Noțiuni de bază 1 televizor
Concepte de bază (partea 1) ale cursului Teoria probabilității
Model de experiment aleatoriu.
Evenimente (evenimente aleatoare) și proprietățile acestora.
Probabilitatea și proprietățile sale.
Probabilitate condițională.
Independenta evenimentelor.
Formula probabilității totale.
Formula lui Bayes.
Model de experiment aleatoriu , spațiu de probabilitate.
Modelul unui astfel de experiment este cu convenit asupra triplet de obiecte (Ω , A ,R):
Ω = { ω } - spațiul rezultatelor elementare, ansamblul tuturor rezultatelor elementare posibile ale unui experiment . Diferitele rezultate elementare nu se intersectează; ele nu pot apărea simultan într-un experiment.
A
= {
A, B,...}
- clasa de eveniment, un set complet de evenimente care ne interesează .
Fiecare eveniment este un anumit subset de posibile rezultate elementare ale experimentului.
R -
măsură de probabilitate evenimente
experiment .
Pentru fiecare eveniment A probabilitatea acestuia este determinată
R(A), calculate după o singură regulă .
Proprietăți eveniment :
Completitudine clasa de eveniment A mijloace:
A) cu fiecare eveniment A luăm în considerare și noi plus- un eveniment constând din toate rezultatele elementare posibile ale unui experiment care nu sunt incluse în eveniment A;
B) împreună cu oricare două evenimente A
Și
ÎN le revizuim Uniune 
, Și intersecție 
.
Consecințe:
numit de încredere eveniment, și 
numit imposibil eveniment.
Dacă = , atunci evenimente AȘi ÎN numit incompatibil.
Proprietăți ale probabilităților :
Metode pentru specificarea unei măsuri de probabilitate.
Probabilitate clasică. Dacă
B) Toate rezultatele elementare evenimente ( evenimente elementare), ω A .
C) Probabilitățile tuturor evenimentelor elementare sunt egale ( măsură de probabilitate uniformă), R(ω ) = 1 / n .
Apoi probabilitatea oricărui eveniment A este definită ca proporția dintre numărul de rezultate elementare în A( A) asupra numărului de rezultate elementare în Ω . R(A) = A ⁄ Ω .
Probabilitate geometrică. Dacă pe spaţiul rezultatelor elementare Ω se dă o măsură finită nenegativă s (· ), apoi probabilitatea oricărui eveniment A este definit ca raportul măsurii A,s (A), in masura Ω , s (Ω ). R(A) = s (A) ⁄ s (Ω ).
Densitatea de distribuție. Dacă
B) Este dată o funcție nenegativă R (ω ), (R (ω ) ≥ 0 ), cu suprafata ( s (· )) cifre V Ω , limitat de program R (ω ) și axa numerelor Ω , egal cu 1 (s (V Ω ) = 1).
O functie R (ω ) se numește densitatea distributiei.
B) Probabilitatea oricărui eveniment A⊆ Ω dat pe zonă s (V A) cifră limitată de grafic R (ω ) în părți A axa numerelor și axa numerelor Ω . R(A) = s (V A).
Probabilitate condițională .
R ÎN (A)=R(A ÎN)=[ R(AÎN)⁄ R(ÎN)] . în care 0 ≤ R ÎN (A) ≤ 1, deoarece ( AÎN) ⊆ BȘi R(ÎN)>0 .
Independenta evenimentelor .
Trei evenimente colectiv independent Dacă:
a) fiecare două dintre ele sunt independente și
b) combinând fiecare două evenimente în mod independent cu un al treilea eveniment.
Conceptul de independență se extinde într-un mod similar cu număr mai mare evenimente.
Grup complet de evenimente .
Formula probabilității totale.
R(A)) = ∑ i [P(N i)· R(A N i)].
Probabilitatea unui eveniment poate fi calculată ca o sumă ponderată a probabilităților condiționate ale acestui eveniment, cu condiția ca evenimente din întregul grup de evenimente să aibă loc, unde probabilitățile evenimentelor corespunzătoare din întregul grup sunt luate ca coeficienți de ponderare.
Formula Bayes .
