Determinarea funcției Integrand într-un rând de alimentare online. Descompunerea funcției într-un număr de Taylor, Macllow, Laurent

Cum se inserează formulele matematice la site-ul web?

Dacă trebuie să adăugați vreodată una sau două formule matematice pe o pagină web, este mai ușor să faceți acest lucru, așa cum este descris în articol: Formulele matematice sunt ușor introduse în locul sub formă de imagini care generează automat alfa tungsten. În plus față de simplitate, acest mod universal va contribui la îmbunătățirea vizibilității site-ului în motoarele de căutare. Funcționează de mult timp (și, cred că va funcționa pentru totdeauna), dar depășită moral.

Dacă utilizați în mod constant formule matematice pe site-ul dvs., atunci vă recomand să utilizați Mathjax - o bibliotecă specială JavaScript care afișează denumiri matematice în browserele web utilizând Mathml, Latex sau Asciimathml Markup.

Există două modalități de a începe să utilizați Mathjax: (1) Cu ajutorul unui cod simplu, puteți conecta rapid scriptul Mathjax pe site-ul dvs., care va fi automat încărcat automat de la serverul de la distanță la cel dorit; (2) Descărcați scriptul Mathjax de pe un server de la distanță la serverul dvs. și conectați-vă la toate paginile site-ului dvs. A doua metodă este mai complicată și lungă - va accelera descărcarea paginilor site-ului dvs. și dacă serverul parent Mathjax din anumite motive devine temporar indisponibil, acesta nu va afecta propriul dvs. site web. În ciuda acestor avantaje, am ales prima cale ca o simplă, rapidă și nu necesită abilități tehnice. Urmați exemplul meu, iar după 5 minute puteți utiliza toate caracteristicile Mathjax pe site-ul dvs. Web.

Puteți conecta scriptul Bibliotecii Mathjax de pe un server de la distanță utilizând două opțiuni de cod realizate pe site-ul principal al lui Mathjax sau pe pagina de documentare:

Unul dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiat și inserat în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și sau imediat după etichetă . Conform primei versiuni, Mathjax este încărcată mai repede și încetinește pagina. Dar a doua opțiune urmărește automat și încarcă cele mai recente versiuni Mathjax. Dacă introduceți primul cod, va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți al doilea cod, paginile vor fi încărcate mai lent, dar nu veți avea nevoie să monitorizați în mod constant actualizările Mathjax.

Conectați Mathjax este cea mai ușoară cale spre blogger sau WordPress: Adăugați un widget pentru introducerea unui cod JavaScript terț pentru a introduce prima sau a doua versiune a codului de descărcare prezentat mai sus și plasați widgetul mai aproape de începutul șablonului (apropo , nu este deloc necesar deoarece scriptul Mathjax este încărcat în mod asincron). Asta e tot. Acum citiți sintaxa Mathml, Latex și Asciimathml Markup și sunteți gata să introduceți formule matematice pe paginile web ale site-ului dvs.

Orice fractal se bazează pe o regulă specifică aplicată în mod consecvent. suma nelimitată timp. Toată lumea se numește iterație.

Algoritmul iterativ pentru construirea buretelui de îmbinare este destul de simplu: cubul sursă cu o latură 1 este împărțit la avioane paralele cu fețele sale, pe 27 de cuburi egale. Un cub central și 6 cuburi adiacente sunt îndepărtate din ea. Se obține un set format din 20 de cuburi mai mici mai mici. Făcând același lucru cu fiecare dintre aceste cuburi, obținem un set, constând deja din 400 de cuburi mai mici. Continuând acest proces infinit, obținem un burete de Menger.

În teoria seriei funcționale, locul central ocupă o secțiune dedicată descompunerii unei funcții la rând.

Astfel, sarcina este: pe o anumită funcție necesită un astfel de rând de putere

care într-un interval convergent și suma sa a fost egală
, acestea.

= ..

Această sarcină este numită sarcina de descompunere a funcției într-un rând de putere.

Condiție prealabilă pentru descompunerea funcției într-o serie de energie electricăacesta este diferența infinită de ori - aceasta rezultă din proprietățile rândurilor de putere convergente. O astfel de condiție este efectuată, de regulă, pentru funcțiile elementare în zona definiției lor.

Deci, presupuneți funcția
are derivați ai oricărei ordini. Este posibil să se descompună într-un rând de putere, dacă este posibil, cum să găsiți această serie? Este mai ușor să rezolvați cea de-a doua parte a sarcinii, cu ea și să începeți.

