İlk seviye
İfadeleri Dönüştürme. Ayrıntılı teori (2019)
İfadeleri Dönüştürme
Sık sık şu hoş olmayan ifadeyi duyarız: "ifadeyi basitleştirin." Genellikle şöyle bir canavar görürüz:
“Çok daha basit” diyoruz ama böyle bir cevap genellikle işe yaramıyor.
Şimdi sana bu tür görevlerden korkmamayı öğreteceğim. Üstelik dersin sonunda, bu örneği (sadece!) sıradan bir sayıya (evet, bu harflerin canı cehenneme) basitleştireceksiniz.
Ancak bu derse başlamadan önce kesirleri ve çarpan polinomlarını ele alabilmeniz gerekir. Bu nedenle öncelikle daha önce yapmadıysanız “” ve “” konularına mutlaka hakim olun.
Onu okudun mu? Cevabınız evet ise artık hazırsınız.
Temel basitleştirme işlemleri
Şimdi ifadeleri basitleştirmek için kullanılan temel tekniklere bakalım.
En basit olanı
1. Benzerlerini getirmek
Benzer olanlar nelerdir? Bunu 7. sınıfta, matematikte sayılar yerine harflerin ilk kez ortaya çıktığı dönemde almıştınız. Aynı harf kısmına sahip terimler (tek terimliler) benzerdir. Örneğin, toplamda benzer terimler ve'dir.
Hatırlıyor musun?
Benzer getirmek, birkaç benzer terimi birbirine eklemek ve bir terim elde etmek anlamına gelir.
Harfleri nasıl bir araya getirebiliriz? - sen sor.
Harflerin bir tür nesne olduğunu düşünürseniz bunu anlamak çok kolaydır. Örneğin bir mektup bir sandalyedir. O halde ifade neye eşittir? İki sandalye artı üç sandalye, kaç tane olacak? Aynen öyle, sandalyeler: .
Şimdi şu ifadeyi deneyin: .
Karışıklığı önlemek için farklı harflerin farklı nesneleri temsil etmesine izin verin. Örneğin - (her zamanki gibi) bir sandalye ve - bir masadır. Daha sonra:
sandalyeler masalar sandalye masalar sandalyeler sandalyeler masalar
Bu terimlerdeki harflerin çarpıldığı sayılara denir katsayılar. Örneğin, bir monomiyalde katsayı eşittir. Ve içinde eşittir.
Yani benzerlerini getirmenin kuralı şudur:
Örnekler:
Benzerlerini verin:
Yanıtlar:
2. (ve benzerdir, çünkü bu terimler aynı harf kısmına sahiptir).
2. Çarpanlara ayırma
Bu genellikle en önemli kısımİfadelerin basitleştirilmesinde. Benzerlerini verdikten sonra çoğu zaman ortaya çıkan ifadenin çarpanlara ayrılması yani bir ürün olarak sunulması gerekiyor. Bu özellikle kesirlerde önemlidir: Bir kesri azaltabilmek için pay ve paydanın çarpım olarak temsil edilmesi gerekir.
İfadeleri çarpanlara ayırma yöntemlerini “” konusunda ayrıntılı olarak incelediniz, bu yüzden burada öğrendiklerinizi hatırlamanız yeterli. Bunu yapmak için birkaç tanesine karar verin örnekler(çarpanlara ayrılması gerekir):
Çözümler:
3. Bir kesirin azaltılması.
Peki pay ve paydanın bir kısmının üzerini çizip hayatınızdan atmaktan daha hoş ne olabilir?
Küçülmenin güzelliği bu.
Basit:
Pay ve payda aynı faktörleri içeriyorsa azaltılabilir, yani kesirden çıkarılabilir.
Bu kural bir kesrin temel özelliğinden kaynaklanır:
Yani azaltma işleminin özü şudur: Kesrin payını ve paydasını aynı sayıya (veya aynı ifadeye) böleriz.
Bir kesri azaltmak için ihtiyacınız olan:
1) pay ve payda çarpanlara ayırmak
2) pay ve payda şunları içeriyorsa Ortak etkenler, bunların üzeri çizilebilir.
Sanırım prensip açık mı?
Kısaltma yaparken tipik bir hataya dikkatinizi çekmek isterim. Bu konu basit olmasına rağmen birçok kişi bunu anlamadan her şeyi yanlış yapıyor azaltmak- Bunun anlamı bölmek pay ve payda aynı sayıdır.
Pay veya paydanın toplam olması durumunda kısaltma yapılmaz.
Örneğin: basitleştirmemiz gerekiyor.
Bazı insanlar bunu yapıyor: Bu kesinlikle yanlış.
Başka bir örnek: azaltın.
“En akıllı” bunu yapacaktır: .
Söyle bana burada sorun ne? Görünüşe göre: - bu bir çarpan, yani azaltılabileceği anlamına geliyor.
Ama hayır: - bu, paydaki yalnızca bir terimin çarpanıdır, ancak payın kendisi bir bütün olarak çarpanlara ayrılmamıştır.
İşte başka bir örnek: .
Bu ifade çarpanlara ayrılmıştır; bu, onu azaltabileceğiniz, yani payı ve paydayı önce şuna, sonra da şuna bölebileceğiniz anlamına gelir:
Hemen aşağıdakilere bölebilirsiniz:
Bu tür hatalardan kaçınmak için unutmayın kolay yol Bir ifadenin çarpanlara ayrılıp ayrılmadığı nasıl belirlenir:
Bir ifadenin değeri hesaplanırken en son yapılan aritmetik işlem “ana” işlemdir. Yani, harf yerine bazı (herhangi) sayıları koyarsanız ve ifadenin değerini hesaplamaya çalışırsanız, son işlem çarpma ise o zaman bir çarpımımız olur (ifade çarpanlara ayrılır). Son işlem toplama veya çıkarma ise bu, ifadenin çarpanlara ayrılmadığı (ve dolayısıyla azaltılamayacağı) anlamına gelir.
