Los límites causan muchos problemas a todos los estudiantes de matemáticas. Para resolver un límite, a veces es necesario utilizar muchos trucos y elegir entre una variedad de métodos de solución exactamente el que sea adecuado para un ejemplo en particular.
En este artículo no le ayudaremos a comprender los límites de sus capacidades ni a comprender los límites de control, pero intentaremos responder la pregunta: ¿cómo entender los límites en matemáticas superiores? La comprensión viene con la experiencia, por lo que al mismo tiempo daremos algunos ejemplos detallados Soluciones de límites con explicaciones.
El concepto de límite en matemáticas.
La primera pregunta es: ¿cuál es este límite y el límite de qué? Podemos hablar de los límites de secuencias y funciones numéricas. Nos interesa el concepto de límite de una función, ya que esto es lo que los estudiantes encuentran con mayor frecuencia. Pero primero - lo más definición general límite:
Digamos que hay algún valor variable. Si este valor en el proceso de cambio se acerca ilimitadamente a un cierto número a , Eso a – el límite de este valor.
Para una función definida en un intervalo determinado f(x)=y tal número se llama límite A , a la que tiende la función cuando X , tendiendo a cierto punto A . Punto A pertenece al intervalo en el que se define la función.
Suena complicado, pero está escrito de forma muy sencilla:
Lim- De inglés límite- límite.
También hay una explicación geométrica para determinar el límite, pero aquí no profundizaremos en la teoría, ya que estamos más interesados en el lado práctico que en el teórico del problema. Cuando decimos eso X tiende a algún valor, esto significa que la variable no toma el valor de un número, sino que se acerca infinitamente a él.
vamos a dar ejemplo específico. La tarea es encontrar el límite.
Para resolver este ejemplo, sustituimos el valor x=3 en una función. Obtenemos:
Por cierto, si está interesado, lea un artículo aparte sobre este tema.
en los ejemplos X puede tender a cualquier valor. Puede ser cualquier número o infinito. He aquí un ejemplo cuando X tiende al infinito:
Está intuitivamente claro qué es qué numero mayor en el denominador, menor será el valor que tomará la función. Entonces, con crecimiento ilimitado X significado 1/x disminuirá y se aproximará a cero.
Como puedes ver, para resolver el límite, sólo necesitas sustituir el valor a buscar en la función. X . Sin embargo, este es el caso más simple. Muchas veces encontrar el límite no es tan obvio. Dentro de los límites existen incertidumbres del tipo 0/0 o infinito/infinito . ¿Qué hacer en tales casos? ¡Recurre a trucos!
Incertidumbres dentro
Incertidumbre de la forma infinito/infinito
Que haya un límite:
Si intentamos sustituir el infinito en la función, obtendremos infinito tanto en el numerador como en el denominador. En general, vale la pena decir que hay un cierto elemento de arte en resolver tales incertidumbres: es necesario darse cuenta de cómo se puede transformar la función de tal manera que la incertidumbre desaparezca. En nuestro caso, dividimos el numerador y el denominador entre X en el grado superior. ¿Lo que sucederá?
Por el ejemplo ya analizado anteriormente, sabemos que los términos que contienen x en el denominador tenderán a cero. Entonces la solución al límite es:
Para resolver incertidumbres de tipo infinito/infinito dividir el numerador y denominador por X al más alto grado.
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Otro tipo de incertidumbre: 0/0
Como siempre, sustituyendo valores en la función. x=-1 da 0 en el numerador y denominador. Mira un poco más de cerca y notarás que tenemos una ecuación cuadrática en el numerador. Busquemos las raíces y escribamos:
Reduzcamos y obtengamos:
Entonces, si te enfrentas a una incertidumbre de tipo 0/0 – factorizar el numerador y el denominador.
Para que te resulte más fácil resolver ejemplos, te presentamos una tabla con los límites de algunas funciones:
El gobierno de L'Hopital en el interior
Otro manera poderosa, permitiendo eliminar incertidumbres de ambos tipos. ¿Cuál es la esencia del método?
Si hay incertidumbre en el límite, se toma la derivada del numerador y denominador hasta que desaparezca la incertidumbre.
La regla de L'Hopital se ve así:
Punto importante : debe existir el límite en el que se encuentran las derivadas del numerador y denominador en lugar del numerador y denominador.
