- 09.10.2014
Şəkildə göstərilən səs gücləndiricisi mikrofon, CD-pleyer, radio maqnitofon və s. kimi 4 növ səs mənbəyi ilə istifadə üçün nəzərdə tutulub. Eyni zamanda, gücləndiricidə həssaslığı 50-dən dəyişə bilən bir giriş var. mV-dən 500 mV-ə qədər. gücləndiricinin çıxış gərginliyi 1000 mV-dir. SA1 açarını dəyişdirərkən müxtəlif siqnal mənbələrini birləşdirərək, biz həmişə ...
- 20.09.2014
Enerji təchizatı bloku 15 ... 20 Vt gücündə bir yük üçün nəzərdə tutulmuşdur. Mənbə tək dövrəli impulslu yüksək tezlikli çeviricinin sxeminə uyğun olaraq hazırlanır. Transistorda 20 ... 40 kHz tezliyində işləyən bir avtogenerator yığılır. Tezlik C5 kondansatörü ilə tənzimlənir. VD5, VD6 və C6 elementləri avtomatik generatorun başlanğıc dövrəsini təşkil edir. In ikincil dövrə körpü rektifikatorundan sonra mikrosxemdə şərti xətti stabilizator var ki, bu da sizə ...
- 28.09.2014
Şəkildə tezliyi gərginliklə idarə olunan K174XA11 mikrosxemində generator göstərilir. C1 tutumu 560-dan 4700pF-ə qədər dəyişdikdə geniş tezlik diapazonu əldə edilə bilər, tezlik isə R4 müqavimətini dəyişdirərək tənzimlənir. Məsələn, müəllif tapdı ki, C1 = 560pF ilə generator tezliyi R4 ilə 600Hz-dən 200kHz-ə qədər dəyişdirilə bilər, ...
- 03.10.2014
Bölmə güclü ULF-ni gücləndirmək üçün nəzərdə tutulmuşdur, o, ± 27V çıxış gərginliyi və s. hər qolda 3A-a qədər yüklər üçün nəzərdə tutulmuşdur. Enerji təchizatı bloku KT825-KT827 tam kompozit tranzistorlar üzərində hazırlanmış ikiqütblüdür. Stabilizatorun hər iki qolu eyni dövrəyə uyğun olaraq hazırlanır, lakin digər qolda (göstərilmir) kondansatörlərin polaritesi dəyişdirilir və digərinin tranzistorları istifadə olunur ...
Məkan fiqurlarının həcmini hesablamaq bacarığı həndəsədən bir sıra praktiki məsələlərin həlli zamanı vacibdir. Ən çox yayılmış formalardan biri piramidadır. Bu yazıda həm tam, həm də kəsilmiş piramidaları nəzərdən keçirəcəyik.
Piramida üçölçülü fiqur kimi
Hər kəs Misir piramidaları haqqında bilir, ona görə də hansı rəqəmin müzakirə ediləcəyi barədə yaxşı təsəvvürləri var. Buna baxmayaraq, Misir daş strukturları nəhəng piramidalar sinfinin yalnız xüsusi bir halıdır.
Ümumi halda nəzərdən keçirilən həndəsi obyekt çoxbucaqlı əsasdır, hər bir təpəsi fəzada bazanın müstəvisinə aid olmayan hansısa nöqtə ilə bağlıdır. Bu tərif bir n-bucaqlı və n üçbucaqdan ibarət rəqəmə gətirib çıxarır.
İstənilən piramida n + 1 üzdən, 2 * n kənardan və n + 1 təpədən ibarətdir. Baxılan fiqur mükəmməl çoxbucaqlı olduğundan, işarələnmiş elementlərin ədədləri Eyler bərabərliyinə tabedir:
2 * n = (n + 1) + (n + 1) - 2.
Bazadakı çoxbucaqlı piramidaya ad verir, məsələn, üçbucaqlı, beşbucaqlı və s. ilə piramidalar dəsti müxtəlif səbəblər aşağıdakı fotoda göstərilmişdir.