Birleştirmek için birkaçını kendiniz çözün örnekler:
Yanıtlar:
1. Umarım hemen kesmek için acele etmediniz ve? Birimleri bu şekilde "azaltmak" hâlâ yeterli değildi:
İlk adım çarpanlara ayırma olmalıdır:
4. Kesirleri toplama ve çıkarma. Kesirleri ortak paydaya indirgemek.
Sıradan kesirleri eklemek ve çıkarmak tanıdık bir işlemdir: ortak bir payda ararız, her kesri eksik faktörle çarparız ve payları ekler/çıkarırız. Hatırlayalım:
Yanıtlar:
1. Paydalar ve göreceli olarak asaldır, yani ortak çarpanları yoktur. Dolayısıyla bu sayıların LCM'si çarpımlarına eşittir. Bu ortak payda olacak:
2. Burada ortak payda:
3. Burada, her şeyden önce, karışık kesirleri uygunsuz olanlara dönüştürüyoruz ve ardından olağan şemaya göre:
Kesirlerin harf içermesi tamamen farklı bir konudur, örneğin:
Basit bir şeyle başlayalım:
a) Paydalar harf içermez
Burada her şey sıradan sayısal kesirlerle aynıdır: ortak paydayı buluruz, her kesri eksik faktörle çarparız ve payları ekler/çıkarırız:
Şimdi payda varsa benzerlerini verebilir ve bunları çarpanlara ayırabilirsiniz:
Kendin dene:
b) Paydalar harflerden oluşur
Harfler olmadan ortak payda bulma ilkesini hatırlayalım:
· Öncelikle ortak faktörleri belirliyoruz;
· daha sonra tüm ortak faktörleri birer birer yazıyoruz;
· ve bunları tüm diğer ortak olmayan faktörlerle çarpın.
Paydaların ortak çarpanlarını belirlemek için öncelikle onları asal çarpanlara ayırıyoruz:
Ortak faktörleri vurgulayalım:
Şimdi ortak faktörleri tek tek yazalım ve bunlara ortak olmayan (altı çizili olmayan) faktörleri de ekleyelim:
Bu ortak paydadır.
Tekrar mektuplara dönelim. Paydalar tamamen aynı şekilde verilir:
· paydaları çarpanlara ayırın;
· ortak (aynı) faktörleri belirlemek;
· tüm ortak faktörleri bir kez yazın;
· bunları diğer tüm ortak olmayan faktörlerle çarpın.
Yani sırasıyla:
1) paydaları çarpanlara ayırın:
2) ortak (özdeş) faktörleri belirleyin:
3) tüm ortak faktörleri bir kez yazın ve bunları diğer tüm (altı çizili olmayan) faktörlerle çarpın:
Yani burada ortak bir payda var. İlk kesir ikinciyle çarpılmalıdır:
Bu arada, bir hile var:
Örneğin: .
Paydalarda aynı faktörleri görüyoruz, ancak hepsi farklı göstergelere sahip. Ortak payda şu şekilde olacaktır:
bir dereceye kadar
bir dereceye kadar
bir dereceye kadar
bir dereceye kadar.
Görevi karmaşıklaştıralım:
Paydaları aynı olan kesirler nasıl yapılır?
Kesirlerin temel özelliğini hatırlayalım:
Hiçbir yerde aynı sayının bir kesrin payından ve paydasından çıkarılabileceği (veya eklenebileceği) söylenmiyor. Çünkü bu doğru değil!
Kendiniz görün: örneğin herhangi bir kesir alın ve pay ve paydaya bir sayı ekleyin, örneğin . Ne öğrendin?
İşte sarsılmaz bir kural daha:
Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğinizde yalnızca çarpma işlemini kullanın!
Ama elde etmek için neyi çarpmanız gerekiyor?
Yani ile çarpın. Ve şununla çarpın:
Çarpanlara ayrılamayan ifadelere “temel faktörler” diyeceğiz. Örneğin, bu temel bir faktördür. - Aynı. Ama hayır: çarpanlara ayrılabilir.
Peki ya ifade? Temel mi?
Hayır, çünkü çarpanlara ayrılabilir:
(“” konusunda çarpanlara ayırma hakkında zaten okudunuz).
Dolayısıyla harflerle bir ifadeyi ayrıştırdığınız temel faktörler, sayıları ayrıştırdığınız basit faktörlerin bir benzeridir. Biz de onlarla aynı şekilde ilgileneceğiz.
Her iki paydanın da çarpanının olduğunu görüyoruz. Dereceye kadar ortak paydaya gidecektir (nedenini hatırlıyor musunuz?).
Faktör temeldir ve ortak bir faktörü yoktur; bu, ilk kesirin onunla çarpılması gerektiği anlamına gelir:
Başka bir örnek:
Çözüm:
Panik içinde bu paydaları çarpmadan önce bunları nasıl çarpanlara ayıracağınızı düşünmeniz gerekiyor. İkisi de şunları temsil ediyor:
Harika! Daha sonra:
Başka bir örnek:
Çözüm:
Her zamanki gibi paydaları çarpanlara ayıralım. İlk paydayı basitçe parantezlerin dışına çıkardık; ikincisinde - kareler farkı:
Görünüşe göre ortak faktörler yok. Ama yakından bakarsanız benzer olduklarını görürsünüz... Ve bu doğru:
Öyleyse yazalım:
Yani şu şekilde ortaya çıktı: parantez içinde terimleri değiştirdik ve aynı zamanda kesirin önündeki işaret de tersine değişti. Bunu sık sık yapmanız gerekeceğini unutmayın.
