Los valores medios se utilizan ampliamente en estadística. Los valores medios caracterizan los indicadores cualitativos de la actividad comercial: costes de distribución, beneficio, rentabilidad, etc.
Promedio - Esta es una de las técnicas de generalización comunes. Una comprensión correcta de la esencia del promedio determina su significado especial en las condiciones. economía de mercado, cuando el promedio a través de lo individual y aleatorio nos permite identificar lo general y necesario, identificar la tendencia de los patrones de desarrollo económico.
valor promedio - estos son indicadores generales en los que se expresan las acciones condiciones generales, patrones del fenómeno que se está estudiando.
Los promedios estadísticos se calculan sobre la base de datos de masa procedentes de observaciones de masas correctamente organizadas estadísticamente (continuas y selectivas). Sin embargo, el promedio estadístico será objetivo y típico si se calcula a partir de datos masivos para una población cualitativamente homogénea (fenómenos de masas). Por ejemplo, si calculas el promedio salarios en cooperativas y empresas estatales, y el resultado se extiende a toda la población, entonces el promedio es ficticio, ya que fue calculado en base a una población heterogénea, y dicho promedio pierde todo significado.
Con la ayuda del promedio, se suavizan las diferencias en el valor de una característica que surgen por una razón u otra en unidades de observación individuales.
Por ejemplo, la productividad media de un vendedor depende de muchas razones: calificaciones, antigüedad en el servicio, edad, forma de servicio, salud, etc.
La producción media refleja la propiedad general de toda la población.
El valor promedio es un reflejo de los valores de la característica en estudio, por lo tanto, se mide en la misma dimensión que esta característica.
Cada valor promedio caracteriza a la población en estudio según cualquier característica. Para obtener una comprensión completa y comprensiva de la población en estudio según una serie de características esenciales, en general es necesario contar con un sistema de valores promedio que pueda describir el fenómeno desde diferentes ángulos.
Hay diferentes promedios:
significado aritmetico;
significado geometrico;
Significado armonico;
cuadrado medio;
promedio cronológico.
Veamos algunos tipos de promedios que se utilizan con mayor frecuencia en estadística.
Significado aritmetico
La media aritmética simple (no ponderada) es igual a la suma de los valores individuales del atributo dividida por el número de estos valores.
Los valores individuales de una característica se denominan variantes y se denotan por x(); el número de unidades de población se denota por n, el valor promedio de la característica se denota por 
. Por tanto, la media aritmética simple es igual a:
Según los datos de la serie de distribución discreta, está claro que los mismos valores característicos (variantes) se repiten varias veces. Por tanto, la opción x aparece 2 veces en total, y la opción x 16 veces, etc.
El número de valores idénticos de una característica en la serie de distribución se llama frecuencia o peso y se denota con el símbolo n.
Calculemos el salario medio de un trabajador. 
en frotar.:
El fondo salarial de cada grupo de trabajadores es igual al producto de las opciones y la frecuencia, y la suma de estos productos da el fondo salarial total de todos los trabajadores.
De acuerdo con esto, los cálculos se pueden presentar en forma general:
La fórmula resultante se llama media aritmética ponderada.
Como resultado del procesamiento, el material estadístico se puede presentar no solo en forma de series de distribución discreta, sino también en forma de series de variación de intervalos con intervalos cerrados o abiertos.
El promedio de datos agrupados se calcula utilizando la fórmula del promedio aritmético ponderado:
En la práctica de las estadísticas económicas, a veces es necesario calcular el promedio utilizando promedios de grupo o promedios de partes individuales de la población (promedios parciales). En tales casos, se toman como opciones (x) promedios grupales o privados, a partir de los cuales se calcula el promedio general como promedio aritmético ponderado ordinario.
Propiedades básicas de la media aritmética. .
La media aritmética tiene varias propiedades:
1. El valor de la media aritmética no cambiará al disminuir o aumentar la frecuencia de cada valor de la característica x en n veces.
Si todas las frecuencias se dividen o multiplican por cualquier número, el valor promedio no cambiará.
2. El multiplicador común de los valores individuales de una característica puede llevarse más allá del signo del promedio:
3. El promedio de la suma (diferencia) de dos o más cantidades es igual a la suma (diferencia) de sus promedios:
4. Si x = c, donde c es un valor constante, entonces 
.
5. La suma de las desviaciones de los valores del atributo X de la media aritmética x es igual a cero:
Significado armonico.
Junto a la media aritmética, la estadística utiliza la media armónica, la inversa de la media aritmética de los valores inversos del atributo. Al igual que la media aritmética, puede ser simple y ponderada.
