Bence bundan daha fazlasını hak ediyorsun. İşte trigonometri anahtarım:
- Kubbeyi, duvarı ve tavanı çizin
- Trigonometrik fonksiyonlar bu üç formun yüzdelerinden başka bir şey değildir.
Sinüs ve kosinüs metaforu: kubbe
Sadece üçgenlere bakmak yerine, gerçek hayattan belirli bir örnek bularak onları çalışırken hayal edin.
Bir kubbenin ortasında olduğunuzu ve bir film projektör ekranı asmak istediğinizi hayal edin. Parmağınızı kubbeye belirli bir “x” açısıyla doğrultuyorsunuz ve ekranın bu noktadan asılı kalması gerekiyor.
İşaret ettiğiniz açı şunları belirler:
- sinüs(x) = sin(x) = ekran yüksekliği (zeminden kubbe montaj noktasına kadar)
- kosinüs(x) = cos(x) = sizden ekrana olan mesafe (kata göre)
- hipotenüs, sizden ekranın tepesine olan mesafe, her zaman aynıdır, kubbenin yarıçapına eşittir
Ekranın mümkün olduğunca büyük olmasını mı istiyorsunuz? Doğrudan üzerinize asın.
Ekranın sizden mümkün olduğunca uzağa asılmasını mı istiyorsunuz? Düz bir şekilde dik olarak asın. Bu konumda ekranın yüksekliği sıfır olacak ve istediğiniz gibi en uzağa asılacaktır.
Yükseklik ve ekrana olan mesafe ters orantılıdır: ekran ne kadar yakınsa yüksekliği de o kadar artar.
Sinüs ve kosinüs yüzdedir
Ne yazık ki, eğitim yıllarım boyunca hiç kimse bana sinüs ve kosinüs trigonometrik fonksiyonların yüzdelerden başka bir şey olmadığını açıklamadı. Değerleri +%100 ile %0 ila -%100 arasında veya pozitif maksimumdan sıfıra ve negatif maksimuma kadar değişir.
Diyelim ki 14 ruble vergi ödedim. Ne kadar olduğunu bilmiyorsun. Ama yüzde 95 vergi ödedim derseniz, beni kandırdığımı anlayacaksınız.
Mutlak yükseklik hiçbir şey ifade etmez. Ancak sinüs değeri 0,95 ise TV'nin neredeyse kubbenizin tepesinde asılı olduğunu anlıyorum. Çok yakında ulaşacak maksimum yükseklik kubbenin ortasında yer alır ve daha sonra tekrar alçalmaya başlar.
Bu yüzdeyi nasıl hesaplayabiliriz? Çok basit: mevcut ekran yüksekliğini mümkün olan maksimum değere bölün (kubbenin yarıçapı, aynı zamanda hipotenüs olarak da adlandırılır).
Bu yüzden bize “kosinüs = karşı kenar / hipotenüs” deniyor. Her şey ilgi çekmekle ilgili! Sinüsü "mümkün olan maksimumdan mevcut yüksekliğin yüzdesi" olarak tanımlamak en iyisidir. (Açınız "yeraltını" gösterirse sinüs negatif olur. Açı arkanızdaki kubbe noktasına doğru bakarsa kosinüs negatif olur.)
Birim çemberin merkezinde (yarıçap = 1) olduğumuzu varsayarak hesaplamaları basitleştirelim. Bölmeyi atlayıp sinüsü yüksekliğe eşitleyebiliriz.
Her daire aslında ölçeği büyütülmüş veya küçültülmüş bir birimdir. dogru beden. Bu nedenle birim çember bağlantılarını belirleyin ve sonuçları kendi daire boyutunuza uygulayın.
Deney: Herhangi bir köşeyi alın ve yüksekliğin genişliğe göre yüzde kaçının görüntülendiğini görün:
Sinüs değerinin büyüme grafiği sadece düz bir çizgi değildir. İlk 45 derece yüksekliğin %70'ini kaplar, ancak son 10 derece (80°'den 90°'ye kadar) yalnızca %2'sini kaplar.
Bu sizin için daha açıklayıcı olacaktır: Bir daire içinde yürürseniz, 0°'de neredeyse dikey olarak yükselirsiniz, ancak kubbenin tepesine yaklaştıkça yükseklik giderek daha az değişir.
Teğet ve sekant. Duvar
Bir gün komşunun biri duvar ördü hemen yan yana senin kubbene. Pencereden görünüşünü ağladım ve iyi fiyat yeniden satış için!
Ancak bu durumda bir şekilde kazanmak mümkün mü?
Tabii ki evet. Peki ya komşumuzun duvarına bir film ekranı assak? (x) açısını hedeflersiniz ve şunu elde edersiniz:
- tan(x) = tan(x) = duvardaki ekranın yüksekliği
- sizden duvara olan mesafe: 1 (bu sizin kubbenizin yarıçapıdır, duvar sizden hiçbir yere hareket etmiyor, değil mi?)
- secant(x) = sec(x) = Kubbenin ortasında durduğunuz yerden asılı paravanın tepesine kadar olan “merdivenin uzunluğu”
Teğet veya ekran yüksekliğiyle ilgili birkaç noktayı açıklığa kavuşturalım.
- 0'dan başlar ve sonsuza kadar yükselebilir. En sevdiğiniz filmi izlemek için sonsuz bir tuval oluşturmak amacıyla ekranı duvarda giderek daha yükseğe uzatabilirsiniz! (Böylesine büyük bir şey için elbette çok para harcamanız gerekecek).
- teğet sinüsün sadece daha büyük bir versiyonudur! Kubbenin tepesine doğru ilerledikçe sinüsteki artış yavaşlarken, teğet büyümeye devam ediyor!
Sekansu'nun da övüneceği bir şey var:
- Sekant 1'den başlar (merdiven yerde, sizden duvara doğru) ve oradan yükselmeye başlar.