Să presupunem că funcția.
poate fi reprezentată ca o sumă a seriei de putere convergente în intervalul care conține un punct h. 0 :

= .. (*)

unde dar 0 ,dar 1 ,dar 2 ,...,dar p. ,... - coeficienți nesiguri (pentru moment).

Puneți valoarea egalității (*) x \u003d x. 0 , apoi ajungem

Diferențierea rândului de alimentare (*) din spate

= ..

Și credincios aici x \u003d x. 0 , a primi

Următoarele diferențiere Obțineți un număr

= ..

a crezut x \u003d x. 0 , a primi
Din!
.

După p.- protejarea diferențierii

Crezând în ultima egalitate x \u003d x. 0 , a primi
Din!

Astfel încât coeficienții găsiți

,
,
, …,
,….,

Înlocuind care la rând (*), ajungem

Seria rezultată este numită lângă Taylor. Pentru funcția.
.

Așa că am găsit asta dacă funcția poate fi descompusă într-un rând de alimentare în grade (x - x 0 ), această descompunere este singura și numărul rezultat este în mod necesar aproape de Taylor.

Rețineți că o serie de Taylor pot fi obținute pentru orice funcție având derivați ai oricărei ordini la punct x \u003d x. 0 . Dar acest lucru nu înseamnă că există un semn de egalitate între funcție și numărul obținut în apropiere, adică. că suma rândului este egală cu funcția originală. În primul rând, o astfel de egalitate poate avea sens numai în domeniul convergenței, iar numărul Taylor obținut pentru funcția poate să se distreze, în al doilea rând, dacă o serie de Taylor va converge, atunci cantitatea sa nu poate coincica cu funcția originală.

3.2. Condiții suficiente pentru descompunerea funcției într-o serie de Taylor

Formulăm o declarație cu care se va rezolva sarcina.

Dacă funcția.
În unele vecinătăți ale punctului X 0 are derivați înainte (n.+ 1) -O Ordine Inclusive, atunci în acest cartier existăformulă Taylor.

undeR. n. (h.)- membru al formulei Taylor - are forma (Forma Lagrange)

unde punctξ se află între x și x 0 .

Trebuie remarcat faptul că există o diferență între formula Taylor și Taylor: formula Taylor este o cantitate finită, adică. p - Număr fix.

Amintiți-vă că suma rândului S.(x.) acesta poate fi definit ca limita secvenței funcționale a sumelor parțiale S. p. (x.) la un interval H.:

Conform acestui fapt, descompuneți funcția într-o serie de Taylor înseamnă găsirea unui astfel de rând pentru oricare dintre ele h.X.

Noi scriem formula taylor în forma unde

observa asta
definește eroarea pe care o primim, înlocuim funcția f.(x.) polinom.ro S. n. (x.).

În cazul în care o
T.
,acestea. Funcția se descompune într-o serie de Taylor. Factura, dacă
T.
.

Astfel, dovedite criteriul de descompunere a funcției într-o serie de Taylor.

Pentru ca o funcție într-un anumit intervalf.(x) descompus într-o serie de Taylor, este necesar și suficient pentru ao face
UndeR. n. (x.) - Membru rezidual al seriei Taylor.

Cu ajutorul unui criteriu formulat, puteți obține suficientcondițiile de descompunere a funcției într-o serie de Taylor.

Dacă in.unele cartiere de punct x 0 Valorile absolute ale tuturor derivatelor sunt limitate la același număr M≥ 0, adică

, T.oh în această funcție de vecinătate este descompusă într-o serie de Taylor.

Din cele de mai sus, este necesar algoritm.funcția de descompunere f.(x.) într-o serie de TaylorÎn punctul înconjurător h. 0 :

1. Găsim funcții derivate f.(x.):

f (x), f '(x), f "(x), f'" (x), f (N) (X), ...

2. Calculați valoarea funcției și valorile derivatelor sale la punct h. 0

f (X. 0 ), f '(x 0 ), f "(x 0 ), F '"(x 0 ), F. (N) (X. 0 ),…

3. Înregistrarea formală a unei serii de Taylor și găsiți regiunea convergenței seriei de putere recepționate.

4. Verificați implementarea condițiilor suficiente, adică Instalați pentru care h.din regiunea de convergență, membru rezidual R. n. (x.) tinde la zero cu
sau
.

