1. Dacă unghiul unui triunghi este egal cu unghiul altui triunghi, atunci ariile acestor triunghiuri sunt legate ca produsul laturilor care înglobează unghiuri egale.
2. Raportul ariilor triunghiurilor având înălțimi generale, este egal cu raportul bazelor corespunzătoare acestor înălțimi.
3. Raportul ariilor triunghiurilor având motive generale, este egal cu raportul înălțimilor corespunzătoare acestor laturi ale triunghiului.
4. În triunghiuri similare, elementele similare sunt proporționale, razele cercurilor înscrise și circumscrise, perimetrele triunghiurilor, rădăcini pătrate din pătrate.
5.Raza cercului înscris poate fi găsită folosind formula:
6. Este convenabil să găsiți raza cercului circumscris folosind teorema sinusurilor și cosinusurilor:
7.Fiecare mediană împarte triunghiul în 2 triunghiuri egale.
8. Trei mediane împart un triunghi în 6 triunghiuri egale.
9. Punctul de intersecție al bisectoarelor împarte bisectoarea în raportul:
suma laturilor care formează unghiul din care se trasează bisectoarea către a treia latură.
10. Medianele unui triunghi și laturile sunt legate prin formula:
11. O linie dreaptă paralelă cu o latură a unui triunghi și care intersectează alte două taie un triunghi similar cu acesta din el.
12. Dacă bisectoarele unghiurilorBși triunghiul C ABCse intersectează în punctul M, atunci .
13. Unghiul dintre bisectoare colțurile adiacente este egal cu 90.
14. Dacă M este punctul de tangență cu latura AC a unui cerc înscris în triunghiul ABC, atunci Unde - semiperimetrul unui triunghi.
15. Cercul atinge latura BC a triunghiului ABC și prelungirile laturilor AB și AC. Atunci distanța de la vârful A până la punctul de contact al cercului cu dreapta AB este egală cu semiperimetrul triunghiului ABC.
16. Un cerc înscris în triunghiul ABC atinge laturile AB, BC și respectiv AC în puncteK, LȘi M. Daca atunci.
17. teorema lui Menelaus. Triunghiul dat ABC. O anumită dreaptă își intersectează laturile AB, BC și continuarea laturii AC în punctele C 1, A 1, B 1 respectiv. Apoi
18. teorema lui Ceva. Fie punctele A 1, B 1 și C 1 aparțin, respectiv, laturilor BC, AC și AB ale triunghiului ABC. Segmente AA 1, BB 1 și SS 1 se intersectează într-un punct dacă și numai dacă
19. Teorema Steiner-Lemus. Dacă două bisectoare ale unui triunghi sunt egale, atunci acesta este isoscel.
20. teorema lui Stewart. Punct Deste situat pe latura BC a triunghiului ABC, atunci .
21. Un excerc este un cerc tangent la una dintre laturile sale și prelungirile celorlalte două.
22. Pentru fiecare triunghi, există trei cercuri care sunt situate în afara triunghiului.
23.Centrul unui excerc este punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor externe ale triunghiului și bisectoarei celui intern, neadiacent acestor două unghiuri externe.
24. Dacă cercul atinge latura BC a triunghiului ABC și prelungirile laturilor AB și AC. Atunci distanța de la vârful A până la punctul de contact al cercului cu dreapta AB este egală cu semiperimetrul triunghiului ABC.
§ 21. Proprietăţi forme geometrice la suprafata
Cursul 53. Proprietăţile figurilor geometrice pe plan
1. Figuri geometrice pe un plan și proprietățile lor
2. Unghiuri, drepte paralele și perpendiculare
3. Drepte paralele și perpendiculare
O figură geometrică este definită ca orice set de puncte. Un segment, o linie dreaptă, un cerc, o minge sunt forme geometrice.
Dacă toate punctele unei figuri geometrice aparțin unui singur plan, acesta se numește plat. De exemplu, un segment, un dreptunghi sunt figuri plate. Sunt cifre care nu sunt plate. Acesta este, de exemplu, un cub, o minge, o piramidă.
Deoarece conceptul de figură geometrică este definit prin conceptul de mulțime, putem spune că o figură este inclusă în alta (sau conținută în alta), putem lua în considerare unirea, intersecția și diferența de figuri.
De exemplu, unirea a două raze AB și MK este linia dreaptă KB, iar intersecția lor este segmentul AM.
Există figuri convexe și neconvexe. O figură se numește convexă dacă, împreună cu oricare dintre două puncte ale sale, conține și un segment care le leagă.
Figurile F₁ sunt convexe, iar figura F₂ este neconvexă.
Figurile convexe sunt un plan, o linie dreaptă, o rază, un segment, un punct și un cerc.
Pentru poligoane, se cunoaște o altă definiție: un poligon se numește convex dacă se află pe o parte a fiecărei drepte care conține latura sa. Deoarece echivalența acestei definiții și cea dată mai sus pentru un poligon a fost dovedită, le putem folosi pe ambele.
Să luăm în considerare câteva concepte studiate la cursul de geometrie școlară, definițiile și proprietățile acestora, acceptându-le fără dovezi.
Unghiuri
Colţ este o figură geometrică care constă dintr-un punct și două raze care emană din acest punct. Razele sunt numite laturile unghiului, iar începutul lor comun este vârful său.
Un unghi este desemnat în diferite moduri: fie vârful său, fie laturile sale, fie trei puncte sunt indicate: vârful și punctele de pe laturile unghiului: A,(k,l), ABC.
Unghiul se numește extins, dacă laturile sale se află pe aceeași linie dreaptă.
Un unghi care este jumătate de unghi drept se numește direct. Se numește un unghi mai mic decât un unghi drept ascuțit. Se numește un unghi mai mare decât un unghi drept, dar mai mic decât un unghi drept prost.
Unghi plat- aceasta este o parte a planului limitată de două raze diferite care emană dintr-un punct.
Există două unghiuri plane formate din două raze cu o origine comună. Sunt chemați adiţional.
DESPRE 
Unghiurile luate în considerare în planimetrie nu depășesc unghiul desfășurat.
Cele două unghiuri se numesc adiacent, dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt semilinii suplimentare.
Suma unghiurilor adiacente este de 180º. Valabilitatea acestei proprietăți rezultă din definiția lor a unghiurilor adiacente.