Şimdi bunu ortak bir paydada buluşturalım:
Anladım? Şimdi kontrol edelim.
Bağımsız çözüm için görevler:
Yanıtlar:
Burada bir şeyi daha hatırlamamız gerekiyor: küplerin farkı:
Lütfen ikinci kesrin paydasının “toplamın karesi” formülünü içermediğini unutmayın! Toplamın karesi şöyle görünecektir: .
A, toplamın eksik karesi olarak adlandırılır: içindeki ikinci terim, birinci ve sonuncunun çarpımıdır, onların çifte çarpımı değil. Tamamlanmamış kare toplam, küpler farkının genişlemesindeki faktörlerden biridir:
Zaten üç kesir varsa ne yapmalı?
Evet, aynı şey! Öncelikle paydalardaki maksimum faktör sayısının aynı olduğundan emin olalım:
Lütfen dikkat: Bir parantez içindeki işaretleri değiştirirseniz kesirin önündeki işaret ters yönde değişir. İkinci parantez içindeki işaretleri değiştirdiğimizde kesrin önündeki işaret tekrar ters yönde değişir. Sonuç olarak o (kesrin önündeki işaret) değişmemiştir.
İlk paydanın tamamını ortak paydaya yazıyoruz ve ardından ikinciden ve sonra üçüncüden (ve daha fazla kesir varsa böyle devam ederek) henüz yazılmamış tüm faktörleri ekliyoruz. Yani şöyle çıkıyor:
Hımm... Kesirlerle ne yapılacağı açık. Peki ya ikisi?
Çok basit: Kesirlerin nasıl ekleneceğini biliyorsun, değil mi? O halde ikiyi kesir haline getirmemiz gerekiyor! Hatırlayalım: kesir bir bölme işlemidir (unutmanız durumunda pay, paydaya bölünür). Ve bir sayıyı bölmekten daha kolay bir şey yoktur. Bu durumda sayının kendisi değişmeyecek, ancak kesire dönüşecektir:
Tam olarak ihtiyaç duyulan şey!
5. Kesirlerde çarpma ve bölme.
Artık işin en zor kısmı bitti. Ve önümüzde en basit ama aynı zamanda en önemlisi:
Prosedür
Sayısal bir ifadeyi hesaplama prosedürü nedir? Bu ifadenin anlamını hesaplayarak şunu hatırlayın:
Saydın mı?
İşe yaramalı.
O halde hatırlatmama izin verin.
İlk adım dereceyi hesaplamaktır.
İkincisi çarpma ve bölmedir. Aynı anda birden fazla çarpma ve bölme işlemi varsa bunlar herhangi bir sırayla yapılabilir.
Ve son olarak toplama ve çıkarma işlemlerini yapıyoruz. Yine herhangi bir sırayla.
Ancak: parantez içindeki ifade sıra dışı olarak değerlendirilir!
Birkaç parantez birbiriyle çarpılır veya bölünürse, önce parantezlerin her birindeki ifadeyi hesaplar, sonra bunları çarpar veya böleriz.
Ya parantezlerin içinde daha fazla parantez varsa? Peki, düşünelim: parantezlerin içine bazı ifadeler yazılmış. Bir ifadeyi hesaplarken ilk önce ne yapmalısınız? Doğru, parantezleri hesaplayın. Bunu anladık: önce iç parantezleri hesaplıyoruz, sonra her şeyi hesaplıyoruz.
Yani yukarıdaki ifadenin prosedürü şu şekildedir (mevcut eylem kırmızıyla vurgulanmıştır, yani şu anda gerçekleştirdiğim eylem):
Tamam, her şey çok basit.
Ama bu harfli bir ifadeyle aynı şey değil mi?
Hayır, aynı! Yalnızca aritmetik işlemler yerine cebirsel işlemleri, yani yukarıda açıklanan eylemleri yapmanız gerekir. önceki bölüm: benzerini getirmek, kesirleri ekleme, kesirleri azaltma vb. Tek fark, polinomları çarpanlara ayırma işlemi olacaktır (bunu kesirlerle çalışırken sıklıkla kullanırız). Çoğu zaman, çarpanlara ayırmak için I kullanmanız veya ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmanız gerekir.
Genellikle amacımız ifadeyi bir çarpım veya bölüm olarak temsil etmektir.
Örneğin:
İfadeyi sadeleştirelim.
1) Öncelikle parantez içindeki ifadeyi basitleştiriyoruz. Orada kesir farkımız var ve amacımız bunu çarpım veya bölüm olarak sunmak. Böylece kesirleri ortak bir paydaya getiriyoruz ve şunu ekliyoruz:
Bu ifadeyi daha fazla basitleştirmek imkansızdır; buradaki tüm faktörler temeldir (bunun ne anlama geldiğini hâlâ hatırlıyor musunuz?).
2) Şunu elde ederiz:
Kesirlerin çarpılması: daha basit ne olabilir?
3) Artık kısaltabilirsiniz:
Tamam artık her şey bitti. Karmaşık bir şey yok, değil mi?
Başka bir örnek:
Ifadeyi basitleştir.
Öncelikle sorunu kendiniz çözmeye çalışın ve ancak o zaman çözüme bakın.