Las características de las series de variación, junto con los promedios, son la moda y la mediana.
Moda - este es el valor de una característica (variante) que se repite con mayor frecuencia en la población en estudio. Para series de distribución discreta, la moda será el valor de la variante de mayor frecuencia.
Para series de distribución de intervalos con intervalos iguales, la moda está determinada por la fórmula:
Dónde 
- valor inicial del intervalo que contiene el modo;
- el valor del intervalo modal;
- frecuencia del intervalo modal;
- frecuencia del intervalo que precede al modal;
- frecuencia del intervalo siguiente al modal.
Mediana - esta es una opción ubicada en el medio de la serie de variaciones. Si la serie de distribución es discreta y tiene un número impar de miembros, entonces la mediana será la opción ubicada en el medio de la serie ordenada (una serie ordenada es la disposición de las unidades de población en orden ascendente o descendente).
Tema 3. Método de promedios
Tamaño promedio en estadística es una característica generalizada de fenómenos y procesos cualitativamente homogéneos según alguna característica variable, que muestra el nivel de la característica relacionada con una unidad de población.
valor promedio
abstracto, porque caracteriza el valor de una característica en alguna unidad impersonal de la población.Esencia El valor medio es que a través de lo individual y aleatorio se revela lo general y necesario, es decir, la tendencia y patrón en el desarrollo de los fenómenos de masas. Las características que se generalizan en valores medios son inherentes a todas las unidades de la población.
Debido a esto, el valor promedio tiene gran importancia identificar patrones inherentes a fenómenos masivos y no perceptibles en unidades individuales de la población. A partir de W. Petty, los promedios comenzaron a considerarse como la principal técnica de análisis estadístico.
Principios generales aplicación de valores medios:
1) es necesaria una elección razonable de la unidad de población para la cual se calcula el valor medio;
2) al determinar el valor promedio se debe partir del contenido cualitativo de la característica que se está promediando, tener en cuenta la relación de las características en estudio, así como los datos disponibles para el cálculo;
3) los valores promedio deben calcularse con base en poblaciones cualitativamente homogéneas, las cuales se obtienen mediante el método de agrupación, que implica el cálculo de un sistema de indicadores generalizadores;
4) los promedios generales deben estar respaldados por promedios grupales.
Dependiendo de la naturaleza de los datos primarios, el ámbito de aplicación y el método de cálculo en estadística, se distinguen los siguientes: principales tipos de medio:
1) promedios de potencia(media aritmética, armónica, geométrica, media cuadrática y cúbica);
2) medios estructurales (no paramétricos)(moda y mediana).
en estadística descripción correcta la población estudiada según una característica variable en cada caso individual da sólo un tipo de promedio muy específico. La cuestión de qué tipo de promedio se debe aplicar en un caso particular se resuelve mediante un análisis específico de la población en estudio, así como en base al principio de significatividad de los resultados al sumar o al sopesar. Estos y otros principios se expresan en las estadísticas. teoría de los promedios.
Por ejemplo, la media aritmética y la media armónica se utilizan para caracterizar el valor promedio de una característica variable en la población que se estudia. La media geométrica se utiliza sólo al calcular las tasas medias de dinámica, y la media cuadrática se utiliza sólo al calcular los índices de variación.
Las fórmulas para calcular los valores promedio se presentan en la Tabla 3.1.
Tabla 3.1 – Fórmulas para calcular valores promedio
| Tipos de promedios | Fórmulas de cálculo | |
| simple | ponderado | |
| 1. Media aritmética |  |
|
| 2. Media armónica | ||
| 3. Media geométrica | ||
| 4. Cuadrado medio |  |
Designaciones:- cantidades para las que se calcula el promedio; - promedio, donde la barra de arriba indica que se promedian los valores individuales; - frecuencia (repetibilidad de valores individuales de una característica).
Obviamente, los diversos promedios se derivan de fórmula general para el promedio de potencia (3.1):
, (3.1)
cuando k = + 1 - media aritmética; k = -1 - media armónica; k = 0 - media geométrica; k = +2 - raíz cuadrática media.
Los valores medios pueden ser simples o ponderados. Promedios ponderados se denominan valores que tienen en cuenta que algunas variantes de valores de atributos pueden tener números diferentes; en este sentido, cada opción debe multiplicarse por este número. Las “escalas” en este caso son el número de unidades agregadas en diferentes grupos, es decir Cada opción está “ponderada” por su frecuencia. La frecuencia f se llama peso estadístico o peso promedio.
Si se estudia una población con características cualitativamente homogéneas, entonces el valor promedio actúa aquí como promedio típico. Por ejemplo, para grupos de trabajadores de una determinada industria con un nivel de ingresos fijo, se determina un gasto promedio típico en necesidades básicas.