Cele două unghiuri se numesc vertical, dacă laturile unui unghi sunt semilinii complementare ale laturilor celuilalt.
Unghiurile verticale sunt egale.
Drepte paralele și perpendiculare
Se numesc două drepte dintr-un plan paralel, dacă nu se intersectează
Dacă linia a este paralelă cu dreapta b, atunci scrieți a║b.
Să luăm în considerare câteva proprietăți ale dreptelor paralele și, în primul rând, semnele paralelismului.
Semnele sunt teoreme care stabilesc prezența oricărei proprietăți a unui obiect într-o anumită situație. În special, necesitatea de a lua în considerare semnele paralelismului liniilor este cauzată de faptul că adesea în practică este necesar să se rezolve problema poziției relative a două linii, dar, în același timp, este imposibil să se utilizeze direct definiția. .
Luați în considerare următoarele semnele dreptelor paralele:
1. Două drepte paralele cu o a treia sunt paralele între ele.
2. Dacă unghiurile transversale interne sunt egale sau suma unghiurilor interne unilaterale este egală cu 180º, atunci liniile sunt paralele.
Este o afirmație adevărată opusul al doilea semn de paralelism al dreptelor: dacă două drepte paralele sunt intersectate de o treime, atunci unghiurile interne aflate unul peste altul sunt egale, iar suma unghiurilor unilaterale este de 180º.
O proprietate importantă a dreptelor paralele este dezvăluită în teorema numit după matematicianul grec antic Thales: dacă liniile paralele care intersectează laturile unui unghi taie segmente egale pe o parte, atunci ele decupează segmente egale pe cealaltă parte.
Se numesc două linii drepte perpendicular dacă se intersectează în unghi drept.
Dacă linia a este perpendiculară pe dreapta b, atunci scrieți ab.
Proprietățile de bază ale dreptelor perpendiculare sunt reflectate în două teoreme:
1. Prin fiecare punct al unei linii se poate trasa o linie perpendiculara pe acesta, si numai una.
2. Din orice punct care nu se află pe o anumită linie, puteți arunca o perpendiculară pe această dreaptă și numai una.
O perpendiculară pe o dreaptă dată este un segment de dreaptă perpendicular pe o dreaptă dată și care se termină în punctul lor de intersecție. Capătul acestui segment se numește baza perpendicularei.
Se numește lungimea perpendicularei căzute de la un punct dat la o dreaptă distanţă de la un punct la o linie dreaptă.
Distanța dintre liniile paralele este distanța de la orice punct al unei linii la altul.
Cursul 54. Proprietăţile figurilor geometrice pe plan
4. Triunghiuri, patrulatere, poligoane. Formule pentru ariile unui triunghi, dreptunghi, paralelogram, trapez.
5. Cerc, cerc.
Triunghiuri
Un triunghi este una dintre cele mai simple forme geometrice. Dar studiul său a dat naștere unei întregi științe - trigonometria, care a apărut din nevoi practice de măsurare. terenuri, intocmind harti ale zonei, proiectand diverse mecanisme.
Triunghi este o figură geometrică care constă din trei puncte care nu se află pe aceeași linie și trei segmente perechi care le unesc.
Orice triunghi împarte planul în două părți: interioară și externă. O figură formată dintr-un triunghi și regiunea sa interioară se mai numește și triunghi (sau triunghi plan).
În orice triunghi se disting următoarele elemente: laturi, unghiuri, altitudini, bisectoare, mediane, linii mediane.
Unghiul unui triunghi ABC la vârful A este unghiul format din jumătăți de drepte AB și AC.
Înălţime a unui triunghi scăpat dintr-un vârf dat se numește perpendiculară trasă din acest vârf pe linia care conține latura opusă.
Bisectoare a unui triunghi este segmentul bisectoare al unui unghi al unui triunghi care leagă un vârf de un punct de pe latura opusă.
Median al unui triunghi desenat dintr-un vârf dat se numește un segment care leagă acest vârf cu punctul de mijloc al laturii opuse.
Linia de mijloc al unui triunghi este segmentul care leagă punctele medii ale celor două laturi ale sale.
Triunghiurile se numesc congruente dacă laturile lor corespunzătoare și unghiurile corespunzătoare sunt egale. În acest caz, unghiurile corespunzătoare trebuie să fie opuse laturilor corespunzătoare.
În practică și în construcțiile teoretice, se folosesc adesea semne de egalitate a triunghiurilor, care oferă o soluție mai rapidă la întrebarea relației dintre ele. Există trei astfel de semne:
1. Dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt egale, respectiv, cu două laturi și unghiul dintre ele ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.
2. Dacă latura și unghiurile adiacente ale unui triunghi sunt egale, respectiv, cu latura și unghiurile adiacente ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.
3. Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.
Triunghiul se numește isoscel, dacă cele două laturi ale sale sunt egale. Aceste laturi egale se numesc laterale, iar a treia latură se numește baza triunghiului.
Triunghiurile isoscele au o serie de proprietăți, de exemplu:
Într-un triunghi isoscel, mediana trasată la bază este bisectoarea și altitudinea.
Să notăm câteva proprietăți ale triunghiurilor.
1. Suma unghiurilor unui triunghi este 180º.
Din această proprietate rezultă că în orice triunghi cel puțin două unghiuri sunt acute.
2. linia de mijloc a unui triunghi care leagă punctele mijlocii a două laturi este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătate din aceasta.
3. În orice triunghi, fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două laturi.
Pentru un triunghi dreptunghic, teorema lui Pitagora este adevărată: pătratul ipotenuzei egal cu suma pătrate de picioare.
Cadrilatere
Patrulater este o figură care constă din patru puncte și patru segmente consecutive care le unesc și niciunul dintre aceste puncte nu trebuie să se afle pe aceeași linie, iar segmentele care le leagă nu trebuie să se intersecteze. Aceste puncte sunt numite vârfuri ale patrulaterului, iar segmentele care le unesc sunt numite laturile sale.
Orice patrulater împarte planul în două părți: internă și externă. O figură formată dintr-un patrulater și regiunea sa interioară se mai numește și patrulater (sau patrulater plan).
Vârfurile unui patrulater se numesc adiacente dacă sunt capetele uneia dintre laturile sale. Vârfurile care nu sunt adiacente se numesc opuse. Segmentele care leagă vârfurile opuse ale unui patrulater se numesc diagonalele.
