Bir kenarı ortak, diğer kenarları aynı doğru üzerinde yer alan açılardır (şekilde 1 ve 2 numaralı açılar bitişiktir). Pirinç. sanata. Bitişik köşeler... Büyük Sovyet Ansiklopedisi
YAN KÖŞELER- Tepe noktaları ve bir kenarları ortak olan, diğer iki kenarları aynı doğru üzerinde olan açılar... Büyük Politeknik Ansiklopedisi
Açı'yı görün... Büyük Ansiklopedik Sözlük
KOŞU AÇILAR, toplamı 180° olan iki açıdır. Bu açılardan her biri diğerini tam açıya tamamlar... Bilimsel ve teknik ansiklopedik sözlük
Bkz. Angle. * * * YAN KÖŞELER YAN KÖŞELER, bkz. Açı (bkz. AÇI) ... ansiklopedik sözlük
- (Bitişik açılar) ortak bir tepe noktasına ve ortak bir kenara sahip olanlar. Çoğunlukla bu isim, diğer iki tarafı tepe noktasından çizilen bir düz çizginin zıt yönlerinde uzanan C. açılarına atıfta bulunur ... Ansiklopedik Sözlük F.A. Brockhaus ve I.A. Efron
Açı'yı görün... Doğal bilim. ansiklopedik sözlük
Bir çift dikey açı oluşturmak için iki düz çizgi kesişir. Bir çift A ve B açılarından, diğeri C ve D açılarından oluşur. Geometride, iki açı, ikisinin kesişmesiyle oluşturulmuşsa dikey olarak adlandırılır ... Vikipedi
Birbirini 90 dereceye kadar tamamlayan açı çifti. Tamamlayıcı açı, birbirini 90 dereceye kadar tamamlayan açı çiftidir. Eğer iki tamamlayıcı açı bitişikse (yani ortak bir köşeye sahiplerse ve yalnızca ayrılmışlarsa... ... Vikipedi)
Birbirini 90 dereceye kadar tamamlayan açı çifti Tamamlayıcı açı, birbirini 90 dereceye kadar tamamlayan açı çiftidir. Birbirini tamamlayan iki açı birlikte ise... Vikipedi
Kitabın
- Geometride kanıt hakkında, A.I. Fetisov Bu kitap, Talep Üzerine Baskı teknolojisi kullanılarak siparişinize uygun olarak üretilecektir. Bir zamanlar, en başında okul yılı, iki kız arasındaki bir konuşmayı duymak zorunda kaldım. Aralarında en büyüğü...
- Bilgi kontrolü için kapsamlı bir not defteri. Geometri. 7. sınıf. Federal Devlet Eğitim Standardı, Babenko Svetlana Pavlovna, Markova Irina Sergeevna. Kılavuz, 7. sınıf öğrencilerinin bilgilerinin güncel, tematik ve nihai kalite kontrolünü gerçekleştirmek için geometride kontrol ve ölçüm materyalleri (CMM) sunmaktadır. Kılavuzun içeriği...
Bir kenarları ortak olan iki açıya bitişik denir ve bu açıların diğer kenarları tamamlayıcı ışınlardır. Şekil 20'de AOB ve BOC açıları komşudur.
Komşu açıların toplamı 180°
Teorem 1. Komşu açıların toplamı 180°'dir.
Kanıt. OB kirişi (bkz. Şekil 1) açılmamış açının kenarları arasından geçer. Bu yüzden ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.
Teorem 1'den, eğer iki açı eşitse, komşu açılarının da eşit olduğu sonucu çıkar.
Dikey açılar eşittir
Bir açının kenarları diğerinin kenarlarının tamamlayıcı ışınları ise iki açıya dikey denir. İki düz çizginin kesişiminde oluşan AOB ve COD, BOD ve AOC açıları dikeydir (Şekil 2).
Teorem 2. Dikey açılar eşittir.
Kanıt. Hadi düşünelim dikey açılar AOB ve COD (bkz. Şekil 2). BOD açısı AOB ve COD açılarının her birine komşudur. Teorem 1'e göre ∠ AOB + ∠ BOİ = 180°, ∠ KOİ + ∠ BOİ = 180°.
Bundan ∠ AOB = ∠ COD olduğu sonucunu çıkarıyoruz.
Sonuç 1. Dik açıya komşu olan açı dik açıdır.