Fiqurun n üçbucağının birləşdirildiyi nöqtəyə piramidanın yuxarı hissəsi deyilir. Ondan əsasa perpendikulyar endirilirsə və onu həndəsi mərkəzdə kəsirsə, belə bir fiqur düz xətt adlanacaqdır. Bu şərt yerinə yetirilməzsə, maili piramida baş verir.
Bazasını bərabərtərəfli (konformal) n-qonşusu təşkil edən düz fiqur müntəzəm adlanır.
Piramidanın həcminin düsturu
Piramidanın həcmini hesablamaq üçün inteqral hesablamadan istifadə edəcəyik. Bunun üçün bazaya paralel kəsici təyyarələrlə rəqəmi sonsuz sayda nazik təbəqələrə bölürük. Aşağıdakı şəkildə hündürlüyü h və yan uzunluğu L olan dördbucaqlı piramida göstərilir, burada dördbucaq işarələnir. nazik təbəqə bölmə.
Hər bir belə təbəqənin sahəsi düsturla hesablana bilər:
A (z) = A 0 * (h-z) 2 / h 2.
Burada A 0 baza sahəsi, z şaquli koordinatın qiymətidir. Görünür ki, z = 0 olarsa, düstur A 0 qiymətini verir.
Piramidanın həcminin düsturunu əldə etmək üçün rəqəmin bütün hündürlüyündə inteqralı hesablamalısınız, yəni:
V = ∫ h 0 (A (z) * dz).
A (z) asılılığını əvəz edərək və əks törəməni hesablayaraq ifadəyə gəlirik:
V = -A 0 * (h-z) 3 / (3 * h 2) | h 0 = 1/3 * A 0 * h.
Piramidanın həcmi üçün düstur aldıq. V dəyərini tapmaq üçün fiqurun hündürlüyünü bazanın sahəsinə vurmaq və nəticəni üçə bölmək kifayətdir.
Nəzərə alın ki, alınan ifadə ixtiyari tipli piramidanın həcmini hesablamaq üçün etibarlıdır. Yəni, meylli ola bilər və onun əsası ixtiyari n-gon ola bilər.
və onun həcmi
Yuxarıdakı paraqrafda əldə edilən həcm üçün ümumi düstur müntəzəm əsaslı bir piramida vəziyyətində aydınlaşdırıla bilər. Belə bir bazanın sahəsi aşağıdakı düsturla hesablanır:
A 0 = n / 4 * L 2 * ctg (pi / n).
Burada L n təpəsi olan düzgün çoxbucaqlının yan uzunluğudur. Pi simvolu pidir.
Ümumi düsturda A 0 ifadəsini əvəz edərək həcmi əldə edirik düzgün piramida:
V n = 1/3 * n / 4 * L 2 * h * ctg (pi / n) = n / 12 * L 2 * h * ctg (pi / n).
Məsələn, üçbucaqlı bir piramida üçün bu düstur aşağıdakı ifadəyə gətirib çıxarır:
V 3 = 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) = √3 / 12 * L 2 * h.
Adi dördbucaqlı piramida üçün həcm düsturu aşağıdakı formanı alır:
V 4 = 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) = 1/3 * L 2 * h.
Müntəzəm piramidaların həcmlərini təyin etmək üçün onların əsasının tərəfini və fiqurun hündürlüyünü bilmək lazımdır.
Kəsilmiş piramida
Tutaq ki, biz ixtiyari bir piramida götürdük və ondan təpəsi olan yan səthin bir hissəsini kəsdik. Qalan forma kəsilmiş piramida adlanır. O, artıq iki n-bucaqlı əsasdan və onları birləşdirən n trapesiyadan ibarətdir. Əgər kəsici müstəvi fiqurun əsasına paralel idisə, o zaman paralel oxşar əsasları olan kəsilmiş piramida əmələ gəlir. Yəni, onlardan birinin tərəflərinin uzunluqlarını digərinin uzunluqlarını hansısa k əmsalı ilə vurmaqla almaq olar.