- Sekant her zaman teğetten daha uzundur. Ekranınızı asmak için kullandığınız eğimli merdiven ekranın kendisinden daha uzun olmalı değil mi? (Gerçekçi olmayan boyutlarda, ekran çok uzun olduğunda ve merdivenin neredeyse dikey olarak yerleştirilmesi gerektiğinde boyutları hemen hemen aynıdır. Ancak o zaman bile sekant biraz daha uzun olacaktır).
Unutmayın, değerler yüzde. Ekranı 50 derecelik bir açıyla asmaya karar verirseniz tan(50)=1,19 olur. Ekranınız duvara olan mesafeden (kubbe yarıçapı) %19 daha büyüktür.
(x=0 girin ve sezginizi kontrol edin - tan(0) = 0 ve sec(0) = 1.)
Kotanjant ve kosekant. Tavan
İnanılmaz bir şekilde, komşunuz artık kubbenizin üzerine bir çatı inşa etmeye karar verdi. (Onun nesi var? Görünüşe göre bahçede çıplak dolaşırken onu gözetlemeni istemiyor...)
Artık çatıya bir çıkış yapıp komşunuzla konuşmanın zamanı geldi. Eğim açısını seçersiniz ve inşaata başlarsınız:
- çatı çıkışı ile zemin arasındaki dikey mesafe her zaman 1'dir (kubbenin yarıçapı)
- kotanjant(x) = cot(x) = kubbenin üstü ile çıkış noktası arasındaki mesafe
- cosecant(x) = csc(x) = çatıya giden yolunuzun uzunluğu
Teğet ve kesen duvarı, COtanjant ve COsekant ise tavanı tanımlar.
Bu seferki sezgisel sonuçlarımız öncekilere benzer:
- Açıyı 0°'ye eşit alırsanız tavana asla ulaşamayacağı için çatıya çıkışınız sonsuza kadar sürecektir. Sorun.
- Zemine 90 derecelik bir açıyla inşa ederseniz çatıya giden en kısa “merdiven” elde edilecektir. Kotanjant 0'a eşit olacaktır (çatı boyunca hiç hareket etmiyoruz, kesinlikle dik olarak çıkıyoruz) ve kosekant 1'e eşit olacaktır ("merdivenin uzunluğu" minimum olacaktır).
Bağlantıları görselleştirin
Her üç kasa da kubbe-duvar-tavan birleşiminde çizilirse sonuç şu şekilde olacaktır:
Hâlâ aynı üçgen, duvara ve tavana ulaşacak kadar büyütülmüş. Dikey kenarlarımız (sinüs, teğet), yatay kenarlarımız (kosinüs, kotanjant) ve “hipotenüslerimiz” (sekant, kosekant) vardır. (Oklarla her bir elemanın nereye ulaştığını görebilirsiniz. Kosekant sizden çatıya kadar olan toplam mesafedir).
Biraz sihir. Tüm üçgenler aynı eşitlikleri paylaşır:
Pisagor teoreminden (a 2 + b 2 = c 2) her üçgenin kenarlarının nasıl bağlandığını görüyoruz. Ayrıca “yükseklik-genişlik” oranları da tüm üçgenler için aynı olmalıdır. (En büyük üçgenden en küçüğüne geçin. Evet, boyut değişti ancak kenarların oranları aynı kalacak).
Her üçgenin hangi tarafının 1'e (kubbenin yarıçapı) eşit olduğunu bildiğimizde "sin/cos = tan/1" sonucunu kolaylıkla hesaplayabiliriz.
Bu gerçekleri her zaman basit görselleştirme yoluyla hatırlamaya çalıştım. Resimde bu bağımlılıkları açıkça görüyor ve nereden geldiklerini anlıyorsunuz. Bu teknik kuru formülleri ezberlemekten çok daha iyidir.
Diğer açıları unutmayın
Şşş... Teğetin her zaman 1'den küçük olduğunu düşünerek tek bir grafiğe takılıp kalmayın. Açıyı artırırsanız duvara ulaşmadan tavana ulaşabilirsiniz:
Pisagor bağlantıları her zaman işe yarar, ancak göreceli boyutlar değişebilir.
(Sinüs ve kosinüs oranlarının kubbenin içinde yer almasından dolayı her zaman en küçük olduğunu fark etmişsinizdir).
Özetlemek gerekirse: neyi hatırlamamız gerekiyor?
Çoğumuz için bunun yeterli olacağını söyleyebilirim:
- trigonometri daireler ve tekrarlanan aralıklar gibi matematiksel nesnelerin anatomisini açıklar
- Kubbe/duvar/çatı analojisi farklı trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkiyi gösterir
- Trigonometrik fonksiyonlar, senaryomuza uyguladığımız yüzdelerle sonuçlanır.
1 2 + cot 2 = csc 2 gibi formülleri ezberlemenize gerek yok. Bunlar yalnızca bir gerçeğin bilgisinin onu anlamak olarak aktarıldığı aptalca testler için uygundur. Bir dakikanızı ayırıp kubbe, duvar ve çatı şeklinde bir yarım daire çizin, elemanları etiketleyin; tüm formüller size kağıt üzerinde gelecektir.
Uygulama: Ters Fonksiyonlar
Herhangi bir trigonometrik fonksiyon, giriş parametresi olarak açıyı alır ve sonucu yüzde olarak döndürür. günah(30) = 0,5. Bu, 30 derecelik bir açının maksimum yüksekliğin %50'sini kapladığı anlamına gelir.
Ters trigonometrik fonksiyon sin -1 veya arcsin olarak yazılır. Asin ayrıca sıklıkla çeşitli programlama dillerinde de yazılır.
Yüksekliğimiz kubbe yüksekliğinin %25'i ise açımız nedir?
Oranlar tablomuzda sekantın 1'e bölündüğü bir oran bulabilirsiniz. Örneğin, 1'e bölünen sekant (yatay hipotenüs) 1'in kosinüse bölünmesine eşit olacaktır:
Diyelim ki sekantımız 3,5, yani. Birim çemberin yarıçapının %350'si. Bu değer duvara hangi eğim açısına karşılık gelir?
Ek: Bazı örnekler
Örnek: x açısının sinüsünü bulun.