Laturile unui patrulater care emană din același vârf se numesc adiacente. Laturile care nu au un capăt comun se numesc opuse. Într-un patrulater ABCD, vârfurile A și B sunt opuse, laturile AB și BC sunt adiacente, BC și AD sunt opuse; segmentele AC și BD sunt diagonalele unui patrulater dat.
Patrulaterele pot fi convexe sau neconvexe. Astfel, patrulaterul ABCD este convex, iar patrulaterul KRMT este neconvex. Printre patrulatere convexe se disting paralelogramele și trapezele.
Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele.
Fie ABCD un paralelogram. De la vârful B la dreapta AD desenăm o perpendiculară BE. Atunci segmentul BE se numește înălțimea paralelogramului corespunzătoare laturilor BC și AD. Segment de linie
M 
CM este înălțimea paralelogramului corespunzătoare laturilor CD și AB.
Pentru a simplifica recunoașterea paralelogramelor, luați în considerare următorul semn: dacă diagonalele unui patrulater se intersectează și sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție, atunci acest patrulater este un paralelogram.
O serie de proprietăți ale unui paralelogram care nu sunt cuprinse în definiția sa sunt formulate ca teoreme și dovedite. Printre ei:
1. Diagonalele unui paralelogram se intersectează și se împart la jumătate în punctul de intersecție.
2. Un paralelogram are laturile opuse și unghiurile opuse egale.
Să luăm acum în considerare definiția unui trapez și proprietatea sa principală.
Trapez este un patrulater ale cărui doar două laturi opuse sunt paralele.
Aceste laturi paralele se numesc bazele trapezului. Celelalte două laturi se numesc laterale.
Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor se numește linia mediană a trapezului.
Linia mediană a unui trapez are următoarea proprietate: este paralelă cu bazele și egală cu jumătatea sumei acestora.
Dintre numeroasele paralelograme se disting dreptunghiuri și romburi.
Dreptunghi se numește paralelogram în care toate unghiurile sunt drepte.
Pe baza acestei definiții, se poate dovedi că diagonalele unui dreptunghi sunt egale.
Diamant se numeste paralelogram in care toate laturile sunt egale.
Folosind această definiție, putem demonstra că diagonalele unui romb se intersectează în unghi drept și sunt bisectoare ale unghiurilor sale.
Pătratele sunt selectate din mai multe dreptunghiuri.
Un pătrat este un dreptunghi ale cărui laturi sunt toate egale.
Deoarece laturile unui pătrat sunt egale, acesta este și un romb. Prin urmare, un pătrat are proprietățile unui dreptunghi și a unui romb.
Poligoane
O generalizare a conceptului de triunghi și patrulater este conceptul de poligon. Este definit prin conceptul de linie întreruptă.
O linie întreruptă A₁A₂A₃…An este o figură care constă din punctele A₁, A₂, A₃, …, An și segmentele A₁A₂, A₂A₃, …, An-₁An care le leagă. Punctele А₁, А₂, А₃, …, Аn se numesc vârfurile liniei întrerupte, iar segmentele А₁А₂, А₂А₃, …, Аn-₁Аn sunt legăturile sale.
Dacă o linie întreruptă nu are auto-intersecții, atunci se numește simplă. Dacă capetele sale coincid, atunci se numește închis. Despre liniile întrerupte prezentate în figură putem spune: a) – simplu; b) – simplu închis; c) este o linie întreruptă închisă care nu este simplă.
a B C)
Lungimea unei linii întrerupte este suma lungimilor legăturilor sale.
Se știe că lungimea unei linii întrerupte nu este mai mică decât lungimea segmentului care îi leagă capetele.
Poligon O linie întreruptă închisă simplă se numește dacă legăturile ei învecinate nu se află pe aceeași linie dreaptă.
Vârfurile liniei întrerupte se numesc vârfuri ale poligonului, iar legăturile sale se numesc laturile sale. Segmentele de linie care leagă vârfuri neadiacente se numesc diagonale.
Orice poligon împarte planul în două părți, dintre care una este numită interioară și cealaltă - regiunea exterioară a poligonului (sau poligonul plan).
Există poligoane convexe și neconvexe.
Un poligon convex se numește regulat dacă toate laturile și toate unghiurile sale sunt egale.
Un triunghi regulat este un triunghi echilateral, un patrulater regulat este un pătrat.
Unghiul unui poligon convex la un vârf dat este unghiul format de laturile sale care converg la acest vârf.
Se știe că suma unghiurilor unui n-gon convex este de 180º (n–2).
În geometrie, pe lângă poligoane convexe și neconvexe, sunt luate în considerare și figurile poligonale.
O figură poligonală este uniunea unui set finit de poligoane.
a B C)
Poligoanele care alcătuiesc o figură poligonală pot să nu aibă puncte interioare comune, dar pot avea și puncte interioare comune.
Se spune că o figură poligonală F este formată din figuri poligonale dacă este uniunea lor, iar figurile în sine nu au puncte interioare comune. De exemplu, figurile poligonale prezentate în figurile a) și c) se poate spune că constau din două figuri poligonale sau că sunt împărțite în două figuri poligonale.
Cerc și cerc
Circumferinţă este o figură care este formată din toate punctele planului echidistante de un punct dat, numit centru.
Orice segment care leagă un punct dintr-un cerc de centrul său se numește raza cercului. Rază numită și distanța de la orice punct al unui cerc până la centrul acestuia.
Se numește un segment de dreaptă care leagă două puncte dintr-un cerc coardă. Coarda care trece prin centru se numește diametru.
Un cerc este o figură care constă din toate punctele planului situate la o distanță nu mai mare decât una dată de un punct dat. Acest punct se numește centrul cercului, iar această distanță se numește raza cercului.
Limita unui cerc este un cerc cu același centru și rază.
Să ne amintim câteva proprietăți ale cercului și cercului.
Se spune că o linie și un cerc se ating dacă au un unic punct comun. O astfel de dreaptă se numește tangentă, iar punctul comun al dreptei și al cercului se numește punct de tangență. S-a dovedit că, dacă o linie dreaptă atinge un cerc, atunci aceasta este perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact. Afirmația inversă este de asemenea adevărată (Fig. a).
