|
Metoda Lagrange─ este o metodă de rezolvare a unei probleme de optimizare condiționată în care constrângerile, scrise ca funcții implicite, sunt combinate cu o funcție obiectiv sub forma unei noi ecuații numite lagrangiană.
Luați în considerare un caz special sarcină comună programare neliniară:
Un sistem de ecuații neliniare este dat (1):
(1) gi (x1, x2,…, xn) = bi (i = 1..m),
Găsiți cea mai mică (sau cea mai mare) valoare a funcției (2)
(2) f (x1, x2, ..., xn),
dacă nu există condiții de nenegativitate pentru variabile și f (x1, x2,…, xn) și gi (x1, x2,…, xn) sunt funcții care sunt continue împreună cu derivatele lor parțiale.
Pentru a găsi o soluție la această problemă, se poate aplica următoarea metodă: 1. Introduceți un set de variabile λ1, λ2,…, λm, numite multiplicatori Lagrange, formând funcția Lagrange (3)
(3) F (x1, x2,…, xn, λ1, λ2,…, λm) = f (x1, x2,…, xn) + λi.
2. Aflați derivatele parțiale ale funcției Lagrange în raport cu variabilele xi și λi și egalați-le cu zero.
3. Rezolvând sistemul de ecuații, se găsesc punctele la care funcția obiectiv a problemei poate avea un extremum.
4. Printre punctele suspecte de non-extrem, găsiți cele la care este atins extremul și calculați valorile funcției în aceste puncte .
4. Comparați valorile obținute ale funcției f și alegeți-o pe cea mai bună.
Conform planului de producție, întreprinderea trebuie să fabrice 180 de produse. Aceste produse pot fi fabricate în două metode tehnologice... În producția de produse x1 prin metoda I, costurile sunt de 4 * x1 + x1 ^ 2 ruble, iar la fabricarea de produse x2 prin metoda II, acestea sunt de 8 * x2 + x2 ^ 2 ruble. Determinați câte articole ar trebui realizate fiecare dintre metode, astfel încât costul total de fabricație a produsului să fie minim.
Rezolvare: Formularea matematică a problemei constă în determinarea celei mai mici valori a unei funcții a două variabile:
f = 4 * x1 + x1 ^ 2 + 8 * x2 + x2 ^ 2, cu condiția ca x1 + x2 = 180.
Să compunem funcția Lagrange:
F (x1, x2, λ) = 4 * x1 + x1 ^ 2 + 8 * x2 + x2 ^ 2 + λ * (180-x1-x2).
Să calculăm derivatele sale parțiale în raport cu x1, x2, λ și să le echivalăm cu 0:
Deplasați λ în partea dreaptă a primelor două ecuații și echivalați laturile lor stângi, obținem 4 + 2 * x1 = 8 + 2 * x2 sau x1 - x2 = 2.
Rezolvând ultima ecuație împreună cu ecuația x1 + x2 = 180, găsim x1 = 91, x2 = 89, adică obținem o soluție care îndeplinește condițiile:
Să găsim valoarea funcției obiectiv f pentru aceste valori ale variabilelor:
F (x1, x2) = 17278
Acest punct este suspect pentru un extremum. Folosind derivatele parțiale a doua, se poate arăta că în punctul (91.89) funcția f are un minim.
Un punct M se numește interior pentru o mulțime G dacă aparține acestei mulțimi împreună cu o parte din vecinătatea ei. Un punct N se numește punct de limită pentru o mulțime G dacă în oricare din vecinătățile sale complete există atât puncte aparținând lui G, cât și care nu îi aparțin.
Colecția tuturor punctelor limită ale mulțimii G se numește granița lui G.
O mulțime G va fi numită regiune dacă toate punctele sale sunt interne (mulțime deschisă). O mulțime G cu o limită atașată Г se numește regiune închisă. O zonă se numește mărginită dacă este cuprinsă în întregime într-un cerc de rază suficient de mare.
Cel mai mic și cea mai mare valoare funcțiile dintr-o zonă dată se numesc extremele absolute ale unei funcții din această zonă.
Teorema lui Weierstrass: o funcție care este continuă într-o zonă mărginită și închisă își atinge valorile minime și maxime în această zonă.