Sıkıcı bir görev. Sıradan "sinüs bulma" işlemini "Maksimumun (hipotenüs) yüzdesi olarak yükseklik nedir?" şeklinde karmaşıklaştıralım.
Öncelikle üçgenin döndürüldüğüne dikkat edin. Bunda yanlış bir şey yok. Üçgenin de bir yüksekliği vardır, şekilde yeşil renkle gösterilmiştir.
Hipotenüs neye eşittir? Pisagor teoremine göre şunu biliyoruz:
3 2 + 4 2 = hipotenüs 2 25 = hipotenüs 2 5 = hipotenüs
İyi! Sinüs, üçgenin en uzun kenarının veya hipotenüsünün yüksekliğinin yüzdesidir. Örneğimizde sinüs 3/5 veya 0,60'tır.
Elbette birkaç yoldan gidebiliriz. Artık sinüsün 0,60 olduğunu biliyoruz, arksinüsü kolayca bulabiliriz:
Asin(0,6)=36,9
İşte başka bir yaklaşım. Üçgenin "duvara dönük" olduğuna dikkat edin, böylece sinüs yerine teğet kullanabiliriz. Yükseklik 3, duvara olan mesafe 4, yani teğet ¾ veya %75'tir. Yüzde değerinden bir açıya geri dönmek için arktanjantı kullanabiliriz:
Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Örnek: Kıyıya yüzecek misin?
Bir teknedesiniz ve 2 km yol almaya yetecek kadar yakıtınız var. Artık kıyıdan 0,25 km uzaktasınız. Yeterli yakıta sahip olmak için kıyıya maksimum hangi açıda yüzebilirsiniz? Sorun açıklamasına ek olarak: elimizde yalnızca ark kosinüs değerleri tablosu var.
Neyimiz var? kıyı şeridi meşhur üçgenimizde bir “duvar” olarak temsil edilebilir ve duvara iliştirilen “merdiven uzunluğu” teknenin kıyıya kadar kat edebileceği maksimum mesafedir (2 km). Bir sekant belirir.
İlk önce yüzdelere gitmeniz gerekiyor. Elimizde 2/0.25 = 8 var, yani kıyıya (veya duvara) olan düz mesafenin 8 katı kadar bir mesafeyi yüzebiliriz.
Şu soru ortaya çıkıyor: "8'in sekantı nedir?" Ancak elimizde yalnızca yay kosinüsleri olduğu için buna cevap veremeyiz.
Sekantı kosinüsle ilişkilendirmek için önceden türetilmiş bağımlılıklarımızı kullanırız: "sn/1 = 1/cos"
8'in sekantı ⅛'nin kosinüsüne eşittir. Kosinüsü ⅛ olan bir açı acos(1/8) = 82,8'e eşittir. Ve bu, belirtilen miktarda yakıtla bir teknede karşılayabileceğimiz en büyük açıdır.
Fena değil, değil mi? Kubbe-duvar-tavan benzetmesi olmasaydı bir sürü formül ve hesaplamanın içinde kaybolurdum. Sorunu görselleştirmek, çözüm aramayı büyük ölçüde basitleştirir ve sonuçta hangi trigonometrik fonksiyonun yardımcı olacağını görmek de ilginçtir.
Her problem için şunu düşünün: Kubbeyle (sin/cos), duvarla (tan/sn) veya tavanla (karyola/csc) ilgileniyor muyum?
Ve trigonometri çok daha keyifli hale gelecek. Sizin için kolay hesaplamalar!
Önemli notlar!
1. Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Tarayıcınızda bunu nasıl yapacağınız burada yazılmıştır:
2. Makaleyi okumaya başlamadan önce, en yararlı kaynaklar için gezginimize dikkat edin.
Sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant
Sinüs (), kosinüs (), tanjant (), kotanjant () kavramları, açı kavramıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır. İlk bakışta karmaşık (birçok okul çocuğunda dehşet durumuna neden olan) kavramları iyi anlayabilmek ve “şeytanın resmedildiği kadar korkunç olmadığından” emin olmak için, şu örnekten başlayalım: açı kavramını daha başlangıç aşamasında anlayabilir ve anlayabilirsiniz.
Açı kavramı: radyan, derece
Şimdi resme bakalım. Vektör noktaya göre belirli bir miktarda “dönmüştür”. Yani bu dönmenin başlangıç konumuna göre ölçüsü şu şekilde olacaktır: köşe.
Açı kavramı hakkında bilmeniz gereken başka ne var? Tabii ki açı birimleri!
Açı, hem geometride hem de trigonometride derece ve radyan cinsinden ölçülebilir.
Açı (bir derece), dairenin bir kısmına eşit bir dairesel yay tarafından çevrelenen bir dairedeki merkezi açıdır. Böylece, dairenin tamamı dairesel yayların "parçalarından" oluşur veya dairenin tarif ettiği açı eşittir.
Yani yukarıdaki şekil şuna eşit bir açıyı göstermektedir, yani bu açı, çevre büyüklüğünde bir dairesel yayın üzerinde durmaktadır.
Radyan cinsinden bir açı, uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan bir daire yayının çevrelediği bir dairedeki merkezi açıdır. Peki anladın mı? Değilse, çizimden çözelim.
Yani, şekil bir radyana eşit bir açıyı göstermektedir, yani bu açı, uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan (uzunluk uzunluğa eşittir veya yarıçap eşittir) dairesel bir yay üzerinde durmaktadır. yayın uzunluğu). Böylece yay uzunluğu aşağıdaki formülle hesaplanır:
Radyan cinsinden merkez açı nerede?
Peki bunu bildiğinize göre, dairenin tarif ettiği açının kaç radyan içerdiğini cevaplayabilir misiniz? Evet bunun için çevre formülünü hatırlamanız gerekiyor. İşte burada:
Şimdi bu iki formülü ilişkilendirelim ve dairenin tarif ettiği açının eşit olduğunu bulalım. Yani değeri derece ve radyan cinsinden ilişkilendirerek bunu elde ederiz. Sırasıyla, . Gördüğünüz gibi, "derece"den farklı olarak "radyan" kelimesi atlanmıştır, çünkü ölçü birimi genellikle bağlamdan açıkça anlaşılmaktadır.