Y ahora, un ejemplo real:
Hay una incertidumbre típica. 0/0 . Tomemos las derivadas del numerador y denominador:
Listo, la incertidumbre se resuelve de forma rápida y elegante.
Esperamos que pueda aplicar esta información de manera útil en la práctica y encontrar la respuesta a la pregunta "cómo resolver límites en matemáticas superiores". Si necesita calcular el límite de una secuencia o el límite de una función en un punto y no hay tiempo para este trabajo, comuníquese con un servicio profesional para estudiantes para obtener una solución rápida y solución detallada.
El primer límite destacable es la siguiente igualdad:
\begin(ecuación)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(ecuación)
Dado que para $\alpha\to(0)$ tenemos $\sin\alpha\to(0)$, dicen que el primer límite notable revela una incertidumbre de la forma $\frac(0)(0)$. En términos generales, en la fórmula (1), en lugar de la variable $\alpha$, se puede colocar cualquier expresión bajo el signo del seno y en el denominador, siempre que se cumplan dos condiciones:
- Las expresiones bajo el signo del seno y en el denominador tienden simultáneamente a cero, es decir hay incertidumbre de la forma $\frac(0)(0)$.
- Las expresiones bajo el signo del seno y en el denominador son las mismas.
También se suelen utilizar corolarios del primero. límite maravilloso:
\begin(ecuación) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(ecuación) \begin(ecuación) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(ecuación)
En esta página se resuelven once ejemplos. El ejemplo nº 1 está dedicado a la demostración de las fórmulas (2)-(4). Los ejemplos No. 2, No. 3, No. 4 y No. 5 contienen soluciones con comentarios detallados. Los ejemplos 6 a 10 contienen soluciones prácticamente sin comentarios, porque en ejemplos anteriores se dieron explicaciones detalladas. La solución utiliza algunos fórmulas trigonométricas que se puede encontrar.
Permítanme señalar que la presencia de funciones trigonométricas junto con la incertidumbre $\frac (0) (0)$ no significa necesariamente la aplicación del primer límite destacable. A veces son suficientes transformaciones trigonométricas simples, por ejemplo, ver.
Ejemplo No. 1
Demuestre que $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) Dado que $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, entonces:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Dado que $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ y $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Eso:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) Hagamos el cambio $\alpha=\sin(y)$. Dado que $\sin(0)=0$, entonces de la condición $\alpha\to(0)$ tenemos $y\to(0)$. Además, hay una vecindad de cero en la que $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, entonces:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Se ha demostrado la igualdad $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$.
c) Hagamos el reemplazo $\alpha=\tg(y)$. Dado que $\tg(0)=0$, entonces las condiciones $\alpha\to(0)$ y $y\to(0)$ son equivalentes. Además, existe una vecindad de cero en la cual $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, por lo tanto, con base en los resultados del punto a), tendremos:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Se ha demostrado la igualdad $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
Las igualdades a), b), c) se utilizan a menudo junto con el primer límite destacable.
Ejemplo No. 2
Calcula el límite $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.
