수업 내용:
프리즘의 정의를 기억해 봅시다.
프리즘은 두 면(밑면)이 평행한 평면에 위치한 동일한 다각형이고 다른 면(변)이 평행사변형인 다면체입니다.
프리즘의 측면 가장자리가 밑면에 수직인 경우 프리즘을 직선이라고 합니다.
밑면에 정다각형이 포함된 직각기둥을 정기둥이라고 합니다.
프리즘의 측면은 평행사변형입니다.
정리를 증명해 봅시다.
직선 프리즘의 부피는 밑면 면적과 높이의 곱과 같습니다.
먼저 삼각 프리즘에 대한 정리를 증명한 다음 임의의 프리즘에 대한 정리를 증명합니다.
주어진 것: 직선 프리즘
증명: V = Sbas. 시간.
증거:
1. ВСDB1C1D1—직접 프리즘. AC BD (ΔBCD를 두 개의 삼각형으로 나누는 높이를 선택), 평면 (CAA1) (BCD)을 그리고 밑면이 직각 삼각형인 두 개의 프리즘을 얻습니다. 그러면 V1은 프리즘 BCAB1C1A1의 부피이고 SBCA.h와 같습니다.
V2는 프리즘 ACDA1C1D1의 볼륨이며 SACD.h와 같습니다.
그러면 프리즘 ВСDB1C1D1의 부피는 다음과 같습니다. 합계와 동일프리즘 BCAB1C1A1 및 ACDA1C1D1의 볼륨 따라서 V= SBCA.h+ SACD.h 괄호에서 공통 인수를 꺼내 프리즘의 볼륨이 h(SBCA + SACD)와 같다는 것을 알 수 있습니다.
그리고 삼각형 BCA와 ACD의 면적의 합은 삼각형 BCD의 면적과 같으므로 프리즘의 부피는 높이와 밑면 BCD의 면적의 곱과 같습니다. Q.E.D.
2. 밑면적이 S인 임의의 n각형 프리즘을 생각해 보면 높이가 h인 직삼각형 프리즘으로 나눌 수 있습니다.
따라서 V1, V2, V3,…,Vn-2는 삼각기둥의 부피입니다.
S1, S2, S3,…,Sn-2 - 삼각 프리즘의 밑면 영역입니다.
이는 n각형 프리즘의 부피가 모든 삼각기둥의 부피의 합과 동일하다는 것을 의미합니다.
부피는 프리즘 높이와 삼각 프리즘 밑면의 합을 곱한 것과 같습니다.
이 볼록한 오각형 프리즘은 세 개의 직선 삼각 프리즘으로 나눌 수 있습니다. 각 프리즘의 부피를 찾아 이 부피를 더해 봅시다. 괄호 안의 공통 인자 h를 빼내고 오각형 프리즘의 부피는 높이와 삼각 프리즘의 밑면 면적의 합과 같다는 것을 알아봅시다. 삼각 기둥의 밑면 면적의 합은 주어진 프리즘의 밑면 면적과 같습니다. 이는 주어진 프리즘의 부피가 높이와 밑면의 곱과 같다는 것을 의미합니다.
정리가 입증되었습니다.
문제 해결
a) n=3인 경우 각 모서리가 a와 동일한 정n각형 프리즘의 부피를 구합니다. b) n=4; c) n=6. d) n=8
정n각형 프리즘,
프리즘의 가장자리.
각 모서리는 조건에 따라 a와 동일하므로 프리즘의 모서리인 직선 프리즘에서 프리즘의 높이 h도 a와 같습니다.
프리즘의 부피는 다음 공식으로 구합니다.
n=3인 정n각형 프리즘의 밑면은 정삼각형이며, 그 면적은 공식으로 구됩니다.
그러면 부피는 같아진다
b) n=4, 즉 밑면이 사각형이고, 프리즘이 정사각형이므로 정사각형이고, 조건에 따라 프리즘의 모든 모서리가 동일하므로 정사각형임을 의미한다. 사각기둥는 큐브이므로 V=
c) n=6. 다음 공식을 사용하여 정육각형 프리즘의 부피를 찾습니다.
(이것이 공식입니다. 왜냐하면 기본적으로 정육각형, 그러면 그 면적은 a) 변을 통해서만 표현될 수 있습니다.
d) n=8. 다음 공식을 사용하여 정팔각형 프리즘의 부피를 찾습니다.