Al estudiar una población con características cualitativamente heterogéneas, la atipicidad de los indicadores promedio puede pasar a primer plano. Estos, por ejemplo, son los indicadores promedio del ingreso nacional per cápita producido (diferentes grupos de edad). Los valores medios generalizan valores cualitativamente heterogéneos de características o agregados espaciales sistémicos (comunidad internacional, continente, estado, región, región, etc.) o agregados dinámicos extendidos en el tiempo (siglo, década, año, estación, etc.). ). Estos valores medios se denominan promedios del sistema.
Eventualmente elección correcta del promedio asume la siguiente secuencia:
a) establecer un indicador general de la población;
b) determinación de una relación matemática de cantidades para un indicador general determinado;
c) sustituir valores individuales por valores medios;
d) cálculo del promedio utilizando la ecuación adecuada.
3.2 Media aritmética y sus propiedades y técnicas de cálculo. Significado armonico
Significado aritmetico– el tipo más común de tamaño mediano; se calcula en los casos en que el volumen de la característica promediada se forma como la suma de sus valores para unidades individuales de la población estadística en estudio.
Las propiedades más importantes de la media aritmética. :
1. El producto del promedio por la suma de frecuencias es siempre igual a la suma de los productos de variantes (valores individuales) por frecuencias.
2. Si resta (suma) cualquier número arbitrario de cada opción, entonces el nuevo promedio disminuirá (aumentará) en el mismo número.
3. Si cada opción se multiplica (divide) por algún número arbitrario, entonces el nuevo promedio aumentará (disminuirá) en la misma cantidad.
4. Si todas las frecuencias (pesos) se dividen o multiplican por cualquier número, entonces el promedio aritmético no cambiará.
5. La suma de las desviaciones de las opciones individuales de la media aritmética es siempre cero.
Puedes restar un valor constante arbitrario ( mejor valor opciones intermedias u opciones con mayor frecuencia), reducir las diferencias resultantes por un factor común (preferiblemente por el valor del intervalo), y expresar las frecuencias en detalles (como porcentaje) y multiplicar el promedio calculado por un factor común y sumar un valor constante arbitrario.
Este método para calcular la media aritmética se llama método de cálculo desde cero condicional.
Significado armonico se llama media aritmética inversa, ya que este valor se obtiene en k = -1. Media armónica simple Se utiliza cuando los pesos de los valores característicos son los mismos. Por ejemplo, necesitas calcular la velocidad promedio de dos autos que han recorrido el mismo camino, pero con a diferentes velocidades: primero - a una velocidad de 100 km/h, segundo - 90 km/h. Usando el método de la media armónica, calculamos la velocidad promedio:
En la práctica estadística se utiliza con mayor frecuencia. media armónica ponderada – para aquellos casos en los que los pesos (o volúmenes de fenómenos) de cada atributo no son iguales, y en la relación inicial para calcular el promedio se conoce el numerador, pero se desconoce el denominador.
Por ejemplo, al calcular el precio promedio, debemos utilizar la relación entre el monto de las ventas y el número de unidades vendidas. No sabemos el número de unidades vendidas ( estamos hablando acerca de sobre diferentes bienes), pero se conocen los montos de ventas de estos diferentes bienes. Digamos que necesita averiguar el precio promedio de los bienes vendidos (Tabla 3.2).
Tabla 3.2 – Datos iniciales
Obtenemos:
Si utiliza aquí la fórmula del promedio aritmético, puede obtener un precio promedio que no será realista:
Si, al calcular el precio medio en peso, tomamos la cantidad de bienes, entonces el resultado correcto viene dado por la fórmula del promedio aritmético ponderado. Si utilizamos el coste de los lotes como peso, entonces el promedio armónico da el resultado correcto.
Eso es, promedioLa armónica no es un tipo especial de media, sino más bien un método especial para calcular la media aritmética. En estadística, todavía se acostumbra distinguir la media armónica como un tipo separado de media, porque con su ayuda, se puede simplificar la técnica de cálculo de la media aritmética y, lo que es más importante, se puede tener en cuenta la naturaleza del material estadístico disponible.
También se puede comprobar la exactitud de la elección de la forma de la media (aritmética o armónica). criterio adicional: si se utilizan valores absolutos como ponderaciones, cualquier acción intermedia al calcular el promedio debería dar indicadores significativos. Por ejemplo, para calcular el precio promedio, multiplique el precio por la cantidad de bienes para obtener su costo. Y al dividir el costo de los bienes por sus precios se obtiene la cantidad de bienes.
