법선 응력 kN/cm2 및 허용 접선 응력 kN/cm2로 접선 응력에 따른 빔의 강도를 확인합니다. 빔 치수 m; 중; 중.
직접 가로 굽힘 문제에 대한 계산 방식
쌀. 3.12
"직선 가로 굽힘" 문제 해결
지원 반응 결정
z축 방향의 외부 하중이 보에 작용하지 않으므로 매립체의 수평 반력은 0입니다.
우리는 매립에서 발생하는 나머지 반력의 방향을 선택합니다. 예를 들어 수직 반력은 아래쪽으로, 순간은 시계 방향으로 향하게 합니다. 해당 값은 정적 방정식에 의해 결정됩니다.
이러한 방정식을 구성할 때 시계 반대 방향으로 회전할 때 모멘트가 양수인 것으로 간주하고, 방향이 y축의 양수 방향과 일치하면 힘의 투영이 양수라고 간주합니다.
첫 번째 방정식에서 인장 순간을 찾습니다.
두 번째 방정식에서 - 수직 반응:
당사에서 접수함 양수 값순간적으로 매립의 수직 반응은 우리가 그들의 방향을 추측했음을 나타냅니다.
빔의 고정 및 하중 특성에 따라 길이를 두 부분으로 나눕니다. 각 단면의 경계를 따라 4개의 단면을 개략적으로 설명합니다(그림 3.12 참조). 여기서 단면법(ROZU)을 사용하여 전단력과 굽힘 모멘트 값을 계산합니다.
섹션 1. 빔의 오른쪽 부분을 정신적으로 버리자. 나머지 왼쪽의 작용을 절단력과 굽힘 모멘트로 대체해 보겠습니다. 값 계산의 편의를 위해 폐기된 빔의 오른쪽을 종이로 덮고 시트의 왼쪽 가장자리를 고려 중인 섹션과 정렬합니다.
어떤 곳에서든 발생하는 전단력을 기억해 보자. 교차 구역, 우리가 고려하고 있는(즉, 가시적인) 빔 부분에 작용하는 모든 외부 힘(활성 및 반응)의 균형을 맞춰야 합니다. 그러므로 전단력은 우리가 보는 모든 힘의 대수적 합과 같아야 합니다.
또한 전단력에 대한 부호의 법칙을 제시해 보겠습니다. 고려 중인 빔 부분에 작용하고 이 부분을 단면에 대해 시계 방향으로 "회전"하려는 경향이 있는 외부 힘은 단면에 양의 전단력을 유발합니다. 이러한 외력은 더하기 기호가 있는 정의의 대수적 합에 포함됩니다.
우리의 경우에는 첫 번째 섹션(종이 가장자리를 기준으로)을 기준으로 우리에게 보이는 빔 부분을 시계 반대 방향으로 회전시키는 지지대의 반응만 볼 수 있습니다. 그렇기 때문에
kN.
모든 단면의 굽힘 모멘트는 해당 단면과 관련하여 우리에게 보이는 외부 힘에 의해 생성된 모멘트와 균형을 이루어야 합니다. 결과적으로, 이는 고려 중인 단면(즉, 종이 가장자리를 기준으로)을 기준으로 우리가 고려 중인 빔 부분에 작용하는 모든 힘 모멘트의 대수적 합과 같습니다. 여기서 외부 부하, 아래쪽으로 볼록한 빔의 고려 부분을 구부리면 단면에 양의 굽힘 모멘트가 발생합니다. 그리고 그러한 하중에 의해 생성된 모멘트는 "플러스" 기호로 결정하기 위한 대수적 합에 포함됩니다.
우리는 반응과 종료 순간이라는 두 가지 노력을 봅니다. 그러나 섹션 1에 대한 힘의 영향력은 0입니다. 그렇기 때문에
kNm.
반응 모멘트가 볼록한 아래쪽으로 보이는 빔 부분을 구부리기 때문에 "플러스" 기호를 사용했습니다.
섹션 2. 이전과 마찬가지로 빔의 오른쪽 전체를 종이로 덮습니다. 이제 첫 번째 섹션과 달리 힘에는 어깨(m)가 있습니다. 따라서
kN; kNm.
섹션 3. 보의 오른쪽을 닫으면 다음을 찾습니다.
kN;
섹션 4. 빔의 왼쪽을 시트로 덮습니다. 그 다음에
kNm.
kNm.
.
발견된 값을 사용하여 전단력(그림 3.12, b)과 굽힘 모멘트(그림 3.12, c)의 다이어그램을 구성합니다.
하중이 가해지지 않은 영역에서 전단력 다이어그램은 빔 축과 평행하고 분산 하중 q 하에서 위쪽으로 기울어진 직선을 따라 진행됩니다. 다이어그램의 지지 반응 아래에는 이 반응의 값, 즉 40kN만큼 점프가 있습니다.
굽힘 모멘트 다이어그램에서 지지 반응이 중단되는 것을 볼 수 있습니다. 굽힘 각도는 지지 반응 방향을 향합니다. 분산 하중 q에서 다이어그램은 볼록한 부분이 하중을 향하는 2차 포물선을 따라 변경됩니다. 다이어그램의 섹션 6에는 극한값이 있습니다. 왜냐하면 이 위치의 전단력 다이어그램이 0 값을 통과하기 때문입니다.
빔의 필요한 단면 직경을 결정합니다.
일반적인 응력 강도 조건의 형식은 다음과 같습니다.