Öncelikle eylem sırasını belirleyelim. Öncelikle parantez içindeki kesirleri toplayalım, böylece iki kesir yerine bir kesir elde ederiz. Daha sonra kesirlerde bölme işlemi yapacağız. Peki, sonucu son kesirle ekleyelim. Adımları şematik olarak numaralandıracağım:
Şimdi size mevcut eylemi kırmızı renkle renklendirerek süreci göstereceğim:
Son olarak size iki yararlı ipucu vereceğim:
1. Benzerleri varsa derhal getirilmelidir. Ülkemizde benzerleri ne zaman ortaya çıkarsa çıksın, hemen gündeme getirilmesinde fayda var.
2. Aynı şey kesirlerin azaltılması için de geçerlidir: azaltma fırsatı ortaya çıktığı anda bundan yararlanılmalıdır. Bunun istisnası, eklediğiniz veya çıkardığınız kesirler içindir: eğer şimdi aynı paydalara sahiplerse, azaltma daha sonraya bırakılmalıdır.
İşte kendi başınıza çözebileceğiniz bazı görevler:
Ve en başında vaat edilen şey:
Çözümler (kısa):
En azından ilk üç örnekle başa çıktıysanız konuya hakim oldunuz demektir.
Şimdi öğrenmeye geçelim!
İFADELERİ DÖNÜŞTÜRME. ÖZET VE TEMEL FORMÜLLER
Temel basitleştirme işlemleri:
- Benzerini getirmek: Benzer terimleri eklemek (azaltmak) için katsayılarını eklemeniz ve harf kısmını atamanız gerekir.
- Faktorizasyon: ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmak, uygulamak vb.
- Bir kesirin azaltılması: Bir kesrin payı ve paydası, sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir; bu, kesrin değerini değiştirmez.
1) pay ve payda çarpanlara ayırmak
2) Pay ve paydanın ortak çarpanları varsa bunların üzeri çizilebilir.ÖNEMLİ: yalnızca çarpanlar azaltılabilir!
- Kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması:
; - Kesirlerle çarpma ve bölme:
;
Kesirlerin nasıl azaltılacağını anlamak için önce bir örneğe bakalım.
Bir kesri azaltmak, pay ve paydayı aynı şeye bölmek anlamına gelir. Hem 360 hem de 420 rakamıyla bitiyor, dolayısıyla bu kesri 2'ye indirebiliriz. Yeni kesirde hem 180 hem de 210 da 2'ye bölünebilir, dolayısıyla bu kesri 2'ye düşürüyoruz. 90 ve 105 sayılarında toplam rakamların rakamları 3'e bölünebildiği için bu sayıların ikisi de 3'e bölünüyor, kesri 3'e düşürüyoruz. Yeni kesirde 30 ve 35'in sonu 0 ve 5 ile bitiyor, yani her iki sayı da 5'e bölünüyor, yani azaltıyoruz kesir 5'tir. Ortaya çıkan yedide altılık kesir indirgenemez. Bu son cevaptır.
Aynı cevaba farklı şekillerde de ulaşabiliriz.
360 da 420 de sıfırla bitiyor yani 10'a bölünebiliyorlar. Kesri 10 azaltıyoruz. Yeni kesirde hem pay 36 hem de payda 42 2'ye bölünüyor. Kesri 2'ye düşürüyoruz. bir sonraki kesirde hem pay 18'i hem de payda 21'i 3'e bölüyoruz, bu da kesri 3'e düşürdüğümüz anlamına geliyor. Sonuca geldik - yedide altı.
Ve bir çözüm daha.
Bir dahaki sefere kesirleri azaltma örneklerine bakacağız.
Kesirlerin azaltılmasının ne olduğunu, kesirlerin neden ve nasıl azaltılacağını anlayalım ve kesirleri azaltma kuralını ve kullanım örneklerini verelim.
Yandex.RTB R-A-339285-1
"Kesirleri azaltmak" nedir
Kesri azaltBir kesri azaltmak, payını ve paydasını pozitif ve birden farklı ortak bir faktöre bölmektir.
Bu işlem sonucunda orijinal kesire eşit, yeni pay ve paydaya sahip bir kesir elde edilecektir.
Örneğin 6 24 ortak kesirini alıp azaltalım. Payı ve paydayı 2'ye bölün, sonuçta 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 elde edilir. Bu örnekte orijinal kesri 2 azalttık.
Kesirlerin indirgenemez forma indirgenmesi
Önceki örnekte 6 24 kesirini 2 azaltıp 3 12 kesirini elde ettik. Bu oranın daha da azaltılabileceğini görmek kolaydır. Tipik olarak kesirleri azaltmanın amacı indirgenemez bir kesir elde etmektir. Bir kesir indirgenemez formuna nasıl indirgenir?
Bu, pay ve paydayı en büyük ortak faktöre (GCD) göre azaltarak yapılabilir. O zaman en büyük ortak bölenin özelliği gereği pay ve payda karşılıklı olarak asal sayılara sahip olacak ve kesir indirgenemez olacaktır.
a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)
Bir kesri indirgenemez forma indirgemek
Bir kesri indirgenemez formuna indirmek için payını ve paydasını gcd'sine bölmeniz gerekir.
İlk örnekten 6 24 kesrine dönelim ve indirgenemez formuna getirelim. 6 ve 24 sayılarının en büyük ortak böleni 6'dır. Kesri azaltalım:
6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4
Kesirleri azaltmak, çalışmamak için kullanımı uygundur büyük sayılarda. Genel olarak matematikte söylenmemiş bir kural vardır: Herhangi bir ifadeyi basitleştirebiliyorsanız, bunu yapmanız gerekir. Bir kesri azaltmak çoğu zaman onu indirgenemez bir forma indirgemek anlamına gelir ve onu basitçe pay ve paydanın ortak böleniyle azaltmak anlamına gelmez.