Un unghi central într-un cerc este un unghi plan cu un vârf în centru. Partea de cerc situată în interiorul unghiului plan se numește arc de cerc corespunzător acestui unghi central (Fig.b).
Un unghi al cărui vârf se află pe un cerc și ale cărui laturi îl intersectează se numește înscris în acest cerc (Fig. c).
Un unghi înscris într-un cerc are următoarea proprietate: este egal cu jumătate din unghiul central corespunzător. În special, unghiurile bazate pe diametru sunt unghiuri drepte.
Un cerc se numește circumscris unui triunghi dacă trece prin toate vârfurile sale.
Pentru a descrie un cerc în jurul unui triunghi, trebuie să-i găsiți centrul. Regula pentru găsirea acesteia este justificată de următoarea teoremă:
Centrul unui cerc circumscris unui triunghi este punctul de intersecție al perpendicularelor pe laturile sale trasate prin punctele mijlocii ale acestor laturi (Fig.a).
Se spune că un cerc este înscris într-un triunghi dacă atinge toate laturile sale.
Regula pentru găsirea centrului unui astfel de cerc este justificată de teorema:
Centrul unui cerc înscris într-un triunghi este punctul de intersecție al bisectoarelor acestuia (Fig.b)
Prin urmare, bisectoare perpendiculareși bisectoarele se intersectează într-un punct, respectiv. În geometrie este dovedit că medianele unui triunghi se intersectează într-un punct. Acest punct se numește centrul de greutate al triunghiului, iar punctul de intersecție al altitudinilor se numește ortocentru.
Astfel, în orice triunghi sunt patru puncte minunate: centrul de greutate, centrele cercurilor înscrise și circumscrise și ortocentrul.
Un cerc poate fi circumscris în jurul oricărui poligon regulat, iar un cerc poate fi înscris în orice poligon regulat, iar centrele cercurilor circumscrise și înscrise coincid.
Al cincilea postulat. Descoperirea altor geometrii decât Euclid.
Pentru a construi geometria, este suficient să selectați doar câteva prevederi, luându-le direct din practică și folosind raționamentul logic pentru a obține restul raționamentului necesar. Propozițiile ar trebui să fie numite axiome, consecințele din ele teoreme. Geometrul grec antic Euclid din Alexandria este autorul lucrării „Principii”, care enumeră axiome - prevederi, există 5 dintre ele:
- Puteți trage o linie dreaptă prin două puncte.
- Linia dreaptă poate fi continuată în ambele sensuri.
- Puteți desena un cerc în jurul oricărui punct cu o rază arbitrară.
- Toate unghiurile drepte sunt egale între ele.
- Dacă două drepte dintr-un plan la intersecția cu a treia formează unghiuri interioare unilaterale, a căror sumă este mai mică de două unghiuri drepte, atunci aceste drepte se intersectează (O altă formulare: într-un plan printr-un punct care nu se află pe un anumit punct). linie, una și o singură linie dreaptă poate fi trasată paralelă cu o linie dată).
FORMULAREA POSTULATULUI V
Iată ce spune al cincilea postulat:
Dacă două drepte a și b formează, la intersecția cu o a treia linie dreaptă, unghiuri interne unilaterale a și b, a căror sumă este mai mică de două unghiuri drepte (adică mai mică de 180°; Fig. . 1), atunci aceste două drepte se intersectează în mod necesar, și tocmai cu acea latură a celei de-a treia drepte de-a lungul căreia sunt situate unghiurile a și b (constituind împreună mai puțin de 180°).
Ultimul al cincilea postulat a atras atenția asupra lui Atentie speciala, pentru că a fost formulat mult mai complex și nu era intuitiv ca celelalte. Problema postulatului V a fost rezolvată pentru prima dată de un profesor la Universitatea din Kazan, genialul matematician rus Nikolai Ivanovici Lobaciovski (1792-1856), care a descoperit în 1862. prima geometrie non-euclidiană, numită și „hiperbolică”.
Un set de teoreme de geometrie independent de axioma paralelismului euclidian , a sunat matematicianul ungur János Bolyai geometrie „absolută”. . Toate celelalte teoreme, adică acelea , în demonstrarea căreia ne bazăm direct sau indirect pe postulatul V, este geometrie euclidiană adecvată.
Dintre geometriile non-euclidiene se pot distinge următoarele:
- Geometria lui Lobachevsky, Gauss, Bolyai. Într-un plan, prin punctul A, în afara liniei a, puteți desena mai mult de 1 dreaptă paralelă cu cea dată.
- Geometrie sferică. Geometrie pe suprafața unei sfere, ale cărei fapte de bază au fost studiate în antichitate în legătură cu problemele astronomiei. Cert este că suprafața Pământului este practic o sferă obișnuită, așa că era nevoie de geometrie pentru a asigura corectitudinea calculelor în condițiile suprafețelor curbe.
- Geometria Riemann. Bazat pe geometria sferică. Riemann a extins semnificativ lista de teoreme și axiome. Geometria Riemann este una dintre cele trei „mari geometrii” (Euclid, Lobachevsky și Riemann). Dacă geometria euclidiană se realizează pe suprafețe cu curbură gaussiană constantă zero, Lobachevsky - cu unu negativ constant, atunci geometria Riemann se realizează pe suprafețe cu curbură gaussiană pozitivă constantă. În geometria Riemann, o dreaptă este definită de două puncte, un plan de trei, două plane se intersectează de-a lungul unei drepte etc., dar printr-un punct dat nu se poate trasa nicio paralelă la o dreaptă. În special, această geometrie are o teoremă: suma unghiurilor unui triunghi este mai mare decât două drepte. Din punct de vedere istoric, geometria Riemann a apărut mai târziu decât celelalte două geometrii (în 1854). Geometria Riemann este similară cu geometria sferică, dar diferă prin faptul că oricare două „linii drepte” nu au două, ca în sferică, ci doar un punct de intersecție. Prin urmare, uneori geometria Riemann se numește geometrie pe o sferă în care sunt identificate puncte opuse; Astfel, din sferă se obține un plan proiectiv.