,
굽힘 중 빔의 저항 모멘트는 어디에 있습니까? 원형 단면의 빔의 경우 다음과 같습니다.
.
굽힘 모멘트의 가장 큰 절대값은 빔의 세 번째 섹션에서 발생합니다. 
kNcm
그런 다음 필요한 빔 직경은 공식에 의해 결정됩니다.
센티미터.
우리는 mm를 받아들입니다. 그 다음에
kN/cm2 kN/cm2.
"과전압"은
,
허용되는 것.
가장 높은 전단 응력으로 빔의 강도를 확인합니다.
원형 단면의 빔 단면에서 발생하는 가장 큰 접선 응력은 다음 공식으로 계산됩니다.
,
단면적은 어디에 있습니까?
다이어그램에 따르면 전단력의 가장 큰 대수값은 다음과 같습니다. 
kN. 그 다음에
kN/cm2 kN/cm2,
즉, 접선응력에 대한 강도 조건도 만족되며 큰 여유가 있습니다.
"직선 가로 굽힘"문제 해결 사례 No.2
직선 가로 굽힘에 대한 예제 문제의 조건
강도 kN/m, 집중 힘 kN 및 집중 모멘트 kN m(그림 3.13)의 분포 하중을 받는 단순 지지 빔의 경우 전단력 및 굽힘 모멘트 다이어그램을 구성하고 I 빔 빔을 선택해야 합니다. 허용 수직 응력 kN/cm2 및 허용 접선 응력 kN/cm2를 갖는 단면. 빔 스팬 m.
직선 굽힘 문제의 예 - 계산 다이어그램
 |
쌀. 3.13
직선 굽힘에 대한 예제 문제 해결
지원 반응 결정
주어진 단순 지지 빔에 대해 세 가지 지지 반응, , 및 을 찾는 것이 필요합니다. 축에 수직인 수직 하중만 빔에 작용하므로 고정 힌지 지지대 A의 수평 반력은 0입니다.
수직 반응의 방향은 임의로 선택됩니다. 예를 들어 두 수직 반응을 모두 위쪽으로 향하게 합시다. 해당 값을 계산하기 위해 두 가지 정적 방정식을 만들어 보겠습니다.
길이 l의 단면에 균일하게 분포된 선형 하중의 결과는 , 즉 이 하중 다이어그램의 면적과 같으며 이 하중의 무게 중심에 적용됩니다. 다이어그램, 즉 길이의 중간에 있습니다.
;
kN.
점검 해보자: .
방향이 y축의 양의 방향과 일치하는 힘은 더하기 기호와 함께 이 축에 투영(투영)된다는 점을 기억하세요.
그것은 사실이다.
전단력과 굽힘 모멘트의 다이어그램을 구성합니다.
빔의 길이를 별도의 섹션으로 나눕니다. 이들 단면의 경계는 집중된 힘(유동 및/또는 반력)의 적용 지점이자 분산 하중의 시작과 끝에 해당하는 지점입니다. 우리 문제에는 세 가지 섹션이 있습니다. 이 섹션의 경계를 따라 6개의 단면을 설명하고 전단력과 굽힘 모멘트 값을 계산합니다(그림 3.13, a).
섹션 1. 빔의 오른쪽 부분을 정신적으로 버리자. 이 섹션에서 발생하는 전단력과 굽힘 모멘트를 계산하기 쉽도록 종이로 버린 빔 부분을 덮고 종이의 왼쪽 가장자리를 섹션 자체와 정렬합니다.
보 단면의 전단력은 모든 대수적 합과 같습니다. 외력(활성 및 반응) 우리가 보는 것. 안에 이 경우우리는 지지대와 극소 길이에 걸쳐 분포된 선형 하중 q의 반응을 봅니다. 결과적인 선형 하중은 0입니다. 그렇기 때문에
kN.
플러스 기호는 힘이 첫 번째 섹션(종이 가장자리)을 기준으로 우리에게 보이는 빔 부분을 시계 방향으로 회전시키기 때문에 사용됩니다.
빔 단면의 굽힘 모멘트는 고려 중인 단면(즉, 종이 가장자리를 기준으로)을 기준으로 볼 수 있는 모든 힘 모멘트의 대수적 합과 같습니다. 우리는 지지 반응과 선형 하중 q가 극소 길이에 걸쳐 분포되어 있음을 확인합니다. 그러나 힘의 영향력은 0입니다. 결과적인 선형 하중도 0입니다. 그렇기 때문에
섹션 2. 이전과 마찬가지로 빔의 오른쪽 전체를 종이로 덮습니다. 이제 우리는 길이의 단면에 작용하는 반응과 하중 q를 봅니다. 결과적인 선형 하중은 와 같습니다. 길이 구간의 중간에 부착됩니다. 그렇기 때문에
굽힘 모멘트의 부호를 결정할 때 모든 실제 지지 고정 장치에서 보이는 빔 부분을 정신적으로 해방하고 고려 중인 섹션에 끼어 있는 것처럼 상상합니다(즉, 왼쪽 가장자리를 정신적으로 상상합니다). 단단한 매립물로서 종이 조각).
섹션 3. 오른쪽을 닫아보겠습니다. 우리는 얻는다
섹션 4. 빔의 오른쪽을 시트로 덮습니다. 그 다음에
이제 계산의 정확성을 확인하기 위해 보의 왼쪽을 종이로 덮어 보겠습니다. 우리는 집중된 힘 P, 오른쪽 지지대의 반작용, 그리고 극소 길이에 걸쳐 분포된 선형 하중 q를 봅니다. 결과적인 선형 하중은 0입니다. 그렇기 때문에
kNm.