Dado que $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ y $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, es decir y tanto el numerador como el denominador de la fracción tienden simultáneamente a cero, entonces aquí estamos tratando con una incertidumbre de la forma $\frac(0)(0)$, es decir, hecho. Además, está claro que las expresiones bajo el signo del seno y en el denominador coinciden (es decir, y se satisfacen):
Entonces, se cumplen ambas condiciones enumeradas al principio de la página. De esto se deduce que la fórmula es aplicable, es decir $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
Respuesta: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
Ejemplo No. 3
Encuentre $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Dado que $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ y $\lim_(x\to(0))x=0$, entonces estamos tratando con una incertidumbre de la forma $\frac (0 )(0)$, es decir hecho. Sin embargo, las expresiones bajo el signo del seno y en el denominador no coinciden. Aquí necesitas ajustar la expresión en el denominador a el formulario requerido. Necesitamos que la expresión $9x$ esté en el denominador, entonces será verdadera. Básicamente, nos falta un factor de $9$ en el denominador, que no es tan difícil de ingresar: simplemente multiplica la expresión en el denominador por $9$. Naturalmente, para compensar la multiplicación por $9$, tendrás que dividir inmediatamente por $9$:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
Ahora las expresiones en el denominador y bajo el signo del seno coinciden. Ambas condiciones para el límite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ se cumplen. Por lo tanto, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Y esto significa que:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Respuesta: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Ejemplo No. 4
Encuentre $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Dado que $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ y $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, aquí estamos tratando con incertidumbre de la forma $\frac(0)(0)$. Sin embargo, se viola la forma del primer límite destacable. Un numerador que contiene $\sin(5x)$ requiere un denominador de $5x$. En esta situación, la forma más sencilla es dividir el numerador por $5x$ e inmediatamente multiplicarlo por $5x$. Además, realizaremos una operación similar con el denominador, multiplicando y dividiendo $\tg(8x)$ por $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
Reduciendo por $x$ y tomando la constante $\frac(5)(8)$ fuera del signo del límite, obtenemos:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Tenga en cuenta que $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ satisface completamente los requisitos para el primer límite notable. Para encontrar $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ se aplica la siguiente fórmula:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Respuesta: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Ejemplo No. 5
Encuentre $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Dado que $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (recuerde que $\cos(0)=1$) y $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, entonces estamos tratando con una incertidumbre de la forma $\frac(0)(0)$. Sin embargo, para aplicar el primer límite destacable, debes deshacerte del coseno en el numerador, pasando a los senos (para luego aplicar la fórmula) o tangentes (para luego aplicar la fórmula). Esto se puede hacer con la siguiente transformación:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Volvamos al límite:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$
La fracción $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ ya está cerca de la forma requerida para el primer límite notable. Trabajemos un poco con la fracción $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, ajustándola al primer límite destacable (nota que las expresiones en el numerador y debajo del seno deben coincidir):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
Volvamos al límite en cuestión:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Respuesta: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Ejemplo No. 6
Encuentra el límite $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
Dado que $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ y $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, entonces estamos lidiando con la incertidumbre $\frac(0)(0)$. Revelémoslo con la ayuda del primer límite destacable. Para hacer esto, pasemos de cosenos a senos. Dado que $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, entonces:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Pasando a senos en el límite dado, tendremos:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Respuesta: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Ejemplo No. 7
Calcular el límite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ sujeto a $\alpha\neq \beta$.
Anteriormente se dieron explicaciones detalladas, pero aquí simplemente observamos que nuevamente hay incertidumbre $\frac(0)(0)$. Pasemos de cosenos a senos usando la fórmula
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Usando esta fórmula, obtenemos:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\derecha| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Respuesta: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.
Ejemplo No. 8
Encuentra el límite $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
Dado que $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (recuerde que $\sin(0)=\tg(0)=0$) y $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, entonces aquí estamos tratando con una incertidumbre de la forma $\frac(0)(0)$. Desglosémoslo de la siguiente manera:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
Respuesta: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Ejemplo No. 9
Encuentra el límite $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
Dado que $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ y $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, entonces hay incertidumbre de la forma $\frac(0)(0)$. Antes de proceder a su expansión, conviene hacer un cambio de variable de tal forma que la nueva variable tienda a cero (nótese que en las fórmulas la variable $\alpha \to 0$). La forma más sencilla es introducir la variable $t=x-3$. Sin embargo, por conveniencia para futuras transformaciones (este beneficio se puede ver en el curso de la solución a continuación), vale la pena realizar el siguiente reemplazo: $t=\frac(x-3)(2)$. Observo que ambos reemplazos son aplicables en este caso, solo que el segundo reemplazo te permitirá trabajar menos con fracciones. Desde $x\to(3)$, entonces $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\derecha| =\left|\begin(alineado)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(alineado)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Respuesta: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Ejemplo No. 10
Encuentra el límite $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.