Utilizando la media armónica en estadística, también se determina el porcentaje promedio de finalización del plan (basado en la implementación real del plan), el tiempo promedio dedicado a realizar las operaciones (basado en el tiempo promedio dedicado a una operación y el tiempo total de trabajo para empleados individuales), etc.
Significado geometrico encuentra su aplicación para determinar las tasas de crecimiento promedio (coeficientes de crecimiento promedio), cuando los valores individuales de una característica se presentan en forma de valores relativos. También se utiliza si es necesario encontrar el promedio entre los valores mínimo y máximo de una característica (por ejemplo, entre 100 y 1000000).
Cuadrado medio Se utiliza para medir la variación de una característica en el agregado (cálculo de la desviación estándar).
Válido en estadística regla de mayoría de promedios:
X daño.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.
Una población estadística está formada por un conjunto de unidades, objetos o fenómenos que son homogéneos en algunos aspectos y al mismo tiempo tienen características diferentes. La magnitud de las características de cada objeto está determinada tanto por las comunes a todas las unidades de la población como por sus características individuales.
Al analizar la serie ordenada de la distribución (ranking, intervalo, etc.), se puede observar que los elementos de la población estadística están claramente concentrados alrededor de ciertos valores centrales. Esta concentración de valores de atributos individuales alrededor de ciertos valores centrales ocurre, por regla general, en todas las distribuciones estadísticas. La tendencia de los valores individuales de la característica en estudio a agruparse alrededor del centro de la distribución de frecuencia se llama tendencia central. Para caracterizar la tendencia central de la distribución se utilizan indicadores generalizadores, que se denominan valores medios.
Tamaño promedio en estadística llaman a un indicador general que caracteriza tamaño típico característica en una población cualitativamente homogénea bajo condiciones específicas de lugar y tiempo y refleja la cantidad de características variables por unidad de población. El valor medio se calcula en la mayoría de los casos dividiendo el volumen total de la característica por el número de unidades que poseen esta característica. Si, por ejemplo, se conocen el fondo salarial mensual y el número de trabajadores por mes, entonces el salario mensual promedio se puede determinar dividiendo el fondo salarial por el número de trabajadores.
Los valores medios son indicadores como la duración media de un día laborable, semana, año, media categoría arancelaria trabajadores, nivel medio de productividad laboral, ingreso nacional medio per cápita, rendimiento medio de cereales en el país, consumo medio de alimentos per cápita, etc.
Los valores promedio se calculan a partir de valores absolutos y relativos, se denominan indicadores y se miden en las mismas unidades de medida que la característica promediada. Caracterizan el valor de la población en estudio con un número. Los valores medios reflejan el nivel objetivo y típico de los fenómenos y procesos socioeconómicos.
Cada promedio caracteriza a la población en estudio según una característica particular, pero para caracterizar cualquier población, describir sus características típicas y características cualitativas, se necesita un sistema de indicadores promedio. Por lo tanto, en la práctica de la estadística nacional, para estudiar los fenómenos socioeconómicos, por regla general, se utiliza sistema de promedios. Por ejemplo, los indicadores de salario medio se evalúan junto con indicadores de productividad laboral (producción media por unidad de tiempo de trabajo), relación capital-trabajo y producción de energía, nivel de mecanización y automatización del trabajo, etc.
En la ciencia y la práctica estadística, los promedios son extremadamente importantes. El método de promedios es uno de los métodos estadísticos más importantes y el promedio es una de las principales categorías de la ciencia estadística. La teoría de los promedios ocupa uno de los lugares centrales en la teoría de la estadística. Los valores promedio son la base para calcular medidas de variación (Sección 5), errores de muestreo (Sección 6), varianza (Sección 8) y Análisis de correlación(sección 9).
También es imposible imaginar estadísticas sin índices, y estos últimos representan esencialmente valores medios. El uso del método de agrupación estadística también conduce al uso de valores medios.
Como ya se señaló, el método de agrupación es uno de los principales métodos estadísticos. El método de promedios en combinación con el método de agrupación es componente Metodología estadística científicamente desarrollada. Los indicadores promedio complementan orgánicamente el método de agrupaciones estadísticas.
Los valores promedio se utilizan para caracterizar cambios en los fenómenos a lo largo del tiempo, para calcular tasas e incrementos de crecimiento promedio. Por ejemplo, una comparación de las tasas de crecimiento promedio de la productividad laboral y los salarios durante un período determinado (varios años) revela la naturaleza del desarrollo del fenómeno durante el período de tiempo estudiado, por separado la productividad laboral y los salarios por separado. Una comparación de las tasas de crecimiento de estos dos fenómenos da una idea de la naturaleza y peculiaridad de la relación entre el crecimiento o disminución de la productividad laboral en relación con su pago durante ciertos períodos de tiempo.