Yuxarıdakı rəqəm kəsilmiş müntəzəmni nümayiş etdirir. Görünür ki, onun yuxarı əsası, aşağısı kimi, müntəzəm altıbucaqlıdan əmələ gəlir.
Bənzər bir inteqral hesablamadan istifadə edərək əldə edilə bilən düstur:
V = 1/3 * h * (A 0 + A 1 + √ (A 0 * A 1)).
Burada A 0 və A 1 müvafiq olaraq aşağı (böyük) və yuxarı (kiçik) bazaların sahələridir. H dəyişəni kəsilmiş piramidanın hündürlüyünü bildirir.
Cheops piramidasının həcmi
Ən böyük Misir piramidasının içərisində olan həcmi müəyyənləşdirmək problemini həll etmək maraqlıdır.
1984-cü ildə ingilis misirşünasları Mark Lehner və Jon Goodman Cheops piramidasının dəqiq ölçülərini təyin etdilər. Onun ilkin hündürlüyü 146,50 metr (hazırda təxminən 137 metr) idi. Quruluşun dörd tərəfinin hər birinin orta uzunluğu 230,363 metr olub. Piramidanın əsası ilə yüksək dəqiqlik kvadratdır.
Bu daş nəhənginin həcmini müəyyən etmək üçün yuxarıdakı rəqəmlərdən istifadə edəcəyik. Piramida müntəzəm dördbucaqlı olduğundan, düstur onun üçün etibarlıdır:
Rəqəmləri əvəz edirik, alırıq:
V 4 = 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 m 3.
Cheops piramidasının həcmi demək olar ki, 2,6 milyon m3-dir. Müqayisə üçün qeyd edək ki, Olimpiya hovuzunun həcmi 2,5 min m 3 təşkil edir. Yəni bütün Cheops piramidasını doldurmaq üçün 1000-dən çox belə hovuza ehtiyac olacaq!
Üzlərindən birinin çoxbucaqlı, digər üzlərinin isə ümumi təpəsi olan üçbucaqlı olduğu çoxüzlüyə piramida deyilir.
Piramidanı təşkil edən bu üçbucaqlar adlanır yan üzlər və qalan çoxbucaqlıdır əsas piramidalar.
Piramidanın təməlində yerləşir həndəsi fiqur- n-gon. Bu vəziyyətdə piramida da adlanır n tərəfli.
Bütün kənarları bərabər olan üçbucaqlı piramida adlanır tetraedr.
Piramidanın təmələ aid olmayan kənarları adlanır yanal və onların ortaq nöqtə- bu təpə piramidalar. Piramidanın digər kənarları adətən adlanır əsas partiyalar.
Piramida adlanır düzgün, əgər onun bazasında düzgün çoxbucaqlı varsa və bütün yan kənarları bir-birinə bərabərdirsə.
Piramidanın yuxarısından təməl müstəvisinə qədər olan məsafə deyilir hündürlük piramidalar. Deyə bilərik ki, piramidanın hündürlüyü bazaya perpendikulyar olan seqmentdir, ucları piramidanın yuxarı hissəsində və təməl müstəvisindədir.
Hər hansı bir piramida üçün aşağıdakı düsturlar uyğundur:
1) S tam = S tərəfi + S əsas, harada
S tam - piramidanın ümumi səth sahəsi;
S tərəfi - yanal səth sahəsi, yəni. piramidanın bütün yan üzlərinin sahələrinin cəmi;
S əsas - piramidanın əsas sahəsi.
2) V = 1/3 S əsas N, harada
V - piramidanın həcmi;
H piramidanın hündürlüyüdür.
üçün düzgün piramida Baş verir:
S tərəfi = 1/2 P əsas h, harada
P əsas - piramidanın əsasının perimetri;
h - apotem uzunluğu, yəni piramidanın yuxarısından enən yanal üzün hündürlüyünün uzunluğu.