Una vez más estamos lidiando con la incertidumbre $\frac(0)(0)$. Antes de proceder a su expansión, conviene hacer un cambio de variable de tal forma que la nueva variable tienda a cero (nótese que en las fórmulas la variable es $\alpha\to(0)$). La forma más sencilla es introducir la variable $t=\frac(\pi)(2)-x$. Dado que $x\to\frac(\pi)(2)$, entonces $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\izquierda|\frac(0)(0)\derecha| =\left|\begin(alineado)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(alineado)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
Respuesta: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
Ejemplo No. 11
Encuentra los límites $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
En este caso no tenemos que utilizar el primer límite maravilloso. Tenga en cuenta que tanto el primer como el segundo límite contienen solo números y funciones trigonométricas. A menudo, en ejemplos de este tipo es posible simplificar la expresión situada bajo el signo de límite. Además, tras la mencionada simplificación y reducción de algunos factores, la incertidumbre desaparece. Di este ejemplo con un solo propósito: mostrar que la presencia de funciones trigonométricas bajo el signo del límite no significa necesariamente el uso del primer límite destacable.
Dado que $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (recuerde que $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) y $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (déjame recordarte que $\cos\frac(\pi)(2)=0$), entonces tenemos tratando con incertidumbre de la forma $\frac(0)(0)$. Sin embargo, esto no significa que debamos utilizar el primer límite maravilloso. Para revelar la incertidumbre, basta tener en cuenta que $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Hay una solución similar en el libro de soluciones de Demidovich (núm. 475). En cuanto al segundo límite, como en los ejemplos anteriores de esta sección, tenemos una incertidumbre de la forma $\frac(0)(0)$. ¿Por qué surge? Surge porque $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ y $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Usamos estos valores para transformar las expresiones en el numerador y denominador. El objetivo de nuestras acciones es escribir la suma en el numerador y denominador como producto. Por cierto, a menudo dentro de un tipo similar es conveniente cambiar una variable, de tal manera que la nueva variable tienda a cero (ver, por ejemplo, los ejemplos No. 9 o No. 10 en esta página). Sin embargo, en este ejemplo no tiene sentido reemplazar, aunque si se desea, reemplazar la variable $t=x-\frac(2\pi)(3)$ no es difícil de implementar.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
Como puede ver, no tuvimos que aplicar el primer límite maravilloso. Por supuesto, puedes hacer esto si lo deseas (ver nota a continuación), pero no es necesario.
¿Cuál es la solución utilizando el primer límite notable? mostrar ocultar
Usando el primer límite notable obtenemos:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ derecha))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Respuesta: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
Límite de función- número a será el límite de alguna cantidad variable si, en el proceso de su cambio, esta cantidad variable se acerca indefinidamente a.
O en otras palabras, el número A es el límite de la función y = f(x) en el punto x0, si para cualquier secuencia de puntos del dominio de definición de la función, no es igual x0, y que converge al punto x 0 (lím x n = x0), la secuencia de valores de función correspondientes converge al número A.
La gráfica de una función cuyo límite, dado un argumento que tiende al infinito, es igual a l:
Significado A es límite (valor límite) de la función f(x) en el punto x0 en caso de cualquier secuencia de puntos 
, que converge a x0, pero que no contiene x0 como uno de sus elementos (es decir, en la zona perforada x0), secuencia de valores de función 
converge a A.
Límite de una función de Cauchy.
Significado A será límite de la función f(x) en el punto x0 si para cualquier número no negativo tomado por adelantado ε se encontrará el número no negativo correspondiente δ = δ(ε) tal que para cada argumento X, satisfaciendo la condición 0 < | x - x0 | < δ , la desigualdad quedará satisfecha | f(x)A |< ε .
Será muy sencillo si comprendes la esencia del límite y las reglas básicas para encontrarlo. ¿Cuál es el límite de la función? f (X) en X luchando por a es igual A, está escrito así:
Además, el valor al que tiende la variable X, puede ser no solo un número, sino también infinito (∞), a veces +∞ o -∞, o puede que no haya ningún límite.
para entender como encontrar los límites de una función, lo mejor es mirar ejemplos de soluciones.
Es necesario encontrar los límites de la función. f (x) = 1/X en:
X→ 2, X→ 0, X→ ∞.
