Hipotez: Piramidin şeklinin mükemmelliğinin, şekline gömülü matematik yasalarından kaynaklandığına inanıyoruz.

Hedef:şeklinin mükemmelliğini açıklamak için piramidi geometrik bir cisim olarak inceledikten sonra.

Görevler:

1. Yazma matematiksel tanım piramit.

2. Piramidi geometrik bir cisim olarak inceleyin.

3. Mısırlıların piramitlerine hangi matematiksel bilgileri koyduklarını anlayın.

Özel sorular:

1. Geometrik cisim olarak piramit nedir?

2. Piramit şeklinin benzersizliğini matematiksel bir bakış açısıyla nasıl açıklayabilirsiniz?

3. Piramidin geometrik harikalarını ne açıklar?

4. Piramit şeklinin mükemmelliğini ne açıklar?

Piramidin tanımı.

PİRAMİT (Yunan piramitlerinden, piramidos cinsinden) - tabanı bir çokgen olan bir çokyüzlü ve diğer yüzler ortak bir tepe noktasına sahip üçgenlerdir (şekil). Taban açılarının sayısına göre piramitler üçgen, dörtgen vb.

PİRAMİT - anıtsal bir yapı geometrik şekil piramitler (bazen de basamaklı veya kule benzeri). Piramitler, MÖ 3. - 2. binyılın eski Mısır firavunlarının dev mezarları olarak adlandırılır. e., kozmolojik kültlerle ilişkili eski Amerikan tapınak kaidelerinin (Meksika, Guatemala, Honduras, Peru'da) yanı sıra.

Yunanca "piramit" kelimesinin Mısır'daki per-em-us ifadesinden, yani piramidin yüksekliği anlamına gelen terimden gelmesi mümkündür. Tanınmış Rus Mısırbilimci V. Struve, Yunanca “puram… j” kelimesinin eski Mısırlı “p” -mr ”den geldiğine inanıyordu.

Tarihten. Atanasyan'ın yazarları tarafından "Geometri" ders kitabındaki materyali inceledikten sonra. Butuzov ve diğerleri, şunu öğrendik: n - gon A1A2A3 ... An ve n üçgenlerinden oluşan bir polihedron PA1A2, PA2A3, ..., PnA1 piramit olarak adlandırılır. Çokgen A1A2A3 ... An piramidin tabanıdır ve PA1A2, PA2A3, ..., PnA1 üçgenleri yan yüzler piramitler, P - piramidin üstü, PA1, PA2, ..., PAn - yan kenarlar.

Ancak, bir piramidin bu tanımı her zaman mevcut değildi. Örneğin, antik yunan matematikçi, bize ulaşan matematik üzerine teorik incelemelerin yazarı Euclid, piramidi bedensel bir figür olarak tanımlar, uçaklarla sınırlı bir düzlemden bir noktaya yakınsaktır.

Ancak bu tanım zaten antik çağda eleştirildi. Bu nedenle Heron, bir piramidin aşağıdaki tanımını önerdi: "Bir noktada birleşen ve tabanı bir çokgen olan üçgenlerle sınırlanan bir şekildir."

Grubumuz bu tanımları karşılaştırarak, “temel” kavramının net bir formülasyonuna sahip olmadığı sonucuna varmıştır.

Bu tanımları inceledik ve 1794 yılında "Geometrinin Elemanları" adlı eserinde piramidi tanımlayan Adrien Marie Legendre'nin tanımını bulduk: düz bir taban."

Bize öyle geliyor ki, son tanım, içinde olduğu için piramit hakkında net bir fikir veriyor. söz konusu tabanın düz olmasıdır. Bir piramidin başka bir tanımı 19. yüzyılda bir ders kitabında ortaya çıktı: “Piramit, bir düzlemle kesişen katı bir açıdır”.

Geometrik bir gövde olarak piramit.

O. Bir piramit, yüzlerinden biri (taban) bir çokgen, diğer yüzler (yan) bir ortak tepe noktasına (piramidin tepesi) sahip üçgenler olan bir çokyüzlüdür.

Piramidin tepesinden taban düzlemine çizilen dikme denir. boy uzunluğuH piramitler.

Rastgele bir piramidin yanı sıra, doğru piramit, tabanında düzenli bir çokgen olan ve kesik piramit.

Şekil PABCD piramidini göstermektedir, ABCD tabanıdır, PO yüksekliktir.

Tam yüzey alanı piramit, tüm yüzlerinin alanlarının toplamı olarak adlandırılır.

S dolu = S tarafı + S ana, nerede S tarafı- yan yüzlerin alanlarının toplamı.

Piramidin hacmi şu formülle bulunur:

V = 1 / 3Sb. H, nerede Sosn. - taban alanı, H- boy uzunluğu.

Düzenli bir piramidin eksenine, yüksekliğini içeren düz bir çizgi denir.
Apothem ST - normal piramidin yan yüzünün yüksekliği.

Düzenli bir piramidin yan yüzünün alanı şu şekilde ifade edilir: S tarafı. = 1/2P H, burada P tabanın çevresidir, H- yan yüzün yüksekliği (düzenli piramidin özeti). Piramit tabana paralel A'B'C'D 'düzlemiyle kesişiyorsa, o zaman:

1) yan kaburgalar ve yükseklik bu düzlem tarafından orantılı parçalara bölünür;

2) kesitte tabana benzer bir A'B'C'D' poligonu elde edilir;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png "width =" 287 "height =" 151 ">

Kesik piramit tabanları- benzer çokgenler ABCD ve A`B`C`D`, yan yüzler - yamuk.

Boy uzunluğu kesik piramit - bazlar arasındaki mesafe.

kesilmiş hacim piramit şu formülle bulunur:

V = 1/3 H(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png "align =" left "width =" 91 "height =" 96 "> Düzenli bir kesik piramidin yan yüzey alanı aşağıdaki gibi ifade edilir: S tarafı = ½ (P + P ') H, burada P ve P 'bazların çevreleri, H- yan yüzün yüksekliği (doğru kesik piramitlerin özeti

Piramidin bölümleri.

Piramidin tepesinden geçen düzlemlerin kesitleri üçgendir.

Piramidin bitişik olmayan iki yan kenarından geçen kısma denir. diyagonal bölüm.

Kesit, yan kenar ve tabanın yanındaki bir noktadan geçerse, bu kenar, piramidin tabanının düzlemindeki izi olacaktır.

Piramidin yüzünde uzanan bir noktadan geçen bir kesit ve taban düzleminde verilen bir kesit izi varsa, inşaat aşağıdaki gibi yapılmalıdır:

· Verilen yüzün düzleminin kesişme noktasını ve piramidin kesitinin izini bulun ve tanımlayın;

· Belirli bir noktadan geçen düz bir çizgi ve ortaya çıkan kesişme noktası oluşturun;

· Sonraki yüzler için bu adımları tekrarlayın.