Se numește descompunerea funcțiilor într-o serie de Taylor pentru acest algoritm descompunerea unei funcții într-o serie de Taylor prin definițiesau o descompunere directă.

Descompunerea unei funcții la rândul lui Taylor, Maclogen și Laurent la site-ul pentru instruirea abilităților practice. Această descompunere a funcției la rând dă reprezentării matematicienilor să estimeze valoarea aproximativă a funcției la un anumit punct al definiției sale. Este mult mai ușor să se calculeze această valoare a funcției, în comparație cu aplicarea tabelului bradisian, atât de irelevant în secolul tehnologiei de calcul. Într-o serie de Taylor se descompune funcția înseamnă a calcula coeficienții din fața funcțiilor liniare ale acestui rând și a le scrie video adecvat. Elevii sunt confundați de aceste două rânduri, fără a înțelege ce este un caz general și că un eveniment privat al celui de-al doilea. Vă reamintim o singură dată și pentru totdeauna, un număr de maclogeni - un caz privat al seriei Taylor, adică aceasta este o serie de Taylor, dar la punctul X \u003d 0. Toate înregistrările scurte ale descompunerii funcțiilor cunoscute, cum ar fi e ^ x, păcat (x), cos (x) și alții, acestea sunt descompunere într-o serie de Taylor, dar la punctul 0 pentru argument. Pentru funcțiile argumentului complex, numărul Laurent este cea mai frecventă sarcină din TFCP, deoarece reprezintă o serie cu două fețe fără sfârșit. El este suma a două rânduri. Vă sugerăm să vedeți un exemplu de descompunere direct pe site-ul site-ului, este foarte simplu, făcând clic pe "Exemplu" cu orice număr și apoi butonul "Soluție". Tocmai o astfel de descompunere a funcției într-o serie de serie de majoritare, limitând funcția inițială în unele regiuni de-a lungul axei ordonate, dacă variabila aparține regiunii Abscisa. Analiza vectorială vine în comparație cu o altă disciplină interesantă în matematică. Deoarece este necesar să se exploreze fiecare aliniat, atunci este nevoie de o mulțime de timp în acest proces. Orice serie de Taylor poate fi comparată cu un rând de maclogen, înlocuind X0 la zero, dar pentru un rând de McLoren, uneori nu există o reprezentare evidentă a seriei Taylor înapoi. Cum nu ar fi trebuit să facă acest lucru forma purăDar interesant pentru auto-dezvoltare generală. Fiecare rând de laurent corespunde unui rând bilateral de putere fără sfârșit pe ansamblu z-un gradCu alte cuvinte, o serie de același Taylor, dar un mic calcul diferit al coeficienților. Vom spune puțin mai târziu despre regiunea convergenței rândului lui Lauren, după mai multe calcule teoretice. Ca și în ultimul secol, descompunerea treptată a funcției la rând poate fi atinsă doar prin aducerea componentelor la numitor general, deoarece funcțiile din denominatorii sunt neliniare. Calculul aproximativ al valorii funcționale necesită stabilirea sarcinilor. Gândiți-vă la faptul că atunci când argumentul unei serii de Taylor este o variabilă liniară, atunci descompunerea are loc în mai multe acțiuni, dar o imagine complet diferită, atunci când o funcție complexă sau neliniară, o funcție complexă sau neliniară acționează ca argument , atunci procesul de reprezentare a unei astfel de funcții într-un rând de putere este evident, deoarece modul este ușor de calculat, deși aproximativ, dar valoarea în orice punct al zonei de definiție, cu o eroare minimă, puțin afectarea calculelor suplimentare. Acest lucru se aplică și unui număr de MCLOREN. Când trebuie să calculați funcția din punctul zero. Cu toate acestea, numărul laurent însuși este reprezentat de descompunerea avionului cu unități imaginare. De asemenea, nu este fără succes decizia corectă Sarcini în curs procesul general. În matematică, această abordare nu știe, dar există obiectiv. Ca rezultat, puteți ajunge la ieșirea așa-numitelor subseturi curente și în descompunerea funcției la rândul pe rând, trebuie să utilizați metode cunoscute pentru acest proces, cum ar fi utilizarea teoriei derivate. Încă o dată, suntem convinși de dreptul profesorului care și-a făcut ipotezele în detrimentul rezultatelor postului de calcul al calculului. Să menționăm că o serie de Taylor, obținută pe toate canoanele matematice, există și definite pe întreaga axă numerică, cu toate acestea, dragi utilizatori ai site-ului, nu uitați tipul de funcție sursă, deoarece se poate dovedi că inițial va fi necesare pentru a stabili o funcție de definire a unei funcții, adică scrierea și excluderea de la alte considerente acele puncte în care funcția nu este definită în domeniul numerelor valide. Deci, pentru a spune că va arăta terminarea dvs. atunci când rezolvați problema. Nu este o excepție de la baza exprimată va fi, de asemenea, construirea unei serii de oreion cu valoarea zero a argumentului. Procesul de găsire a zonei de definiție a câmpului Nimeni nu a fost anulată și trebuie să veniți cu toată seriozitatea acestei acțiuni matematice. În cazul părții principale a părții principale, parametrul "A" va fi numit un punct special izolat, iar numărul Laurent va fi stabilit în inel - aceasta este intersecția regiunilor de convergență ale părților sale , va urma teorema corespunzătoare. Dar nu totul este atât de dificil, deoarece poate părea la prima vedere într-un student neexperimentat. După ce a studiat doar o serie de Taylor, poate fi ușor de înțeles o serie de Laurent - un caz generalizat la extinderea numărului de numere. Orice descompunere a funcției la rând poate fi efectuată numai în funcție de zona de definiție a funcției. Proprietățile acestor funcții trebuie luate în considerare, de exemplu, ca fiind frecvență sau diferențierea infinită. De asemenea, vă oferim să utilizați tabelul de expansiune finalizată într-o serie de funcții elementare Taylor, deoarece o singură funcție poate fi reprezentată până la duzină de rânduri puternice de putere care pot fi văzute din utilizarea calculatorului nostru online. Rânduri online Maclorena este mai ușor de definit simplu, dacă utilizați site-ul unic de service, trebuie doar să introduceți funcția corectă înregistrată, iar răspunsul reprezentat va fi primit într-o chestiune de secunde, acesta va fi garantat corect și într-un formular standard înregistrat. Puteți rescrie imediat rezultatul la Castovik pentru ao da profesorului. Ar fi posibil să se determine mai întâi analiticul funcției luate în considerare în inele, și apoi să afirmăm fără echivoc că este descompusă într-un rând de laurent în toate aceste inele. Momentul este important să nu pierdeți din formularul care conține grade negative ale membrilor seriei Laurent. În acest sens, concentrați cât mai puternic posibil. Aplicați cu beneficiul teoremei Laurent privind descompunerea funcției la rând pentru grade întregi.