Kaç radyan var? Bu doğru!
Anladım? Sonra devam edin ve düzeltin:
Zorluk mu yaşıyorsunuz? Sonra bak Yanıtlar:
Sağ üçgen: sinüs, kosinüs, tanjant, açının kotanjantı
Böylece açı kavramını anladık. Peki bir açının sinüsü, kosinüsü, teğeti ve kotanjantı nedir? Hadi çözelim. Bunu yapmak için dik üçgen bize yardımcı olacaktır.
Dik üçgenin kenarlarına ne denir? Aynen öyle, hipotenüs ve bacaklar: hipotenüs dik açının karşısındaki kenardır (örneğimizde bu kenardır); bacaklar kalan iki taraftır ve (bitişik olanlar) dik açı) ve bacakları açıya göre düşünürsek, bacak bitişik bacaktır ve bacak bunun tersidir. Şimdi şu soruyu cevaplayalım: Bir açının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantı nedir?
Açının sinüsü- bu, karşı (uzak) bacağın hipotenüse oranıdır.
Bizim üçgenimizde.
Açının kosinüsü- bu, bitişik (yakın) bacağın hipotenüse oranıdır.
Bizim üçgenimizde.
Açının tanjantı- bu, karşı (uzak) tarafın bitişik (yakın) tarafa oranıdır.
Bizim üçgenimizde.
Açının kotanjantı- bu, bitişik (yakın) bacağın karşıt (uzak) bacağına oranıdır.
Bizim üçgenimizde.
Bu tanımlar gerekli Unutma! Hangi bacağın neye bölüneceğini hatırlamayı kolaylaştırmak için bunu açıkça anlamalısınız. teğet Ve kotanjant yalnızca bacaklar oturur ve hipotenüs yalnızca sinüs Ve kosinüs. Ve sonra bir çağrışımlar zinciri oluşturabilirsiniz. Örneğin, bu:
Kosinüs → dokunma → dokunma → bitişik;
Kotanjant → dokunma → dokunma → bitişik.
Her şeyden önce, bir üçgenin kenarlarının oranları bu kenarların uzunluklarına (aynı açıda) bağlı olmadığından sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın olduğunu hatırlamanız gerekir. İnanma? Daha sonra resme bakarak emin olun:
Örneğin bir açının kosinüsünü düşünün. Tanım gereği bir üçgenden: , ancak bir açının kosinüsünü bir üçgenden hesaplayabiliriz: . Görüyorsunuz, kenarların uzunlukları farklı ama bir açının kosinüsünün değeri aynı. Dolayısıyla sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri yalnızca açının büyüklüğüne bağlıdır.
Tanımları anlıyorsanız, devam edin ve bunları pekiştirin!
Aşağıdaki şekilde gösterilen üçgen için şunu buluyoruz.
Peki, anladın mı? O halde kendiniz deneyin: aynısını açı için hesaplayın.
Birim (trigonometrik) daire
Derece ve radyan kavramlarını anlayarak yarıçapı eşit olan bir daire düşündük. Böyle bir daireye denir Bekar. Trigonometri çalışırken çok faydalı olacaktır. Bu nedenle biraz daha detaylı bakalım.
Gördüğünüz gibi bu daire Kartezyen koordinat sistemine göre inşa edilmiştir. Dairenin yarıçapı bire eşittir, dairenin merkezi koordinatların başlangıç noktasında yer alırken, yarıçap vektörünün başlangıç konumu eksenin pozitif yönü boyunca sabittir (örneğimizde bu yarıçaptır).
Çember üzerindeki her nokta iki sayıya karşılık gelir: eksen koordinatı ve eksen koordinatı. Nedir bu koordinat numaraları? Ve genel olarak, bunların elimizdeki konuyla ne ilgisi var? Bunu yapmak için, dikkate alınan dik üçgeni hatırlamamız gerekir. Yukarıdaki şekilde iki tam dik üçgeni görüyorsunuz. Bir üçgen düşünün. Eksene dik olduğundan dikdörtgendir.
Üçgen neye eşittir? Bu doğru. Ayrıca bunun birim çemberin yarıçapı olduğunu da biliyoruz, yani . Bu değeri kosinüs formülümüzde yerine koyalım. İşte olanlar:
Üçgen neye eşittir? Tabii ki! Yarıçap değerini bu formülde değiştirin ve şunu elde edin:
Peki bir çembere ait bir noktanın hangi koordinatlara sahip olduğunu söyleyebilir misiniz? Peki, mümkün değil mi? Peki ya bunun farkına varırsanız ve sadece rakamlardan ibaretseniz? Hangi koordinata karşılık geliyor? Tabii ki koordinatlar! Peki hangi koordinata karşılık geliyor? Doğru, koordinatlar! Böylece dönem.
O halde ve eşittir nedir? Aynen öyle, teğet ve kotanjantın karşılık gelen tanımlarını kullanalım ve şunu elde edelim, a.
Ya açı daha büyükse? Örneğin bu resimdeki gibi:
Bu örnekte ne değişti? Hadi çözelim. Bunu yapmak için tekrar dik üçgene dönelim. Bir dik üçgen düşünün: açı (bir açıya bitişik olarak). Bir açı için sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri nelerdir? Doğru, trigonometrik fonksiyonların ilgili tanımlarına uyuyoruz:
Gördüğünüz gibi açının sinüs değeri hala koordinata karşılık geliyor; açının kosinüsünün değeri - koordinat; ve karşılık gelen oranlara teğet ve kotanjant değerleri. Dolayısıyla bu ilişkiler yarıçap vektörünün herhangi bir dönüşüne uygulanır.
Yarıçap vektörünün başlangıç konumunun eksenin pozitif yönü boyunca olduğundan daha önce bahsedilmişti. Şu ana kadar bu vektörü saat yönünün tersine döndürdük ama saat yönünde döndürürsek ne olur? Olağanüstü bir şey yok, ayrıca belli bir değerde bir açı elde edeceksiniz, ancak yalnızca negatif olacaktır. Böylece, yarıçap vektörünü saat yönünün tersine döndürdüğümüzde, şunu elde ederiz: pozitif açılar ve saat yönünde döndürüldüğünde - olumsuz.