Piramidanın iki müstəvi arasında qapalı olan hissəsinə - əsasın müstəvisi və təmələ paralel çəkilmiş kəsici müstəvi deyilir. kəsilmiş piramida.
Piramidanın əsası və piramidanın paralel müstəvi ilə kəsişməsi adlanır əsaslar kəsilmiş piramida. Qalan üzlər adlanır yanal... Əsasların müstəviləri arasındakı məsafə deyilir hündürlük kəsilmiş piramida. Əsaslara aid olmayan qabırğalar deyilir yanal.
Həmçinin, kəsilmiş piramidanın əsası oxşar n-qonlar... Əgər kəsilmiş piramidanın əsasları düzgün çoxbucaqlıdırsa və bütün yan kənarları bir-birinə bərabərdirsə, belə kəsilmiş piramida adlanır. düzgün.
üçün ixtiyari kəsilmiş piramida aşağıdakı düsturlar var:
1) S tam = S tərəfi + S 1 + S 2, harada
S tam - ümumi səth sahəsi;
S tərəfi - yanal səth sahəsi, yəni. trapezoidlər olan kəsilmiş piramidanın bütün yan üzlərinin sahələrinin cəmi;
S 1, S 2 - əsasların sahəsi;
2) V = 1/3 (S 1 + S 2 + √ (S 1 S 2)) H, harada
V - kəsilmiş piramidanın həcmi;
H - kəsilmiş piramidanın hündürlüyü.
üçün düzgün kəsilmiş piramida bizdə də var:
S tərəfi = 1/2 (P 1 + P 2) h, harada
P 1, P 2 - əsas perimetrlər;
h - apotem (trapezoid olan yan üzün hündürlüyü).
Kəsilmiş piramida üçün bir neçə vəzifəni nəzərdən keçirək.
Məqsəd 1.
Hündürlüyü 10 olan üçbucaqlı kəsikli piramidada əsaslardan birinin tərəfləri 27, 29 və 52-dir. Digər təməlin perimetri 72 olarsa, kəsilmiş piramidanın həcmini təyin edin.
Həll.
Şəkildə göstərilən kəsilmiş ABCA 1 B 1 C 1 piramidasını nəzərdən keçirək Şəkil 1.
1. Kəsilmiş piramidanın həcmini düsturla tapmaq olar
V = 1 / 3H (S 1 + S 2 + √ (S 1 S 2)), burada S 1 əsaslardan birinin sahəsidir, Heron düsturu ilə tapıla bilər.
S = √ (p (p - a) (p - b) (p - c)),
ildən məsələdə üçbucağın üç tərəfinin uzunluqları verilmişdir.
Bizdə: p 1 = (27 + 29 + 52) / 2 = 54.
S 1 = √ (54 (54 - 27) (54 - 29) (54 - 52)) = √ (54 27 25 2) = 270.
2. Piramida kəsilmişdir, bu o deməkdir ki, oxşar çoxbucaqlılar əsaslarda yerləşir. Bizim vəziyyətimizdə ABC üçbucağı A 1 B 1 C 1 üçbucağına bənzəyir. Bundan əlavə, oxşarlıq əmsalı nəzərdən keçirilən üçbucaqların perimetrlərinin nisbəti kimi tapıla bilər və onların sahələrinin nisbəti oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabər olacaqdır. Beləliklə, bizdə:
S 1 / S 2 = (P 1) 2 / (P 2) 2 = 108 2/72 2 = 9/4. Deməli, S 2 = 4S 1/9 = 4 · 270/9 = 120.
Beləliklə, V = 1/3 10 (270 + 120 + √ (270 120)) = 1900.
Cavab: 1900.
Məqsəd 2.
Üçbucaqlı kəsikli piramidada üst bazanın kənarından əks yan kənara paralel bir müstəvi çəkilir. Bazaların müvafiq tərəfləri 1: 2 olarsa, kəsilmiş piramidanın həcmi hansı nisbətdə bölündü?