Kesirleri azaltma kuralı
Kesirleri azaltmak için iki adımdan oluşan kuralı hatırlamanız yeterlidir.
Kesirleri azaltma kuralı
Bir kesri azaltmak için ihtiyacınız olan:
- Pay ve paydanın gcd'sini bulun.
- Pay ve paydayı gcd'lerine bölün.
Pratik örneklere bakalım.
Örnek 1. Kesri azaltalım.
182 195 kesri göz önüne alındığında. Kısaltalım.
Pay ve paydanın gcd'sini bulalım. Bunu yapmak için bu durumdaÖklid algoritmasını kullanmak en uygunudur.
195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 NOD (182, 195) = 13
Pay ve paydayı 13'e bölün. Şunu elde ederiz:
182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15
Hazır. Orijinal kesire eşit indirgenemez bir kesir elde ettik.
Kesirleri başka nasıl azaltabilirsiniz? Bazı durumlarda pay ve paydayı asal çarpanlara ayırmak ve ardından kesirin üst ve alt kısımlarından tüm ortak çarpanları çıkarmak uygun olur.
Örnek 2. Kesri azaltın
360 2940 kesri göz önüne alındığında. Kısaltalım.
Bunu yapmak için orijinal kesri şu şekilde hayal edin:
360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7
Pay ve paydadaki ortak faktörlerden kurtulalım, sonuçta:
360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49
Son olarak kesirleri azaltmanın başka bir yoluna bakalım. Bu sözde sıralı azalmadır. Bu yöntemi kullanarak indirgeme, her birinde fraksiyonun bazı bariz ortak faktörlerle azaltıldığı birkaç aşamada gerçekleştirilir.
Örnek 3. Kesri azaltın
2000 4400 kesrini azaltalım.
Pay ve paydanın ortak 100 çarpanına sahip olduğu hemen anlaşılıyor. Kesri 100'e indiririz ve şunu elde ederiz:
2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44
20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22
Ortaya çıkan sonucu tekrar 2 oranında azaltıyoruz ve indirgenemez bir kesir elde ediyoruz:
10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Çevrimiçi hesap makinesi gerçekleştirir cebirsel kesirlerin azaltılması kesirleri azaltma kuralına uygun olarak: orijinal kesri eşit bir kesirle, ancak daha küçük bir pay ve paydayla değiştirmek, yani. Bir kesrin payını ve paydasını ortak en büyük ortak faktörüne (GCD) aynı anda bölmek. Hesap makinesi aynı zamanda azaltma sırasını anlamanıza yardımcı olacak ayrıntılı bir çözüm de görüntüler.
Verilen:
Çözüm:
Kesir azaltma işlemi gerçekleştirme
cebirsel kesir azaltma gerçekleştirme olasılığının kontrol edilmesi
1) Bir kesrin pay ve paydasının en büyük ortak böleninin (GCD) belirlenmesi
cebirsel bir kesrin pay ve paydasının en büyük ortak bölenini (GCD) belirleme
2) Bir kesrin pay ve paydasının azaltılması
cebirsel bir kesrin payını ve paydasını azaltmak
3) Bir kesrin tam kısmını seçmek
cebirsel bir kesirin tamamını ayırma
4) Cebirsel bir kesri ondalık kesire dönüştürme
cebirsel bir kesri ondalık sayıya dönüştürme
Projenin web sitesinin geliştirilmesi için yardım
Sayın Site Ziyaretçisi.
Aradığınızı bulamadıysanız, sitede şu anda neyin eksik olduğunu yorumlarda yazdığınızdan emin olun. Bu, hangi yönde ilerlememiz gerektiğini anlamamıza yardımcı olacak ve diğer ziyaretçiler de yakında gerekli malzemeyi alabilecek.
Sitenin sizin için yararlı olduğu ortaya çıktıysa siteyi projeye bağışlayın sadece 2 ₽ ve doğru yönde ilerlediğimizi bileceğiz.
Uğradığınız için teşekkür ederim!
I. Çevrimiçi bir hesap makinesi kullanarak cebirsel bir kesri azaltma prosedürü:
- Cebirsel bir kesri azaltmak için kesrin pay ve payda değerlerini uygun alanlara girin. Kesir karışıksa, kesrin tamamına karşılık gelen alanı da doldurun. Kesir basitse parça alanının tamamını boş bırakın.
- Negatif bir kesir belirtmek için kesrin tamamına eksi işareti koyun.
- Belirtilen cebirsel kesre bağlı olarak aşağıdaki eylem dizisi otomatik olarak gerçekleştirilir:
- bir kesrin pay ve paydasının en büyük ortak bölenini (GCD) belirleme;
- bir kesrin pay ve paydasını gcd ile azaltmak;
- bir kesrin tamamının vurgulanması son kesrin payı paydadan büyükse.
- son cebirsel kesri ondalık kesre dönüştürme en yakın yüzlüğe yuvarlanır.