Consecinţă. Extremul absolut al unei funcții dintr-o regiune dată se realizează fie într-un punct critic al unei funcții aparținând acestei regiuni, fie la Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o regiune închisă G, este necesar să găsim toate punctele sale critice din această regiune, calculați valorile funcției în aceste puncte (inclusiv punctele de limită) și, comparând numerele obținute, alegeți cel mai mare și cel mai mic dintre ele.
Exemplul 4.1. Găsiți extremul absolut al unei funcții (cele mai mari și cele mai mici valori) 
într-o regiune triunghiulară D cu vârfuri 
,
,
(fig. 1).
;
,
adică punctul O (0, 0) este un punct critic aparținând regiunii D. z (0,0) = 0.
Explorarea graniței:
a) OA: y = 0 
z (x, 0) = 0; z (0, 0) = 0; z (1, 0) = 0,
b) OB: x = 0 
z (0, y) = 0; z (0, 0) = 0; z (0, 2) = 0,
taxi:; 
,
Exemplul 4.2. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă delimitată de axele de coordonate și o linie dreaptă 
.
1) Găsiți punctele critice situate în zonă:
,
,
.
Să explorăm granița. pentru că limita este formată dintr-un segment OA al axei Ox, un segment OB al axei Oy și un segment AB, apoi determinăm cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției z pe fiecare dintre aceste segmente.
, z (0, 2) = - 3, z (0, 0) = 5, z (0, 4) = 5.
M3 (5/3,7/3), z (5/3, 7/3) = - 10/3.
Dintre toate valorile găsite, alegeți z naib = z (4, 0) = 13; z naim = z (1, 2) = - 4.
5. Extremum condiționat. Metoda multiplicatorului Lagrange
Luați în considerare o problemă specifică funcțiilor mai multor variabile, când extremul ei este căutat nu pe întregul domeniu de definiție, ci pe o mulțime care satisface o anumită condiție.
Lasă funcția 
, argumente 
și 
care satisfac conditia 
numită ecuația constrângerii.
Punct 
se numește punct al maximului (minimului) condiționat dacă există o vecinătate a acestui punct astfel încât pentru toate punctele 
din acest cartier satisfacand conditia 
, inegalitatea 
sau 
.
Figura 2 arată punctul maximului condiționat 
... Evident, nu este punctul de extremum necondiționat al funcției 
(în Fig. 2 acesta este punctul 
).
Cel mai simplu mod de a găsi extremul condiționat al unei funcții a două variabile este de a reduce problema la găsirea extremului unei funcții a unei variabile. Să presupunem că ecuația constrângerii 
a reușit să rezolve relativ la una dintre variabile, de exemplu, expres 
peste 
:
... Înlocuind expresia rezultată într-o funcție de două variabile, obținem
acestea. funcţia unei variabile. Extremul său va fi extremul condiționat al funcției 
.
Exemplul 5.1. Aflați punctele maxime și minime ale unei funcții 
cu conditia 
.
Soluţie. Să exprimăm din ecuație 
variabil 
printr-o variabilă 
și înlocuiți expresia rezultată 
in functie 
... Primim 
sau 
... Această funcție are un minim unic la 
... Valoarea funcției corespunzătoare 
... Prin urmare, 
- punctul extremului condițional (minimum).
În exemplul considerat, ecuația constrângerii 
s-a dovedit a fi liniar, deci a fost ușor de rezolvat cu privire la una dintre variabile. Cu toate acestea, în cazuri mai complexe, acest lucru nu se poate face.
Pentru a găsi extremul condiționat în cazul general, se utilizează metoda multiplicatorului Lagrange. Luați în considerare o funcție a trei variabile. Această funcție se numește funcția Lagrange și 
Este multiplicatorul Lagrange. Următoarea teoremă este adevărată.
Teorema. Dacă punct 
este punctul extremului condiționat al funcției 
cu conditia 
, atunci există o valoare 
astfel încât punctul 
este punctul extremum al funcției 
.
Astfel, pentru a găsi extremul condiționat al funcției 
cu conditia 
trebuie să găsești o soluție la sistem
NS 
Ultima dintre aceste ecuații coincide cu ecuația constrângerii. Primele două ecuații ale sistemului pot fi rescrise ca, i.e. în punctul extremului condiționat, gradienții funcțiilor 
și 
coliniare. În fig. 3 arată semnificația geometrică a condițiilor Lagrange. Linia 
linie punctată, de nivel 
funcții 
solid. Din fig. rezultă că în punctul extremului condiţional linia de nivel a funcţiei 
atinge linia 
.