R A (N La) = (R(AN La)) ⁄ (R(A)) = (R(AN La)) ⁄ (∑ i [P(N i)· R(A N i)]).
Modele tipice ale unui experiment aleator.
Un experiment cu două evenimente alternative - rezultate U(succes) și N(eșecul).
R(U) =p, R(N) =q = 1 p.
U(2). Cel mai simplu model de Urnă.
Recuperarea unei mingi dintr-o urnă cu două bile. Modelul este echivalent cu modelul Bernoulli ÎN (½).
U(n) sau R(n). Model de urne clasice.
Recuperarea unei mingi dintr-o urnă n bile renumerotate. Rezultat elementar – eveniment elementar – numărul mingii extrase. Probabilitate clasică cu o distribuție uniformă de probabilitate a evenimentelor elementare.
U(n;
m)
. Model de urnă.
Recuperarea unei mingi dintr-o urnă m alb și ( n –
m) bile negre.
Modelul este echivalent cu modelul Bernoulli ÎN
(m /
n).
Secvență de experimente aleatorii .
U(n *n). Extragerea secvenţială şi întoarcerea a două bile dintr-o urnă cu n bile.
U(2 * 2). Extragerea și întoarcerea secvențială a două bile dintr-o urnă cu două bile. Modelul este echivalent cu modelul Binom ÎN (2; p).
U(n *(n -1)). Extracție consecutivă fără returnarea a două bile dintr-o urnă cu n bile.
Al cărui rezultat nu poate fi prezis cu exactitate. Modelul matematic trebuie să îndeplinească cerințele:
Rezultat observat.
- frecvența relativă a implementărilor experimentului.
O descriere precisă a naturii unui experiment aleatoriu implică definirea rezultatelor elementare, evenimente aleatoare și probabilitatea acestora, variabile aleatoare etc.
Fundația Wikimedia. 2010.
Vedeți ce înseamnă „Experiment aleatoriu” în alte dicționare:
Acest termen are alte semnificații, vezi Experiment (sensuri). Verificați informațiile. Este necesar să se verifice acuratețea faptelor și fiabilitatea informațiilor prezentate în acest articol. Ar trebui să existe o explicație pe pagina de discuții... Wikipedia
Erwin Schrödinger Pisica lui Schrödinger (pisica lui Schrodinger) eroul unui experiment de gândire aparent paradoxal al lui Erwin Schrödinger, cu care a vrut să demonstreze incompletitudinea mecanica cuanticăîn timpul trecerii de la sistemele subatomice la cele macroscopice... Wikipedia
Experiment- (lat. experimentum experiență, dovezi) 1) investigație, acțiune investigativă independentă. Constă în reproducerea situației și a altor circumstanțe ale unui anumit eveniment și efectuarea acțiunilor experimentale necesare în vederea verificării... ... Enciclopedie criminalistică
EXPERIMENT în științe sociale- una dintre metodele de cercetare empirică folosită pentru studierea relațiilor cauzale sau testarea unei ipoteze. Ea stă la baza așa-ziselor cercetări cauzale. Istoria lui E. începe cu lucrările lui J.S. moara. Mill credea că... Sociologie: Enciclopedie
O mulțime dată, finită sau infinită. Orice experiment aleator poate fi interpretat ca o selecție aleatorie a unui individ dintr-un sistem G. infinit. Într-un studiu statistic dintr-un sistem statistic caracterizat printr-o funcție de distribuție a probabilității,... ... Enciclopedie geologică
Un eveniment aleatoriu este un subset al setului de rezultate ale unui experiment aleator; Când un experiment aleatoriu este repetat de mai multe ori, frecvența de apariție a unui eveniment servește ca estimare a probabilității acestuia. Un eveniment întâmplător care nu se materializează niciodată în... ... Wikipedia
Funcția de probabilitate... Wikipedia
Paradoxul lui Einstein Podolsky Rosen (paradoxul EPR) este o încercare de a sublinia caracterul incomplet al mecanicii cuantice folosind un experiment de gândire constând în măsurarea indirectă a parametrilor unui microobiect, fără a afecta acest lucru... ... Wikipedia
GOST 24026-80: Teste de cercetare. Planificarea experimentului. Termeni și definiții- Terminologie GOST 24026 80: Teste de cercetare. Planificarea experimentului. Termeni și definiții document original: 34. Adecvarea modelului matematic Adecvarea modelului Corespondența modelului matematic cu datele experimentale... ...