Învățarea celei mai înalte matematice ar trebui să se știe că suma unei anumite serii de energie aparținând intervalului de convergență a seriei care ne-a fost dată este un număr continuu și nelimitat de o funcție diferențiată. Întrebarea apare: Este posibil să spunem că o anumită funcție arbitrară F (x) este suma unor serii de putere? Care este, în ce condiții pot fi descrise F-IYA F (x) puterea în apropiere? Importanța unei astfel de întrebări este că există o oportunitate de a înlocui aproximativ suma F-Ji F (x) a mai multor primii membri ai seriei de putere, adică un polinom. Această înlocuire a funcției este o expresie destul de simplă - un polinom - este convenabil și la rezolvarea unor probleme și anume: la rezolvarea integrelor, la calcularea etc.

Se dovedește că pentru un anumit f (x), în care este posibil să se calculeze derivații la (n + 1) - la ordinea, inclusiv cea din urmă, în vecinătate (α-r; x 0 + r) dintr-un anumit punct x \u003d α este o formulă corectă:

Această formulă este numele faimosului Brook de Știință Taylor. Un rând obținut din cea anterioară se numește un rând de McLoren:

Regula care face posibilă descompunerea într-un rând de McLoren:

Determinați instrumentele derivate ale primului, al doilea, al treilea ... comenzile.
Calculați ceea ce este egal cu derivații din x \u003d 0.
Înregistrați un rând de macrolore pentru această funcție, după care este posibil să se determine intervalul convergenței sale.
Determinați intervalul (-r; r), în cazul în care partea reziduală a formulei McLoren

R N (X) -\u003e 0 la N -\u003e Infinity. În cazul în care există, în el, funcția f (x) trebuie să coincidă cu suma domeniului MacLow.

