Funcții variabile complexe.
Diferențierea funcțiilor unei variabile complexe.

Acest articol deschide o serie de lecții în care voi lua în considerare sarcini tipice legate de teoria funcțiilor unei variabile complexe. Pentru a stăpâni cu succes exemplele, trebuie să ai cunostinte de baza despre numerele complexe. Pentru a consolida și repeta materialul, trebuie doar să vizitați pagina. Veți avea nevoie și de abilități de găsit derivate parțiale de ordinul doi... Iată-le, aceste derivate parțiale... chiar și acum am fost puțin surprins cât de des apar...

Tema pe care începem să o analizăm nu este deosebit de dificilă, iar în funcțiile unei variabile complexe, în principiu, totul este clar și accesibil. Principalul lucru este să adere la regula de bază, pe care am derivat-o empiric. Citiți mai departe!

Concept de funcție variabilă complexă

În primul rând, să ne reîmprospătăm cunoștințele despre funcția școlară o variabila:

Funcție cu o singură variabilă Este o regulă conform căreia fiecărei valori a variabilei independente (din domeniul definiției) îi corespunde una și o singură valoare a funcției. Desigur, X și Y sunt numere reale.

În cazul complex, dependența funcțională este stabilită în același mod:

Funcția cu o singură valoare a unei variabile complexe- aceasta este regula conform căreia toată lumea un integrat valoarea variabilei independente (din domeniu) corespunde uneia si numai una complex valoarea functiei. În teorie, sunt luate în considerare și funcții multivalorice și alte tipuri de funcții, dar pentru simplitate mă voi concentra pe o singură definiție.

Care este diferența dintre o funcție variabilă complexă?

Principala diferență: numerele sunt complexe. Nu sunt ironic. Dintre astfel de întrebări cad adesea într-o stupoare, la finalul articolului vă spun o poveste mișto. La lectie Numere complexe pentru manechini am considerat un număr complex în formă. De acum litera „z” a devenit variabil, atunci îl vom nota astfel:, în timp ce „x” și „joc” pot lua diferite valabil valorile. În linii mari, funcția unei variabile complexe depinde de variabilele și, care iau valori „obișnuite”. Următorul punct decurge logic din acest fapt:

Funcția unei variabile complexe poate fi scrisă astfel:
, unde și sunt două funcții ale lui doi valabil variabile.

Funcția este numită parte reală funcții.
Funcția este numită parte imaginară funcții.

Adică funcția unei variabile complexe depinde de două funcții reale și. Pentru a clarifica totul, luați în considerare exemple practice:

Exemplul 1

Soluţie: Variabila independentă „z”, după cum vă amintiți, este scrisă astfel:

(1) Funcția inițială a fost înlocuită.

(2) Pentru primul termen a fost utilizată formula de înmulțire prescurtată. În termen - au fost deschise paranteze.

(3) Pătrat cu grijă, fără a uita că

(4) Rearanjarea termenilor: mai întâi, rescrieți termenii în care nu există o unitate imaginară(primul grup), apoi termenii, unde se află (al doilea grup). Trebuie remarcat faptul că nu este necesar să amestecați termenii, iar această etapă poate fi omisă (de fapt, după ce a efectuat-o oral).

(5) Pentru al doilea grup, îl scoatem din paranteză.

Ca urmare, funcția noastră s-a dovedit a fi reprezentată în formă

Răspuns:
- partea reală a funcției.
- partea imaginară a funcției.

Care sunt aceste funcții? Cele mai obișnuite funcții a două variabile, din care se pot găsi atât de populare derivate parțiale... Fără milă - vom găsi. Dar puțin mai târziu.

Pe scurt, algoritmul problemei rezolvate poate fi scris astfel: înlocuiți în funcția originală, simplificați și împărțiți toți termenii în două grupuri - fără o unitate imaginară (partea reală) și cu o unitate imaginară (partea imaginară).

Exemplul 2

Găsiți o parte reală și imaginară a unei funcții

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă... Înainte de a vă arunca piesele frontal în luptă pe un avion complex, permiteți-mi să vă ofer cel mai mult sfat important pe această temă:

ATENȚIE! Trebuie să fii atent peste tot, desigur, dar în numere complexe ar trebui să fii atent ca niciodată! Amintiți-vă, deschideți cu grijă parantezele, nu pierdeți nimic. Conform observațiilor mele, cea mai frecventă greșeală este pierderea unui semn. Nu te grabi!

Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției.

Acum cubul. Folosind formula pentru înmulțirea redusă, obținem:
.

Formulele sunt foarte convenabile de utilizat în practică, deoarece accelerează semnificativ procesul de soluție.

Diferențierea funcțiilor unei variabile complexe.

Am două vești: bune și rele. Voi începe cu unul bun. Pentru o funcție a unei variabile complexe sunt valabile regulile de diferențiere și tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Astfel, derivata este luată în același mod ca și în cazul unei funcții variabile reale.

Vestea proastă este că pentru multe funcții ale unei variabile complexe, derivata nu există deloc și trebuie să vă dați seama diferentiabil cutare sau cutare funcție. Și „a afla” cum se simte inima ta este asociată cu probleme suplimentare.

Luați în considerare o funcție variabilă complexă. Pentru ca această funcție să fie diferențiabilă, este necesar și suficient:

1) Pentru ca derivate parțiale de ordinul întâi să existe. Uitați imediat de aceste denumiri, deoarece în teoria funcției unei variabile complexe, se folosește în mod tradițional o notație diferită: .

2) Pentru a efectua așa-numitul Condiții Cauchy-Riemann:

Numai în acest caz derivata va exista!