, bu, dik açılı bir üçgenin 4: 3 bacaklarının oranına karşılık gelir. Bacakların bu oranı, "mükemmel", "kutsal" veya "Mısır" üçgeni olarak adlandırılan, kenarları 3: 4: 5 olan iyi bilinen dik açılı üçgene karşılık gelir. Tarihçilere göre, "Mısır" üçgenine büyülü bir anlam verildi. Plutarch, Mısırlıların evrenin doğasını "kutsal" bir üçgene benzettiğini yazdı; dikey bacağı kocaya, tabanı karısına ve hipotenüsü her ikisinden doğanlara sembolik olarak benzettiler.

3: 4: 5 üçgeni için eşitlik doğrudur: Pisagor teoremini ifade eden 32 + 42 = 52. Mısırlı rahiplerin 3: 4: 5 üçgeni temelinde bir piramit dikerek sürdürmek istedikleri bu teorem değil miydi? daha fazlasını bulmak zor iyi örnek Mısırlılar tarafından Pisagor tarafından keşfedilmeden çok önce bilinen Pisagor teoremini göstermek için.

Böylece, Mısır piramitlerinin ustaca yaratıcıları, uzak torunları bilgilerinin derinliği ile şaşırtmaya çalıştılar ve bunu Keops piramidi için "altın" dik üçgeni ve "kutsal" veya "Mısır" olanı seçerek başardılar. Kephren piramidi. üçgen.

Bilim adamları araştırmalarında çok sık olarak, piramitlerin özelliklerini Altın Bölüm oranlarıyla kullanırlar.

Matematiksel ansiklopedik sözlükte, Altın Bölümün aşağıdaki tanımı verilmiştir - bu harmonik bölme, aşırı ve ortalama orantıdır - AB segmentini, AC'sinin çoğu arasındaki ortalama orantılı olacak şekilde iki parçaya bölmek. AB segmentinin tamamı ve onun daha küçük kısmı CB.

Bir Segmentin Altın Oranının Cebirsel Bulgusu AB = bir a: x = x: (a - x) denklemini çözmeye indirgenir, burada x yaklaşık olarak 0,62a'ya eşittir. x oranı 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21 ... = 0,618 kesirler ile ifade edilebilir, burada 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonacci sayılarıdır.

AB segmentinin Altın Kesitinin geometrik yapısı şu şekilde gerçekleştirilir: B noktasında, AB'ye dik olan geri yüklenir, üzerine BE = 1/2 AB segmenti döşenir, A ve E ertelenir, DE = BE ve son olarak, AC = HELL, ardından AB eşitliği sağlanır: SV = 2: 3.

altın Oran genellikle doğada bulunan sanat eserlerinde, mimaride kullanılır. Çarpıcı örnekler Parthenon'daki Apollo Belvedere heykeli. Parthenon'un inşası sırasında binanın yüksekliğinin uzunluğuna oranı kullanılmış ve bu oran 0.618'dir. Etrafımızdaki nesneler de Altın Oran'ın örneklerini veriyor, örneğin birçok kitabın ciltlerinin genişlik-uzunluk oranı 0,618'e yakın. Bitkilerin ortak gövdesi üzerindeki yaprakların dizilişine bakıldığında, her iki yaprak çifti arasında üçüncünün Altın Bölüm (slaytlar) yerinde yer aldığını görebilirsiniz. Her birimiz Altın Oranı bizimle “elimizde” taşıyoruz - bu parmakların falanjlarının oranıdır.

Birkaç matematiksel papirinin keşfiyle, Mısırbilimciler eski Mısır sayı ve ölçü sistemleri hakkında bir iki şey öğrendiler. İçlerinde yer alan görevler yazıcılar tarafından çözüldü. En ünlülerinden biri Rindi Matematik Papirüsü'dür. Mısırbilimciler bu bulmacaları inceleyerek, eski Mısırlıların ağırlık, uzunluk ve hacim ölçülerini hesaplarken ortaya çıkan değişen miktarlarla, kesirlerin sıklıkla kullanıldığı ve açılarla nasıl başa çıktıklarını öğrendiler.

Eski Mısırlılar, bir dik üçgenin yüksekliğinin tabanına oranına dayanan açıları hesaplamak için bir yöntem kullandılar. Gradyanın dilinde herhangi bir açıyı ifade ettiler. Eğimin eğimi, "seked" adı verilen bir tamsayı oranı ile ifade edildi. Mathematics in the Time of the Pharaohs adlı kitabında Richard Pillins şöyle açıklıyor: "Düzenli bir piramidin seked'i, dört üçgen yüzün herhangi birinin taban düzlemine olan eğimidir, her düşeyde n'inci sayıda yatay birim ile ölçülür. kaldırma birimi. Dolayısıyla bu birim, modern eğim kotanjantımıza eşdeğerdir. Bu nedenle, Mısır'daki "seked" kelimesi bizim ile ilgilidir. modern kelime"gradyan"".

Piramitlerin sayısal anahtarı, yüksekliklerinin tabana oranında yatmaktadır. Pratik açıdan, piramidin inşası boyunca doğru eğim açısını sürekli olarak kontrol etmek için gereken şablonları yapmanın en kolay yolu budur.

Mısırbilimciler, her bir firavunun kendi bireyselliğini ifade etmeye istekli olduğuna bizi ikna etmekten mutlu olacaklardır, bu nedenle her piramit için farklı eğim açıları vardır. Ama başka bir nedeni olabilir. Belki de hepsi, farklı oranlarda gizlenmiş farklı sembolik çağrışımları somutlaştırmak istediler. Bununla birlikte, Khafre'nin piramidinin açısı (üçgen temelli (3: 4: 5), Rindi Matematik Papirüsündeki piramitlerin temsil ettiği üç problemde görünür). Dolayısıyla bu tutum eski Mısırlılar tarafından iyi biliniyordu.

Eski Mısırlıların 3:4:5 üçgenini bilmediğini iddia eden Mısırbilimcilere adil olmak gerekirse, hipotenüs 5'in uzunluğundan hiç bahsedilmediğini söyleyelim. Ancak piramitlerle ilgili matematiksel problemler her zaman seked açısı temelinde çözülür - yüksekliğin tabana oranı. Hipotenüsün uzunluğundan hiç bahsedilmediğinden Mısırlıların üçüncü kenarın uzunluğunu hiçbir zaman hesaplamadığı sonucuna varıldı.

Giza piramitlerinde kullanılan yükseklik-taban oranları kuşkusuz eski Mısırlılar tarafından biliniyordu. Her piramit için bu ilişkilerin keyfi olarak seçilmesi mümkündür. Ancak bu, tüm Mısır biçimlerinde sayısal sembolizme verilen önemle çelişir. görsel Sanatlar... Bu tür ilişkilerin, belirli dini fikirleri ifade ettikleri için önemli olması kuvvetle muhtemeldir. Başka bir deyişle, tüm Giza kompleksi, belirli bir ilahi temayı yansıtmak için tasarlanmış tutarlı bir plana tabiydi. Bu, tasarımcıların neden üç piramit için farklı açılar seçtiklerini açıklar.