II. Referans için:
Kesir, bir birimin bir veya daha fazla bölümünden (kesirlerinden) oluşan bir sayıdır. Ortak bir kesir (basit kesir), bölme işaretini gösteren yatay bir çubukla (kesir çubuğu) ayrılan iki sayı (kesirin payı ve paydası) olarak yazılır. Bir kesrin payı, kesir çizgisinin üzerindeki sayıdır. Pay, bütünden kaç pay alındığını gösterir. Bir kesrin paydası kesir çizgisinin altındaki sayıdır. Payda bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü gösterir. Basit kesir, tam kısmı olmayan kesirdir. Basit bir kesir doğru ya da yanlış olabilir. Uygun kesir, payı paydasından küçük olan bir kesirdir, dolayısıyla uygun kesir her zaman birden küçüktür. Uygun kesirlere örnek: 8/7, 11/19, 16/17. Uygunsuz kesir, payın paydadan büyük veya ona eşit olduğu bir kesirdir; dolayısıyla uygunsuz kesir her zaman birden büyük veya bire eşittir. Uygunsuz kesirlere örnek: 7/6, 8/7, 13/13. Karışık kesir, bir tam sayı ve bir uygun kesir içeren ve bu tam sayı ile bir özel kesrin toplamını ifade eden bir sayıdır. Herhangi bir karışık fraksiyon, uygunsuz bir fraksiyona dönüştürülebilir. Örnek karışık kesirler: 1¼, 2½, 4¾.
III. Not:
- Kaynak veri bloğu vurgulandı sarı , tahsis edilen ara hesaplama bloğu mavi , çözüm bloğu yeşil renkle vurgulanır.
- Adi veya karışık kesirleri toplamak, çıkarmak, çarpmak ve bölmek için çevrimiçi kesir hesaplayıcıyı kullanın. detaylı çözüm.
Kesirler
Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)
Kesirler lisede pek sıkıntı yaratmaz. Şu an için. Ta ki rasyonel üslü ve logaritmalı kuvvetlerle karşılaşıncaya kadar. Ve orada... Hesap makinesine basarsınız ve basarsınız ve hesap makinesi bazı sayıların tam ekranını gösterir. Üçüncü sınıftaki gibi kafanla düşünmek zorundasın.
Sonunda kesirleri bulalım! Peki, bunlarla ne kadar kafan karışabilir!? Üstelik her şey basit ve mantıklı. Bu yüzden, kesir türleri nelerdir?
Kesir türleri. Dönüşümler.
Üç tür kesir vardır.
1. Ortak kesirler , Örneğin:
Bazen yatay çizgi yerine eğik çizgi koyarlar: 1/2, 3/4, 19/5, vb. Burada bu yazımı sıklıkla kullanacağız. En üstteki numara aranır pay, daha düşük - payda. Eğer bu isimleri sürekli karıştırıyorsanız (olur...), kendinize şu cümleyi söyleyin: " Zzzzz Unutma! Zzzzz payda - bak zzzzz ah!" Bak, her şey hatırlanacak.)
Yatay veya eğimli çizgi şu anlama gelir: bölümüstteki sayıyı (pay) aşağıya (payda) doğru. Bu kadar! Kısa çizgi yerine bölme işareti koymak oldukça mümkündür - iki nokta.
Tam bölünme mümkün olduğunda bu yapılmalıdır. Yani “32/8” kesri yerine “4” sayısını yazmak çok daha keyifli. Onlar. 32 basitçe 8'e bölünür.
32/8 = 32: 8 = 4
"4/1" kesirinden bahsetmiyorum bile. Bu da sadece "4". Tamamen bölünemiyorsa kesir olarak bırakıyoruz. Bazen tam tersi işlemi yapmanız gerekir. Tam sayıyı kesire dönüştürün. Ancak daha sonra bunun hakkında daha fazla bilgi vereceğiz.
2. Ondalık Sayılar , Örneğin:
Bu formda “B” görevlerinin cevaplarını yazmanız gerekecektir.
3. Karışık sayılar , Örneğin:
Lisede karışık sayılar pratikte kullanılmaz. Onlarla çalışabilmek için bunların sıradan kesirlere dönüştürülmesi gerekir. Ancak bunu kesinlikle yapabilmeniz gerekiyor! Aksi takdirde bir problemde böyle bir sayıyla karşılaşırsınız ve donarsınız... Boş alan. Ancak bu prosedürü hatırlayacağız! Biraz daha aşağıda.
En çok yönlü ortak kesirler. Onlarla başlayalım. Bu arada, eğer bir kesir her türlü logaritmayı, sinüsü ve diğer harfleri içeriyorsa, bu hiçbir şeyi değiştirmez. Bir anlamda her şey Kesirli ifadelere sahip eylemlerin sıradan kesirli eylemlerden hiçbir farkı yoktur!
Bir kesrin temel özelliği.
O zaman hadi gidelim! Başlangıç olarak sizi şaşırtacağım. Kesir dönüşümlerinin tüm çeşitliliği tek bir özellik tarafından sağlanır! Buna denir bir kesrin temel özelliği. Hatırlamak: Bir kesrin pay ve paydası aynı sayı ile çarpılırsa (bölülürse) kesir değişmez. Onlar:
Yüzün morarıncaya kadar yazmaya devam edebileceğin açık. Sinüs ve logaritmaların kafanızı karıştırmasına izin vermeyin, bunlarla daha ayrıntılı olarak ilgileneceğiz. Önemli olan tüm bu çeşitli ifadelerin aynı kesir . 2/3.
Bütün bu dönüşümlere ihtiyacımız var mı? Ve nasıl! Şimdi kendiniz göreceksiniz. Başlangıç olarak kesrin temel özelliğini kullanalım. kesirlerin azaltılması. Basit bir şey gibi görünebilir. Pay ve paydayı aynı sayıya bölün, işte bu kadar! Hata yapmak imkansızdır! Ama... insan yaratıcı bir varlıktır. Her yerde hata yapabilirsiniz! Hele ki 5/10 gibi bir kesri değil, her türlü harften oluşan kesirli bir ifadeyi azaltmanız gerekiyorsa.