Luați în considerare acum rândurile lui McLoren pentru funcții individuale.

1. Deci, primul va fi f (x) \u003d e x. Bineînțeles, în funcție de particularitățile sale, o astfel de F-IA are derivați de diferite ordine, cu F (K) (x) \u003d E x, unde K este egal cu toată lumea să înlocuiască x \u003d 0. Obținem F (K) (0) \u003d E 0 \u003d 1, K \u003d 1,2 ... Bazat pe cele de mai sus, seria de e x va arăta astfel:

2. ROW MACLORENA PENTRU FUNCȚIA F (X) \u003d SIN X. Clarificați imediat că F-IA pentru toate necunoscute va avea derivați, în afară de F "(x) \u003d cos x \u003d păcat (x + p / 2), f" "(x) \u003d -sin x \u003d păcat (x + 2 * p / 2) ..., F (k) (x) \u003d păcat (x + k * p / 2), unde k este egal cu oricare numar natural. Adică, făcând calcule simple, putem concluziona că rândul pentru F (x) \u003d SIN X va fi de acest tip:

3. Acum, să încercăm să luăm în considerare F-X F (x) \u003d cos x. Are pentru toate necunoscute are derivați de ordine arbitrară și | F (K) (x) | \u003d | Cos (x + k * p / 2) |<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Deci, am enumerat cele mai importante funcții care pot fi descompuse într-un rând de maclogen, dar ele sunt completate de rândurile lui Taylor pentru unele funcții. Acum le vom lista. De asemenea, merită remarcat faptul că rândurile lui Taylor și Mcloren sunt o parte importantă a atelierului de rezolvare a unui rând în matematică mai mare. Deci, rangurile lui Taylor.

1. Primul va avea o serie pentru F-I F (X) \u003d LN (1 + x). Ca și în exemplele anterioare, pentru acest f (x) \u003d ln (1 + x), un număr poate fi pliat utilizând o vedere generală a unui rând al unui Momp. Cu toate acestea, pentru această funcție, un număr de macagen pot fi obținuți semnificativ mai ușor. Integrarea unui anumit rând geometric, obținem o serie pentru F (x) \u003d LN (1 + x) dintr-o astfel de probă:

2. Și al doilea, care va fi ultimul din articolul nostru, va avea o serie pentru F (x) \u003d Arctg X. Pentru X, aparținând intervalului [-1; 1], descompunerea este corectă:

Asta e tot. Acest articol a acoperit cea mai folosită serie de Taylor și McCoreren în matematică superioară, în special în universitățile economice și tehnice.

Dacă funcția F (x) are la un anumit interval, conținând un punct A, derivați ai tuturor comenzilor, atunci formula taylor poate fi aplicată:
,
unde r n. - așa-numitul membru rezidual sau restul unei serii, poate fi evaluat utilizând formula Lagrange:
unde numărul X este încheiat între x și a.

Reguli pentru introducerea funcțiilor:

Dacă pentru o anumită valoare h. r n.→ 0. n.→ ∞, apoi în limita formulei Taylor se transformă în această valoare în mișcare seria Taylor.:
,
Astfel, funcția F (x) poate fi descompusă într-o serie de Taylor în punctul X, dacă:
1) are derivați ai tuturor ordinelor;
2) Seria construită converge în acest moment.

Când și \u003d 0 primim o serie numită lângă Mcloreren.:
,
Descompunerea celei mai simple funcții (elementare) într-un rând de Maclorena:
Funcții indicative
, R \u003d ∞
Funcții trigonometrice
, R \u003d ∞
, R \u003d ∞
(-π / 2< x < π/2), R=π/2
Funcția ACTGX nu este descompusă în grade x, deoarece CTG0 \u003d ∞.
Funcții hiperbolice

Funcții logaritmice
, -1
Rânduri binomiale.
.

Exemplul nr. 1. Se descompune într-o funcție de rând f (x) \u003d2 X..
Decizie. Găsiți valorile funcției și derivatele sale când h.=0
f (x) = 2 X., f (0) = 2 0 =1;
f "(x) = 2 X.ln2. f "(0) = 2 0 ln2 \u003d ln2;
f "" (x) = 2 X. LN 2 2, f "" (0) = 2 0 ln 2 2 \u003d ln 2 2;
…
f (n) (x) = 2 X. Ln N.2, f (n) (0) = 2 0 Ln N.2 \u003d ln. N.2.
Înlocuirea valorilor obținute ale derivatelor în formula unei serii de Taylor, obținem:

Radiusul convergenței acestei serii este egal cu infinitul, astfel încât această descompunere este corectă pentru -∞<x.<+∞.