Exemplul 3

Soluţie se descompune în trei etape consecutive:

1) Găsiți părțile reale și imaginare ale funcției. Această sarcină a fost analizată în exemplele anterioare, așa că o voi scrie fără comentarii:

De atunci:

Prin urmare:

- partea imaginară a funcției.

Mă voi opri asupra încă una moment tehnic: în ce ordine să scrieți termenii în părțile reale și imaginare? Da, în principiu, nicio diferență. De exemplu, partea reală poate fi scrisă astfel: , și imaginar - așa:.

2) Să verificăm îndeplinirea condiţiilor Cauchy-Riemann. Sunt doi dintre ei.

Să începem prin a verifica starea. Găsim derivate parțiale:

Astfel, condiția este îndeplinită.

Fără îndoială, vestea bună este că derivatele parțiale sunt aproape întotdeauna foarte simple.

Verificăm îndeplinirea celei de-a doua condiții:

A ieșit același lucru, dar cu semne opuse, adică și condiția este îndeplinită.

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite; prin urmare, funcția este diferențiabilă.

3) Aflați derivata funcției. Derivatul este, de asemenea, foarte simplu și se găsește conform regulilor obișnuite:

Unitatea imaginară este considerată constantă la diferențiere.

Răspuns: - parte reală, Este partea imaginară.
Condiţiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite,.

Mai există două moduri de a găsi derivatul, ele sunt, desigur, folosite mai rar, dar informațiile vor fi utile pentru înțelegerea celei de-a doua lecție - Cum aflu funcția unei variabile complexe?

Derivata poate fi găsită prin formula:

V în acest caz:

Prin urmare

Trebuie să rezolvăm problema inversă - în expresia rezultată, trebuie să izolați. Pentru a face acest lucru, este necesar în termenii și scos din paranteză:

Acțiunea inversă, după cum mulți au observat, este ceva mai dificil de efectuat, pentru verificare este întotdeauna mai bine să luați o expresie și pe o ciornă sau să deschideți oral înapoi parantezele, asigurându-vă că va ieși exact.

Formula oglindă pentru găsirea derivatei:

În acest caz: , prin urmare:

Exemplul 4

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții ... Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Dacă sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann, găsiți derivata funcției.

Soluție pe scurtși un exemplu brut de finisare la sfârșitul tutorialului.

Sunt întotdeauna îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann? În teorie, de cele mai multe ori nu sunt executate decât sunt. Dar în exemple practice Nu-mi amintesc un caz în care să nu fi fost executat =) Astfel, dacă derivatele dvs. parțiale „nu au fost de acord”, atunci cu o probabilitate foarte mare putem spune că ați greșit undeva.

Să ne complicăm funcțiile:

Exemplul 5

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții ... Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. calculati

Soluţie: Algoritmul de soluție este complet păstrat, dar la final se va adăuga un nou mod: găsirea derivatei la punct. Pentru un cub formula dorită deja afișat:

Să definim părțile reale și imaginare ale acestei funcții:

Atenție și atenție din nou!

De atunci:

Prin urmare:
- partea reală a funcției;
- partea imaginară a funcției.

Verificarea celei de-a doua condiții:

A ieșit același lucru, dar cu semne opuse, adică și condiția este îndeplinită.

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite; prin urmare, funcția este diferențiabilă:

Să calculăm valoarea derivatei în punctul necesar:

Răspuns:,, sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann,

Funcțiile cu cuburi sunt comune, deci un exemplu de precizat:

Exemplul 6

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții ... Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Calculati.

Soluție și eșantion de finisare la sfârșitul lecției.

Teoretic analiză integrată sunt definite și alte funcții ale unui argument complex: exponent, sinus, cosinus etc. Aceste funcții au proprietăți neobișnuite și chiar bizare - și acest lucru este cu adevărat interesant! Aș vrea să vă spun foarte multe, dar aici, așa s-a întâmplat, nu o carte de referință sau un tutorial, ci un rezolvator, așa că voi lua în considerare aceeași problemă cu unele funcții comune.

În primul rând, despre așa-numitul formulele lui Euler:

Pentru oricine real numerotati urmatoarele formule sunt valabile:

De asemenea, îl puteți rescrie într-un caiet ca material de referință.

Strict vorbind, există o singură formulă, dar de obicei, pentru comoditate, ei scriu și un caz special cu un minus în indicator. Parametrul nu trebuie să fie o literă singuratică, poate fi o expresie complexă, o funcție, este important doar ca aceștia să accepte numai valabil valorile. De fapt, o vom vedea chiar acum:

Exemplul 7

Găsiți derivata.

Soluţie: Linia generală a partidului rămâne de neclintit - este necesar să se evidențieze părțile reale și imaginare ale funcției. voi da soluție detaliată, iar mai jos voi comenta fiecare pas:

De atunci:

(1) Înlocuiește „z”.

(2) După înlocuire, trebuie să selectați părțile reale și imaginare primul în indicator expozanti. Pentru a face acest lucru, deschideți parantezele.

(3) Grupăm partea imaginară a indicatorului, scoțând unitatea imaginară din paranteze.

(4) Folosim acțiunea școlară cu grade.

(5) Pentru factor, folosim formula Euler, în timp ce.

(6) Extindeți parantezele, rezultând:

- partea reală a funcției;
- partea imaginară a funcției.

Alte acțiuni sunt standard, verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann:

Exemplul 9

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții ... Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Nu vom găsi derivatul, așa să fie.

Soluţie: Algoritmul de soluție este foarte asemănător cu cele două exemple anterioare, dar există un foarte Puncte importante, prin urmare Primul stagiu Voi comenta din nou pas cu pas:

De atunci:

1) Înlocuiește „z”.

(2) În primul rând, selectați părțile reale și imaginare interiorul sinusului... În acest scop, deschidem parantezele.