Exemplul 5.2.
Găsiți punctele extreme ale unei funcții 
cu conditia 
folosind metoda multiplicatorului Lagrange.
Soluţie. Compunem funcția Lagrange. Echivalând derivatele sale parțiale cu zero, obținem un sistem de ecuații:
Singura ei soluție. Astfel, doar punctul (3; 1) poate fi un punct extremum condiționat. Este ușor de verificat că în acest moment funcția 
are un minim condiționat. În cazul în care numărul de variabile este mai mare de două, pot fi luate în considerare și mai multe ecuații de constrângere. În consecință, în acest caz, vor exista mai mulți multiplicatori Lagrange.
Problema găsirii unui extremum condiționat este utilizată în rezolvarea unor astfel de probleme economice precum găsirea alocării optime a resurselor, alegerea portofoliului optim de valori mobiliare etc.
Scurtă teorie
Metoda multiplicatorului Lagrange este o metodă clasică de rezolvare a problemelor de programare matematică (în special, programarea convexă). Din pacate, cu aplicație practică metoda poate întâmpina dificultăți de calcul semnificative care restrâng aria de utilizare. Luăm în considerare aici metoda Lagrange în principal pentru că este un aparat utilizat în mod activ pentru fundamentarea diferitelor metode numerice moderne care sunt utilizate pe scară largă în practică. În ceea ce privește funcția Lagrange și multiplicatorii Lagrange, acestea joacă un rol independent și extrem de important în teoria și aplicațiile nu numai ale programării matematice.
Luați în considerare o problemă clasică de optimizare:
Printre restricțiile acestei probleme nu există inegalități, nu există condiții pentru nenegativitatea variabilelor, discretitatea acestora și funcțiile și sunt continue și au derivate parțiale de cel puțin ordinul doi.
Abordarea clasică a rezolvării problemei oferă un sistem de ecuații ( conditiile necesare), care trebuie să fie satisfăcută de un punct care livrează un extremum local funcției pe mulțimea de puncte care satisfac constrângerile (pentru o problemă de programare convexă, punctul găsit va fi și un punct extremum global).
Să presupunem că la o funcție punctuală (1) are un extremum condiționat local și rangul matricei este egal cu. Apoi condițiile necesare vor fi scrise sub forma:
există o funcție Lagrange; - Multiplicatori Lagrange.
Există și condiții suficiente în care soluția sistemului de ecuații (3) determină punctul extremum al funcției. Această întrebare este rezolvată pe baza unui studiu al semnului celei de-a doua diferenţiale a funcţiei Lagrange. Cu toate acestea, condițiile suficiente sunt în principal de interes teoretic.
Putem indica următoarea ordine de rezolvare a problemei (1), (2) prin metoda multiplicatorilor Lagrange:
1) alcătuiți funcția Lagrange (4);
2) găsiți derivatele parțiale ale funcției Lagrange în raport cu toate variabilele și echivalați-le
zero. Astfel, se va obtine sistemul (3) format din ecuatii Rezolvati sistemul rezultat (daca se dovedeste a fi posibil!) Si astfel aflati toate punctele stationare ale functiei Lagrange;
3) din punctele staționare luate fără coordonate, selectați punctele la care funcția are extreme locale condiționate în prezența constrângerilor (2). Această alegere se face, de exemplu, folosind condiții suficiente pentru un extremum local. Cercetarea este adesea simplificată dacă utilizați condiții specifice ale problemei.
Un exemplu de rezolvare a problemei
Sarcina
Firma produce două tipuri de mărfuri în cantităţi şi. Funcția costului util este determinată de raport. Prețurile acestor bunuri pe piață sunt egale și în mod corespunzător.
Determinați la ce volume de producție se realizează profit maximși cu ce este egal dacă costurile totale nu depășesc
Întâmpinați dificultăți în înțelegerea progresului soluției? Site-ul dispune de un serviciu Rezolvarea problemelor prin metode de solutii optime la comanda
Rezolvarea problemei
Modelul economic și matematic al problemei
Funcția de profit:
Constrângeri de cost:
Obținem următorul model economic și matematic:
În plus, în sensul problemei
Metoda multiplicatorului Lagrange
Să compunem funcția Lagrange:
Găsiți derivatele parțiale de ordinul I:
Să compunem și să rezolvăm sistemul de ecuații:
De atunci
Profit maxim:
Răspuns
Astfel, este necesară eliberarea unităților. mărfuri de primul tip și unitate. bunuri de al 2-lea tip. În acest caz, profitul va fi maxim și se va ridica la 270.