Ekstra çalışma yapmadan kesirlerin doğru ve hızlı bir şekilde nasıl azaltılacağı özel Bölüm 555'te okunabilir.
Normal bir öğrenci pay ve paydayı aynı sayıya (veya ifadeye) bölme zahmetine girmez! Yukarıda ve aşağıda aynı olan her şeyin üstünü çiziyor! Burası gizlendiği yer tipik hata, eğer istersen, bir hata.
Örneğin, ifadeyi basitleştirmeniz gerekir:
Burada düşünecek bir şey yok, üstteki “a” harfinin ve alttaki “2” harfinin üzerini çizin! Şunu elde ederiz:
Her şey doğru. Ama gerçekten bölünmüşsün Tümü pay ve Tümü payda "a"dır. Sadece üstünü çizmeye alışkınsanız, aceleyle ifadedeki "a" harfinin üstünü çizebilirsiniz.
ve tekrar al
Bu kategorik olarak doğru olmazdı. Çünkü burada Tümü"a" üzerindeki pay zaten paylaşılmamış! Bu oran azaltılamaz. Bu arada, böyle bir azalma öğretmen için ciddi bir zorluktur. Bu affedilmez! Hatırlıyor musun? Küçültürken bölmeniz gerekir Tümü pay ve Tümü payda!
Kesirlerin azaltılması hayatı çok daha kolaylaştırır. Bir yerde bir kesir elde edeceksiniz, örneğin 375/1000. Artık onunla çalışmaya nasıl devam edebilirim? Hesap makinesi olmadan mı? Çarp, diyelim, topla, karesini al!? Ve eğer çok tembel değilseniz ve dikkatli bir şekilde beşe, beşe kadar kesin ve hatta... kısacası kısaltılırken. Hadi 3/8'i alalım! Çok daha hoş, değil mi?
Bir kesrin ana özelliği, sıradan kesirleri ondalık sayılara dönüştürmenize ve bunun tersini yapmanıza olanak tanır hesap makinesi olmadan! Bu Birleşik Devlet Sınavı için önemli, değil mi?
Kesirler bir türden diğerine nasıl dönüştürülür?
Ondalık kesirlerle her şey basittir. Nasıl duyulursa öyle yazılır! 0,25 diyelim. Bu sıfır virgül yirmi beş yüzde bir. O halde şunu yazıyoruz: 25/100. Azaltıyoruz (pay ve paydayı 25'e bölüyoruz), normal kesri elde ediyoruz: 1/4. Tüm. Bu olur ve hiçbir şey azalmaz. 0.3 gibi. Bu onda üç, yani. 3/10.
Tamsayılar sıfır değilse ne olur? Önemli değil. Kesirin tamamını yazıyoruz virgül olmadan payda ve paydada - duyulanlar. Örneğin: 3.17. Bu üç virgül bin yedidir. Payına 317, paydasına 100 yazıyoruz, 317/100 elde ediyoruz. Hiçbir şey azalmaz, bu her şey demektir. Cevap bu. Temel Watson! Söylenen her şeyden yararlı sonuç: herhangi bir ondalık kesir ortak bir kesire dönüştürülebilir .
Ancak bazı kişiler hesap makinesi olmadan sıradan ondalık sayıya ters dönüşümü yapamazlar. Ve bu gerekli! Birleşik Devlet Sınavının cevabını nasıl yazacaksınız!? Dikkatlice okuyun ve bu süreçte uzmanlaşın.
Ondalık kesrin özelliği nedir? Onun paydası Her zaman maliyeti 10 veya 100 veya 1000 veya 10000 vb. Ortak kesirinizin paydası böyleyse sorun yok. Örneğin 4/10 = 0,4. Veya 7/100 = 0,07. Veya 12/10 = 1,2. Peki ya “B” bölümündeki görevin cevabı 1/2 olursa? Cevap olarak ne yazacağız? Ondalık sayılar gerekli...
Hatırlayalım bir kesrin temel özelliği ! Matematik, pay ve paydayı aynı sayıyla çarpmanıza olumlu bir şekilde izin verir. Bu arada, herhangi bir şey! Sıfır hariç elbette. O halde gelin bu özelliği lehimize kullanalım! Payda neyle çarpılabilir, yani? 2 yani 10 mu, 100 mü, yoksa 1000 mi (daha küçükse daha iyidir elbette...)? Tabii ki saat 5'te. Paydayı çarpmaktan çekinmeyin (bu biz gerekli) 5 ile. Ancak bu durumda payın da 5 ile çarpılması gerekir. Bu zaten matematik talepler! 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5 elde ederiz. Bu kadar.
Ancak her türlü payda karşımıza çıkıyor. Örneğin 3/16 kesiriyle karşılaşacaksınız. 16'yı neyle çarparak 100 veya 1000 olacağını bulmaya çalışın... İşe yaramıyor mu? Daha sonra 3'e 16'ya bölebilirsiniz. Hesap makinesinin yokluğunda, ilkokulda öğretildiği gibi bir kağıt parçası üzerinde köşeyle bölmeniz gerekecektir. 0,1875 elde ediyoruz.