(3) Folosim formula, în timp ce .

(4) Folosim paritatea cosinusului hiperbolic: și sinus hiperbolic impar:. Hiperbolicele, deși nu sunt din această lume, seamănă în multe privințe cu funcții trigonometrice similare.

În cele din urmă:
- partea reală a funcției;
- partea imaginară a funcției.

Atenţie! Semnul minus se referă la partea imaginară și nu o pierdem în niciun fel! Pentru o ilustrare clară, rezultatul obținut mai sus poate fi rescris după cum urmează:

Să verificăm îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann:

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite.

Răspuns:,, sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann.

Cu cosinus, doamnelor și domnilor, ne dăm seama singuri:

Exemplul 10

Determinați părțile reale și imaginare ale funcției. Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann.

Am luat intenționat exemple mai complicate, pentru că totul pare să facă față cu ceva, cum ar fi arahide decojite. În același timp, îți vei antrena atenția! Spărgătorul de nuci la sfârșitul lecției.

Ei bine, în concluzie, voi lua în considerare încă unul exemplu interesant când argumentul complex este la numitor. M-am întâlnit de câteva ori în practică, hai să rezolvăm ceva simplu. Eh, îmbătrânesc...

Exemplul 11

Determinați părțile reale și imaginare ale funcției. Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann.

Soluţie: Din nou, este necesar să se separe părțile reale și imaginare ale funcției.
Daca atunci

Apare întrebarea, ce să faci când „z” este la numitor?

Totul este ingenu - standardul va ajuta truc de înmulțire a numărătorului și numitorului cu expresia conjugată, a fost deja folosit în exemplele lecției Numere complexe pentru manechini... Ne amintim formula școlii. O avem deja la numitor, ceea ce înseamnă că va fi o expresie conjugată. Astfel, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu:

Agenția Federală pentru Educație

___________________________________

Statul Sankt Petersburg

Universitatea Electrotehnică „LETI”

_______________________________________

Teoria funcțiilor unei variabile complexe

Instrucțiuni metodice

la pregătirea practică

la matematica superioară

St.Petersburg

Editura SPbGETU „LETI”

UDC 512,64 (07)

TFKP: Instrucțiuni metodologice pentru rezolvarea problemelor / comp .: V.G.Dyumin, A.M. Kotochigov, N.N. Sosnovsky.Sankt Petersburg: Editura UTU „LETI”, 2010. 32 p.

Aprobat de

consiliul editorial și editorial al universității

la fel de instrucțiuni

Funcțiile unei variabile complexe, în cazul general, diferă de mapările planului real
în sine doar sub formă de înregistrare. Un obiect important și extrem de util este clasa unei funcții a unei variabile complexe,

având o derivată la fel ca o funcție a unei variabile. Se știe că funcțiile mai multor variabile pot avea derivate parțiale și direcționale, dar, de regulă, derivatele în direcții diferite nu coincid și nu se poate vorbi despre o derivată la un punct. Totuși, pentru funcțiile unei variabile complexe, este posibil să se descrie condițiile în care acestea admit diferențierea. Studiul proprietăților funcțiilor diferențiabile ale unei variabile complexe este conținutul ghidurilor. Instrucțiunile au scopul de a demonstra modul în care proprietățile unor astfel de funcții pot fi utilizate pentru a rezolva o varietate de probleme. Stăpânirea cu succes a materialului prezentat este imposibilă fără abilități elementare de calcul cu numere complexe și familiarizare cu cele mai simple obiecte geometrice definite în termeni de inegalități care leagă părțile reale și imaginare. număr complex, precum și modulul și argumentul acestuia. Un rezumat al tuturor informațiilor necesare pentru aceasta poate fi găsit în ghid.

Aparatul standard de analiză matematică: limite, derivate, integrale, serie este utilizat pe scară largă în textul ghidurilor. Acolo unde aceste concepte au propria lor specificitate, în comparație cu funcțiile unei variabile, se dau explicații corespunzătoare, dar în majoritatea cazurilor este suficient să se separe părțile reale și cele imaginare și să le aplici aparatul standard de analiză reală.

1. Funcții elementare ale unei variabile complexe

Este firesc să începem discuția despre condițiile de diferențiabilitate pentru funcțiile unei variabile complexe prin clarificarea care funcții elementare posedă această proprietate. Din relația evidentă

Urmează diferențiabilitatea oricărui polinom. Și de când, serie de puteri poate fi diferențiat termen cu termen în cadrul cercului de convergență,

atunci orice funcție este diferențiabilă în puncte în vecinătatea cărora poate fi extinsă într-o serie Taylor. Aceasta este o condiție suficientă, dar, așa cum va deveni clar în curând, este și necesară. Este convenabil să se sprijine studiul funcțiilor unei variabile în raport cu derivata prin controlul comportamentului graficului funcției. Nu există o astfel de posibilitate pentru funcțiile unei variabile complexe. Punctele graficului se află într-un spațiu de dimensiunea 4,.

Cu toate acestea, o oarecare reprezentare grafică a funcției poate fi obținută luând în considerare imaginile unor mulțimi destul de simple ale planului complex.
apărute sub influenţa unei funcţii date. De exemplu, luați în considerare câteva funcții simple din acest punct de vedere.

Funcție liniară

Această funcție simplă este foarte importantă, deoarece orice funcție diferențiabilă este similară local cu una liniară. Să luăm în considerare acțiunea funcției cât mai detaliat posibil.

Aici
- modul de numere complexe și este argumentul lui. Astfel, funcția liniară realizează întindere, rotație și forfecare. În consecință, o mapare liniară duce orice mulțime la o mulțime similară. În special, sub influența unei mapări liniare, liniile drepte sunt transformate în linii drepte, iar cercurile în cercuri.