En todos los casos en los que sea necesario caracterizar con un número un conjunto de valores de una característica que cambia, se utiliza su valor medio.
En un agregado estadístico, el valor de una característica cambia de un objeto a otro, es decir, varía. Al promediar estos valores y proporcionar el valor de nivel del atributo a cada miembro de la población, nos abstraemos de los valores individuales del atributo, reemplazando así, por así decirlo, la serie de distribuciones de valores de atributos con el mismo valor igual al valor promedio. Sin embargo, tal abstracción es legítima sólo si el promedio no cambia la propiedad básica en relación con la característica dada en su conjunto. Esta propiedad básica de una población estadística, asociada a los valores individuales de una característica, y que, al promediar, debe mantenerse sin cambios, se denomina propiedad definitoria del promedio en relación con la característica en estudio. En otras palabras, el promedio, que reemplaza los valores individuales del atributo, no debería cambiar el volumen general del fenómeno, es decir, Esta igualdad es obligatoria: el volumen del fenómeno es igual al producto del valor medio por el tamaño de la población. Por ejemplo, si a partir de tres valores de rendimiento de cebada (x, = 20,0; 23,3; 23,6 c/ha), se calcula el promedio (20,0 + 23,3 + 23,6): 3 = 22,3 c/ha ha, entonces de acuerdo con la definición propiedad del promedio se debe observar la siguiente igualdad:
Como se puede ver en el ejemplo anterior, el rendimiento promedio de cebada no coincide con ninguno de los individuales, ya que ninguna finca rindió 22,3 c/ha. Sin embargo, si imaginamos que cada finca recibió 22,3 c/ha, entonces el rendimiento total no cambiará y será igual a 66,9 c/ha. En consecuencia, el promedio, que reemplaza el valor real de indicadores individuales individuales, no puede cambiar el tamaño de la suma total de valores de la característica en estudio.
El principal significado de los valores medios radica en su función generalizadora, es decir, al reemplazar muchos valores individuales diferentes de una característica con un valor promedio que caracteriza todo el conjunto de fenómenos. La capacidad del promedio para caracterizar no unidades individuales, sino expresar el nivel de una característica por cada unidad de la población es su capacidad distintiva. Esta característica hace que el promedio sea un indicador generalizador del nivel de características variables, es decir, un indicador que hace abstracción de los valores individuales del valor de una característica en unidades individuales de la población. Pero el hecho de que la media sea abstracta no la priva de la investigación científica. La abstracción es un grado necesario de cualquier investigación científica. En el valor medio, como en cualquier abstracción, se realiza la unidad dialéctica de lo individual y lo general. La relación entre los valores promedio e individuales de la característica promediada sirve como expresión de la conexión dialéctica entre lo individual y lo general.
El uso de promedios debe basarse en la comprensión y la interrelación de las categorías dialécticas de general e individual, masa e individuo.
El valor medio refleja lo que es común en cada objeto individual e individual. Gracias a esto, el promedio adquiere gran importancia para identificar patrones inherentes a los fenómenos sociales masivos y no perceptibles en los fenómenos individuales.
En el desarrollo de los fenómenos, la necesidad se combina con el azar. Por tanto, los valores medios están relacionados con la ley. números grandes. La esencia de esta conexión es que al calcular el valor promedio, las fluctuaciones aleatorias que tienen diferentes direcciones, debido a la ley de los grandes números, se equilibran, cancelan mutuamente y el valor promedio muestra claramente el patrón básico, la necesidad y la influencia de condiciones generales características de una población determinada. El promedio refleja el nivel típico y real de los fenómenos que se estudian. Estimar estos niveles y cambiarlos en el tiempo y el espacio es una de las principales tareas de los promedios. Así, a través de promedios, por ejemplo, se manifiesta el patrón de aumento de la productividad laboral, el rendimiento de los cultivos y la productividad animal. En consecuencia, los valores promedio representan indicadores generales en los que se expresa el efecto de las condiciones generales y el patrón del fenómeno en estudio.
Utilizando valores medios, estudiamos cambios en los fenómenos en el tiempo y el espacio, tendencias en su desarrollo, conexiones y dependencias entre características, efectividad. diversas formas organización de la producción, mano de obra y tecnología, implementación progreso científico y tecnológico, identificación de nuevos fenómenos y procesos progresivos en el desarrollo de determinados fenómenos y procesos socioeconómicos.