Rolul special al postulatului V, complexitatea sa mai mare și mai puțină claritate (în comparație cu alte axiome) au condus la faptul că matematicienii secolelor ulterioare au început să încerce să demonstreze acest postulat ca o teoremă. Unii dintre ei au încercat să derive acest postulat din axiomele rămase ale lui Euclid, fără să le adauge noi afirmații; alții au înlocuit în mod deschis postulatul V cu o altă axiomă, pe care o considerau mai simplă și mai evidentă. Desigur, noua axiomă conținea o afirmație echivalentă cu postulatul V. Dar analiza acelor dovezi în care postulatul V nu a fost înlocuit deschis cu o altă axiomă arată că aici au fost folosite și enunțuri echivalente cu postulatul V, dar acest lucru s-a făcut implicit, neobservat de autorul demonstrației.
Importanța celui de-al cincilea postulat nu poate fi supraestimată, deoarece niciuna dintre cele două geometrii cunoscute de noi nu ar exista fără el. Dacă oamenii de știință nu ar fi luat în considerare al cincilea postulat, atunci acest lucru nu s-ar fi întâmplat. cea mai mare descoperire, deoarece cu ajutorul geometriei non-euclidiene, oamenii au dobândit o nouă înțelegere a spațiului. Cu al cincilea postulat a început totul: este punctul de plecare, motorul științei.
Intuiția a sugerat că atât geometria euclidiană, cât și cea non-euclidiană sunt exemple de matematică cu drepturi depline.
Definirea și proprietățile formelor geometrice de bază.
Proprietăți de bază
1. Dacă unghiul unui triunghi este egal cu unghiul altui triunghi, atunci ariile acestor triunghiuri sunt legate ca produsul laturilor care înglobează unghiuri egale.
2. Raportul ariilor triunghiurilor care au înălțimi comune este egal cu raportul bazelor corespunzătoare acestor înălțimi.
3. Raportul ariilor triunghiurilor care au baze comune este egal cu raportul înălțimilor corespunzătoare acestor laturi ale triunghiului.
4. În triunghiuri similare, elementele similare, razele cercurilor înscrise și circumscrise, perimetrele triunghiurilor, rădăcinile pătrate ale ariilor sunt proporționale.
5.Raza cercului înscris poate fi găsită folosind formula:
6. Este convenabil să găsiți raza cercului circumscris folosind teorema sinusurilor și cosinusurilor:
7.Fiecare mediană împarte triunghiul în 2 triunghiuri egale.
8. Trei mediane împart un triunghi în 6 triunghiuri egale.
9. Punctul de intersecție al bisectoarelor împarte bisectoarea în raportul:
suma laturilor care formează unghiul din care se trasează bisectoarea către a treia latură.
10. Medianele unui triunghi și laturile sunt legate prin formula:
11. O linie dreaptă paralelă cu o latură a unui triunghi și care intersectează alte două taie un triunghi similar cu acesta din el.
12. Dacă bisectoarele unghiurilor B și C triunghiul ABC se intersectează în punctul M, apoi .
13. Unghiul dintre bisectoarele unghiurilor adiacente este de 90.
14. Dacă M este punctul de tangență cu latura AC a unui cerc înscris în triunghiul ABC, atunci unde este semiperimetrul triunghiului.
15. Cercul atinge latura BC a triunghiului ABC și prelungirile laturilor AB și AC. Atunci distanța de la vârful A până la punctul de contact al cercului cu dreapta AB este egală cu semiperimetrul triunghiului ABC.
16. Un cerc înscris în triunghiul ABC atinge laturile AB, BC și, respectiv, AC, în punctele K, L și M. Dacă , atunci .
17.teorema lui Menelaus. Triunghiul dat ABC. O anumită dreaptă își intersectează laturile AB, BC și continuarea laturii AC în punctele C1, A1, B1, respectiv. Apoi
18.teorema lui Ceva. Fie punctele A1, B1 și C1 aparțin, respectiv, laturilor BC, AC și AB ale triunghiului ABC. Segmentele AA1, BB1 și CC1 se intersectează într-un punct dacă și numai dacă
19.Teorema Steiner-Lemus. Dacă două bisectoare ale unui triunghi sunt egale, atunci acesta este isoscel.
20.teorema lui Stewart. Punctul D este situat pe latura BC a triunghiului ABC, apoi .
21. Un excerc este un cerc tangent la una dintre laturile sale și prelungirile celorlalte două.
22. Pentru fiecare triunghi, există trei cercuri care sunt situate în afara triunghiului.
23.Centrul unui excerc este punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor externe ale triunghiului și bisectoarei celui intern, neadiacent acestor două unghiuri externe.
24. Dacă cercul atinge latura BC a triunghiului ABC și prelungirile laturilor AB și AC. Atunci distanța de la vârful A până la punctul de contact al cercului cu dreapta AB este egală cu semiperimetrul triunghiului ABC.
Sarcini de construcție.
Planimetrie este o ramură a geometriei în care sunt studiate figurile de pe un plan.
Figuri studiate prin planimetrie:
3. Paralelogram (cazuri speciale: pătrat, dreptunghi, romb)
4. Trapez
5. Circumferința
6. Triunghi
7. Poligon
1) Punct:
În geometrie, topologie și ramurile conexe ale matematicii, un punct este un obiect abstract din spațiu care nu are nici volum, nici arie, nici lungime, nici orice altul. caracteristici similare dimensiuni mari. Astfel, un punct este un obiect cu dimensiune zero. Un punct este unul dintre conceptele fundamentale în matematică.
Punct în geometria euclidiană:
Un punct este unul dintre conceptele fundamentale ale geometriei, deci „punct” nu are definiție. Euclid a definit un punct ca fiind ceva ce nu poate fi împărțit.
O linie dreaptă este unul dintre conceptele de bază ale geometriei.
Linie dreaptă geometrică (linie dreaptă) - un obiect geometric extins, necurbat, care nu este închis pe ambele părți, secțiune transversală care tinde spre zero, iar proiecția longitudinală pe plan dă un punct.
Într-o prezentare sistematică a geometriei, o linie dreaptă este de obicei luată ca unul dintre conceptele inițiale, care este determinată doar indirect de axiomele geometriei.
Dacă baza pentru construirea geometriei este conceptul de distanță dintre două puncte din spațiu, atunci o linie dreaptă poate fi definită ca o linie de-a lungul căreia calea este egală cu distanța dintre două puncte.