Busquemos una solución al primer límite. Para hacer esto, simplemente puedes sustituir X el número al que tiende, es decir 2, obtenemos:
Encontremos el segundo límite de la función.. Sustituir aquí en forma pura 0 en lugar X es imposible, porque No puedes dividir por 0. Pero podemos tomar valores cercanos a cero, por ejemplo, 0,01; 0,001; 0,0001; 0.00001 y así sucesivamente, y el valor de la función. f (X) aumentará: 100; 1000; 10000; 100.000 y así sucesivamente. Así, se puede entender que cuando X→ 0 el valor de la función que está bajo el signo de límite aumentará sin límite, es decir esforzarse hacia el infinito. Lo que significa:
Respecto al tercer límite. Misma situación que en el caso anterior, no es posible sustituir ∞ en su forma más pura. Necesitamos considerar el caso de aumento ilimitado. X. Sustituimos 1000 uno por uno; 10000; 100000 y así sucesivamente, tenemos que el valor de la función f (x) = 1/X disminuirá: 0,001; 0,0001; 0,00001; y así sucesivamente, tendiendo a cero. Es por eso:
Es necesario calcular el límite de la función. 
Al comenzar a resolver el segundo ejemplo, vemos incertidumbre. Desde aquí encontramos el grado más alto del numerador y denominador: esto es x3, lo sacamos de los corchetes en el numerador y denominador y luego lo reducimos por:
Respuesta 
El primer paso en encontrar este límite, sustituye el valor 1 en su lugar X, lo que genera incertidumbre. Para resolverlo, factoricemos el numerador y hagamos esto usando el método de encontrar raíces. ecuación cuadrática x2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x1 = -3;x2= 1.
Entonces el numerador será:
Respuesta 
Esta es la definición de su valor específico o un área determinada donde cae la función, que está limitada por el límite.
Para resolver límites, siga las reglas:
Habiendo entendido la esencia y principal. reglas para resolver el límite, Obtendrás concepto basico sobre cómo solucionarlos.
Función y = f (X) es una ley (regla) según la cual cada elemento x del conjunto X está asociado con uno y sólo un elemento y del conjunto Y.
Elemento x ∈X llamado argumento de función o variable independiente.
Elemento y ∈ Y llamado valor de la función o variable dependiente.
El conjunto X se llama dominio de la función.
Conjunto de elementos y ∈ Y, que tiene preimágenes en el conjunto X, se llama área o conjunto de valores de función.
La función real se llama limitado desde arriba (desde abajo), si hay un número M tal que la desigualdad se cumple para todos:
.
La función numérica se llama limitado, si existe un número M tal que para todos:
.
borde superior o límite superior exacto Una función real se llama el número más pequeño que limita su rango de valores desde arriba. Es decir, se trata de un número s para el cual, para todos y para cualquiera, existe un argumento cuyo valor de función excede s′: .
El límite superior de una función se puede denotar de la siguiente manera:
.
Respectivamente borde inferior o límite inferior exacto Una función real se llama el número más grande que limita su rango de valores desde abajo. Es decir, se trata de un número i para el cual, para todos y para cualquiera, existe un argumento cuyo valor de función es menor que i′: .
El mínimo de una función se puede denotar de la siguiente manera:
.
Determinar el límite de una función.
Determinación del límite de una función según Cauchy
Límites finitos de función en los puntos finales.
Dejemos que la función se defina en alguna vecindad del punto final, con la posible excepción del punto mismo. en un punto si para alguno existe tal cosa, dependiendo de , que para todo x para el cual , la desigualdad se cumple
.
El límite de una función se denota de la siguiente manera:
.
O en .
Utilizando los símbolos lógicos de existencia y universalidad, la definición del límite de una función se puede escribir de la siguiente manera:
.
Límites unilaterales.
Límite izquierdo en un punto (límite del lado izquierdo):
.
Límite derecho en un punto (límite derecho):
.
Los límites izquierdo y derecho a menudo se indican de la siguiente manera:
;
.
Límites finitos de una función en puntos del infinito.
Los límites en los puntos del infinito se determinan de manera similar.
.
.
.
A menudo se les conoce como:
;
;
.
Usando el concepto de vecindad de un punto.
Si introducimos el concepto de vecindad perforada de un punto, entonces podemos dar una definición unificada del límite finito de una función en puntos finitos e infinitamente distantes:
.
Aquí para puntos finales
;
;
.
Cualquier vecindad de puntos en el infinito está perforada:
;
;
.
Límites de funciones infinitas
Definición
Dejemos que la función se defina en alguna vecindad perforada de un punto (finito o en el infinito). Límite de función f (X) como x → x 0
es igual al infinito, si por alguien, arbitrariamente gran número METRO > 0
, hay un número δ M > 0
, dependiendo de M, que para todo x perteneciente a la zona perforada δ M - vecindad del punto: , se cumple la siguiente desigualdad:
.