Este prezentat un exemplu de rezolvare a problemei programării convexe pătratice printr-o metodă grafică.
Rezolvarea unei probleme liniare printr-o metodă grafică
Este luată în considerare o metodă grafică pentru rezolvarea unei probleme de programare liniară (LPP) cu două variabile. Exemplul problemei arată descriere detaliata construirea unui desen și găsirea unei soluții.
Modelul de management al inventarului al lui Wilson
Folosind exemplul de rezolvare a problemei, se ia în considerare modelul de bază al managementului stocurilor (modelul lui Wilson). Parametrii modelului sunt calculați ca dimensiune optimă loturi de comandă, costuri anuale de depozitare, interval de livrare și plasare punct de comandă.
Matricea raportului cost direct și matricea intrări-ieșiri
Pe exemplul rezolvării problemei, este luat în considerare modelul intersectorial al lui Leontiev. Calculul matricei coeficienților costurilor materiale directe, matricea „input-output”, matricea coeficienților costuri indirecte, vectori ai consumului final și producției brute.
- Tutorial
Pentru toti o zi buna... În acest articol vreau să arăt una dintre metodele grafice de construire a modelelor matematice pentru sisteme dinamice, care se numește Graficul Bond("Legătură" - legături, "grafic" - grafic). În literatura rusă, am găsit descrieri ale acestei metode doar în Manualul Universității Politehnice din Tomsk, A.V. Voronin „MODELAREA SISTEMELOR MECATRONICE” 2008 Arătați și metoda clasică prin ecuația Lagrange de al doilea fel.
Metoda Lagrange
Nu voi descrie teoria, voi arăta etapele calculelor și cu câteva comentarii. Personal, mi se pare mai ușor să înveți din exemple decât să citesc teoria de 10 ori. Mi s-a părut că în literatura rusă, explicația acestei metode, și într-adevăr matematica sau fizica în general, este foarte plină de formule complexe, ceea ce necesită, în consecință, un fundal matematic serios. În timp ce studiam metoda Lagrange (studiez la Universitatea Politehnică din Torino, Italia), am studiat literatura rusă pentru a compara metodele de calcul și mi-a fost greu să urmăresc progresul rezolvării acestei metode. Chiar și amintindu-ne cursurile de modeling la „Kharkovsky Institutul de Aviație”, Concluzia unor astfel de metode a fost foarte greoaie și nimeni nu s-a deranjat să încerce să înțeleagă această problemă. Acesta este ceea ce m-am hotărât să scriu, un manual pentru construirea modelelor matematice după Lagrange, pentru că s-a dovedit că nu a fost deloc dificil, este suficient să știi să calculezi derivatele de timp și derivatele parțiale. Pentru modele mai complexe se adaugă matrici de rotație, dar nici nu sunt complicate.Caracteristicile metodelor de modelare:
- Newton-Euler: ecuații vectoriale bazate pe echilibru dinamic fortași momente
- Lagrange: ecuații scalare bazate pe funcții de stare asociate cu cinetică și potențial energie (energii)
- Bond Earl: metoda bazata pe curent putereîntre elementele sistemului
Sa incepem cu exemplu simplu... Greutate cu arc și amortizor. Neglijăm gravitația.
Fig 1... Greutate cu arc și amortizor
În primul rând, desemnăm:
- sistemul inițial de coordonate(NSK) sau sk fix R0 (i0, j0, k0)... Unde? Poți să-ți bagi degetul în cer, dar trăgând de vârfurile neuronilor din creier, ideea este să pui NSC pe linia de mișcare a corpului M1.
- sisteme de coordonate pentru fiecare corp cu masă(avem M1 R1 (i1, j1, k1)), orientarea poate fi arbitrară, dar de ce să ne complicăm viața, o punem cu diferență minimă față de CNS
- coordonate generalizate q_i(numărul minim de variabile prin care poate fi descrisă mișcarea), în acest exemplu, o coordonată generalizată, mișcare doar de-a lungul axei j
Fig 2... Atribuim sisteme de coordonate și coordonate generalizate
Fig 3... Poziția și viteza corpului M1
Apoi găsim energiile cinetice (C) și potențiale (P) și funcția disipativă (D) pentru amortizor prin formulele:
Fig 4. Formula completă energie kinetică
În exemplul nostru, nu există rotație, a doua componentă este 0.