Kesişen iki AC ve BD düz çizgisini düşünün (Şekil 3). Dört köşe oluştururlar. Bunlardan biri düzse (Şekil 3'teki açı 1), o zaman geri kalan açılar da diktir (1 ve 2, 1 ve 4 numaralı açılar bitişiktir, 1 ve 3 numaralı açılar dikeydir). Bu durumda bu çizgilerin dik açılarda kesiştiğini ve dik (veya karşılıklı dik) olarak adlandırıldığını söylüyorlar. AC ve BD doğrularının dikliği şu şekilde gösterilir: AC ⊥ BD.
Bir doğru parçasına dik açıortay, bu parçaya dik olan ve onun orta noktasından geçen bir çizgidir.
AN - bir çizgiye dik
Düz bir çizgi a ve onun üzerinde olmayan bir A noktası düşünün (Şekil 4). A noktasını bir doğru parçasıyla H noktasına a düz çizgisiyle bağlayalım. AN doğru parçasına, AN ve a doğruları dik ise, A noktasından a doğrusuna çizilen dikme denir. H noktasına dikmenin tabanı denir.
Kare çizme
Aşağıdaki teorem doğrudur.
Teorem 3. Bir çizgi üzerinde yer almayan herhangi bir noktadan, bu çizgiye dik bir çizgi çizmek mümkündür, üstelik sadece bir tane.
Bir çizimde bir noktadan düz bir çizgiye dik bir çizgi çizmek için bir çizim karesi kullanın (Şek. 5).
Yorum. Teoremin formülasyonu genellikle iki bölümden oluşur. Bir kısım verilenlerden bahsediyor. Bu kısma teoremin koşulu denir. Diğer kısımda ise neyin kanıtlanması gerektiğinden bahsediliyor. Bu bölüme teoremin sonucu denir. Örneğin Teorem 2'nin koşulu açıların dikey olmasıdır; sonuç - bu açılar eşittir.
Herhangi bir teorem, koşulu "eğer" kelimesiyle başlayacak ve sonucu "o zaman" kelimesiyle başlayacak şekilde ayrıntılı olarak kelimelerle ifade edilebilir. Örneğin Teorem 2 detaylı olarak şu şekilde ifade edilebilir: “İki açı dikse eşittirler.”
Örnek 1. Komşu açılardan biri 44°'dir. Diğeri neye eşit?
Çözüm.
Teorem 1'e göre başka bir açının derece ölçüsünü x ile gösterelim.
44° + x = 180°.
Ortaya çıkan denklemi çözerek x = 136° olduğunu buluruz. Bu nedenle diğer açı 136°'dir.
Örnek 2.Şekil 21'deki COD açısı 45° olsun. AOB ve AOC açıları nelerdir?
Çözüm.
COD ve AOB açıları dikeydir, dolayısıyla Teorem 1.2'ye göre eşittirler, yani ∠ AOB = 45°. AOC açısı COD açısına komşudur, yani Teorem 1'e göre.
∠ AOC = 180° - ∠ KOİ = 180° - 45° = 135°.
Örnek 3. Bulmak bitişik açılar, eğer biri diğerinden 3 kat daha büyükse.
Çözüm.
Küçük açının derece ölçüsünü x ile gösterelim. Bu durumda büyük açının derece ölçüsü 3x olacaktır. Komşu açıların toplamı 180°'ye eşit olduğundan (Teorem 1), x + 3x = 180°, dolayısıyla x = 45°.
Bu, komşu açıların 45° ve 135° olduğu anlamına gelir.
Örnek 4.İki dik açının toplamı 100°dir. Dört açının her birinin boyutunu bulun.
Çözüm.
Şekil 2'nin problemin koşullarını karşıladığını varsayalım: COD'den AOB'ye olan dikey açılar eşittir (Teorem 2), bu da onların derece ölçülerinin de eşit olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla ∠ COD = ∠ AOB = 50° (koşula göre toplamları 100°'dir). BOD açısı (aynı zamanda AOC açısı) COD açısına komşudur ve bu nedenle Teorem 1'e göre
∠ BOİ = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.
1. Bitişik açılar.
Herhangi bir açının kenarını tepe noktasının ötesine uzatırsak iki açı elde ederiz (Şekil 72): ∠ABC ve ∠CBD, burada BC kenarlarından biri ortaktır ve diğer ikisi AB ve BD düz bir çizgi oluşturur.
Bir kenarı ortak, diğer ikisi düz bir çizgi oluşturan iki açıya komşu açılar denir.
Komşu açılar da şu şekilde elde edilebilir: Bir çizgi üzerindeki (belirli bir çizgi üzerinde olmayan) bir noktadan bir ışın çizersek, bitişik açıları elde ederiz.
Örneğin ∠ADF ve ∠FDB komşu açılardır (Şekil 73).