Funcţie

Această funcție este următoarea în complexitate după liniară. Este greu de așteptat că va transforma orice linie dreaptă într-o linie dreaptă și un cerc într-un cerc; exemplele simple arată că acest lucru nu se întâmplă, totuși, se poate demonstra că această funcție transformă mulțimea tuturor liniilor și cercurilor. în sine. Pentru a verifica acest lucru, este convenabil să treceți la descrierea reală (coordonată) a mapării

Pentru demonstrație, avem nevoie de o descriere a mapării inverse

Luați în considerare ecuația dacă
atunci se va dovedi ecuație generală Drept. Dacă
, atunci

Prin urmare, pentru
se obţine ecuaţia unui cerc arbitrar.

Rețineți că dacă
și
, apoi cercul trece prin origine. Dacă
și
, apoi obțineți o linie dreaptă care trece prin origine.

Sub acțiunea inversării, ecuația considerată va fi rescrisă ca

, (
)

sau . Se poate observa că aceasta este, de asemenea, o ecuație care descrie fie cercuri, fie linii drepte. Faptul că în ecuaţie coeficienţii și
schimbat, înseamnă că în cazul inversării, liniile care trec prin 0 vor merge în cercuri, iar cercurile care trec prin 0 vor trece în linii drepte.

Funcții de putere

Principala diferență dintre aceste funcții și cele considerate mai devreme este că nu sunt unu-la-unu (
). Putem spune că funcția
traduce un plan complex în două instanțe ale aceluiași plan. O analiză atentă a acestui subiect necesită utilizarea aparatului greoi al suprafețelor Riemann și depășește domeniul de aplicare al problemelor luate în considerare aici. Este important să înțelegem că planul complex poate fi împărțit în sectoare, fiecare dintre acestea fiind mapat unul la unul pe planul complex. Aceasta este împărțirea pentru funcție
arată astfel, De exemplu, semiplanul superior este mapat unu-la-unu pe planul complex de către funcția
... Distorsiunile geometriei pentru astfel de imagini sunt mai greu de descris decât în cazul inversării. Ca exercițiu, puteți urmări grila de coordonate dreptunghiulare ale semiplanului superior atunci când afișați

Se poate observa că grila de coordonate dreptunghiulare se transformă într-o familie de parabole care formează un sistem de coordonate curbilinii în plan
... Împărțirea planului descris mai sus este astfel încât funcția
afișează fiecare dintre sectoare pe întregul plan. Descrierea mapării înainte și înapoi arată astfel

Deci funcția
Are diverse funcții inverse,

dat în diferite sectoare ale avionului

În astfel de cazuri, se spune că maparea este multivalentă.

Funcția Jukovsky

Funcția are propriul nume, deoarece a stat la baza teoriei aripii. aeronave creat de Jukovski (o descriere a acestei construcții poate fi găsită în carte). Funcția are o serie de proprietăți interesante, să ne oprim asupra uneia dintre ele - aflați pe ce seturi acţionează această funcție într-un mod unu-la-unu. Luați în considerare egalitatea

, Unde
.

În consecință, funcția Jukovski este unu-la-unu în orice regiune în care pentru oricare și produsul lor nu este egal cu unul. Acestea sunt, de exemplu, cercul unității deschise
și complementul cercului unitar închis
.

Luați în considerare acțiunea funcției Jukovski asupra unui cerc, atunci

Separând părțile reale și imaginare, obținem ecuația parametrică a elipsei

,
.

Dacă
, atunci aceste elipse umplu întregul plan. În mod similar, se verifică că imaginile segmentelor sunt hiperbolele

Functie exponentiala

Funcția admite o expansiune într-o serie de puteri care este absolut convergentă în întregul plan complex, prin urmare, este diferențiabilă peste tot. Să descriem seturile pe care funcția este unu-la-unu. Egalitatea evidentă
arată că planul poate fi împărțit într-o familie de benzi, fiecare dintre care funcția mapează la unu-la-unu pe întregul plan complex. Această partiție este esențială pentru a înțelege cum este structurată funcția inversă, mai precis, funcțiile inverse. Pe fiecare dintre benzi, maparea inversă este definită în mod natural

În acest caz, funcția inversă este, de asemenea, multivalentă, iar numărul de funcții inverse este infinit.

Descrierea geometrică a mapării este destul de simplă: linii drepte
du-te la grinzi
, segmente

mergi in cercuri
.

Unde
sunt numere reale și - un personaj special numit unitate imaginară ... Pentru unitatea imaginară, prin definiție, se presupune că
.

(4.1) – forma algebrică număr complex și
numit parte reală număr complex și
-parte imaginară .

Număr
numit conjugare complexa la număr
.

Date două numere complexe
,
.

1. Suma
numere complexe și numit număr complex

2. Diferență
numere complexe și numit număr complex

3. După produs
numere complexe și numit număr complex

4. Privat din împărțirea unui număr complex pe un număr complex
numit număr complex

Observație 4.1. Adică, operațiile pe numere complexe sunt introduse după regulile uzuale ale operațiilor aritmetice pe expresii literale din algebră.

Exemplul 4.1. Sunt date numere complexe. Găsi

Soluţie. 1) .

4) Înmulțind numărătorul și numitorul cu complexul numeric conjugat la numitor, obținem

Forma trigonometrică număr complex:

Unde
- modulul unui număr complex,
este un argument de număr complex. Injecţie este definită ambiguu, până la termen
:

,
.

- valoarea principală a argumentului, determinată de condiție

, (sau
).

Forma ilustrativă număr complex:

Rădăcină
puterea a numărului Are valori diferite care se găsesc prin formulă

Unde
.

Puncte corespunzătoare valorilor
, sunt vârfurile corectului
un pătrat înscris într-un cerc de rază
centrat la origine.