다음 공식을 사용하여 밑면의 면적을 찾습니다.
(이것은 밑변이 정팔각형이므로 그 넓이는 변 a를 통해서만 표현할 수 있다는 공식입니다.)
답: a) V = ; b) V = ;
c) V = 1.5. ; d) V = (2+2) . .
정삼각형 프리즘에서는 아래쪽 밑면과 위쪽 밑면의 반대쪽 꼭지점을 통해 밑면과 60°의 각도를 이루는 단면이 그려집니다. 한 변이 a와 같을 때 프리즘의 부피를 구합니다.
정삼각형 프리즘
측면 a.
섹션 ABC1이 수행되었습니다.
단면 평면 AC1B에 SC AB, 세그먼트 C1K를 구성해 보겠습니다. 세 수직의 정리에 따르면 -
S1K AB; C1KS=60°.
ΔC1KS에서: (삼각형의 변의 비율 - CC1과 SC는 60도의 탄젠트와 같고 3의 제곱근과 같습니다)
삼각형 ΔСВК를 생각해 봅시다. СК는 점 K에 그려진 높이이므로 직사각형입니다. 직각 삼각형의 예각의 사인을 정의하면 = sin ∠СВК, 각도 СВК는 60도입니다. 밑면의 삼각형은 규칙적입니다. 이는 모든 각도가 동일하다는 것을 의미합니다.
CK=ВС sin60°, ВС=а이므로 60도 사인은 동일합니다.
그런 다음 SC의 값을 공식 CC1에 대체하면 다음을 얻습니다.
그리고 그 지역 정삼각형공식으로 계산됩니다.
프리즘 다면체 4차원 이상의 공간에서 프리즘을 일반화한 것입니다. N 3차원 프리즘 다면체는 두 개( N− 1)차원 폴리토프가 다음 차원으로 전송됩니다.
프리즘 요소 N차원 다면체는 요소에서 두 배가됩니다 ( N− 1)차원 다면체, 다음 레벨의 새로운 요소가 생성됩니다.
해 보자 N-요소가 있는 차원 다면체 f i (\displaystyle f_(i)) (나-차원적인 얼굴, 나 = 0, ..., N). 프리즘( n + 1 (\displaystyle n+1))차원 다면체는 2 f i + f − 1 (\displaystyle 2f_(i)+f_(-1))차원 요소 나(에 f − 1 = 0 (\displaystyle f_(-1)=0), f n = 1 (\displaystyle f_(n)=1)).
측정기준별:
- 다각형을 가져 가라. N봉우리와 N파티. 우리는 2로 프리즘을 얻습니다 N봉우리, 3 N갈비뼈와 2 + n (\displaystyle 2+n)가장자리.
- 우리는 다면체를 취합니다. V봉우리, 이자형갈비뼈와 에프가장자리. 우리는 2로 (4차원) 프리즘을 얻습니다. V꼭지점, 모서리, 면 및 2 + f (\displaystyle 2+f)세포.
- 우리는 4차원 다면체를 취합니다. V봉우리, 이자형갈비 살, 에프가장자리와 씨세포. 우리는 2의 (5차원) 프리즘을 얻습니다. V봉우리, 2 e + v (\displaystyle 2e+v)갈비 살, 2 f + e (\displaystyle 2f+e)(2차원) 얼굴, 2 c + f (\displaystyle 2c+f)세포와 2 + c (\displaystyle 2+c)하이퍼셀.
균질한 프리즘 다면체
옳은 N-슐래플리 기호(Schläfli 기호)로 표시되는 다면체( 피, 큐, ..., 티), 차원의 균질한 프리즘형 다면체를 형성할 수 있습니다( N+ 1), 두 개의 Schläfli 기호의 직접 곱으로 표시됩니다. ( 피, 큐, ..., 티}×{}.
측정기준별:
- 0차원 다면체의 프리즘은 빈 Schläfli 기호()로 표시되는 선분입니다.
- 1차원 다면체의 프리즘은 두 개의 세그먼트에서 얻은 직사각형입니다. 이 프리즘은 Schläfli 기호 ()×()의 곱으로 표시됩니다. 프리즘이 정사각형인 경우 표기법을 다음과 같이 단축할 수 있습니다: ()×() = (4).