Bitişik açılar çok çeşitli konumlara sahip olabilir (Şek. 74).
Bitişik açıların toplamı düz bir açı oluşturur, bu nedenle komşu iki açının toplamı 180°'dir
Dolayısıyla dik açı, komşu açıya eşit bir açı olarak tanımlanabilir.
Komşu açılardan birinin ölçüsünü bildiğimizde, ona komşu olan diğer açının ölçüsünü bulabiliriz.
Örneğin, komşu açılardan biri 54° ise ikinci açı şuna eşit olacaktır:
180° - 54° = l26°.
2. Dikey açılar.
Açının kenarlarını tepe noktasının ötesine uzatırsak dikey açılar elde ederiz. Şekil 75'te EOF ve AOC açıları dikeydir; AOE ve COF açıları da dikeydir.
Bir açının kenarları diğer açının kenarlarının devamı ise iki açıya dikey denir.
∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° olsun (Şek. 76). Komşu ∠2, 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, yani 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°'ye eşit olacaktır.
Aynı şekilde ∠3 ve ∠4'ün neye eşit olduğunu da hesaplayabilirsiniz.
∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;
∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (Şekil 77).
∠1 = ∠3 ve ∠2 = ∠4 olduğunu görüyoruz.
Aynı problemlerden birkaçını daha çözebilirsiniz ve her seferinde aynı sonucu elde edersiniz: dikey açılar birbirine eşittir.
Ancak dikey açıların her zaman birbirine eşit olduğundan emin olmak için tek tek sayısal örnekleri dikkate almak yeterli değildir, çünkü belirli örneklerden çıkarılan sonuçlar bazen hatalı olabilir.
Düşey açıların özelliklerinin geçerliliğinin kanıtla doğrulanması gerekir.
Kanıt şu şekilde gerçekleştirilebilir (Şekil 78):
∠bir +∠C= 180°;
∠b+∠C= 180°;
(komşu açıların toplamı 180° olduğundan).
∠bir +∠C = ∠b+∠C
(çünkü bu eşitliğin sol tarafı 180°'ye, sağ tarafı da 180°'ye eşittir).
Bu eşitlik aynı açıyı içerir İle.
Eşit miktarlardan eşit miktarları çıkarırsak eşit miktarlar kalır. Sonuç şöyle olacaktır: ∠A = ∠B yani dikey açılar birbirine eşittir.
3. Tepe noktaları ortak olan açıların toplamı.
Şekil 79'da ∠1, ∠2, ∠3 ve ∠4 bir doğrunun bir tarafında yer alır ve bu doğru üzerinde ortak bir köşeye sahiptir. Özetle, bu açılar bir düz açı oluşturur;
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.
Şekil 80'de ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 ve ∠5'in köşe noktaları ortaktır. Bu açıların toplamı bir tam açıya eşittir, yani ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.
Diğer materyallerAçılara Başlarken
Bize iki keyfi ışın verilsin. Bunları üst üste koyalım. Daha sonra
Tanım 1
Açıya aynı kökene sahip iki ışın diyeceğiz.
Tanım 2
Tanım 3 çerçevesinde ışınların başlangıç noktası olan noktaya bu açının tepe noktası denir.
Açıyı aşağıdaki üç noktayla göstereceğiz: tepe noktası, ışınlardan birinin üzerinde bir nokta ve diğer ışının üzerinde bir nokta ve açının tepe noktası, gösteriminin ortasına yazılmıştır (Şekil 1).
Şimdi açının büyüklüğünün ne olduğunu bulalım.
Bunu yapmak için birim olarak alacağımız bir çeşit “referans” açısı seçmemiz gerekiyor. Çoğu zaman bu açı, açılmış açının $\frac(1)(180)$ kısmına eşit olan açıdır. Bu miktara derece denir. Böyle bir açıyı seçtikten sonra değerinin bulunması gereken açıları onunla karşılaştırırız.
4 tür açı vardır:
Tanım 3
Bir açı $90^0$'dan küçükse dar açı olarak adlandırılır.
Tanım 4
Bir açıya $90^0$'dan büyükse geniş açı denir.
Tanım 5
180^0$'a eşitse bir açıya gelişmiş denir.
Tanım 6
Eğer $90^0$'a eşitse açıya dik denir.
Yukarıda açıklanan açı türlerine ek olarak, birbirlerine göre açı türlerini yani dikey ve komşu açıları da ayırt edebiliriz.