Los valores medios se utilizan ampliamente en el análisis estadístico de fenómenos socioeconómicos, ya que es en ellos donde se manifiestan los patrones y tendencias en el desarrollo de fenómenos sociales masivos que varían tanto en el tiempo como en el espacio. Así, por ejemplo, el patrón de aumento de la productividad laboral en la economía se refleja en el crecimiento de la producción promedio por trabajador empleado en la producción, el aumento de las cosechas brutas, en el crecimiento del rendimiento promedio de los cultivos, etc.
El valor medio da una característica generalizada del fenómeno en estudio basándose en una sola característica, que refleja uno de sus aspectos más importantes. En este sentido, para un análisis integral del fenómeno en estudio, es necesario construir un sistema de valores promedio para una serie de características esenciales interrelacionadas y complementarias.
Para que el promedio refleje lo verdaderamente típico y natural de los fenómenos sociales en estudio, al calcularlo es necesario cumplir con las siguientes condiciones.
1. El criterio por el que se calcula la media debe ser significativo. De lo contrario, se obtendrá una media insignificante o distorsionada.
2. El promedio debe calcularse únicamente para una población cualitativamente homogénea. Por tanto, el cálculo directo de medias debe ir precedido de una agrupación estadística, que permita dividir la población objeto de estudio en grupos cualitativamente homogéneos. En este sentido, la base científica del método de promedios es el método de agrupaciones estadísticas.
La cuestión de la homogeneidad de una población no debe decidirse formalmente por la forma de su distribución. Esto, al igual que la cuestión de la tipicidad del promedio, debe resolverse a partir de las causas y condiciones que forman la totalidad. La totalidad también es homogénea, cuyas unidades se forman bajo la influencia de causas y condiciones principales comunes que determinan nivel general de una característica determinada, característica de toda la población.
3. El cálculo del valor promedio debe basarse en la cobertura de todas las unidades de un tipo determinado o de un conjunto de objetos suficientemente grande para que las fluctuaciones aleatorias sean mutuamente iguales entre sí y aparezca un patrón, tamaños típicos y característicos de la característica. siendo estudiado.
4. Requisito general Al calcular cualquier tipo de valores promedio, es obligatorio mantener sin cambios el volumen total del atributo en el agregado al reemplazar sus valores individuales con el valor promedio (la llamada propiedad definitoria del promedio).
Tema 5. Valores medios como indicadores estadísticos
El concepto de valor medio. Alcance de los promedios en la investigación estadística.
Los valores promedio se utilizan en la etapa de procesamiento y resumen de los datos estadísticos primarios obtenidos. La necesidad de determinar valores medios se debe a que, por regla general, los valores individuales de una misma característica para diferentes unidades de las poblaciones en estudio no son los mismos.
Tamaño promedio Se denomina indicador que caracteriza el valor generalizado de una característica o grupo de características en la población en estudio.
Si se estudia una población con características cualitativamente homogéneas, entonces el valor promedio actúa aquí como promedio típico. Por ejemplo, para grupos de trabajadores de una determinada industria con un nivel de ingresos fijos, se determina el gasto medio típico en necesidades básicas, es decir, el promedio típico generaliza valores cualitativamente homogéneos del atributo en una población determinada, que es la proporción de gastos entre los trabajadores de este grupo en bienes esenciales.
Al estudiar una población con características cualitativamente heterogéneas, la atipicidad de los indicadores promedio puede pasar a primer plano. Estos, por ejemplo, son los indicadores promedio del ingreso nacional per cápita producido (diferentes grupos de edad), los indicadores promedio de rendimiento de cereales en toda Rusia (regiones de diferentes zonas climáticas y diferentes cultivos de cereales), los indicadores promedio de la tasa de natalidad de la población para todas las regiones del país, temperaturas medias para un período determinado, etc. Aquí, los valores medios generalizan valores cualitativamente heterogéneos de características o agregados espaciales sistémicos (comunidad internacional, continente, estado, región, región, etc.) o agregados dinámicos extendidos en el tiempo (siglo, década, año, estación, etc.). ). Estos valores medios se denominan promedios del sistema.
Por tanto, la importancia de los valores medios radica en su función generalizadora. El valor medio reemplaza Número grande valores individuales de una característica, que revelan propiedades comunes inherentes a todas las unidades de la población. Esto, a su vez, nos permite evitar causas aleatorias e identificar patrones generales debidos a causas comunes.
Tipos de valores medios y métodos de cálculo.
En la etapa de procesamiento estadístico se pueden plantear una variedad de problemas de investigación, para cuya solución es necesario seleccionar el promedio adecuado. En este caso, es necesario guiarse por la siguiente regla: las cantidades que representan el numerador y denominador del promedio deben estar lógicamente relacionadas entre sí.
promedios de potencia;
promedios estructurales.