- 다각형 프리즘은 직사각형으로 연결된 두 개의 다각형(하나는 다른 하나를 평행하게 평행 이동하여 얻은 것)에서 얻은 3차원 프리즘입니다. 정다각형( 피) 균질한 결과를 얻을 수 있습니다. N-제품으로 대표되는 석탄프리즘( 피)×(). 만약에 피= 4, 프리즘은 큐브가 됩니다: (4)×() = (4, 3).
- 3차원 프리즘 셀을 연결하여 두 개의 다면체(하나는 다른 하나를 평행 이동하여 얻은 것)에서 얻은 4차원 프리즘입니다. 정다면체에서 ( 피, 큐) 우리는 생성물( 피, 큐)×(). 다면체가 정육면체이고 프리즘의 측면도 정육면체인 경우 프리즘은 정팔면체로 변합니다: (4, 3)×() = (4, 3, 3).
더 높은 차원의 프리즘 다면체는 두 다면체의 직접적인 곱으로도 존재합니다. 프리즘 다면체의 치수는 제품 요소의 치수의 곱과 같습니다. 이러한 곱의 첫 번째 예는 4차원 공간에 존재하며 두 개의 다각형을 곱하여 얻은 이중 프리즘(duopprism)이라고 합니다. 정다각형 이중기둥은 기호( 피}×{ 큐}.
| 다각형 | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 모자이크 |
반대쪽 측면에 수직인 베이스의 공간 모서리에서 그려집니다. 교차점에서 축이 될 수직선을 그립니다. 프리즘. 건축할 때 삼면체 프리즘올바른 관점을 선택하는 것이 필요합니다. 피사체는 두 개의 보이는 평면과 측면으로 약간 오프셋된 전면 가장자리를 사용하여 3차원으로 나타나는 방식으로 묘사되어야 합니다. 삼각 프리즘이러한 회전을 사용하면 피사체가 최적의 각도에 있는 경우 가장 표현력이 풍부하고 방대하며 편리합니다.
단축법에서 얼굴 부분의 값을 결정할 때 큰 어려움을 겪습니다. 프리즘. 오류를 방지하려면 추가 원( 평면도, 평면도), 물체의 보이는 위치에 따라 베이스의 공간 각도가 정확하게 결정됩니다. 프리즘. 따라서 올바른 프리즘 다이어그램을 위해서는 원통형 다이어그램을 구성한 다음 그 안에 면처리된 다이어그램을 구성하는 것이 필요합니다.
건설 삼면체 프리즘가로로 시작해야 합니다( 엄격하게 수평으로 수행해야합니다). 이를 통해 신체 축을 기준으로 프리즘 베이스 표면의 위치를 정확하게 결정할 수 있습니다. 그 후에는 수직 축을 수행해야 합니다. 베이스의 반경을 표시하고 원을 그립니다 ( 타원) 관점에서 (그림 39). 타원에서 밑면 모서리의 공간 점을 정확하게 결정하려면 타원의 반경에 따라 한 축을 따라 그 위에 원을 그리는 것이 필요합니다. 왜곡된 원에서는 공간 점과 가장자리 세그먼트의 크기를 정확하게 결정하는 것이 불가능하므로 그릴 때 얼마나 정확하게 그려졌는지 확인하십시오. 프리즘 밑면 표면과 전체 물체 전체의 정확성은 원에 얼마나 정확하게 정의되었는지에 따라 크게 달라집니다.
원에서 프리즘 밑면의 공간 각도 점의 가시적 위치를 정확하게 결정한 후 이를 타원으로 옮깁니다. 상단 베이스를 결정하려면 타원을 반복해야 하며, 그 후에 베이스의 공간 점을 수직 모서리와 연결하여 삼각형 프리즘이 구성됩니다. 프리즘에서는 아래쪽 밑면의 원(타원)이 위쪽 밑면보다 약간 넓어야 합니다.