RDMU 109-77: Ghid. Metodologie de selectare și optimizare a parametrilor controlați ai proceselor tehnologice- Terminologie RDMU 109 77: Instrucțiuni. Metodologie de selectare și optimizare a parametrilor controlați procese tehnologice: 73. Adecvarea modelului Conformitatea modelului cu datele experimentale pentru parametrul de optimizare selectat cu... ... Dicționar-carte de referință de termeni ai documentației normative și tehnice
§1. Ce studiază teoria probabilității și când a apărut? Conceptul de experiment aleatoriu. Spațiul rezultatelor elementare. Tipuri și exemple. Elemente de combinatorie. Conceptul de eveniment.
Referință istorică:
Din punct de vedere istoric, teoria probabilității a apărut ca teorie jocuri de noroc(ruletă, zaruri, cărți etc.). la sfârşitul secolului al XVII-lea. Începutul dezvoltării sale este asociat cu numele lui Pascal, Bernoulli, Moivre, Laplace, iar mai târziu (începutul secolului al XIX-lea) Gauss și Poisson.
Primele studii despre teoria probabilității din Rusia datează de la mijlocul secolului al XIX-lea și sunt asociate cu numele unor matematicieni remarcabili precum N.I. Lobaciovski, M.V. Ostrogradsky, V.Ya. Bunyakovsky (unul dintre primii care a publicat un manual cu aplicații în asigurări și demografie).
Dezvoltarea ulterioară a teoriei probabilităților (sfârșitul secolului al XIX-lea și anilor douăzeci ai secolului XX) este asociată în principal cu numele oamenilor de știință ruși Cebyshev, Lyapunov și Makarov. Începând cu anii 30 ai secolului XX, această ramură a matematicii a cunoscut o perioadă înfloritoare, găsind aplicații în diverse domenii ale științei și tehnologiei. În acest moment, oamenii de știință ruși Bernstein, Khinchin și Kolmogorov au adus o contribuție semnificativă la dezvoltarea teoriei probabilităților. Kolmogorov a fost, la vârsta de 30 de ani în 1933, cel care a propus construcția axiomatică a teoriei probabilităților, stabilindu-i legătura cu alte ramuri ale matematicii (teoria mulțimilor, teoria măsurii, analiza funcțională).
Teoria probabilității este o ramură a matematicii care studiază modele matematice ale experimentelor aleatorii, adică experimente, ale căror rezultate nu pot fi determinate fără ambiguitate de condițiile experimentului. Se presupune că experimentul în sine poate fi repetat (cel puțin în principiu) de orice număr de ori într-un set neschimbat de condiții, iar rezultatele experimentului sunt stabile din punct de vedere statistic.
Conceptul de experiment aleatoriu
Exemple de experimente aleatorii:
1. Aruncă o monedă o dată.
2. Aruncă zarurile o dată.
3. Selectarea aleatorie a unei mingi din urnă.
4. Măsurarea timpului de funcționare al unui bec.
5. Măsurarea numărului de apeluri care sosesc la PBX pe unitatea de timp.
Un experiment este aleatoriu dacă este imposibil de prezis rezultatul nu numai al primului experiment, dar și toate mai departe. De exemplu, se efectuează o reacție chimică, al cărei rezultat este necunoscut. Dacă se efectuează o dată și se obține un anumit rezultat, atunci cu experimente ulterioare în aceleași condiții, aleatorietatea dispare.
Puteți da oricâte exemple de acest fel doriți. Care este comunitatea experimentelor cu rezultate aleatorii? Se pare că, în ciuda faptului că este imposibil să se prezică rezultatele fiecăruia dintre experimentele enumerate mai sus, în practică a fost observat de mult un anumit tip de model pentru ei, și anume: atunci când se efectuează un număr mare de teste. frecvențele observate apariția fiecărui eveniment aleatoriu sunt stabilizate, acestea. diferă din ce în ce mai puțin de un anumit număr numit probabilitatea unui eveniment.