Fig 5... Calculul energiei cinetice, potenţiale şi disipative
Ecuația Lagrange are următoarea formă:
Fig 6... Ecuația Lagrange și Lagrangiană
Delta W_i este o lucrare virtuală realizată prin forțe și momente aplicate. Să-l găsim:
Fig 7... Calcularea muncii virtuale
Unde delta q_1 mișcare virtuală.
Inlocuim totul in ecuatia Lagrange:
Fig 8... Modelul de masă rezultat cu un arc și un amortizor
Aici s-a încheiat metoda lui Lagrange. După cum puteți vedea, nu este atât de dificil, dar este totuși un exemplu foarte simplu, pentru care cel mai probabil metoda Newton-Euler ar fi și mai simplă. Pentru sistemele mai complexe, în care vor exista mai multe corpuri rotite unul față de celălalt în unghiuri diferite, metoda Lagrange va fi mai ușoară.
Metoda graficului de legături
Voi arăta imediat cum arată modelul în graficul de legătură pentru un exemplu cu o masă a unui arc și a unui amortizor:
Fig 9... Graficul de legătură a maselor cu arc și amortizor
Aici trebuie să spuneți puțină teorie, care este suficientă pentru a construi modele simple... Dacă cineva este interesat, puteți citi cartea ( Metodologia graficului de legături) sau ( Voronin A.V. Modelarea sistemelor mecatronice: tutorial... - Tomsk: Editura Universității Politehnice din Tomsk, 2008).
Mai întâi să definim asta sisteme complexe constau din mai multe domenii. De exemplu, un motor electric este compus din părți sau domenii electrice și mecanice.
Graficul Bond bazat pe schimbul de putere între aceste domenii, subsisteme. Rețineți că schimbul de putere, de orice formă, este întotdeauna determinat de două variabile ( putere variabila) cu ajutorul căruia, putem studia interacțiunea diferitelor subsisteme ca parte a unui sistem dinamic (vezi tabel).
După cum puteți vedea din tabel, expresia puterii este aproape aceeași peste tot. În concluzie, Putere- Acest lucru " curgere - f" pe " efort - e».
Un efort(ing. efort) în domeniul electric, aceasta este tensiunea (e), în domeniul mecanic, forța (F) sau momentul (T), iar în hidraulică, presiunea (p).
curgere(ing. curgere) în domeniul electric este curentul (i), în domeniul mecanic este viteza (v) sau viteza unghiulară (omega), în hidraulică este debitul sau debitul fluidului (Q).
Luând aceste denumiri, obținem o expresie pentru putere:
Fig 10... Formula de putere în termeni de variabile de putere
În limbajul bond-graph, legătura dintre două subsisteme care schimbă putere este reprezentată de o legătură (ing. legătură). De aceea se numește această metodă bond-graf sau r raf-conexiuni, graf conectat... Considera diagramă bloc conexiuni într-un model cu motor electric (acesta nu este încă un grafic de legătură):
Fig 11... Blocați diarama fluxului de putere între domenii
Dacă avem o sursă de tensiune, atunci, în consecință, aceasta generează tensiune și o dă motorului pentru desfășurare (prin urmare săgeata este îndreptată spre motor), în funcție de rezistența înfășurării, apare un curent conform legii lui Ohm (direcționat de la motor la sursă). În consecință, o variabilă este o intrare în subsistem, iar a doua trebuie să fie ieșire din subsistem. Aici tensiunea ( efort) - curentul de intrare ( curgere) - ieșire.
Dacă utilizați o sursă de curent, cum se va schimba diagrama? Dreapta. Curentul va fi direcționat către motor și tensiunea către sursă. Apoi curentul ( curgere) - tensiune de intrare ( efort) - ieșire.
Luați în considerare un exemplu în mecanică. Forța care acționează asupra masei.
Fig 12... Forța aplicată masei
Diagrama bloc va fi după cum urmează:
Fig 13... Diagramă bloc
În acest exemplu, Forța ( efort) Este variabila de intrare pentru masă. (Forța aplicată masei)
Conform celei de-a doua legi a lui Newton:
Masa se întâlnește cu viteza:
În acest exemplu, dacă o variabilă ( forta - efort) este o Intrareîntr-un domeniu mecanic, apoi o altă variabilă de putere ( viteză - curgere) - devine automat ieșire.