평면에 물체를 만들 때는 and를 엄격히 준수해야 합니다. 체적-공간적 특성을 더욱 효과적으로 표현하려면 가까운 가장자리를 더 많은 대비로 강조하여 멀어질수록 가장자리가 약해지고 부드러워져야 합니다. 길고 많은 시간의 수업 중에 점차적으로 모든 보조 수업을 제거할 수 있습니다. 구축 과정에서 을 가볍게 눌러야 다듬으면서 불필요한 것들을 조정하고 삭제할 수 있습니다.
육각 프리즘을 그리는 순서
육각형 프리즘은 밑면의 공간 각도 12점과 6점으로 특징지어집니다. 갈비 살 축이 결정됩니다 , 베이스의 반대쪽 공간 모서리에서 그려지며 교차점이 프리즘 축이 통과하는 중심이 됩니다. 삼면체 프리즘을 구성할 때와 마찬가지로 공간 각도를 올바르게 결정하려면 그 아래에 타원과 원을 구성하여 작업을 시작해야 합니다. 주어진 관점에서 물체의 겉보기 위치에 따라 정육각형의 공간 각도 지점이 원에서 정확하게 결정되어야 합니다. 프리즘의 회전에주의를 기울일 필요가 있으며 평면이 대칭으로 배열 된 육각형 프리즘을 그려서는 안됩니다. 따라서 그림을 그릴 장소를 선택할 때 그림 40과 같이 물체가 가장 표현력이 풍부하고 입체적으로 보이도록 앉아야 합니다.
육각 프리즘의 구성은 다음과 같은 방식으로 수행됩니다. 삼각 프리즘. 어려움은 다음과 같습니다. 올바른 정의보이는 위치에서 감소된 가장자리, 그들의 관계. 이 경우 그림 40과 같이 프리즘의 하단 베이스에 보조 원도 계획적으로 사용해야 합니다. 프리즘 밑면의 원을 구성한 후에는 원을 따라 6개의 공간 각도를 결정해야 합니다. 이 경우 프리즘의 회전을 고려하여 동일한 세그먼트를 올바르게 배치하는 것이 중요합니다. 눈에 보이는 위치에서. 쉽게 점들을 연결하기 , 반대편이 평행한지 확인하는 것이 필요합니다. 첫 번째 경우와 마찬가지로 밑면의 공간 각도 지점을 얻은 후에는 이를 타원의 아래쪽 밑면으로 전송해야 합니다. 공간 각도를 타원의 밑면으로 전송할 때 다음 사항을 고려해야 합니다. 절반으로 줄었지만 이러한 변화는 미미합니다. 가장 중요한 것은 반대를 방지하는 것입니다 .
연결 중 기초의 모든 지점에서 수행된 작업을 확인하기 시작합니다. 발견된 오류는 지체 없이 수정됩니다. 최고의 표현력을 얻기 위해 공간적 수직 및 수평 근처에 필요 갈비뼈를 강화하고 먼 갈비뼈를 약화시킵니다. 계속해서 업무를 수행해야 하는 경우 보조무기를 없애야지 지우개를 이용한 공사.
삼면체 피라미드(그림 41)는 밑면의 공간 각도 3점, 꼭지점 1점 및 6점을 특징으로 합니다.갈비 살
권리를 위해피라미드 프리즘 건설과 유사한 기초 건설부터 시작해야합니다. . 베이스의 공간 각도 점 연결실물 크기 모델의 높이. 그런 다음 상단을 베이스의 공간 모서리와 연결해야 합니다.
후속 시퀀스 그림 n 이라미드
- 첫 단계.피라미드의 크기와 공간적 위치, 피라미드의 주요 비율, 면의 회전 정도가 결정됩니다.
사면체 피라미드 ( 그림 42)는 삼면체와 달리 밑면의 공간 각도 4점, 정점 1점 및 모서리 8개가 특징입니다. 삼면체와 유사한 피라미드의 구조적 축은 반대 공간 각도의 연결에 의해 결정됩니다. 교차점에서 수직(축) 선이 그려지며, 여기에 피라미드 상단 지점이 표시됩니다. 수평 위치에 피라미드를 만들 때는 밑면 중심을 기준으로 피라미드 축의 위치에 주의해야 합니다(그림 43). 이 경우 피라미드의 밑면은 그와 관련하여 구조적 축주어진 관점에서 물체의 위치에 관계없이 엄격하게 직각, 즉 수직이어야 합니다. 신체 구조도 변함이 없습니다.
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