Frecvența observată a evenimentului A () este raportul dintre numărul de apariții ale evenimentului A ( 
) la numărul total de teste (N):
De exemplu, atunci când aruncați o monedă corectă, fracția
la 
(
-numar de vulturi, N– numărul total de aruncări)
Această proprietate a stabilității frecvenței permite, fără a putea prezice rezultatul unui singur experiment, să prezică cu acuratețe proprietățile fenomenelor asociate experienței în cauză. Prin urmare, metodele teoriei probabilităților din viața modernă au pătruns în toate sferele activității umane, nu numai în științele naturii, economie, ci și în științe umaniste, cum ar fi istoria, lingvistica etc. Pe baza acestei abordări determinarea statistică a probabilităţii.
când (frecvența observată a unui eveniment tinde spre probabilitatea sa pe măsură ce numărul de experimente crește, adică cu n 
).
Definiția 1.1: Un rezultat elementar (sau un eveniment elementar) numiți orice rezultat cel mai simplu (adică indivizibil în cadrul unei experiențe date) al unui experiment. Vom numi setul tuturor rezultatelor elementare spaţiul rezultatelor elementare.
Un exemplu de construire a unui spațiu de rezultate elementare:
Să luăm în considerare următorul experiment aleatoriu: aruncarea unui zar o dată, observând numărul de puncte aruncate pe partea de sus. Să construim un spațiu de rezultate elementare pentru acesta:
Conține toate opțiunile, aspectul fiecărei opțiuni exclude aspectul celorlalte, toate opțiunile sunt indivizibile.
Spațiul rezultatelor elementare (tipuri și exemple pentru fiecare tip):
Luați în considerare următoarea diagramă
Spații discrete– acestea sunt spații în care se pot distinge rezultatele individuale . În finit discret puteți indica cu exactitate numărul lor.
Exemple de spații discrete ale rezultatelor elementare
Experiment:aruncarea unei singure monede
, Unde 
Poate fi inclus în producția de e.i. opțiunea ca o monedă să cadă pe margine, dar o excludem din model ca fiind puțin probabilă (fiecare model este o aproximare)
Dacă moneda este corectă, de ex. Deoarece are aceeași densitate peste tot și un centru de greutate nedeplasat, atunci rezultatele „steamă” și „cozi” au șanse egale să apară. Dacă centrul de greutate al monedei este deplasat, atunci, în consecință, rezultatele au șanse diferite de a avea loc.
cometariu: Dacă o problemă nu spune nimic despre o monedă, atunci se presupune că este corectă.
Experiment:o singură aruncare a două monede.
Notă: Dacă monedele sunt aceleași, atunci rezultatele RG și GR nu se pot distinge vizual. Puteți marca una dintre monede cu vopsea și apoi vor fi diferite vizual.
Modelul poate fi construit în diferite moduri:
sau distingem între rezultatele RG, GR și apoi obținem 4 vars
, Unde
În acest caz, dacă ambele monede sunt corecte, toate opțiunile au șanse egale să apară.
sau nu facem distincție între opțiunile RG și GR și atunci ajungem cu 3 opțiuni.
, Unde
În acest caz, dacă ambele monede sunt corecte, opțiunea RG are șanse mai mari să apară decât opțiunile GG și RR, deoarece se implementează în două moduri: o stemă pe prima monedă și o coadă pe a doua și invers.
Experiment: selecție aleatorie dintr-un grup de studenți format din 20 de persoane, 5 persoană să călătorească la o conferință. Rezultatul experimentului: cinci specifice. Atunci când alegem, ne pasă doar de compoziție, adică. nu contează pe cine am ales primul, pe cine am ales al doilea etc. în care
(câte „cinci” de compoziție diferită pot fi obținute de la 20 de persoane) (factorial)
Răspunsul la această întrebare este dat din nou de știința combinatoriei.
(
Toate cele 15504 opțiuni au șanse egale să apară, deoarece alegerea este aleatorie.
Experiment: selecție aleatorie dintr-un grup de studenți format din 20 de persoane, 5 persoane pentru a primi bonusuri în sume diferite. Rezultatul experimentului: un anumit cvintuplet ordonat. La alegere, nu numai compoziția este importantă pentru noi, ci și ordinea selecției, deoarece Mărimea bonusului depinde de modul în care este selectată persoana.