즉, 모든 것이 정확합니다.
섹션 5. 이전과 마찬가지로 빔의 왼쪽을 닫습니다. 가질 것이다
kN;
kNm.
섹션 6. 빔의 왼쪽을 다시 닫아 보겠습니다. 우리는 얻는다
kN;
발견된 값을 사용하여 전단력(그림 3.13, b)과 굽힘 모멘트(그림 3.13, c) 다이어그램을 구성합니다.
하중이 가해지지 않은 영역에서는 전단력 다이어그램이 빔 축과 평행하게 진행되고 분산 하중 q에서는 아래쪽으로 기울어진 직선을 따라 진행되는지 확인합니다. 다이어그램에는 세 가지 점프가 있습니다. 반응 하에서 - 37.5kN 증가, 반응 하에서 - 132.5kN 증가 및 힘 P 하에서 - 50kN 감소합니다.
굽힘 모멘트 다이어그램에서 집중된 힘 P 이하에서 꼬임이 발생하는 것을 볼 수 있습니다. 지지 반응. 파괴 각도는 이러한 힘을 향합니다. 강도 q의 분산 하중 하에서 다이어그램은 볼록한 부분이 하중을 향하는 2차 포물선을 따라 변경됩니다. 집중된 모멘트에서는 60kN·m, 즉 모멘트 자체의 크기만큼 점프가 발생합니다. 다이어그램의 섹션 7에는 이 섹션의 전단력 다이어그램이 0 값()을 통과하므로 극한값이 있습니다. 섹션 7에서 왼쪽 지지대까지의 거리를 결정해 보겠습니다.
빔의 축에 수직으로 작용하고 이 축을 통과하는 평면에 위치하는 힘은 변형을 유발합니다. 가로 굽힘. 언급된 힘의 작용면이 – 주 평면에 도달하면 직선(평평한) 가로 굽힘이 발생합니다. 그렇지 않으면 굽힘을 비스듬한 가로라고합니다. 주로 굽힘을 받는 빔을 빔이라고 합니다. 빔 1 .
본질적으로 가로 굽힘은 순수 굽힘과 전단의 조합입니다. 높이에 따른 전단의 고르지 않은 분포로 인한 단면의 곡률과 관련하여 정규 응력 공식 σ를 사용할 가능성에 대한 의문이 생깁니다. 엑스, 평면 단면의 가설을 기반으로 순수 굽힘에 대해 파생되었습니다.
1 끝에 각각 하나의 원통형 고정 지지대와 빔 축 방향으로 움직일 수 있는 하나의 원통형 지지대가 있는 단일 스팬 빔을 호출합니다. 단순한. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 자유로운 빔을 호출합니다. 콘솔. 하나 또는 두 개의 부품이 지지대 위에 매달려 있는 단순한 빔을 호출합니다. 콘솔.
또한 단면이 하중이 가해지는 장소에서 멀리 떨어져 있으면 (보 단면 높이의 절반 이상의 거리에서) 순수 굽힘의 경우와 같이 다음과 같이 가정할 수 있습니다. 섬유가 서로 압력을 가하지 않는 것입니다. 이는 각 섬유가 단축 장력 또는 압축을 겪는다는 것을 의미합니다.
분산 하중의 작용에 따라 인접한 두 섹션의 횡력은 다음과 같은 양만큼 다릅니다. qdx. 따라서 단면의 곡률도 약간 다릅니다. 또한 섬유는 서로 압력을 가하게 됩니다. 문제에 대한 철저한 연구에 따르면 빔의 길이가 엘높이에 비해 꽤 크다 시간 (엘/ 시간> 5), 분산 하중이 있는 경우에도 이러한 요소는 단면의 수직 응력에 큰 영향을 미치지 않으므로 실제 계산에서 고려되지 않을 수 있습니다.
에이 BC
쌀. 10.5 그림. 10.6
집중 하중을 받는 단면과 그 근처에서 σ의 분포 엑스선형 법칙에서 벗어납니다. 본질적으로 국지적이며 가장 높은 응력(가장 바깥쪽 섬유에서)의 증가를 동반하지 않는 이러한 편차는 일반적으로 실제로 고려되지 않습니다.
따라서 가로 굽힘(평면에서 xy) 수직 응력은 공식을 사용하여 계산됩니다.
σ 엑스= – [M z(엑스)/이즈]와이.
하중이 없는 빔 단면에 두 개의 인접한 단면을 그리면 두 단면의 횡력이 동일하므로 단면의 곡률도 동일합니다. 이 경우 섬유 조각 ab(그림 10.5)는 새로운 위치로 이동합니다 에이"비", 추가 신장을 겪지 않고 따라서 수직 응력의 값을 변경하지 않습니다.
빔의 세로 단면에 작용하는 쌍응력을 통해 단면의 접선 응력을 결정해 보겠습니다.
목재에서 길이의 요소를 선택하십시오. dx(그림 10.7a). 멀리서 수평 단면을 그려보자 ~에중립축에서 지, 요소를 두 부분으로 나누고 (그림 10.7) 베이스가 있는 상단 부분의 평형을 고려합니다.
너비 비. 접선 응력 쌍의 법칙에 따라 종단면에 작용하는 응력은 단면에 작용하는 응력과 같습니다. 이를 고려하여 현장에 전단응력이 작용한다는 가정 하에 비ΣХ = 0 조건을 사용하여 균일하게 분포하면 다음을 얻습니다.