Exemplul nr. 2. Scrieți o serie de Taylor în grade ( h.+4) pentru funcția f (x) \u003de. X..
Decizie. Găsiți funcții derivate e X. și valorile lor la punct h.=-4.
f (x) \u003d E. X., f (-4) \u003d E. -4 ;
f "(x) \u003d E. X., f "(-4) \u003d E. -4 ;
f "" (x) \u003d E. X., f "" (-4) \u003d E. -4 ;
…
f (n) (x) \u003d E. X., f (n) ( -4) \u003d E. -4 .
În consecință, seria dorită de funcția Taylor are forma:

Această descompunere este valabilă și pentru -∞<x.<+∞.

Exemplu numărul 3. Respinge funcția f (x)\u003d ln. x. la un rang în grade ( x-1),
(adică într-o serie de Taylor în vecinătatea punctului h.=1).
Decizie. Găsim derivați ai acestei funcții.
f (x) \u003d lnx ,,,,

F (1) \u003d ln1 \u003d 0, f "(1) \u003d 1, f" "(1) \u003d - 1, f" "" (1) \u003d 1 * 2, ..., F (n) \u003d (- 1) N-1 (n-1)!
Înlocuirea acestor valori în formula, obținem seria dorită de taylor:

Folosind semnul Dalambei, vă puteți asigura că seria convergează la ½ x-1½<1 . Действительно,

Un număr converge dacă ½ x-1½.<1, т.е. при 0<x.<2. При h.\u003d 2 Obținem un rând mai mic care satisface condițiile de recunoaștere a Leiby. La X \u003d 0, funcția nu este definită. Astfel, zona de convergență a seriei Taylor este un spațiu semi-deschis (0; 2].

Exemplu numărul 4. Expediați o funcție într-o serie de energie.
Decizie. În descompunere (1) Înlocuiți x pe-2, obținem:
, -∞

Exemplu numărul 5. Expediați o funcție a Macrolore.
Decizie. Avea
Folosind formula (4), putem scrie:

Înlocuind în loc de x în formula, obținem:

De aici găsim: LN (1 + X) -LN (1-X) \u003d -
Dezvăluirea parantezelor, reîntoarcerea membrilor seriei și făcând crearea unor termeni similari, ajungem
. Această serie convergează în intervalul (-1; 1), deoarece este obținut din două rânduri, fiecare dintre care converge în acest interval.

cometariu .
Formulele (1) - (5) pot fi de asemenea utilizate pentru a descompune funcțiile corespunzătoare într-o serie de Taylor, adică. Pentru descompunerea funcțiilor de către grade pozitive integrate ( ha). Pentru a face acest lucru, peste o anumită funcție, este necesar să se producă astfel de conversii identice pentru a obține una dintre funcțiile (1) - (5), în ce în schimb h. în valoare de k ( ha) M, unde K este un număr constant, M este un număr pozitiv integer. Adesea, este convenabil să înlocuiți variabila t.=ha și puneți funcția rezultată în raport cu t într-un rând de maclorena.

Această metodă se bazează pe teorema privind unicitatea descompunerii funcției într-un rând de putere. Esența acestei teoreme este că, în vecinătatea aceluiași punct, nu pot fi obținute două rânduri diferite de putere, ceea ce ar fi convergent la aceeași funcție, indiferent de modul în care a fost produs.

Exemplu numărul 5a. Funcția la rândul lui Maclorena, specificați regiunea convergenței.
Decizie. Mai întâi găsim 1-X-6X 2 \u003d (1-3x) (1 + 2x) ,.
Pe elementar:

Fracțiunea 3 / (1-3x) poate fi văzută ca o cantitate de progresie geometrică infinit de denominator 3x, dacă | 3x |< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

cu zona de convergență | x |< 1/3.

Exemplul nr. 6. Expediați funcția într-o serie de Taylor în vecinătatea punctului X \u003d 3.
Decizie. Această sarcină poate fi rezolvată, ca înainte, folosind definiția unei serii de Taylor, pentru care este necesar să se găsească derivați și valorile lor atunci când h.\u003d 3. Cu toate acestea, va fi mai ușor să profitați de descompunerea existentă (5):
=
Seria rezultată converge la sau -3

Exemplu numărul 7. Scrieți o serie Taylor în grade (x -1) LN (X + 2).
Decizie.