Həll.
ABCA 1 B 1 C 1 -də göstərilən kəsilmiş piramidaya nəzər salın düyü. 2.
Əsaslardakı tərəflər 1: 2 nisbətində əlaqəli olduğundan, əsasların sahələri 1: 4 kimi əlaqələndirilir (ABC üçbucağı A1 B 1 C 1 üçbucağına bənzəyir).
Sonra kəsilmiş piramidanın həcmi:
V = 1 / 3h (S 1 + S 2 + √ (S 1 S 2)) = 1 / 3h (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 h S 2, burada S 2 sahəsidir yuxarı baza, h hündürlükdür.
Lakin ADEA 1 B 1 C 1 prizmasının həcmi V 1 = S 2 h və buna görə də,
V 2 = V - V 1 = 7/3 h S 2 - h S 2 = 4/3 h S 2.
Beləliklə, V 2: V 1 = 3: 4.
Cavab: 3:4.
Məqsəd 3.
Düzgün dördbucaqlı kəsikli piramidanın bünövrələrinin tərəfləri 2 və 1-ə bərabərdir, hündürlüyü isə 3-dür. Piramidanın əsaslarına paralel olan diaqonalların kəsişməsindən piramidanı iki hissəyə ayıran müstəvi çəkilir. Onların hər birinin həcmini tapın.
Həll.
Şəkildə göstərilən kəsilmiş ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 piramidasını nəzərdən keçirək. düyü. 3.
Biz O 1 O 2 = x, sonra OO₂ = O 1 O - O 1 O 2 = 3 - x işarə edirik.
B 1 O 2 D 1 üçbucağını və B 2 D üçbucağını nəzərdən keçirək:
bucaq B 1 O 2 D 1 bucağa bərabərdir VO 2 D şaquli olaraq;
BDO 2 bucağı D 1 B 1 O 2 bucağına və O 2 BD bucağına B 1 D 1-də kəsişmə kimi B 1 D 1 O 2 bucağına bərabərdir || BD və müvafiq olaraq B₁D və BD₁ sekantları.
Beləliklə, B 1 O 2 D 1 üçbucağı BO 2 D üçbucağına bənzəyir və tərəflərin nisbəti belə olur:
B1D 1 / BD = O 1 O 2 / OO 2 və ya 1/2 = x / (x - 3), buradan x = 1.
B 1 D 1 B üçbucağını və LO 2 B üçbucağını nəzərdən keçirək: B bucağı ümumidir və B 1 D 1 üçün birtərəfli bucaq cütü də var || LM, buna görə də B 1 D 1 B üçbucağı LO 2 B üçbucağına bənzəyir, buradan B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, yəni.
LO 2 = 2/3 B 1 D 1, LN = 4/3 B 1 D 1.
Onda S KLMN = 16/9 S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.
Beləliklə, V 1 = 1/3 2 (4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.
V 2 = 1/3 1 (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.
Cavab: 152/27; 37/27.
blog saytı, materialın tam və ya qismən surəti ilə mənbəyə keçid tələb olunur.
piramida. Kəsilmiş piramida
piramidaçoxbucaqlı adlanır, üzlərindən biri çoxbucaqlıdır ( əsas ) və bütün digər üzlər ümumi təpəsi olan üçbucaqlardır ( yan üzlər ) (şək. 15). Piramida adlanır düzgün , əgər onun əsası düzgün çoxbucaqlıdırsa və piramidanın yuxarı hissəsi bünövrənin mərkəzinə proqnozlaşdırılıbsa (şək. 16). Bütün kənarlarının bərabər olduğu üçbucaqlı piramida deyilir tetraedr .