N * - (N * +dN *)+
여기서: N *은 "절단" 영역 A * 내 요소 dx의 왼쪽 단면에서 수직력 σ의 결과입니다(그림 10.7 d).
여기서: S = - 단면의 "절단" 부분의 정적 모멘트(그림 10.7 c의 음영 영역). 그러므로 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
그런 다음 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
이 공식은 19세기 러시아 과학자이자 엔지니어인 D.I. Zhuravsky는 그의 이름을 딴 것입니다. 그리고 이 공식은 근사치이지만 단면 폭에 대한 응력의 평균을 계산하기 때문에 이 공식에서 얻은 계산 결과는 실험 데이터와 잘 일치합니다.
z축에서 y 거리에 위치한 임의의 단면점에서 전단 응력을 결정하려면 다음을 수행해야 합니다.
단면에 작용하는 횡력 Q의 크기를 다이어그램에서 결정합니다.
전체 단면의 관성 모멘트 I z를 계산합니다.
이 점을 통과하는 평면과 평행한 평면을 그립니다. xz섹션 너비를 결정합니다. 비;
주 중심축을 기준으로 잘린 영역 S의 정적 모멘트를 계산합니다. 지발견된 값을 Zhuravsky 공식으로 대체합니다.
예를 들어 직사각형 단면의 접선 응력을 결정해 보겠습니다(그림 10.6, c). 축에 대한 정적 모멘트 지응력이 결정되는 1-1행 위 섹션 부분은 다음 형식으로 작성됩니다.
사각 포물선의 법칙에 따라 달라집니다. 단면 폭 V직사각형 빔이 일정하면 단면의 접선 응력 변화 법칙도 포물선이 됩니다(그림 10.6, c). y = 및 y = −에서 접선 응력은 0이고 중립 축에서 지그들은 최고의 가치에 도달합니다.
중립 축에 원형 단면의 빔이 있습니다.
굽히다 세로 축을 통과하는 평면에 모멘트가 적용되는 빔의 하중 유형입니다. 굽힘 모멘트는 빔의 단면에서 발생합니다. 벤딩을 하면 직선형 빔의 축이 휘어지거나, 곡선형 빔의 곡률이 변하는 변형이 발생합니다.
구부러지는 빔을 빔이라고 합니다. 빔 . 여러 개의 구부릴 수 있는 막대로 구성된 구조로, 대부분 90° 각도로 서로 연결되어 있습니다. 액자 .
벤드라고 불리는데 평평하거나 직선 , 하중 평면이 단면의 주요 관성 중심축을 통과하는 경우(그림 6.1).
그림 6.1
빔에서 평면 횡단 굽힘이 발생하면 두 가지 유형의 내부 힘이 발생합니다. 큐및 굽힘 모멘트 중. 평평한 가로 굽힘이 있는 프레임에서는 세 가지 힘이 발생합니다. N, 가로 큐힘과 굽힘 모멘트 중.
굽힘 모멘트가 유일한 내부 힘 요소인 경우 이러한 굽힘을 호출합니다. 깨끗한 (그림 6.2). 전단력이 있을 때 굽힘을 굽힘이라고 합니다. 횡축 . 엄밀히 말하면, 단순 유형저항은 순수한 굽힘에만 관련됩니다. 횡방향 굽힘은 일반적으로 단순한 유형의 저항으로 분류됩니다. 왜냐하면 대부분의 경우(충분히 긴 빔의 경우) 강도를 계산할 때 횡력의 영향을 무시할 수 있기 때문입니다.
22.편평한 가로 굽힘. 내부 힘과 외부 하중 사이의 차등 의존성.굽힘 모멘트 사이, 전단력분산 하중의 강도에 따라 러시아 교량 엔지니어 D.I. Zhuravsky(1821-1891)의 이름을 딴 Zhuravsky 정리에 기반한 차등 종속성이 있습니다.
이 정리는 다음과 같이 공식화됩니다.
횡력은 빔 단면의 가로좌표를 따른 굽힘 모멘트의 1차 미분과 같습니다.
23. 평평한 가로 굽힘. 전단력과 굽힘 모멘트의 도표 작성. 전단력 및 굽힘 모멘트 결정 - 섹션 1
보의 오른쪽을 버리고 왼쪽의 작용을 횡력과 굽힘 모멘트로 대체해 보겠습니다. 계산의 편의를 위해 폐기된 빔의 오른쪽을 종이로 덮고 시트의 왼쪽 가장자리를 고려 중인 단면 1에 맞춰 보겠습니다.
빔 단면 1의 횡력은 닫힌 후 보이는 모든 외부 힘의 대수적 합과 같습니다.
우리는 아래쪽을 향한 지지의 반응만을 봅니다. 따라서 전단력은 다음과 같습니다.
kN.
힘이 첫 번째 섹션을 기준으로 우리에게 보이는 빔 부분을 시계 반대 방향으로 회전시키기 때문에(또는 부호 규칙에 따라 횡력의 방향과 동일한 방향이기 때문에) "마이너스" 기호를 사용했습니다.
빔 섹션 1의 굽힘 모멘트는 고려 중인 섹션 1을 기준으로 빔의 버려진 부분을 닫은 후 표시되는 모든 힘 모멘트의 대수적 합과 같습니다.