Exemplul 4.2. Găsiți toate valorile rădăcină
.

Soluţie. Să reprezentăm un număr complex
sub forma trigonometrica:

, Unde
.

Atunci
... Prin urmare, prin formula (4.2)
are patru sensuri:

,
.

Presupunând
, găsim

,
,

, .

Aici am convertit valorile argumentului în valoarea sa principală.

Se instalează pe planul complex

Număr complex
înfățișat într-un avion
punct
cu coordonate
... Modul
si argumentul
corespund coordonatele polare ale punctului
.

Este util să ne amintim că inegalitatea
definește un cerc centrat într-un punct rază ... Inegalitate
specifică un semiplan situat la dreapta unei drepte
, și inegalitatea
- semiplan situat deasupra dreptei
... Mai mult, sistemul de inegalități
stabilește unghiul dintre raze
și
provenind de la origine.

Exemplul 4.3. Desenați aria definită de inegalități:
.

Soluţie. Prima inegalitate corespunde unui inel centrat în punct
iar două raze 1 și 2, cercurile nu sunt incluse în regiune (Fig. 4.1).

A doua inegalitate corespunde unghiului dintre raze
(bisectoarea unghiului de coordonate 4) și
(direcția axei pozitive
). Razele în sine nu intră în regiune (Fig. 4.2).

Zona dorită este intersecția celor două zone obținute (Fig.4.3)

4.2. Funcții variabile complexe

Fie funcția cu o singură valoare
definite şi continue în zonă
, A - curbă netedă în bucăți, închisă sau deschisă, orientată în interior
... Să, ca de obicei,
,, Unde
,
- funcţiile reale ale variabilelor și .

Calcularea integralei unei funcții
variabilă complexă se reduce la calcularea integralelor curbilinii uzuale și anume

Dacă funcţia
analitic într-un domeniu simplu conectat
conţinând puncte și , atunci are loc formula Newton-Leibniz:

Unde
- orice antiderivat pentru o funcție
, acesta este
în zona
.

În integralele funcțiilor unei variabile complexe, puteți modifica variabila, iar integrarea pe părți este similară cu modul în care se face atunci când se calculează integralele funcțiilor unei variabile reale.

De asemenea, rețineți că, dacă calea de integrare face parte din linia dreaptă care iese din punct , sau o parte a unui cerc centrată într-un punct , atunci este utilă schimbarea unei variabile a formei
... În primul caz
, A - variabila reala de integrare; în al doilea caz
, A este variabila reală a integrării.

Exemplul 4.4. calculati
parabolă
din punct
până la punctul
(Figura 4.4).

Soluţie. Rescriem integrandul sub forma

Atunci
,
... Aplicam formula (4.3):

pentru că
, atunci
,
... De aceea

Exemplul 4.5. Calculați integrala
, Unde - arc de cerc
,
(fig. 4.5).

Soluţie. Am pus,
, atunci
,
,
... Primim:

Funcţie
, cu valoare unică și analitică în ring
, se descompune în acest inel în seria Laurent

În formula (4.5), seria
numit parte principală Seria Laurent și seria
numit partea dreaptă seria Laurent.

Definiție 4.1. Punct numitpunct singular izolat funcții
dacă există o vecinătate a acestui punct în care funcţia
analitic peste tot, cu excepția punctului în sine .

Funcţie
în vecinătatea punctului poate fi extins într-o serie Laurent. În acest caz, sunt posibile trei cazuri diferite când seria Laurent:

1) nu conține termeni cu puteri negative de diferență
, acesta este

(Seria lui Laurent nu conține partea principală). În acest caz numit singularitate detașabilă funcții
;

2) conține un număr finit de termeni cu puteri negative de diferență
, acesta este

în plus
... În acest caz, ideea numit pol de ordine funcții
;

3) conține un număr infinit de termeni cu puteri negative:

În acest caz, ideea numit punct esential funcții
.

Atunci când se determină natura unui punct singular izolat, nu este necesar să se caute o expansiune într-o serie Laurent. Puteți utiliza diferite proprietăți ale punctelor caracteristice izolate.

1) este un punct singular detașabil al funcției
dacă există o limită finită a funcției
la punct :

2) este un pol al funcției
, dacă

3) este un punct singular esențial al funcției
eu gras
funcția nu are limită, nici finită, nici infinită.

Definiție 4.2. Punct numitzero
comanda (sau multiplicitate ) funcții
daca sunt indeplinite conditiile:

…,

.

Observație 4.2. Punct dacă și numai atunci este zero
comanda funcții
, când în vreo vecinătate a acestui punct egalitatea

unde funcţia
analitic la punct și

4) punctul este polul ordinii (
) funcții
dacă acest punct este un zero de ordin pentru functie
.

5) lasa - functie izolata punct singular
, Unde
- functii analitice la punct ... Și lăsați punctul este de ordinul zero funcții
si comanda zero funcții
.

La
punct este polul ordinii
funcții
.

La
punct este un punct singular detașabil al funcției
.

Exemplul 4.6. Găsiți puncte izolate și determinați tipul lor pentru o funcție
.

Soluţie. Funcții
și
- analitic în întreg planul complex. Prin urmare, punctele singulare ale funcției
sunt zerourile numitorului, adică punctele în care
... Există o infinitate de astfel de puncte. Primul este punctul
, precum și punctele care satisfac ecuația
... De aici
și
.

Luați în considerare ideea
... În acest moment obținem:

,
,

,
.

Ordinul zero este
.

,
,

,
.

Deci ideea
este un pol de ordinul doi (
).

... Atunci

,
.

Ordinea zero a numeratorului este
.

,
,
.