Yan qabırğa piramida yan üzün bazaya aid olmayan tərəfidir Hündürlük piramida onun yuxarısından baza müstəvisinə qədər olan məsafə adlanır. Normal piramidanın bütün yan kənarları bir-birinə bərabərdir, bütün yan kənarları bərabər ikitərəfli üçbucaqlardır. Yuxarıdan çəkilmiş müntəzəm piramidanın yan üzünün hündürlüyü deyilir apotem . Diaqonal bölmə piramidanın bölməsi bir üzə aid olmayan iki yan kənardan keçən müstəvi adlanır.
Yan səth sahəsi piramida bütün yan üzlərin sahələrinin cəmi adlanır. Tam səth sahəsi bütün yan üzlərin və əsasın sahələrinin cəminə deyilir.
Teoremlər
1. Əgər piramidada bütün yanal kənarlar əsas müstəvisinə bərabər şəkildə meyllidirsə, onda piramidanın yuxarı hissəsi baza ilə əhatə olunmuş dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.
2. Əgər piramidada bütün yan kənarların uzunluğu bərabərdirsə, o zaman piramidanın yuxarı hissəsi baza ilə əhatə olunmuş dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.
3. Əgər piramidada bütün üzlər eyni dərəcədə təməl müstəvisinə meyllidirsə, onda piramidanın yuxarı hissəsi əsasda yazılmış dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.
İxtiyari piramidanın həcmini hesablamaq üçün aşağıdakı düstur düzgündür:
harada V- həcm;
S əsas- baza sahəsi;
H- piramidanın hündürlüyü.
Düzgün piramida üçün düsturlar düzgündür:
harada səh- baza perimetri;
h a- apotem;
H- hündürlük;
S dolu
S tərəfi
S əsas- baza sahəsi;
V- düzgün piramidanın həcmi.
Kəsilmiş piramida piramidanın baza ilə paralel müstəvisi arasında qapalı olan piramida hissəsi adlanır (şək. 17). Daimi kəsilmiş piramida müntəzəm piramidanın piramidanın təməlinə paralel əsası ilə kəsici müstəvisi arasında yerləşən hissəsi adlanır.
Vəqflər kəsilmiş piramidalar - oxşar çoxbucaqlılar. Yan üzlər - trapesiya. Hündürlük kəsilmiş piramida onun əsasları arasındakı məsafədir. Diaqonal kəsilmiş piramida eyni üzdə yatmayan təpələrini birləşdirən seqment adlanır. Diaqonal bölmə kəsilmiş piramidanın bir hissəsi bir üzə aid olmayan iki yan kənardan keçən müstəvi adlanır.
Kəsilmiş piramida üçün aşağıdakı düsturlar etibarlıdır:
(4)
harada S 1 , S 2 - yuxarı və aşağı əsasların sahələri;
S dolu- ümumi səth sahəsi;
S tərəfi- yanal səth sahəsi;
H- hündürlük;
V- kəsilmiş piramidanın həcmi.
Düzgün kəsilmiş piramida üçün düstur düzgündür:
harada səh 1 , səh 2 - əsasların perimetrləri;
h a- müntəzəm kəsilmiş piramidanın apotemi.
Misal 1. Düzgün üçbucaqlı piramida bazada dihedral bucaq 60º-dir. Yan kənarın baza müstəvisinə meyl bucağının tangensini tapın.
Həll. Gəlin rəsm çəkək (şək. 18).
 |
Piramida düzgündür, buna görə də əsasda bərabərtərəfli üçbucaq və bütün yan üzlər bərabər ikitərəfli üçbucaqlardır. Bazadakı dihedral bucaq piramidanın yan üzünün təməl müstəvisinə meyl bucağıdır. Xətti bucaq bucaqdır a iki perpendikulyar arasında: və yəni. Piramidanın yuxarı hissəsi üçbucağın mərkəzində proyeksiya edilmişdir (dairənin mərkəzi və üçbucaqda yazılmış dairə) ABC). Yanal qabırğanın meyl açısı (məsələn SB) Kənarın özü ilə onun təməl müstəvisinə proyeksiyası arasındakı bucaqdır. Qabırğa üçün SB bu bucaq bucaq olacaq SBD... Tangensi tapmaq üçün ayaqları bilmək lazımdır BELƏ Kİ və OB... Seqmentin uzunluğuna icazə verin BD 3-ə bərabərdir a... Nöqtə O bölmə BD hissələrə bölünür: və Biz tapırıq BELƏ Kİ: 
Biz tapırıq: 
Cavab:
Misal 2. Düzgün kəsilmiş dördbucaqlı piramidanın həcmini tapın, əgər onun əsaslarının diaqonalları sm və sm, hündürlüyü isə 4 sm-dir.