우리는 두 가지 힘, 즉 지지체의 반작용과 순간 M을 봅니다. 그러나 힘의 숄더는 실질적으로 0과 같습니다. 따라서 굽힘 모멘트는 다음과 같습니다. 
kNm.
여기서는 외부 모멘트 M이 우리에게 보이는 빔 부분을 아래쪽으로 볼록하게 굽히기 때문에 "플러스" 기호를 사용했습니다. (또는 부호 법칙에 따라 굽힘 모멘트의 방향이 반대이기 때문에)
전단력 및 굽힘 모멘트 결정 - 섹션 2
첫 번째 단면과 달리 반력은 이제 a와 동일한 어깨를 갖습니다.
전단력:
kN;
굽힘 모멘트:
전단력 및 굽힘 모멘트 결정 - 섹션 3
전단력:
굽힘 모멘트:
전단력 및 굽힘 모멘트 결정 - 섹션 4
이제 더 편리해졌어요 빔의 왼쪽을 시트로 덮습니다..
전단력:
굽힘 모멘트:
전단력 및 굽힘 모멘트 결정 - 섹션 5
전단력:
굽힘 모멘트:
전단력 및 굽힘 모멘트 결정 - 섹션 1
전단력 및 굽힘 모멘트:
.
발견된 값을 사용하여 횡력(그림 7.7, b)과 굽힘 모멘트(그림 7.7, c)의 다이어그램을 구성합니다.
다이어그램 구성의 정확성 제어
다이어그램 구성 규칙을 사용하여 외부 기능을 기반으로 다이어그램이 올바르게 구성되었는지 확인해 보겠습니다.
전단력 다이어그램 확인
우리는 다음과 같이 확신합니다. 하중이 가해지지 않은 영역에서는 횡력 다이어그램이 빔 축과 평행하고 분산 하중 q에서는 아래쪽으로 기울어진 직선을 따라 진행됩니다. 다이어그램에서 종방향 힘세 번의 점프: 반응 중 – 15kN 아래로, 힘 P 시 – 20kN 아래로, 반응 중 – 75kN 위로.
굽힘 모멘트 다이어그램 확인
굽힘 모멘트 다이어그램에서 우리는 집중된 힘 P와 지지 반력 아래에서 꼬임을 볼 수 있습니다. 파괴 각도는 이러한 힘을 향합니다. 분포 하중 q에서 굽힘 모멘트 다이어그램은 볼록한 부분이 하중을 향하는 2차 포물선을 따라 변경됩니다. 굽힘 모멘트 다이어그램의 섹션 6에는 극한값이 있습니다. 왜냐하면 이 위치의 횡력 다이어그램이 0 값을 통과하기 때문입니다.
굽힘 변형직선 막대 축의 곡률 또는 직선 막대의 초기 곡률 변화로 구성됩니다(그림 6.1). 굽힘 변형을 고려할 때 사용되는 기본 개념에 대해 알아보겠습니다.
구부러지는 막대를 막대라고 합니다. 광선.
깨끗한굽힘이라고 하며, 굽힘 모멘트는 빔의 단면에서 발생하는 유일한 내부 힘 요소입니다.
더 자주, 막대의 단면에서 굽힘 모멘트와 함께 횡력도 발생합니다. 이 굽힘을 가로라고합니다.
플랫(스트레이트)단면에서 굽힘 모멘트의 작용 평면이 단면의 주요 중심 축 중 하나를 통과할 때 굽힘이라고 합니다.
~에 비스듬한 굴곡굽힘 모멘트의 작용 평면은 단면의 주요 중심 축과 일치하지 않는 선을 따라 빔의 단면과 교차합니다.
우리는 순수한 평면 굽힘의 경우부터 굽힘 변형에 대한 연구를 시작합니다.
순수 굽힘 중 정상적인 응력과 변형률.
이미 언급한 바와 같이 단면의 순수 평면 굽힘의 경우 6개의 내부 힘 계수 중 굽힘 모멘트만 0이 아닙니다(그림 6.1, c).
탄성 모델에 대해 수행된 실험에 따르면 선 그리드가 모델 표면에 적용되면(그림 6.1, a) 순수 굽힘으로 인해 다음과 같이 변형됩니다(그림 6.1, b).
a) 세로선은 원주를 따라 구부러져 있습니다.
b) 단면의 윤곽은 평평하게 유지됩니다.
c) 단면의 등고선은 세로 섬유와 직각으로 모든 곳에서 교차합니다.
이를 바탕으로 순수 굽힘에서는 빔의 단면이 편평하게 유지되고 회전하여 빔의 곡선 축에 수직으로 유지된다고 가정할 수 있습니다(굽힘 가설의 평평한 단면).
쌀. 6.1
세로선의 길이를 측정하면 (그림 6.1, b) 빔이 구부러 질 때 위쪽 섬유가 늘어나고 아래쪽 섬유가 짧아지는 것을 알 수 있습니다. 분명히 길이가 변하지 않은 섬유를 찾는 것이 가능합니다. 빔을 구부려도 길이가 변하지 않는 섬유 집합을 섬유라고 합니다. 중립층(n.s.). 중성층은 빔의 단면과 직선으로 교차합니다. 중립선(n.l.) 섹션.
단면에서 발생하는 수직 응력의 크기를 결정하는 공식을 도출하려면 변형 및 변형되지 않은 상태의 빔 단면을 고려하십시오(그림 6.2).
쌀. 6.2
두 개의 극소 단면을 사용하여 길이 요소를 선택합니다. 