Orion'un Gizemi'nde Bauval ve Gilbert, Giza piramitlerinin Orion takımyıldızı ile, özellikle Orion'un Kuşağı'nın yıldızlarıyla bağlantısına dair ikna edici kanıtlar sundular.Aynı takımyıldız İsis ve Osiris mitinde de mevcuttur ve orada Her piramidi üç ana tanrıdan birinin - Osiris, İsis ve Horus'un bir görüntüsü olarak düşünmek için sebep.

MUCİZELER "GEOMETRİK".

Mısır'ın görkemli piramitleri arasında özel bir yer Firavun Cheops'un Büyük Piramidi (Khufu)... Cheops piramidinin şekil ve boyutunun analizine geçmeden önce, Mısırlıların hangi ölçü sistemini kullandıklarını hatırlamak gerekir. Mısırlıların üç uzunluk birimi vardı: "arşın" (466 mm), yedi "avuç içi" (66.5 mm), bu da sırayla dört "parmağa" (16,6 mm) eşittir.

Ukraynalı bilim adamı Nikolai Vasyutinsky'nin "Altın Oran" (1990) adlı harika kitabında verilen akıl yürütmeyi izleyerek Cheops piramidinin boyutlarını (Şekil 2) analiz edelim.

Çoğu araştırmacı, piramidin tabanının kenar uzunluğunun, örneğin, sevgili eşittir L= 233.16 m Bu değer neredeyse tam olarak 500 "arşın"a tekabül etmektedir. 500 "arşın" ile tam uyum, "arşın" uzunluğunun 0,4663 m'ye eşit olduğu kabul edilirse olacaktır.

Piramit yüksekliği ( H) araştırmacılar tarafından 146.6'dan 148,2 m'ye kadar farklı tahmin edilmektedir ve piramidin kabul edilen yüksekliğine bağlı olarak, geometrik elemanlarının tüm oranları değişmektedir. Piramidin yüksekliğinin tahminindeki farklılıkların nedeni nedir? Gerçek şu ki, kesinlikle konuşursak, Cheops piramidi kesildi. Üst platformu günümüzde yaklaşık 10 ´10 m boyutunda ve bir asır önce 6 ´6 m idi.Açıkçası piramidin tepesi sökülmüş ve orijinaline uymuyor.

Piramidin yüksekliğini değerlendirirken, yapının "taslağı" gibi fiziksel bir faktörü dikkate almak gerekir. Uzun bir süre boyunca, devasa basıncın etkisi altında (alt yüzeyin 1 m2'si başına 500 tona ulaşan), piramidin yüksekliği orijinal yüksekliğine göre azalmıştır.

Piramidin ilk yüksekliği ne kadardı? Bu yükseklik, piramidin temel "geometrik fikrini" bularak yeniden oluşturulabilir.

Şekil 2.

1837'de İngiliz Albay G. Weisz, piramidin yüzlerinin eğim açısını ölçtü: eşit olduğu ortaya çıktı. a= 51 ° 51 ". Bu değer bugün hala çoğu araştırmacı tarafından tanınmaktadır. Açının belirtilen değeri teğete karşılık gelir (tg a) 1.27306'ya eşittir. Bu değer, piramidin yükseklik oranına karşılık gelir. OLARAK tabanının yarısına kadar CB(Şekil 2), yani AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Ve burada araştırmacıları büyük bir sürpriz bekliyor! .Png "width =" 25 "height =" 24 "> = 1.272. Bu değeri tg değeri ile karşılaştırmak a= 1.27306 ise bu değerlerin birbirine çok yakın olduğunu görüyoruz. açıyı alırsak a= 51 ° 50 ", yani sadece bir yay dakikası azaltmak için, ardından değer a 1.272'ye eşit olacak, yani değerle çakışacak. 1840'ta G. Weis'in ölçümlerini tekrarladığı ve açının değerini belirttiği belirtilmelidir. a= 51 ° 50".

Bu ölçümler araştırmacıları aşağıdaki çok ilginç hipoteze yönlendirdi: AC / CB = = 1,272!

Şimdi dik açılı bir üçgen düşünün ABC, hangi bacakların oranı AC / CB= (Şek. 2). Şimdi dikdörtgenin kenar uzunlukları ise ABC aracılığıyla belirtmek x, y, z ve aynı zamanda oranı da dikkate alın y/x=, o zaman Pisagor teoremine göre uzunluk z formülle hesaplanabilir:

kabul edersen x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png "width =" 143 "height =" 27 ">

Figür 3."Altın" dik açılı üçgen.

Kenarların ilişkili olduğu dik açılı üçgen T: altın "dik açılı üçgen.

O zaman, Cheops piramidinin ana "geometrik fikrinin" "altın" dik açılı üçgen olduğu hipotezini temel alırsak, buradan Cheops piramidinin "tasarım" yüksekliğini hesaplamak kolaydır. Şuna eşittir:

H = (L / 2) ´ = 148.28 m.

Şimdi "altın" hipotezden doğan Cheops piramidi için başka bazı ilişkiler çıkaralım. Özellikle piramidin dış alanının taban alanına oranını buluyoruz. Bunu yapmak için bacağın uzunluğunu alın CB birim başına, yani: CB= 1. Ama sonra piramidin tabanının kenar uzunluğu sevgili= 2 ve taban alanı EFGH eşit olacak SEFGH = 4.

Şimdi Cheops piramidinin yan yüzünün alanını hesaplıyoruz. SD... yükseklikten beri ABüçgen AEF eşittir T, o zaman yan yüzün alanı eşit olacaktır SD = T... O zaman piramidin dört yan yüzünün toplam alanı 4'e eşit olacaktır. T, ve piramidin toplam dış alanının taban alanına oranı altın orana eşit olacaktır! İşte bu - Cheops piramidinin ana geometrik gizemi!

Cheops piramidinin "geometrik mucizeler" grubu, piramidin farklı boyutları arasındaki ilişkinin gerçek ve yapmacık özelliklerini içerir.

Kural olarak, bazı "sabitlerin", özellikle de "pi" sayısının (Ludolph'un sayısı), 3.14159'a eşit olmasıyla elde edilirler; 2.71828'e eşit olan "e" (Napier sayısı) doğal logaritmalarının tabanı; "F" sayısı, "altın oran" sayısı, örneğin 0,618 ... vb.