Pentru a distinge unde este intrarea și unde este ieșirea, se folosește o linie verticală la capătul săgeții (conexiunea) dintre elemente, această linie se numește semn de cauzalitate
sau cauzalitate
(cauzalitate). Se dovedește că forța aplicată este cauza, iar viteza este efectul. Acest semn este foarte important pentru construcție corectă modelul sistemului, deoarece cauzalitatea este o consecință a comportamentului fizic și a schimbului de puteri a două subsisteme, prin urmare, alegerea locației semnului cauzalității nu poate fi arbitrară.
Fig 14... Notație cauzală
Această linie verticală arată ce subsistem primește efortul ( efort) și, în consecință, produc un flux ( curgere). În exemplul cu masă va fi așa:
Fig 14... Relație cauzală pentru forța care acționează asupra masei
Este clar din săgeată că la intrarea pentru masă - forta iar ieșirea este viteză... Acest lucru se face pentru a nu aglomera diagrama cu săgeți și pentru a sistematiza construcția modelului.
Următorul punct important. Impulsul generalizat(cantitatea de mișcare) și in miscare(variabile energetice).
Tabelul variabilelor de putere și energie în diferite domenii
Tabelul de mai sus introduce două mărimi fizice suplimentare utilizate în metoda bond-graph. Sunt chemați impuls generalizat (R) și mișcare generalizată (q) sau variabile energetice și pot fi obținute prin integrarea variabilelor de putere în timp:
Fig 15... Relația dintre variabilele de putere și energie
În domeniul electric :
Pe baza legii lui Faraday, Voltaj la capetele unui conductor este egală cu derivata fluxului magnetic prin acest conductor.
A Puterea curentului - cantitate fizica, egal cu raportul dintre cantitatea de sarcină Q care a trecut de-a lungul unui timp t prin sectiune transversala conductor, la valoarea acestei perioade de timp.
Domeniul mecanic:
Din cele 2 legi ale lui Newton, Forta- derivată în timp a impulsului
Și în mod corespunzător, viteză- derivată în timp a deplasării:
Să rezumam:
Elemente de baza
Toate elementele din sistemele dinamice pot fi împărțite în componente cu doi poli și patru poli.Considera componente bipolare:
Surse de
Sursele vin atât prin efort, cât și prin flux. O analogie în domeniul electric: sursa de efort – sursa de tensiune, sursa fluxului – sursa actuala... Semnele cauzale pentru surse ar trebui să fie exact așa.
Fig 16... Relații cauzale și desemnarea surselor
componenta R
- element disipativ 
Componenta I
- element inerțial 
Componenta C
- element capacitiv 
După cum puteți vedea din imagini, elemente diferite unu tip R, C, I fi descris prin aceleași ecuații. Există DOAR o diferență pentru capacitatea electrică, trebuie doar să rețineți!
Componente cvadrupol:
Luați în considerare două componente un transformator și un girator.
Ultimele componente importante din metoda bond-graph sunt conexiunile. Există două tipuri de noduri:
Aceasta completează componentele.
Principalii pași pentru înlăturarea relațiilor cauzale după construirea unui grafic de legături:
- Oferă legături cauzale tuturor surse
- Treceți prin toate nodurile și puneți relațiile cauzale după punctul 1
- Pentru componentele I atribuiți o relație cauzală de intrare (efortul este inclus în această componentă), pt componentele C atribuiți cauzalitatea ieșirii (efortul provine din această componentă)
- Repetați pasul 2
- Furnizați legături cauzale pentru componentele R
Să rezolvăm câteva exemple. Să începem cu un circuit electric, este mai bine să înțelegem analogia construirii unui grafic de legătură.
Exemplul 1
Să începem să construim un grafic de legătură dintr-o sursă de tensiune. Doar scrieți Se și puneți o săgeată.
Vezi ca totul este simplu! Ne uităm mai departe, R și L sunt conectați în serie, ceea ce înseamnă că în ele curge același curent, dacă vorbim în variabile de putere - același flux. Care nod are același flux? Răspunsul corect este 1-nod. Conectăm sursa, rezistența (componenta - R) și inductanța (componenta - I) la 1-nod.