. 변형 전, 요소 경계 단면 
, 서로 평행했고 (그림 6.2, a) 변형 후 약간 구부러져 각도를 형성했습니다. 
. 구부려도 중성층에 있는 섬유의 길이는 변하지 않습니다. 
. 도면 평면에서 중성층 흔적의 곡률 반경을 문자로 표시하겠습니다. 
. 임의의 섬유의 선형 변형을 결정합시다 
, 멀리 떨어진 곳에 위치 
중립층에서.
변형 후 이 섬유의 길이(아크 길이 
) 동일하다 
. 변형 이전에는 모든 섬유의 길이가 동일했다는 점을 고려하면 
, 우리는 고려중인 섬유의 절대 신장률을 발견했습니다.
그의 상대 변형
그것은 분명하다 
, 중성층에 있는 섬유의 길이는 변하지 않았기 때문입니다. 그런 다음 교체 후 
우리는 얻는다
(6.2)
따라서 상대 세로 변형은 중립 축에서 섬유까지의 거리에 비례합니다.
구부릴 때 세로 섬유가 서로 누르지 않는다는 가정을 소개하겠습니다. 이 가정 하에서 각 섬유는 고립되어 단순 장력이나 압축을 경험하면서 변형됩니다. 
. 고려 (6.2)
, (6.3)
즉, 수직 응력은 중립 축에서 고려 중인 단면 점의 거리에 정비례합니다.
굽힘 모멘트에 대한 식에 의존성(6.3)을 대입해 보겠습니다. 
단면(6.1)
.
적분을 기억하세요 
축에 대한 단면의 관성 모멘트를 나타냅니다. 
.
(6.4)
종속성(6.4)은 굽힘에 대한 Hooke의 법칙을 나타냅니다. 이는 변형(중립층의 곡률)과 관련이 있기 때문입니다. 
) 섹션에서 잠시 행동합니다. 일하다 
굽힘 중 단면 강성(Nm 2)이라고 합니다.
(6.4)를 (6.3)으로 대체해 보겠습니다.
(6.5)
이는 단면의 어느 지점에서나 빔의 순수 굽힘 동안 수직 응력을 결정하는 데 필요한 공식입니다.
단면에서 중립선이 어디에 위치하는지 확인하기 위해 수직 응력 값을 종방향 힘에 대한 표현식으로 대체합니다. 
및 굽힘 모멘트 
왜냐하면 
,
;
(6.6)
(6.7)
평등(6.6)은 축이 
– 단면의 중립축 – 단면의 무게 중심을 통과합니다.
평등(6.7)은 다음을 보여줍니다. 
그리고 
- 단면의 주요 중심 축.
(6.5)에 따르면 중성선에서 가장 먼 광섬유에서 가장 높은 전압이 달성됩니다.
태도 
단면의 축방향 저항 모멘트를 나타냅니다. 
중심축을 기준으로 
, 수단
의미 
가장 간단한 단면의 경우 다음과 같습니다.
직사각형 단면의 경우
, (6.8)
어디 
- 축에 수직인 단면의 측면 
;
- 축에 평행한 단면의 측면 
;
원형 단면의 경우
, (6.9)
어디 
- 원형 단면의 직경.
수직 굽힘 응력에 대한 강도 조건은 다음과 같은 형식으로 작성할 수 있습니다.
(6.10)
얻은 모든 공식은 직선 막대의 순수 굽힘에 대해 얻은 것입니다. 횡력의 작용으로 인해 결론의 기초가 되는 가설이 그 힘을 잃게 됩니다. 그러나 계산 실습에 따르면 보와 프레임의 횡방향 굽힘 중에도 단면에 있을 때 굽힘 모멘트 외에 
종방향 힘도 있다 
그리고 전단력 
, 순수 굽힘에 대해 주어진 공식을 사용할 수 있습니다. 오류는 중요하지 않습니다.
굽힘 시 보(봉)의 변형 특성을 시각적으로 표현하기 위해 다음과 같은 실험을 수행합니다. ~에 옆면고무빔 직사각형 단면선 그리드는 빔 축에 평행하고 수직으로 적용됩니다 (그림 30.7, a). 그런 다음 모멘트가 빔의 끝 부분에 적용되어(그림 30.7, b), 빔의 대칭 평면에 작용하여 주요 관성 중심축 중 하나를 따라 각 단면을 교차합니다. 빔의 축과 각 단면의 주요 관성 중심축 중 하나를 통과하는 평면을 주 평면이라고 합니다.
순간의 영향으로 빔은 곧고 순수한 굴곡을 경험합니다. 경험에 따르면 변형의 결과로 빔 축과 평행한 그리드 선이 구부러져 그 사이의 거리가 동일하게 유지됩니다. 그림에 표시된 경우. 30.7, b 모멘트 방향으로 보의 상단 부분에 있는 이 선은 길어지고 하단 부분에서는 짧아집니다.
빔 축에 수직인 각 그리드 선은 빔 일부 단면의 평면 추적으로 간주될 수 있습니다. 이 선은 직선으로 유지되므로 변형 전에 편평했던 빔의 단면이 변형 중에도 편평하게 유지된다고 가정할 수 있습니다.
경험에 기초한 이 가정은 평면 단면 가설 또는 베르누이 가설(§ 6.1 참조)로 알려져 있습니다.