Həll. Kəsilmiş piramidanın həcmini tapmaq üçün (4) düsturundan istifadə edirik. Bazaların sahəsini tapmaq üçün onların diaqonallarını bilməklə əsas kvadratların tərəflərini tapmaq lazımdır. Əsasların tərəfləri müvafiq olaraq 2 sm və 8 sm-dir.Beləliklə, əsasların sahələri və düsturdakı bütün məlumatları əvəz edərək, kəsilmiş piramidanın həcmini hesablayırıq:
Cavab: 112 sm 3.
Misal 3.Əsaslarının tərəfləri 10 sm və 4 sm, piramidanın hündürlüyü 2 sm olan müntəzəm üçbucaqlı kəsikli piramidanın yan üzünün sahəsini tapın.
Həll. Gəlin rəsm çəkək (şək. 19).
Bu piramidanın yan üzü isosceles trapezoiddir. Trapezoidin sahəsini hesablamaq üçün baza və hündürlüyü bilmək lazımdır. Əsaslar şərtlə verilir, yalnız hündürlük naməlum olaraq qalır. Hardan tapacağıq A 1 E nöqtəsinə perpendikulyar A 1 alt baza müstəvisində, A 1 D-dən perpendikulyar A 1 haqqında AS. A 1 E= 2 sm, çünki bu piramidanın hündürlüyüdür. Tapmaq DE yuxarıdan görünüşü təsvir edəcək əlavə bir rəsm çəkək (şək. 20). Nöqtə O- yuxarı və aşağı əsasların mərkəzlərinin proyeksiyası. ildən (bax. şək. 20) və digər tərəfdən tamam Yazılı dairənin radiusu və 
OM- yazılmış dairənin radiusu:
MK = DE.
Pifaqor teoremi ilə
Yan üz sahəsi: 
Cavab:
Misal 4. Piramidanın təməlində əsasları ikitərəfli trapesiya yerləşir a və b (a> b). Hər biri yan kənar-ə bərabər olan piramidanın əsasının müstəvisi ilə bucaq əmələ gətirir j... Piramidanın ümumi səth sahəsini tapın.
Həll. Gəlin rəsm çəkək (şək. 21). Piramidanın ümumi səth sahəsi SABCD trapezoidin sahələrinin və sahəsinin cəminə bərabərdir A B C D.
Gəlin belə bir ifadədən istifadə edək ki, əgər piramidanın bütün üzləri təməl müstəvisinə bərabər meyllidirsə, zirvə əsasda yazılmış dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir. Nöqtə O- təpə proyeksiyası S piramidanın təməlində. Üçbucaq SODüçbucağın ortoqonal proyeksiyasıdır CSD baza müstəvisində. Bir müstəvi fiqurun ortoqonal proyeksiyasının sahəsinə dair teoremlə alırıq:
Eynilə, o deməkdir 
Beləliklə, vəzifə trapezoidin sahəsini tapmaq üçün azaldı A B C D... Trapesiya çəkin A B C D ayrıca (şək. 22). Nöqtə O- trapezoidə yazılmış dairənin mərkəzi.