Örneğin: 1) Herodot'un Özelliği: (Yükseklik) 2 = 0,5 yemek kaşığı. ana x Özdeyiş; 2) V. Mülkiyet Fiyatı: Yükseklik: 0,5 st. osn = "F"nin karekökü; 3) M. Eyst'in Özelliği: Taban çevresi: 2 Yükseklik = "Pi"; farklı bir yorumda - 2 yemek kaşığı. ana : Yükseklik = "Pi"; 4) G. Kaburgaların Özelliği: Yazılı dairenin yarıçapı: 0,5 yemek kaşığı. ana = "F"; 5) K. Kleppisch'in Mülkiyeti: (Mad. Main.) 2: 2 (mad. Main. X Apothem) = (mad. Main. U. Apothem) = 2 (mad. Main. X Apothem): ((2 madde. .taban X Apothem) + (st. taban) 2). Vesaire. Özellikle iki komşu piramidi birbirine bağlarsanız, bu tür birçok özelliği düşünebilirsiniz. Örneğin, "A. Arefiev'in Özellikleri" olarak, Cheops piramidi ile Khafre piramidinin hacimleri arasındaki farkın, Mikerin piramidinin iki katına eşit olduğu söylenebilir ...

Özellikle "altın orana" göre piramitlerin inşası hakkında birçok ilginç hüküm, D. Hambidge "Mimarlıkta dinamik simetri" ve M. Geek "Doğada ve sanatta orantı estetiği" kitaplarında belirtilmiştir. "Altın oranın", A parçasının B bölümünden çok daha büyük olduğu, A'nın tüm A + B segmentinden kaç kez daha küçük olduğu bir oranda bir segmentin bölünmesi olduğunu hatırlayın. A / B oranı eşittir "Ф" sayısına == 1.618. .. "Altın oranın" kullanımı sadece bireysel piramitlerde değil, aynı zamanda Giza'daki tüm piramit kompleksinde de belirtilir.

Ancak en merak edilen şey, Cheops'un tek ve aynı piramidinin bu kadar çok harika özelliği basitçe "içeremez" olmasıdır. Belirli bir özelliği tek tek alarak "ayarlanabilir", ancak hepsi aynı anda uymuyor - çakışmıyorlar, birbirleriyle çelişiyorlar. Bu nedenle, örneğin, tüm özellikleri kontrol ederken, başlangıçta piramit tabanının (233 m) aynı tarafını alırsak, farklı özelliklere sahip piramitlerin yükseklikleri de farklı olacaktır. Başka bir deyişle, Cheops'a dışarıdan benzeyen, ancak farklı özelliklere karşılık gelen belirli bir piramit "ailesi" vardır. "Geometrik" özelliklerde özellikle mucizevi bir şey olmadığına dikkat edin - çoğu, figürün özelliklerinden tamamen otomatik olarak ortaya çıkar. Sadece eski Mısırlılar için açıkça imkansız olan bir şey bir "mucize" olarak kabul edilmelidir. Bu, özellikle, Keops piramidinin veya Giza'daki piramit kompleksinin ölçümlerinin bazı astronomik ölçümlerle karşılaştırıldığı ve "çift" sayıların belirtildiği "kozmik" mucizeleri içerir: bir milyon kez, bir milyar kez daha az, vb. üzerinde. Bazı "kozmik" ilişkileri ele alalım.

İfadelerden biri şudur: "Piramidin tabanının kenarını yılın tam uzunluğuna bölersek, dünyanın ekseninin tam 10 milyonda birini elde ederiz." Hesapla: 233'ü 365'e bölersek 0,638 elde ederiz. Dünyanın yarıçapı 6378 km'dir.

Başka bir ifade aslında bir öncekinin tam tersidir. F. Noetling, kendisi tarafından icat edilen "Mısır dirseği"ni kullanırsak, o zaman piramidin kenarının "bir günün milyarda biri doğrulukla ifade edilen bir güneş yılının en kesin süresine" tekabül edeceğine dikkat çekti - 365.540 .903.777.

P. Smith'in ifadesi: "Piramidin yüksekliği, Dünya'dan Güneş'e olan mesafenin tam olarak milyarda biridir." Genellikle 146,6 m yükseklik alınsa da, Smith bunu 148,2 m aldı.Modern radar ölçümlerine göre yarı büyük eksen dünyanın yörüngesi 149.597.870 + 1.6 km'dir. Bu, Dünya'dan Güneş'e olan ortalama mesafedir, ancak günberide günöteden 5.000.000 kilometre daha azdır.

Son bir merak uyandıran açıklama:

"Keops, Khephren ve Mikerin piramitlerinin kütlelerinin, Dünya, Venüs, Mars gezegenlerinin kütleleri gibi birbiriyle ilişkili olduğunu nasıl açıklayabiliriz?" Hesaplayalım. Üç piramidin kütleleri aşağıdaki gibidir: Khafre - 0.835; Keops - 1.000; Mikerin - 0.0915. Üç gezegenin kütlelerinin oranı: Venüs - 0.815; Arazi - 1.000; Mars - 0.108.

Bu nedenle, şüpheciliğe rağmen, ifadelerin yapısının iyi bilinen uyumuna dikkat edelim: 1) "uzaya uzanan" bir çizgi olarak piramidin yüksekliği - Dünya'dan Güneş'e olan mesafeye karşılık gelir; 2) piramidin tabanının "alt tabakaya", yani Dünya'ya en yakın tarafı, dünyanın yarıçapından ve dünyevi dolaşımından sorumludur; 3) piramidin hacimleri (okuma - kütleler), Dünya'ya en yakın gezegenlerin kütlelerinin oranına karşılık gelir. Benzer bir "şifre", örneğin, Karl von Frisch tarafından analiz edilen arı dilinde izlenebilir. Ancak şimdilik bu konuda yorum yapmaktan kaçınacağız.

PİRAMİT ŞEKLİ

Piramitlerin ünlü dörtgen şekli hemen ortaya çıkmadı. İskitler, toprak tepeler - höyükler şeklinde mezarlar yaptılar. Mısırlılar taş piramitlerden "tepeler" kurdular. Bu, Yukarı ve Aşağı Mısır'ın birleşmesinden sonra, MÖ XXVIII yüzyılda, III hanedanının kurucusu Firavun Djoser'in (Zoser) ülkenin birliğini güçlendirme göreviyle karşı karşıya kaldığı zaman oldu.

Ve burada tarihçilere göre, merkezi hükümetin güçlendirilmesinde önemli bir rol, çarın "yeni tanrılaştırma kavramı" tarafından oynandı. Kraliyet mezarları daha büyük bir ihtişamla ayırt edilmelerine rağmen, prensipte mahkeme soylularının mezarlarından farklı değildiler, aynı yapılardı - mastabalar. Mumyayı içeren lahitli odanın üstüne, küçük taşlardan dikdörtgen bir tepe döküldü, daha sonra büyük taş bloklardan küçük bir bina inşa edildi - "mastaba" (Arapça - "bank"). Selefi Sanakht'ın mastabının yerine Firavun Djoser ilk piramidi inşa etti. Adım adımdı ve bir mimari biçimden diğerine, bir mastabadan bir piramide geçişin görünür bir aşamasıydı.