Yani yarıçap vektörünün bir daire etrafındaki tam devriminin veya olduğunu biliyoruz. Yarıçap vektörünü şuna veya şuna döndürmek mümkün mü? Tabii ki yapabilirsin! Bu nedenle ilk durumda yarıçap vektörü bir tam tur yapacak ve veya konumunda duracaktır.
İkinci durumda, yarıçap vektörü üç tam devir yapacak ve veya konumunda duracaktır.
Böylece, yukarıdaki örneklerden, veya (herhangi bir tamsayı olduğunda) farklı olan açıların, yarıçap vektörünün aynı konumuna karşılık geldiği sonucuna varabiliriz.
Aşağıdaki şekil bir açıyı göstermektedir. Aynı görüntü köşeye vs. karşılık gelir. Bu listeye süresiz olarak devam edilebilir. Tüm bu açılar genel formülle veya (herhangi bir tamsayı olduğunda) yazılabilir.
Şimdi temel trigonometrik fonksiyonların tanımlarını bilerek ve birim çemberi kullanarak değerlerin ne olduğunu cevaplamaya çalışın:
İşte size yardımcı olacak bir birim çember:
Zorluk mu yaşıyorsunuz? O zaman çözelim. Yani şunu biliyoruz:
Buradan belirli açı ölçülerine karşılık gelen noktaların koordinatlarını belirliyoruz. Pekala, sırayla başlayalım: açısı koordinatları olan bir noktaya karşılık gelir, bu nedenle:
Bulunmuyor;
Ayrıca aynı mantığa bağlı kalarak köşelerin sırasıyla koordinatlı noktalara karşılık geldiğini buluyoruz. Bunu bilerek trigonometrik fonksiyonların değerlerini karşılık gelen noktalarda belirlemek kolaydır. Önce kendiniz deneyin, ardından cevapları kontrol edin.
Yanıtlar:
Böylece aşağıdaki tabloyu yapabiliriz:
Tüm bu değerleri hatırlamanıza gerek yok. Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile trigonometrik fonksiyonların değerleri arasındaki yazışmayı hatırlamak yeterlidir:
Ancak aşağıdaki tabloda verilen ve açılarının trigonometrik fonksiyonlarının değerleri, hatırlanmalıdır:
Korkmayın, şimdi size bir örnek göstereceğiz karşılık gelen değerleri hatırlamak oldukça basit:
Bu yöntemi kullanmak için, açının tanjantının yanı sıra, üç açı ölçüsünün () tümü için sinüs değerlerini hatırlamak hayati önem taşır. Bu değerleri bilerek tüm tabloyu geri yüklemek oldukça basittir - kosinüs değerleri oklara göre aktarılır, yani:
Bunu bilerek değerleri geri yükleyebilirsiniz. " " payı eşleşecek ve " " paydası eşleşecektir. Kotanjant değerleri şekilde gösterilen oklara uygun olarak aktarılır. Bunu anlayıp okların olduğu diyagramı hatırlarsanız tablodaki tüm değerleri hatırlamanız yeterli olacaktır.
Çember üzerindeki bir noktanın koordinatları
Bir daire üzerinde bir noktayı (koordinatlarını) bulmak mümkün mü? Çemberin merkezinin koordinatlarını, yarıçapını ve dönme açısını bilmek?
Tabii ki yapabilirsin! Hadi çıkaralım Bir noktanın koordinatlarını bulmak için genel formül.
Örneğin önümüzde bir daire var:
Bize bu noktanın çemberin merkezi olduğu söylendi. Çemberin yarıçapı eşittir. Noktanın derece derece döndürülmesiyle elde edilen bir noktanın koordinatlarını bulmak gerekir.
Şekilden de görülebileceği gibi noktanın koordinatı parçanın uzunluğuna karşılık gelmektedir. Segmentin uzunluğu dairenin merkezinin koordinatına karşılık gelir, yani eşittir. Bir segmentin uzunluğu kosinüs tanımı kullanılarak ifade edilebilir:
Sonra nokta koordinatı için elimizde bu var.
Aynı mantığı kullanarak noktanın y koordinat değerini buluyoruz. Böylece,
Yani, içinde Genel görünüm Noktaların koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:
Çemberin merkezinin koordinatları,
Daire yarıçapı,
Vektör yarıçapının dönme açısı.
Gördüğünüz gibi, düşündüğümüz birim daire için, merkezin koordinatları sıfıra ve yarıçap bire eşit olduğundan bu formüller önemli ölçüde azaltılmıştır:
Peki çember üzerindeki noktaları bulma alıştırması yaparak bu formülleri deneyelim mi?
1. Birim çember üzerindeki bir noktanın, noktanın döndürülmesiyle elde edilen koordinatlarını bulun.
2. Birim çember üzerindeki bir noktanın, noktanın döndürülmesiyle elde edilen koordinatlarını bulun.
3. Birim çember üzerindeki bir noktanın, noktanın döndürülmesiyle elde edilen koordinatlarını bulun.
4. Nokta dairenin merkezidir. Çemberin yarıçapı eşittir. Başlangıç yarıçap vektörünü döndürerek elde edilen noktanın koordinatlarını bulmak gerekir.
5. Nokta çemberin merkezidir. Çemberin yarıçapı eşittir. Başlangıç yarıçap vektörünü döndürerek elde edilen noktanın koordinatlarını bulmak gerekir.
Bir daire üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bulmakta sorun mu yaşıyorsunuz?
Bu beş örneği çözün (ya da çözmede ustalaşın) ve onları bulmayı öğreneceksiniz!
ÖZET VE TEMEL FORMÜLLER
Bir açının sinüsü, karşı (uzak) bacağın hipotenüse oranıdır.
Bir açının kosinüsü, bitişik (yakın) kenarın hipotenüse oranıdır.
Bir açının tanjantı, karşı (uzak) tarafın bitişik (yakın) tarafa oranıdır.