1860480 ( câte „cinci” diferite comandate pot fi obținute de la 20 de persoane).
Răspunsul la această întrebare este dat din nou de știința combinatoriei.
(
Toate 1860480 opțiunile au șanse egale să apară, deoarece alegerea este aleatorie.
Este clar că vor fi mai multe „cinci” ordonate decât neordonate, pentru că cu aceeași compoziție pot exista mai multe opțiuni de comandă: în acest caz, în fiecare compoziție de 5 persoane sunt posibil 120 diverse opțiuni Ordin.
ELEMENTE DE COMBINATORIE
Regula generalizată a înmulțirii:
Să fie necesar să se angajezemacțiuni independente, iar prima acțiune poate fi efectuată 
moduri, a doua - 
moduri etc. ….m-a acțiune 
moduri. Apoi poate fi efectuată întreaga secvență de acțiuni
moduri
Rearanjamente.
Permutarea dinnelemente orice mulţime ordonată a acestor elemente se numeşte.
-numărul de permutări a n elemente
Explicație: Primul element poate fi selectat în n moduri, al doilea în n-1 moduri etc. ultimul element se face într-un singur fel, iar acestea se înmulțesc pe baza regulii înmulțirii generalizate
Plasări.
Cazare de lanDem numit orice set comandat din m elemente alese aleatoriu din populatie care conțin n elemente (m
Numărul de plasări a n elemente prin m (numărul de opțiuni pentru o astfel de alegere ordonată).
Explicație: Primul element poate fi selectat în n moduri, al doilea în n-1 moduri etc. , și se înmulțesc pe baza regulii înmulțirii generalizate.
Combinații.
O combinație denDem numit orice set neordonat din m elemente selectate aleatoriu dintr-o populație care conține n elemente.
Combinațiile și plasările sunt legate după cum urmează:
(pentru fiecare alcătuire de m elemente avem m! mulţimi ordonate). Prin urmare,
numărul de combinații de n elemente ale lui m (numărul de opțiuni pentru o astfel de alegere neordonată
Exemplu de spațiu continuu de rezultate elementare
Experiment: două persoane își fac o programare la un anumit loc între orele 12 și 13 și fiecare dintre ele poate veni în această oră în orice moment aleatoriu. Urmărim momentele sosirii lor. Fiecare opțiune pentru ca 2 persoane să ajungă este un punct dintr-un pătrat cu latura de 60 (deoarece sunt 60 de minute într-o oră).
(primul poate ajunge la ora 12 x minute, al doilea la ora 12 x minute). Toate punctele din pătrat nu pot decât să fie numărate și renumerotate. Aceasta este structura sa continuă și, prin urmare, în acest experiment spațiul continuu al rezultatelor elementare.
Evenimente și operațiuni pe acestea:
Definiție 1.2
Orice un set de rezultate elementare se numește eveniment. CU evenimentele sunt indicate prin mare cu litere latine A, B, C sau litere cu indici A 1, A 2, A 3 etc.
Următoarea terminologie este adesea folosită: se spune că evenimentul A a avut loc (sau a avut loc) dacă oricare dintre rezultatele elementare a apărut ca urmare a experienței. 
.
Exemple de evenimente
Să revenim la experimentul de a arunca un zar. Luați în considerare următoarele evenimente:
A=(rularea unui număr par de puncte)
B=(da un număr impar de puncte)
C=(rularea unui număr de puncte care este multiplu de 3)
Apoi, conform notației introduse mai devreme,
Definiție 1.3
Un eveniment care constă din toate rezultatele elementare, de ex. se numeşte un eveniment care are loc în mod necesar într-o experienţă dată de încredere. Este notat în același mod ca spațiul rezultatelor elementare.
Exemplu de eveniment de încredere: Când aruncați un zar, nu vor apărea mai mult de 6 puncte, sau când aruncați un zar, va apărea cel puțin un punct.
Definiție 1.4
Un eveniment care nu conține un singur rezultat elementar, de ex. un eveniment care nu are loc niciodată într-o anumită experiență se numește imposibil. Este desemnat prin simbol .