3) Paralelogram:
Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi, adică se află pe drepte paralele. Cazurile speciale ale unui paralelogram sunt dreptunghiul, pătratul și rombul.
Cazuri speciale:
Pătrat- un patrulater regulat sau romb, în care toate unghiurile sunt drepte, sau un paralelogram, în care toate laturile și unghiurile sunt egale.
Un pătrat poate fi definit ca: un dreptunghi ale cărui două laturi adiacente sunt egale;
un romb în care toate unghiurile sunt drepte (orice pătrat este un romb, dar nu orice romb este un pătrat).
Dreptunghi este un paralelogram în care toate unghiurile sunt unghiuri drepte (egale cu 90 de grade).
Romb este un paralelogram în care toate laturile sunt egale. Un romb cu unghiuri drepte se numește pătrat.
4) Trapez:
Trapez- un patrulater cu exact o pereche de laturi opuse paralele.
1. Un trapez ale cărui laturi nu sunt egale,
numit versatil .
2. Un trapez ale cărui laturi sunt egale se numește isoscel.
3. Se numește un trapez în care o latură formează un unghi drept cu bazele dreptunghiular .
Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor laterale ale unui trapez se numește linia mediană trapez (MN). Linia mediană a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu jumătatea sumei acestora.
Un trapez poate fi numit triunghi trunchiat, prin urmare numele trapezelor sunt similare cu numele triunghiurilor (triunghiurile pot fi scalene, isoscele sau dreptunghiulare).
5) Circumferința:
Cerc- locul geometric al punctelor planului echidistant de un punct dat, numit centru, la o distanta data nenula, numita raza lui.
6) Triunghi:
Triunghi- cel mai simplu poligon având 3 vârfuri (unghiuri) și 3 laturi; parte a planului delimitată de trei puncte și trei segmente care leagă aceste puncte în perechi.
7) Poligon:
Poligon- aceasta este o figură geometrică, definită ca o linie întreruptă închisă. Se află trei diverse opțiuni definiții:
Linii plate închise întrerupte;
Planează polilinii închise fără auto-intersecții;
Părți ale planului delimitate prin linii întrerupte.
Vârfurile poligonului sunt numite vârfuri ale poligonului, iar segmentele sunt numite laturile poligonului.
Proprietățile de bază ale unei linii și ale unui punct:
1. Indiferent de linie, există puncte care aparțin acestei linii și nu îi aparțin.
Prin oricare două puncte poți trage o linie dreaptă și doar una.
2. Dintre cele trei puncte de pe o linie, unul și doar unul se află între celelalte două.
3. Fiecare segment are o anumită lungime mai mare decât zero. Lungimea unui segment este egală cu suma lungimilor părților în care este împărțit la oricare dintre punctele sale.
6. Pe orice jumătate de linie de la punctul său de pornire, puteți reprezenta un segment de o lungime dată și numai unul.
7. Din orice semi-linie, într-un semiplan dat, puteți pune un unghi cu o anumită măsură de grad mai mică de 180° și doar unul.
8. Oricare ar fi triunghiul, există un triunghi egal într-o locație dată relativ la o semi-linie dată.
Proprietățile unui triunghi:
Relațiile dintre laturile și unghiurile unui triunghi:
1) Opus laturii mai mari se află unghiul mai mare.
2) Latura mai mare se află opusă unghiului mai mare.
3) Unghiurile egale sunt opuse laturi egale și invers unghiuri egale minciună laturi egale.
Relația dintre unghiurile interne și externe ale unui triunghi:
1) Suma oricăror două colțurile interne triunghiul este egal colțul exterior triunghi adiacent celui de-al treilea unghi.
2) Laturile și unghiurile unui triunghi sunt, de asemenea, legate între ele prin relații numite teorema sinusurilor și teorema cosinusurilor.
Triunghiul se numește obtuz, dreptunghiular sau unghiular acut , dacă unghiul său interior cel mai mare este, respectiv, mai mare, egal sau mai mic de 90∘.
Linia de mijloc al unui triunghi este segmentul care leagă punctele medii ale două laturi ale triunghiului.
Proprietățile liniei mediane a unui triunghi:
1) Linia care conține linia de mijloc a triunghiului este paralelă cu linia care conține a treia latură a triunghiului.
2) Linia de mijloc a triunghiului este egală cu jumătatea celei de-a treia laturi.
3) Linia mediană a unui triunghi decupează un triunghi similar dintr-un triunghi.
Proprietăți dreptunghiulare:
1) laturile opuse sunt egale și paralele între ele;
2) diagonalele sunt egale și bisectează în punctul de intersecție;
3) suma pătratelor diagonalelor este egală cu suma pătratelor tuturor (patru) laturilor;
4) dreptunghiuri de aceeași dimensiune pot acoperi complet un plan;
5) un dreptunghi poate fi împărțit în două dreptunghiuri egale în două moduri;
6) dreptunghiul poate fi împărțit în două triunghiuri dreptunghice egale;
7) în jurul unui dreptunghi poți descrie un cerc al cărui diametru este egal cu diagonala dreptunghiului;
8) este imposibil să înscrii un cerc într-un dreptunghi (cu excepția unui pătrat) astfel încât să atingă toate laturile sale.
Proprietățile unui paralelogram:
1) Mijlocul diagonalei unui paralelogram este centrul său de simetrie.
2) Laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale.
3) Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale.
4) Fiecare diagonală a unui paralelogram o împarte în două triunghiuri egale.
5) Diagonalele unui paralelogram sunt tăiate în două de punctul de intersecție.
6) Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram (d1 și d2) este egală cu suma pătratelor tuturor laturilor sale: d21+d22=2(a2+b2)
CU Proprietățile pătratului:
1) Toate unghiurile unui pătrat sunt drepte, toate laturile unui pătrat sunt egale.
2) Diagonalele unui pătrat sunt egale și se intersectează în unghi drept.
3) Diagonalele unui pătrat împart unghiurile sale la jumătate.
Proprietățile unui romb:
1. Diagonala unui romb îl împarte în două triunghiuri egale.
2. Diagonalele unui romb se împart în jumătate în punctul lor de intersecție.
3. Laturile opuse ale unui romb sunt egale între ele, iar unghiurile sale opuse sunt egale.
În plus, un romb are următoarele proprietăți:
a) diagonalele unui romb sunt reciproc perpendiculare;
b) diagonala unui romb își împarte unghiul la jumătate.