평면 단면의 가설은 순수 굽힘뿐만 아니라 가로 굽힘에도 적용됩니다. 가로 굽힘의 경우 근사치이고 순수 굽힘의 경우 엄격하며 이는 탄성 이론 방법을 사용하여 수행된 이론적 연구에 의해 확인됩니다.
이제 수직축에 대해 대칭인 단면을 갖고 오른쪽 끝에 내장되고 왼쪽 끝에 하중이 가해지고 빔의 주요 평면 중 하나에 외부 모멘트가 작용하는 직선 빔을 고려해 보겠습니다(그림 31.7). 이 보의 각 단면에서는 굽힘 모멘트만 발생하여 모멘트와 동일한 평면에 작용합니다.
따라서 빔은 전체 길이에 걸쳐 직선적이고 순수한 굽힘 상태에 있습니다. 빔의 개별 단면은 횡방향 하중을 받더라도 순수한 굽힘 상태에 있을 수 있습니다. 예를 들어, 그림에 표시된 빔의 섹션 11은 순수 굽힘을 경험합니다. 32.7; 이 섹션의 섹션에서 전단력
고려 중인 빔(그림 31.7 참조)에서 길이 요소를 선택합니다. 변형의 결과로 Bernoulli의 가설에 따라 단면은 평평한 상태를 유지하지만 서로에 대해 특정 각도만큼 기울어집니다. 조건에 따라 왼쪽 단면을 고정된 것으로 간주하겠습니다. 그런 다음 오른쪽 부분을 각도만큼 회전시킨 결과 위치를 차지하게 됩니다(그림 33.7).
직선은 요소의 세로 섬유의 곡률 중심(또는 보다 정확하게는 곡률 축의 추적)인 특정 지점 A에서 교차합니다. 무화과. 31.7은 순간방향으로 길어지고, 아래쪽은 짧아진다. 순간 작용면에 수직인 일부 중간층의 섬유는 길이를 유지합니다. 이 층을 중립층이라고 합니다.
중립 레이어의 곡률 반경, 즉 이 레이어에서 곡률 중심 A까지의 거리를 나타냅니다(그림 33.7 참조). 중립 레이어로부터 거리 y에 위치한 특정 레이어를 생각해 봅시다. 이 층의 섬유의 절대 신율은 다음과 같습니다. 상대 신율
유사한 삼각형을 고려하여 우리는 다음을 확립합니다. 그러므로,
굽힘 이론에서는 빔의 세로 섬유가 서로 누르지 않는다고 가정합니다. 실험적이고 이론적 연구이 가정이 계산 결과에 큰 영향을 미치지 않음을 보여줍니다.
순수 굽힘을 사용하면 빔 단면에 전단 응력이 발생하지 않습니다. 따라서 순수 굽힘의 모든 섬유는 단축 인장 또는 압축 상태에 있습니다.
Hooke의 법칙에 따르면 단축 인장 또는 압축의 경우 수직 응력 o와 해당 상대 변형은 종속성에 의해 관련됩니다.
또는 공식 (11.7)에 기초
공식 (12.7)에 따르면 빔의 세로 섬유의 수직 응력은 중성층으로부터의 거리 y에 정비례합니다. 결과적으로, 각 지점의 빔 단면에서 수직 응력은 이 지점에서 중립 축까지의 거리 y에 비례합니다. 이는 중립 층과 단면의 교차선입니다(그림 2).
34.7, a). 빔과 하중의 대칭으로 인해 중립 축이 수평이 됩니다.
중립축 지점에서 수직 응력은 0입니다. 중립축의 한 쪽은 인장력을 갖고 다른 쪽은 압축력을 가집니다.
응력 다이어그램 o는 중립 축에서 가장 먼 지점에 대한 응력 절대값이 가장 큰 직선으로 둘러싸인 그래프입니다(그림 34.7b).
이제 선택한 보 요소의 평형 조건을 고려해 보겠습니다. 굽힘 모멘트의 형태로 요소 단면(그림 31.7 참조)에서 빔의 왼쪽 부분의 작용을 표현해 보겠습니다. 순수 굽힘이 있는 이 단면의 나머지 내부 힘은 0과 같습니다. 단면의 각 기본 영역에 적용되고(그림 35.7) 축에 평행한 기본 힘의 형태로 요소 단면에서 빔의 오른쪽의 작용을 상상해 보겠습니다. 빔.
요소에 대한 6가지 평형 조건을 만들어 보겠습니다.
다음은 축에서 요소에 작용하는 모든 힘의 투영의 합입니다. 축에 대한 모든 힘의 모멘트의 합입니다(그림 35.7).
축은 단면의 중립 축과 일치하고 y축은 이에 수직입니다. 이 두 축은 모두 단면 평면에 위치합니다.
기본 힘은 y축에 투영을 생성하지 않고 축 주위에 모멘트를 발생시키지 않으므로 모든 o 값에 대해 평형 방정식이 충족됩니다.
평형 방정식의 형식은 다음과 같습니다.
공식 (12.7)에 따라 a의 값을 방정식 (13.7)으로 대체해 보겠습니다.
(곡선형 빔 요소가 고려되기 때문에), 그러면
적분은 중립 축에 대한 빔 단면의 정적 모멘트를 나타냅니다. 0과 같다는 것은 중립축(즉, 축)이 단면의 무게 중심을 통과한다는 것을 의미합니다. 따라서 빔의 모든 단면의 무게 중심, 즉 무게 중심의 기하학적 위치인 빔의 축이 중립층에 위치합니다. 따라서 중립층의 곡률 반경은 빔의 곡선 축의 곡률 반경입니다.