Exemplu de eveniment imposibil: Când aruncați două zaruri, numărul total de puncte aruncate va fi de 20.
Operațiuni pe evenimente:
frază, a avut loc cel puțin unul dintre evenimentele A sau B).
Definiția 1.5 Evenimentele A și B sunt numite incompatibil, dacă intersecția lor este un eveniment imposibil, adică AB= .
Un exemplu de sarcină privind operațiunile pe evenimente:
Trei focuri sunt trase în țintă. Luați în considerare evenimentele
(Lovitură cu i-a lovitură), i=1..3
Folosind operații teoretice de mulțimi, exprimați următoarele evenimente în termeni de evenimente A i:
A=(trei hit-uri)= 
B=(trei rateuri)= 
C=(cel puțin o lovitură)= 
D=(cel puțin o ratare)= 
E=(cel puțin două rezultate)= 
+
+
+
F=(nu mai mult de o lovitură)= 
+
+
+
G=(lovind ținta nu mai devreme de a treia lovitură)= 
Idee: în continuare vor fi sarcini de acest tip: probabilităţi de evenimente 
sunt date și se cere, cunoscând aceste probabilități, să se găsească probabilitățile evenimentelor A, B, C, D, E, F, G.
§2. CONCEPTUL DE PROBABILITATE
Pentru a compara cantitativ șansele de apariție a evenimentelor, este introdus conceptul de probabilitate.
Definiție 2.1 Lasă fiecare eveniment A livrat în concordanță număr P(A). Se numește funcția numerică P probabilitate sau măsură de probabilitate, dacă îndeplinește următoarele axiome:
Axioma non-negativității 
Axioma normalizării 
Axioma adunării (extinsă) unele sunt studiate Aleatoriu eveniment ...
A fost adăugat unul nou tip erori - nu sunt suficiente elemente. Ca urmare a experimente aflat Ce copiii care suferă de... specific exemple. Studiu natura influenţei asupra atenţiei voluntare a copiilor din învăţământul special elementar ...
Programul educaţional de învăţământ general de bază al instituţiei de învăţământ bugetar municipal
Program educaționalRezultate ( rezultate) protozoare Aleatoriu experimente; găsi probabilități protozoare Aleatoriu evenimente; ... Elemente logica, statistica,
Spațiul probabilității este un model matematic al unui experiment aleator (experiență) în axiomatica lui A. N. Kolmogorov. Spațiul de probabilitate conține toate informațiile despre proprietățile unui experiment aleatoriu necesare analizei sale matematice folosind mijloacele teoriei probabilităților. Orice problemă din teoria probabilității este rezolvată în cadrul unui anumit spațiu de probabilitate, complet specificat inițial. Problemele în care spațiul de probabilitate nu este complet specificat, iar informațiile lipsă trebuie obținute din rezultate observaționale, aparțin domeniului statisticii matematice.
Definiție
Spațiul de probabilitate este un triplu, unde:
Rețineți că ultima proprietate a aditivității sigma a unei măsuri este echivalentă (sub rezerva tuturor celorlalte proprietăți, inclusiv aditivității finite) cu oricare dintre următoarele proprietăți continuitatea măsurii:
Exemple de spații de probabilitate cele mai frecvent utilizate
Spații de probabilitate discrete
Dacă setul de rezultate elementare este finit sau numărabil: , atunci spațiul de probabilitate corespunzător se numește discret. În cazul spațiilor de probabilitate discrete, evenimentele sunt de obicei considerate a fi toate submulțimile posibile. În acest caz, pentru a seta probabilitatea, este necesar și suficient să se atribuie un număr fiecărui rezultat elementar, astfel încât suma lor să fie egală cu 1. Atunci probabilitatea oricărui eveniment este specificată după cum urmează:
Un caz special important al unui astfel de spațiu este mod clasic de precizare a probabilităţilor, când numărul de rezultate elementare este finit și toate au aceeași probabilitate. Atunci probabilitatea oricărui eveniment este definită ca raportul dintre puterea acestuia (adică numărul de rezultate elementare, favorabil eveniment dat) la numărul total de rezultate elementare:
.Cu toate acestea, trebuie reținut întotdeauna că pentru a putea utiliza aceasta metoda, este necesar să ne asigurăm că rezultatele elementare sunt într-adevăr la fel de probabile. Acest lucru ar trebui fie declarat ca condiția inițială, sau acest fapt ar trebui să fie strict dedus din condițiile inițiale existente.