Böylece daha sonra büyücü olarak kabul edilen ve Yunanlılar tarafından tanrı Asklepios ile özdeşleştirilen bilge ve mimar İmhotep, firavunu "yükseltmiştir". Olduğu gibi, arka arkaya altı mastaba dikildi. Ayrıca, ilk piramit, tahmini yüksekliği 66 metre olan (Mısır ölçülerine göre - 1000 "avuç içi") 1125 x 115 metrelik bir alanı işgal etti. İlk başta, mimar bir mastaba inşa etmeyi planladı, ancak dikdörtgen değil, planlı kare. Daha sonra genişletildi ama uzantı daha düşük yapıldığından deyim yerindeyse iki basamak kaldı.

Bu durum mimarı tatmin etmedi ve büyük bir düz mastabanın üst platformuna İmhotep üç tane daha koydu ve yavaş yavaş zirveye indi. Mezar piramidin altındaydı.

Birkaç basamaklı piramit daha bilinmektedir, ancak daha sonra inşaatçılar bizim için daha tanıdık dört yüzlü piramitlerin yapımına geçtiler. Ancak neden üçgen veya örneğin oktahedral değil? Hemen hemen tüm piramitlerin dört ana yön boyunca mükemmel bir şekilde yönlendirildiği ve dolayısıyla dört kenarı olduğu gerçeğiyle dolaylı bir cevap verilir. Dahası, piramit bir "ev", dörtgen bir mezar odasının kabuğuydu.

Fakat yüzlerin eğim açısına ne sebep oldu? "Oranlar ilkesi" kitabında bütün bir bölüm buna ayrılmıştır: "Piramitlerin eğim açılarını ne belirleyebilir?" Özellikle, "Eski Krallık'ın büyük piramitlerinin çekildiği görüntünün, tepesi dik açılı bir üçgen olduğu belirtilir.

Uzayda, bu bir yarı-oktahedrondur: tabanın kenarlarının ve kenarlarının eşit olduğu bir piramit, yüzler eşkenar üçgenler". Hambage, Geek ve diğerlerinin kitaplarında bu konuyla ilgili bazı hususlara yer verilmiştir.

Yarı oktahedronun açısının avantajı nedir? Arkeolog ve tarihçilerin açıklamalarına göre piramitlerin bir kısmı kendi ağırlıkları altında çöktü. İhtiyaç duyulan şey, enerjisel olarak en güvenilir olan bir "uzun ömür açısı" idi. Tamamen ampirik olarak, bu açı ufalanan kuru kum yığınındaki tepe açısından alınabilir. Ancak doğru verileri elde etmek için bir model kullanmanız gerekir. Dört sıkıca sabitlenmiş top alarak, beşinciyi üzerlerine koymanız ve eğim açılarını ölçmeniz gerekir. Ancak burada da bir hata yapabilirsiniz, bu yüzden teorik bir hesaplama yardımcı olur: topların merkezlerini çizgilerle (zihinsel olarak) birleştirmelisiniz. Tabanda, yarıçapın iki katına eşit bir kenarı olan bir kare elde edersiniz. Kare, kenarlarının uzunluğu da yarıçapın iki katına eşit olacak olan piramidin sadece tabanı olacaktır.

Bu nedenle, 1: 4 tipinde yoğun bir top yığını bize doğru yarı oktahedronu verecektir.

Ancak, benzer bir şekle yönelen birçok piramit neden yine de onu korumuyor? Piramitler muhtemelen yaşlanıyor. Ünlü sözün aksine:

"Dünyadaki her şey zamandan korkar ve zaman piramitlerden korkar", piramitlerin binaları yaşlanmalı, sadece dış hava koşullarına maruz kalma süreçleri değil, aynı zamanda iç "büzülme" süreçleri de içlerinde yer almalıdır. hangi piramitler daha düşük olabilir. Büzülme de mümkündür, çünkü D. Davidovits'in çalışmalarından da anlaşılacağı gibi, eski Mısırlılar kireç kırıntılarından, başka bir deyişle "betondan" blok yapma teknolojisini kullandılar. Kahire'nin 50 km güneyinde bulunan Medum piramidinin yıkılmasının nedenini açıklayabilecek olan bu süreçlerdir. 4600 yaşında, kaide ölçüleri 146 x 146 m, yüksekliği 118 m'dir. “Neden bu kadar bozuk?” Diye soruyor V. Zamarovsky, “Zamanın yıkıcı etkisine ve“ diğer binalar için taş kullanımına ”olağan referanslar burada uygun değil.

Ne de olsa, bloklarının ve cephe levhalarının çoğu bu güne kadar yerinde, dibinde harabe halinde kaldı. " ...

Piramitlerin şekli de taklit yoluyla oluşturulabilir: bazı doğal desenler, "mucizevi mükemmellik", örneğin bir oktahedron şeklinde bazı kristaller.

Bu tür kristaller elmas ve altın kristalleri olabilir. Firavun, Güneş, Altın, Elmas gibi kavramlar için çok sayıda "kesişen" işaretler vardır. Her yerde - asil, parlak (parlak), harika, kusursuz vb. Benzerlikler tesadüfi değildir.

Güneş kültünün olduğu bilinmektedir. önemli kısım eski Mısır dinleri. Modern kılavuzlardan biri - "Khufu'nun Cenneti" veya "Khufu Heavenly", "Piramitlerin en büyüğünün adını nasıl tercüme edersek edelim" diyor, bu, kralın güneş olduğu anlamına geliyordu. Khufu, gücünün ihtişamıyla kendini ikinci güneş olarak hayal ederse, o zaman oğlu Djedef-Ra, kendisine "Ra'nın oğlu", yani Tanrı'nın oğlu demeye başlayan Mısır krallarının ilki oldu. Güneş. Güneş, neredeyse tüm halklar tarafından "güneş metali" altın ile sembolize edildi. "Parlak altından büyük disk" - Mısırlılar gün ışığımızı böyle çağırdı. Mısırlılar altını mükemmel bir şekilde biliyorlardı, altın kristallerinin oktahedronlar şeklinde görünebildiği doğal formlarını biliyorlardı.

Bir "form örneği" olarak "güneş taşı" - elmas burada da ilginçtir. Elmasın adı sadece Arap dünyasından geldi, "almas" - en sert, en sert, yok edilemez. Eski Mısırlılar elması ve özelliklerini oldukça iyi biliyorlardı. Bazı yazarlara göre, delme için elmas kesicili bronz borular bile kullandılar.