Introduzcamos las siguientes convenciones:
Las cantidades para las que se calcula el promedio;
Promedio, donde la barra de arriba indica que se realiza un promedio de valores individuales;
Frecuencia (repetibilidad de valores característicos individuales).
Se derivan varios promedios de la fórmula general de promedio de potencia:
(5.1)
cuando k = 1 - media aritmética; k = -1 - media armónica; k = 0 - media geométrica; k = -2 - raíz cuadrática media.
Los valores medios pueden ser simples o ponderados. Promedios ponderados Estos son valores que tienen en cuenta que algunas variantes de valores de atributos pueden tener números diferentes, y por lo tanto cada opción tiene que multiplicarse por este número. En otras palabras, las “escalas” son el número de unidades agregadas en diferentes grupos, es decir Cada opción está “ponderada” por su frecuencia. La frecuencia f se llama peso estadístico o peso medio.
Significado aritmetico- el tipo de media más común. Se utiliza cuando el cálculo se realiza sobre datos estadísticos desagrupados, donde se necesita obtener el término promedio. La media aritmética es el valor medio de una característica, al obtenerse el cual el volumen total de la característica en el agregado permanece sin cambios.
La fórmula para la media aritmética (simple) tiene la forma
donde n es el tamaño de la población.
Por ejemplo, el salario medio de los empleados de una empresa se calcula como la media aritmética:
Los indicadores determinantes aquí son el salario de cada empleado y el número de empleados de la empresa. Al calcular el promedio, el monto total de los salarios se mantuvo igual, pero se distribuyó por igual entre todos los empleados. Por ejemplo, es necesario calcular el salario medio de los trabajadores de una pequeña empresa que emplea a 8 personas:
Al calcular los valores promedio, se pueden repetir los valores individuales de la característica que se promedia, por lo que el valor promedio se calcula utilizando datos agrupados. En este caso estamos hablando de utilizar media aritmética ponderada, que tiene la forma
(5.3)
Entonces, necesitamos calcular el precio promedio de las acciones de algunos sociedad Anónima en las operaciones en bolsa. Se sabe que las transacciones se realizaron dentro de los 5 días (5 transacciones), el número de acciones vendidas al tipo de venta se distribuyó de la siguiente manera:
1 - 800 ak. - 1010 frotar.
2 - 650 ak. - 990 frotar.
3 - 700 ak. - 1015 frotar.
4 - 550 ak. - 900 frotar.
5 - 850 ak. - 1150 frotar.
La relación inicial para determinar el precio promedio de las acciones es la relación entre el monto total de transacciones (TVA) y el número de acciones vendidas (KPA):
OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3.634.500;
KPA = 800+650+700+550+850=3550.
En este caso, el precio medio de las acciones era igual a
Es necesario conocer las propiedades de la media aritmética, lo cual es muy importante tanto para su uso como para su cálculo. Podemos distinguir tres propiedades principales que determinaron en gran medida el uso generalizado de la media aritmética en cálculos estadísticos y económicos.
Propiedad uno (cero): la suma de las desviaciones positivas de los valores individuales de una característica de su valor promedio es igual a la suma de las desviaciones negativas. Esta es una propiedad muy importante, ya que muestra que cualquier desviación (tanto + como -) causada por motivos aleatorios se cancelará mutuamente.
Prueba:
Propiedad dos (mínimo): la suma de las desviaciones al cuadrado de los valores individuales de una característica de la media aritmética es menor que la de cualquier otro número (a), es decir hay un número mínimo.
Prueba.
Compilemos la suma de las desviaciones al cuadrado de la variable a:
(5.4)
Para encontrar el extremo de esta función, es necesario igualar su derivada con respecto a a cero:
De aquí obtenemos:
(5.5)
En consecuencia, el extremo de la suma de las desviaciones al cuadrado se alcanza en . Este extremo es un mínimo, ya que una función no puede tener un máximo.
Propiedad tres: la media aritmética de un valor constante es igual a esta constante: para a = const.
Además de estas tres propiedades más importantes de la media aritmética, existen las llamadas propiedades de diseño, que van perdiendo gradualmente su importancia debido al uso de tecnología informática electrónica:
si el valor individual del atributo de cada unidad se multiplica o divide por un número constante, entonces la media aritmética aumentará o disminuirá en la misma cantidad;
la media aritmética no cambiará si el peso (frecuencia) de cada valor de atributo se divide por un número constante;
Si los valores individuales del atributo de cada unidad se reducen o aumentan en la misma cantidad, entonces la media aritmética disminuirá o aumentará en la misma cantidad.