În continuare, avem capacitatea și rezistența în paralel, ceea ce înseamnă că au aceeași tensiune sau efort. Un nod 0 va face treaba ca nimeni altul. Conectăm capacitatea (componenta C) și rezistența (componenta R) la nodul 0.
De asemenea, conectăm nodurile 1 și 0 între ele. Direcția săgeților este aleasă în mod arbitrar, direcția relației afectează doar semnul din ecuații.
Rezultatul este următorul grafic de legătură:
Acum trebuie să puneți legături cauzale. Urmând instrucțiunile pentru succesiunea de fixare a acestora, să începem cu sursa.
- Avem o sursă de tensiune (efort), o astfel de sursă are o singură opțiune de cauzalitate - ieșirea. O punem.
- Apoi este componenta I, vezi ce este recomandat. Am pus
- Am pus jos pentru 1-nod. Există
- Un nod 0 trebuie să aibă o intrare și toate relațiile cauzale de ieșire. Avem o zi liberă până acum. Cautam componente C sau I. Gasit. Am pus
- Lăsăm jos ce a mai rămas
Asta e tot. Este construit graficul de legături. Ura, tovarăși!
Singurul lucru care rămâne de făcut este să scrieți ecuațiile care descriu sistemul nostru. Pentru a face acest lucru, să creăm un tabel cu 3 coloane. Primul va conține toate componentele sistemului, al doilea va conține o variabilă de intrare pentru fiecare element, iar al treilea va conține o variabilă de ieșire pentru aceeași componentă. Am definit deja intrarea și ieșirea prin cauzalitate. Deci nu ar trebui să fie probleme.
Vom numerota fiecare conexiune pentru confortul înregistrării nivelurilor. Ecuațiile pentru fiecare element sunt preluate din lista componentelor C, R, I.
După ce am compilat un tabel, definim variabilele de stare, în acest exemplu sunt 2, p3 și q5. În continuare, trebuie să scrieți ecuațiile de stare:
Atât este gata modelul.
Exemplul 2. Imediat vreau să-mi cer scuze pentru calitatea fotografiei, principalul lucru este că poți citi
Să mai rezolvăm un exemplu pentru un sistem mecanic, același pe care l-am rezolvat prin metoda Lagrange. Voi arăta soluția fără comentarii. Să verificăm care dintre aceste metode este mai simplă, mai ușoară.
În matbal au fost compilate ambele modele de mat cu aceiași parametri, obținute prin metoda Lagrange și bond-graph. Rezultatul de mai jos: Adăugați etichete
CU Esența metodei Lagrange este de a reduce problema pentru un extremum condiționat la rezolvarea problemei unui extremum necondiționat. Luați în considerare un model de programare neliniară:
(5.2)
Unde 
- funcții cunoscute,
A 
- coeficienți dați.
Rețineți că în această formulare a problemei constrângerile sunt date de egalități; nu există nicio condiție pentru non-negativitatea variabilelor. În plus, presupunem că funcțiile 
sunt continue cu primele lor derivate parțiale.
Transformăm condițiile (5.2) în așa fel încât în partea stângă sau dreaptă a egalităților să existe zero:
(5.3)
Să compunem funcția Lagrange. Include funcția obiectiv (5.1) și părțile din dreapta ale constrângerilor (5.3), luate respectiv cu coeficienții 
... Vor fi atât de mulți coeficienți Lagrange câte constrângeri există în problemă.
Punctele extreme ale funcției (5.4) sunt puncte extreme ale problemei inițiale și invers: planul optim al problemei (5.1) - (5.2) este punctul extremum global al funcției Lagrange.
Într-adevăr, să se găsească soluția 
a problemei (5.1) - (5.2), atunci condițiile (5.3) sunt îndeplinite. Înlocuiește planul 
în funcția (5.4) și verificați validitatea egalității (5.5).
Astfel, pentru a găsi planul optim al problemei inițiale, este necesar să se investigheze funcția Lagrange pentru extremum. Funcția are valori extreme în punctele în care derivatele sale parțiale sunt egale zero... Se numesc astfel de puncte staționar.
Să definim derivatele parțiale ale funcției (5.4)
,
.