Spații de probabilitate pe linie
Spațiile de probabilitate pe linia () apar în mod natural în studiul variabilelor aleatoare. În acest caz, în cazul general, nu mai este posibil să se considere orice submulțime a dreptei ca evenimente, deoarece pe o clasă atât de largă este de obicei imposibil să se specifice o măsură de probabilitate care să satisfacă axiomele necesare. O algebră sigma universală a evenimentelor suficiente pentru a funcționa este algebra sigma a mulțimilor Borel: cea mai mică algebră sigma care conține toate mulțimile deschise. Definiția echivalentă este cea mai mică algebră sigma care conține toate intervalele. O modalitate universală de a specifica o măsură de probabilitate pe o algebră sigma dată este prin funcția de distribuție a unei variabile aleatoare.
Spații de probabilitate în spațiu finit-dimensional
Spațiile de probabilitate cu multe rezultate elementare apar în mod natural din studiul vectorilor aleatori. Algebra sigma universală a evenimentelor este și algebra sigma Borel generată de toți seturi deschise. În principiu, acest caz nu este mult diferit de cazul unei linii drepte.
1. Teoria probabilității studiază experimente cu rezultate aleatorii.
Un experiment este implementarea unei acțiuni intenționate și rezultatul unei astfel de acțiuni.
Rezultatul este rezultatul experimentului.
Un experiment este aleatoriu dacă rezultatul său nu poate fi prezis înainte de a fi efectuat.
Limitare principală: Vom lua în considerare doar acele experimente care pot fi repetate în condiții neschimbate de un număr nelimitat de ori.
Fiecare situație care poate fi observată în funcție de rezultatul experimentului va fi numită eveniment.
Exemplul 1.1. Să aruncăm un zar. Rezultatul este un anumit număr de puncte. Eveniment
Numărul de puncte, să zicem, este mai mare decât 3.
Probabilitatea este gradul de certitudine că un eveniment va avea loc.
Scopul teoriei probabilităților este de a calcula probabilitățile evenimentelor, combinațiile acestora, precum și de a studia proprietățile probabilităților.
2. Teoria probabilității presupune, în primul rând, construirea unui model matematic al unui experiment aleatoriu, care servește ca descriere a posibilelor rezultate, evenimente și probabilitățile de apariție a acestor evenimente. Această descriere trebuie făcută în așa fel încât să permită calcularea probabilităților unei combinații de evenimente.
3. Să construim un model de experiment aleatoriu.
Numim setul de rezultate ale unui experiment aleatoriu spațiul rezultatelor și notăm spațiul rezultatelor poate fi discret sau continuu.
Exemplul 1.2. Spațiu discret: experiment - aruncarea unui zar, rezultat - număr de puncte, S = (1,2,3,4,5,6). Spațiu continuu: experiment - așteptarea unui autobuz, cu condiția să nu așteptați mai mult de minute, rezultatul este un anumit timp de așteptare,
Eveniment - orice subset al spațiului de rezultate. Evenimentul va fi notat cu E.
Evenimentul a avut loc dacă, în urma experimentului, rezultatul X îi aparține
Eveniment elementar: conține un singur rezultat.
Eveniment de încredere: coincide cu spațiul de rezultat
Eveniment imposibil: coincide cu setul gol.
Evenimentul opus este că evenimentul E nu a avut loc.
Evenimente incompatibile: nu au rezultate comune.
Suma (sau uniunea) evenimentelor (sau): este evenimentul în care cel puțin unul dintre cele două evenimente A și B are loc ca rezultat al unui experiment aleatoriu.
Producerea evenimentelor (sau): este evenimentul în care evenimentele A și B au loc simultan.
Ne vom limita la cea mai mică clasă de evenimente, care are următoarele proprietăți:
Setul gol 0 aparține acestei clase;
Dacă un eveniment E aparține unei clase, atunci și evenimentul opus aparține clasei;
Dacă fiecare umeng dintr-o succesiune numărabilă de evenimente aparține unei clase, atunci și suma (uniunea) evenimentelor aparține clasei.