Ayrıca çok kötü paydalar da var. Örneğin 1/3 kesirini iyi bir ondalık sayıya dönüştürmenin bir yolu yoktur. Hem hesap makinesinde hem de bir kağıt parçasında şunu elde ederiz: 0,3333333... Bu, 1/3'ün tam bir ondalık kesir olduğu anlamına gelir tercüme etmiyor. 1/7, 5/6 vb. ile aynı. Çevrilemeyen birçoğu var. Bu bizi başka bir yararlı sonuca getiriyor. Her kesir ondalık sayıya dönüştürülemez !
Bu arada, bu yardımcı bilgi kendi kendine test için. "B" bölümünde cevabınızda ondalık kesir yazmalısınız. Ve örneğin 4/3'ü elde ettiniz. Bu kesir ondalık sayıya dönüşmez. Bu, yol boyunca bir yerde hata yaptığınız anlamına gelir! Geri dönüp çözümü kontrol edin.
Böylece sıradan ve ondalık kesirleri bulduk. Geriye kalan tek şey karışık sayılarla uğraşmak. Onlarla çalışmak için bunların sıradan kesirlere dönüştürülmesi gerekir. Nasıl yapılır? Bir altıncı sınıf öğrencisini yakalayıp ona sorabilirsiniz. Ancak altıncı sınıf öğrencisi her zaman elinizin altında olmayacak... Bunu kendiniz yapmak zorunda kalacaksınız. Zor değil. Kesirli kısmın paydasını tam kısımla çarpmanız ve kesirli kısmın payını eklemeniz gerekir. Bu ortak kesrin payı olacaktır. Payda ne olacak? Payda aynı kalacaktır. Kulağa karmaşık geliyor ama gerçekte her şey basit. Bir örneğe bakalım.
Diyelim ki problemdeki sayıyı görünce dehşete düştünüz:
Sakince, paniğe kapılmadan düşünüyoruz. Parçanın tamamı 1. Birimdir. Kesir- 3/7. Dolayısıyla kesirli kısmın paydası 7'dir. Bu payda adi kesrin paydası olacaktır. Payını sayıyoruz. 7'yi 1 ile çarpıyoruz (tamsayı kısmı) ve 3'ü (kesirli kısmın payı) ekliyoruz. 10 elde ederiz. Bu, ortak bir kesrin payı olacaktır. Bu kadar. Matematiksel gösterimde daha da basit görünüyor:
Açık mı? O halde başarınızı güvence altına alın! Sıradan kesirlere dönüştürün. 10/7, 7/2, 23/10 ve 21/4 almalısınız.
Uygunsuz bir kesri karışık bir sayıya dönüştürmek olan ters işlem, lisede nadiren gereklidir. Eğer öyleyse... Eğer lisede değilseniz özel Bölüm 555'e bakabilirsiniz. Bu arada burada bileşik kesirleri de öğreneceksiniz.
Eh, neredeyse hepsi bu. Kesir türlerini hatırladınız ve anladınız Nasıl bunları bir türden diğerine aktarın. Geriye şu soru kalıyor: Ne için yap? Bu derin bilgiyi nerede ve ne zaman uygulamalı?
Cevaplıyorum. Herhangi bir örneğin kendisi gerekli eylemleri önerir. Örnekte sıradan kesirler, ondalık sayılar ve hatta karışık sayılar birbirine karıştırılırsa, her şeyi sıradan kesirlere dönüştürürüz. Her zaman yapılabilir. Eğer 0,8 + 0,3 gibi bir şey söylüyorsa, o zaman çeviri yapmadan bu şekilde sayarız. Neden ekstra çalışmaya ihtiyacımız var? Uygun olan çözümü seçiyoruz biz !
Eğer görev tamamen ondalık sayılar, ama ımm... bazı kötü olanlar, sıradan olanlara gidin, onları deneyin! Bak her şey yoluna girecek. Örneğin 0,125 sayısının karesini almanız gerekecek. Hesap makinesi kullanmaya alışmadıysanız bu o kadar kolay değil! Bir sütundaki sayıları çarpmanın yanı sıra virgülü nereye koyacağınızı da düşünmeniz gerekir! Kesinlikle kafanızda işe yaramayacak! Peki ya sıradan bir kesire geçersek?
0,125 = 125/1000. Bunu 5 oranında azaltıyoruz (bu yeni başlayanlar içindir). 25/200 alıyoruz. Bir kez daha 5'e kadar. 5/40 elde ederiz. Ah, hala küçülüyor! 5'e geri dönelim! 1/8 elde ederiz. Kolayca karesini alırız (aklımızda!) ve 1/64 elde ederiz. Tüm!
Bu dersi özetleyelim.
1. Üç tür kesir vardır. Ortak, ondalık ve karışık sayılar.
2. Ondalık sayılar ve karışık sayılar Her zaman sıradan kesirlere dönüştürülebilir. Ters aktarım her zaman değil mevcut.
3. Bir görevde kullanılacak kesir türünün seçimi, görevin kendisine bağlıdır. huzurunda farklı şekiller Kesirleri tek bir görevde çözmek için en güvenilir şey sıradan kesirlere geçmektir.
Artık pratik yapabilirsiniz. Öncelikle bu ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürün:
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
Bunun gibi yanıtlar almalısınız (karmaşa içinde!):
Burada bitirelim. Bu dersimizde hafızamızı tazeledik anahtar noktaları kesirlere göre. Ancak yenilenecek özel bir şey olmadığı da olur...) Birisi tamamen unutmuşsa veya henüz ustalaşmamışsa... O zaman özel bir Bölüm 555'e gidebilirsiniz. Tüm temel bilgiler burada ayrıntılı olarak ele alınmıştır. Birçoğu aniden her şeyi anlamak başlıyorlar. Ve kesirleri anında çözerler).
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