이제 중립 축을 기준으로 빔 요소에 적용되는 모든 힘의 모멘트의 합 형태로 평형 방정식을 작성해 보겠습니다.
여기 초등학교의 순간을 나타냅니다 내면의 힘축에 상대적입니다.
중립 축 위 - 중립 축 아래에 위치한 빔의 단면적을 나타냅니다.
그런 다음 중립 축 위, 중립 축 아래에 적용된 기본 힘의 결과를 나타냅니다(그림 36.7).
조건 (13.7)에 기초한 대수적 합이 0이기 때문에 이 두 결과는 절대값에서 서로 동일합니다. 이러한 결과는 빔의 단면에 작용하는 내부 힘 쌍을 형성합니다. 이 힘 쌍의 모멘트는 그 중 하나의 크기와 그 사이의 거리의 곱과 같습니다(그림 36.7). 이는 빔 단면의 굽힘 모멘트입니다.
공식 (12.7)에 따라 a의 값을 방정식 (15.7)으로 대체해 보겠습니다.
여기서는 축방향 관성모멘트, 즉 단면의 무게중심을 통과하는 축을 나타냅니다. 따라서,
공식 (16.7)의 값을 공식 (12.7)로 대체해 보겠습니다.
식 (17.7)을 도출할 때, 그림 2와 같이 외부 토크가 지시되는 경우는 고려되지 않았습니다. 31.7에서 허용되는 부호 규칙에 따르면 굽힘 모멘트는 음수입니다. 이를 고려하면 식(17.7)의 오른쪽 앞에 빼기 기호를 넣어야 합니다. 그런 다음 빔의 상부 영역(즉, )에 양의 굽힘 모멘트가 있으면 a 값은 음수로 나타나며 이는 이 영역에 압축 응력이 있음을 나타냅니다. 그러나 일반적으로 마이너스 기호는 식 (17.7)의 오른쪽에 위치하지 않으며, 이 식은 응력 a의 절대값을 결정하는 데에만 사용됩니다. 따라서 굽힘 모멘트와 세로좌표 y의 절대값을 식(17.7)에 대입해야 한다. 응력의 부호는 모멘트의 부호나 빔의 변형 특성에 따라 항상 쉽게 결정됩니다.
이제 y축을 기준으로 보 요소에 적용되는 모든 힘의 모멘트의 합 형태로 평형 방정식을 작성해 보겠습니다.
여기서는 y축에 대한 기본 내부 힘의 모멘트를 나타냅니다(그림 35.7 참조).
식 (12.7)에 따라 식 (18.7)에 a의 값을 대입해 보겠습니다.
여기서 적분은 y와 축에 대한 빔 단면의 원심 관성 모멘트를 나타냅니다. 따라서,
하지만 그때부터
알려진 바와 같이(§ 7.5 참조) 단면의 원심 관성 모멘트는 주 관성축에 대해 0과 같습니다.
고려 중인 경우 y축은 빔 단면의 대칭 축이므로 y축은 이 단면의 주요 관성 중심축입니다. 따라서 여기서 조건 (19.7)이 만족된다.
굽은 빔의 단면에 대칭축이 없는 경우 굽힘 모멘트의 작용 평면이 단면의 주요 관성 중심축 중 하나를 통과하거나 평행하면 조건 (19.7)이 충족됩니다. 이 축으로.
굽힘 모멘트의 작용 평면이 보 단면의 주요 관성 중심축을 통과하지 않고 평행하지 않으면 조건 (19.7)이 충족되지 않으므로 다음이 없습니다. 직접 굽힘 - 빔이 비스듬히 굽어집니다.
고려 중인 빔 섹션의 임의 지점에서 수직 응력을 결정하는 공식 (17.7)은 굽힘 모멘트의 작용 평면이 이 섹션의 주요 관성축 중 하나를 통과하거나 평행한 경우에 적용 가능합니다. . 이 경우 단면의 중립축은 굽힘 모멘트의 작용 평면에 수직인 관성의 주요 중심축입니다.
공식 (16.7)은 직접 순수 굽힘 동안 빔의 곡선 축의 곡률이 탄성 계수 E와 관성 모멘트의 곱에 정비례한다는 것을 보여줍니다. 이 곱을 굽힘 중 단면의 강성이라고 부릅니다. 등으로 표현됩니다.
단면이 일정한 빔의 순수 굽힘에서는 굽힘 모멘트와 단면 강성이 길이를 따라 일정합니다. 이 경우 보의 곡선 축의 곡률 반경은 일정한 값을 갖습니다 [참조. 식 (16.7)], 즉 빔은 원호를 따라 구부러집니다.
공식(17.7)에 따르면 빔 단면의 가장 큰(양수 - 인장) 및 가장 작은(음수 - 압축) 수직 응력은 양쪽에 위치한 중립 축에서 가장 먼 지점에서 발생합니다. 중립 축을 중심으로 대칭인 단면의 경우 최대 인장 응력과 압축 응력의 절대값은 동일하며 다음 공식으로 결정할 수 있습니다.
중립 축을 기준으로 대칭이 아닌 단면(예: 삼각형, 티 등)의 경우 중립 축에서 가장 먼 신장 및 압축 섬유까지의 거리가 다릅니다. 따라서 이러한 섹션에는 두 가지 저항 순간이 있습니다.
중립 축에서 가장 멀리 늘어나거나 압축된 섬유까지의 거리는 어디에 있습니까?