Bitişik açılar
Ters açı $COB$'ı düşünün. Tepe noktasından bir $OA$ ışınını çiziyoruz. Bu ışın orijinal olanı iki açıya bölecektir. Daha sonra
Tanım 7
Yanlarından bir çifti gelişmiş bir açı ise ve diğer çift çakışıyorsa, iki açıya bitişik diyeceğiz (Şekil 2).
İÇİNDE bu durumda$COA$ ve $BOA$ açıları bitişiktir.
Teorem 1
Komşu açıların toplamı 180^0$'dır.
Kanıt.
Şekil 2'ye bakalım.
Tanım 7'ye göre, içindeki $COB$ açısı 180^0$'a eşit olacaktır. Komşu açıların ikinci kenar çifti çakıştığı için, $OA$ ışını açılmamış açıyı 2'ye bölecektir, dolayısıyla
$∠COA+∠BOA=180^0$
Teorem kanıtlandı.
Bu kavramı kullanarak sorunu çözmeyi düşünelim.
örnek 1
Aşağıdaki şekilden $C$ açısını bulun
Tanım 7'ye göre $BDA$ ve $ADC$ açılarının bitişik olduğunu buluyoruz. Bu nedenle, Teorem 1'den şunu elde ederiz:
$∠BDA+∠ADC=180^0$
$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$
Bir üçgendeki açıların toplamına ilişkin teoreme göre,
$∠A+∠ADC+∠C=180^0$
$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$
Cevap: 40^0$.
Dikey açılar
Açılmamış $AOB$ ve $MOC$ açılarını düşünün. Bu açıların hiçbir kenarı çakışmayacak şekilde köşelerini birbiriyle hizalayalım (yani $O"$ noktasını $O$ noktasının üzerine koyalım).
Tanım 8
Taraflarının çiftleri açılmamış açılar ise ve değerleri çakışıyorsa iki açıya dikey diyeceğiz (Şekil 3).
Bu durumda, $MOA$ ve $BOC$ açıları dikeydir ve $MOB$ ve $AOC$ açıları da dikeydir.
Teorem 2
Düşey açılar birbirine eşittir.
Kanıt.
Şekil 3'e bakalım. Örneğin $MOA$ açısının $BOC$ açısına eşit olduğunu kanıtlayalım.
Soru 1. Hangi açılara bitişik denir?
Cevap. Bir kenarları ortak olan iki açıya bitişik denir ve bu açıların diğer kenarları tamamlayıcı yarım çizgilerdir.
Şekil 31'de (a 1 b) ve (a 2 b) açıları bitişiktir. B kenarları ortaktır ve a 1 ve a 2 kenarları ek yarım çizgilerdir.
Soru 2. Komşu açıların toplamının 180° olduğunu kanıtlayın.
Cevap. Teorem 2.1. Komşu açıların toplamı 180°'dir.
Kanıt.(a 1 b) açısına ve (a 2 b) açısına komşu açılar verilsin (bkz. Şekil 31). B ışını düz bir açının a 1 ve a 2 kenarları arasından geçiyor. Bu nedenle (a 1 b) ve (a 2 b) açılarının toplamı açılmamış açıya, yani 180°'ye eşittir. Q.E.D.
Soru 3.İki açı eşitse komşu açılarının da eşit olduğunu kanıtlayın.
Cevap.
teoremden 2.1
Buradan iki açı eşitse komşu açılarının da eşit olacağı sonucu çıkar.
Diyelim ki (a 1 b) ve (c 1 d) açıları eşit. (a 2 b) ve (c 2 d) açılarının da eşit olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
Komşu açıların toplamı 180°'dir. Bundan a 1 b + a 2 b = 180° ve c 1 d + c 2 d = 180° olduğu sonucu çıkar. Dolayısıyla a 2 b = 180° - a 1 b ve c 2 d = 180° - c 1 d. (a 1 b) ve (c 1 d) açıları eşit olduğundan, a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d sonucunu elde ederiz. Eşittir işaretinin geçişlilik özelliğinden a 2 b = c 2 d sonucu çıkar. Q.E.D.
Soru 4. Hangi açıya dik (dar, geniş) denir?
Cevap.Ölçüsü 90°'ye eşit olan açıya dik açı denir.
Ölçüsü 90°'den küçük olan açılara dar açı denir.
Ölçüsü 90°'den büyük, 180°'den küçük olan açılara geniş açı denir.
Soru 5. Dik açıya komşu olan açının dik açı olduğunu kanıtlayın.
Cevap. Komşu açıların toplamına ilişkin teoremden, dik açıya komşu açının dik açı olduğu sonucu çıkar: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.
Soru 6. Hangi açılara dikey denir?