Din ultima proprietate rezultă că produsul a două evenimente (sau un număr numărabil de evenimente) aparține clasei dacă fiecare eveniment aparține clasei.
Clasa de evenimente cu proprietățile specificate este suficientă pentru a descrie orice fenomen fizic care apare ca urmare a unui experiment. Numim această clasă de evenimente un câmp de evenimente
Un câmp este un set de evenimente pentru care sunt definite operații de adunare și înmulțire.
Așadar, am introdus unde - spațiul rezultatelor, domeniul evenimentelor.
Să definim probabilitatea unui eveniment P ca un număr care satisface următoarele proprietăți:
Numar real;
Pentru oricine
(probabilitatea unui anumit eveniment);
Pentru orice succesiune numărabilă de evenimente reciproc incompatibile pe
E de ajuns definiție generală probabilitatea permite, atunci când se iau în considerare anumite fenomene fizice, precizarea conceptului de probabilitate în funcție de specificul problemei. Deci, probabilitatea este o funcție definită și care ia valori pe .
4. Unele proprietăți ale probabilității care decurg din definiția probabilității.
Proprietate
Dovada.
Dar sunt incompatibile. Prin urmare, de aici,
Proprietate
Dovada.
Incompatibil și Prin urmare, Prin urmare
5. Modalități constructive de stabilire a probabilităților.
Cea mai dificilă sarcină modelare matematică fenomene reale constă în stabilirea corectă a probabilităților în funcție de specificul fenomenului.O astfel de sarcină trebuie să fie constructivă, pe de o parte, să corespundă definiției probabilității și, pe de altă parte, să permită rezolvarea unei anumite probleme.
5.1. Să efectuăm experimentul de mai multe ori și să numărăm de câte ori a avut loc evenimentul E. Dacă este numărul total de experimente, este numărul de experimente în care a avut loc evenimentul E, atunci îl vom numi frecvența relativă de apariție a evenimentului E.
Să luăm limita ca probabilitate
5.2. Dacă este spațiul rezultatelor incompatibile la fel de posibile și este numărul de rezultate corespunzător (favorabil) evenimentului E, atunci
unde este numărul total de rezultate.
5.3. În cazul în care este o regiune continuă, este o regiune favorabilă apariției evenimentului A ca urmare a unui experiment aleatoriu, este convenabil să o luăm ca probabilitate
unde - măsura suprafeței - măsura suprafeței
5.4. Fie A și B două evenimente arbitrare. Să numim probabilitatea condiționată raport
dat fiind
Evenimentele sunt independente dacă
Exemplul 1.3. Există 94 de șuruburi bune și 6 șuruburi rele în cutie. 5 șuruburi sunt selectate aleatoriu din casetă. Care este probabilitatea P ca toate șuruburile selectate să fie bune? .
Exemplul 1.4. Trei oameni aruncă pe rând o monedă până când iese primul cap. Cel care primește capete câștigă. Care sunt șansele relative ca fiecare jucător să câștige?
Să numim „serie” o singură aruncare a unei monede de către trei jucători, începând cu primul. Fie probabilitatea de a nu obține capete în seria k. Atunci probabilitățile de câștig pentru fiecare dintre cei trei jucători din seria următoare sunt egale (k este un număr arbitrar):
probabilitatea ca primul jucător să câștige
probabilitatea ca cel de-al doilea jucător să câștige
probabilitatea ca al treilea jucător să câștige
Prin urmare, șansele jucătorilor vor fi următoarele:
Exemplul 1.5. Există un număr de studenți în sală. Dintre aceștia, cei care fumează sunt oameni, cei cu ochelari sunt oameni, iar cei care fumează și poartă ochelari sunt oameni. Scoatem la întâmplare un student din sală. Fumează și poartă ochelari?
Să presupunem că am văzut că studentul de la distanță purta ochelari. Care este probabilitatea ca el să fumeze?
Exemplul 1.6. Cei doi au decis să se întâlnească la un loc stabilit între orele trei și patru după-amiaza, iar cel care a venit și-a așteptat partenerul cel mult 20 de minute. Care este probabilitatea de a se întâlni?