El límite infinito se denota de la siguiente manera:
.
O en .
Utilizando los símbolos lógicos de existencia y universalidad, la definición del límite infinito de una función se puede escribir de la siguiente manera:
.
También puedes introducir definiciones de límites infinitos de ciertos signos iguales a y:
.
.
Definición universal del límite de una función.
Usando el concepto de vecindad de un punto, podemos dar una definición universal del límite finito e infinito de una función, aplicable tanto para puntos finitos (bilaterales y unilaterales) como infinitamente distantes:
.
Determinación del límite de una función según Heine
Dejemos que la función se defina en algún conjunto X:.
El número a se llama límite de la función. en el punto:
,
si para cualquier secuencia converge a x 0
:
,
cuyos elementos pertenecen al conjunto X: ,
.
Escribamos esta definición usando los símbolos lógicos de existencia y universalidad:
.
Si tomamos la vecindad del lado izquierdo del punto x como un conjunto X 0 , entonces obtenemos la definición del límite izquierdo. Si es diestro, obtenemos la definición del límite derecho. Si tomamos la vecindad de un punto en el infinito como un conjunto X, obtenemos la definición del límite de una función en el infinito.
Teorema
Las definiciones de Cauchy y Heine del límite de una función son equivalentes.
Prueba
Propiedades y teoremas del límite de una función.
Además, suponemos que las funciones consideradas están definidas en la vecindad correspondiente del punto, que es un número finito o uno de los símbolos: . También puede ser un punto límite unilateral, es decir, tener la forma o . La vecindad es bilateral para un límite bilateral y unilateral para un límite unilateral.
Propiedades básicas
Si los valores de la función f (X) cambiar (o hacer indefinido) un número finito de puntos x 1, x 2, x 3, ... x n, entonces este cambio no afectará la existencia y el valor del límite de la función en un punto arbitrario x 0 .
Si hay un límite finito, entonces hay una vecindad perforada del punto x 0
, en el que la función f (X) limitado:
.
Sea la función en el punto x. 0
límite finito distinto de cero:
.
Entonces, para cualquier número c del intervalo , existe una vecindad perforada del punto x 0
, para qué ,
, Si ;
, Si .
Si, en alguna vecindad perforada del punto, , es una constante, entonces .
Si hay límites finitos y y en alguna vecindad perforada del punto x 0
,
Eso .
Si , y en alguna vecindad del punto
,
Eso .
En particular, si en alguna vecindad de un punto
,
entonces si, entonces y;
si, entonces y.
Si en alguna vecindad perforada de un punto x 0
:
,
y hay límites iguales finitos (o infinitos de cierto signo):
, Eso
.
Las pruebas de las propiedades principales se dan en la página.
"Propiedades básicas de los límites de una función".
Propiedades aritméticas del límite de una función.
Dejemos que las funciones y se definan en alguna vecindad perforada del punto. Y que haya límites finitos:
Y .
Y sea C una constante, es decir numero dado. Entonces
;
;
;
, Si .
Si entonces.
Las pruebas de propiedades aritméticas se dan en la página.
"Propiedades aritméticas de los límites de una función".
Criterio de Cauchy para la existencia de un límite de una función
Teorema
Para que una función definida en alguna vecindad perforada de un punto finito o infinito x 0
, tenía un límite finito en este punto, es necesario y suficiente que para cualquier ε > 0
había un barrio tan perforado del punto x 0
, que para cualquier punto y desde esta vecindad, se cumple la siguiente desigualdad:
.
Límite de una función compleja
Teorema sobre el límite de una función compleja
Deje que la función tenga un límite y asigne una vecindad perforada de un punto a una vecindad perforada de un punto. Deje que la función se defina en esta vecindad y tenga un límite.
Aquí los puntos finales o infinitamente distantes: . Los barrios y sus correspondientes límites pueden ser bilaterales o unilaterales.
Entonces existe un límite de una función compleja y es igual a:
.
El teorema del límite de una función compleja se aplica cuando la función no está definida en un punto o tiene un valor diferente al límite. Para aplicar este teorema, debe existir una vecindad perforada del punto donde el conjunto de valores de la función no contiene el punto:
.