Cevap. Bir açının kenarları diğerinin kenarlarının tamamlayıcı yarım çizgileri ise iki açıya dikey denir.
Soru 7. Düşey açıların eşit olduğunu kanıtlayın.
Cevap. Teorem 2.2. Dikey açılar eşittir.
Kanıt.(a 1 b 1) ve (a 2 b 2) verilen düşey açılar olsun (Şekil 34). (a 1 b 2) açısı, (a 1 b 1) açısına ve (a 2 b 2) açısına komşudur. Buradan, komşu açıların toplamına ilişkin teoremi kullanarak, (a 1 b 1) ve (a 2 b 2) açılarının her birinin (a 1 b 2) açısını 180°'ye kadar tamamladığı sonucuna varırız; (a 1 b 1) ve (a 2 b 2) açıları eşittir. Q.E.D.
Soru 8.İki doğru kesiştiğinde açılardan birinin dik olduğunu, diğer üç açının da dik olduğunu kanıtlayın.
Cevap. AB ve CD doğrularının O noktasında kesiştiğini varsayalım. AOD açısının 90° olduğunu varsayalım. Komşu açıların toplamı 180° olduğundan AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90° sonucunu elde ederiz. COB açısı AOD açısına diktir, dolayısıyla eşittirler. Yani COB açısı = 90°. COA açısı BOD açısına dik olduğundan eşittirler. Yani BOD açısı = 90°. Yani bütün açılar 90°'ye eşittir, yani hepsi dik açıdır. Q.E.D.
Soru 9. Hangi çizgilere dik denir? Doğruların dikliğini belirtmek için hangi işaret kullanılır?
Cevap. Dik açılarda kesişen iki doğruya dik denir.
Çizgilerin dikliği \(\perp\) işaretiyle gösterilir. \(a\perp b\) girişi şu şekildedir: "A doğrusu b doğrusuna diktir."
Soru 10. Bir doğrunun herhangi bir noktasından ona dik bir çizgi çizebileceğinizi ve yalnızca bir tane çizebileceğinizi kanıtlayın.
Cevap. Teorem 2.3. Her çizgiden ona dik bir çizgi çizebilirsiniz ve yalnızca bir tane.
Kanıt. A belirli bir doğru ve A da onun üzerinde belirli bir nokta olsun. A başlangıç noktasıyla a düz çizgisinin yarım çizgilerinden birini 1 ile gösterelim (Şekil 38). a 1 yarım doğrusundan 90°'ye eşit bir açıyı (a 1 b 1) çıkaralım. O zaman b 1 ışınını içeren düz çizgi a düz çizgisine dik olacaktır.
Yine A noktasından geçen ve a doğrusuna dik olan başka bir doğrunun daha olduğunu varsayalım. Bu doğrunun b 1 ışınıyla aynı yarı düzlemde bulunan yarı çizgisini c 1 ile gösterelim.
Her biri 90°'ye eşit olan (a 1 b 1) ve (a 1 c 1) açıları, a 1 yarım doğrusundan itibaren bir yarım düzlemde yerleştirilmiştir. Ancak yarım çizgiden 1'e kadar, belirli bir yarım düzleme 90°'ye eşit yalnızca bir açı yerleştirilebilir. Dolayısıyla A noktasından geçen ve a doğrusuna dik olan başka bir doğru olamaz. Teorem kanıtlandı.
Soru 11. Bir çizgiye dik olan nedir?
Cevap. Belirli bir çizgiye dik, belirli bir çizgiye dik olan ve uçlarından biri kesişme noktasında bulunan bir doğru parçasıdır. Segmentin bu ucuna denir temel dik.
Soru 12.Çelişki yoluyla kanıtın nelerden oluştuğunu açıklayın.
Cevap. Teorem 2.3'te kullandığımız ispat yöntemine çelişki yoluyla ispat denir. Bu ispat yöntemi, öncelikle teoremin belirttiğinin tersi bir varsayımda bulunmaktan oluşur. Daha sonra aksiyomlara ve kanıtlanmış teoremlere dayanarak akıl yürüterek, ya teoremin koşullarıyla, aksiyomlardan biriyle ya da daha önce kanıtlanmış bir teoremle çelişen bir sonuca varırız. Buna dayanarak varsayımımızın yanlış olduğu ve dolayısıyla teoremin ifadesinin doğru olduğu sonucuna varırız.
Soru 13. Bir açının ortayağı nedir?
Cevap. Bir açının açıortayı, açının tepesinden çıkan, kenarları arasından geçen ve açıyı ikiye bölen bir ışındır.