Significado armonico. Este promedio se llama promedio aritmético inverso porque este valor se usa cuando k = -1.
Media armónica simple Se utiliza cuando los pesos de los valores de los atributos son los mismos. Su fórmula se puede derivar de la fórmula básica sustituyendo k = -1:
Por ejemplo, necesitamos calcular la velocidad media de dos coches que recorrieron el mismo camino, pero a diferentes velocidades: el primero a una velocidad de 100 km/h, el segundo a 90 km/h. Usando el método de la media armónica, calculamos la velocidad promedio:
En la práctica estadística, se utiliza con mayor frecuencia el armónico ponderado, cuya fórmula tiene la forma
Esta fórmula se utiliza en los casos en que los pesos (o volúmenes de fenómenos) de cada atributo no son iguales. En la razón inicial para calcular el promedio, se conoce el numerador, pero se desconoce el denominador.
Este capítulo describe el propósito de los valores promedio, analiza sus principales tipos y formas, y los métodos de cálculo. Al estudiar el material presentado, es necesario comprender los requisitos para construir valores promedio, ya que su cumplimiento permite utilizar estos valores como características típicas de los valores de atributos para un conjunto de unidades homogéneas.
Formas y tipos de promedios.
valor promedio es una característica generalizada del nivel de valores de atributos, que se obtiene por unidad de población. A diferencia del valor relativo, que es una medida de la proporción de indicadores, el valor promedio sirve como medida de las características por unidad de población.
La propiedad más importante del valor promedio es que refleja lo que es común a todas las unidades de la población en estudio.
Los valores de los atributos de unidades individuales de la población fluctúan en una dirección u otra bajo la influencia de muchos factores, algunos de los cuales pueden ser significativos o aleatorios. Por ejemplo, las tasas de interés de los préstamos bancarios están determinadas por los factores iniciales de todas las instituciones de crédito (el nivel de reservas obligatorias y la tasa de interés base de los préstamos otorgados a los bancos comerciales por el banco central, etc.), así como por las características de cada transacción específica, dependiendo del riesgo inherente a un préstamo determinado, su tamaño y período de amortización, costos de procesar un préstamo y monitorear su pago, etc.
El valor promedio resume los valores individuales de una característica y refleja la influencia de las condiciones generales que son más características de una población determinada en condiciones específicas de lugar y tiempo. La esencia del promedio radica en el hecho de que anula las desviaciones de los valores característicos de las unidades individuales de la población provocadas por la acción de factores aleatorios y tiene en cuenta los cambios provocados por la acción de los factores principales. El valor promedio reflejará el nivel típico de un rasgo en una población dada de unidades cuando se calcula a partir de una población cualitativamente homogénea. En este sentido, el método promedio se utiliza en combinación con el método de agrupación.
Los valores medios que caracterizan a la población en su conjunto se denominan general, y promedios, que reflejan las características de un grupo o subgrupo, - grupo.
La combinación de promedios generales y grupales permite realizar comparaciones en el tiempo y el espacio y amplía significativamente los límites del análisis estadístico. Por ejemplo, al resumir los resultados del censo de 2002, se encontró que para Rusia, como para la mayoría países europeos, caracterizado por una población que envejece. Comparado con el censo de 1989 edad promedio de los residentes del país aumentó en tres años y ascendió a 37,7 años, los hombres - 35,2 años, las mujeres - 40,0 años (según datos de 1989, estas cifras fueron 34,7, 31,9 y 37,2 años, respectivamente). Según Rosstat, en 2011 la esperanza de vida al nacer para los hombres era de 63 años y para las mujeres, de 75,6 años.
Cada promedio refleja la peculiaridad de la población estudiada según una característica. Para tomar decisiones prácticas, por regla general, es necesario caracterizar a la población según varias características. En este caso se utiliza un sistema de promedios.
Por ejemplo, para lograr el nivel requerido de rentabilidad de las operaciones con un nivel aceptable de riesgo en las actividades bancarias, las tasas de interés promedio de los préstamos emitidos se fijan teniendo en cuenta las tasas de interés promedio de los depósitos y otros instrumentos financieros.
La forma, tipo y método de cálculo del valor promedio dependen del propósito declarado del estudio, el tipo y relación de las características en estudio, así como de la naturaleza de los datos iniciales. Los promedios se dividen en dos categorías principales:
- 1) promedios de potencia;
- 2) promedios estructurales.
La fórmula del promedio está determinada por el valor de la potencia del promedio aplicado. Con exponente creciente k el valor medio aumenta en consecuencia.