O serie converge la, sau -2< x < 5.

Exemplu numărul 8. Expediați funcția f (x) \u003d păcatul (πx / 4) într-o serie de Taylor în vecinătatea punctului X \u003d 2.
Decizie. Vom înlocui t \u003d x-2:

Profitând de descompunerea (3), în care acesta va înlocui π / 4 t în loc, obținem:

Seria rezultată converge la o funcție dată la -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞În acest fel,
, (-∞

Calcule aproximative utilizând rândurile de alimentare

Rândurile de putere sunt utilizate pe scară largă în calcule aproximative. Cu ajutorul lor cu o precizie dată, este posibil să se calculeze valorile rădăcinilor, funcțiilor trigonometrice, logaritmilor numerelor, integrale specifice. Rândurile sunt, de asemenea, utilizate în integrarea ecuațiilor diferențiale.
Luați în considerare descompunerea funcției într-un rând de putere:

Pentru a calcula valoarea aproximativă a funcției la un punct specificat. h.aparținând regiunii convergenței seriei specificate, în descompunerea sa, părăsiți primul n. Membrii ( n. - numărul final), iar restul Termenilor aruncați:

Pentru a estima eroarea valorii aproximative aproximative, este necesar să se estimeze reziduul abandonat R N (X). Pentru aceasta aplicați următoarele tehnici:

dacă seria rezultată este alcalină, se utilizează următoarea proprietate: pentru un semn de rând, satisfacerea condițiilor Leiby, reziduul unui număr în valoare absolută nu depășește primul membru al unui dumping.
dacă această serie este rezistentă la semn, atunci o serie de la membrii aruncați este comparată cu progresul geometric scăzut infinit.
În general, pentru a evalua restul seriei Taylor, puteți utiliza formula Lagrange: a x. ).

Exemplul nr. 1. Calculați Ln (3) până la 0,01.
Decizie. Folosim descompunerea în care x \u003d 1/2 (vezi exemplul 5 în subiectul anterior):

Verificați dacă putem renunța la sold după primele trei secțiuni, pentru că aceasta estimăm cu ajutorul progresiei geometrice scăzute în mod infinit:

Așa că putem renunța la acest reziduu și putem obține

Exemplul nr. 2. Calculați până la 0,0001.
Decizie. Folosim binomul în apropiere. Deoarece 5 3 este cea mai apropiată de 130 de cuburi de un număr întreg, atunci este recomandabil să reprezinte numărul 130 în forma 130 \u003d 5 3 +5.

de la al patrulea termen al rândului alternativ rezultat, satisfacerea unui semn leibital, precizia mai puțin necesară:
Prin urmare, el și membrii după el pot fi aruncați.
Multe integrale practic necesare anumite sau incompatibile nu pot fi calculate utilizând formula Newton-Labits, pentru utilizarea sa este asociată cu găsirea unui primitiv, adesea exprimată în funcții elementare. De asemenea, se întâmplă că constatarea este posibilă, dar inutil de laborioasă. Cu toate acestea, dacă integrand este descris într-un rând de putere, iar limitele de integrare aparțin intervalului de convergență al acestui rând, atunci este posibil un calcul aproximativ al integrării cu acuratețea montată.

Exemplu numărul 3. Calculați integral ∫ 0 1 4 păcat (x) x cu o precizie de 10 -5.
Decizie. Integralul nedefinit corespunzător nu poate fi exprimat în funcții elementare, adică Este un "integral nevăzut". Aplicați formula Newton Labnica este imposibilă aici. Calculați aproximativ integrantul.
Împărțirea rândului din spate pentru păcat x. pe x. Vom primi:

Integrarea acestei serii de spate (acest lucru este posibil, deoarece limitele de integrare aparțin intervalului de convergență al acestei serii), obținem:

Deoarece seria rezultată satisface condițiile de leibitus și să ia în mod suficient cantitatea primilor doi membri pentru a obține valoarea dorită cu precizia specificată.
Astfel, găsim
.

Exemplu numărul 4. Calculați integral ∫ 0 1 4 E x 2 cu o precizie de 0,001.
Decizie.
. Verificați dacă putem renunța la sold după al doilea membru al seriei rezultate.
0.0001.<0.001. Следовательно, .