Güney Afrika şu anda elmasların ana tedarikçisidir, ancak Batı Afrika da elmas açısından zengindir. Mali Cumhuriyeti topraklarına orada "Diamond Land" bile deniyor. Bu arada, Paleovisit hipotezinin destekçilerinin çok fazla umut bağladığı Dogon'un yaşadığı Mali topraklarında (aşağıya bakınız). Elmaslar, eski Mısırlıların bu bölge ile temaslarının bir nedeni olamazdı. Bununla birlikte, öyle ya da böyle, ancak eski Mısırlıların bir elmas gibi "yok edilemez" ve Güneş'in oğulları olan altın firavunlar gibi "parlak" hale getirdikleri elmas ve altın kristallerinin oktahedronlarını tam olarak kopyalayarak olması mümkündür. sadece doğanın en harika yaratımlarıyla karşılaştırılabilir.

Çıktı:

Piramidi geometrik bir cisim olarak inceledikten, elemanları ve özellikleriyle tanıştıktan sonra, piramit şeklinin güzelliği hakkındaki görüşün geçerliliğine ikna olduk.

Araştırmamız sonucunda, en değerli matematiksel bilgiyi toplayan Mısırlıların onu piramitte somutlaştırdığı sonucuna vardık. Bu nedenle piramit gerçekten de doğanın ve insanın en mükemmel yaratımıdır.

KAYNAKÇA

"Geometri: Ders Kitabı. 7 - 9 cl için. Genel Eğitim. kurumlar \, vb. - 9. baskı - M.: Eğitim, 1999

Okulda matematik tarihi, M: "Eğitim", 1982

Geometri 10-11 sınıf, M: "Eğitim", 2000

Peter Tompkins "Büyük Cheops Piramidinin Sırları", M: "Tsentropoligraf", 2005

İnternet kaynakları

http://veka-i-mig. ***** /

http://tambov. ***** / vjpusk / vjp025 / rabot / 33 / index2.htm

http://www. ***** / ek / 54373.html

C2 problemini koordinat yöntemiyle çözerken, birçok öğrenci aynı problemle karşı karşıyadır. hesaplayamazlar nokta koordinatları formüle dahil nokta ürün... En büyük zorluklar neden olur piramitler... Ve eğer taban puanlar aşağı yukarı normal kabul edilirse, o zaman tepeler gerçek bir cehennemdir.

Bugün düzenli bir dörtgen piramidi ele alacağız. Ayrıca üçgen bir piramit var (bu - tetrahedron). Bitti karmaşık yapı, bu yüzden ona ayrı bir ders ayrılacaktır.

Önce tanımı hatırlayalım:

Düzenli bir piramit, aşağıdakileri içeren bir piramittir:

Taban normal bir çokgendir: üçgen, kare vb.;

Tabana çizilen yükseklik merkezinden geçer.

Özellikle, nedeni dörtgen piramit bir Meydan... Tıpkı Cheops gibi, sadece biraz daha küçük.

Aşağıda, tüm kenarları 1'e eşit olan bir piramidin hesaplamaları verilmiştir. Probleminizde durum böyle değilse, hesaplamalar değişmez - sayılar farklı olacaktır.

Dörtgen piramidin üst kısımları

O halde, S bir tepe noktası ve ABCD tabanı bir kare olmak üzere, düzenli bir dörtgen piramit SABCD verilsin. Tüm kenarlar 1'e eşittir. Bir koordinat sistemine girmek ve tüm noktaların koordinatlarını bulmak gerekir. Sahibiz:

A noktasında orijini olan bir koordinat sistemi tanıtıyoruz:

OX ekseni AB kenarına paralel yönlendirilir;
OY ekseni AD'ye paraleldir. ABCD bir kare olduğundan, AB ⊥ AD;
Son olarak, OZ eksenini ABCD düzlemine dik olarak yukarı doğru tutun.

Şimdi koordinatları hesaplıyoruz. Ek yapı: SH - tabana çizilen yükseklik. Kolaylık sağlamak için piramidin tabanını ayrı bir çizime yerleştireceğiz. A, B, C ve D noktaları OXY düzleminde bulunduğundan, koordinatları z = 0.

A = (0; 0; 0) - orijine denk gelir;
B = (1; 0; 0) - orijinden itibaren OX ekseni boyunca 1 adım;
C = (1; 1; 0) - OX ekseni boyunca 1 ve OY ekseni boyunca 1 adım;
D = (0; 1; 0) - yalnızca OY ekseni boyunca adım atın.
H = (0,5; 0,5; 0) - karenin merkezi, AC segmentinin orta noktası.

Geriye S noktasının koordinatlarını bulmak kalıyor. OZ eksenine paralel düz bir çizgi üzerinde uzandıkları için S ve H noktalarının x ve y koordinatlarının çakıştığını unutmayın. Geriye S noktası için z koordinatını bulmak kalıyor.

ASH ve ABH üçgenlerini düşünün:

AS = AB = 1 koşula göre;
AHS = AHB = 90 °, çünkü SH yükseklik ve AH ⊥ HB karenin köşegenleri olarak;
AH tarafı yaygındır.

Bu nedenle, dik açılı üçgenler ASH ve ABH eşittir bir bacak ve bir hipotenüs. Dolayısıyla SH = BH = 0,5 · BD. Ancak BD, kenarı 1 olan bir karenin köşegenidir. Bu nedenle, elimizde:

S noktasının toplam koordinatları:

Sonuç olarak, düzgün bir dikdörtgen piramidin tüm köşelerinin koordinatlarını yazalım:

Kaburgalar farklı olduğunda ne yapmalı

Peki ya piramidin yan kenarları tabanın kenarlarına eşit değilse? Bu durumda, AHS üçgenini düşünün:

Üçgen AHS - dikdörtgen, ve hipotenüs AS aynı zamanda orijinal SABCD piramidinin yan kenarıdır. AH bacağı kolayca hesaplanır: AH = 0,5 · AC. Kalan bacak SH'yi bulun Pisagor teoremi ile... Bu, S noktası için z koordinatı olacaktır.

Görev. Tabanında 1 kenarı olan bir kare bulunan düzenli bir dörtgen piramit SABCD verildi. Yan kenar BS = 3. S noktasının koordinatlarını bulun.

Bu noktanın x ve y koordinatlarını zaten biliyoruz: x = y = 0,5. Bu, iki olgudan kaynaklanmaktadır:

S noktasının OXY düzlemine izdüşümü H noktasıdır;
Aynı zamanda, H noktası, tüm kenarları 1'e eşit olan ABCD karesinin merkezidir.