Pifaqor teoremi ilə bir dairə trapesiyaya daxil edilə bildiyi üçün ya From,
- Bu, piramidanın əsası və ona paralel kəsiyindən əmələ gələn çoxüzlüdür. Kəsilmiş piramidanın üstü kəsilmiş bir piramida olduğunu söyləyə bilərik. Bu forma bir çox unikal xüsusiyyətlərə malikdir:
- Piramidanın yan üzləri trapesiyadır;
- Düzgün kəsilmiş piramidanın yan qabırğaları bərabər uzunluqdadır və eyni bucaq altında bazaya meyllidir;
- Əsaslar çoxbucaqlı kimidir;
- Müntəzəm kəsilmiş piramidada üzlər sahəsi bərabər olan eyni ikitərəfli trapesiyalardır. Onlar da eyni açı ilə bazaya əyilirlər.
Kəsilmiş piramidanın yanal səthinin düsturu onun tərəflərinin sahələrinin cəmidir: 
Kəsilmiş piramidanın tərəfləri trapesiya olduğundan, parametrləri hesablamaq üçün düsturdan istifadə etməli olacaqsınız. trapezoidin sahəsi... Düzgün kəsilmiş piramida üçün fərqli bir sahə formulunu tətbiq edə bilərsiniz. Onun bütün tərəfləri, üzləri və təməldəki bucaqları bərabər olduğundan, siz baza və apotem perimetrlərini tətbiq edə, həmçinin bazadakı bucaq vasitəsilə sahəni çıxara bilərsiniz.
Müntəzəm kəsilmiş piramidada şərtlərə uyğun olaraq apotem (yan tərəfin hündürlüyü) və bünövrənin tərəflərinin uzunluqları verilmişdirsə, onda sahə cəminin yarı məhsulu ilə hesablana bilər. əsasların perimetrləri və apotem:
Kəsilmiş piramidanın yanal səthinin sahəsinin hesablanması nümunəsinə baxaq.
Müntəzəm beşbucaqlı piramida verilmişdir. Apotem l= 5 sm, böyük bazada üzün uzunluğu a= 6 sm, kənarı isə kiçik bazada b= 4 sm Kəsilmiş piramidanın sahəsini hesablayın.
Əvvəlcə təməllərin perimetrlərini tapaq. Bizə beşbucaqlı piramida verildiyi üçün əsasların beşbucaqlı olduğunu başa düşürük. Bu o deməkdir ki, beş eyni tərəfi olan bir fiqur əsaslarda yerləşir. Daha böyük bazanın perimetrini tapın:
Eyni şəkildə, kiçik bazanın perimetrini tapırıq:
İndi düzgün kəsilmiş piramidanın sahəsini hesablaya bilərik. Verilənləri düsturla əvəz edirik:
Beləliklə, perimetrlər və apotem vasitəsilə müntəzəm kəsilmiş piramidanın sahəsini hesabladıq.
Adi bir piramidanın yanal səthinin sahəsini hesablamaq üçün başqa bir üsul düsturdur bazadakı künclər və bu əsasların sahəsi vasitəsilə.
Bir hesablama nümunəsinə nəzər salaq. Unutmayın ki, bu düstur yalnız adi kəsilmiş piramidaya aiddir.
Düzgün olanı verilsin dördbucaqlı piramida... Alt bazanın kənarı a = 6 sm, üst bazanın kənarı isə b = 4 sm.Bazada ikitərəfli bucaq β = 60 °-dir. Düzgün kəsilmiş piramidanın yan səthinin sahəsini tapın.
Əvvəlcə təməllərin sahəsini hesablayaq. Piramida düzgün olduğundan, əsasların bütün üzləri bir-birinə bərabərdir. Bazada dördbucaqlı olduğunu nəzərə alsaq, hesablamanın lazım olacağını başa düşürük kvadrat sahə... Bu enin və uzunluğun məhsuludur, lakin bu dəyərlər eyni kvadratdır. Daha böyük bazanın sahəsini tapın: 
İndi yanal səth sahəsini hesablamaq üçün tapılan dəyərlərdən istifadə edirik. 
Bir neçə sadə düsturları bilməklə, müxtəlif dəyərlər vasitəsilə kəsilmiş piramidanın yanal trapesiyasının sahəsini asanlıqla hesabladıq.