Bir açının kotanjantı, bitişik (yakın) tarafın karşı (uzak) tarafa oranıdır.
Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.
Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!
Şimdi en önemli şey.
Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Sen zaten ondan daha iyisin salt çoğunluk Meslektaşlarınızın.
Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...
Ne için?
Başarılı olmak için Birleşik Devlet Sınavını geçmek, düşük bir bütçeyle ve EN ÖNEMLİSİ de ömür boyu üniversiteye kabul için.
Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...
Alınan insanlar iyi bir eğitim, almayanlardan çok daha fazlasını kazanın. Bu istatistik.
Ancak asıl mesele bu değil.
Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...
Ama kendin düşün...
Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?
BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.
Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.
İhtiyacın olacak zamana karşı sorunları çözmek.
Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.
Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu defalarca tekrarlamanız gerekir.
Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!
Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.
Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.
Nasıl? İki seçenek var:
- Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın -
- Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 499 RUR
Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.
Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.
Sonuç olarak...
Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.
“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.
Sorunları bulun ve çözün!
- 2. Değer aralığı: [-1;1]
- 3. Tek işlev.
- 7. Fonksiyonun pozitif olduğu aralıklar: (2*pi*n; pi+2*pi*n)
- 8. Fonksiyonun negatif olduğu aralıklar: (-pi + 2*pi*n; 2*pi*n)
- 9. Artan aralıklar: [-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n]
- 10. Aralıkların azaltılması:
- 11. Minimum puan: -pi/2 +2*pi*n
- 12. Minimum fonksiyon: -1
- 13. Maksimum puan: pi/2 +2*pi*n
- 14. Maksimum fonksiyon: 1
Kosinüsün özellikleri
.jpg)
- 1. Tanım alanı: sayı ekseninin tamamı
- 2. Değer aralığı: [-1;1]
- 3. Eşit işlev.
- 4. En küçük pozitif periyot: 2*pi
- 5. Fonksiyon grafiğinin Ox ekseni ile kesişme noktalarının koordinatları: (pi/2 +pi*n; 0)
- 6. Fonksiyon grafiğinin Oy ekseni ile kesiştiği noktaların koordinatları: (0;1)
- 7. Fonksiyonun pozitif olduğu aralıklar: (-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n)
- 8. Fonksiyonun negatif olduğu aralıklar: (pi/2 +2*pi*n; 3*pi/2 +2*pi*n)
- 9. Artan aralıklar: [-pi + 2*pi*n; 2*pi*n]
- 10. Aralıkların azaltılması:
- 11. Minimum puan: pi+2*pi*n
- 12. Minimum fonksiyon: -1
- 13. Maksimum puan: 2*pi*n
- 14. Maksimum fonksiyon: 1
Teğetin özellikleri
.jpg)
- 1. Tanım alanı: (-pi/2 +pi*n; pi/2 +pi*n)
- 3. Tek işlev.
- 5. Fonksiyon grafiğinin Ox ekseni ile kesişme noktalarının koordinatları: (pi*n; 0)
- 6. Fonksiyon grafiğinin Oy ekseni ile kesiştiği noktaların koordinatları: (0;0)
- 9. Fonksiyon aralıklarla artar (-pi/2 + pi*n; pi/2 + pi*n)
Kotanjantın özellikleri
.jpg)
- 1. Etki Alanı: (pi*n; pi +pi*n)
- 2. Değer aralığı: sayı ekseninin tamamı
- 3. Tek işlev.
- 4. En küçük pozitif periyot: pi
- 5. Fonksiyon grafiğinin Ox ekseni ile kesişme noktalarının koordinatları: (pi/2 + pi*n; 0)
- 6. Fonksiyon grafiğinin Oy ekseni ile kesişme noktalarının koordinatları: hayır
- 7. Fonksiyonun pozitif olduğu aralıklar: (pi*n; pi/2 +pi*n)
- 8. Fonksiyonun negatif olduğu aralıklar: (-pi/2 +pi*n; pi*n)
- 9. Fonksiyon aralıklarla azalır (pi*n; pi +pi*n)
- 10. Maksimum ve minimum puanlar yoktur.
Aşağıdaki şekilde çeşitli koordinat bölgelerinde sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant işaretlerini gösteren birkaç birim daire gösterilmektedir.
Trigonometri, trigonometrik fonksiyonları ve bunların geometride kullanımını inceleyen bir matematik bilimi dalıdır. Trigonometrinin gelişimi antik Yunan'da başladı. Orta Çağ boyunca Orta Doğu ve Hindistan'dan bilim adamlarının bu bilimin gelişmesine önemli katkıları olmuştur.
Bu makale şuna adanmıştır: temel konseptler ve trigonometrinin tanımları. Temel trigonometrik fonksiyonların tanımlarını tartışır: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant. Anlamları geometri bağlamında açıklanmış ve gösterilmiştir.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Başlangıçta argümanı açı olan trigonometrik fonksiyonların tanımları bir dik üçgenin kenarlarının oranı cinsinden ifade ediliyordu.
Trigonometrik fonksiyonların tanımları
Bir açının sinüsü (sin α), bu açının karşısındaki kenarın hipotenüse oranıdır.
Açının kosinüsü (cos α) - bitişik bacağın hipotenüse oranı.
Açı teğeti (t g α) - karşı tarafın bitişik tarafa oranı.
Açı kotanjantı (c t g α) - bitişik tarafın karşı tarafa oranı.
Bu tanımlar bir dik üçgenin dar açısı için verilmiştir!
Bir örnek verelim.
İÇİNDE ABC üçgeni C dik açısında A açısının sinüsü, BC kenarının AB hipotenüsüne oranına eşittir.
Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tanımları, bu fonksiyonların değerlerini üçgenin kenarlarının bilinen uzunluklarından hesaplamanıza olanak tanır.
Hatırlanması önemli!
Sinüs ve kosinüs değerlerinin aralığı -1'den 1'e kadardır. Yani sinüs ve kosinüs -1'den 1'e kadar değerler alır. Teğet ve kotanjantın değer aralığı sayı doğrusunun tamamıdır, yani bu işlevler herhangi bir değeri alabilir.