Geriye S noktasının koordinatını bulmak kalıyor. AHS üçgenini düşünün. Dikdörtgendir, hipotenüsü AS = BS = 3, bacak AH - köşegenin yarısı. Daha fazla hesaplama için uzunluğuna ihtiyacımız var:

AHS üçgeni için Pisagor teoremi: AH 2 + SH 2 = AS 2. Sahibiz:

Yani, S noktasının koordinatları:

Öğrenciler, geometri çalışmasından çok önce bir piramit kavramıyla karşı karşıya kalırlar. Bu, dünyanın ünlü büyük Mısır harikalarından kaynaklanmaktadır. Bu nedenle, bu harika çokyüzlü üzerinde çalışmaya başlayarak, çoğu öğrenci zaten onu görselleştiriyor. Yukarıda belirtilen cazibe merkezlerinin tümü doğru şekle sahiptir. Ne doğru piramit ve hangi özelliklere sahip olduğu ve daha fazla tartışılacağı.

Temas halinde

Tanım

Piramidin birçok tanımı vardır. Antik çağlardan beri, büyük bir popülerlik kazanmıştır.

Örneğin, Euclid onu, bir noktadan başlayarak belirli bir noktada birleşen düzlemlerden oluşan bedensel bir figür olarak tanımladı.

Heron daha kesin bir formülasyon sağladı. bir figür olduğu konusunda ısrar etti. üçgen şeklinde bir tabanı ve düzlemleri vardır, bir noktada birleşiyor.

Güvenen modern yorum, bir piramit, belirli bir k-gon ve bir ortak noktaya sahip üçgen bir şekle sahip k düzlem figürlerinden oluşan uzamsal bir çokyüzlü olarak temsil edilir.

Daha ayrıntılı olarak anlayalım, hangi unsurlardan oluşur:

K-gon, şeklin temeli olarak kabul edilir;
3 kenarlı şekiller, yan kısmın kenarlarıdır;
yan elemanların kaynaklandığı üst kısma üst kısım denir;
bir tepe noktasını birleştiren tüm bölümlere kenarlar denir;
tepe noktasından şeklin düzlemine düz bir çizgiyi 90 derecelik bir açıyla indirirsek, o zaman onun kısmı iç alan- piramidin yüksekliği;
herhangi bir yan elemanda, polihedronumuzun yanına apothem adı verilen bir dik çizilebilir.

Kenar sayısı, 2 * k formülüyle hesaplanır; burada k, bir k-gon'un kenar sayısıdır. Piramit gibi bir çokyüzlülüğün kaç yüzü olduğu k+1 ifadesi ile belirlenebilir.

Önemli! Düzenli şekilli bir piramit, taban düzlemi eşit kenarlı bir k-gon olan stereometrik bir figürdür.

Temel özellikler

doğru piramit birçok özelliği vardır, ona özgü olanlar. Bunları sıralayalım:

Taban, düzenli bir şekle sahip bir figürdür.
Yan elemanları bağlayan piramidin kenarları eşit sayısal değerlere sahiptir.
Yan elemanlar ikizkenar üçgenlerdir.
Figürün yüksekliğinin tabanı çokgenin merkezine düşerken, aynı zamanda yazılı ve tasvir edilenin de merkez noktasıdır.
Tüm yan nervürler, taban düzlemine aynı açıda eğimlidir.
Tüm yan yüzeyler tabana göre aynı eğim açısına sahiptir.

Tüm bu özellikler, üye hesaplamalarını gerçekleştirmeyi çok daha kolay hale getirir. Yukarıdaki özelliklere dayanarak, dikkat çekiyoruz iki işaret:

Çokgenin bir daireye sığması durumunda, yan yüzlerin bir tabanı olacaktır. eşit açılar.
Bir çokgenin etrafındaki bir daireyi tanımlarken, piramidin tepe noktasından çıkan tüm kenarları, tabanla aynı uzunlukta ve eşit açılara sahip olacaktır.

Bir kareye dayanır

Düzenli dörtgen piramit - kareye dayalı bir polihedron.

Görünüşte ikizkenar olan dört yan yüzü vardır.

Düzlemde bir kare gösterilir, ancak bunlar normal bir dörtgenin tüm özelliklerine dayanır.

Örneğin, bir karenin kenarını köşegeniyle birleştirmeniz gerekiyorsa, aşağıdaki formülü kullanın: köşegen, karenin kenarının ürününe ve ikinin kareköküne eşittir.

Düzenli bir üçgene dayanmaktadır.

Düzenli bir üçgen piramit, tabanında düzenli bir 3gen bulunan bir çokyüzlüdür.

Taban düzgün bir üçgen ise ve yan kenarlar taban kenarlarına eşitse, böyle bir şekil tetrahedron denir.

Bir tetrahedronun tüm yüzleri eşkenar 3gendir. V bu durum Hesaplarken bazı noktaları bilmeniz ve bunlarla zaman kaybetmemeniz gerekir:

kaburgaların herhangi bir tabana eğim açısı 60 derecedir;
tüm iç yüzlerin boyutu da 60 derecedir;
herhangi bir faset bir temel görevi görebilir;
şeklin içine çizilmiş eşit elemanlardır.

Çokyüzlü bölümleri

Herhangi bir polihedronda, birkaç çeşit bölüm uçak. Genellikle bir okul geometri dersinde iki iş yapılır:

eksenel;
paralel temel.

Bir çokyüzlü düzlem bir tepe noktası, yan kenarlar ve bir eksen ile kesiştiğinde bir eksenel kesit elde edilir. Bu durumda eksen, üstten çizilen yüksekliktir. Kesim düzlemi, tüm yüzlerle kesişme çizgileriyle sınırlandırılır ve bu da bir üçgenle sonuçlanır.

Dikkat! V doğru piramit eksenel bölüm bir ikizkenar üçgendir.

Kesme düzlemi tabana paralel gidiyorsa, sonuç ikinci seçenektir. Bu durumda, tabana benzer bir kesit şeklimiz var.

Örneğin, tabanda bir kare varsa, tabana paralel olan kısım da kare olacaktır, sadece daha küçük boyutlardadır.

Bu koşul altında problem çözerken, şekillerin benzerliğinin işaret ve özellikleri kullanılır, Thales teoremine dayalı... Her şeyden önce, benzerlik katsayısını belirlemek gerekir.

Düzlem tabana paralelse ve polihedronun üst kısmını kesiyorsa, alt kısımda düzenli bir kesik piramit elde edilir. Daha sonra, kesik çokyüzlülerin gövdelerinin benzer çokgenler olduğu söylenir. Bu durumda, yan yüzler ikizkenar yamuklardır. Eksenel bölüm de ikizkenardır.

Kesik polihedronun yüksekliğini belirlemek için, yüksekliği eksenel bölümde, yani yamukta çizmek gerekir.

Yüzey alanları

Okul geometri dersinde çözülmesi gereken temel geometrik problemler şunlardır: Piramidin yüzey alanlarını ve hacmini bulma.

İki tür yüzey alanı değeri vardır:

yan elemanların alanı;
tüm yüzeyin alanı.