Ordinul zero al numitorului este
... De aici punctele
la
sunt poli de ordinul întâi ( stâlpi simpli ).

Teorema 4.1. (Teorema reziduului Cauchy ). Dacă funcţia
este analitic la frontieră zone
și peste tot în interiorul regiunii, cu excepția unui număr finit de puncte singulare
, atunci

Când se calculează integralele, merită să găsiți cu atenție toate punctele singulare ale funcției
, apoi desenați un contur și puncte singulare, apoi selectați numai acele puncte care se încadrează în conturul de integrare. A face alegerea corectă fără desen este adesea dificil.

Metoda de calcul a deducerii
depinde de tipul punctului special. Prin urmare, înainte de a calcula deducerea, trebuie să determinați tipul punctului singular.

1) deducerea funcției la punct este egal cu coeficientul de la minusul gradului I în expansiunea Laurent
în vecinătatea punctului :

Această afirmație este valabilă pentru toate tipurile de puncte izolate și, prin urmare, în acest caz, nu este necesar să se determine tipul unui punct special.

2) reziduul la punctul singular detașabil este zero.

3) dacă este un pol simplu (pol de ordinul întâi), iar funcția
poate fi reprezentat ca
, Unde
,
(rețineți că în acest caz
), apoi deducerea la punct este egal cu

În special, dacă
, atunci
.

4) dacă este un simplu stâlp, atunci

5) dacă - pol
funcția de ordine
, atunci

Exemplul 4.7. Calculați integrala
.

Soluţie. Găsirea punctelor singulare funcția integrand
... Funcţie
are două puncte singulare
și
Doar un punct cade în interiorul conturului
(fig. 4.6). Punct
- stâlp de ordinul doi, din moment ce
este un zero al multiplicității 2 pentru funcție
.

Apoi, folosind formula (4.7), găsim reziduul în acest punct:

În virtutea teoremei 4.1, găsim

Cursul numărul 4.

Geometric, o funcție a unei variabile complexe w = f(z) definește o mapare a unei mulțimi z- avioane într-un set w-avioane. Punct wÎ G numit cale puncte z la afisare w = f(z), punctul zÎ D – prototip puncte w.

Dacă toată lumea z o singură valoare se potrivește w = f(z), atunci funcția este apelată lipsit de ambiguitate (w = | z |,w =,w = Re z etc.) Dacă unii z se potrivește cu mai multe valori w, funcția este numită ambiguu (w = Arg z).

Dacă (adică în puncte diferite zone D funcția ia sensuri diferite), apoi funcția w=f(z) se numește univalent în zona D.

Cu alte cuvinte, funcția univalentă w=f(z) hărți unul la unu zona D pe G... Pentru afișaj univalent w=f(z) preimagine a oricărui punct wÎ G constă dintr-un singur element::. De aceea z poate fi privit ca o funcție a unei variabile w definit pe G... Este desemnat și numit funcție inversă .

Dacă în zonă D există cel puțin o pereche de puncte, apoi funcția f(z) sunt numite cu mai multe foi în zona D.

Dacă afişajul w=f(z) este multivalent pe D(de exemplu, w=z n), apoi în acest caz unele valori wÎ G corespunde mai mult de un punct zÎ D:f(z)=w... În consecință, maparea inversă nu este cu o singură valoare; este o funcție cu mai multe valori.

Fără ambiguitate în zonă D funcţie w=f(z) se numește ramură a funcției multivalorice F dacă valoarea fîn orice moment zÎ D se potrivește cu una dintre valori F in acest punct.

Pentru a selecta ramurile cu o singură valoare ale unei funcții cu mai multe valori, procedați astfel: regiunea Dîmpărțit în domenii de univalență funcțiile w=f(z) astfel încât două dintre regiuni să nu aibă puncte interioare comune și astfel încât fiecare punct zÎ D aparținea uneia dintre aceste zone sau granița unora dintre ele. În fiecare dintre aceste domenii de schlichtness, este definită o funcție care este inversă w=f(z). Este, de asemenea, o ramură neechivocă a unei funcții cu mai multe valori.

Conceptul de cartografiere conformă

Exemplu. Găsiți factorul de întindere și unghiul de rotație într-un punct z=2i când este afișat.

■ Găsiți derivata și valoarea acesteia la un punct dat .

Raportul de întindere k este egal cu modulul derivatei: .

Unghiul de rotație j este egală cu argumentul derivatei. Ideea se află în al patrulea trimestru, prin urmare, . ■

Exemplul 3.5. Determinați care parte a planului este afișată w=z 2 este întins și care este comprimat.

■ Găsiți derivata w¢ = 2 z... Raportul de întindere în orice punct z este egal cu k=|w¢( z)|=2|z|. Ansamblul punctelor din planul complex pentru care k> 1, adică 2 | z|> 1 sau, face parte dintr-un plan care este întins când este afișat. Prin urmare, la cartografiere w=z 2 exteriorul cercului este întins și interior- se micsoreaza. ■

Afişa w=f(z) se numește conformă (adică își păstrează forma) într-un punct dacă păstrează unghiurile dintre curbe și are proprietatea de întindere constantă a vecinătății punctului.

Orice mapare stabilită prin intermediul unei funcții analitice f(z) este conformă în toate punctele în care.

Maparea este numită conform în domeniu dacă este conformă în fiecare punct al acestei regiuni.

Se numește maparea conformă, în care direcția de referință a colțurilor este păstrată cartografierea conformă Ι a genului . Se numește maparea conformă, în care direcția de referință a unghiurilor este inversată cartografierea conformă ΙΙ a genului (de exemplu, ).

În teoria și practica mapărilor conformale sunt puse și rezolvate două probleme.

Prima sarcină este să găsiți imaginea unei linii sau zone date pentru un afișaj dat - sarcină directă .