Proprietățile unui cerc:
1) O linie dreaptă poate să nu aibă puncte comune cu un cerc; au un punct comun cu cercul (tangenta); au două puncte comune cu ea (secante).
2) Prin trei puncte care nu se află pe aceeași linie, puteți desena un cerc și numai unul.
3) Punctul de contact a două cercuri se află pe linia care leagă centrele lor.
Proprietățile poligonului:
1) Suma unghiurilor interioare ale unui n-gon plat convex este egală.
2) Numărul de diagonale ale oricărui n-gon este egal.
3). Produsul laturilor unui poligon și sinusul unghiului dintre ele este egal cu aria poligonului.
4. Triunghiuri, patrulatere, poligoane. Formule pentru ariile unui triunghi, dreptunghi, paralelogram, trapez.
5. Cerc, cerc.
- Triunghiuri
Un triunghi este una dintre cele mai simple forme geometrice. Dar studiul său a dat naștere unei întregi științe - trigonometria, care a apărut din nevoi practice în măsurarea terenurilor, întocmirea hărților zonei și proiectarea diferitelor mecanisme.
Triunghi este o figură geometrică care constă din trei puncte care nu se află pe aceeași linie și trei segmente perechi care le unesc.
Orice triunghi împarte planul în două părți: interioară și externă. O figură formată dintr-un triunghi și regiunea sa interioară se mai numește și triunghi (sau triunghi plan).
În orice triunghi se disting următoarele elemente: laturi, unghiuri, altitudini, bisectoare, mediane, linii mediane.
Unghiul unui triunghi ABC la vârful A este unghiul format din jumătăți de drepte AB și AC.
Înălţime a unui triunghi scăpat dintr-un vârf dat se numește perpendiculară trasă din acest vârf pe linia care conține latura opusă.
Bisectoare a unui triunghi este segmentul bisectoare al unui unghi al unui triunghi care leagă un vârf de un punct de pe latura opusă.
Median al unui triunghi desenat dintr-un vârf dat se numește un segment care leagă acest vârf cu punctul de mijloc al laturii opuse.
Linia de mijloc al unui triunghi este segmentul care leagă punctele medii ale celor două laturi ale sale.
Triunghiurile se numesc congruente dacă laturile lor corespunzătoare și unghiurile corespunzătoare sunt egale. În acest caz, unghiurile corespunzătoare trebuie să fie opuse laturilor corespunzătoare.
În practică și în construcțiile teoretice, se folosesc adesea semne de egalitate a triunghiurilor, care oferă o soluție mai rapidă la întrebarea relației dintre ele. Există trei astfel de semne:
1. Dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt egale, respectiv, cu două laturi și unghiul dintre ele ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.
2. Dacă latura și unghiurile adiacente ale unui triunghi sunt egale, respectiv, cu latura și unghiurile adiacente ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.
3. Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.
Triunghiul se numește isoscel, dacă cele două laturi ale sale sunt egale. Aceste laturi egale se numesc laterale, iar a treia latură se numește baza triunghiului.
Triunghiurile isoscele au o serie de proprietăți, de exemplu:
Într-un triunghi isoscel, mediana trasată la bază este bisectoarea și altitudinea.
Să notăm câteva proprietăți ale triunghiurilor.
1. Suma unghiurilor unui triunghi este 180º.
Din această proprietate rezultă că în orice triunghi cel puțin două unghiuri sunt acute.
2. Linia de mijloc a triunghiului care leagă punctele medii ale celor două laturi este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătatea acesteia.
3. În orice triunghi, fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două laturi.
Pentru un triunghi dreptunghic, teorema lui Pitagora este adevărată: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.
- Cadrilatere
Patrulater este o figură care constă din patru puncte și patru segmente consecutive care le unesc și niciunul dintre aceste puncte nu trebuie să se afle pe aceeași linie, iar segmentele care le leagă nu trebuie să se intersecteze. Aceste puncte sunt numite vârfuri ale patrulaterului, iar segmentele care le unesc sunt numite laturile sale.
Orice patrulater împarte planul în două părți: internă și externă. O figură formată dintr-un patrulater și regiunea sa interioară se mai numește și patrulater (sau patrulater plan).
Vârfurile unui patrulater se numesc adiacente dacă sunt capetele uneia dintre laturile sale. Vârfurile care nu sunt adiacente se numesc opuse. Segmentele care leagă vârfurile opuse ale unui patrulater se numesc diagonalele.
Laturile unui patrulater care emană din același vârf se numesc adiacente. Laturile care nu au un capăt comun se numesc opuse. Într-un patrulater ABCD, vârfurile A și B sunt opuse, laturile AB și BC sunt adiacente, BC și AD sunt opuse; segmentele AC și ВD sunt diagonalele acestui patrulater.
Patrulaterele pot fi convexe sau neconvexe. Astfel, patrulaterul ABCD este convex, iar patrulaterul KRMT este neconvex. Printre patrulatere convexe se disting paralelogramele și trapezele.
Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele.
Fie ABCD un paralelogram. De la vârful B aruncăm o perpendiculară BE pe dreapta AD. Atunci segmentul BE se numește înălțimea paralelogramului corespunzătoare laturilor BC și AD. Segment de linie
M 
CM este înălțimea paralelogramului corespunzătoare laturilor CD și AB.
Pentru a simplifica recunoașterea paralelogramelor, luați în considerare următorul semn: dacă diagonalele unui patrulater se intersectează și sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție, atunci acest patrulater este un paralelogram.
O serie de proprietăți ale unui paralelogram care nu sunt cuprinse în definiția sa sunt formulate ca teoreme și dovedite. Printre ei:
1. Diagonalele unui paralelogram se intersectează și se împart la jumătate în punctul de intersecție.
2. Un paralelogram are laturile opuse și unghiurile opuse egale.
Să luăm acum în considerare definiția unui trapez și proprietatea sa principală.
Trapez este un patrulater ale cărui doar două laturi opuse sunt paralele.
Aceste laturi paralele se numesc bazele trapezului. Celelalte două laturi se numesc laterale.
Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor se numește linia mediană a trapezului.
Linia mediană a unui trapez are următoarea proprietate: este paralelă cu bazele și egală cu jumătatea sumei acestora.