După echivalare zero derivate, obținem sistemul m + n ecuatii cu m + n necunoscut
,
(5.6)
În cazul general, sistemul (5.6) - (5.7) va avea mai multe soluții, care vor include toate maximele și minimele funcției Lagrange. Pentru a evidenția maximul sau minimul global, valorile funcției obiectiv sunt calculate în toate punctele găsite. Cea mai mare dintre aceste valori va fi maximul global, iar cel mai mic va fi minimul global. În unele cazuri, se dovedește a fi posibil de utilizat condiţii suficiente pentru un extremum strict funcții continue (vezi problema 5.2 de mai jos):
lasa functia 
continuu si de doua ori diferentiabil intr-o vecinatate a punctului sau stationar 
(acestea. 
)). Atunci:
A
) dacă 
,
(5.8)
atunci 
Este punctul de maxim strict al funcției 
;
b)
dacă 
,
(5.9)
atunci 
Este punctul de minim strict al funcției 
;
G
) dacă 
,
atunci chestiunea prezenței unui extremum rămâne deschisă.
În plus, unele soluții ale sistemului (5.6) - (5.7) pot fi negative. Ceea ce este incompatibil cu sensul economic al variabilelor. În acest caz, ar trebui să luați în considerare posibilitatea de a înlocui valorile negative cu zero.
Sensul economic al multiplicatorilor Lagrange. Valoarea optimă a multiplicatorului 
arată cât de mult se va modifica valoarea criteriului Z
la creşterea sau scăderea resursei j cu o unitate, din moment ce
Metoda Lagrange poate fi aplicată și atunci când constrângerile sunt inegalități. Deci, găsirea extremului funcției 
in conditii
,
efectuează în mai multe etape:
1. Determinați punctele staționare ale funcției obiectiv, pentru care rezolvă sistemul de ecuații
.
2. Din punctele staționare selectați cele ale căror coordonate îndeplinesc condițiile
3. Metoda Lagrange este folosită pentru a rezolva problema cu constrângeri de egalitate (5.1) - (5.2).
4. Explorați punctele găsite la a doua și a treia etapă pentru maximul global: comparați valorile funcției obiectiv în aceste puncte - cea mai mare valoare corespunde planului optim.
Sarcina 5.1 Să rezolvăm problema 1.3, considerată în prima secțiune, prin metoda Lagrange. Distribuția optimă a resurselor de apă este descrisă de un model matematic
.
Să compunem funcția Lagrange
Să găsim maximul necondiționat al acestei funcții. Pentru a face acest lucru, calculăm derivatele parțiale și le echivalăm cu zero
,
Astfel, am obținut un sistem de ecuații liniare de forma
Soluția sistemului de ecuații reprezintă planul optim de repartizare a resurselor de apă pe suprafețele irigate.
,
.
Cantitatile 
măsurată în sute de mii de metri cubi. 
- suma venitului net la o sută de mii de metri cubi de apă de irigare. Prin urmare, prețul marginal al 1 m 3 de apă de irigare este egal cu 
den. unitati
Venitul net suplimentar maxim din irigare va fi
160 12,26 2 + 7600 12,26-130 8,55 2 + 5900 8,55-10 16,19 2 + 4000 16,19 =
172391.02 (unități monetare)
Sarcina 5.2 Rezolvați o problemă de programare neliniară
Reprezentăm restricția sub forma:
.
Să compunem funcția Lagrange și să definim derivatele ei parțiale
.
Pentru a determina punctele staționare ale funcției Lagrange, derivatele sale parțiale ar trebui egalate cu zero. Ca rezultat, obținem sistemul de ecuații
.
Din prima ecuație rezultă
. (5.10)
Expresie 
înlocuiți în a doua ecuație
,
de unde urmează două soluţii pt 
:
și 
. (5.11)
Înlocuind aceste soluții în a treia ecuație, obținem
, 
.
Valorile multiplicatorului Lagrange și ale necunoscutului 
calculăm prin expresiile (5.10) - (5.11):
, 
,
,
.
Astfel, avem două puncte extreme:
; 
.
Pentru a afla dacă aceste puncte sunt puncte maxime sau minime, folosim condițiile suficiente pentru un extremum strict (5.8) - (5.9). Pre-exprimare pentru 
, obținută din constrângerea modelului matematic, substituim în funcția obiectiv 
,
. (5.12)
Pentru a verifica condițiile pentru un extremum strict, ar trebui să se determine semnul derivatei a doua a funcției (5.11) la punctele extreme pe care le-am găsit 
și 
.
, 
;
.
Prin urmare, (·) 
este punctul minim al problemei inițiale ( 
), A (·) 
- punctul maxim.
Plan optim:
, 
,
,
.