Yukarıda verilen tanımlar dar açılar için geçerlidir. Trigonometride, değeri dar açıdan farklı olarak 0 ila 90 derece ile sınırlı olmayan bir dönme açısı kavramı tanıtıldı.Derece veya radyan cinsinden dönme açısı - ∞ ila + ∞ arasında herhangi bir gerçek sayı ile ifade edilir. .
Bu bağlamda keyfi büyüklükte bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantını tanımlayabiliriz. Merkezi Kartezyen koordinat sisteminin başlangıç noktasında olan bir birim çember düşünelim.
Koordinatları (1, 0) olan başlangıç noktası A, birim çemberin merkezi etrafında belirli bir α açısı boyunca döner ve A 1 noktasına gider. Tanım A 1 (x, y) noktasının koordinatları cinsinden verilmiştir.
Dönme açısının sinüsü (sinüsü)
Dönme açısı α'nın sinüsü, A1 (x, y) noktasının ordinatıdır. günah α = y
Dönme açısının kosinüsü (cos)
Dönme açısı α'nın kosinüsü, A1 (x, y) noktasının apsisidir. çünkü α = x
Dönme açısının tanjantı (tg)
Dönme açısı α'nın tanjantı, A1 (x, y) noktasının ordinatının apsisine oranıdır. t g α = y x
Dönme açısının kotanjantı (ctg)
Dönme açısı α'nın kotanjantı, A1 noktasının (x, y) apsisinin ordinatına oranıdır. c t g α = x y
Sinüs ve kosinüs herhangi bir dönüş açısı için tanımlanır. Bu mantıklıdır çünkü bir noktanın dönme sonrasında apsisi ve ordinatı herhangi bir açıda belirlenebilir. Teğet ve kotanjant için durum farklıdır. Döndürme sonrasında bir nokta sıfır apsisli (0, 1) ve (0, - 1) bir noktaya gittiğinde teğet tanımsızdır. Bu gibi durumlarda, t g α = y x teğet ifadesi, sıfıra bölünmeyi içerdiği için anlamsızdır. Durum kotanjant için de benzerdir. Aradaki fark, bir noktanın ordinatının sıfıra gittiği durumlarda kotanjantın tanımlı olmamasıdır.
Hatırlanması önemli!
Sinüs ve kosinüs herhangi bir α açısı için tanımlanır.
Teğet, α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) dışındaki tüm açılar için tanımlanır.
Kotanjant, α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) dışındaki tüm açılar için tanımlanır.
Karar verirken pratik örnekler"α dönme açısının sinüsü" demeyin. "Dönme açısı" kelimeleri basitçe atlanmıştır, bu da neyin tartışıldığının bağlamdan zaten açıkça anlaşıldığını ima etmektedir.
Sayılar
Bir sayının dönme açısı değil de sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantının tanımına ne dersiniz?
Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjantı
Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı T sırasıyla sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanta eşit olan bir sayıdır. T radyan.
Örneğin, 10 π sayısının sinüsü, 10 π rad dönme açısının sinüsüne eşittir.
Bir sayının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını ve kotanjantını belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım daha vardır. Şimdi ona daha yakından bakalım.
Herhangi bir gerçek sayı T Birim çember üzerindeki bir nokta, dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin başlangıç noktasındaki merkezle ilişkilidir. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant bu noktanın koordinatları üzerinden belirlenir.
Çemberin başlangıç noktası koordinatları (1, 0) olan A noktasıdır.
Pozitif sayı T
Negatif sayı T daire etrafında saat yönünün tersine hareket ederse başlangıç noktasının gideceği noktaya karşılık gelir ve yoluna gidecek T.
Artık bir sayı ile bir daire üzerindeki bir nokta arasındaki bağlantı kurulduğuna göre sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın tanımına geçiyoruz.
T'nin sinüsü (günahı)
Bir sayının sinüsü T- birim çember üzerindeki sayıya karşılık gelen bir noktanın koordinatı T. günah t = y
Kosinüs (cos) t
Bir sayının kosinüsü T- birim çemberin sayıya karşılık gelen noktasının apsisi T. çünkü t = x
T'nin tanjantı (tg)
Bir sayının tanjantı T- birim çember üzerindeki sayıya karşılık gelen bir noktanın ordinatının apsisine oranı T. t g t = y x = sin t çünkü t
En son tanımlar bu paragrafın başında verilen tanıma uygundur ve çelişmez. Sayıya karşılık gelen dairenin üzerine gelin T, bir açıyla döndükten sonra başlangıç noktasının gittiği noktaya denk gelir T radyan.
Açısal ve sayısal argümanın trigonometrik fonksiyonları
α açısının her değeri, bu açının sinüs ve kosinüsünün belirli bir değerine karşılık gelir. α = 90° + 180°k dışındaki tüm α açıları gibi, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) belirli bir teğet değerine karşılık gelir. Kotanjant, yukarıda belirtildiği gibi, α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) dışındaki tüm α'lar için tanımlanır.
sin α, cos α, t g α, c t g α'nın alfa açısının fonksiyonları veya açısal argümanın fonksiyonları olduğunu söyleyebiliriz.
Benzer şekilde, sayısal bir argümanın fonksiyonları olarak sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjanttan bahsedebiliriz. Her gerçek sayı T bir sayının sinüs veya kosinüsünün belirli bir değerine karşılık gelir T. π 2 + π · k, k ∈ Z dışındaki tüm sayılar bir teğet değere karşılık gelir. Benzer şekilde kotanjant, π · k, k ∈ Z dışındaki tüm sayılar için tanımlanır.
Trigonometrinin temel fonksiyonları
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant temel trigonometrik fonksiyonlardır.
Trigonometrik fonksiyonun hangi argümanıyla (açısal argüman veya sayısal argüman) uğraştığımız bağlamdan genellikle açıktır.
En başta verilen tanımlara ve 0 ila 90 derece aralığında yer alan alfa açısına dönelim. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın trigonometrik tanımları tamamen tutarlıdır. geometrik tanımlar, bir dik üçgenin en boy oranları kullanılarak verilmiştir. Hadi gösterelim.
Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde merkezi olan bir birim çemberi ele alalım. A (1, 0) başlangıç noktasını 90 dereceye kadar bir açıyla döndürelim ve ortaya çıkan A 1 (x, y) noktasından apsis eksenine dik bir çizelim. Ortaya çıkan dik üçgende A 1 O H açısı açıya eşitα'yı döndürdüğünüzde, O H ayağının uzunluğu A 1 (x, y) noktasının apsisine eşittir. Açının karşısındaki bacağın uzunluğu A 1 (x, y) noktasının ordinatına eşittir ve birim dairenin yarıçapı olduğu için hipotenüsün uzunluğu bire eşittir.
Geometrideki tanıma uygun olarak, α açısının sinüsü karşı tarafın hipotenüse oranına eşittir.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Bu, bir dik üçgende bir dar açının sinüsünü en boy oranı aracılığıyla belirlemenin, alfa 0 ila 90 derece aralığında yer alacak şekilde dönme açısı a'nın sinüsünü belirlemeye eşdeğer olduğu anlamına gelir.
Benzer şekilde kosinüs, tanjant ve kotanjant için tanımların uygunluğu gösterilebilir.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Trigonometri çalışmamıza dik üçgenle başlayacağız. Bir akut açının teğet ve kotanjantının yanı sıra sinüs ve kosinüsün ne olduğunu tanımlayalım. Bu trigonometrinin temelidir.
Bunu hatırlayalım dik açı 90 dereceye eşit bir açıdır. Başka bir deyişle, yarım dönmüş bir açı.
Keskin köşe- 90 dereceden az.
Geniş açı- 90 dereceden büyük. Böyle bir açıyla ilgili olarak "geniş" hakaret değil matematiksel bir terimdir :-)
Bir dik üçgen çizelim. Dik açı genellikle ile gösterilir. Lütfen köşenin karşısındaki tarafın aynı harfle, yalnızca küçük olarak gösterildiğini unutmayın. Böylece A açısının karşısındaki taraf gösterilir.
Açı karşılık gelen değerle gösterilir Yunan harfi.
Hipotenüs Bir dik üçgenin dik açının karşısındaki kenardır.
Bacaklar- dar açıların karşısında yer alan kenarlar.
Açının karşısında uzanan bacağa denir zıt(açıya göre). Açının kenarlarından birinde yer alan diğer bacağa denir. bitişik.
Sinüs Bir dik üçgende dar açı, karşı kenarın hipotenüse oranıdır:
Kosinüs Dik üçgende dar açı - bitişik bacağın hipotenüse oranı:
Teğet dik üçgende dar açı - karşı tarafın bitişik tarafa oranı:
Başka bir (eşdeğer) tanım: bir dar açının tanjantı, açının sinüsünün kosinüsüne oranıdır:
Kotanjant dik üçgende dar açı - bitişik tarafın karşı tarafa oranı (veya aynı şekilde kosinüsün sinüse oranı):
Aşağıdaki sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant için temel ilişkilere dikkat edin. Sorunları çözerken bize faydalı olacaklar.
Bunlardan bazılarını kanıtlayalım.
Tamam, tanımları verdik ve formülleri yazdık. Peki neden hala sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanta ihtiyacımız var?
Biz biliyoruz ki herhangi bir üçgenin açılarının toplamı eşittir.
arasındaki ilişkiyi biliyoruz. partiler sağ üçgen. Bu Pisagor teoremidir: .
Bir üçgendeki iki açıyı bilerek üçüncüyü bulabileceğiniz ortaya çıktı. Dik üçgenin iki kenarını bilerek üçüncüsünü bulabilirsiniz. Bu, açıların kendi oranlarına ve kenarların kendilerine ait olduğu anlamına gelir. Peki bir dik üçgende bir açıyı (dik açı hariç) ve bir kenarı biliyorsanız ancak diğer kenarları bulmanız gerekiyorsa ne yapmalısınız?
Geçmişte insanların bölgenin ve yıldızlı gökyüzünün haritasını çıkarırken karşılaştığı şey buydu. Sonuçta bir üçgenin tüm kenarlarını doğrudan ölçmek her zaman mümkün değildir.
Sinüs, kosinüs ve teğet - bunlara aynı zamanda denir trigonometrik açı fonksiyonları-arasındaki ilişkileri vermek partiler Ve köşelerüçgen. Açıyı bilerek, tüm trigonometrik fonksiyonlarını özel tablolar kullanarak bulabilirsiniz. Ve bir üçgenin açılarının ve kenarlarından birinin sinüslerini, kosinüslerini ve teğetlerini bilerek gerisini bulabilirsiniz.
Ayrıca 'iyi' açılar için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerinin bir tablosunu da çizeceğiz.
Lütfen tablodaki iki kırmızı çizgiye dikkat edin. Uygun açı değerlerinde teğet ve kotanjant mevcut değildir.
FIPI Görev Bankasındaki çeşitli trigonometri problemlerine bakalım.
1. Bir üçgende açı , dir. Bulmak .
Sorun dört saniyede çözüldü.
Çünkü , .
2. Bir üçgende açı , , dir. Bulmak .
Bunu Pisagor teoremini kullanarak bulalım.
Problem çözüldü.
Genellikle problemlerde açılı ve veya açılı üçgenler vardır. Onlar için temel oranları ezbere hatırlayın!
Açıları olan bir üçgen için ve açının karşısındaki bacak eşittir hipotenüsün yarısı.
Açıları olan ve ikizkenar olan bir üçgen. İçinde hipotenüs bacaktan kat kat daha büyüktür.
Dik üçgenleri çözme, yani bilinmeyen kenarları veya açıları bulma problemlerine baktık. Ama hepsi bu değil! İÇİNDE Birleşik Devlet Sınavı seçenekleri matematikte bir üçgenin dış açısının sinüs, kosinüs, tanjant veya kotanjantının ortaya çıktığı birçok problem vardır. Bir sonraki makalede bu konuda daha fazla bilgi vereceğiz.