Al doilea este de a găsi o funcție care mapează o linie sau o zonă dată la o altă linie sau zonă specificată - problema inversa .

La rezolvarea problemei directe se ține cont de faptul că imaginea punctului z 0 când este afișat w=f(z) este ideea w 0 astfel încât w 0 =f(z 0), adică rezultatul înlocuirii z 0 in f(z). Prin urmare, pentru a găsi imaginea unei mulțimi, este necesar să se rezolve un sistem format din două relații. Una dintre ele definește funcția de afișare w=f(z), celălalt este ecuația unei drepte, dacă se rezolvă problema găsirii imaginii unei linii, sau o inegalitate care determină mulțimea de puncte a preimaginei, dacă se rezolvă problema cartografierii regiunilor. În ambele cazuri, procedura de rezolvare se reduce la eliminarea variabilei z din două rapoarte date.

Regula 3.3. Pentru a găsi imaginea dreptei dată de ecuație F(X,y) = 0 (sau explicit y=j(X)), la afișare w=f(z) necesar:

1. Selectați părțile reale și imaginare ale funcției f(z): u= Re f(z), v= Sunt f(z).

2. A exclude din sistem NSși la. Raportul rezultat este ecuația imaginii acestei linii.

Regula 3.4. Pentru a găsi imaginea unei linii date atunci când este afișată w=f(z) necesar:

1. Notați ecuația dreptei în formă parametrică z=z(t) sau în formă integrată .

2. În funcție de tipul ecuației drepte, luați în considerare cazul corespunzător:

Dacă linia este în formă parametrică, înlocuiți expresia z(t) v w=f(z);

Dacă linia este dată în formă complexă, atunci exprimați z din w=f(z), adică și. Atunci ar trebui să înlocuiți z iar în ecuaţia dreptei. Raportul rezultat este ecuația imaginii acestei linii.

Regula 3.5. Pentru a găsi o imagine a unei anumite zone, ar trebui să utilizați una dintre cele două metode.

Prima cale.

1. Notați ecuația limitei zonei date. Găsiți imaginea limitei unei zone date conform regulilor 3.3 sau 3.4.

2. Selectați un punct interior arbitrar al zonei specificate și găsiți imaginea acestuia pentru această mapare. Zona căreia îi aparține punctul obținut este imaginea dorită a zonei specificate.

A doua cale.

1. Express z din raport w=f(z).

2. Înlocuiți ceea ce ați primit la punctul 1. o expresie într-o inegalitate care definește o regiune dată. Raportul rezultat este imaginea dorită.

Exemplu. Găsiți imaginea unui cerc | z| = 1 când este afișat cu funcția w=z 2 .

■ 1 cale(conform regulii 3.3).

1. Lasă z = x + iy, w = u + iv... Atunci u + iv =X 2 -y 2 +i 2X y... Primim:

2. Excludem NSși la din aceste ecuații. Pentru a face acest lucru, pătram prima și a doua ecuație și adăugăm:

u 2 +v 2 =X 4 -2X 2 y 2 +y 4 +2X 2 y 2 =X 4 +2X 2 y 2 +y 4 =(X 2 +y 2) 2 .

Luând în considerare a treia ecuație a sistemului, obținem: u 2 +v 2 = 1 sau | w| 2 = 1, adică | w| = 1. Deci, imaginea cercului | z| = 1 este cercul | w| = 1, parcurs de două ori. Aceasta rezultă din faptul că din moment ce w=z 2, apoi Arg w= 2Arg z+2pk... Deci, când punctul z descrie cerc complet |z| = 1, atunci imaginea sa descrie un cerc | w| = 1 de două ori.

2 sensuri(conform regulii 3.4).

1. Să scriem ecuația cercului unitar în formă parametrică: z=e it (0£ t 2 lire sterline p).

2. Înlocuitor z=e itîn raport w=z 2: w = e i 2 t= cos2 t+i păcat2 t... Prin urmare, | w| 2 = cos 2 2 t+ păcat 2 2 t= 1, adică | w| = 1 - ecuația imaginii. ■

Exemplu. Găsiți ecuația imaginii dreptei y = x la afisare w=z 3 .

■ Deoarece curba este specificată în mod explicit, se aplică regula 3.3.

1. w=z 3 =(X+iy) 3 =X 3 +3X 2 iy+3X(iy) 2 +(iy) 3 =X 3 - 3X y 2 +i(3X 2 a-a 3).

Mijloace,

2. În sistemul rezultat, înlocuiți y = x: Excluzând NS din aceste ecuații, obținem v = -u.

Deci, imaginea bisectoarei unghiurilor de coordonate I și III ale sistemului hoy este bisectoarea unghiurilor de coordonate II și IV ale sistemului uOv. ■

1. Funcția liniară

Funcție liniară se numește o funcție a formei

w=az+b, (4.1)

Unde A, b- constante complexe.

Aceasta functie este definita, ... Prin urmare, dacă, atunci funcția liniară produce o mapare conformă a întregului plan al variabilei complexe. În acest caz, tangentele la toate curbele se rotesc cu același unghi Arg A, iar întinderea în toate punctele este egală. Dacă a = 1, atunci , ceea ce înseamnă că nu există întindere și rotație. În acest caz, obținem w = z + b... Această mapare deplasează întregul plan cu un vector.

În cazul general, trecând la forma exponențială a scrierii unui număr complex, obținem. Prin urmare, o hartă liniară este o compoziție a trei transformări geometrice:

w 1 =rz- asemănarea cu coeficientul r=|A|;

w 2 =e i j w 1 =rze i j- viraj cu colt j= arg Aîn jurul punctului O;

w=w 2 +b=re i j z+b- transfer paralel la un vector.