Si la función es continua en el punto, entonces el signo de límite se puede aplicar al argumento de la función continua:
.
El siguiente es un teorema correspondiente a este caso.
Teorema sobre el límite de una función continua de una función.
Sea un límite de la función g (t) como t → t 0
, y es igual a x 0
:
.
Aquí está el punto t 0
puede ser finito o infinitamente distante: .
Y deja que la función f (X) es continua en el punto x 0
.
Entonces existe un límite de la función compleja f (g(t)), y es igual a f (x0):
.
Las pruebas de los teoremas se dan en la página.
"Límite y continuidad de una función compleja".
Funciones infinitesimales e infinitamente grandes
Funciones infinitesimales
Definición
Se dice que una función es infinitesimal si
.
Suma, diferencia y producto de un número finito de funciones infinitesimales en es una función infinitesimal en .
Producto de una función acotada en alguna vecindad perforada del punto, hasta un infinitesimal en es una función infinitesimal en.
Para que una función tenga un límite finito es necesario y suficiente que
,
donde es una función infinitesimal en .
"Propiedades de funciones infinitesimales".
Funciones infinitamente grandes
Definición
Se dice que una función es infinitamente grande si
.
La suma o diferencia de una función acotada, en alguna vecindad perforada del punto, y una función infinitamente grande en es una función infinitamente grande en.
Si la función es infinitamente grande para y está acotada en alguna vecindad perforada del punto, entonces
.
Si la función , en alguna vecindad perforada del punto , satisface la desigualdad:
,
y la función es infinitesimal en:
, y (en alguna vecindad perforada del punto), entonces
.
Las pruebas de las propiedades se presentan en la sección.
"Propiedades de funciones infinitamente grandes".
Relación entre funciones infinitamente grandes e infinitesimales
De las dos propiedades anteriores se desprende la conexión entre funciones infinitamente grandes e infinitesimales.
Si una función es infinitamente grande en , entonces la función es infinitesimal en .
Si una función es infinitesimal para , y , entonces la función es infinitamente grande para .
La relación entre una función infinitesimal y una función infinitamente grande se puede expresar simbólicamente:
,
.
Si una función infinitesimal tiene un cierto signo en , es decir, es positiva (o negativa) en alguna vecindad perforada del punto , entonces este hecho se puede expresar de la siguiente manera:
.
De la misma manera, si una función infinitamente grande tiene un cierto signo en , entonces escriben:
.
Entonces, la conexión simbólica entre funciones infinitamente pequeñas e infinitamente grandes se puede complementar con las siguientes relaciones:
,
,
,
.
Se pueden encontrar fórmulas adicionales relacionadas con los símbolos de infinito en la página
"Puntos al infinito y sus propiedades".
Límites de funciones monótonas.
Definición
Función definida en algún conjunto numeros reales x se llama estrictamente creciente, si para todos tales que se cumpla la siguiente desigualdad:
.
En consecuencia, para estrictamente decreciente función se cumple la siguiente desigualdad:
.
Para no decreciente:
.
Para no creciente:
.
De ello se deduce que una función estrictamente creciente tampoco es decreciente. Una función estrictamente decreciente tampoco es creciente.
La función se llama monótono, si no es decreciente o no creciente.
Teorema
Deje que la función no disminuya en el intervalo donde .
Si está acotado arriba por el número M: entonces hay un límite finito. Si no está limitado desde arriba, entonces.
Si está limitado desde abajo por el número m: entonces hay un límite finito. Si no se limita desde abajo, entonces.
Si los puntos a y b están en el infinito, entonces en las expresiones los signos de límite significan que .
Este teorema se puede formular de forma más compacta.
Deje que la función no disminuya en el intervalo donde . Entonces existen límites unilaterales en los puntos a y b:
;
.
Un teorema similar para una función no creciente.
Deje que la función no aumente en el intervalo donde . Luego hay límites unilaterales:
;
.
La demostración del teorema se presenta en la página.
"Límites de funciones monótonas".
Referencias:
L.D. Kudryavtsev. Curso de análisis matemático. Volumen 1. Moscú, 2003.
CM. Nikolski. Curso de análisis matemático. Volumen 1. Moscú, 1983.