Dintre numeroasele paralelograme se disting dreptunghiuri și romburi.
Dreptunghi se numește paralelogram în care toate unghiurile sunt drepte.
Pe baza acestei definiții, se poate dovedi că diagonalele unui dreptunghi sunt egale.
Diamant se numeste paralelogram in care toate laturile sunt egale.
Folosind această definiție, putem demonstra că diagonalele unui romb se intersectează în unghi drept și sunt bisectoare ale unghiurilor sale.
Pătratele sunt selectate din mai multe dreptunghiuri.
Un pătrat este un dreptunghi ale cărui laturi sunt toate egale.
Deoarece laturile unui pătrat sunt egale, acesta este și un romb. Prin urmare, un pătrat are proprietățile unui dreptunghi și a unui romb.
- Poligoane
O generalizare a conceptului de triunghi și patrulater este conceptul de poligon. Este definit prin conceptul de linie întreruptă.
O linie întreruptă A₁A₂A₃...An este o figură formată din punctele A₁, A₂, A₃, ..., An și segmentele A₁A₂, A₂A₃, ..., An-₁An care le leagă. Punctele А₁, А₂, А₃, …, Аn se numesc vârfurile liniei întrerupte, iar segmentele А₁А₂, А₂А₃, …, Аn-₁Аn sunt legăturile sale.
Dacă o linie întreruptă nu are auto-intersecții, atunci se numește simplă. Dacă capetele sale coincid, atunci se numește închis. Despre liniile întrerupte prezentate în figură putem spune: a) – simplu; b) – simplu închis; c) este o linie întreruptă închisă care nu este simplă.
A B C)
Lungimea unei linii întrerupte este suma lungimilor legăturilor sale.
Se știe că lungimea unei linii întrerupte nu este mai mică decât lungimea segmentului care îi leagă capetele.
Poligon O linie întreruptă închisă simplă se numește dacă legăturile ei învecinate nu se află pe aceeași linie dreaptă.
Vârfurile liniei întrerupte se numesc vârfuri ale poligonului, iar legăturile sale se numesc laturile sale. Segmentele de linie care leagă vârfuri neadiacente se numesc diagonale.
Orice poligon împarte planul în două părți, dintre care una este numită interioară și cealaltă - regiunea exterioară a poligonului (sau poligonul plan).
Există poligoane convexe și neconvexe.
Un poligon convex se numește regulat dacă toate laturile și toate unghiurile sale sunt egale.
Un triunghi regulat este un triunghi echilateral, un patrulater regulat este un pătrat.
Unghiul unui poligon convex la un vârf dat este unghiul format de laturile sale care converg la acest vârf.
Se știe că suma unghiurilor unui n-gon convex este de 180º (n – 2).
În geometrie, pe lângă poligoane convexe și neconvexe, sunt luate în considerare și figurile poligonale.
O figură poligonală este uniunea unui set finit de poligoane.
A B C)
Poligoanele care alcătuiesc o figură poligonală pot să nu aibă puncte interioare comune, dar pot avea și puncte interioare comune.
Se spune că o figură poligonală F este formată din figuri poligonale dacă este uniunea lor și figurile în sine nu au puncte interioare comune. De exemplu, figurile poligonale prezentate în figurile a) și c) se poate spune că constau din două figuri poligonale sau că sunt împărțite în două figuri poligonale.
- Cerc și cerc
Circumferinţă este o figură care este formată din toate punctele planului echidistante de un punct dat, numit centru.
Orice segment care leagă un punct dintr-un cerc de centrul său se numește raza cercului. Rază numită și distanța de la orice punct al unui cerc până la centrul acestuia.
Se numește un segment de dreaptă care leagă două puncte dintr-un cerc coardă. Coarda care trece prin centru se numește diametru.
Un cerc este o figură care constă din toate punctele planului situate la o distanță nu mai mare decât una dată de un punct dat. Acest punct se numește centrul cercului, iar această distanță se numește raza cercului.
Limita unui cerc este un cerc cu același centru și rază.
Să ne amintim câteva proprietăți ale cercului și cercului.
Se spune că o linie și un cerc se ating dacă au un singur punct în comun. O astfel de dreaptă se numește tangentă, iar punctul comun al dreptei și al cercului se numește punct de tangență. S-a dovedit că, dacă o linie dreaptă atinge un cerc, atunci aceasta este perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact. Afirmația inversă este de asemenea adevărată (Fig. a).
Un unghi central într-un cerc este un unghi plan cu un vârf în centru. Partea de cerc situată în interiorul unghiului plan se numește arc de cerc corespunzător acestui unghi central (Fig.b).
Un unghi al cărui vârf se află pe un cerc și ale cărui laturi îl intersectează se numește înscris în acest cerc (Fig. c).
Un unghi înscris într-un cerc are următoarea proprietate: este egal cu jumătate din unghiul central corespunzător. În special, unghiurile bazate pe diametru sunt unghiuri drepte.
Un cerc se numește circumscris unui triunghi dacă trece prin toate vârfurile sale.
Pentru a descrie un cerc în jurul unui triunghi, trebuie să-i găsiți centrul. Regula pentru găsirea acesteia este justificată de următoarea teoremă:
Centrul unui cerc circumscris unui triunghi este punctul de intersecție al perpendicularelor pe laturile sale trasate prin punctele mijlocii ale acestor laturi (Fig.a).
Se spune că un cerc este înscris într-un triunghi dacă atinge toate laturile sale.
Regula pentru găsirea centrului unui astfel de cerc este justificată de teorema:
Centrul unui cerc înscris într-un triunghi este punctul de intersecție al bisectoarelor acestuia (Fig.b)
Astfel, bisectoarele și bisectoarele perpendiculare se intersectează într-un punct, respectiv. În geometrie este dovedit că medianele unui triunghi se intersectează într-un punct. Acest punct se numește centrul de greutate al triunghiului, iar punctul de intersecție al altitudinilor se numește ortocentru.
Astfel, în orice triunghi există patru puncte remarcabile: centrul de greutate, centrele cercurilor înscrise și circumscrise și ortocentrul.
Un cerc poate fi circumscris în jurul oricărui poligon regulat, iar un cerc poate fi înscris în orice poligon regulat, iar centrele cercurilor circumscrise și înscrise coincid.