Prin urmare, cartografierea w=az+b redimensionează orice formă plană în | A| ori, rotește această cifră cu un unghi j= arg Aîn jurul originii și o deplasează în direcția vectorului cu valoarea sa.

Maparea liniară are o proprietate circulară, adică mapează cercuri z-avioane în cerc w-avioane (si invers); direct se traduce în linii drepte.

Exemplu. Găsiți imaginea axei OU la afisare w=2iz-3i.

■ 1 cale(conform regulii 3.4). Să alegem ecuația axei în formă parametrică.

1. Întrucât în formă reală ecuația axei Oi: X=0, -¥<y<+¥, то в комплексной форме запишется как z = iy, -¥<y<+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран la.

2. Înlocuitor z = iyîn exprimare w=2iz-3i: w=-2y-3i, -¥<y<+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (la- parametru). După ce am selectat părțile reale și imaginare, obținem ecuația imaginii în formă reală: u=-2y, v= -3 sau v= -3, - ¥<u<+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv paralel cu axa reală.

2 sensuri... Folosim proprietatea circulară a unei transformări liniare - imaginea unei linii drepte este o linie dreaptă. Deoarece o linie dreaptă este determinată prin specificarea a două puncte, este suficientă pe axă OU selectați oricare două puncte și găsiți-le imaginile. Linia dreaptă care trece prin punctele găsite va fi cea dorită. Să selectăm puncte z 1 =0, z 2 =i, imaginile lor w 1 =-3i, w 2 =-2-3i culca pe linia Im w= -3. Prin urmare, imaginea axei OU este drept v=-3.

3 căi(geometric). Din raport w=2iz-3i urmează că A=2i, b=-3i, |A| = 2,. Prin urmare, linia dreaptă dată (axa OU) trebuie rotit cu un unghi față de origine și apoi deplasat cu 3 unități în jos. Întinderea de 2 ori nu schimbă aspectul geometric al liniei originale, deoarece trece prin origine. ■

Exemplu. Găsiți o funcție liniară care mapează cercul | z-i| = 1 pe cerc | w- 3|=2.

■ Problema pusă este problema inversă a teoriei mapărilor — pentru o imagine dată și o imagine inversă, găsiți maparea corespunzătoare. Fără condiții suplimentare, problema nu are o soluție unică. Iată o soluție geometrică.

1. Mutați centrul cercului la origine. Pentru a face acest lucru, aplicați maparea w 1 =z-i.

2. În avion w 1 aplicăm o mapare care oferă o întindere de 2 ori, adică w 2 =2w 1 .

3. Deplasați cercul cu 3 unități la dreapta: w=w 2 +3. În cele din urmă, obținem: w=2(z-i)+3, w = 2z+3-2i Este funcția necesară.

Puteți alege o ordine diferită de efectuare a operațiilor geometrice - nu deplasați la început, ci rotiți sau întindeți. ■

2. Funcție liniară fracțională

Liniara fracțională se numește o funcție a formei

, (4.2)

Unde A, b,c,d - numere complexe astfel încât,.

Proprietăți de transformare fracțională liniară

1 °Conformitate

Afişa w=L(z) este conformă la toate punctele de capăt ale planului complex, cu excepția.

2 ° Proprietate circulară

Imaginea unei linii drepte sau a unui cerc în maparea fracțională liniară w=L(z) este o linie dreaptă sau un cerc (în plus, imaginea unei linii drepte poate fi fie un cerc, fie o linie dreaptă, iar imaginea unui cerc - atât o linie dreaptă, cât și un cerc). Este ușor de stabilit că atunci când se afișează w=L(z) toate liniile drepte și cercurile care trec prin punct trec în linii drepte ale planului ( w), și toate liniile sau cercurile care nu trec prin punct d, - în cercul planului ( w).

3 °Invarianța raportului dublu

Atitudine se păstrează sub maparea fracțională liniară, adică este invarianta sa. Această relație se numește raport dublu de patru puncte... Astfel, transformarea fracțională liniară este determinată în mod unic prin specificarea a trei puncte și a imaginilor acestora:. Pentru aceste perechi, puteți găsi o funcție fracțională liniară prin formula:

. (4.3)

Această formulă poate fi aplicată și în cazul în care unele numere z kși w k sunt convertite în ¥, dacă folosim regula: diferența în care apare caracterul ¥ trebuie înlocuită cu 1.

4 °Menținerea simetriei

Dacă puncte z 1 și z 2 sunt simetrice față de o linie sau un cerc g, apoi pentru orice mapare fracțională liniară w=L(z) imaginile lor w 1 și w 2 va fi simetric în raport cu imaginea g: .

Simetria cu privire la o linie dreaptă este înțeleasă în sensul obișnuit.

Puncte zși z * sunt numite simetric față de un cerc |Z Z 0 |=R dacă se află pe o rază care iese din centrul cercului și produsul distanțelor lor față de centrul cercului este egal cu pătratul razei acestuia, adică

|Z Z 0 |×| Z Z 0 |=R 2 . (4.4)

Punct, punct simetric z 0 - centrul cercului, evident, este punctul de la infinit.

5 °Principiul de corespondență al traversării granițelor (afișarea zonelor delimitate de linii sau cercuri)

Dacă într-un afișaj fracțional liniar, o linie dreaptă sau un cerc g merge într-o linie sau cerc g ¢, apoi zona D care este limitat de g, se transformă într-una dintre cele două zone, care sunt limitate de g ¢... În acest caz are loc principiul corespondenței între parcurgerea limitelor: dacă la o anumită traversare a liniei g regiune D se dovedește a fi în stânga (dreapta), apoi cu parcurgerea corespunzătoare a liniei g ¢ regiune D ¢ ar trebui să fie și în stânga (dreapta).