Adından, ne hakkında olduğu açıktır. yan yüzey sadece yan elemanları içerir. Bundan, onu bulmak için, yanal düzlemlerin alanlarını, yani ikizkenarın 3gen alanlarını toplamanız yeterlidir. Yan elemanların alanı için formülü türetmeye çalışalım:

Bir ikizkenar 3-gon'un alanı Str = 1/2 (aL)'dir, burada a, tabanın kenarıdır, L ise özlü sözdür.
Yanal düzlemlerin sayısı, tabandaki k-inci gon tipine bağlıdır. Örneğin, düzenli bir dörtgen piramidin dört yan düzlemi vardır. Bu nedenle, dört şeklin alanlarını eklemek gerekir S tarafı = 1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) = 1/2 * 4а * L. İfade bu şekilde basitleştirilmiştir, çünkü 4a = Rosn değeri, burada Rosn tabanın çevresidir. Ve 1/2 * Rosn ifadesi onun yarı-çevresidir.
Böylece, düzenli bir piramidin yan elemanlarının alanının, özdeyişle taban yarım çevresinin ürününe eşit olduğu sonucuna varıyoruz: Sbok = Rosn * L.

Piramidin toplam yüzey alanı, yanal düzlemlerin ve tabanın alanlarının toplamından oluşur: Sp.p. = Yan + Staban.

Tabanın alanına gelince, burada çokgenin türüne göre formül kullanılır.

Düzenli bir piramidin hacmi taban düzleminin alanının yüksekliğe göre ürününe eşittir, üçe bölünür: V = 1/3 * Sbase * H, burada H, çokyüzlülüğün yüksekliğidir.

Geometride doğru piramit nedir

Düzenli bir dörtgen piramidin özellikleri

İlk seviye

Piramit. Görsel rehber (2019)

Piramit nedir?

Nasıl görünüyor?

Görüyorsunuz: piramidin altında (“derler” altta") Bazı çokgenler ve bu çokgenin tüm köşeleri uzayda bir noktaya bağlıdır (bu noktaya" denir. köşe»).

Bütün bu yapı hala yan yüzler, yan kaburgalar ve taban kenarları... Tüm bu isimlerle birlikte tekrar piramidi çizelim:

Bazı piramitler çok garip görünebilir, ancak yine de piramitlerdir.

Örneğin, tamamen "eğik" piramit.

Ve isimler hakkında biraz daha: piramidin tabanında bir üçgen varsa, o zaman piramide üçgen denir, dörtgen ise, dörtgendir ve eğer bir stagon ise, o zaman ... tahmin et kendin.

Bu durumda indiği nokta boy uzunluğu denir taban yüksekliği... "Eğri" piramitlerde dikkat edin boy uzunluğu piramidin dışında bile olabilir. Bunun gibi:

Ve bunda yanlış bir şey yok. Geniş bir üçgene benziyor.

Doğru piramit.

Birçok bileşik kelime? Deşifre edelim: "Temelde - doğru" - bu anlaşılabilir bir durumdur. Şimdi, normal bir çokgenin bir merkezi olduğunu unutmayın - ve, ve'nin merkezi olan bir nokta.

Pekala, "üst kısım tabanın merkezine yansıtılır" ifadesi, yüksekliğin tabanının tabanın tam ortasına düştüğü anlamına gelir. Ne kadar pürüzsüz ve güzel göründüğünü görün doğru piramit.

altıgen: tabanda - düzenli bir altıgen, tepe noktası tabanın merkezine yansıtılır.

dörtgen: tabanda - bir kare, üst kısım bu karenin köşegenlerinin kesişiminde yansıtılır.

Üçgensel: tabanda - normal bir üçgen, tepe noktası bu üçgenin yüksekliklerinin (aynı zamanda medyanlar ve açıortaylardır) kesişme noktasına yansıtılır.

Büyük ölçüde düzenli bir piramidin önemli özellikleri:

doğru piramit içinde

tüm yan kenarlar eşittir.
tüm yan yüzler ikizkenar üçgenlerdir ve tüm bu üçgenler eşittir.

piramit hacmi

Bir piramidin hacmi için ana formül:

Tam olarak nereden geldi? Bu o kadar basit değil ve ilk başta sadece piramidin ve koninin formülde hacme sahip olduğunu, ancak silindirin olmadığını hatırlamanız gerekiyor.

Şimdi en popüler piramitlerin hacmini hesaplayalım.

Tabanın kenarı ve yan kenarı eşit olsun. ve bulmanız gerekir.

Bu normal bir üçgenin alanıdır.

Bu alanı nasıl bulacağımızı hatırlayalım. Alan formülünü kullanıyoruz:

Bizde "" - bu ve "" - bu da var.

Şimdi bulacağız.

Pisagor teoremi için

eşit nedir? Bu, çemberin yarıçapıdır çünkü piramitdoğru ve bu nedenle, merkez.

O zamandan beri - kesişme noktası ve medyanlar da.

(Pisagor teoremi için)

için formülde değiştirin.

Ve her şeyi hacim formülüyle değiştirin:

Dikkat: düzenli bir tetrahedronunuz (yani) varsa, formül aşağıdaki gibidir:

Tabanın kenarı ve yan kenarı eşit olsun.

Burada aramaya gerek yok; sonuçta, tabanda bir kare var ve bu nedenle.

Onu bulacağız. Pisagor teoremi için

Biliyormuyuz? Hemen hemen. Bakmak:

(baktığımızda bunu gördük).

Formülde yerine şunu koyun:

Ve şimdi onu hacim formülünde de değiştiriyoruz.

Tabanın kenarı eşit ve yan kenar olsun.

Nasıl bulunur? Bakın, bir altıgen tam olarak altı özdeş düzgün üçgenden oluşur. Doğru hacmi hesaplarken zaten normal bir üçgenin alanını aradık. Üçgen piramit, burada bulunan formülü kullanıyoruz.

Şimdi (bunu) bulalım.

Pisagor teoremi için

Ama ne fark eder? Kolay çünkü (ve diğer herkes) doğru.

Yerine geçmek:

\ displaystyle V = \ frac (\ sqrt (3)) (2) ((a) ^ (2)) \ sqrt (((b) ^ (2)) - ((a) ^ (2)))

PİRAMİT. KISACA ANA HAKKINDA

Bir piramit, herhangi bir düz çokgenden (), taban düzleminde yer almayan bir noktadan (piramidin tepesi) ve piramidin tepesini tabanın noktalarına bağlayan tüm parçalardan oluşan bir çokyüzlüdür ( yan kenarlar).

Piramidin tepesinden taban düzlemine dik olarak indirildi.

doğru piramit- tabanda düzenli bir çokgenin bulunduğu ve piramidin tepesinin tabanın merkezine yansıtıldığı bir piramit.

Doğru piramit özelliği:

Düzenli bir piramidin tüm yan kenarları eşittir.
Tüm yan yüzler ikizkenar üçgenlerdir ve tüm bu üçgenler eşittir.